Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1077590 1077532 2026-04-18T15:06:58Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077590 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * [[/Flächenintegralsatz für Dreiecke/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale_über_Dreiecke#KorollarDreieck|Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> agkc5df9ui8seze7o290jlp6tixaajc 1077591 1077590 2026-04-18T15:08:39Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077591 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * [[/Flächenintegralsatz für Dreiecke/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 47lnq33n6bl3eo91zc2lf02yfsh9dyx 1077592 1077591 2026-04-18T15:09:43Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077592 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Approximationslemma für Dreieck/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 553nnff5nmytuldjgdzv98ek87xv5qh 1077597 1077592 2026-04-18T15:37:43Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077597 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma für Dreieck|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 92pv3yi7vv1r3qo2n1xvfh68xc0k34d 1077607 1077597 2026-04-18T16:13:27Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1077607 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale über Kreise und Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> qb14dmd61mvg5nu6way0vnhnhybxaq0 2 72588 1077626 1009422 2026-04-18T19:07:34Z ~2026-23823-26 41496 /* Ergebnissicherung und Materialien der Freiburger Übung "Google Books und die Wunderwelt digitaler Bibliotheken" (2017/2025) */ 1077626 wikitext text/x-wiki == Klaus Graf: Google Books und die Wunderwelt digitaler Bibliotheken Sommersemester 2015. Module (ohne Gewähr) == '''Die Module werden so ähnlich auch in den aktuellen Veranstaltungen angeboten!''' * Quiz, siehe https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/Quiz * 29.4., Google Books, Tipps und Tricks, Nutzung eines US-Proxy * 13.5. Virtuelle Sitzung: Chats, Ask a librarian/QuestionPoint, gemeinsames Arbeiten mit Dokumenten im Netz * 20.5. Nutzung eines US-Proxy, HathiTrust, Internet Archive und weitere digitale Bibliotheken * 3.6. Web 2.0 für Historiker: Twitter und Blogs, RSS ** Literatur: ***Mareike König: ''Twitter in der Wissenschaft. Ein Leitfaden für Historiker/innen''. In: Digital Humanities am DHI Paris vom 21.08.2012 http://dhdhi.hypotheses.org/1072. *** Klaus Graf/Mareike König: ''Forschungsnotizbücher im Netz – Postskript zu einer Veröffentlichung''. In: Redaktionsblog vom 24.06.2013 http://redaktionsblog.hypotheses.org/1385 * 10.6. "Zitatsuche", siehe <s>http://archiv.twoday.net/stories/714912962/</s> [unten] * 24.6., 8.7. Lizenzierte Ressourcen und Nationallizenzen ** DBIS und EZB ** https://www.nationallizenzen.de/ * Literaturverwaltungsprogramme (Referate) * Bewerten und Zitieren von Internetquellen, Wikipedia, Plagiatproblematik, Urheberrecht * 22.7. Abschluss-Sitzung: Zusammenfassung. Zweite Hälfte: geselliges Zusammensein, Abschlussbesprechung == Weblinks == * https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Bibliographieren == Feedback == * https://archivalia.hypotheses.org/125350 (Blogbeitrag einer Teilnehmerin 2020) == Ergebnissicherung und Materialien der Freiburger Übung "Google Books und die Wunderwelt digitaler Bibliotheken" (2017/2026) == === Allgemeines === [https://guides.clio-online.de/guides Clio Guide. Ein Handbuch zu digitalen Ressourcen für die Geschichtswissenschaften] === Ask a librarian und gemeinsames Arbeiten an Dokumenten === * https://archivalia.hypotheses.org/109727 === Berichterstattung zum Thema Suchen in Archivalia === * https://archivalia.hypotheses.org/category/suchen === Digitalisate === * Digitalisate finden: https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Bibliographieren * Kostenlose Digitalisierung durch Bibliotheken https://archivalia.hypotheses.org/6840 === Google Books === * https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Google_Book_Search * https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/GBS_Digital_Humanities Anleitung zum US-Proxy * https://archivalia.hypotheses.org/136430 === Zitatsuche === * https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/Zitatsuche === Social Media === * Twitter Quickstart Guide – wem folgen? https://archivalia.hypotheses.org/125317 (Blogbeitrag eines Teilnehmers 2020) * https://archivalia.hypotheses.org/category/web-2-0 === Literaturverwaltungsprogramme === Einen guten Einstieg vermittelte ein Blog: * https://literaturverwaltung.wordpress.com/ (2020 eingeschlafen) Vergleichstest * http://mediatum.ub.tum.de/node?id=1127579 (2025) Zotero ermöglicht das Veröffentlichen einer gemeinsam bearbeiteten Bibliographie. Beispiel: * https://www.zotero.org/groups/55813/first_world_war_studies_bibliography Alternativen zu Evernote * Die 5 besten Notizen-Apps für Studierende: https://www.pcwelt.de/article/2435324/die-5-besten-notizen-apps-fuer-studenten.html (2024) * https://www.heise.de/tipps-tricks/Evernote-Alternativen-Die-10-besten-Notiz-Tools-4355904.html (2023) === Normdaten === * https://digitale-wissenschaft.de/wissensblog/normdaten-was-sie-koennen-wo-du-sie-findest/ (2018, aber immer noch lesenswert) === Remote Access === * https://archivalia.hypotheses.org/103941 === Suchoperatoren === * https://archivalia.hypotheses.org/152015 === Künstliche Intelligenz === Berichterstattung in Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/tag/ki === Rund ums Zitieren === ==== Bewerten von Internetquellen ==== Hilfreich können W-Fragen sein: * Wer verantwortet die Seite? * Wo ist sie veröffentlicht (z.B. Domain .edu)? * Wann wurde sie ins Netz gestellt bzw. aktualisiert? * Warum steht sie im Netz (z.B. kommerzielle Absicht)? * Wie ist sie aufgemacht (z.B. mit wissenschaftlichen Nachweisen)? Im Netz gibt es etliche Checklisten z.B. von der TIB: * https://www.tib.eu/fileadmin/Daten/selbstlernangebote/PDF_und_Dokumente/Checkliste-zur-Bewertung-von-Internetquellen.pdf CRAP-Test/CRAAP-Test * https://en.wikipedia.org/wiki/CRAAP_test ==== Die Wikipedia zitieren? ==== * Die Wikipedia darf und sollte zitiert werden, wenn der betreffende Artikel besser oder genauso gut ist wie ein Artikel in einem konventionellen, zitierfähigen Nachschlagewerk. * Zu zitieren ist immer eine spezifische Version (linker Frame: Artikel zitieren). ==== Welche URL zitieren? ==== Existiert ein Permalink, ist dieser zu zitieren. * https://archivalia.hypotheses.org/13353 Über Permalinks: * https://doi.org/10.11588/ip.2016.2.33483 (Permalink) ==== Plagiate ==== Weiterführende Links * http://plagiat.htw-berlin.de/ (führendes Portal mit ungepflegten Links) * https://archivalia.hypotheses.org/65961 ==== Urheberrecht ==== Crashkurs: * https://archivalia.hypotheses.org/11866 ==== Zitierübungen ==== * https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/Zitieren hjwjdyit6o6pneypo27z7siewtviqs9 1077627 1077626 2026-04-18T19:10:38Z ~2026-23823-26 41496 /* Plagiate */ 1077627 wikitext text/x-wiki == Klaus Graf: Google Books und die Wunderwelt digitaler Bibliotheken Sommersemester 2015. Module (ohne Gewähr) == '''Die Module werden so ähnlich auch in den aktuellen Veranstaltungen angeboten!''' * Quiz, siehe https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/Quiz * 29.4., Google Books, Tipps und Tricks, Nutzung eines US-Proxy * 13.5. Virtuelle Sitzung: Chats, Ask a librarian/QuestionPoint, gemeinsames Arbeiten mit Dokumenten im Netz * 20.5. Nutzung eines US-Proxy, HathiTrust, Internet Archive und weitere digitale Bibliotheken * 3.6. Web 2.0 für Historiker: Twitter und Blogs, RSS ** Literatur: ***Mareike König: ''Twitter in der Wissenschaft. Ein Leitfaden für Historiker/innen''. In: Digital Humanities am DHI Paris vom 21.08.2012 http://dhdhi.hypotheses.org/1072. *** Klaus Graf/Mareike König: ''Forschungsnotizbücher im Netz – Postskript zu einer Veröffentlichung''. In: Redaktionsblog vom 24.06.2013 http://redaktionsblog.hypotheses.org/1385 * 10.6. "Zitatsuche", siehe <s>http://archiv.twoday.net/stories/714912962/</s> [unten] * 24.6., 8.7. Lizenzierte Ressourcen und Nationallizenzen ** DBIS und EZB ** https://www.nationallizenzen.de/ * Literaturverwaltungsprogramme (Referate) * Bewerten und Zitieren von Internetquellen, Wikipedia, Plagiatproblematik, Urheberrecht * 22.7. Abschluss-Sitzung: Zusammenfassung. Zweite Hälfte: geselliges Zusammensein, Abschlussbesprechung == Weblinks == * https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Bibliographieren == Feedback == * https://archivalia.hypotheses.org/125350 (Blogbeitrag einer Teilnehmerin 2020) == Ergebnissicherung und Materialien der Freiburger Übung "Google Books und die Wunderwelt digitaler Bibliotheken" (2017/2026) == === Allgemeines === [https://guides.clio-online.de/guides Clio Guide. Ein Handbuch zu digitalen Ressourcen für die Geschichtswissenschaften] === Ask a librarian und gemeinsames Arbeiten an Dokumenten === * https://archivalia.hypotheses.org/109727 === Berichterstattung zum Thema Suchen in Archivalia === * https://archivalia.hypotheses.org/category/suchen === Digitalisate === * Digitalisate finden: https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Bibliographieren * Kostenlose Digitalisierung durch Bibliotheken https://archivalia.hypotheses.org/6840 === Google Books === * https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Google_Book_Search * https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/GBS_Digital_Humanities Anleitung zum US-Proxy * https://archivalia.hypotheses.org/136430 === Zitatsuche === * https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/Zitatsuche === Social Media === * Twitter Quickstart Guide – wem folgen? https://archivalia.hypotheses.org/125317 (Blogbeitrag eines Teilnehmers 2020) * https://archivalia.hypotheses.org/category/web-2-0 === Literaturverwaltungsprogramme === Einen guten Einstieg vermittelte ein Blog: * https://literaturverwaltung.wordpress.com/ (2020 eingeschlafen) Vergleichstest * http://mediatum.ub.tum.de/node?id=1127579 (2025) Zotero ermöglicht das Veröffentlichen einer gemeinsam bearbeiteten Bibliographie. Beispiel: * https://www.zotero.org/groups/55813/first_world_war_studies_bibliography Alternativen zu Evernote * Die 5 besten Notizen-Apps für Studierende: https://www.pcwelt.de/article/2435324/die-5-besten-notizen-apps-fuer-studenten.html (2024) * https://www.heise.de/tipps-tricks/Evernote-Alternativen-Die-10-besten-Notiz-Tools-4355904.html (2023) === Normdaten === * https://digitale-wissenschaft.de/wissensblog/normdaten-was-sie-koennen-wo-du-sie-findest/ (2018, aber immer noch lesenswert) === Remote Access === * https://archivalia.hypotheses.org/103941 === Suchoperatoren === * https://archivalia.hypotheses.org/152015 === Künstliche Intelligenz === Berichterstattung in Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/tag/ki === Rund ums Zitieren === ==== Bewerten von Internetquellen ==== Hilfreich können W-Fragen sein: * Wer verantwortet die Seite? * Wo ist sie veröffentlicht (z.B. Domain .edu)? * Wann wurde sie ins Netz gestellt bzw. aktualisiert? * Warum steht sie im Netz (z.B. kommerzielle Absicht)? * Wie ist sie aufgemacht (z.B. mit wissenschaftlichen Nachweisen)? Im Netz gibt es etliche Checklisten z.B. von der TIB: * https://www.tib.eu/fileadmin/Daten/selbstlernangebote/PDF_und_Dokumente/Checkliste-zur-Bewertung-von-Internetquellen.pdf CRAP-Test/CRAAP-Test * https://en.wikipedia.org/wiki/CRAAP_test ==== Die Wikipedia zitieren? ==== * Die Wikipedia darf und sollte zitiert werden, wenn der betreffende Artikel besser oder genauso gut ist wie ein Artikel in einem konventionellen, zitierfähigen Nachschlagewerk. * Zu zitieren ist immer eine spezifische Version (linker Frame: Artikel zitieren). ==== Welche URL zitieren? ==== Existiert ein Permalink, ist dieser zu zitieren. * https://archivalia.hypotheses.org/13353 Über Permalinks: * https://doi.org/10.11588/ip.2016.2.33483 (Permalink) ==== Plagiate ==== Weiterführende Links * https://archivalia.hypotheses.org/65961 ==== Urheberrecht ==== Crashkurs: * https://archivalia.hypotheses.org/11866 ==== Zitierübungen ==== * https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Histo/Zitieren fx6peq2agwnaojq27xppzcdws6r0lgu 2 127101 1077690 687093 2026-04-19T11:26:37Z Inertia6084 24243 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:Almhütte Schönenberg 12, 2020 Böhringer 04.JPG]] → [[File:Almhuette Buerstegg 12, 2020 Böhringer 04.jpg]] [[c:COM:FR#FR3|Criterion 3]] (obvious error) 1077690 wikitext text/x-wiki Die hier gelisteten 567 Bilder sind das Ergebnis der Vorjury-Arbeit, die Reihenfolge ist alphabetisch nach Dateiname. Jedes Bild wurde von mindestens sieben Personen in der Vorjury bewertet, vielen Dank an dieser Stelle für die viele Zeit, die in die Bewertung geflossen ist! Detailergebnisse gibt es unter [https://jury.wikidaheim.at/wida/prejury/ergebnisse.php https://jury.wikidaheim.at/wida/prejury/ergebnisse.php] – die Galerie-Funktion stellt aufgrund der Vielzahl an Bildern unter Umständen nicht alle Bilder hier dar. == Bilder == <gallery mode="packed" heights="220"> 20180424 Strasshof 8658.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20190317 Schrick 1151.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20190317 Walterskirchen 1390.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20190524 Mistelbach 6888.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20190621 Theiß 2833.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20200129 Wien Mariahilfer Straße 072243.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20200602 Wilfersdorf 8477.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20200713 Rübenverladeplatz Bernhardsthal 4209.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20200806 Lackendorf 9130.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) 20200827 Rosenburg 9209.jpg | Ailura , Pl. WLM 8 , (Anz.: 10 ) Graureiher auf Vogelinsel im Wasserpark.jpg | Arquus , (Anz.: 4 ) Obelisk im 18 Bezirk.jpg | Arquus , (Anz.: 4 ) Oberdöbling Schnellbahnhof.jpg | Arquus , (Anz.: 4 ) Springbrunnen vor der Orangerie im Rosarium.jpg | Arquus , (Anz.: 4 ) Almabtrieb 2019 durch Schnepfau.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Almabtrieb 2019, Schwarzenberg, Böhringer 01.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Almhütte Schönenberg 12, 2020 Böhringer 03.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Almhuette Buerstegg 12, 2020 Böhringer 04.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Badehaus am Kaiserstrand, Böhringer 01.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Badehaus am Kaiserstrand, Böhringer 03.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Badehaus am Kaiserstrand, Böhringer 04.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Bartholomäberg Rellseck Kapelle Hl Johannes.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Bregenz am Abend vom Seibel, Böhringer.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Buch in Vorarlberg, 2020 Böhringer 01.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Bürstegg vor Bieberkopf 2020 Böhringer 04.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Feuerwehstation Fußach, Böhringer.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Fischersteg Bregenz, Böhringer 02.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Fischersteg Bregenz, Böhringer.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Hl Anna, Faschina, Böhringer.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Hl Jakobus (Fraxern), Böhringer 01.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Hl Jakobus (Fraxern), Böhringer 02.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Hl Jakobus (Fraxern), Böhringer 03.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Hl Martin Bürstegg, 2020 Böhringer 03.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Hl Martin Bürstegg, 2020 Böhringer 09.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Hochtannbergpass, 2020 Böhringer.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Kriegerdenkmal neben der Pfarrkirche Flachau, 2020 Böhringer 01.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Lourdes Kapelle in Geißbirn bei Bildstein Nr65, 2020 Böhringer.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Mittelweiherburg Hard, 2020 Böhringer.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Pfarrkirche Flachau, 2020 Böhringer 12.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Pfarrkirche Flachau, Indoor, 2020 Böhringer 05.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Schalzbach Vorsäss 2020 Böhringer.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) St Nikolaus, Damüls 2020, Böhringer 01.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) St Nikolaus, Damüls 2020, Böhringer 02.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) St Nikolaus, Damüls 2020, Böhringer 06.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Villa Raczynski Bad, Bregenz, 2020 Böhringer.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Wirmbodenvorsäß Schnepfau, Böhringer 03.JPG | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Wirmbodenvorsäß Schnepfau, Böhringer 04.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Wirmbodenvorsäß Schnepfau, Böhringer 05.jpg | Böhringer , Pl. 8 , Pl. WLM 1 , (Anz.: 34 ) Rettenegg - Schwarzriegelmoos.JPG | Bwag , Pl. WLE , (Anz.: 6 ) Riegersburg - Burg, Westansicht.JPG | Bwag , Pl. WLE , (Anz.: 6 ) Strobl - Sparber.JPG | Bwag , Pl. WLE , (Anz.: 6 ) Wien - Arik-Brauer-Haus, Fliesenbild rechts.JPG | Bwag , Pl. WLE , (Anz.: 6 ) Wien - Wotrubakirche (0).JPG | Bwag , Pl. WLE , (Anz.: 6 ) Windischgarsten - Panorama in Richtung WSW.JPG | Bwag , Pl. WLE , (Anz.: 6 ) Ellmau im Spätsommer - September 2020.jpg | Deborah1979 , (Anz.: 1 ) Zusammenfluss von March und Thaya, Dreiländereck AT-CZ-SK 01.jpg | Doronenko , Pl. 6 , (Anz.: 1 ) Anderlfabrik bei Kleedorf - Arbeitersiedlung 2020-05.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Anderlfabrik bei Kleedorf - Innenhof I 2020-05.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Anderlfabrik bei Kleedorf - Innenhof II 2020-05.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Anderlfabrik bei Kleedorf - Innenhof III 2020-05.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Bildsäule bei Jarolden 2019-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Bildstock Friedhofstraße Hoheneich 2020-07.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Bildstock St Pölten Karlstettner Straße 2020-06.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Dreifaltigkeitssäule bei Allentsteig 2020-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Ehem. Palmenhaus Gmünd 2020-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Friedhof in Litschau I 2019-10.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Grabmal August Dötz Friedhof Allentsteig.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Großhaselbach (Gemeinde Schwarzenau, NÖ) 2020-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Hamerlinghaus Kirchberg am Walde 2020-06.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Kartäusersäule am Zellerrainpass 2020-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Kath. Pfarrkirche Mariä Himmelfahrt in Langegg 2019-10.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Kleiner Fuchsteich bei Hirschbach 2020-05 NDM GD-066.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Marterl bei Sarning 2019-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Marterl für Frieden in Freiheit in Dietmanns 2020-09.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Mohnfeld bei Waldenstein 2020-07.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Mohnfeld bei Waldenstein Detail 2020-07.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Ortskapelle in Eulenbach (Vitis) 2020-05.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Pfarrkirche Langschwarza 2020-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Rossatz vom Panoramaweg 2020-06.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Schneider-Marterl bei Waldenstein 2020-09.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Schüttkasten, Aussiedlermuseum in Allentsteig II 2020-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Schwäne am Grafenteich bei Ullrichs 2020-05.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Wegkreuz Thaya 2019-08.jpg | Duke of W4 , Pl. 3 , Pl. 9 , (Anz.: 27 ) Bürmoos - Bürmooser Moor - Grundlose Straße - 2015 03 24 - 1.jpg | Eweht , (Anz.: 2 ) Salzburg - Gneis - Kommunalfriedhof - 2020 08 12-3.jpg | Eweht , (Anz.: 2 ) Riegerbsurg.jpg | Franz Hafner , (Anz.: 2 ) Schloss Schielleiten.jpg | Franz Hafner , (Anz.: 2 ) Radweg Friedensbrücke.jpg | FtCat , Pl. 4 , (Anz.: 1 ) Dürnstein - Burgruine mit Stadtmauer.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Dürnstein - Schloss donauseitig.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Dürnstein - Stift mit Kirche Maria Himmelfahrt und Stadtmauerteil.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Gaming-Altenreith - Grabner-Hammer - 2.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Gaming-Neuhaus - Ortsansicht - 1.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Grafenegg - Schlosspark - 3 Platanen - 2.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Grafenegg - Schlosspark - Balance Capsule von Little Warsaw 2008.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Grafenegg - Schlosspark - Eiskeller.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Grafenwörth - Stupa am Wagram - 1.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Granatspitzgruppe - Bretterwandspitze und Kendlspitze.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Innergschlöss - Blick aus Innergschlöss zum Vorderen Kesselkopf 2718 m.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Innergschlöss - Gschlössbach und Vorderer Kesselkopf.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Innergschlöss - Spielplatz beim Venedigerhaus.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Innergschlöss - Venedigerhaus - TKK 53965.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Kilb - Zunftbaum - 1.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Kilb-Kettenreith - Feuerwehr - Bassena mit echten Wasserhähnen - 1.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Kilb-Kettenreith - Feuerwehr - Bassena mit echten Wasserhähnen - 2.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Losenstein - Schieferstein (1206 m) von der Hohen Dirn aus.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Lunz am See - Friedhof - 2 - Grab von Wilhelm Mathes.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Lunz am See - Schloss Seehof - Westtrakt mit Sonnenuhr.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Lunz am See - Wehr am Seebach.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Lunz am See - Zellerhof - 1.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Matrei - Bauernhaus Maurer - TKK 17048.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Matrei - Brunnen mit Skulptur Der Goashandel - 2.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Matrei - Schloss Weißenstein - 1 - von der Lourdeskapelle aufgenommen.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Matrei-Ganz - Nikolauskirche - 01.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Matrei-Ganz - Nikolauskirche - 02.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 11 - Wasserfall des Schlatenbachs.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 14 - Schlatenbach.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 17 - Schlatenbach.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 21 - Rastplatz am Weg und der Vordere Kesselkopf.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 25 - Salzbodensee.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 28 - Auge Gottes - Moränen.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 34 - Schlatenkees (oder was im Sommer 2020 noch davon übrig ist).jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 41 - Schlatenbach.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 42 - Brücke über den Schlatenbach.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 44 - Weg über den Gletscherschliff.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 45 - Wegmarkierung am Gletscherschliff.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 51 - Gschlösstal.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 52 - Kristallwand aus NNO.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 53 - Keesbach.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 56 - Vorderer und Hinterer Plattenkogel - Viltragen- Schlaten- und Gschlössbach.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 57 - Abstieg über den Fuß des Vorderen Kesselkopfs.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 58 - Ziegenbock (vermutlich Pinzgauer).jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 59 - Saanen-Ziegenbock.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Gletscherweg Innergschlöß - 65 - Venedigergruppe mit der großen Ufermoräne des Schlatenkees.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Nationalpark Hohe Tauern - Granatspitzgruppe von Nussingkogel bis Kalser Höhe.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Naturpark Ötscher-Tormäuer - Baum frisst alten Wegweiser.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Naturpark Ötscher-Tormäuer - Ötscherbach - 01.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Naturpark Ötscher-Tormäuer - Ötscherbach - 02.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Naturpark Ötscher-Tormäuer - Ötscherbach mit Schusterwand (975 m).jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Rossatz - die Smaragdeidechse schaut mit schiefem Kopf Richtung Dürnstein.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Rossatz-Arnsdorf - Dunkelsteinerwald - 2.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Rossatz-Arnsdorf - Dunkelsteinerwald - 3.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Venedigergruppe - Pegömlspitze bis Bretterwand.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Venedigergruppe - Waldköpfl - Pemöglspitze - Bretterspitze - Ochsenbug - Bretterwand - Hintereggkogel.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Virgen - Isel - im Hintergrund der Klaunzer Berg in Matrei.jpg | Haeferl , Pl. WLE , (Anz.: 57 ) Brauereianlage Laa 9007.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Burganlage Laa 9045.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Christus auf dem Ölberg Baden 0183.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Gärtnerhaus Baden 0040.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Hoffmannmühle Laa 9036.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Kartause Aggsbach 8384.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Kartause Aggsbach 8388.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Kreuzigungsgruppe Baden 9971.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Landesgalerie Niederösterreich 1259 223.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Landesgalerie Niederösterreich 1260 220.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Pfarrkirche Laa 9078.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Schloss Schallaburg 0193.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Schloss Schönau 6763.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Schloss Weikersdorf 9991.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Schloss Weikersdorf 9992.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Schloss Weikersdorf 9993.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Schlosspark Schönau 6748.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Tempel der Nacht 9614.jpg | Hamster28 , (Anz.: 18 ) Karlskirche im Oktober, Wien.jpg | HarkOlufs02 , (Anz.: 1 ) 201502 Raiffeisen-Holding Hochhaus.jpg | HatschiKa , (Anz.: 1 ) Kölnbreinspeicher mit Stausee und Wanderweg.jpg | Henry1951 , Pl. WLM 2 , (Anz.: 1 ) 020200409 Villa Siegfried Trebitsch - door.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Ausgelitten. Grave of family Wellmann, Tonko at Hietzinger Friedhof.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Bust of Oskar Kokoschka by Alfred Hrdlicka.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Friedhofskapelle Bleiburg 02.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Grave Anton Gassauer and family.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Grave of Friedrich Beck, Hietzinger Friedhof 02.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Grave of Georg Grassl, Tittel 01.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Grave of Moriz Reithoffer & Maria Budischowsky, Hietzinger Friedhof 04.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Hietzinger Friedhof - mother of Carl Kundmann 02.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Hotel Bergwirt, Vienna 03.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Kirche St Agnes (Völkermarkt) 2.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Mural by Jörg Hartig, Idlhofgasse 52, Graz.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Naglergasse COVIDed.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Pfarrkirche St. Nikolai, Ruden 11.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Pfarrkirche St. Valentin, Glainach 01.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Red boat, Ebenthal.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Thurn-Valsassina graves, Friedhof Bleiburg 01.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Vordere Zollamtsstraße 9 & 11, Vienna.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Vordere Zollamtsstraße 9, Vienna.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) VZA1 (Vordere Zollamtsstraße 7), Vienna 01.jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Wiener Naturdenkmal 836 - Pyramideneiche, Weidlichgasse 17 (03).jpg | Herzi Pinki , Pl. WLM 7 , (Anz.: 21 ) Bauernhaus Klausengut, Hollersbach 13, 5731 Hollersbach im Pinzgau.jpg | HGT64 , (Anz.: 6 ) Burgruine Kaprun, Schloßstrasse 55, 5710 Kaprun.jpg | HGT64 , (Anz.: 6 ) Kösserhäusl, Kössler 21, 5611 Großarl.jpg | HGT64 , (Anz.: 6 ) Pfarrkirche Heiliger Vinzenz und Friedhof, bei Hof 41, 9844 Heiligenblut.jpg | HGT64 , (Anz.: 6 ) Schifferkapelle, Uferstrasse, 5110 Oberndorf bei Salzburg.jpg | HGT64 , (Anz.: 6 ) Wegkapelle Heiliger Johannes Nepomuk, Mattseer Landesstrasse, 5163 Mattsee.jpg | HGT64 , (Anz.: 6 ) Episyrphus balteatus on Campanula rotundifolia.jpg | IntelTesla , (Anz.: 6 ) Hohe Achsel.jpg | IntelTesla , (Anz.: 6 ) Innergschlöss.jpg | IntelTesla , (Anz.: 6 ) Kristallwand von Nordosten.jpg | IntelTesla , (Anz.: 6 ) Umbaltal2.jpg | IntelTesla , (Anz.: 6 ) Wildenkogel, aufgenommen vom innerem Knorrkogel.jpg | IntelTesla , (Anz.: 6 ) Aggsbach Kartause Hof-3447.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Aggsbach Kartause Kreuzgang-3470.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Aggsbach Kartause Meditationsgarten-3477.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Bad Hall Kurpark Brunnen-1434.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Bad Hall Kurpark WC-Anlage GstNr 683-1-1446.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Bad Hall Kurpromenade Marienhof-1441.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Bad Hall Kurpromenade Trinkhalle-1438.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Buchkirchen Friedhof-9342.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Enns Georgenberg Burgstall-5922.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Enns Schloss Ennsegg Bogengang-5926.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Fischlham Pfarrkirche Chor Fischerkanzel-0359.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Fischlham Pfarrkirche Fischerkanzel-0348-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Fischlham Pfarrkirche hl Petrus-0385.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Gmunden Franz-Josefs-Platz Der Gnom mit dem Bergkristall Heinrich Natterer-0390.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Gmunden Rathaus Portal-0398.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Gmunden Rathaus-0397.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Burg Doppelwendeltreppe-2620.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Dom Gewölbe Seitenschiff mitte rechts-5146.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Dom Orgelempore-5132.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Franziskanerkirche 20191204-5187.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Katharinenkirche Mausoleum Interior-4501.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz St. Andrä Andreaskapelle-4461.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Stadtpfarrkirche Advent 2019-5179.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Stiegenkirche Altar 2019-5172.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Graz Stiegenkirche Portal 2019 2-5169.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Großer und Kleiner Pyhrgas-4401.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Grünburg ehemaliges Messererhaus in Untergrünburg Beichaberg 8-0644.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Grünburg Rinnerberger Wasserfall-9568.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Grünburg Untergrünburg Breichaberg 8 Fenstergitter-0648.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kirchschlag view to SW-3574.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Krems Stein Felsenbrunnen-3427.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Krems Stein Pfarrkirche-3424.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Krems Stein Großer Passauerhof-3405.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Krems Stein Linzer Tor-3417.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Krems Stein Stadtmauer Plumpertor-3431.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Kirchberg Sankt Stephan Hauptaltar-0205-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Kirchberg Sankt Stephan Mittelschiff-0211.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Kirchberg Sankt Stephan Mittelschiff-0213.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Kirchberg Sankt Stephan Orgelempore-0198.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Stift Garten mit Feigenhaus-0215.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Stift Gartenhaus Moschee-3020.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Stift Gattersäge-3007.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Stift Gattersäge-3010.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Stift Ginkgo Maierhof-3057.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Stift Konventgarten-3040.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Kremsmünster Stift Sternwarte Portal-3039.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Linz Altstadt 10 und 12-5537.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Linz Promenaden Galerien-5556.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Melk Stift Mittelrisalit Ostfassade-3550.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Melk Stift Prälatenhof Brunnen-3561.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Micheldorf Altpernstein-5596-5599.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Micheldorf Altpernstein-5600-5605.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Micheldorf Burg Altpernstein Hof mit Marmorbrunnen-0322-3.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Neuhofen ad Krems Figurenbildstock hl. Johannes Nepomuk-0277.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Ottensheim Pfarrkirche Chor-3793.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Pregarten Landschaftsschutzgebiet Feldaist Felsnase-4586.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Pregarten Landschaftsschutzgebiet Feldaist Jahnsteg-4563.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Pregarten Landschaftsschutzgebiet Feldaist Wollsackverwitterung-4628.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Pregarten Landschaftsschutzgebiet Feldaist-4600.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Retz Kalvarienberg-6573-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Retz Kalvarienberg-6576-3.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Retz Windmühle-6567-3.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Salzburg Kajetanerkirche Kuppel Troger-4232.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Salzburg Kajetanerkirche rechter Seitenaltar-4279.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Salzburg Katakomben Gertraudenkapelle1-4309.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Salzburg Katakomben Gertraudenkapelle-4333.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Salzburg Katakomben Maximuskapelle-4342.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Salzburg Petersfriedhof mit Katakomben-4295.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Sankt Ulrich bei Steyr Hönigmayr-Wiese-9678-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Schönbühel-Aggsbach Ruine Aggstein Tor zum inneren Hof-3542.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Schönbühel-Aggsbach Ruine Aggstein-3483.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Schönbühel-Aggsbach Ruine Aggstein-3492.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Schönbühel-Aggsbach Ruine Aggstein-3495.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Selzthal ÖBB 2070 043-4201.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Sipbachzell Pfarrkirche hl Margareta Fenster rechts-0518.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Sipbachzell Pfarrkirche hl Margareta Orgelempore-0526.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spital am Pyhrn Schmiede Lindermayr-7092.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Bildstock beim Roten Tor-3290.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Burgbergturm-3161.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Der Spitz-9180.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Dreifaltigkeitsbrunnen-9192.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Klauberhof-3188.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Rampe mit Gußeisengeländer-3253.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz vom Roten Tor-3303.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Weinberg Singerriedl-3279.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Spitz Weinberg Singerriedl-3319.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Stein Nepomuk-3404.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr Friedhof Priestergrab-0587.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr Friedhofsportal-0559.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr Gemeindeamt Haus im Aigen-0626.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr Hochgasse-0628-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr Ortsbrunnen-0623.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr von oberhalb des Friedhofs-0581.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr-0541.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steinbach an der Steyr-0638.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steyr Brucknerstiege-0982-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steyr Enns Steyrmündung-5485.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steyr Ennssteg-5479.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steyr Werndldenkmal Schmied-0999-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steyr Werndldenkmal Tischler-1005-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Steyr Werndldenkmal-0992.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Tobelbad Festsaal Fresco-stitched.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Johannesberg Danksagung-0457.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Pfarrhof ehemaliges Jesuitenkloster Innenhof-0460.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Pfarrhof ehemaliges Jesuitenkloster Tor zum Innenhof-0459.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Pfarrhof ehemaliges Jesuitenkloster-0431.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Pfarrkirche Mariä Krönung Chor-416-2.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Pfarrkirche Mariä Krönung Fischerkanzel-0409.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Pfarrkirche Mariä Krönung Friedhof-0443.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Traunkirchen Pfarrkirche Mariä Krönung-0447.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Ulrichsberg Bärenstein Aussichtspunkt-3692 01.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Ulrichsberg Bärenstein Aussichtspunkt-3692 03.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen Alte Post Arkadenhof-9395.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen an der Ybbs Rothschildschloss-9371.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen an der Ybbs vom Burgfried Rothschildschloss-9491.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen Freisingerberg Forellenbrunnen-9390.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen linkes Ybbsufer ab Zeller Brücke nach nordwest-9441.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen Mariensäule-9380.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen Paul Rebhuhngasse 2-9384.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen rechtes Ybbsufer ab Zeller Brücke nach südost -9433.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen Unterer Stadtplatz 39-9407.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen Unterer Stadtplatz 44-9408.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Waidhofen Ybbsaufwärts vom Schlosssteg-9455.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Wartberg ob der Aist Kalvarienberg Mahnmal Menschenjagd 1945-4693.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Wartberg ob der Aist Kalvarienbergkapelle-4679.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Wartberg ob der Aist Kalvarienbergkapelle-4696.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Wels Pfarrkirche Chor-5938.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Wien Nationalbibliothek Antiphonar von St. Peter-4774.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) Wien Nationalbibliothek Glockendons luxuriöses Gebetbuch-4767.jpg | Isiwal , Pl. 7 , (Anz.: 129 ) WTM Type K (2319) Wien 25 July 2020 JM (1).jpg | Johannes Maximilian , (Anz.: 1 ) Ruine Hinterhaus Sept 2020 1.jpg | Kasa Fue , (Anz.: 3 ) Ruine Hinterhaus Sept 2020 2.jpg | Kasa Fue , (Anz.: 3 ) Strasshof an der Nordbahn Denkmal Durchgangslager Sept 2020 2.jpg | Kasa Fue , (Anz.: 3 ) Kalvarienberg-Kapelle Eisbach 01.jpg | Liuthalas , (Anz.: 2 ) Kapelle Am Kirchberg Deutschfeistritz.jpg | Liuthalas , (Anz.: 2 ) Reither Moor 05.jpg | Luftschiffhafen , (Anz.: 2 ) Wildsee Seefeld 05.jpg | Luftschiffhafen , (Anz.: 2 ) WagramWagram Wora13.jpg | Maclemo , Pl. WLM 5 , (Anz.: 1 ) Schlossmuseum des Oberösterreichischen Landesmuseums 01.jpg | Makupix , (Anz.: 1 ) Ferdinand-Löwe-Steg 04.jpg | Man77 , Pl. WLM 9 , (Anz.: 5 ) Heldendenkmal der Roten Armee, Schwarzenbergplatz, Detail in der Abendsonne 01.jpg | Man77 , Pl. WLM 9 , (Anz.: 5 ) Heldendenkmal der Roten Armee, Schwarzenbergplatz, Detail in der Abendsonne 03.jpg | Man77 , Pl. WLM 9 , (Anz.: 5 ) Pfarrkirche Regau - von Marktplatz.jpg | Man77 , Pl. WLM 9 , (Anz.: 5 ) Votivkirche Wien Detail 03.jpg | Man77 , Pl. WLM 9 , (Anz.: 5 ) Sonnenaufgang im Weinviertel 5-11.JPG | Manuela , (Anz.: 1 ) MariensäuleHauptplatzVoitsberg.jpg | Menschistmensch , (Anz.: 1 ) Villa Sonnwend, Roßleithen, Ausblick 02.jpg | Meru7 , (Anz.: 1 ) Brunnen „Der Gesang“ 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Brunnenfigur Wörtherseemandl Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Getreidekasten, Josefhube Pitzelstätten von Süden 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Ginkgobaum im Landhauspark Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Jubiläums-Stadttheater Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Künstlerhaus Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Landhaus Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Mammutbaum im Landhauspark, Urweltmammutbaum Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Obeliskenbrunnen Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Pavillon (ehem. Pissoir) Front Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Spanheimerbrunnen Klagenfurt 2020.jpg | Mikesvirtualalterego , (Anz.: 11 ) Panorama vom Wagendrischelhorn.jpg | Milseburg , (Anz.: 1 ) WLM - 2020 - Kunsthistorisches Museum - Die Decke des Eingangsbereichs.jpg | Moahim , Pl. WLM 4 , (Anz.: 6 ) WLM - 2020 - Minoritenkirche im Winter.jpg | Moahim , Pl. WLM 4 , (Anz.: 6 ) WLM - 2020 - Schloss Belvedere - Oberes Belvedere im Winter.jpg | Moahim , Pl. WLM 4 , (Anz.: 6 ) WLM - 2020 - Schloss Schönbrunn - Kronprinzengarten - 01.jpg | Moahim , Pl. WLM 4 , (Anz.: 6 ) WLM - 2020 - Schloss Schönbrunn - Kronprinzengarten - 02.jpg | Moahim , Pl. WLM 4 , (Anz.: 6 ) WLM - 2020 - Wiener Musikverein bei Nacht.jpg | Moahim , Pl. WLM 4 , (Anz.: 6 ) Kenyeri Mühle.jpg | Monika Schöndorfer , (Anz.: 4 ) Morgendämmerung Katholische Kirche.jpg | Monika Schöndorfer , (Anz.: 4 ) Rechnitz Weinbergstrasse.jpg | Monika Schöndorfer , (Anz.: 4 ) Storch Markt Neuhodis.jpg | Monika Schöndorfer , (Anz.: 4 ) Holzzaun Mitterfeldalm (1670 m ü.A.), Mühlbach am Hochkönig, Salzburg.jpg | Naturpuur , (Anz.: 2 ) Naturpark Riedingtal in Zederhaus.jpg | Naturpuur , (Anz.: 2 ) Burg Stein Lavanttal 01.jpg | Niki.L , Pl. Natur 1 , Pl. WLM 6 , (Anz.: 5 ) Hörzendorfer See im Winter 01.jpg | Niki.L , Pl. Natur 1 , Pl. WLM 6 , (Anz.: 5 ) Hörzendorfer See im Winter 02.jpg | Niki.L , Pl. Natur 1 , Pl. WLM 6 , (Anz.: 5 ) Kellergasse Schemming 06.jpg | Niki.L , Pl. Natur 1 , Pl. WLM 6 , (Anz.: 5 ) Schwebende Burg Hochosterwitz.jpg | Niki.L , Pl. Natur 1 , Pl. WLM 6 , (Anz.: 5 ) Philipp Frankl grave, Vienna, 2020 (1).jpg | Papergirl , (Anz.: 1 ) Gosau paul jaeg n31-2020.jpg | Pauljaeg , (Anz.: 1 ) Catedral de San Esteban, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 80.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Estatua de María, puente de María, Viena, Austria, 2020-02-01, DD 02.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Iglesia de San Carlos Borromeo, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 164-166 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Iglesia de San Carlos Borromeo, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 167-169 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Iglesia de San Pedro, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 89-91 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Iglesia parroquial de Maria Hietzing, Viena, Austria, 2020-02-02, DD 55-57 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Kursalon Hübner, Stadtpark, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 105-107 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Kursalon Hübner, Stadtpark, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 108-110 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Kursalon Hübner, Stadtpark, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 114-116 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Michaelertrakt, Hofburg, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 130-132 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Michaelertrakt, Hofburg, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 133.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Monumento a Johann Strauss, Stadtpark, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 102-104 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Monumento a Johann Strauss, Stadtpark, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 95.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Museo de Historia Natural, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 155-157 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Musikverein, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 170-172 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Palacio Belvedere, Viena, Austria, 2020-02-01, DD 87-89 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Palacio Belvedere, Viena, Austria, 2020-02-01, DD 90-92 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Palacio Belvedere, Viena, Austria, 2020-02-01, DD 93-95 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Stadtbahnpavillons Karlsplatz, Viena, Austria, 2020-01-31, DD 158-160 HDR.jpg | Poco a poco , (Anz.: 19 ) Forchtenstein castle, Burgenland, Austria 01.jpg | Pudelek , (Anz.: 2 ) Haydnsaal, Eisenstadt.jpg | Pudelek , (Anz.: 2 ) Eingangsportal der Filialkirche Stadlkirchen.jpg | Robert210365 , Pl. 1 , Pl. Gemeingut 1 , (Anz.: 6 ) Feuerwehrhaus Dietach.jpg | Robert210365 , Pl. 1 , Pl. Gemeingut 1 , (Anz.: 6 ) Gesamtansicht mit Johanneskapelle.jpg | Robert210365 , Pl. 1 , Pl. Gemeingut 1 , (Anz.: 6 ) Gotischer Taufstein der Stadtpfarrkirche Steyr.jpg | Robert210365 , Pl. 1 , Pl. Gemeingut 1 , (Anz.: 6 ) Innenansicht der Stadtpfarrkirche Steyr.jpg | Robert210365 , Pl. 1 , Pl. Gemeingut 1 , (Anz.: 6 ) Sonnenlicht im Kirchenraum Filialkirche Stadlkirchen.jpg | Robert210365 , Pl. 1 , Pl. Gemeingut 1 , (Anz.: 6 ) Gottestal Pfarrkirche Hochaltar.jpg | Rollroboter , (Anz.: 1 ) Butzensee Bergpanorama.jpg | Saibo29 , (Anz.: 3 ) Formarinsee Panorama.jpg | Saibo29 , (Anz.: 3 ) Obere Gipslöcher.jpg | Saibo29 , (Anz.: 3 ) KG Ederding 01.jpg | Schurdl , (Anz.: 6 ) KG Grünz 01 kl.jpg | Schurdl , (Anz.: 6 ) KG Herzogenburg Os 01.jpg | Schurdl , (Anz.: 6 ) KG Plank 03.jpg | Schurdl , (Anz.: 6 ) KG Rottersdorf 03.jpg | Schurdl , (Anz.: 6 ) Wasserburger Kellergasse WB02.jpg | Schurdl , (Anz.: 6 ) Admonter Haus (20200918 101514).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Admonter Haus (20200918 140523).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Axamer Lizum Sunnalm (20181222 110927).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Bad Ischl Bahnhof (20200425 154143).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Bahnhof Gstatterboden (20200919 162309).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Bahnhof Gstatterboden (DSC07469).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Bahnhof Matrei am Brenner (DSC06215).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Bettelwurfhütte (20200815 104725).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Birgitz Birga (IMG 20200930 144200).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Birgitz Birga (IMG 20200930 144233).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Birgitz Dorfplatz (IMG 20201001 103554).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Birgitz Kapellenweg 2 (IMG 20201001 104122).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Birgitz Obergasse 19 (IMG 20200930 143639).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Blick auf Zirl (DSC06208).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Buchsteinhaus (20200919 140336).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Dachstein-Südwandbahn (20200922 144258).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Dachstein-Südwandbahn (20200922 145923).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Eisenerz (DSC07369).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Eisenerz (DSC07377).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Eisenerz Altes Rathaus (DSC07355).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Friedhof Birgitz (IMG 20201001 104504).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Gasthaus zum Radmeister (20200917 151715).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Grabneralm Schaukäserei (20200918 164605).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Grinzens (IMG 3295).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Grinzens (IMG 3310).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Grinzens (IMG 3320).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Gschnitzer Tribulaun Gipfelkreuz (20200725 181213).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Hexenturm (20200918 133905).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Hexenturm (DSC07443).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Hexenturm Gipfelkreuz (20200918 114030).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Innsbruck-Innrain52-Denkmal (20200608 180731).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Inzingeralm (20200726 125634).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Johnsbach (20200916 163713).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Kirchberger Alm (20200820 194037).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Lindenkapelle Axams (IMG 3366).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Neuer Friedhof Trins (20200727 163007).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Peter-Tunner-Straße 2 (20200917 145113).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Peter-Wiechenthaler-Hütte (DSC07063).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Pfarrkirche Birgitz (IMG 20200930 142211).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Radwerk IV Vordernberg (20200917 144852).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Rathaus Vordernberg (20200917 160337).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Rathaus Vordernberg (20200917 160410).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Riemannhaus (20200909 192101).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Roßkogel von Birgitz (IMG 20200930 145212).jpg | Simon04 , (Anz.: 44 ) Hl. Franziskus mit Wolf von Gubbio.jpg | Siwootgmailcom , (Anz.: 1 ) Ahbergkapelle, St. Georgen im Attergau 5.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Ahbergkapelle, St. Georgen im Attergau 6.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Albertina, Flur, Wien 01.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Danubiusbrunnen, Wien 01.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Danubiusbrunnen, Wien 02.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Figurenbildstock Maria Immaculata, Kirchberg am Wechsel.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kalvarienbergkapelle Gosau, Innenansicht.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Katholische Pfarrkirche Hl Sebastian, Gosau 1.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kirche St. Koloman, Kolomansberg, Oberösterreich Westseite.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kirche, St. Georgen im Katschtal 1.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kirche, St. Georgen im Katschtal 4.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kirche, St. Georgen im Katschtal 5.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kraftwerk Steyrdurchbruch Ansicht 1.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kraftwerk Steyrdurchbruch Ansicht 2.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kraftwerk Steyrdurchbruch Ansicht 3.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Kranichberg Burg und Nebengebäude 02.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Pfarrkirche Kranichberg und Friedhof.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Pfarrkirche, Attersee am Attersee mit Pfarrhaus und Linden, sowie keltischem Schutzwall.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Philips-Haus, Triester Straße 64 V1.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Prunkräume, Empfangssalon, Albertina, Wien.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Prunkräume, Musensaal Albertina, Wien 1.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Prunkräume, Musensaal, Albertina, Wien 2.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Riede Himmel, Wien Liesing 1.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Römerwand, Hinterbrühl 2.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Römerwand, Hinterbrühl 4.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Schloss Schönbrunn, Nordseite 3.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Schottwien, Schottstelle.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) Taferlklaussee Ansicht 1.jpg | Stefan Fadinger , Pl. 2 , Pl. WLM 3 , (Anz.: 28 ) BadBleiberg36 Mühlbacherhaus.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) BadBleiberg48 Park Lawinendenkmal.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Debanttal8 Schäferhütte.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Eisenerz07 Rathaus.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Eisenerz10 Bergmannsplatz6.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Eisenerz16 Bergmannsplatz4.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Goldeck06 Staff.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Graz023 AußengestaltungReSoWi.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Graz037 Kommodhaus.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Hinterstoder52 Steyrursprung.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Kobenz20 Grüngrabenkreuz.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Liezen01 KreisverkehrFeuerwehr N.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Liezen02 KreisverkehrFeuerwehr N.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Stainach21 Gindlhorn Hechlstein.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Stainach24 Gindlhorn Mitterndorf.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Stainach26 Gindlhorn Tauplitz.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) StPeter Freienstein Marktplatz1.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Wangenitzsee1.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Wangenitzsee17 Eisenhut.jpg | TheRunnerUp , Pl. 10 , Pl. WLE , (Anz.: 19 ) Almspitz Mündung der Alm in die Traun 20200909.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Elmsee Pühringer Hütte Totes Gebirge 20080728a.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Grasberg im Abendlicht 20090516.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Grimming im Abendlicht 20200704.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Großes Tragl Gipfelkreuz Totes Gebirge 20200706.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Jagdhütte Bartlrücken Totes Gebirge 20200704.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Neustein Graswand Totes Gebirge 20060715.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Nigritella spec Gamsspitz Totes Gebirge 20200705.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) NSG Almauen Penningersteg 20200919.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Prielgruppe Panorma Totes Gebirge 20200704.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Schoberriegel Gipfelkreuz 20200817.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Schwarzensee Totes Gebirge 20200704.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Spitzenbergalm, Hengstpass, Österreich.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Steirersee Totes Gebirge 20200704b.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Steirerseehütten Sturzhahn Totes Gebirge 20200704.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Steirischer Ölkürbis Feld Allhaming 20200911b.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Steyrsbergerreith Totes Gebirge 20200920a.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Steyrsbergerreith Totes Gebirge 20200920b.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Traunstein Höllengebirge 20090824.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Traweng Totes Gebirge 20200704.jpg | Tigerente , Pl. WLE , (Anz.: 20 ) Breitenseer Lichtspiele Wien 2020-03-28 nachts 4.jpg | Tsui , Pl. 5 , Pl. Öffentliche Kunst 1 , (Anz.: 7 ) Breitenseer Lichtspiele Wien 2020-03-28 nachts 5.jpg | Tsui , Pl. 5 , Pl. Öffentliche Kunst 1 , (Anz.: 7 ) Eichhörnchen (Sciurus vulgaris) Konstantinhügel Wiener Prater 2020-07-12 d.jpg | Tsui , Pl. 5 , Pl. Öffentliche Kunst 1 , (Anz.: 7 ) Marie Spaemann Popfest 2020-07-26 04.jpg | Tsui , Pl. 5 , Pl. Öffentliche Kunst 1 , (Anz.: 7 ) Marie Spaemann Popfest 2020-07-26 05.jpg | Tsui , Pl. 5 , Pl. Öffentliche Kunst 1 , (Anz.: 7 ) Station Karlsplatz Wien 2020-07-25 Bahnsteig U2 d.jpg | Tsui , Pl. 5 , Pl. Öffentliche Kunst 1 , (Anz.: 7 ) Wien Museum Karlsplatz Popfest 2019-07-26 337.jpg | Tsui , Pl. 5 , Pl. Öffentliche Kunst 1 , (Anz.: 7 ) Friedhofskirche zum heiligen Karl Borromäus (Tudoi61) 2.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Friedhofskirche zum heiligen Karl Borromäus (Tudoi61).jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Justizpalast (Tudoi61) 2.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Justizpalast (Tudoi61) 3.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Justizpalast (Tudoi61) 6.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Justizpalast (Tudoi61) 7.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Justizpalast (Tudoi61)1.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Leopoldinentempel-Eisenstadt (Tudoi61) 6.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Leopoldinentempel-Eisenstadt (Tudoi61).7.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Leopoldinentempel-Eisenstadt (Tudoi61)1.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Leopoldinentempel-Eisenstadt-(Tudoi61) 2.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) MUSEUM MÖDLING THONETSCHLÖSSL (Tudoi61) 1.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Sitzendorfer Kellergasse Hollabrunn (Tudoi61) 1.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Sitzendorfer Kellergasse Hollabrunn (Tudoi61) 10.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Sitzendorfer Kellergasse Hollabrunn (Tudoi61) 11.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Sitzendorfer Kellergasse Hollabrunn (Tudoi61) 13.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Sitzendorfer Kellergasse Hollabrunn (Tudoi61) 18.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Sitzendorfer Kellergasse Hollabrunn (Tudoi61) 2.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Sitzendorfer Kellergasse Hollabrunn (Tudoi61) 4.jpg | Tudoi61 , Pl. WLM 10 , (Anz.: 19 ) Graz-Straßgang. Blick vom Straßganger Friedhof auf Schloss und Kirche St. Martin.jpg | Turko Wilhelm , (Anz.: 1 ) Lavant St. Peter und Paul Hochaltar 01.jpg | Uoaei1 , (Anz.: 4 ) Lavant St. Peter und Paul Innenraum 01.jpg | Uoaei1 , (Anz.: 4 ) Lavant St. Peter und Paul Innenraum 02.jpg | Uoaei1 , (Anz.: 4 ) Maria Wörth Pfarrkirche 20200712 01.jpg | Uoaei1 , (Anz.: 4 ) Franzosenkreuz und Gstemmer, Planneralm.jpg | Waupo , (Anz.: 1 ) Eibesthal Marktweg-Neustift-Ohringergasse 07.jpg | Wolfgang glock , Pl. Kellergassen 1 , (Anz.: 4 ) Eibesthal Pfandnerweg 03.jpg | Wolfgang glock , Pl. Kellergassen 2 , (Anz.: 4 ) Kraftwerk Föhrenwald 03.jpg | Wolfgang glock , Pl. Kellergassen 3 , (Anz.: 4 ) Neubaugasse Neubauhof 02.jpg | Wolfgang glock , Pl. Kellergassen 4 , (Anz.: 4 ) St. Anna im Steinbruch 2.jpg | Xenophon , (Anz.: 1 ) Wiener Zentralfriedhof 2020-01-30 4.jpg | Z thomas , (Anz.: 1 ) Blick von der Burgruine Wolkenstein auf Wörschach.jpg | Zamb20 , (Anz.: 3 ) Burgruine Wolkenstein.jpg | Zamb20 , (Anz.: 3 ) Leuchtturm Podersdorf.jpg | Zamb20 , (Anz.: 3 ) </gallery> 3v9w9emrf5du9grpvf2fyjjddcactqy 0 128943 1077678 1077477 2026-04-19T09:37:21Z A. Wagner 16035 /* April */ + 1077678 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == April == ;Frühjahrsputz beim Poenicke: <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] huarl5mxi8agzq5wiuavpabv0tuy4ko 2 160252 1077628 1075692 2026-04-19T05:29:35Z Paul Sutermeister 37610 1077628 wikitext text/x-wiki = 22. April 2026 = QV-Prüfung 2 Variante 1 = 29. April und folgende Kurstage = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''6. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''13. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''20. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''27. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''3. Juni''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} __________________________________________________________ = 11. Februar = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | B1 | Kommunizieren im Team |- | B2 | Zusammenarbeiten im Team |- | <span style="color:red;">D1</span> | <span style="color:red;">Kommunizieren im Team HKB B</span> |- | <span style="color:red;">D2</span> | <span style="color:red;">Zusammenarbeiten im Team HKB B</span> |} = 18. Februar = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | D 2 | '''Kundenbedürfnisse erfassen:''' [[:w:Kategorie:Customer-Relationship-Management|CRM]] |- |} == CRM-System und Verkaufsphasen == Wie kann ein ein Verkaufsprozess in einem CRM-System sinnvoll strukturiert werden? Der Fokus liegt nicht auf Verkaufstricks oder schneller Neukundenakquise, sondern auf dem systematischen Management von Kontakten, Terminen, Gesprächen und Angeboten. Das Thema richtet sich an Verkäufer:innen, Vertriebsmanager:innen und Gründer:innen. Schlecht definierte CRM-Phasen führen langfristig zu Unordnung und fehlender Übersicht. === Grundidee === Ein CRM-System soll den gesamten Verkaufsprozess transparent abbilden. Jede Phase steht für ein klares Ziel und hilft dabei, Leads systematisch weiterzuentwickeln oder korrekt auszusortieren. Ein '''Lead''' ist dabei eine einzelne Person bzw. ein potenzieller Ansprechpartner und nicht automatisch ein ganzes Unternehmen. === Die 10 Phasen im CRM-System === ;Phase 1: Qualifizieren Ein neuer Kontakt wird ins CRM aufgenommen und grob eingeschätzt. Ziel ist es festzustellen, ob der Kontakt grundsätzlich interessant ist. ;Phase 2: Termin setzen Der Kontakt ist nicht mehr vollständig „kalt“. Es wurde bereits gesprochen, und ein Rückruf oder Termin wird vorbereitet. ;Phase 3: Lösung finden Im Gespräch wird der Bedarf des Kunden analysiert. Ziel ist es, eine passende Lösung oder Dienstleistung zu identifizieren. ;Phase 4: Termin neu vereinbaren Wenn ein Termin ausfällt, wird der Kontakt in diese Phase verschoben, um ihn nicht aus dem Blick zu verlieren. ;Phase 5: Nicht qualifiziert Es wird klar, dass kein Geschäft möglich ist, z. B. wegen falscher Branche, fehlendem Bedarf oder nicht mehr existierender Firma. ;Phase 6: Verloren Der Kontakt war grundsätzlich interessant, aber es kam nicht zum Abschluss. Der Verlustgrund wird dokumentiert. ;Phase 7: Reaktivierung Verlorene Kontakte können nach einer bestimmten Zeit (z. B. 180 Tage) wieder in den Verkaufsprozess aufgenommen werden. ;Phase 8: Konvertieren Der Lead wird in eine Opportunity (Verkaufschance) umgewandelt. Ab diesem Punkt ist ein Geschäftsabschluss realistisch. ;Phase 9: Angebot senden Ein konkretes Angebot wird erstellt und an den Kunden versendet. ;Phase 10: Zusage erhalten Der Kunde gibt eine Rückmeldung oder ein Commitment. Danach entscheidet sich, ob der Deal gewonnen oder endgültig verloren ist. === Wichtige Empfehlungen === * CRM-Phasen sollten immer als '''Ziele''' formuliert sein, nicht als Tätigkeiten. * Zeitlimits pro Phase helfen, Stagnation zu vermeiden. * Automatisierungen und Erinnerungen verhindern, dass Leads vergessen gehen. * Sauber gepflegte Phasen ermöglichen Auswertungen, Reportings und Prozessoptimierungen. === Fazit === Ein klar strukturiertes CRM-System schafft Übersicht, Messbarkeit und Effizienz im Vertrieb und ist besonders wichtig, wenn Teams wachsen oder mehrere Personen mit denselben Kontakten arbeiten. == [[:w:Querverkauf|Cross Selling]] / [[:w:Upselling|Upselling]] == * Wo haben Sie Cross Selling / Upselling selbst als Kundin/Kunde erlebt? ::Haben Sie sich zum Kauf entschieden oder nicht? :::War das eine angenehme oder unangenehme Erfahrung? * Machten Sie im Praktikum Cross Selling / Upselling? == [[:w:Kundenbindung|Kundenbindung]] == [[:w:Laufkundschaft|Laufkundschaft]] versus [[:w:Stammkunde|Stammkunde]] = 25. Februar = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | A 4c | Kunst |- | D 3 | Informations- und Beratungsgespräche führen |- |} = 4. März = '''09:00 Uhr:''' Technik-Check: kurzer Check, ob das QV am PC bei allen Lernenden funktioniert (Daten herunterladen und hochladen) Loggen Sie sich in app.intensivtraining360.ch ein: Lernzielkontrolle > HKB… {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | A 3 | Themenbereich 3: Agieren im Berufsfeld - Netzwerke und [[:w:Selbstmarketing|Selbstmarketing]] |- | D 1 | Verkaufs- und Verhandlungsgespräche führen |- |} = 11. März = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | A 3 | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Netzwerke im kaufmännischen Bereich aufbauen und nutzen|Themenbereich 3 (sic, aber 2): Agieren im Berufsfeld Netzwerke und Selbstmarketing]] |- | D 5 | Anspruchsvolle Konflikt und -Reklamationsgespräche (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} * Sie arbeiten an Ihrem persönlichen Portfolio. (übergeordnetes Leistungsziel) == In welchen Situationen habe ich bereits (bewusst oder unbewusst) genetzwerkt? == Netzwerken bedeutet nicht nur formelle Kontakte oder Visitenkarten, sondern entsteht sehr häufig ganz nebenbei im Alltag. Die folgenden Situationen zeigen typische Momente, in denen bereits Networking stattfindet – oft unbewusst. === Beruf & Ausbildung === * Gespräche mit Kolleginnen und Kollegen im Unterricht, in Kursen oder Weiterbildungen * Austausch mit Dozierenden, Kursleitenden oder Prüfungsexpert:innen * Fragen stellen oder Unterstützung anbieten * Feedback geben oder erhalten * Kontakt zu ehemaligen Lernenden oder Kursteilnehmenden === Arbeitsplatz & Organisation === * Gespräche in der Kaffeepause oder beim Mittagessen * Kurze Begegnungen auf dem Gang oder im Büro * Gegenseitige Hilfe bei kleinen Problemen * Informeller Austausch über Herausforderungen im Arbeitsalltag === Kommunikation & Sichtbarkeit === * E-Mails mit persönlicher Anrede oder freundlichem Ton * Schnelle, zuverlässige Antworten * Weiterleiten von Informationen („Das könnte für dich interessant sein“) * Erstellen klarer, gut verständlicher Dokumente === Online & digital === * Kommentare oder Reaktionen auf Beiträge in sozialen Netzwerken * Teilnahme an Webinaren und anschliessende Rückfragen per E-Mail * Mitarbeit an Online-Projekten (z. B. Foren, Wikis, Lernplattformen) * Sichtbarkeit durch Profile, Signaturen oder Autorenhinweise === Veranstaltungen & informelle Anlässe === * Weiterbildungstage, Tagungen oder Konferenzen * Informationsabende oder schulische Anlässe * Gespräche vor oder nach offiziellen Programmpunkten * Zufällige Begegnungen beim Kommen oder Gehen === Alltag & Privatleben === * Sportverein, Musik, Ehrenamt * Nachbarschaft und Elternkontakte * Freundeskreis („Ich kenne da jemanden…“) * Smalltalk im Zug, im Café oder beim Einkaufen === Besonders wirksame, oft unterschätzte Situationen === * Jemandem helfen, ohne direkt etwas zu erwarten * Zuverlässig Aufgaben erledigen * Komplexe Inhalte verständlich erklären * Arbeit abnehmen oder Prozesse vereinfachen === Merksatz === ''Immer wenn dich jemand kennt, sich an dich erinnert oder dir vertraut, hast du genetzwerkt.'' = 18. März = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln|A 1]] | Portfolioarbeit: Ich als Privat- und Berufsperson VA (Vertiefungsarbeit) |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Anspruchsvolle Beratungs-, Verkaufs- und Verhandlungssituationen mit Kunden oder Lieferanten in der Landessprache gestalten|D 5]] | (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} = 25. März = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | D 5 | (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} = 1. April = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | D 5 | (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} = Allgemein = <!--Letztes Lehrjahr schulisch organisierte Grundbildung (SOG) anstelle betrieblich organisierten Grundbildung (BOG)--> Bei betrieblichen Qualifikationsverfahren-Simulationen (5 x 10 Min Teilaufgaben - Texte lesen) im vergangenen Dezember/Januar kam aus, dass die Lernenden Texte lesen, aber nicht verstehen (Zitat Jeffries). Fazit: Die Lernenden müssen lernen, mit physischen Dokumenten zu arbeiten. Das betriebliche Qualifikationsverfahren steht bevor (April/Mai, über Wochen hinweg), es wird nicht Open Book sein. Vorbereiten kann man sich mit der ''Nullserie Praktische Arbeit Kauffrau/Kaufmann EFZ DA'' der Interessengemeinschaft Kaufmännische Grundbildung Schweiz.<ref>[https://igkg.ch/kauffrau-kaufmann-efz-dienstleistung-und-administration/grundlagendokumente/ ''Aufgaben Nullserie Praktische Arbeit Kauffrau/Kaufmann EFZ DA.''] Interessengemeinschaft Kaufmännische Grundbildung Schweiz, 2023</ref> Wie trainieren wir Leseverständnis? Indem man Fragen beantwortet zu einem Text, Sachen markiert. Problem sind unklare Prioritäten. Beispiel: Zwei Personen machen einen kaufmännischen prozess, sie müssen Info übergeben, info von person a gelangt nicht zu person b, deshalb kann person b den auftrag nicht fertig ausschmücken. zeit schnittstellenproblem: zwei abteilungen, selbstmanagement: Hilfreich sind [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] und [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]] HKB A wird mit der Vertiefungsarbeit abgeschlossen sein.</br> HKB B, C und E werden schriftlich geprüft.</br> HKB D umfasst Critical Incidents und Diskussion: undefiniert ist, ob nur in Deutsch oder auch in Englisch.</br> Mit der HK 7 wird HKB-E (Schlatter) geprüft.</br> Die HK 8 ist eine Simulation des Qualifikationsverfahrens.</br> Die ''QV-Nullserie 1.1 Kaufleute EFZ 2023'' des [[:w:Kaufmännischer Verband Schweiz|Kaufmännischen Verbandes Schweiz]] ist eine gute Vorbereitung auf das Qualifikationsverfahren.<ref>[https://www.kfmv.ch/angebot/dienstleistungen/qv-uebungsserien/qv-uebungsserien-ab-lehrbeginn-2023 ''Schulische QV-Übungsserien ab Lehrbeginn 2023.''] [[:w:Kaufmännischer Verband Schweiz|Kaufmännischer Verband Schweiz]], 2023.</ref> = Einzelnachweise = <references /> <!--[[Benutzer:Paul Sutermeister/Critical Incident]] [[Benutzer:Paul Sutermeister/Verkaufsgespräch]] [[:w:Kofferklausur]] [[Benutzer:Paul Sutermeister/Prozess]]--> httwalkx17gzln6db0sn4s1woer4olf 1077670 1077628 2026-04-19T09:10:16Z Paul Sutermeister 37610 1077670 wikitext text/x-wiki = 22. April 2026 = QV-Prüfung 2 Variante 1: * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Canva|Flyer gestalten]] = 29. April und folgende Kurstage = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''6. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''13. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''20. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''27. Mai''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} '''3. Juni''' {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | | |- | | |- |} __________________________________________________________ = 11. Februar = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | B1 | Kommunizieren im Team |- | B2 | Zusammenarbeiten im Team |- | <span style="color:red;">D1</span> | <span style="color:red;">Kommunizieren im Team HKB B</span> |- | <span style="color:red;">D2</span> | <span style="color:red;">Zusammenarbeiten im Team HKB B</span> |} = 18. Februar = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | D 2 | '''Kundenbedürfnisse erfassen:''' [[:w:Kategorie:Customer-Relationship-Management|CRM]] |- |} == CRM-System und Verkaufsphasen == Wie kann ein ein Verkaufsprozess in einem CRM-System sinnvoll strukturiert werden? Der Fokus liegt nicht auf Verkaufstricks oder schneller Neukundenakquise, sondern auf dem systematischen Management von Kontakten, Terminen, Gesprächen und Angeboten. Das Thema richtet sich an Verkäufer:innen, Vertriebsmanager:innen und Gründer:innen. Schlecht definierte CRM-Phasen führen langfristig zu Unordnung und fehlender Übersicht. === Grundidee === Ein CRM-System soll den gesamten Verkaufsprozess transparent abbilden. Jede Phase steht für ein klares Ziel und hilft dabei, Leads systematisch weiterzuentwickeln oder korrekt auszusortieren. Ein '''Lead''' ist dabei eine einzelne Person bzw. ein potenzieller Ansprechpartner und nicht automatisch ein ganzes Unternehmen. === Die 10 Phasen im CRM-System === ;Phase 1: Qualifizieren Ein neuer Kontakt wird ins CRM aufgenommen und grob eingeschätzt. Ziel ist es festzustellen, ob der Kontakt grundsätzlich interessant ist. ;Phase 2: Termin setzen Der Kontakt ist nicht mehr vollständig „kalt“. Es wurde bereits gesprochen, und ein Rückruf oder Termin wird vorbereitet. ;Phase 3: Lösung finden Im Gespräch wird der Bedarf des Kunden analysiert. Ziel ist es, eine passende Lösung oder Dienstleistung zu identifizieren. ;Phase 4: Termin neu vereinbaren Wenn ein Termin ausfällt, wird der Kontakt in diese Phase verschoben, um ihn nicht aus dem Blick zu verlieren. ;Phase 5: Nicht qualifiziert Es wird klar, dass kein Geschäft möglich ist, z. B. wegen falscher Branche, fehlendem Bedarf oder nicht mehr existierender Firma. ;Phase 6: Verloren Der Kontakt war grundsätzlich interessant, aber es kam nicht zum Abschluss. Der Verlustgrund wird dokumentiert. ;Phase 7: Reaktivierung Verlorene Kontakte können nach einer bestimmten Zeit (z. B. 180 Tage) wieder in den Verkaufsprozess aufgenommen werden. ;Phase 8: Konvertieren Der Lead wird in eine Opportunity (Verkaufschance) umgewandelt. Ab diesem Punkt ist ein Geschäftsabschluss realistisch. ;Phase 9: Angebot senden Ein konkretes Angebot wird erstellt und an den Kunden versendet. ;Phase 10: Zusage erhalten Der Kunde gibt eine Rückmeldung oder ein Commitment. Danach entscheidet sich, ob der Deal gewonnen oder endgültig verloren ist. === Wichtige Empfehlungen === * CRM-Phasen sollten immer als '''Ziele''' formuliert sein, nicht als Tätigkeiten. * Zeitlimits pro Phase helfen, Stagnation zu vermeiden. * Automatisierungen und Erinnerungen verhindern, dass Leads vergessen gehen. * Sauber gepflegte Phasen ermöglichen Auswertungen, Reportings und Prozessoptimierungen. === Fazit === Ein klar strukturiertes CRM-System schafft Übersicht, Messbarkeit und Effizienz im Vertrieb und ist besonders wichtig, wenn Teams wachsen oder mehrere Personen mit denselben Kontakten arbeiten. == [[:w:Querverkauf|Cross Selling]] / [[:w:Upselling|Upselling]] == * Wo haben Sie Cross Selling / Upselling selbst als Kundin/Kunde erlebt? ::Haben Sie sich zum Kauf entschieden oder nicht? :::War das eine angenehme oder unangenehme Erfahrung? * Machten Sie im Praktikum Cross Selling / Upselling? == [[:w:Kundenbindung|Kundenbindung]] == [[:w:Laufkundschaft|Laufkundschaft]] versus [[:w:Stammkunde|Stammkunde]] = 25. Februar = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | A 4c | Kunst |- | D 3 | Informations- und Beratungsgespräche führen |- |} = 4. März = '''09:00 Uhr:''' Technik-Check: kurzer Check, ob das QV am PC bei allen Lernenden funktioniert (Daten herunterladen und hochladen) Loggen Sie sich in app.intensivtraining360.ch ein: Lernzielkontrolle > HKB… {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | A 3 | Themenbereich 3: Agieren im Berufsfeld - Netzwerke und [[:w:Selbstmarketing|Selbstmarketing]] |- | D 1 | Verkaufs- und Verhandlungsgespräche führen |- |} = 11. März = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | A 3 | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Netzwerke im kaufmännischen Bereich aufbauen und nutzen|Themenbereich 3 (sic, aber 2): Agieren im Berufsfeld Netzwerke und Selbstmarketing]] |- | D 5 | Anspruchsvolle Konflikt und -Reklamationsgespräche (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} * Sie arbeiten an Ihrem persönlichen Portfolio. (übergeordnetes Leistungsziel) == In welchen Situationen habe ich bereits (bewusst oder unbewusst) genetzwerkt? == Netzwerken bedeutet nicht nur formelle Kontakte oder Visitenkarten, sondern entsteht sehr häufig ganz nebenbei im Alltag. Die folgenden Situationen zeigen typische Momente, in denen bereits Networking stattfindet – oft unbewusst. === Beruf & Ausbildung === * Gespräche mit Kolleginnen und Kollegen im Unterricht, in Kursen oder Weiterbildungen * Austausch mit Dozierenden, Kursleitenden oder Prüfungsexpert:innen * Fragen stellen oder Unterstützung anbieten * Feedback geben oder erhalten * Kontakt zu ehemaligen Lernenden oder Kursteilnehmenden === Arbeitsplatz & Organisation === * Gespräche in der Kaffeepause oder beim Mittagessen * Kurze Begegnungen auf dem Gang oder im Büro * Gegenseitige Hilfe bei kleinen Problemen * Informeller Austausch über Herausforderungen im Arbeitsalltag === Kommunikation & Sichtbarkeit === * E-Mails mit persönlicher Anrede oder freundlichem Ton * Schnelle, zuverlässige Antworten * Weiterleiten von Informationen („Das könnte für dich interessant sein“) * Erstellen klarer, gut verständlicher Dokumente === Online & digital === * Kommentare oder Reaktionen auf Beiträge in sozialen Netzwerken * Teilnahme an Webinaren und anschliessende Rückfragen per E-Mail * Mitarbeit an Online-Projekten (z. B. Foren, Wikis, Lernplattformen) * Sichtbarkeit durch Profile, Signaturen oder Autorenhinweise === Veranstaltungen & informelle Anlässe === * Weiterbildungstage, Tagungen oder Konferenzen * Informationsabende oder schulische Anlässe * Gespräche vor oder nach offiziellen Programmpunkten * Zufällige Begegnungen beim Kommen oder Gehen === Alltag & Privatleben === * Sportverein, Musik, Ehrenamt * Nachbarschaft und Elternkontakte * Freundeskreis („Ich kenne da jemanden…“) * Smalltalk im Zug, im Café oder beim Einkaufen === Besonders wirksame, oft unterschätzte Situationen === * Jemandem helfen, ohne direkt etwas zu erwarten * Zuverlässig Aufgaben erledigen * Komplexe Inhalte verständlich erklären * Arbeit abnehmen oder Prozesse vereinfachen === Merksatz === ''Immer wenn dich jemand kennt, sich an dich erinnert oder dir vertraut, hast du genetzwerkt.'' = 18. März = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Kaufmännische Kompetenzentwicklung überprüfen und weiterentwickeln|A 1]] | Portfolioarbeit: Ich als Privat- und Berufsperson VA (Vertiefungsarbeit) |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Anspruchsvolle Beratungs-, Verkaufs- und Verhandlungssituationen mit Kunden oder Lieferanten in der Landessprache gestalten|D 5]] | (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} = 25. März = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | D 5 | (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} = 1. April = {| class="wikitable" ! HKB/Lernfeld ! Inhalt |- | D 5 | (Option «Kommunikation in der Landessprache») |- |} = Allgemein = <!--Letztes Lehrjahr schulisch organisierte Grundbildung (SOG) anstelle betrieblich organisierten Grundbildung (BOG)--> Bei betrieblichen Qualifikationsverfahren-Simulationen (5 x 10 Min Teilaufgaben - Texte lesen) im vergangenen Dezember/Januar kam aus, dass die Lernenden Texte lesen, aber nicht verstehen (Zitat Jeffries). Fazit: Die Lernenden müssen lernen, mit physischen Dokumenten zu arbeiten. Das betriebliche Qualifikationsverfahren steht bevor (April/Mai, über Wochen hinweg), es wird nicht Open Book sein. Vorbereiten kann man sich mit der ''Nullserie Praktische Arbeit Kauffrau/Kaufmann EFZ DA'' der Interessengemeinschaft Kaufmännische Grundbildung Schweiz.<ref>[https://igkg.ch/kauffrau-kaufmann-efz-dienstleistung-und-administration/grundlagendokumente/ ''Aufgaben Nullserie Praktische Arbeit Kauffrau/Kaufmann EFZ DA.''] Interessengemeinschaft Kaufmännische Grundbildung Schweiz, 2023</ref> Wie trainieren wir Leseverständnis? Indem man Fragen beantwortet zu einem Text, Sachen markiert. Problem sind unklare Prioritäten. Beispiel: Zwei Personen machen einen kaufmännischen prozess, sie müssen Info übergeben, info von person a gelangt nicht zu person b, deshalb kann person b den auftrag nicht fertig ausschmücken. zeit schnittstellenproblem: zwei abteilungen, selbstmanagement: Hilfreich sind [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] und [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]] HKB A wird mit der Vertiefungsarbeit abgeschlossen sein.</br> HKB B, C und E werden schriftlich geprüft.</br> HKB D umfasst Critical Incidents und Diskussion: undefiniert ist, ob nur in Deutsch oder auch in Englisch.</br> Mit der HK 7 wird HKB-E (Schlatter) geprüft.</br> Die HK 8 ist eine Simulation des Qualifikationsverfahrens.</br> Die ''QV-Nullserie 1.1 Kaufleute EFZ 2023'' des [[:w:Kaufmännischer Verband Schweiz|Kaufmännischen Verbandes Schweiz]] ist eine gute Vorbereitung auf das Qualifikationsverfahren.<ref>[https://www.kfmv.ch/angebot/dienstleistungen/qv-uebungsserien/qv-uebungsserien-ab-lehrbeginn-2023 ''Schulische QV-Übungsserien ab Lehrbeginn 2023.''] [[:w:Kaufmännischer Verband Schweiz|Kaufmännischer Verband Schweiz]], 2023.</ref> = Einzelnachweise = <references /> <!--[[Benutzer:Paul Sutermeister/Critical Incident]] [[Benutzer:Paul Sutermeister/Verkaufsgespräch]] [[:w:Kofferklausur]] [[Benutzer:Paul Sutermeister/Prozess]]--> tepar5rl15x6715vop1fp0b51hdrrax 106 168615 1077689 1077271 2026-04-19T10:53:13Z Λυκας 38324 1077689 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|Gruppen}} {{:Gruppentheorie/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt}} {{:Gruppe/Potenzen/Monoid bekannt/Textabschnitt}} {{:Gruppe/Untergruppe/Z/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Kommutative Ringe}} {{:Ring/Kommutativ/Halbring vorausgesetzt/Textabschnitt|zusatz1= Einen weiteren endlichen Ring {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar einen Körper| |ISZ=|ESZ= }} haben wir bereits in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Nr= |SZ= }} kennengelernt. In der zwölften Vorlesung werden wir einer Vielzahl von weiteren endlichen Ringen begegnen.}} {{Zwischenüberschrift|Körper}} {{:Körper/Ring vorausgesetzt/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Polynomring}} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} {{:Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Begrifflichkeiten/Bemerkung|zusatz1= &nbsp;und {{math|term= n |SZ=}} heißt der {{Stichwort|Grad|SZ=}} des Polynoms}} }} 35j8m77fq91w2axnfh5vpye6bb3v4la 106 170021 1077688 1077332 2026-04-19T10:43:15Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion */ 1077688 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Korollar - Darstellungslemma == === Bemerkung - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. == Siehe auch == * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 93ugv67q6k7mogfippvi8jt5sa55kjp 106 170024 1077666 1077464 2026-04-19T09:05:58Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Stammfunktion höherer Ordnung */ 1077666 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math>F' = f</math> auf <math>D_r(z_0)</math>. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> <span id="Definition"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> ''lokale Stammfunktion der Ordnung'' <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine ''lokale Stammfunktion'' von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 8jmwi50b2jijsml6f8n7tnbx3an9stn 106 170032 1077540 1077536 2026-04-18T12:02:40Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randintegral für Dreiecksfläche */ 1077540 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4b96pn3dv68n5tvuxyxqe3g23vc94e1 1077541 1077540 2026-04-18T12:12:06Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077541 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 23y0t21rd8qlbfopugbw1k3uemxbdpq 1077544 1077541 2026-04-18T12:14:22Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077544 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6ewtzphb0klqcuxhhu4dlvu2oxczw59 1077546 1077544 2026-04-18T12:16:08Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Korollar */ 1077546 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jv3cii4k0fuzpq29cnsc5v5tl96zfp0 1077636 1077546 2026-04-19T06:41:26Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077636 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(\mathbb{G}))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l7cvp83l8v2yx95fuwc34plm7ougn86 106 170098 1077593 1076859 2026-04-18T15:13:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee - Approximationslemma */ 1077593 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationslemma für Dreiecke == == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f \, dz = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2) +F_\Box(z_1) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> povyu4b3i726sbcy0s5p39pvn93c1fe 1077594 1077593 2026-04-18T15:15:31Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke */ 1077594 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationslemma für Dreiecke == == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> ojttlbdhish219fftutsoobl3wybwas 1077595 1077594 2026-04-18T15:32:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche */ 1077595 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationslemma für Dreiecke == == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{R_{(n,k)}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> hwvy4omqjflosnr8mqy7fqmofmds5iz 1077596 1077595 2026-04-18T15:34:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke */ 1077596 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationslemma für Dreiecke == == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> hctbih016gdd11h4m29zrxe81ly8h76 1077598 1077596 2026-04-18T15:39:16Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma für Dreieck]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Bezeichnung angepasst 1077596 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationslemma für Dreiecke == == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> hctbih016gdd11h4m29zrxe81ly8h76 1077599 1077598 2026-04-18T15:39:43Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationslemma für Dreiecke */ 1077599 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> lp6whxde1wx3c7d6la2br0e8p6yma9i 1077600 1077599 2026-04-18T15:45:02Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationssatz für Dreiecke */ 1077600 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3) == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> i83mf9a5uhpjul0gkoomkkkxls390io 1077601 1077600 2026-04-18T15:51:03Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationssatz für Dreiecke */ 1077601 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke approximieren, d.h. es gilt: == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> qutl2odcr6cwp3xy829q5wjz1vys517 1077602 1077601 2026-04-18T15:51:33Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationslemma für Dreiecke */ 1077602 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> ha6c5kl6od20limufi6ym1s6de0l122 1077603 1077602 2026-04-18T15:51:56Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationssatz für Dreiecke */ 1077603 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> e896kxr4bd02sbe0c1vs6erplkzskqs 1077604 1077603 2026-04-18T15:52:24Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationslemma für Dreiecke */ 1077604 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> dxndp1ltmo4rx22f1144skao9pdgkde 1077605 1077604 2026-04-18T15:59:13Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationssatz für Dreiecke */ 1077605 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(v_{k})-F(w_{k-1})+F(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(v_{k})-F(v_{k-1}) }_{=F(v_n)-F(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F(z_3) + F(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> sufckebqv5nx84ac56bagzoos3x7mtk 1077606 1077605 2026-04-18T16:05:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals */ 1077606 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> jper2f7wgqduhfaxzsja3oqsw1f24ac 1077608 1077606 2026-04-18T16:16:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale */ 1077608 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Schritt 4: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h}</math> berechnet man zunächst: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 0rzxucry3wxhpog7bjaomxginbicdyx 1077609 1077608 2026-04-18T16:22:11Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4: Differenzierbarkeit von F */ 1077609 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke === Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> lif8uh9bfbv0xrf5otj431g4vwiwqnr 1077610 1077609 2026-04-18T16:22:41Z Bert Niehaus 20843 /* Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke */ 1077610 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> tbcuh48l077qlvmr74p0n9f2dq0g29h 1077611 1077610 2026-04-18T16:31:45Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung */ 1077611 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 1zxhvjmxsxkace1t747mxeqw4v06bxq 1077612 1077611 2026-04-18T16:33:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals */ 1077612 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Anwendung des Flächenintegralsatzes für Dreiecke === === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 9zdciqesweoofbeu1mnm9163mddur5i 1077613 1077612 2026-04-18T16:33:35Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung des Flächenintegralsatzes für Dreiecke */ 1077613 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Anwendung des Flächenintegralsatzes für Dreiecke === [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 20dhshtuj48yz2d5vpspps3gvlzi4zu 1077614 1077613 2026-04-18T16:40:28Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung des Flächenintegralsatzes für Dreiecke */ 1077614 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle \rangle </math> bzgl. <math>F</math> Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta()</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> bm59djr3t29vlqtpdp1c3m8hhd5zzek 1077615 1077614 2026-04-18T16:40:57Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke */ 1077615 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle \rangle </math> bzgl. <math>F</math> Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta()</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 8i8d167rde54gcu3e9bm36tpk3acyt3 1077616 1077615 2026-04-18T16:41:33Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke */ 1077616 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle \rangle </math> bzgl. <math>F</math> Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta()</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> clm5e91j5eki3eqqev1tkg9evt6hi5n 1077617 1077616 2026-04-18T16:44:13Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke */ 1077617 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k-1} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k},w_{k-1},d_{k-1})</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 9kuwe5q4vdsrj4xcmwh8hmy19t6au71 1077618 1077617 2026-04-18T16:46:52Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke */ 1077618 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> binhpm17yueuyg8aapipwtidovyxlrx 1077619 1077618 2026-04-18T16:51:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke */ 1077619 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> n2bhpwgv03slb5j8cvpvviuh1wpzsnw 1077620 1077619 2026-04-18T17:21:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit von F */ 1077620 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}(z + h) - F_{_\Box}(z) = \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 7ivtcm9p6xa3nlqij12fd5z2za32uom 1077621 1077620 2026-04-18T17:25:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion */ 1077621 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \int_{\left\langle z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle } F(\zeta) \, d\zeta - \int_{\gamma_{[z_{(n,k)},z]}} F(\zeta) \, d\zeta. </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> qkhnx3qpdtzk6x00qnazew5kmez57hk 1077622 1077621 2026-04-18T17:28:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion */ 1077622 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \int_{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle } F(\zeta) \, d\zeta - \int_{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle } F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F </math> als Wegintegral über <math>f</math> von dem Punkt <math>z_o</math> nach <math>z</math>. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> n3o7grl49jcph175alx8icf5338y9v6 1077623 1077622 2026-04-18T17:34:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion */ 1077623 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} \\ & = & \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> lzbfjziw6txvh0qxi70urp17x23hrzn 1077624 1077623 2026-04-18T17:43:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals */ 1077624 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta(z_o,z+h,z)\subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \int_{\gamma_{[z_o,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta + \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F(z + h) + \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta - F(z) \\ \end{array} </math> Da <math>G</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\gamma_{[z,z+h]}</math> auch ganz in <math>G</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z_o,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z)</math> gilt. === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> kxx59z8jxavdwi80xosohmg3v7l8ew8 1077625 1077624 2026-04-18T17:57:36Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat */ 1077625 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> r2llrr7sbvxaxol835vnqhtsr2y2ga5 1077631 1077625 2026-04-19T06:00:41Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationssatz für Dreiecke */ 1077631 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(n,4)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,3)}\big)-F_\Box\big(z_{(n,2)}\big) +F_\Box\big(z_{(n,1)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 8np4k3k7lpk20humk1bn5rk93wg62m5 1077638 1077631 2026-04-19T07:03:23Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke */ 1077638 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> 20h2krf21q5dpimepoj5rcs8r224lo5 1077639 1077638 2026-04-19T07:04:05Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen */ 1077639 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird durch eingeschriebene Rechtecke approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke wird über den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dargestellt. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kd4ln4mzghr75gitmcqdhccrgx6m6ud 1077642 1077639 2026-04-19T07:22:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee - Approximationslemma */ 1077642 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ssub0uffnabti50bcozw1zx2kx2u8d1 1077644 1077642 2026-04-19T07:25:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisidee - Approximationslemma */ 1077644 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle d_0 & = & z_2 \quad \quad d_n \,\, = \,\, z_3 \\ d_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot (z_1 + a) + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] obgue7ttwgvzqjxaxxei7zi4m9cmq45 1077646 1077644 2026-04-19T07:35:40Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck */ 1077646 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>v_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle v_0 & = & z_1 \quad \quad v_n \,\, = \,\, z_2 \\ v_k & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_2 \\ & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot (z_1 + i\cdot b) \\ & = & z_1 + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] swnuwl97bnolwekzbjow92obsy2u748 1077647 1077646 2026-04-19T07:40:38Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks */ 1077647 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, v_k</math> und <math>d_k</math> drei Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1owrruhpg6tv8x6ow8t9dnkqjv0xj0d 1077649 1077647 2026-04-19T07:57:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks */ 1077649 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] smuvzq39e2lb0a3uls0rmvu91tbi1ya 1077652 1077649 2026-04-19T08:02:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation */ 1077652 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(1,n,k)}</math> vergeben. === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mqnlv2k03cc59kw6qhhwtk9vf070hov 1077653 1077652 2026-04-19T08:04:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks */ 1077653 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle w_0 & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5ymflb3ezlbxu5zjzy5v0r5qcifecw9 1077654 1077653 2026-04-19T08:39:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke */ 1077654 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Als Vorüberlegung muss der Realteil von <math>w_{k-1}</math> mit dem Realteil von <math>d_k</math> und der Imaginärteil von <math>w_{k-1}</math> muss mit dem Imaginärteil von <math>v_{k-1}</math> übereinstimmen und man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,1)} & = & z_1 + i\cdot \frac{n-1}{n} \cdot b\quad \quad w_n \,\, = \,\, z_2 \\ w_{k-1} & = & z_1 + (1-\frac{k}{n}) \cdot a + i\cdot \frac{k}{n} \cdot b \\ \end{array} </math> Damit bilden <math>v_{k-1}, w_{k-1}, d_k</math> und <math>v_k</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c26hjxumdfptcjyix08wd14zr7i6of9 1077655 1077654 2026-04-19T08:50:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke */ 1077655 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5mf6nwqtsn5jzwe3zxksvmp1ys21zsg 1077656 1077655 2026-04-19T08:51:12Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte */ 1077656 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \int_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r9p5giem3h9h8ij4y71eww7mpz5hhfl 1077657 1077656 2026-04-19T08:53:41Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke */ 1077657 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, dz = F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6gbyfl3eo7a24l6c7f0gjupa0oxz87n 1077658 1077657 2026-04-19T08:54:03Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke */ 1077658 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math>: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e25oll446tjg1ycx8oi3t5emubknonc 1077659 1077658 2026-04-19T08:56:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke */ 1077659 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] be7r809fn0uaq8y42e0mrlbzx1y9t6z 1077660 1077659 2026-04-19T08:57:08Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1077660 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man daher über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0fov9bvrotw375444pbteth3inkt3n1 1077661 1077660 2026-04-19T09:00:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche */ 1077661 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n5zg0l0t0txd688hd4kubs7zni0ldgm 1077662 1077661 2026-04-19T09:00:37Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077662 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 60uelp5zf3uio624rwj94oqz60a9ajg 1077664 1077662 2026-04-19T09:02:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke */ 1077664 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 4 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung: === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 24y5770q9v6zymexbprjbcnxm0ywrci 1077665 1077664 2026-04-19T09:03:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077665 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 4 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1dmmulggt97pe6u3b7n9lm1esy2nhk8 1077669 1077665 2026-04-19T09:09:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077669 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. === Beweisschritt 6 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen === Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1mv9vbrpros5oo3xd2b8k0oper6pb8e 1077671 1077669 2026-04-19T09:10:42Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077671 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== === Beweisschritt 6 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen === Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ovtquopacmqf3k3nkd1fmopkxmeon13 1077672 1077671 2026-04-19T09:14:45Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n */ 1077672 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Beweisschritt 6 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen === Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aurbgb5jpnqgxhi9bmbjakfh6z60wbl 1077673 1077672 2026-04-19T09:15:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen */ 1077673 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ibnwwssqxgny32zqn5mtb0plpjnfszt 1077674 1077673 2026-04-19T09:15:39Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen */ 1077674 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g2srqrnyerpzik26yd1u2krcwfvnnkw 1077675 1077674 2026-04-19T09:17:40Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen */ 1077675 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \\ &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cnqo801x0t7av3xctm8m1gdtoyd4ot0 1077676 1077675 2026-04-19T09:18:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen */ 1077676 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qfo1ggi08f0bkrp46f13bcevjrpv0n1 1077677 1077676 2026-04-19T09:23:12Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen */ 1077677 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nx9qlaacv0m5co3el3h6z0prhxlhv55 1077679 1077677 2026-04-19T09:38:25Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke */ 1077679 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. === Beweisschritt 7 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4qn1o00vao3amdusb6t07guaigic5f4 1077680 1077679 2026-04-19T09:39:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077680 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Beweisschritt 7 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3dxvqy0t3iw4egh26glz83w0d6t7wng 1077681 1077680 2026-04-19T09:40:00Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung der Feinheit n */ 1077681 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Beweisschritt 7 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q9fcxsrw4wz1c1z19hn8cpaxn1yl5d9 1077682 1077681 2026-04-19T09:44:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077682 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. Ferner kann man mit dem Satz jedes Dreiecksflächenintegral auch durch zwei Wegintegrale über die Stammfunktion darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Beweisschritt 7 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mnqfsyivbigveoiohl02wj09wbzjqfr 1077683 1077682 2026-04-19T09:47:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077683 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch durch zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Beweisschritt 7 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fpv4j93w6cmzhfnydzf8k7whbzv9s3t 1077684 1077683 2026-04-19T10:03:43Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n */ 1077684 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch durch zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z = \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gy5r54niv21o21srwrgdhzybcyonxv9 1077685 1077684 2026-04-19T10:12:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke */ 1077685 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch durch zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z = \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annulierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Diese ergänzten Wegintegrale sind: :<math> \begin{array}{rcl} &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 90ankpi8od0p7lb9q1jv3f74a5an0c2 1077686 1077685 2026-04-19T10:15:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annulierende Wegintegralen */ 1077686 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch durch zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z = \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Diese ergänzten Wegintegrale sind: :<math> \begin{array}{rcl} &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== === Beweisschritt 8 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8yyy3sp1rta41w42htup167wl0oclm4 1077687 1077686 2026-04-19T10:15:41Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale */ 1077687 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * die Fläche des Dreiecks wird mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] über eine [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> dargestellt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun mit <math>n</math> Feinheit der Unterteilung zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> kann man diese Zerlegung wieder als Summe von (grünen) Teildreiecken mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch durch zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z = \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Diese ergänzten Wegintegrale sind: :<math> \begin{array}{rcl} &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Beweisschritt 8 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 6 - Einsetzen in die Approximation des Flächenintegrals === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(w_{k-1})+F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=\underset{R_{(n,k)}}{\iint}\!\! f(z) \, d^2\!z} & = \\ \displaystyle - \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F_{_\Box}(v_{k})-F_{_\Box}(v_{k-1}) }_{=F_{_\Box}(v_n)-F_{_\Box}(v_0)} + \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \displaystyle \underbrace{ - F_{_\Box}(z_3) + F_{_\Box}(z_1) }_{=\underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F_{_\Box}(d_k)-F_{_\Box}(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} F(z) \, dz} & = \\ \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenintegralsatzes für Dreiecke === Über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] stellen die Wegintegrale über <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle </math> bzgl. <math>F</math> als Dreiecksflächenintegrale über die Dreiecke <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k})</math> dar. :<math> \iint_{\Delta_{(n,k)}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \!\!\! \underset{\langle d_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\!\!\!\! \underset{\langle w_{k-1},d_{k}\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(d_{k}) - F_{_\Box}(w_{k-1}) </math> ==== Abbildung zu 7 - Eckpunkte der eingeschriebenen Rechtecke ==== Die Eckpunkte der Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden wie folgt benannt: [[File:Flaechenintegral v1.png|350px|center|Integration over triangle - created with Geogebra and exported to PNG]] === Beweisschritt 7: Äquidistante Unterteilung === Da man die Diagonale mittels einer äquidistanten Unterteilung zerlegt hat, kann man die Punkte <math></math> und <math></math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} z_{(n,k)} &:=& d_{k} \\ h_{n} &:=& w_{k} - d_{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, k\in \{1,\ldots , n\} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8: Differenzierbarkeit der Flächenstammfunktion === Für die Darstellung des [[w:de:Differenzenquotient|Differenzquotienten]] <math> \tfrac{F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right)}{h_n}</math> berechnet man zunächst: :<math> F_{_\Box}\left(z_{(n,k)} + h_n\right) - F_{_\Box}\left(z_{(n,k)}\right) = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}+h_n\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta \,\,\,\, \,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(n,k-1)},z_{(n,k)}\right\rangle }{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(\zeta) \, d\zeta </math> Man die Funktion <math> F_{_\Box} </math> als Wegintegral über <math>F</math> von dem Punkt <math>z_{(n,k-1)}</math> nach <math>z\in \{z_{(n,k)},z_{(n,k)}+h_n \}</math> darstellen. === Schritt 5: Anwendung Lemma von Goursat === Man betrachtet das Dreieck <math>\Delta_{(n,k)}:= \Delta(d_{k-1},w_{k-1},d_{k}) \subset G</math> und die Integration über den Dreiecksrand mit dem [[Lemma von Goursat]]: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \underset{\langle d_{k-1},w_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta + \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta \\ & = & F_{_\Box}(w_{k-1}) + \underset{\langle w_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta - F_{_\Box}(d_k) \\ \end{array} </math> Da das Ausgangsdreieck <math>\Delta</math> konvex ist, liegt die Spur des Weges <math>\langle w_{k-1},d_{k} \rangle</math> auch ganz in <math>\Delta</math>. Dabei wurde folgende Ersetzung verwendet: :<math> \underset{\langle d_{k},d_{k-1} \rangle}{\int\,\,\,} F(\zeta) \, d\zeta = - \underset{\langle d_{k-1},d_{k} \rangle}{\int} F(\zeta) \, d\zeta = - F_{_\Box}(d_k) </math> === Schritt 6: Anwendung Lemma von Goursat === Mit <math> \int_{\gamma_{[z,z_o]}} f(\zeta) \, d\zeta = - F(z) </math> und <math> \int_{\gamma_{[z+h,z]}} f(\zeta) \, d\zeta = - \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta </math> ergibt sich daher: :<math> F(z + h) - F(z) = \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 6: Differenzierbarkeit von F === Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten: :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{\gamma_{[z,z+h]}} f(\zeta) \, d\zeta. </math> === Schritt 7: Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math> f </math> stetig ist, können wir den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> anwenden: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_1) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \cdot \gamma_{_h}\!\!{'}\!(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> wobei <math> \gamma_{_h}\!(t) = (1-t)\cdot z + t\cdot (z+h) = z + t\cdot h</math> und <math> \gamma_{_h}\!{\,}\!\!{'}\!(t) = h </math> gilt. === Schritt 8: Einsetzen der Terme === Über das Einsetzen der Terme und Ausklammern von <math>h</math> erhält man: :<math> \int_{z}^{z+h} f(\zeta) \, d\zeta = \big( f_1(\gamma_{_h}\!(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma_{_h}\!(t_2)) \big) \cdot h </math> === Schritt 9: Grenzwertprozess === Ferner gilt <math>\lim_{h \to 0} = \gamma_{_h}\!(t_1) = \lim_{h \to 0} \gamma_{_h}\!(t_2) =z</math>. :<math> \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_{z}^{z+h} f(\zeta)\, d\zeta }{h} = f_1(z) + i \cdot f_2(z) = f(z). </math> Dies zeigt, dass <math> F </math> differenzierbar ist und dass <math> F'(z) = f(z) </math>. === Beweisschritt 7 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Da <math>f</math> holomorph ist, so kann man mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale#Mittelwertsatz|Mittelwertsatz für Wegintegrale]] auf <math>f=f_1 + i\cdot f_2</math> für <math>a=0</math>, <math>b=1</math> und <math>b-a = 1</math> und der [[Konvexkombination]] <math>\gamma:= \langle w_{k-1} , d_k \rangle</math> anwenden mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot w_{k-1} + t\cdot d_k \end{array} </math> Damit gibt es <math>t_1,t_2\in [0,1]</math>, für die die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) \cdot \gamma\,{'}(t_1) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \cdot \gamma\,{'}(t_2) \big) \cdot \underbrace{(b-a)}_{1-0=1} </math> === Beweisschritt 8 - Mittelwertsatz für Wegintegrale === Dabei ist die Ableitung <math> \gamma\,{'}\!(t) = d_k - w_{k-1} </math> eine Konstante für alle <math>t\in [0,1]</math>. Durch Einsetzen in die obige Integraldarstellung erhält man: :<math> {\int}_{ \langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz = \big( f_1(\gamma(t_1)) + i \cdot f_2(\gamma(t_2)) \big) \cdot (d_k - w_{k-1}) </math> === Beweisschritt 9 - Zerlegung der Grundseite === Der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks kann wie in den Schritten 1 bis 8 durch eine waagerechte treppenförmige Approximation durch Rechtecke erfolgen durch eine senkrechte Zerlegung in Rechtecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math>. Dazu fehlt noch eine äquidistante Zerlegung der Grundseite zwische <math>z_1</math> und <math>z_2</math>. Die fehlenden Punkte <math>w_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> berechnet.: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle \widehat{w_k} & = & \frac{k}{n} \cdot z_1 + \frac{n-k}{n} \cdot z_2 \\ \widehat{w_0} & = & z_2 \quad \quad \widehat{w_n} \,\, = \,\, z_1 \end{array} </math> Damit bilden <math>\widehat{w_{k+1}},\widehat{w_{k}}, d_{k}</math> und <math>w_{k+1}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. === Beweisschritt 10 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche kann man analog über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess ergeben sich wie folgt: :<math> \int_{\Delta} f(z) \, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz </math> === Beweisschritt 11 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen senkrechte Unterteiluing in Teilvierecke <math>\widehat{R_{(n,k)}}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung: :<math> \int_{\widehat{R_{(n,k)}}} f(z) \, dz = F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) </math> === Beweisschritt 12 - Zweite Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Setzt man die in Schritt 5 bestimmten Flächenintegrale in die Approximation der komplexwertigen Dreiecksfläche ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(\widehat{w_{k-1}})-F(w_{k})+F(\widehat{w_{k}}) }_{=\underset{\widehat{R_{(n,k)}}}{\int}\!\! f(z) \, dz} \\ & = & \displaystyle \lim_{n\to \infty} \underbrace{ \sum_{k=1}^{n} F(\widehat{w_{k}})-F(\widehat{w_{k-1}}) }_{=F(\widehat{w_{n}})-F(\widehat{w_{0}})} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} F(d_k)-F(w_{k}) \\ & = & \displaystyle \underbrace{ F(z_1) - F(z_2) }_{=\underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz} + \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 13 - Addition der Approximationsgleichungen === Durch Addition der beiden Approximationsgleichungen aus Beweisschritt 6 und 12 und Division durch 2 erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\Delta} f(z) \, dz & = & \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \bigg( \underbrace{ \underset{\langle z_2, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1) - F(z_2)} \,\,\,\, + \underbrace{ \underset{\langle z_3, z_1\rangle}{\int} f(z) \, dz }_{=F(z_1)- F(z_3)} \bigg)\\ & & + \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k-1}) }_{=\underset{\langle w_{k-1} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ F(d_k)-F(w_{k}) }_{=\underset{\langle w_{k} , d_k \rangle}{\int} f(z) \, dz} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 14 - Wegintegral bestimmen === Ziel ist es nun, den Grenzwert der Summe durch ein einzelnes Wegintegral auszudrücken: :<math> \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k-1} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k-1})} \,\,\,\, + \,\,\,\, \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \underbrace{ {\int}_{\langle w_{k} , d_k \rangle} f(z) \, dz }_{=F(d_k)-F(w_{k})} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7auslavo8n1bdp54sb08flvfhu3faj5 106 170210 1077543 1077539 2026-04-18T12:13:39Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077543 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] 0nko6mlus1iq0ifoftcoi5387xutqd7 1077545 1077543 2026-04-18T12:15:50Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077545 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] 7vj6ra8w1sdyxeb4fb2drwyuk86se0i 1077547 1077545 2026-04-18T12:17:51Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077547 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] 2kwh4rs1ewndww8shnb40mg4wj659qz 1077548 1077547 2026-04-18T12:18:12Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - orientierte Fläche */ 1077548 wikitext text/x-wiki == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] eupwsbsl8rcm7mg0rftztn75kahbfxo 1077549 1077548 2026-04-18T12:20:04Z Bert Niehaus 20843 1077549 wikitext text/x-wiki === Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] 9c84taq6dnxlzs9gogdl0jl3zujl3p5 1077550 1077549 2026-04-18T12:20:41Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077550 wikitext text/x-wiki === Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rz8sx5c76fhn4ycfvrkjythy7rsnd1z 1077551 1077550 2026-04-18T12:23:56Z Bert Niehaus 20843 1077551 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) Randwegintegrale und der Einfluß der Orientierung auf das Wegintegral === Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p9t7v6oxxx272tp2pbmo8r8ezp345v1 1077552 1077551 2026-04-18T12:26:57Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077552 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f6lopb1a49ym5bh2r5x8zuxwtkatez9 1077553 1077552 2026-04-18T12:28:11Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077553 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sfjyql2e0rec55exftudck16g9jibgs 1077554 1077553 2026-04-18T12:29:41Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077554 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann gilt: * '''(K1D)''' Liegt das Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt bzw. Endpunkt <math>z_1</math> beide Wegintegral frei in <math>G</math> gewählt werden, ohne den Wert des Integrals zu verändern. * '''(K2D)''' Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1e4reheqertlilkomunzhbq1as1wgpw 1077555 1077554 2026-04-18T12:45:48Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077555 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bwkorh9pa26ngmzl2g3k1r6oi0clfkt 1077556 1077555 2026-04-18T12:46:00Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Korollar */ 1077556 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1D)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> * '''(K2D)''' den Rechenregeln für die Orientierungsänderung der Bezeichnung in den Integralgrenzen === Beweis zu K1D - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3xj4lnia2kq36qr3xyiuxjsdzrp6jjb 1077557 1077556 2026-04-18T12:47:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Korollar 1 */ 1077557 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. === Beweis zu K2D - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3p51mma0ps7pn7jhpsbotigbvqwpycw 1077558 1077557 2026-04-18T12:50:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu K2D - Orientierung */ 1077558 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7eltbjbne6alu0w40080k3prezhi1ya 1077559 1077558 2026-04-18T12:51:26Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Korollar 1 */ 1077559 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cy0wbfses8jvzrivmpnemrgqircbf4q 1077560 1077559 2026-04-18T13:32:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln */ 1077560 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kms05prf4x4b40z60c498n5p91t64jy 1077561 1077560 2026-04-18T13:34:41Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077561 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: ::<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m6od6pgjgq7ovcf1w90v3mgqen7xqb4 1077562 1077561 2026-04-18T13:43:02Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077562 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6tbnlsd38c229yp7xfxmg0exwpz2jix 1077563 1077562 2026-04-18T13:47:24Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077563 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a8qufgcuu6yvjii41txj5ts1qdfd859 1077564 1077563 2026-04-18T13:48:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals */ 1077564 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cq1aj1qhtf3j0cm4w8exnjeykeq0x5p 1077565 1077564 2026-04-18T13:50:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals */ 1077565 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche === Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche ab. Die Definition über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]] wird im weiteren Verlauf des Kurses noch häufiger verwendet. Daher wird das obige Integral mit der folgenden Definition festgehalten. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5be0246crmj774vua6g6bhdanvcyoaf 1077566 1077565 2026-04-18T13:55:28Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - orientierte Fläche */ 1077566 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) Dreieck als [[orientierte Fläche]] und Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> * (2) Flächenintegral von <math>f</math> über Dreiecke als Wegintegral über Stammfunktionen <math>F</math> * (3) [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sqc925m7i0g1vfktmjztckpd1ikg1q9 1077567 1077566 2026-04-18T14:00:30Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077567 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegraldarstellungen für Dreiecke]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * (2) Korollar zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * (3) Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8no1zq3bw2pphmq1b0qfm81v85yfie0 1077568 1077567 2026-04-18T14:01:59Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077568 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegraldarstellungen für Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''Korollar 1''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''Korollar 2''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] coyqvb8vucoixigd3p5iem9titwano1 1077569 1077568 2026-04-18T14:03:31Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077569 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korllar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ck35i8vj5u4coybb9enca49ve8cn0ug 1077570 1077569 2026-04-18T14:04:01Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt */ 1077570 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korllar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ry7l79d2j33g79cc795466c1c8dxw3o 1077571 1077570 2026-04-18T14:04:17Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077571 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korllar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jnyse90grs5kyrxfn8ilcpbx3q47x9d 1077572 1077571 2026-04-18T14:04:59Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1077572 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] für Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 93r86nl34nov35n8azm7kea68uobylp 1077573 1077572 2026-04-18T14:05:58Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln */ 1077573 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ge51ydco2txhteyfldk0q2tpp06ba79 1077574 1077573 2026-04-18T14:08:51Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077574 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(3)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu K2.1 - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Zunächst gibt damit das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] entsprechend der Orientierung den Flächeninhalt für die zugehörige [[orientierte Fläche]] an. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rzrmuavzc0qgl53xnpyf0kbtec23fr1 1077575 1077574 2026-04-18T14:12:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu K2.1 - Orientierung */ 1077575 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(3)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\Delta</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cqnj8t5ln91h8lz37i8lf5wwnctr1fb 1077576 1077575 2026-04-18T14:17:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung */ 1077576 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(3)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p7sikxtmmg017h7903rsslp76eybe7i 1077577 1077576 2026-04-18T14:22:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung */ 1077577 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(3)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bqkgalvj3vuue4bma1w0vpssvp9rfqe 1077578 1077577 2026-04-18T14:26:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel */ 1077578 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(3)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bh3japo1q7rqnexdyx7jzyzpt80klo2 1077579 1077578 2026-04-18T14:29:49Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077579 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sh9x4w04l422ds4zabxnkh2d5k6utsj 1077580 1077579 2026-04-18T14:31:09Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077580 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8kunfka4aedwjz2965apv0nlkj5m7z6 1077581 1077580 2026-04-18T14:32:58Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077581 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0vbyem9fj8jp2rbonob3vs8tittdux4 1077582 1077581 2026-04-18T14:44:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel */ 1077582 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4g56y7nhxy39rev9p0hp50j4g52y3tx 1077583 1077582 2026-04-18T14:49:45Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege */ 1077583 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweisschritt 1 - Umformung des Wegintegrals ==== Der folgende Schritt ergibt sich direkt aus dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> ==== Beweisschritt 2 - Umformung des Wegintegrals ==== Die zweite Gleichung ergibt aus der Umkehrung der Integralrichtung: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - (F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_3)) = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] civdv30ec8yjffhlj0rmqvnzww15is5 1077584 1077583 2026-04-18T14:55:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel */ 1077584 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}\big(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}\big(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> - \!\!\!\!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] napngm79ns50kcv0z8sk4a8hkbqagu8 1077585 1077584 2026-04-18T14:59:13Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche */ 1077585 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so hat das [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math> folgende Darstellungen: Darstellung durch Randwegintegrale des Dreiecks: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> - \!\!\!\!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lz54de68r8zr3bdl9iyk249og3ug7kt 1077586 1077585 2026-04-18T15:00:53Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1077586 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. dee <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> als konvexe Menge in <math>G</math>, so kann der Startpunkt (bzw. Endpunkt) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math> frei in <math>G</math> gewählt werden, wenn <math> \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> für die Wahl von <math>z_1</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> - \!\!\!\!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jc8hz310ckr1nh8lkd04ab2irhkg5y1 1077587 1077586 2026-04-18T15:02:29Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt */ 1077587 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> - \!\!\!\!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2ow0bektivbn8d65yiel28k6s1h58zk 1077588 1077587 2026-04-18T15:04:30Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt */ 1077588 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> - \!\!\!\!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad}} \!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mm017y3r2lwno0iqsne31hgfl9szrrn 1077589 1077588 2026-04-18T15:05:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel */ 1077589 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0vjfq2r7l2z333k5mzpmowk9umdrpcr 1077629 1077589 2026-04-19T05:49:07Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1077629 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die orientierte Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch zwei [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Wegen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über zwei Wege]] <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tj3sjg5t2oeepma0o42thzwqltzks5x 1077630 1077629 2026-04-19T05:57:52Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 */ 1077630 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über zwei Wege]] <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 83352fgyf7qlbm8eb99f0etuhk2xjly 1077632 1077630 2026-04-19T06:17:56Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 */ 1077632 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qhr4b0k9e2rrtut65daphnvwqstqdyy 1077633 1077632 2026-04-19T06:18:40Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 */ 1077633 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n4kyg2hxm2zfx15n113m4qe4pvqzx9t 1077634 1077633 2026-04-19T06:26:24Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 */ 1077634 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit gilt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e6pmqhjrb1tjfn0eec62g3braaij54e 1077635 1077634 2026-04-19T06:39:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals */ 1077635 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9pnp0fpuo63zrclvl6nnnflya2f7vjj 1077640 1077635 2026-04-19T07:06:50Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1077640 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6h5646nj8fo4v8twu3mc058w3xkkz21 0 170211 1077542 2026-04-18T12:13:09Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Beweis]] erstellt 1077542 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Beweis]] mi4cauw1nu7q3lzlhvm9bhsv22104uh 2 170212 1077637 2026-04-19T06:56:17Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1077637 wikitext text/x-wiki = Aufgabenstellung: Flyer zur Nachhaltigkeitsinitiative von ''Urban essence'' = == Ausgangslage == Ihre Vorgesetzte bittet Sie, für das Unternehmen '''Urban essence''' einen Flyer zu entwerfen, um die Nachhaltigkeitsinitiative des Unternehmens zu bewerben. Der Flyer soll in der '''kostenlosen Version von Canva''' erstellt werden. == Hinweise / Vorgaben == Achten Sie auf folgende Vorgaben: * Der Flyer zeigt kurz und knapp auf, was die Nachhaltigkeitsinitiative Ihres Unternehmens beinhaltet: ** Nachhaltige Materialien: recycelte, biologisch abbaubare oder nachwachsende Rohstoffe ** Klimabewusste Produktion: lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen ** Soziales Engagement: faire Arbeitsbedingungen, Unterstützung von Umweltbildungsprojekten * Der Flyer zeigt Möglichkeiten auf, wie Kunden daran teilnehmen können. * Der Flyer enthält einen QR-Code, der auf die Seite des Unternehmens führt (QR-Code muss nicht funktionieren). * Den Flyer erstellen Sie sowohl auf Deutsch als auch auf Englisch. * Der Flyer enthält die Farben des Unternehmens: '''Gold, Weiss und Dunkelgrün'''. == Ergänzende Informationen zum Fall == Sie sollen einen professionell gestalteten Flyer erstellen, der die Nachhaltigkeitsinitiative anschaulich und übersichtlich präsentiert. == Beurteilung == Ihre Leistung wird nach folgender Leitfrage bewertet: * Ist der Flyer professionell gestaltet und entspricht er den Vorgaben in der Aufgabenstellung vollumfänglich? = Detaillierter Lösungsweg = == 1. Aufgabe genau analysieren == Zuerst wird die Aufgabenstellung in einzelne Anforderungen zerlegt. === Inhaltliche Anforderungen === Der Flyer muss folgende Inhalte enthalten: * Informationen zur Nachhaltigkeitsinitiative * Informationen dazu, wie Kundinnen und Kunden teilnehmen können * QR-Code zur Unternehmensseite * zweisprachige Gestaltung: Deutsch und Englisch === Gestalterische Anforderungen === Der Flyer muss: * professionell wirken * übersichtlich aufgebaut sein * kurz und knapp formuliert sein * die Unternehmensfarben Gold, Weiss und Dunkelgrün enthalten === Technische Anforderungen === * Erstellung in der kostenlosen Version von Canva * QR-Code muss optisch vorhanden sein, muss aber nicht funktionieren == 2. Geeignetes Format in Canva auswählen == === Vorgehen === # Canva öffnen # In der linken Seitenleiste auf '''Erstellen''' klicken # In der Suchfunktion '''Flyer''' eingeben # Das Format '''Flyer''' oder '''A4-Flyer''' auswählen === Begründung === Ein Flyer im A4-Format ist geeignet, weil genügend Platz für deutsche und englische Inhalte vorhanden ist und das Layout professionell aufgebaut werden kann. == 3. Grundidee für den Flyer festlegen == Bevor mit dem Gestalten begonnen wird, wird ein einfaches Konzept erstellt. === Ziel des Flyers === Der Flyer soll die Nachhaltigkeitsinitiative von ''Urban essence'' bewerben und Kunden motivieren, sich ebenfalls nachhaltig zu verhalten oder die Initiative zu unterstützen. === Stil des Flyers === Empfohlen wird ein Stil, der: * modern * klar * elegant * natürlich * hochwertig wirkt. Das passt gut zur Marke ''Urban essence'' und zum Thema Nachhaltigkeit. == 4. Aufbau des Flyers planen == Ein professioneller Flyer braucht eine klare Struktur. === Möglicher Aufbau === ==== Bereich 1: Titel / Kopfbereich ==== * Unternehmensname: '''Urban essence''' * Haupttitel, zum Beispiel: ** '''Nachhaltigkeitsinitiative''' ** oder auf Englisch: '''Sustainability Initiative''' ==== Bereich 2: Kurze Einleitung ==== Ein kurzer Einführungssatz erklärt, worum es geht. '''Beispiel Deutsch:''' ''Wir setzen auf Nachhaltigkeit – von der Materialwahl bis zum sozialen Engagement.'' '''Beispiel Englisch:''' ''We are committed to sustainability – from material choices to social responsibility.'' ==== Bereich 3: Die drei Schwerpunkte ==== Die drei Kernthemen aus der Aufgabenstellung werden als eigene Abschnitte dargestellt: * Nachhaltige Materialien * Klimabewusste Produktion * Soziales Engagement ==== Bereich 4: Teilnahme der Kundschaft ==== Ein Abschnitt zeigt, wie Kundinnen und Kunden mitmachen können. ==== Bereich 5: QR-Code und Abschluss ==== * QR-Code * kurzer Handlungsaufruf * eventuell Webadresse == 5. Textinhalt für den Flyer formulieren == Die Texte sollen kurz, verständlich und werbewirksam sein. === Textvorschlag auf Deutsch === ==== Titel ==== '''Nachhaltigkeitsinitiative''' ==== Einleitung ==== ''Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft. Mit unserer Nachhaltigkeitsinitiative gestalten wir eine bewusstere Zukunft.'' ==== Abschnitt 1: Nachhaltige Materialien ==== '''Nachhaltige Materialien''' ''Wir verwenden recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe.'' ==== Abschnitt 2: Klimabewusste Produktion ==== '''Klimabewusste Produktion''' ''Wir arbeiten mit lokalen Partnern, nutzen energiesparende Prozesse und setzen auf kompakte Verpackungen.'' ==== Abschnitt 3: Soziales Engagement ==== '''Soziales Engagement''' ''Wir fördern faire Arbeitsbedingungen und unterstützen Umweltbildungsprojekte.'' ==== Abschnitt 4: So können Sie teilnehmen ==== '''So können Sie mitmachen''' * nachhaltige Produkte bewusst wählen * Verpackungen korrekt recyceln * unsere Initiative unterstützen und weiterempfehlen ==== Abschluss ==== ''Erfahren Sie mehr über unsere Nachhaltigkeitsinitiative.'' === Textvorschlag auf Englisch === ==== Title ==== '''Sustainability Initiative''' ==== Introduction ==== ''Urban essence takes responsibility for the environment and society. With our sustainability initiative, we help shape a more conscious future.'' ==== Section 1: Sustainable Materials ==== '''Sustainable Materials''' ''We use recycled, biodegradable, and renewable resources.'' ==== Section 2: Climate-Conscious Production ==== '''Climate-Conscious Production''' ''We work with local partners, use energy-saving processes, and focus on compact packaging.'' ==== Section 3: Social Commitment ==== '''Social Commitment''' ''We promote fair working conditions and support environmental education projects.'' ==== Section 4: How Customers Can Participate ==== '''How You Can Participate''' * choose sustainable products consciously * recycle packaging correctly * support and share our initiative ==== Closing ==== ''Learn more about our sustainability initiative.'' == 6. Zweisprachigkeit sinnvoll umsetzen == Da der Flyer auf Deutsch und Englisch erstellt werden muss, gibt es verschiedene Möglichkeiten. === Empfohlene Variante === Die Inhalte werden auf '''einem Flyer klar getrennt''' dargestellt: * obere Hälfte: Deutsch * untere Hälfte: Englisch === Alternative === * linke Spalte: Deutsch * rechte Spalte: Englisch === Wichtig === Die Sprachen müssen optisch klar getrennt sein, damit der Flyer übersichtlich bleibt. == 7. Farbkonzept anwenden == Die vorgegebenen Unternehmensfarben müssen sichtbar eingebaut werden: * '''Dunkelgrün''' als Hauptfarbe * '''Weiss''' für Flächen oder Schrift * '''Gold''' für Akzente === Konkrete Anwendung === * Hintergrund: Weiss oder sehr hell * Überschriften: Dunkelgrün * Linien, Symbole oder kleine Highlights: Gold * Text: Dunkelgrün oder Schwarzgrün * QR-Code-Bereich: mit goldener oder dunkelgrüner Umrandung hervorheben === Begründung === So wirkt der Flyer elegant, professionell und markengerecht. == 8. Passende Gestaltungselemente auswählen == Canva bietet viele Designelemente. Für diese Aufgabe sollten nur wenige, passende Elemente verwendet werden. === Geeignet sind === * Blätter * Recycling-Symbole * Natur- oder Umwelt-Icons * dezente Linien * geometrische Formen zur Gliederung === Nicht geeignet sind === * zu viele verschiedene Farben * verspielte Comic-Elemente * überladene Hintergründe * zu viele Schriftarten == 9. Passende Schriftarten wählen == Für einen professionellen Flyer sollten maximal zwei Schriftarten verwendet werden. === Empfehlung === * eine klare Schrift für Überschriften * eine gut lesbare Schrift für Fliesstext === Wichtig === Die Schrift muss: * gut lesbar * modern * professionell sein. == 10. QR-Code einfügen == Die Aufgabenstellung verlangt einen QR-Code zur Unternehmensseite. === Vorgehen in Canva === # In Canva links auf '''Apps''' klicken # '''QR Code''' auswählen # Eine URL eingeben, zum Beispiel die Website des Unternehmens # QR-Code generieren # QR-Code im unteren Bereich des Flyers platzieren === Hinweis === Der QR-Code muss laut Aufgabe '''nicht funktionieren'''. Wichtig ist nur, dass er vorhanden ist und optisch zum Flyer passt. == 11. Konkrete Umsetzung in Canva == === Schritt-für-Schritt === # Canva öffnen # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer''' auswählen # Eine schlichte Vorlage wählen oder mit leerem Design starten # Hintergrundfarbe festlegen # Titel einfügen # Deutschen Text platzieren # Englischen Text platzieren # Farben Gold, Weiss und Dunkelgrün konsequent anwenden # Symbole oder kleine grafische Elemente ergänzen # QR-Code einfügen # Abstände, Ausrichtung und Lesbarkeit kontrollieren == 12. Layout professionell gestalten == Ein Flyer wirkt professionell, wenn Ordnung und Klarheit erkennbar sind. === Darauf achten === * genügend Abstand zwischen den Abschnitten * klare Überschriften * gleichmässige Ausrichtung * nicht zu viel Text auf engem Raum * wichtige Aussagen hervorheben * Farben einheitlich verwenden === Grundregel === ''Weniger ist mehr.'' == 13. Flyer überprüfen == Vor dem Abschluss muss kontrolliert werden, ob alle Anforderungen erfüllt sind. === Checkliste === * Ist der Flyer in Canva erstellt? * Ist der Flyer professionell gestaltet? * Sind die Farben Gold, Weiss und Dunkelgrün enthalten? * Sind die Inhalte kurz und knapp formuliert? * Sind alle drei Nachhaltigkeitsbereiche enthalten? * Werden Möglichkeiten zur Teilnahme genannt? * Ist ein QR-Code vorhanden? * Sind Deutsch und Englisch enthalten? * Ist alles gut lesbar und übersichtlich? == 14. Flyer exportieren == === Vorgehen === # In Canva oben rechts auf '''Teilen''' klicken # '''Herunterladen''' auswählen # Dateiformat '''PDF''' wählen # Datei speichern === Begründung === Ein PDF eignet sich gut für Druck oder digitale Abgabe. = Muster für einen möglichen Flyertext = == Deutsch == '''Urban essence''' '''Nachhaltigkeitsinitiative''' ''Wir setzen auf Nachhaltigkeit in allen Bereichen unseres Unternehmens.'' '''Nachhaltige Materialien''' Wir verwenden recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe. '''Klimabewusste Produktion''' Lokale Partner, energiesparende Prozesse und kompakte Verpackungen helfen uns, die Umwelt zu schonen. '''Soziales Engagement''' Wir fördern faire Arbeitsbedingungen und unterstützen Umweltbildungsprojekte. '''So können Sie mitmachen''' * nachhaltige Produkte wählen * Verpackungen recyceln * unsere Initiative weiterempfehlen ''Mehr erfahren: QR-Code scannen'' == English == '''Urban essence''' '''Sustainability Initiative''' ''We are committed to sustainability in every part of our business.'' '''Sustainable Materials''' We use recycled, biodegradable, and renewable resources. '''Climate-Conscious Production''' Local partners, energy-saving processes, and compact packaging help us reduce environmental impact. '''Social Commitment''' We support fair working conditions and environmental education projects. '''How You Can Participate''' * choose sustainable products * recycle packaging * share and support our initiative ''Learn more: Scan the QR code'' = Fazit = Um die Aufgabe erfolgreich zu lösen, muss der Flyer nicht nur inhaltlich korrekt sein, sondern auch professionell gestaltet werden. Entscheidend ist, dass alle Vorgaben vollständig umgesetzt werden: * Nachhaltigkeitsinhalte * Teilnahme der Kunden * QR-Code * Zweisprachigkeit * Firmenfarben * professionelle Gestaltung Wenn diese Punkte beachtet werden, entspricht der Flyer den Anforderungen der Aufgabenstellung vollumfänglich. h7sc9k0u38gac9j9vy0vktd6qj8h69d 1077641 1077637 2026-04-19T07:13:02Z Paul Sutermeister 37610 1077641 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Canva öffnen == # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen == Hintergrund == * Hintergrund auf '''Weiss''' setzen == Titel einfügen == '''Urban essence'''<br> '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' * Überschrift einfügen * Farbe: '''Dunkelgrün''' == Deutschen Text einfügen == '''DEUTSCH''' Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft. '''Nachhaltige Materialien'''<br> Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe. '''Klimabewusste Produktion'''<br> Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen. '''Soziales Engagement'''<br> Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte. '''So können Sie teilnehmen'''<br> * nachhaltige Produkte wählen * Verpackungen recyceln * Initiative unterstützen QR-Code scannen für mehr Infos. == Englischen Text einfügen == '''ENGLISH''' Urban essence takes responsibility for the environment and society. '''Sustainable Materials'''<br> Recycled, biodegradable, and renewable resources. '''Climate-Conscious Production'''<br> Local partners, energy-efficient processes, compact packaging. '''Social Commitment'''<br> Fair working conditions and environmental education. '''How You Can Participate'''<br> * choose sustainable products * recycle packaging * support the initiative Scan the QR code for more information. == Layout == * Oben: Titel * Mitte: Deutsch * Darunter: Englisch * Unten rechts: QR-Code == QR-Code == # Links auf '''Apps''' klicken # '''QR Code''' wählen # Eine URL eingeben # QR-Code unten rechts platzieren == Farben == * Hintergrund: '''Weiss''' * Titel und Überschriften: '''Dunkelgrün''' * Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' == Export == # Auf '''Teilen''' klicken # '''Download''' wählen # Als '''PDF''' speichern 8vonqqzomen68h4gc55cm9ix62ic0nc 1077643 1077641 2026-04-19T07:25:05Z Paul Sutermeister 37610 /* Hintergrund */ 1077643 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Canva öffnen == # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen # Hintergrund auf '''Weiss''' setzen (in weisse Fläche klicken, dann auf farbigen Kreis oben klicken) == Titel einfügen == '''Urban essence'''<br> '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' * Überschrift einfügen * Farbe: '''Dunkelgrün''' == Deutschen Text einfügen == '''DEUTSCH''' Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft. '''Nachhaltige Materialien'''<br> Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe. '''Klimabewusste Produktion'''<br> Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen. '''Soziales Engagement'''<br> Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte. '''So können Sie teilnehmen'''<br> * nachhaltige Produkte wählen * Verpackungen recyceln * Initiative unterstützen QR-Code scannen für mehr Infos. == Englischen Text einfügen == '''ENGLISH''' Urban essence takes responsibility for the environment and society. '''Sustainable Materials'''<br> Recycled, biodegradable, and renewable resources. '''Climate-Conscious Production'''<br> Local partners, energy-efficient processes, compact packaging. '''Social Commitment'''<br> Fair working conditions and environmental education. '''How You Can Participate'''<br> * choose sustainable products * recycle packaging * support the initiative Scan the QR code for more information. == Layout == * Oben: Titel * Mitte: Deutsch * Darunter: Englisch * Unten rechts: QR-Code == QR-Code == # Links auf '''Apps''' klicken # '''QR Code''' wählen # Eine URL eingeben # QR-Code unten rechts platzieren == Farben == * Hintergrund: '''Weiss''' * Titel und Überschriften: '''Dunkelgrün''' * Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' == Export == # Auf '''Teilen''' klicken # '''Download''' wählen # Als '''PDF''' speichern 2ywyu3paf0ir7ck65rtp4zi66930fzg 1077645 1077643 2026-04-19T07:27:35Z Paul Sutermeister 37610 1077645 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Anleitung == === Anfang === # Canva öffnen (Gratisversion) # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen # Hintergrund auf '''Weiss''' setzen (in weisse Fläche klicken, dann auf farbigen Kreis oben klicken) === Titel einfügen === '''Urban essence'''<br> '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' * Überschrift einfügen * Farbe: '''Dunkelgrün''' === Deutschen Text einfügen === '''DEUTSCH''' Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft. '''Nachhaltige Materialien'''<br> Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe. '''Klimabewusste Produktion'''<br> Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen. '''Soziales Engagement'''<br> Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte. '''So können Sie teilnehmen'''<br> * nachhaltige Produkte wählen * Verpackungen recyceln * Initiative unterstützen QR-Code scannen für mehr Infos. === Englischen Text einfügen === '''ENGLISH''' Urban essence takes responsibility for the environment and society. '''Sustainable Materials'''<br> Recycled, biodegradable, and renewable resources. '''Climate-Conscious Production'''<br> Local partners, energy-efficient processes, compact packaging. '''Social Commitment'''<br> Fair working conditions and environmental education. '''How You Can Participate'''<br> * choose sustainable products * recycle packaging * support the initiative Scan the QR code for more information. === Layout === * Oben: Titel * Mitte: Deutsch * Darunter: Englisch * Unten rechts: QR-Code === QR-Code === # Links auf '''Apps''' klicken # '''QR Code''' wählen # Eine URL eingeben # QR-Code unten rechts platzieren === Farben === * Hintergrund: '''Weiss''' * Titel und Überschriften: '''Dunkelgrün''' * Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' === Export === # Auf '''Teilen''' klicken # '''Download''' wählen # Als '''PDF''' speichern 5s4srlosu5hqm2v6u89gu5fo3bjozov 1077648 1077645 2026-04-19T07:56:29Z Paul Sutermeister 37610 /* Anleitung */ 1077648 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Anleitung == === Anfang === # Canva öffnen (Gratisversion) # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen # Hintergrund auf '''Weiss''' setzen (in weisse Fläche klicken, dann auf farbigen Kreis oben klicken) === Titel einfügen === '''Urban essence'''<br> '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' # Überschrift einfügen: links auf "Text" klicken, dann Formatvorlage "Überschrift hinzufügen" auswählen # Farbe: '''Dunkelgrün''' === Deutschen Text einfügen === '''DEUTSCH''' Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft. '''Nachhaltige Materialien'''<br> Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe. '''Klimabewusste Produktion'''<br> Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen. '''Soziales Engagement'''<br> Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte. '''So können Sie teilnehmen'''<br> * nachhaltige Produkte wählen * Verpackungen recyceln * Initiative unterstützen QR-Code scannen für mehr Infos. === Englischen Text einfügen === '''ENGLISH''' Urban essence takes responsibility for the environment and society. '''Sustainable Materials'''<br> Recycled, biodegradable, and renewable resources. '''Climate-Conscious Production'''<br> Local partners, energy-efficient processes, compact packaging. '''Social Commitment'''<br> Fair working conditions and environmental education. '''How You Can Participate'''<br> * choose sustainable products * recycle packaging * support the initiative Scan the QR code for more information. === Layout === * Oben: Titel * Mitte: Deutsch * Darunter: Englisch * Unten rechts: QR-Code === QR-Code === # Links auf '''Apps''' klicken # '''QR Code''' wählen # Eine URL eingeben # QR-Code unten rechts platzieren === Farben === * Hintergrund: '''Weiss''' * Titel und Überschriften: '''Dunkelgrün''' * Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' === Export === # Auf '''Teilen''' klicken # '''Download''' wählen # Als '''PDF''' speichern oorwno8xhsch0ce3xbz1xc9k2xhirzx 1077650 1077648 2026-04-19T08:01:34Z Paul Sutermeister 37610 /* Titel einfügen */ 1077650 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Anleitung == === Anfang === # Canva öffnen (Gratisversion) # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen # Hintergrund auf '''Weiss''' setzen (in weisse Fläche klicken, dann auf farbigen Kreis oben klicken) # '''Überschrift''' einfügen: links auf "Text" klicken, dann Formatvorlage "Überschrift hinzufügen" auswählen, dann '''Urban essence''' reinschreiben # Zwischenüberschrift hinzufügen: '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' reinschreiben # Textfarben der beiden Überschriften: '''Dunkelgrün''' # Führungslinien helfen beim Ausrichten === Deutschen Text einfügen === '''DEUTSCH''' Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft. '''Nachhaltige Materialien'''<br> Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe. '''Klimabewusste Produktion'''<br> Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen. '''Soziales Engagement'''<br> Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte. '''So können Sie teilnehmen'''<br> * nachhaltige Produkte wählen * Verpackungen recyceln * Initiative unterstützen QR-Code scannen für mehr Infos. === Englischen Text einfügen === '''ENGLISH''' Urban essence takes responsibility for the environment and society. '''Sustainable Materials'''<br> Recycled, biodegradable, and renewable resources. '''Climate-Conscious Production'''<br> Local partners, energy-efficient processes, compact packaging. '''Social Commitment'''<br> Fair working conditions and environmental education. '''How You Can Participate'''<br> * choose sustainable products * recycle packaging * support the initiative Scan the QR code for more information. === Layout === * Oben: Titel * Mitte: Deutsch * Darunter: Englisch * Unten rechts: QR-Code === QR-Code === # Links auf '''Apps''' klicken # '''QR Code''' wählen # Eine URL eingeben # QR-Code unten rechts platzieren === Farben === * Hintergrund: '''Weiss''' * Titel und Überschriften: '''Dunkelgrün''' * Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' === Export === # Auf '''Teilen''' klicken # '''Download''' wählen # Als '''PDF''' speichern fte1q59osm469f96ehot4by3wdy2w0p 1077651 1077650 2026-04-19T08:02:07Z Paul Sutermeister 37610 /* Anleitung */ 1077651 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Anleitung == === Anfang === # Canva öffnen (Gratisversion) # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen # Hintergrund auf '''Weiss''' setzen (in weisse Fläche klicken, dann auf farbigen Kreis oben klicken) # '''Überschrift''' einfügen: links auf "Text" klicken, dann Formatvorlage "Überschrift hinzufügen" auswählen, dann '''Urban essence''' reinschreiben # Zwischenüberschrift hinzufügen: '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' reinschreiben # Textfarben der beiden Überschriften: '''Dunkelgrün''' # Führungslinien helfen beim Ausrichten === Deutschen Text einfügen === '''DEUTSCH''' Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft. '''Nachhaltige Materialien'''<br> Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe. '''Klimabewusste Produktion'''<br> Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen. '''Soziales Engagement'''<br> Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte. '''So können Sie teilnehmen'''<br> * nachhaltige Produkte wählen * Verpackungen recyceln * Initiative unterstützen QR-Code scannen für mehr Infos. === Englischen Text einfügen === '''ENGLISH''' Urban essence takes responsibility for the environment and society. '''Sustainable Materials'''<br> Recycled, biodegradable, and renewable resources. '''Climate-Conscious Production'''<br> Local partners, energy-efficient processes, compact packaging. '''Social Commitment'''<br> Fair working conditions and environmental education. '''How You Can Participate'''<br> * choose sustainable products * recycle packaging * support the initiative Scan the QR code for more information. === Layout === * Oben: Titel * Mitte: Deutsch * Darunter: Englisch * Unten rechts: QR-Code === QR-Code === # Links auf '''Apps''' klicken # '''QR Code''' wählen # Eine URL eingeben # QR-Code unten rechts platzieren === Farben === * Hintergrund: '''Weiss''' * Titel und Überschriften: '''Dunkelgrün''' * Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' === Export === # Auf '''Teilen''' klicken # '''Download''' wählen # Als '''PDF''' speichern cpmgq58ivacghwkotk4tv4rt6nx146e 1077663 1077651 2026-04-19T09:01:41Z Paul Sutermeister 37610 1077663 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Anleitung == # Canva öffnen (Gratisversion) # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen # Hintergrund auf '''Dunkelgrün''' setzen (in weisse Fläche klicken, dann auf farbigen Kreis oben klicken) # '''Überschrift''' einfügen: links auf "Text" klicken, dann Formatvorlage "Überschrift hinzufügen" auswählen, dann '''Urban essence''' reinschreiben # Zwischenüberschrift hinzufügen: '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' reinschreiben # Textfarben der beiden Überschriften: '''Weiss''' # Führungslinien helfen beim Ausrichten # Textfelder hinzufügen:<br><big>Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft.</big><br>'''Nachhaltige Materialien'''<br>Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe.<br>'''Klimabewusste Produktion'''<br>Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen.<br>'''Soziales Engagement'''<br>Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte.<br>'''So können Sie teilnehmen'''<br>* nachhaltige Produkte wählen<br>* Verpackungen recyceln<br>* Initiative unterstützen<br>QR-Code scannen für mehr Infos.<br><br><big>Urban essence takes responsibility for the environment and society.</big><br>'''Sustainable Materials'''<br>Recycled, biodegradable, and renewable resources.<br>'''Climate-Conscious Production'''<br>Local partners, energy-efficient processes, compact packaging.<br>'''Social Commitment'''<br>Fair working conditions and environmental education.<br>'''How You Can Participate'''<br>* choose sustainable products<br>* recycle packaging<br>* support the initiative<br>Scan the QR code for more information. # Layout-Vorschlag: Oben Titel, Mitte Deutsch, darunter Englisch, zuunterst zentriert QR-Code # QR-Code: Links auf '''Apps''' klicken, '''QR Code''' wählen, eine URL eingeben, QR-Code zentriert mittig platzieren # Allgemeiner Farbenvorschlag:<br>* Hintergrund: '''Dunkelgrün'''<br>* Titel und Überschriften: '''Weiss'''<br>* Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' # '''Export:''' auf '''Teilen''' klicken, '''Download''' wählen, als '''PDF''' speichern ca4g38hemyafvs6sd1vdy0lejxfhxp0 1077668 1077663 2026-04-19T09:09:21Z Paul Sutermeister 37610 1077668 wikitext text/x-wiki = Flyer = Ziel: Einen einfachen Flyer erstellen, der folgende Kriterien erfüllt: * Deutsch vorhanden * Englisch vorhanden * Nachhaltige Materialien enthalten * Klimabewusste Produktion enthalten * Soziales Engagement enthalten * Teilnahme erwähnt * QR-Code vorhanden * Gold, Weiss und Dunkelgrün verwendet == Anleitung == # Canva öffnen (Gratisversion) # Auf '''Erstellen''' klicken # '''Flyer (A4)''' auswählen # Leeres Design wählen # Hintergrund auf '''Dunkelgrün''' setzen (in weisse Fläche klicken, dann auf farbigen Kreis oben klicken) # '''Überschrift''' einfügen: links auf "Text" klicken, dann Formatvorlage "Überschrift hinzufügen" auswählen, dann '''Urban essence''' reinschreiben # Zwischenüberschrift hinzufügen: '''Nachhaltigkeitsinitiative | Sustainability Initiative''' reinschreiben # Textfarben der beiden Überschriften: '''Weiss''' # Führungslinien helfen beim Ausrichten # Textfelder hinzufügen:<br><big>Urban essence übernimmt Verantwortung für Umwelt und Gesellschaft.</big><br>'''Nachhaltige Materialien'''<br>Recycelte, biologisch abbaubare und nachwachsende Rohstoffe.<br>'''Klimabewusste Produktion'''<br>Lokale Partner, energiesparende Prozesse, kompakte Verpackungen.<br>'''Soziales Engagement'''<br>Faire Arbeitsbedingungen und Umweltbildungsprojekte.<br>'''So können Sie teilnehmen'''<br>* nachhaltige Produkte wählen<br>* Verpackungen recyceln<br>* Initiative unterstützen<br>QR-Code scannen für mehr Infos.<br><br><big>Urban essence takes responsibility for the environment and society.</big><br>'''Sustainable Materials'''<br>Recycled, biodegradable, and renewable resources.<br>'''Climate-Conscious Production'''<br>Local partners, energy-efficient processes, compact packaging.<br>'''Social Commitment'''<br>Fair working conditions and environmental education.<br>'''How You Can Participate'''<br>* choose sustainable products<br>* recycle packaging<br>* support the initiative<br>Scan the QR code for more information. # Layout-Vorschlag: Oben Titel, Mitte Deutsch, darunter Englisch, zuunterst zentriert QR-Code # QR-Code: Links auf '''Apps''' klicken, '''QR Code''' wählen, eine URL eingeben, QR-Code zentriert mittig platzieren # Grafisches Element einfügen: links '''Elemente''' auswählen, dann zum Beispiel im KI-Textfeld "sustainability" einfügen, eine Grafik auswählen, die Grafik zum Beispiel mit Hilfe der Führungslinien an den unteren Rand des Flyers ziehen, zuletzt oben Transparenz erhöhen (auf "Schachbrettchen" klicken) # Allgemeiner Farbenvorschlag:<br>* Hintergrund: '''Dunkelgrün'''<br>* Titel und Überschriften: '''Weiss'''<br>* Kleine Deko oder Linie: '''Gold''' # '''Export:''' auf '''Teilen''' klicken, '''Download''' wählen, als '''PDF''' speichern lceczegzrrzl1qaqfdqrabx26xoiflv 0 170213 1077667 2026-04-19T09:06:14Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Definition]] erstellt 1077667 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Definition]] efcnyn77gkm3j1gba0c19ypb28ax97f