Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 77657 1078044 455491 2026-04-23T14:42:22Z Bocardodarapti 2041 1078044 wikitext text/x-wiki {{Mathematischer Text/BinoidBeispiel |Binoid={{math|term=M=\mathsf{F} \mathsf{C}(x,y)/(x+y=\infty)}} |Boolesch=- |EndlichErzeugt=x |SemiFrei=x |Integer=- |Reduziert=x |Dimension={{math|term=1}} |Binoidalgebra={{math|term=K[M]=K[X,Y]/(XY)}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Kommutative Binoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Binoid |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tsrtnoeci0o2r6w0yudgdxf58hbu651 106 92753 1078068 1055045 2026-04-24T09:50:17Z Bert Niehaus 20843 /* Semester */ 1078068 wikitext text/x-wiki In jedem Semester besteht die Möglichkeit der Bearbeitung * der Themen aus vorherigen Semester, (Weiterentwicklen der existierende Modelle/Aufgaben) * neuer Modelllierungsthemen in einem Anwendungsgebiet freier Wahl (optimalerweise aus dem Zweitfach) * das Thema '''''Modellierung der Luftverunreinigung durch Diffusionsgleichung''''' * das Thema der '''''Populationsdynamik (Wachstumsprozesse)''''' mithilfe einfacher oder gekoppelter stetiger Populationsmodelle Mathematische Hintergründe zu der [[w:Lotka-Volterra-Regeln|'''Populationsdynamik''']] und der [[w:Wärmeleitungsgleichung|'''Diffusionsgleichung''']] (physikalische Herleitung, die Lösbarkeit die numerische Diskretisierung) werden in der Vorlesung speziell behandelt und '''[[Octave]]'''-Skripte mit Implementierten numerischen Verfahren zur Verfügung gestellt. Siehe auch [[Kurs:Mathematische Modellbildung#Kapitel 3: Fachmathematische Aspekte|'''Fachmathematische Aspekte''']], die zukünftig ergänzt werden. Zur Inspiration findet man einige Aufgabe und Projekte (mit Bearbeitung) in <ref>Engel J.:Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion, 2. Auflage(2018) Springer Verlag</ref>, wie auch <ref>Haigh, J.: Mathematics in Everyday Life, Springer 2016</ref>. == Einführungsthemen == * [[/Parkplatzproblem/]] * [[/Elfmeter: Wahrscheinlichkeit/]]<ref>Krengel, U. (1988). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Vol. 8). Braunschweig: Vieweg.</ref> * [[Tennis: Das perfekte Ass]] (Johannes Kempf, Henrik Ossadnik) * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle|Räuber-Beute-Modelle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften|Modellierung von Produkteigenschaften]] == Semester == * '''[[/2026 Sommersemester/|Aktuelle Semesterprojekte WS2025/26]]''' * [[/2017-18 Wintersemester/]] * [[/2018-19 Wintersemester/]] * [[/2019-20 Wintersemester/]] * [[/2020-21 Winteresemester/]] * [[/2021-22 Winteresemester/]] * [[/2022-23 Winteresemester/]] * [[/2023-24 Wintersemester/]] * [[/2024-25 Wintersemester/]] * [[/2025-26 Wintersemester/]] == Portfolio-Präsentationen == * Die Portfolio-Präsentationen können Sie als [[Wiki2Reveal]]-Präsentation direkt in Wikiversity erstellen - siehe [[Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Tutorial]]- * [[/Demo-Portfolio-Seite/]] * [[/Demo-Gruppen-Info/]] == Themenbereiche == Themenbereiche können bzgl. inhaltlicher Themenbereiche und der mathematischen Themenbereiche unterschieden werden. * aus den inhaltlichen Themenbereichen stammen die Modellierungsprobleme, * aus den mathematischen Themenbereichen stammen die Werkzeuge für die Modellierungsansätze, === Inhaltliche Themenbereiche === * [[/Biologie/]] * [[/Bildungswissenschaften/]] * [[/Geographie/]] * [[/Gesundheit/]] * [[/Informatik/]] * [[/Physik/]] * [[/Klima/]] * [[/Politik/]] * [[/Sozialwissenschaften/]] * [[/Sport/]] * [[/Umwelt/]] * [[/Wirtschaft/]] === Mathematische Themenbereiche === * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Güte von Modellen|Güte von Modellen]] * Stochastische Modellbildung - (siehe auch [[Kurs:Stochastik]] als Einführung), * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] * [[Kurs:Numerik I|Numerische Modellbildung]], * Geometrische Modellbildung, * Netzwerkbasierte Modellbildungsansätze (Graphentheorie) * == Literatur == <references /> 0oeribymlxf3jsd2irp2nmtx9ygu9vm 1078086 1078068 2026-04-24T09:52:52Z Bert Niehaus 20843 /* Semester */ 1078086 wikitext text/x-wiki In jedem Semester besteht die Möglichkeit der Bearbeitung * der Themen aus vorherigen Semester, (Weiterentwicklen der existierende Modelle/Aufgaben) * neuer Modelllierungsthemen in einem Anwendungsgebiet freier Wahl (optimalerweise aus dem Zweitfach) * das Thema '''''Modellierung der Luftverunreinigung durch Diffusionsgleichung''''' * das Thema der '''''Populationsdynamik (Wachstumsprozesse)''''' mithilfe einfacher oder gekoppelter stetiger Populationsmodelle Mathematische Hintergründe zu der [[w:Lotka-Volterra-Regeln|'''Populationsdynamik''']] und der [[w:Wärmeleitungsgleichung|'''Diffusionsgleichung''']] (physikalische Herleitung, die Lösbarkeit die numerische Diskretisierung) werden in der Vorlesung speziell behandelt und '''[[Octave]]'''-Skripte mit Implementierten numerischen Verfahren zur Verfügung gestellt. Siehe auch [[Kurs:Mathematische Modellbildung#Kapitel 3: Fachmathematische Aspekte|'''Fachmathematische Aspekte''']], die zukünftig ergänzt werden. Zur Inspiration findet man einige Aufgabe und Projekte (mit Bearbeitung) in <ref>Engel J.:Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion, 2. Auflage(2018) Springer Verlag</ref>, wie auch <ref>Haigh, J.: Mathematics in Everyday Life, Springer 2016</ref>. == Einführungsthemen == * [[/Parkplatzproblem/]] * [[/Elfmeter: Wahrscheinlichkeit/]]<ref>Krengel, U. (1988). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Vol. 8). Braunschweig: Vieweg.</ref> * [[Tennis: Das perfekte Ass]] (Johannes Kempf, Henrik Ossadnik) * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle|Räuber-Beute-Modelle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften|Modellierung von Produkteigenschaften]] == Semester == * '''[[/2026 Sommersemester/|Aktuelle Semesterprojekte WS2025/26]]''' * [[/2017-18 Wintersemester/]] * [[/2018-19 Wintersemester/]] * [[/2019-20 Wintersemester/]] * [[/2020-21 Wintersemester/]] * [[/2021-22 Wintersemester/]] * [[/2022-23 Winteresemester/]] * [[/2023-24 Wintersemester/]] * [[/2024-25 Wintersemester/]] * [[/2025-26 Wintersemester/]] == Portfolio-Präsentationen == * Die Portfolio-Präsentationen können Sie als [[Wiki2Reveal]]-Präsentation direkt in Wikiversity erstellen - siehe [[Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Tutorial]]- * [[/Demo-Portfolio-Seite/]] * [[/Demo-Gruppen-Info/]] == Themenbereiche == Themenbereiche können bzgl. inhaltlicher Themenbereiche und der mathematischen Themenbereiche unterschieden werden. * aus den inhaltlichen Themenbereichen stammen die Modellierungsprobleme, * aus den mathematischen Themenbereichen stammen die Werkzeuge für die Modellierungsansätze, === Inhaltliche Themenbereiche === * [[/Biologie/]] * [[/Bildungswissenschaften/]] * [[/Geographie/]] * [[/Gesundheit/]] * [[/Informatik/]] * [[/Physik/]] * [[/Klima/]] * [[/Politik/]] * [[/Sozialwissenschaften/]] * [[/Sport/]] * [[/Umwelt/]] * [[/Wirtschaft/]] === Mathematische Themenbereiche === * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Güte von Modellen|Güte von Modellen]] * Stochastische Modellbildung - (siehe auch [[Kurs:Stochastik]] als Einführung), * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] * [[Kurs:Numerik I|Numerische Modellbildung]], * Geometrische Modellbildung, * Netzwerkbasierte Modellbildungsansätze (Graphentheorie) * == Literatur == <references /> b9bqrsbggq3l93w3qvqy5rpcxonbshr 1078089 1078086 2026-04-24T09:55:47Z Bert Niehaus 20843 /* Semester */ 1078089 wikitext text/x-wiki In jedem Semester besteht die Möglichkeit der Bearbeitung * der Themen aus vorherigen Semester, (Weiterentwicklen der existierende Modelle/Aufgaben) * neuer Modelllierungsthemen in einem Anwendungsgebiet freier Wahl (optimalerweise aus dem Zweitfach) * das Thema '''''Modellierung der Luftverunreinigung durch Diffusionsgleichung''''' * das Thema der '''''Populationsdynamik (Wachstumsprozesse)''''' mithilfe einfacher oder gekoppelter stetiger Populationsmodelle Mathematische Hintergründe zu der [[w:Lotka-Volterra-Regeln|'''Populationsdynamik''']] und der [[w:Wärmeleitungsgleichung|'''Diffusionsgleichung''']] (physikalische Herleitung, die Lösbarkeit die numerische Diskretisierung) werden in der Vorlesung speziell behandelt und '''[[Octave]]'''-Skripte mit Implementierten numerischen Verfahren zur Verfügung gestellt. Siehe auch [[Kurs:Mathematische Modellbildung#Kapitel 3: Fachmathematische Aspekte|'''Fachmathematische Aspekte''']], die zukünftig ergänzt werden. Zur Inspiration findet man einige Aufgabe und Projekte (mit Bearbeitung) in <ref>Engel J.:Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion, 2. Auflage(2018) Springer Verlag</ref>, wie auch <ref>Haigh, J.: Mathematics in Everyday Life, Springer 2016</ref>. == Einführungsthemen == * [[/Parkplatzproblem/]] * [[/Elfmeter: Wahrscheinlichkeit/]]<ref>Krengel, U. (1988). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (Vol. 8). Braunschweig: Vieweg.</ref> * [[Tennis: Das perfekte Ass]] (Johannes Kempf, Henrik Ossadnik) * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle|Räuber-Beute-Modelle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften|Modellierung von Produkteigenschaften]] == Semester == * '''[[/2026 Sommersemester/|Aktuelle Semesterprojekte SoSe2026]]''' * [[/2017-18 Wintersemester/]] * [[/2018-19 Wintersemester/]] * [[/2019-20 Wintersemester/]] * [[/2020-21 Wintersemester/]] * [[/2021-22 Wintersemester/]] * [[/2022-23 Winteresemester/]] * [[/2023-24 Wintersemester/]] * [[/2024-25 Wintersemester/]] * [[/2025-26 Wintersemester/]] == Portfolio-Präsentationen == * Die Portfolio-Präsentationen können Sie als [[Wiki2Reveal]]-Präsentation direkt in Wikiversity erstellen - siehe [[Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Tutorial]]- * [[/Demo-Portfolio-Seite/]] * [[/Demo-Gruppen-Info/]] == Themenbereiche == Themenbereiche können bzgl. inhaltlicher Themenbereiche und der mathematischen Themenbereiche unterschieden werden. * aus den inhaltlichen Themenbereichen stammen die Modellierungsprobleme, * aus den mathematischen Themenbereichen stammen die Werkzeuge für die Modellierungsansätze, === Inhaltliche Themenbereiche === * [[/Biologie/]] * [[/Bildungswissenschaften/]] * [[/Geographie/]] * [[/Gesundheit/]] * [[/Informatik/]] * [[/Physik/]] * [[/Klima/]] * [[/Politik/]] * [[/Sozialwissenschaften/]] * [[/Sport/]] * [[/Umwelt/]] * [[/Wirtschaft/]] === Mathematische Themenbereiche === * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Güte von Modellen|Güte von Modellen]] * Stochastische Modellbildung - (siehe auch [[Kurs:Stochastik]] als Einführung), * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] * [[Kurs:Numerik I|Numerische Modellbildung]], * Geometrische Modellbildung, * Netzwerkbasierte Modellbildungsansätze (Graphentheorie) * == Literatur == <references /> 5l97uefo9to5h6yk14fmrcl1w4r3jfo 2 105152 1078045 1059952 2026-04-23T14:44:02Z Bocardodarapti 2041 1078045 wikitext text/x-wiki {{ inputbemerkung |Quasihomogener Ring/Euler-Derivation/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Hyperfläche/3 Variablen/Transformation/1/Beispiel|| }} [[Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Strukturgarbe/Offene Teilmengen/Globaler Schnittring/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Reflexiver Modul/Garbe/Auswertung/Textabschnitt]] [[Isolierte Singularität/Komplement/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Algebra/Spektrum/Realisierung/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Varianten/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Monoidring/Grad 0 Ring/Endliche Gruppe/Tangentialschema/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Kähler-Differentiale/Zweite äußere Potenz/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Äußere Ableitung/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Derivationen/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Isoliert/Dimension geq 3/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt]] [[Tangentialkegel/Einführung/Textabschnitt]] [[Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt]] [[Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt]] [[Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt]] [[Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt]] [[Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt]] [[Hauptteile/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Selbstprodukt/Hauptteilmodul/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A n/Differentialoperatoren/Positive Charakteristik/Beispiel|| }} [[Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Derivation/Hyperfläche/PotenzadditionAusdehnbarkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel|| }} [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt]] [[Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt]] Vorträge [[Differentielle Signatur/Vortrag]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/3/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt]] pl987s6s5w02nhxw3niwhn3dg5of0aj 0 118250 1078051 1048164 2026-04-23T17:32:43Z Bocardodarapti 2041 1078051 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{mathl|term= (M, \leq) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Potenzmenge| M |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | M | {{op:Potenzmenge| M |}} | x | {{Mengebed|y \in M|y \leq x}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |ordnungsvolltreu| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} wobei die Potenzmenge mit der {{ Definitionslink |Inklusion| |Kontext=| |SZ= }} versehen ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen geordneten Mengen |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über geordnete Mengen und Potenzmengen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4zttucwhmy4ed10plxx78tf329kznpy 106 126277 1078069 709593 2026-04-24T09:50:45Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2020-21 Winteresemester]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2020-21 Wintersemester]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Typo fixed 709593 wikitext text/x-wiki == Bearbeitung WS 2020/21 == Vorstellung der Themen ist erfolgt. Die Gruppen treffen sich in Gruppenarbeit in den BigBlueButton-Breakouträumen. Allgemeine Hinweise zum Videokonferenzsystem BBB finden Sie mit dem Link zu "[[Videokonferenz|Breakoutraum XXX]]". === Gruppe 1 === * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 1:]]''' [[../Corona-Modellierung|Corona-Modellierung]] - [[../../Aufgaben|A0]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 2:]]''' [[../Klimawandel|Klimawandel]] - [[../../Aufgaben|A0]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 3:]]''' [[../Augmented Reality|Augmented Reality]] - [[../../Aufgaben|A0]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 4:]]''' [[../Stromerzeugung durch kinetische Energie|Stromerzeugung durch kinetische Energie]] - [[../../Aufgaben|A1]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 5:]]''' [[../Schadstoffverteilung im Boden|Schadstoffverteilung im Boden]] - [[../../Aufgaben|A1]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 6:]]''' [[../Sprache und Semantische Netze|Sprache und Semantische Netze]] - [[../../Aufgaben|A0]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 7:]]''' [[../Mehrwegbechersysteme|Mehrwegbechersysteme]] - [[../../Aufgaben|A0]] === Gruppe 2 === * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 1:]]''' [[../Corona-Modellierung|Corona-Modellierung]] - [[../../Aufgaben|A1]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 2:]]''' [[../Klimawandel|Klimawandel]] - [[../../Aufgaben|A1]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 3:]]''' [[../3D-Modelle und Perspektive|3D-Modelle und Perspektive]] - [[../../Aufgaben|A1]],... * '''[[Videokonferenz|Breakoutraum 4:]]''' [[Zielanalyse beim Dartspielen|Zielanalyse beim Dartspielen]] - [[../../Aufgaben|A1]],... dddbp1qz9tc3zpx84tyw3enk64vcbde 0 128943 1078055 1077763 2026-04-24T04:07:49Z Jeb 26942 File:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf| 1078055 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] == April == [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] jtk3jsi581igf1c158eg3x3ygxgls3s 106 134324 1078070 871527 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester]]: Typo fixed 871527 wikitext text/x-wiki == Gruppe 1 - Mo 10-12 == === Thema 1: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Wirtschaftliche Entwicklungsprognosen|Wirtschaftliche Entwicklungsprognosen]] === * Anne Luksch, Verena Berger, John Pham * eine Prognose für eine Aktie berechnen. * Ziel: Möglichkeit eigenständig eine Prognose für den nächsten Monat zu berechnen, ohne täglich auf Aktienverläufe achten zu müssen. * Zielgruppe: risikofreudige und risikoaverse Aktionäre, die Entscheidungen darüber treffen müssen, ob sie ihre Aktie in diesem Monat verkaufen oder sie noch weiter halten sollten. ==== Softwareeinsatz ==== * Tabellenkalkulation, * Geogebra * wxMaxima ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 2: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften|Anforderungen und Eigenschaften an ein Produkt modellieren - am Beispiel Schultasche]] === * Mathematische Modellbildung für eine Produktmodellierung (Sek I) Formen und Körper aus der Geometrie, Alle Gegenstände in die Tasche bekommen. * Räumliche Optimierung, Gewichtsoptimierung (möglichst leicht) um die Anforderungen zu erfüllen. (Sek II) * Datenerhebung mit Tabellenkalkulation ==== Softwareeinsatz ==== * [[Geogebra|Gegebra-3D]] (Sek II) * [[3D-Modellierung/Beispiele|Aframe  AR.js - Visualisierung von Objekten]]. ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 4: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Lehrerbedarf|Prognose für den Lehrerbedarf]] === * Lara Marie Drexler, Emily Reiser, Helena Vogel, Anna Schieler * Wie sieht der Bedarf an Mathematiklehrkräften 2026 an rheinland-pfälzischen Gymnasien aus? * Zielgruppe: Bildungspolitiker:innen und Studieninteressierte ==== Softwareeinsatz ==== * Tabellenkalkulation * GeoGebra * wxMaxima ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A2]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A3]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A4]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A5]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A6]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A7]] === Thema 5: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellbildung in der Genetik|Vererbung von Hüftdisplasie beim Hund]] === * Modellierung genetischer Merkmale, Biologie, Tier-Medizin * Theresa Haber, Elias Schüler * Theoretische Zielgruppe für die Modellierungsergebnisse: Medizinier, Hundebesitzer:innen * Kernfrage: An welcher Stelle hilft uns die Modellierung dabei, bessere Entscheidungen zu treffen? * Ziel z.B. wäre die geringere Exposition der Hunde mit schädlichen Umwelteinflüssen, die die Hüftdisplasie noch weiter verstärkt. == Gruppe 2 - Mo 14-16 == === Thema 1: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona_und_Motivation|Corona und Motivation]] === (Friederike Reiter, Lisa Glaub) * Modellierung von Online-Interaktion und Methodeneinsatz auf die Motivation bei Lernenden, * Ziel der Modellbildung: Entscheidungsunterstützung bei der Methodenauswahl * ggf. Zusammenarbeit mit der Social-Media-Gruppe bzgl. Netzwerkmodellierung und [[Fuzzy-Logik]] === Thema 2: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Radioaktivität und Risikoliteralität|Radioaktivität und Risikoliteralität]] === (Isabelle Heringer, Michelle Welter, Jonah Schuster,Noah Buchmann) * Ziel der mathematischen Modellbildung ist die Verbesserung der Risikoliteralität in Sek 1 und/oder Sek II  * Gefährdungsbeurteilung - Kostenberechnung der Prävention und Quantifikation von Konsequenzen, Kosten, ... bei einem Extremereignis - Erdbeben, Super-GAU, ... - Uni-Niveau * Grundschule, Sek I, Sek II, ... * Stochastisch statistische Modellierung ggf. R-Studio * Numerische Modellierung Octave auf Uni-Niveau, === Thema 3: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Fake News in Sozialen Medien|Fake News in Sozialen Medien]] === (Alexander Blasius, Theresa Krausewitz, Alina Bluhm) * Modellierung der Zuordnung von Werbung zu Nutzer:innen  * Zielgruppen: Sek 1 - Lernen wie Marketing in sozialen Medien funktioniert und die Mathematik dahinter kennen lernen. * Sekundarstufe II: Matrizen als lineare Abbildung für die Zuordnung von Personen zu bestimmten Marketingoptionen * Uni-Niveau: Marketing-Strategen - Unternehmen als theoretische Nutzergruppe für die Marketing-Modellierung ==== Softwareeinsatz ==== * GeoGebra * Maxima * LibreOffice Calc ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 4: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Erneuerbare Energien|Erneuerbare Energien]] === (Anna Braun, Jan-Niklas Schwab) * Themenbereich: Kohleaustieg und Autoindustrie, Transformationsprozesse * Orte und Regionen zu finden, in den Photovoltaik und Windräder eingesetzt werden können. * Wo und wann kann Strom produziert werden? Wo und wann wird der Strom gebraucht? Wie kann man Überkapazitäten speichern? * Ziel: Räumlich geeignete Produktionsstandorte finden. * Sek 1: Ziele - Inhaltliche Aspekte thematisieren als Hintergrund für das Schülerengagement für Fridays for Future # Nummerierter Listeneintrag ==== Softwareeinsatz ==== * Tabellenkalklluration * GeoGebra/WxMaxima * Octave ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 5: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle|Räuber-Beute-Modelle]] === (Chiara Berres, Kathrin Heine, Katharina Holzer, Lena Bolz) * Räuber-Beute-Beziehung zwischen 3 Arten z.B. Borkenkäfer, Buntspecht und Feinde vom Buntspecht - Greifvögel. ... * Ziel der Modellierung: Minimierung der Baumschäden durch den Borkenkäfer.  * Schädigung durch den Borkenkäfer im Kontext von Nährstoffverfügbarkeit, Trockenstress, Abwehrfähigkeit der Bäume, * Schnittstelle zu Biologie in Sekundarstufe II === Thema 6: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen|Sport - Elfmeterschießen]] === (Robin Schmidt, Lukas Rohn, Lena Kasprzyk, Pascal Jäger) * Themenbereich: Wahrscheinlichkeiten im Elfmeterschießen im Fußball * Verteilung der Treffer und verschossenen Elfmeter bzgl. der gewählten Ecke * dazu bezogene Trefferwahrscheinlichkeit * Ziele der Modellbildung: Verbesserung der Schussstrategie für Spieler, bessere Einschätzung der Torhüter, Unterstützung der Planung im Training * Sek. 1: Geometrische Einteilung des Tores in mehrere Rechtecke, relative und absolute Häufigkeit, Histogramm * Sek. 2: Erwartungswert, Standardabweichung/Mindestgeschwindigkeit des Balls * Uni-Niveau: Mindestgeschwindigkeit des Balls mit mehreren Einflussgrößen ==== Softwareeinsatz ==== * Tabellenkalkulation (Datenverarbeitung) * Geogebra * WXMaxima === Thema 7: [[/Planetenbahnen/]] === (Moritz Berner) [[/Planetenbahnen/]] * Sek 1: Bahnen mit sin und cos darstellen * Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> ==== Softwareeinsatz ==== * Maxima, Berechnung von Konvexkombinationen als Funktionen - Tangentialvektor * Geogebra, Modellierung von 3D-bjekten * Blender - [[3D-Modellierung]] == Nicht bearbeitet im WS2022/23 == === Thema 3: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Spielanalyse - Strategieoptimierung im Sport|Basketball - Wurfanalyse und Trefferwahrscheinlichkeit]] === Nadine Borger, Fabian Kempf, Pascal Jäger, Behcet Öztürk, Florian Hofmann * Statistische Verteilung und Trefferwahrscheinlichkeit, Eigene Wurffdaten * Theoretische Zielgruppe: Trainer, Spieler zur Vorbereitung auf den nächsten Gegner ==== Softwareeinsatz ==== * Software: Tabellenkalkulation Datenverabreitung, Daten * Octave für numerlische Modellierung von Treffern * R-Studio: Statistische Verarbetiung von Daten. räumliche R-Studio - [[Category:Wiki2Reveal]] 0it6gaqth27rzj2qlabcptuh3my6i59 106 136639 1078076 745419 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Einführung]]: Typo fixed 745419 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung der Modellbildung == Die Erläuterung der mathematischen Grundlagen hat das Ziel, einfache, sich überlagernde Planetenbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> durch trigonometrische Funktionen darzustellen und durch iterative Berechnungen sich den echten Planetenbahnen anzunähern. == Mathematische Grundlagen- Drehmatrix der Ebene == Nun werden die Grundlagen für Drehmatrizen der Ebene erläutert [[File:Herleitung Drehmatrix der Ebene.png|650px|Herleitung der Drehmatrix der Ebene]] == Mathematische Grundlagen- Drehmatrix des Raumes == Es wird die Herleitung von Drehmatrizen des Raumes erläutert: [[File:Herleitung Drehmatrix im Raum.png|650px|Herleitung Drehmatrix]] ==Mathematische Grundlagen- nicht um den Ursprung drehen == In der Einführung zu Drehmatrizen wurde erwähnt, dass man mithilfe von Drehmatrizen nur um den Ursprung drehen kann. Wie muss man nun aber vorgehen, wenn der gewollte Drehpunkt nicht im Ursprung liegt? [[File:Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt.png|400px|Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt]] == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4dtcjne4ezjosbn75ing2r739e2n7qt 106 136640 1078084 743836 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni]]: Typo fixed 743836 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung der Modellbildung == Die Erläuterung der mathematischen Grundlagen hat das Ziel, Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> darzustellen und diese mithilfe von Drehmatrizen um nicht im Ursprung liegende Punkte zu drehen. == Mathematische Grundlagen == Als mathematische Grundlagen wurde für den Modellierungszyklus verwendet: [[File:Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt.png|650px|Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt]] == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] l6hkqufjnzalph86vksfcua35v32p2f 106 136641 1078082 745386 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2]]: Typo fixed 745386 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung der Modellbildung == Die Erläuterung der mathematischen Grundlagen hat das Ziel, Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> darzustellen und diese mithilfe von Matrizen zu beschreiben. == Mathematische Grundlagen == Im Zyklus 2 werden Matrizen verwendet und addiert: [[w:Matrix (Mathematik)|Matrix]] == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4vxevr71y40rx9eo7ep29rh412mn4mx 106 136642 1078080 910841 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1]]: Typo fixed 910841 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung der Modellbildung == Die Erläuterung der mathematischen Grundlagen hat das Ziel, einfache, sich überlagernde Planetenbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> durch trigonometrische Funktionen darzustellen und durch iterative Berechnungen sich den echten Planetenbahnen anzunähern. == Mathematische Grundlagen == Im Modellierungszyklus 1 werden trigonometrische Funktionen genutzt, um die Planetenbahnen, hauptsächlich von Erde und Mond, zu beschreiben. == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 08o99ltj7dmy967qkxf9qeaylt21gj1 106 141094 1078078 745379 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni]]: Typo fixed 745379 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung der Modellbildung == Die Erläuterung der mathematischen Grundlagen hat das Ziel, einfache, sich überlagernde Planetenbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> durch trigonometrische Funktionen darzustellen und durch iterative Berechnungen sich den echten Planetenbahnen anzunähern. == Mathematische Grundlagen- Drehmatrix der Ebene == Nun werden die Grundlagen für Drehmatrizen der Ebene erläutert [[File:Herleitung Drehmatrix der Ebene.png|650px|Herleitung der Drehmatrix der Ebene]] == Mathematische Grundlagen- Drehmatrix des Raumes == Es wird die Herleitung von Drehmatrizen des Raumes erläutert: [[File:Herleitung Drehmatrix im Raum.png|650px|Herleitung Drehmatrix]] ==Mathematische Grundlagen- nicht um den Ursprung drehen == In der Einführung zu Drehmatrizen wurde erwähnt, dass man mithilfe von Drehmatrizen nur um den Ursprung drehen kann. Wie muss man nun aber vorgehen, wenn der gewollte Drehpunkt nicht im Ursprung liegt? [[File:Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt.png|400px|Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt]] == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4dtcjne4ezjosbn75ing2r739e2n7qt 106 141120 1078074 745432 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Blender]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Blender]]: Typo fixed 745432 wikitext text/x-wiki == Darstellung des Sonnensystems in Blender == Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]] == Gerendertes Video des Sonnensystems == Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] 4afqrfpmbn5c76giw5diycaquhrprjs 106 141475 1078072 746503 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Bewertung der Modellbildung]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Bewertung der Modellbildung]]: Typo fixed 746503 wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 106 147018 1078087 915269 2026-04-24T09:53:33Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Wintersemester]]: Typo fixed 915269 wikitext text/x-wiki Themenfeld in dieser Modellierungsveranstaltung ist "[[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]]", "[[w:de:Mustererkennung|Mustererkennung]]", "[[w:de:Informationsverarbeitung|Informationsverarbeitung]]" und deren Anwendung. Suchen Sie sich dazu aus Ihrem zweiten Fach ein Themenfeld aus, in dem man * Anpassungsfähigkeit eines Modelles benötigt (z.B. die Anpassung eines Modells an Fähigkeiten, die sich im Laufe der Zeit ändern) * Mustererkennung aus gegebenen Eingaben und deren Optimierung (z.B. Bilder, mathematische Zeichen, ...), * mathematische Modellbildung, bei denen Sie Trainingsdaten erheben können, um das mathematische Modell zu verbessern. Projektthemen zum Maschinelles Lernen und Datenanalyse == Gruppen - Mod6 - Montag 10-12 == === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Soziale Ungleichheit|Gruppenthema 1: Soziale Ungleichheit - Migrationshintergrund in unterschiedlichen Bildungsinstanzen]] === Studierende: * Angela Poprawski, * Lea Schwarz, * Julia Waldherr === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum|Gruppenthema 2: Prognose des Fleischkonsums in Deutschland]] === Studierende: * Nadine Borger, * Yannik Zimmermann, * Fabian Kempf === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Perfekter Freistoß|Gruppenthema 3: Die perfekte Freistoßkurve]] === Studierende: * Bastian Ottmann, * Felix Mayer, * Pelle Pézsa und * Lisa Glaub Wichtig ist hier, dass tatsächlich das existierende Portfolio "[[Tennis: Das perfekte Ass|Perfektes Ass beim Tennis]]" um maschinelles Lernen erweitert wird === [[Gruppenthema 4: Neuronales Netz zur Quantifizierung von Biodiversität]] === Studierende: * Lorena Ziegler, * Elias Schüler, * Theresa Haber * Sarah Tretter == Gruppen - Mod6 - Montag 14-16 == === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft|Gruppenthema 1: Modellierung von Schwangerschaft und Verhütung bei Personen unter 20 Jahren]]=== Studierende: * Katharina Carstens * Zoe Hoffmann * Martin Keil * Annabelle Moßgraber === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Biodiversität|Gruppenthema 2: Modellierung von Biodiversitätshotspots zur Beurteilung des Managements von Flächen]] === Modellierungsziel: Studierende: * Clara Bröning * Behcet Öztürk * Guillaume Blin * Janine Klotz === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen|Gruppenthema 3: Volumenschätzung und Verbrauch von Ressourcen]] === Studierende: * David Spang * Anna Braun * Zoe Richtscheid * Katharina Müller === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Energiekosten|Gruppenthema 4:Optimierung der Energiekosten eines Hallenschwimmbades]] === Studierende: Kevin Bisson Verena Berger === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung des Infektionsgeschehens durch SARS-CoV-2 |Gruppenthema 5: Modellierung des Infektionsgeschehens durch SARS-CoV-2]] === Modellierungsziel: Abschätzung der Infektionsraten gegen die Überlastung des Gesundheitssystems. Studierende: * Leon Sohni === [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung der Geburten- und Sterberate in Deutschland |Gruppenthema 6: Abschätzung der Geburten- und Sterberaten in Deutschland]] === Modellierungsziel: Folgen des Demographischen Wandels auf die Bevölkerung. Studierende: 001nstxc4l005no6f370we17euyy2un 106 167013 1078091 1073824 2026-04-24T10:12:51Z Paul Sutermeister 37610 1078091 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' || Seiten 10-14 |- | 07.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]] || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] || Seiten 85-88 |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 |- | 16.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 23.05. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Thema '''INDIREKTE REDE'''.</br>2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>3. Thema '''ANGEBOT''': Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl.<br/>Bewertungskriterien für die beiden Fliesstexte ''Stellungnahme'' und ''Angebot'' gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]]; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] k4nyspi5v06gphigx0zrzyc5ojn1lzy 0 168562 1078057 1075090 2026-04-24T06:09:28Z Bocardodarapti 2041 1078057 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation nennt man eine Ordnung, wofür man häufig ein Symbol wie {{mathl|term= \geq, \leq,\preccurlyeq, \subseteq |SZ=}} verwendet. Wir geben nochmal die ausführliche Definition. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} Eine Menge mit einer fixierten Ordnung darauf heißt {{Stichwort|geordnete Menge|SZ=.}} In der Regel verwendet man für eine Ordnung ein asymmetrisches Symbol wie {{mathl|term= \preccurlyeq ,\, \leq, \, \subseteq |SZ=.}} Man verwendet dann auch {{Anführung|gespiegelte Schreibweisen|SZ=,}} so bedeutet {{ Relationskette | x | \succcurlyeq | y || || || |SZ= }} einfach {{ Relationskette | y | \preccurlyeq | x || || || |SZ=. }} Zu jeder geordneten Menge {{mathl|term= (M, \preccurlyeq) |SZ=}} und jeder Teilmenge {{ Relationskette | N |\subseteq| M || || || |SZ= }} ist auch {{math|term= N |SZ=}} eine geordnete Menge, indem man direkt die Ordnungsbeziehung von {{math|term= M |SZ=}} übernimmt. Man spricht von der {{Stichwort|induzierten Ordnung|msw=Induzierte Ordnung|SZ=}} auf {{math|term= N |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} Man sagt auch, dass bei einer linearen Ordnung je zwei Elementen {{Stichwort|vergleichbar|msw=|SZ=}} sind. {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Anordnung/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Endliche Menge/Totale Ordnungen/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Wörter/Lexikographische Ordnung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Menge/Identität/Ordnung/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} Ein angeordneter Ring ist also nicht nur ein Ring, auf dem es zusätzlich noch eine totale Ordnung gibt, sondern die Ordnung muss auch mit den algebraischen Verknüpfungen in der beschriebenen Weise verbunden sein. Ein angeordneter Ring, der ein Körper ist, heißt {{Stichwort|angeordneter Körper|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=,}} die rationalen Zahlen {{math|term= \Q |SZ=}} und die reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=}} sind angeordnete Ringe bzw. Körper. Der Körper der komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}} |SZ=}} ist nicht angeordnet {{ Zusatz/Klammer |text=und lässt sich auch nicht anordnen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Verband Teiler30|png|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Verband_Teiler30 |Text= |Autor= |Benutzer=SirJective |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} Achtung! Die Teilbarkeitsbeziehung in {{math|term= \N |SZ=}} sollte man allein innerhalb der natürlichen Zahlen behandeln. Man vermeide Formulierungen wie, dass {{math|term= a |SZ=}} die Zahl {{math|term= b |SZ=}} teilt, wenn bei der Division von {{math|term= b |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} kein Rest bleibt oder dass der Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} ganzzahlig ist. Solche Charakterisierungen mit deutlich komplizierteren Strukturen verdunkeln den einfachen Sachverhalt. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Variante 2/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Potenzmenge/Geordnet durch Inklusion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Funktionen nach R/Geordnet/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition|| }} In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Funktionen nach R/Geordnet/Beispiel |Nr= |SZ= }} werden die reellen Zahlen so oft genommen, wie es {{math|term= X |SZ=}} vorgibt. Dort liegt also eine Produktordnung vor. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} jlevxfm3fyv0f98heutt2063bsnjbme 106 168584 1078048 1077967 2026-04-23T16:52:53Z Cookietogo97 35924 /* Frage zu Definition 7.8 */ Antwort 1078048 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) g26now2d33i4tvcastfesbp5avvqdrg 1078053 1078048 2026-04-23T17:37:41Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Ordnungen Vorlesung 7 */ 1078053 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) ssa4e1gx5vi6bvoqjvk4c5gw4maiqq9 1078054 1078053 2026-04-23T17:49:34Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Frage zu Definition 7.17 */ 1078054 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) 3v8y5wkmkb489md8shmmijwwiql2c3a 1078056 1078054 2026-04-24T05:58:33Z Bocardodarapti 2041 /* Frage zu Definition 7.17 */ 1078056 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) :das ist die Definition von monoton fallend, da ändert sich die Richtung. In der Tat, statt {{math|term= a \leq b |SZ=}} schreibt man auch {{math|term= b \geq a |SZ=.}} [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 07:58, 24. Apr. 2026 (CEST) afawy05h8ahkhhjmcpiz8p4f1429kbl 1078058 1078056 2026-04-24T06:16:57Z Bocardodarapti 2041 /* Ordnungen Vorlesung 7 */ 1078058 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) :Auf einer Menge kann man verschiedene Ordnungen definieren, man denke an eine endliche Menge. (Ebenso kann man auf einer Menge verschiedene Monoidstrukturen definieren.) Entscheidend ist, dass eine geordnete Menge beides ist, eine Menge und eine fixierte Ordnung. Wenn man zwei Ordnungen auf einer Menge vergleichen möchte, so geht es beispielsweise um die Frage, ob die Identität {{mathl|term= (M, \leq_1) \rightarrow (M, \leq_2) |SZ=}} ordnungstreu ist. In diesem Fall ist {{math|term= \leq_2 |SZ=}} eine Verfeinerung der ersten Ordnung. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 08:16, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) :das ist die Definition von monoton fallend, da ändert sich die Richtung. In der Tat, statt {{math|term= a \leq b |SZ=}} schreibt man auch {{math|term= b \geq a |SZ=.}} [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 07:58, 24. Apr. 2026 (CEST) 12imxg1i2p3on10chmgwyybnjb6uh7c 106 169974 1078093 1076819 2026-04-24T11:08:14Z ~2026-24974-06 41522 /* Wegintegral in der komplexen Analysis */ 1078093 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Eine <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>a_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>a_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 6hxas8uhhv6l0cu9ma89x8axg8mwa7a 1078094 1078093 2026-04-24T11:14:16Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegral über Rechtecke */ 1078094 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dt \, dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] jddm78mg98spw2k12vkuvx8hejfazw1 1078095 1078094 2026-04-24T11:25:17Z ~2026-25136-12 41523 /* Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt */ 1078095 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 9solbxmjzf3vgwpjq2cby72iclhhlf3 1078096 1078095 2026-04-24T11:28:36Z Lenny Dörr 38565 /* Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt */ 1078096 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, dz := \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] bin1chkanb2ojf1r0xhcibgzl569tpl 1078097 1078096 2026-04-24T11:46:37Z Bert Niehaus 20843 /* Definition als Doppelintegral über Kreisscheiben */ 1078097 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\int_D f(z) \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\int_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] knb4i1o36u3ke8pu42afk66187tcmun 1078098 1078097 2026-04-24T11:47:46Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Mengen als Doppelintegral */ 1078098 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\int_{D} f(z) \, dz = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] sciai0mg4dcobhsd0jawwlifw2zus4b 1078099 1078098 2026-04-24T11:48:54Z Bert Niehaus 20843 /* Nullmengen */ 1078099 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 832u7175uwbw7ko8rha8kovijp0w1vk 1078100 1078099 2026-04-24T11:49:47Z Bert Niehaus 20843 /* Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben */ 1078100 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das komplexe Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 4ngef810rj7touf4gdlyonunk3ckm7j 1078102 1078100 2026-04-24T11:54:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion */ 1078102 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\int_M f(z) \, dz = \underbrace{\int_M f_1(z) \, dz}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\int_M f_2(z) \, dz}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot 0 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_1(t_1))\cdot {\gamma_1}\!'(t_1) \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = 0 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma_2(t_2))\cdot {\gamma_2}\!'(i\cdot t_2) \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das [[orientierte Fläche|orientierte]] Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \int_R f(z) \, dz = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \int_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \int_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der Darstellung als reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] f3lcmqdybhm7imnwticecdeghv9gbqg 106 170021 1078101 1077752 2026-04-24T11:51:54Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck */ 1078101 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20komplexe%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hiu44pdozrs6d7sowcx5bkmj1o49g2y 0 170044 1078043 1078030 2026-04-23T12:40:37Z C.Koltzenburg 13981 /* Bericht 1 */ 1078043 wikitext text/x-wiki == Bericht 1 == Mit Dank an E.A. (Stichworte auf Blatt 1, Beispiel hier: FSP in Stuttgart) '''Name (Vorname Nachname)''': Thomas Bredenmeyer '''Geburtsdatum:''' 09.11.1955 '''Alter:''' 70 J '''Größe:''' 193 cm '''Gewicht:''' 90 kg '''Allergien/ Unverträglichkeiten''' Pollen (Rhinitis) <br /> Unv: wurden verneint '''Genussmittel/ Drogen''' Nikotin: wurde verneint <br /> C2: trinke eine Flasche Bier täglich (Pils) <br /> Drogenkonsum: Ø '''Sozialanamnese''' Rentner (vorher Bauingenieur, noch freiberuflich tätig), Witwer, lebe allein '''Familienanamnese''' Vater: HI, woran er mit 71 verstorben ist <br /> Mutter: Angina Pectoris, aHT <br /> Bruder: Lebererkrankung (?) <br /> '''Aktuelle Anamnese''' Herr Bredenmeyer stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit gestern bestehender Fußschmerzen rechts (7/10 NRS) infolge eines Unfalls beim Jogging. Er habe neue Schuhe gehabt und sich den Fuß umgeknickt. Die Schmerzen strahlen in die Wade aus und verbessern sich mit Novalgin und Kaltkompressen. Begleitend bestehen Rubor, Calor, Ödem, Hypästhesie und Bewegungseinschränkung beim betroffenen Fuß. Weitere Verletzungen wurden verneint. An Vorerkrankungen leide er an Faktor V-Leiden Mutation (erhält Blutplasmaspenden alle 6 Wochen seit er 13 ist). Er hatte einen Meniskusriss vor 30 Jahren infolge eines Fußballspiels, wurde mit Gips behandelt. Ferner gab er an, öfters Durchfall zu haben (3 Mal pro Monat). Es besteht Heuschnupfen, der mit Loratadin (Tropfen?) b.B behandelt wird. Die Frage nach OPs wurde verneint. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine Sprunggelenkfraktur hin. Als Differenzialdiagnosen kommen Bänderruptur, Distorsion, Sehnen-Luxation in Betracht. Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> - körperliche Untersuchung <br /> - Laborwerte (BB, CRP, BSG) <br /> - Röntgen des Sprunggelenks <br /> Sollte sich die VD bestätigen, schlage ich Folgendes vor: <br /> - Sprunggelenksfraktur nach Weber-Klassifikation beurteilen <br /> - konservative Therapie mit Unterschenkelgips <br /> - ggf. OP == OA-Fragen == Was spricht für eine Sprunggelenksfraktur? Sind diese Zeichen auch für andere Diagnosen typisch? Welche apparative Diagnostik schlagen Sie vor? Wofür eignet sich ein CT besser als ein MRT? Gibt es Ausnahmen von dieser Grundregel? Was würden Sie von einer Thromboseprophylaxe halten? Für welchen Zeitraum wäre diese Prophylaxe sinnvoll? Welche Rolle spielt die Vorerkrankung Faktor V-Leiden möglicherweise? Wie sieht es mit den Impfungen aus? Hatte er seinen Impfpass dabei? Wie ist der Patient zu uns gekommen? Welche therapeutischen Maßnahmen schlagen Sie vor? Welche Komplikationen können auftreten? Was schlagen Sie zur Vermeidung von Komplikationen vor? Nehmen wir an, es liegt ein Bänderriss vor. Kennen Sie da verschiedene Schweregrade? Was bedeutet es, wenn die Schmerzen schnell schlimmer werden? Würden Sie die Patientin/ den Patienten sofort stationär aufnehmen? 7f5vr8q6zyzmnfzuq34bhn8cvg00aid 0 170057 1078046 1078036 2026-04-23T14:45:05Z Bocardodarapti 2041 1078046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{math|term= C |SZ=}} glatte projektive Kurve vom Geschlecht {{math|term= g |SZ=.}} Dann führt der Komplex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Strukturgarbe|C|}} \stackrel{d}{\longrightarrow} \omega_C \longrightarrow 0 |SZ= }} global auf {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow K \stackrel{0}{\longrightarrow} \Gamma(C, \omega_C) \cong K^g \longrightarrow 0 |SZ=, }} und dies liefert einen Beitrag {{math|term= K^g |SZ=.}} Die erste Kohomologie ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow H^1(C, {{op:Strukturgarbe|C|}} ) \cong K^g \stackrel{}{\longrightarrow} H^1(C, \omega_C) \cong K \longrightarrow 0 |SZ=, }} Nullabbildung? Ein Garbenkomplex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{GarbeA|}}_1 \longrightarrow {{GarbeA|}}_2 \longrightarrow {{GarbeA|}}_3 \longrightarrow \ldots |SZ= }} führt zu den Homologiegarben {{ Relationskette/display | {{GarbeH|}}_i | {{defeq}} | {{op:Kern|d_{i+1}|}}/ {{op:Bild|d_{i}|}} || || || |SZ= }} und zu kurzen exakten Sequenzen {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Kern|d_{i+1}|}} | {{GarbeA|}}_i | {{GarbeA|}}_{i}/ {{op:Kern|d_{i+1}|}} }} und {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Bild|d_{i}|}} | {{op:Kern|d_{i+1}|}} | {{GarbeH|}}_i |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Affine Ebene/Punktiert/Algebraische de Rham Kohomologie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Affiner Raum/Ohne Gerade/Algebraische de Rham Kohomologie/Beispiel|| }} Entsprechend wird bei {{ Relationskette/display | U || D(f,g) || || || |SZ= }} die erste Kohomologieklasse {{mathl|term= f^{-1}g^{-1}df \wedge dg |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | d {{makl| f^{-1}g^{-1} |}} df \wedge dg || {{makl|- f^{-2}g^{-1} df - f^{-1}g^{-2} dg |}} \wedge df \wedge dg || 0 || || |SZ= }} abgebildet. Es wird {{mathl|term= f^{-1}g^{-1} df |SZ=}} auf {{mathl|term= f^{-1}g^{-2} df \wedge dg |SZ=}} abgebildet. Wird ganz hinten {{mathl|term= f^{-1}g^{-1}dx \wedge dy \wedge dz |SZ=}} getroffen? Es wird {{mathl|term= f^{-1}g^{-1} h df \wedge dg |SZ=}} auf {{mathl|term=f^{-1}g^{-1} df \wedge dg \wedge dh |SZ=}} abgebildet. Das ist also im Wesentlichen die Frage, ob man {{mathl|term= dx \wedge dy \wedge dz |SZ=}} als {{mathl|term= df \wedge dg \wedge dh |SZ=}} mit einem {{math|term= h |SZ=}} schreiben kann. Wenn beispielsweise {{ Relationskette | f || X^2+Y^2+Z^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g || X^3+Y^3+Z^3 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/align | df \wedge dg || {{makl| 2XdX+2YdY+2ZdZ |}} \wedge {{makl| 3X^2dX+3Y^2dY+3Z^2 dZ |}} || {{makl| 6XY^2-6X^2Y |}} dX \wedge dY + {{makl| 6XZ^2-6X^2Z |}} dX \wedge dZ + {{makl| 6YZ^2-6Y^2Z |}} dY \wedge dZ || || |SZ=. }} Wenn man das Dachprodukt mit {{ Relationskette/display | dh || \partial_1(h) dx + \partial_2(h) dy + \partial_3(h) dz || || || |SZ= }} bestimmt, so ergibt sich {{ Math/display|term= \partial_3(h) {{makl| 6XY^2-6X^2Y |}} +\partial_2(h) {{makl| 6XZ^2-6X^2Z |}} + \partial_1(h) {{makl| 6YZ^2-6Y^2Z |}} |SZ=. }} Da geht es im Wesentlichen um die Matrixergänzung {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|\partial_1(f)|\partial_2(f)|\partial_3(f)|\partial_1(g)|\partial_2(g)|\partial_3(g)|\partial_1(h)|\partial_2(h)|\partial_3(h)|}} |SZ=. }} Das geht im Beispiel nicht, da {{ Relationskette | X || Y || 0 || || |SZ= }} eine Nullstelle ist (der homogene Fall kann nicht gehen, da da schon eine einzelne Zeile zu einer Nullzeile wird). Die Klasse {{mathl|term= {{op:Bruch|dx \wedge dy |fg}} |SZ=}} wird auf {{ Math/display|term= {{op:Bruch|f \partial_3(g) + \partial_3(f) g |f^2g^2}} \cdot dx \wedge dy \wedge dz |SZ= }} abgebildet. 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Ein Garbenkomplex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{GarbeA|}}_1 \longrightarrow {{GarbeA|}}_2 \longrightarrow {{GarbeA|}}_3 \longrightarrow \ldots |SZ= }} führt zu den Homologiegarben {{ Relationskette/display | {{GarbeH|}}_i | {{defeq}} | {{op:Kern|d_{i+1}|}}/ {{op:Bild|d_{i}|}} || || || |SZ= }} und zu kurzen exakten Sequenzen {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Kern|d_{i+1}|}} | {{GarbeA|}}_i | {{GarbeA|}}_{i}/ {{op:Kern|d_{i+1}|}} }} und {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Bild|d_{i}|}} | {{op:Kern|d_{i+1}|}} | {{GarbeH|}}_i |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Affine Ebene/Kurve/Algebraischer de Rham-Komplex/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Affine Ebene/Punktiert/Algebraische de Rham Kohomologie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Affiner Raum/Ohne Gerade/Algebraische de Rham Kohomologie/Beispiel|| }} Entsprechend wird bei {{ Relationskette/display | U || D(f,g) || || || |SZ= }} die erste Kohomologieklasse {{mathl|term= f^{-1}g^{-1}df \wedge dg |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | d {{makl| f^{-1}g^{-1} |}} df \wedge dg || {{makl|- f^{-2}g^{-1} df - f^{-1}g^{-2} dg |}} \wedge df \wedge dg || 0 || || |SZ= }} abgebildet. Es wird {{mathl|term= f^{-1}g^{-1} df |SZ=}} auf {{mathl|term= f^{-1}g^{-2} df \wedge dg |SZ=}} abgebildet. Wird ganz hinten {{mathl|term= f^{-1}g^{-1}dx \wedge dy \wedge dz |SZ=}} getroffen? Es wird {{mathl|term= f^{-1}g^{-1} h df \wedge dg |SZ=}} auf {{mathl|term=f^{-1}g^{-1} df \wedge dg \wedge dh |SZ=}} abgebildet. Das ist also im Wesentlichen die Frage, ob man {{mathl|term= dx \wedge dy \wedge dz |SZ=}} als {{mathl|term= df \wedge dg \wedge dh |SZ=}} mit einem {{math|term= h |SZ=}} schreiben kann. Wenn beispielsweise {{ Relationskette | f || X^2+Y^2+Z^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g || X^3+Y^3+Z^3 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/align | df \wedge dg || {{makl| 2XdX+2YdY+2ZdZ |}} \wedge {{makl| 3X^2dX+3Y^2dY+3Z^2 dZ |}} || {{makl| 6XY^2-6X^2Y |}} dX \wedge dY + {{makl| 6XZ^2-6X^2Z |}} dX \wedge dZ + {{makl| 6YZ^2-6Y^2Z |}} dY \wedge dZ || || |SZ=. }} Wenn man das Dachprodukt mit {{ Relationskette/display | dh || \partial_1(h) dx + \partial_2(h) dy + \partial_3(h) dz || || || |SZ= }} bestimmt, so ergibt sich {{ Math/display|term= \partial_3(h) {{makl| 6XY^2-6X^2Y |}} +\partial_2(h) {{makl| 6XZ^2-6X^2Z |}} + \partial_1(h) {{makl| 6YZ^2-6Y^2Z |}} |SZ=. }} Da geht es im Wesentlichen um die Matrixergänzung {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|\partial_1(f)|\partial_2(f)|\partial_3(f)|\partial_1(g)|\partial_2(g)|\partial_3(g)|\partial_1(h)|\partial_2(h)|\partial_3(h)|}} |SZ=. }} Das geht im Beispiel nicht, da {{ Relationskette | X || Y || 0 || || |SZ= }} eine Nullstelle ist (der homogene Fall kann nicht gehen, da da schon eine einzelne Zeile zu einer Nullzeile wird). Die Klasse {{mathl|term= {{op:Bruch|dx \wedge dy |fg}} |SZ=}} wird auf {{ Math/display|term= {{op:Bruch|f \partial_3(g) + \partial_3(f) g |f^2g^2}} \cdot dx \wedge dy \wedge dz |SZ= }} abgebildet. Die Klasse in {{math|term= H^1(U, \bigwedge^3 \Omega) |SZ=}} kann auch von einer solchen Kombination herkommen. {{ inputbeispiel |Affine Kurve/Drei Polynome/1/Gleichungen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von algebraischen Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} meauaxxdpzxtllcw8v3pt5lfzn097he 106 170062 1078059 1078000 2026-04-24T06:41:57Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - komplexe Flächenintegrale */ 1078059 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot t_2e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] tv4btqkezgbmmdbmwpa9uydozgc3ezg 1078092 1078059 2026-04-24T10:51:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3 - Kreisscheibe */ 1078092 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man erhält dann folgenden komplexen orientierten Fläche mit der Definition von <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 35r3wlgo74tf4hpgv9k64ocuzey3t43 0 170237 1078042 1078041 2026-04-23T12:09:48Z C.Koltzenburg 13981 1078042 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt 8v0zxqtcs4z0wvo49chgq6zbvj541pf 0 170240 1078047 2026-04-23T15:33:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078047 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Math/display|term= X=s^2,\, Y= s^3-s,\, Z=s^5 |SZ= }} gegebene Raumkurve. Die Abbildung ist injektiv wegen der ersten und der dritten Koordinate und eine Einbettung der affinen Gerade, da das Differential in der dritten Komponente im Nullpunkt gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Es gilt die Gleichung {{ Relationskette/display | X^5 || Z^2 || || || |SZ=. }} Man kann {{math|term= s |SZ=}} rational als {{ Relationskette/display | s || {{op:Bruch|Z|X^2}} || || || |SZ= }} rekonstruieren. Daher ist {{ Relationskette/display | Y || s^3-s || {{op:Bruch(|Z|X^2}}^3 - {{op:Bruch|Z|X^2}} || || |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette/display | YX^6 -Z^3 +ZX^4 || 0 || || || |SZ= }} ergibt. Ebenso gilt {{ Relationskette/display | XYZ- Z^2 + X^4 || 0 || || || |SZ=, }} es ist {{ Relationskette/display | s^7 {{makl| s^3 -s |}} -s^{10} -s^8 || 0 || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/display | YZ-X^4+X^3 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Y^2 || {{makl| s^3-s |}}^2 || s^6-2s^4 +s^2 || X^3-2X^2 +X || (X-1)^2 X |SZ=. }} Das zeigt, dass die Fläche zu dieser Gleichung nicht glatt ist. Zur letzten Gleichung addieren wir die binomiale Gleichung dazu und erhalten {{ Relationskette/display | Y^2 + \alpha Z^2 || \alpha X^5+ X^3-2X^2 +X || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass bei richtiger Wahl von {{math|term= \alpha \neq 0 |SZ=}} die binomiale Gleichung dazugehört. Mit Hilbertschem Nullstellensatz. Es sei also {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt. Bei {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | z^2 || {{op:Bruch(| x^4-x^3 |y}}^2 || {{op:Bruch| x^8- 2x^7 +x^6 |y^2}} || || |SZ= }} Wenn {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette | y z || y^2 + \alpha z^2 || 0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qckshiradg1pptyjfyhhx3uesjmkydv 1078049 1078047 2026-04-23T17:23:35Z Bocardodarapti 2041 1078049 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Math/display|term= X=s^2,\, Y= s^3-s,\, Z=s^5 |SZ= }} gegebene Raumkurve. Die Abbildung ist injektiv wegen der ersten und der dritten Koordinate und eine Einbettung der affinen Gerade, da das Differential in der dritten Komponente im Nullpunkt gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Es gilt die Gleichung {{ Relationskette/display | X^5 || Z^2 || || || |SZ=. }} Man kann {{math|term= s |SZ=}} rational als {{ Relationskette/display | s || {{op:Bruch|Z|X^2}} || || || |SZ= }} rekonstruieren. Daher ist {{ Relationskette/display | Y || s^3-s || {{op:Bruch(|Z|X^2}}^3 - {{op:Bruch|Z|X^2}} || || |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette/display | YX^6 -Z^3 +ZX^4 || 0 || || || |SZ= }} ergibt. Ebenso gilt {{ Relationskette/display | XYZ- Z^2 + X^4 || 0 || || || |SZ=, }} es ist {{ Relationskette/display | s^7 {{makl| s^3 -s |}} -s^{10} -s^8 || 0 || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/display | YZ-X^4+X^3 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Y^2 || {{makl| s^3-s |}}^2 || s^6-2s^4 +s^2 || X^3-2X^2 +X || (X-1)^2 X |SZ=. }} Das zeigt, dass die Fläche zu dieser Gleichung nicht glatt ist. Stattdessen betrachten wir die Summe, also {{ Relationskette/display | Y^2 + YZ || X^4-2X^2 +X || X {{makl| X^3-2X+1 |}} || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Math/display|term= \partial_1 = - 4 X^3 + 4X -1, \partial_2 =2Y+Z, \partial_3 =Y |SZ=. }} Für einen singulären Punkt muss {{ Relationskette/display | y || z || 0 || || |SZ= }} sein. Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist die erste Ableitung nicht {{math|term= 0 |SZ=.}} Andernfalls ist {{ Relationskette/display | X^3-2X+1 || 0 || - 4 X^3 + 4X -1 || || |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette/display | 4 {{makl| X^3-2X+1 |}} - 4 X^3 + 4X -1 || -4X +3 || 0 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | x || {{op:Bruch|3|4}} || || || |SZ= }} ergibt. Dies ist aber wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|3|4}}^3 - 2 \cdot {{op:Bruch|3|4}}+1 || {{op:Bruch|27 - 96 + 64|64}} || {{op:Bruch| -5|64}} || || |SZ= }} kein Punkt der Fläche. Es handelt sich um eine affine Fläche. Die Projektivierung wird durch {{ Relationskette/display | Y^2 W^2 + YZW^2 || X^4- 2X^2W^2 + XW^3 || || || |SZ= }} beschrieben. Der Schnitt mit {{math|term= V_+(W) |SZ=}} ist {{mathl|term= V(X^4) |SZ=,}} also eine nicht reduzierte Gerade. Zur letzten Gleichung addieren wir die binomiale Gleichung dazu und erhalten {{ Relationskette/display | Y^2 + \alpha Z^2 || \alpha X^5+ X^3-2X^2 +X || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass bei richtiger Wahl von {{math|term= \alpha \neq 0 |SZ=}} die binomiale Gleichung dazugehört. Mit Hilbertschem Nullstellensatz. Es sei also {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt. Bei {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | z^2 || {{op:Bruch(| x^4-x^3 |y}}^2 || {{op:Bruch| x^8- 2x^7 +x^6 |y^2}} || || |SZ= }} Wenn {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette | y z || y^2 + \alpha z^2 || 0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5m0dako5appszxgsmn2i44ng4hclp1w 1078061 1078049 2026-04-24T07:06:00Z Bocardodarapti 2041 1078061 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Math/display|term= X=s^2,\, Y= s^3-s,\, Z=s^5 |SZ= }} gegebene Raumkurve. Die Abbildung ist injektiv wegen der ersten und der dritten Koordinate und eine Einbettung der affinen Gerade, da das Differential in der dritten Komponente im Nullpunkt gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Es gilt die Gleichung {{ Relationskette/display | X^5 || Z^2 || || || |SZ=. }} Man kann {{math|term= s |SZ=}} rational als {{ Relationskette/display | s || {{op:Bruch|Z|X^2}} || || || |SZ= }} rekonstruieren. Daher ist {{ Relationskette/display | Y || s^3-s || {{op:Bruch(|Z|X^2}}^3 - {{op:Bruch|Z|X^2}} || || |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette/display | YX^6 -Z^3 +ZX^4 || 0 || || || |SZ= }} ergibt. Ebenso gilt {{ Relationskette/display | XYZ- Z^2 + X^4 || 0 || || || |SZ=, }} es ist {{ Relationskette/display | s^7 {{makl| s^3 -s |}} -s^{10} -s^8 || 0 || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/display | YZ-X^4+X^3 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Y^2 || {{makl| s^3-s |}}^2 || s^6-2s^4 +s^2 || X^3-2X^2 +X || (X-1)^2 X |SZ=. }} Das zeigt, dass die Fläche zu dieser Gleichung nicht glatt ist. Stattdessen betrachten wir die Summe, also {{ Relationskette/display | Y^2 + YZ || X^4-2X^2 +X || X {{makl| X^3-2X+1 |}} || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Math/display|term= \partial_1 = - 4 X^3 + 4X -1, \partial_2 =2Y+Z, \partial_3 =Y |SZ=. }} Für einen singulären Punkt muss {{ Relationskette/display | y || z || 0 || || |SZ= }} sein. Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist die erste Ableitung nicht {{math|term= 0 |SZ=.}} Andernfalls ist {{ Relationskette/display | X^3-2X+1 || 0 || - 4 X^3 + 4X -1 || || |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette/display | 4 {{makl| X^3-2X+1 |}} - 4 X^3 + 4X -1 || -4X +3 || 0 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | x || {{op:Bruch|3|4}} || || || |SZ= }} ergibt. Dies ist aber wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|3|4}}^3 - 2 \cdot {{op:Bruch|3|4}} + 1 || {{op:Bruch| 27 - 96 + 64|64}} || {{op:Bruch| -5|64}} || || |SZ= }} kein Punkt der Fläche. Es handelt sich um eine affine rationale Fläche. Sie ist nicht faktoriell, da in {{ Relationskette/display | Y (Y + Z) || X {{makl| X^3-2X+1 |}} || || |SZ= }} eine nichteindeutige Faktorzerlegung vorliegt. Die Nenneraufnahme an {{math|term= Y |SZ=}} ist faktoriell. Die Projektivierung wird durch {{ Relationskette/display | Y^2 W^2 + YZW^2 || X^4- 2X^2W^2 + XW^3 || || || |SZ= }} beschrieben. Der Schnitt mit {{math|term= V_+(W) |SZ=}} ist {{mathl|term= V(X^4) |SZ=,}} also eine nicht reduzierte Gerade. Zur letzten Gleichung addieren wir die binomiale Gleichung dazu und erhalten {{ Relationskette/display | Y^2 + \alpha Z^2 || \alpha X^5+ X^3-2X^2 +X || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass bei richtiger Wahl von {{math|term= \alpha \neq 0 |SZ=}} die binomiale Gleichung dazugehört. Mit Hilbertschem Nullstellensatz. Es sei also {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt. Bei {{ Relationskette | y |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | z^2 || {{op:Bruch(| x^4-x^3 |y}}^2 || {{op:Bruch| x^8- 2x^7 +x^6 |y^2}} || || |SZ= }} Wenn {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette | y z || y^2 + \alpha z^2 || 0 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sk7tee8gjx57668jyv5chc3flxxh232 1 170241 1078050 2026-04-23T17:26:51Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Grammatik */ 1078050 wikitext text/x-wiki == Grammatik == Ich könnte falsch liegen, aber der zweite Satz scheint mir grammatikalisch nicht richtig. Vielleicht verstehe ich ihn auch einfach nur nicht. Könnte man den ein wenig umformulieren? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:26, 23. Apr. 2026 (CEST) 9c5a3vrwf860zgn7ktlotpmlmj3qlnt 1078052 1078050 2026-04-23T17:33:14Z Bocardodarapti 2041 1078052 wikitext text/x-wiki == Grammatik == Ich könnte falsch liegen, aber der zweite Satz scheint mir grammatikalisch nicht richtig. Vielleicht verstehe ich ihn auch einfach nur nicht. Könnte man den ein wenig umformulieren? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:26, 23. Apr. 2026 (CEST) :Danke, da war ein ist zu viel.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 19:33, 23. Apr. 2026 (CEST) jhw7cnl9h9wl2x0rd8zb26l1hnath48 3 170242 1078060 2026-04-24T06:52:06Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1078060 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Whatheel}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 08:52, 24. Apr. 2026 (CEST) mgcutnqfiid5xgftdy2lhrrwnlzjuxf 0 170243 1078063 2026-04-24T07:36:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078063 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | f | \in | K[X,Y] || R || || |SZ= }} und {{ Relationskette | U || D(f) || || || |SZ=. }} Der deRham Komplex auf {{math|term= U |SZ=}} ist {{ Math/display|term= R_f \stackrel{d}{\longrightarrow } \Omega_f \cong R^2_f \stackrel{d}{\longrightarrow } \bigwedge^2 \Omega_f \cong R_f \longrightarrow 0 |SZ=. }} Das Element {{mathl|term= {{op:Bruch|df|f}} |SZ=}} ist eine geschlossene Differentialform, wegen {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch(|df|f}} || - {{op:Bruch|df \wedge df |f^2}} || 0 || || |SZ=, }} aber typischerweise nicht exakt, da ja {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch(|1|f}} || - {{op:Bruch|df|f^2}} || || || |SZ= }} ist. Hinten ist {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch|dx|f^k}} || \partial_2(f) {{op:Bruch|dx \wedge dy |f^{k+1} }} || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette | f || X || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= - {{op:Bruch|Y|X}} dX |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | - d {{makl| {{op:Bruch|Y|X}} |}} \wedge dX || {{op:Bruch| - XdY+ YdX |X^2}} dX || {{op:Bruch|1|X}} dX \wedge dY || || |SZ= }} abgebildet, da ist also die zweite de Rham Kohomologie gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von algebraischen Differentialformen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} a7av2eixo48sku1a3hx831mr2ctcviy 1078064 1078063 2026-04-24T08:49:55Z Bocardodarapti 2041 1078064 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | f | \in | K[X,Y] || R || || |SZ= }} und {{ Relationskette | U || D(f) || || || |SZ=. }} Der deRham Komplex auf {{math|term= U |SZ=}} ist {{ Math/display|term= R_f \stackrel{d}{\longrightarrow } \Omega_f \cong R^2_f \stackrel{d}{\longrightarrow } \bigwedge^2 \Omega_f \cong R_f \longrightarrow 0 |SZ=. }} Das Element {{mathl|term= {{op:Bruch|df|f}} |SZ=}} ist eine geschlossene Differentialform, wegen {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch(|df|f}} || - {{op:Bruch|df \wedge df |f^2}} || 0 || || |SZ=, }} aber typischerweise nicht exakt, da ja {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch(|1|f}} || - {{op:Bruch|df|f^2}} || || || |SZ= }} ist. Hinten ist {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch|dx|f^k}} || \partial_2(f) {{op:Bruch|dx \wedge dy |f^{k+1} }} || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette | f || X || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= - {{op:Bruch|Y|X}} dX |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | - d {{makl| {{op:Bruch|Y|X}} |}} \wedge dX || {{op:Bruch| - XdY+ YdX |X^2}} dX || {{op:Bruch|1|X}} dX \wedge dY || || |SZ= }} abgebildet, da ist also die zweite de Rham Kohomologie gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch|h|f^n}} || f^{-n} dh -n f^{-n-1} h df || {{op:Bruch|fdh-n hdf|f^{n+1} }} || {{op:Bruch|f {{makl| \partial_1h dx+ \partial_2hdy |}} -n h {{makl| \partial_1 f dx+ \partial_2fdy |}} |f^{n+1} }} || |SZ=. }} Die Geschlossenheitsbedingung ergibt sich aus {{ Relationskette/display | d {{op:Bruch| hdx +gdy |f^n}} || {{op:Bruch| - f \partial_2 h +nh \partial_2 f + f \partial_1 g - ng \partial_1 f |f^{n+1}}} dx \wedge dy || || || |SZ=. }} Die einfachste Lösung ist {{ Relationskette | f || X || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | h || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | g || 0 || || || |SZ=. }} Generell ist für beliebiges {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} das Paar {{ Relationskette | h || \partial_1 f || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g || \partial_2 f || || || |SZ= }} eine Lösung. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von algebraischen Differentialformen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3wr7n009vddzdm6dsfvw89a09h5zu2d 3 170244 1078065 2026-04-24T09:46:12Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1078065 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Björn Henrich}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:46, 24. Apr. 2026 (CEST) 66rfczgbwnphr2v1rsd0iohxsv5nm3d 3 170245 1078066 2026-04-24T09:46:33Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1078066 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Jonas Dächert}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:46, 24. Apr. 2026 (CEST) 4qkjgoa6bukd4hr75xqmyfs75xxswen 3 170246 1078067 2026-04-24T09:46:56Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1078067 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Nils Huck}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:46, 24. Apr. 2026 (CEST) rkfu3nb0xe8333m7sca3chen95xqng8 106 170247 1078071 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester]]: Typo fixed 1078071 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester]] 58h900fyforf98yfj48tiqak9qm3ec9 106 170248 1078073 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Bewertung der Modellbildung]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Bewertung der Modellbildung]]: Typo fixed 1078073 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Bewertung der Modellbildung]] hpdntfb1k9tzd3dwauz6eyhcs6lc1qm 106 170249 1078075 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Blender]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Blender]]: Typo fixed 1078075 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Blender]] 25jjdtx2plc7rqsbdzlzrtirqyzstha 106 170250 1078077 2026-04-24T09:52:08Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Einführung]]: Typo fixed 1078077 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Einführung]] ne7htpndd5ekoplxg8r3qc6penqy74j 106 170251 1078079 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni]]: Typo fixed 1078079 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni]] aippvu604y8sjif72j2ytzt06ol9n46 106 170252 1078081 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1]]: Typo fixed 1078081 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1]] dx896aunixkbf7b4oqxe8iybk64bn6g 106 170253 1078083 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2]]: Typo fixed 1078083 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2]] 714ccjdzbb03ohkrd04ce546f3cz1l9 106 170254 1078085 2026-04-24T09:52:09Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni]]: Typo fixed 1078085 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Wintersemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni]] q9zuliw9iea5wdo7gkt2hzqtfetkqdf 106 170255 1078088 2026-04-24T09:53:33Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester]] nach [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Wintersemester]]: Typo fixed 1078088 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Wintersemester]] oqw5630fbabjvftl9p81zt1cr4694bm 106 170256 1078090 2026-04-24T09:59:35Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078090 wikitext text/x-wiki == Modellierungsthemen aus dem SoSe 2026 == * '''[[../Schadstoffbelastung Stadt|Schadstoffbelastungsmodelle]]'''<ref>Board, O. S., & National Research Council. (2000). Clean coastal waters: understanding and reducing the effects of nutrient pollution. National Academies Press.</ref> - [[../../Aufgaben/|A1,A2,A3,A4]] ** [https://en.wikiversity.org/wiki/Sustainable_Development_Goals/SDG3 SDG3] Good Health and Well-being, ** [https://en.wikiversity.org/wiki/Sustainable_Development_Goals/SDG6 SDG6], Clean Water and Sanitation, * '''[[../Windkraftanlagen|Windkraftanlagen]]''' - [[../../Aufgaben/|A1,A2,A3,A4]] ** [https://en.wikiversity.org/wiki/Sustainable_Development_Goals/SDG3 SDG3] Good Health and Well-being, ** [https://en.wikiversity.org/wiki/Sustainable_Development_Goals/SDG6 SDG6], Clean Water and Sanitation, 4p7vjsfvthpet3g7lf7v73i8zh7hl2j 0 170257 1078103 2026-04-24T11:54:38Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] erstellt 1078103 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] 97447lyzqoimsmnl5wvsg1zx0baq2ge 1078104 1078103 2026-04-24T11:54:50Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#Lemma]] geändert 1078104 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#Lemma]] d10dceswpgfeifoky4gg261pvw7syq1