Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 4753 1078188 1078180 2026-04-27T00:52:59Z ~2026-25521-54 41529 Artikel Ergänzt:Pump up the Volume 1078188 wikitext text/x-wiki <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Mitmachen</span> [[Image:Ejaculation utilizing TENS device.gif|600px|'''''Pump up the Volume''''']] {{Links|[[Wikiversity:Willkommen|Mitmachen]] |[[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] |[[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] |[[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] |[[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]] |[[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] |[[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] |[[Wikiversity:FAQ|FAQ]] |[[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Mitarbeiter]]}} Als Neuling bist Du sicher ungeduldig und willst endlich [[Wikiversity:Willkommen|mitmachen]]? O.K. Nimm Dir aber bitte etwas Zeit, um Dich mit den hier üblichen [[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] und [[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] vertraut zu machen. Wenn Du [[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] brauchst, erhältst Du viele Hinweise und Ratschläge in der [[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]]. Trau Dich, dort Deine Fragen zu stellen. Die dafür notwendigen Kenntnisse zum [[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] und [[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] sind gar nicht so schwer zu erlernen. Vielleicht hilft Dir auch das Lesen von [[Wikiversity:FAQ|häufig gestellten Fragen]] oder der Kontakt zu einem Benutzer aus der [[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Liste der Mitarbeiter nach Wissensgebieten]]. Zur Organisation von Kursen steht auch das '''[[Wikiversity:Moodle|Wikiversity-Moodle]]''' auf Wikimedia&nbsp;Labs testweise bereit. Ergänzend können das Wikimedia-'''[[Wikiversity:Etherpad|Etherpad]]''' und das Web Conferencing System '''[[Wikiversity:AG Wikiversity/BigBlueButton|BigBlueButton]]''' genutzt werden. <br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Kurse und Projekte</span> {{Links||[[:Kategorie:Kurs|Kurse]] |[[:Kategorie:Projekt|Projekte]] |[[Wikiversity:Projektinkubator|Inkubator]] |[[Spezial:Recentchanges|Letzte Änderungen]]}} In der Wikiversity findest Du [[:Kategorie:Kurs|Kurse]] und [[:Kategorie:Projekt|Projekte]]. Da sich hier aber alles im Fluss befindet, kannst Du zur Orientierung darüber, was in letzter Zeit so alles getan wurde, auch mal einen Blick auf die [[Spezial:Recentchanges|Liste der letzten Änderungen]] werfen.<br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Bibliothek</span> {{Links|[[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] |[[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] |[[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] |[[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]]}} Falls Du nach Lektüre suchst, vergrabe Dich in der [[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] mit ihren [[Wikiversity:Bibliothek|Nachschlagewerken]], [[Wikiversity:Lehrbücher|Lehrbüchern]], [[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] und [[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] oder geh mal in den [[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]].<br style="clear:both;" /> </div> [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] jt4sr3h8kk6li31lugxsmf13wsng1ni 1078189 1078188 2026-04-27T00:53:32Z Mtarch11 32307 Änderung von [[Special:Contributions/~2026-25521-54|~2026-25521-54]] ([[User talk:~2026-25521-54|Diskussion]]) wurde auf die letzte Version von [[User:~2026-25253-14|~2026-25253-14]] zurückgesetzt 1078180 wikitext text/x-wiki <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Mitmachen</span> {{Links|[[Wikiversity:Willkommen|Mitmachen]] |[[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] |[[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] |[[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] |[[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]] |[[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] |[[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] |[[Wikiversity:FAQ|FAQ]] |[[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Mitarbeiter]]}} Als Neuling bist Du sicher ungeduldig und willst endlich [[Wikiversity:Willkommen|mitmachen]]? O.K. Nimm Dir aber bitte etwas Zeit, um Dich mit den hier üblichen [[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] und [[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] vertraut zu machen. Wenn Du [[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] brauchst, erhältst Du viele Hinweise und Ratschläge in der [[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]]. Trau Dich, dort Deine Fragen zu stellen. Die dafür notwendigen Kenntnisse zum [[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] und [[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] sind gar nicht so schwer zu erlernen. Vielleicht hilft Dir auch das Lesen von [[Wikiversity:FAQ|häufig gestellten Fragen]] oder der Kontakt zu einem Benutzer aus der [[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Liste der Mitarbeiter nach Wissensgebieten]]. Zur Organisation von Kursen steht auch das '''[[Wikiversity:Moodle|Wikiversity-Moodle]]''' auf Wikimedia&nbsp;Labs testweise bereit. Ergänzend können das Wikimedia-'''[[Wikiversity:Etherpad|Etherpad]]''' und das Web Conferencing System '''[[Wikiversity:AG Wikiversity/BigBlueButton|BigBlueButton]]''' genutzt werden. <br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Kurse und Projekte</span> {{Links||[[:Kategorie:Kurs|Kurse]] |[[:Kategorie:Projekt|Projekte]] |[[Wikiversity:Projektinkubator|Inkubator]] |[[Spezial:Recentchanges|Letzte Änderungen]]}} In der Wikiversity findest Du [[:Kategorie:Kurs|Kurse]] und [[:Kategorie:Projekt|Projekte]]. Da sich hier aber alles im Fluss befindet, kannst Du zur Orientierung darüber, was in letzter Zeit so alles getan wurde, auch mal einen Blick auf die [[Spezial:Recentchanges|Liste der letzten Änderungen]] werfen.<br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Bibliothek</span> {{Links|[[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] |[[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] |[[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] |[[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]]}} Falls Du nach Lektüre suchst, vergrabe Dich in der [[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] mit ihren [[Wikiversity:Bibliothek|Nachschlagewerken]], [[Wikiversity:Lehrbücher|Lehrbüchern]], [[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] und [[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] oder geh mal in den [[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]].<br style="clear:both;" /> </div> [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] 9qhcd644gozxnc3xj1b5o9bhxy0jaex 1078190 1078189 2026-04-27T00:54:04Z ~2026-25521-54 41529 Änderung [[Special:Diff/1078189|1078189]] von [[Special:Contributions/Mtarch11|Mtarch11]] ([[User talk:Mtarch11|Diskussion]]) rückgängig gemacht. 1078190 wikitext text/x-wiki <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Mitmachen</span> [[Image:Ejaculation utilizing TENS device.gif|600px|'''''Pump up the Volume''''']] {{Links|[[Wikiversity:Willkommen|Mitmachen]] |[[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] |[[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] |[[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] |[[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]] |[[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] |[[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] |[[Wikiversity:FAQ|FAQ]] |[[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Mitarbeiter]]}} Als Neuling bist Du sicher ungeduldig und willst endlich [[Wikiversity:Willkommen|mitmachen]]? O.K. Nimm Dir aber bitte etwas Zeit, um Dich mit den hier üblichen [[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] und [[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] vertraut zu machen. Wenn Du [[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] brauchst, erhältst Du viele Hinweise und Ratschläge in der [[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]]. Trau Dich, dort Deine Fragen zu stellen. Die dafür notwendigen Kenntnisse zum [[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] und [[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] sind gar nicht so schwer zu erlernen. Vielleicht hilft Dir auch das Lesen von [[Wikiversity:FAQ|häufig gestellten Fragen]] oder der Kontakt zu einem Benutzer aus der [[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Liste der Mitarbeiter nach Wissensgebieten]]. Zur Organisation von Kursen steht auch das '''[[Wikiversity:Moodle|Wikiversity-Moodle]]''' auf Wikimedia&nbsp;Labs testweise bereit. Ergänzend können das Wikimedia-'''[[Wikiversity:Etherpad|Etherpad]]''' und das Web Conferencing System '''[[Wikiversity:AG Wikiversity/BigBlueButton|BigBlueButton]]''' genutzt werden. <br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Kurse und Projekte</span> {{Links||[[:Kategorie:Kurs|Kurse]] |[[:Kategorie:Projekt|Projekte]] |[[Wikiversity:Projektinkubator|Inkubator]] |[[Spezial:Recentchanges|Letzte Änderungen]]}} In der Wikiversity findest Du [[:Kategorie:Kurs|Kurse]] und [[:Kategorie:Projekt|Projekte]]. Da sich hier aber alles im Fluss befindet, kannst Du zur Orientierung darüber, was in letzter Zeit so alles getan wurde, auch mal einen Blick auf die [[Spezial:Recentchanges|Liste der letzten Änderungen]] werfen.<br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Bibliothek</span> {{Links|[[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] |[[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] |[[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] |[[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]]}} Falls Du nach Lektüre suchst, vergrabe Dich in der [[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] mit ihren [[Wikiversity:Bibliothek|Nachschlagewerken]], [[Wikiversity:Lehrbücher|Lehrbüchern]], [[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] und [[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] oder geh mal in den [[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]].<br style="clear:both;" /> </div> [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] jt4sr3h8kk6li31lugxsmf13wsng1ni 1078191 1078190 2026-04-27T00:54:16Z Mtarch11 32307 Änderung von [[Special:Contributions/~2026-25521-54|~2026-25521-54]] ([[User talk:~2026-25521-54|Diskussion]]) wurde auf die letzte Version von [[User:Mtarch11|Mtarch11]] zurückgesetzt 1078180 wikitext text/x-wiki <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Mitmachen</span> {{Links|[[Wikiversity:Willkommen|Mitmachen]] |[[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] |[[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] |[[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] |[[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]] |[[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] |[[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] |[[Wikiversity:FAQ|FAQ]] |[[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Mitarbeiter]]}} Als Neuling bist Du sicher ungeduldig und willst endlich [[Wikiversity:Willkommen|mitmachen]]? O.K. Nimm Dir aber bitte etwas Zeit, um Dich mit den hier üblichen [[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] und [[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] vertraut zu machen. Wenn Du [[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] brauchst, erhältst Du viele Hinweise und Ratschläge in der [[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]]. Trau Dich, dort Deine Fragen zu stellen. Die dafür notwendigen Kenntnisse zum [[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] und [[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] sind gar nicht so schwer zu erlernen. Vielleicht hilft Dir auch das Lesen von [[Wikiversity:FAQ|häufig gestellten Fragen]] oder der Kontakt zu einem Benutzer aus der [[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Liste der Mitarbeiter nach Wissensgebieten]]. Zur Organisation von Kursen steht auch das '''[[Wikiversity:Moodle|Wikiversity-Moodle]]''' auf Wikimedia&nbsp;Labs testweise bereit. Ergänzend können das Wikimedia-'''[[Wikiversity:Etherpad|Etherpad]]''' und das Web Conferencing System '''[[Wikiversity:AG Wikiversity/BigBlueButton|BigBlueButton]]''' genutzt werden. <br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Kurse und Projekte</span> {{Links||[[:Kategorie:Kurs|Kurse]] |[[:Kategorie:Projekt|Projekte]] |[[Wikiversity:Projektinkubator|Inkubator]] |[[Spezial:Recentchanges|Letzte Änderungen]]}} In der Wikiversity findest Du [[:Kategorie:Kurs|Kurse]] und [[:Kategorie:Projekt|Projekte]]. Da sich hier aber alles im Fluss befindet, kannst Du zur Orientierung darüber, was in letzter Zeit so alles getan wurde, auch mal einen Blick auf die [[Spezial:Recentchanges|Liste der letzten Änderungen]] werfen.<br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Bibliothek</span> {{Links|[[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] |[[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] |[[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] |[[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]]}} Falls Du nach Lektüre suchst, vergrabe Dich in der [[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] mit ihren [[Wikiversity:Bibliothek|Nachschlagewerken]], [[Wikiversity:Lehrbücher|Lehrbüchern]], [[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] und [[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] oder geh mal in den [[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]].<br style="clear:both;" /> </div> [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] 9qhcd644gozxnc3xj1b5o9bhxy0jaex 1078192 1078191 2026-04-27T05:49:01Z Bocardodarapti 2041 Schützte „[[Wikiversity:Schnelleinstieg]]“: Übermäßiger Vandalismus ([Bearbeiten=Nur Pedelle] (unbeschränkt) [Verschieben=Nur Pedelle] (unbeschränkt)) 1078180 wikitext text/x-wiki <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Mitmachen</span> {{Links|[[Wikiversity:Willkommen|Mitmachen]] |[[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] |[[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] |[[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] |[[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]] |[[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] |[[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] |[[Wikiversity:FAQ|FAQ]] |[[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Mitarbeiter]]}} Als Neuling bist Du sicher ungeduldig und willst endlich [[Wikiversity:Willkommen|mitmachen]]? O.K. Nimm Dir aber bitte etwas Zeit, um Dich mit den hier üblichen [[Wikiversity:Namenskonventionen|Konventionen]] und [[Wikiversity:Grundlegende Richtlinien|Richtlinien]] vertraut zu machen. Wenn Du [[Wikiversity:Hilfe|Hilfe]] brauchst, erhältst Du viele Hinweise und Ratschläge in der [[Wikiversity:Cafeteria|Cafeteria]]. Trau Dich, dort Deine Fragen zu stellen. Die dafür notwendigen Kenntnisse zum [[Hilfe:Seiten bearbeiten|Seiten bearbeiten]] und [[Hilfe:Textgestaltung|Text gestalten]] sind gar nicht so schwer zu erlernen. Vielleicht hilft Dir auch das Lesen von [[Wikiversity:FAQ|häufig gestellten Fragen]] oder der Kontakt zu einem Benutzer aus der [[Wikiversity:Mitarbeiter nach Wissensgebieten|Liste der Mitarbeiter nach Wissensgebieten]]. Zur Organisation von Kursen steht auch das '''[[Wikiversity:Moodle|Wikiversity-Moodle]]''' auf Wikimedia&nbsp;Labs testweise bereit. Ergänzend können das Wikimedia-'''[[Wikiversity:Etherpad|Etherpad]]''' und das Web Conferencing System '''[[Wikiversity:AG Wikiversity/BigBlueButton|BigBlueButton]]''' genutzt werden. <br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Kurse und Projekte</span> {{Links||[[:Kategorie:Kurs|Kurse]] |[[:Kategorie:Projekt|Projekte]] |[[Wikiversity:Projektinkubator|Inkubator]] |[[Spezial:Recentchanges|Letzte Änderungen]]}} In der Wikiversity findest Du [[:Kategorie:Kurs|Kurse]] und [[:Kategorie:Projekt|Projekte]]. Da sich hier aber alles im Fluss befindet, kannst Du zur Orientierung darüber, was in letzter Zeit so alles getan wurde, auch mal einen Blick auf die [[Spezial:Recentchanges|Liste der letzten Änderungen]] werfen.<br style="clear:both;" /> </div> <div class="fieldset" style="{{fieldset}}"><span class="legend" style="{{legend}}">Bibliothek</span> {{Links|[[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] |[[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] |[[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] |[[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]]}} Falls Du nach Lektüre suchst, vergrabe Dich in der [[Wikiversity:Bibliothek|Bibliothek]] mit ihren [[Wikiversity:Bibliothek|Nachschlagewerken]], [[Wikiversity:Lehrbücher|Lehrbüchern]], [[Wikiversity:Fachdatenbanken|Fachdatenbanken]] und [[Wikiversity:Kartensammlung|Kartensammlungen]] oder geh mal in den [[Wikiversity:Lesesaal|Lesesaal]].<br style="clear:both;" /> </div> [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] 9qhcd644gozxnc3xj1b5o9bhxy0jaex 0 11928 1078228 1048662 2026-04-27T11:31:09Z Bocardodarapti 2041 1078228 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ= }} und {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Dann gibt es die folgenden drei Möglichkeiten: {{Aufzählung3 | {{math|term= L |SZ=}} ist ein Körper. | {{math|term= L |SZ=}} ist von der Form {{ Relationskette | L || K[\epsilon]/ {{makl| \epsilon^2 |}} || || || |SZ=. }} | {{math|term= L |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Produktring| |SZ= }} {{ Relationskette | L || K \times K || || || |SZ=. }} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der quadratischen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Klassifizierung |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} enyuokbzn3uejptm07ltywfmjm9mnos 106 12769 1078239 1078107 2026-04-27T11:57:34Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen */ 1078239 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 6ig2ec9gjx3c8e3zh595wgb6z2fecmc 2 105152 1078200 1078045 2026-04-27T07:12:47Z Bocardodarapti 2041 1078200 wikitext text/x-wiki {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Quasihomogener Ring/Euler-Derivation/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Hyperfläche/3 Variablen/Transformation/1/Beispiel|| }} [[Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Strukturgarbe/Offene Teilmengen/Globaler Schnittring/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Reflexiver Modul/Garbe/Auswertung/Textabschnitt]] [[Isolierte Singularität/Komplement/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Algebra/Spektrum/Realisierung/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Varianten/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Monoidring/Grad 0 Ring/Endliche Gruppe/Tangentialschema/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Kähler-Differentiale/Zweite äußere Potenz/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Äußere Ableitung/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Derivationen/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Isoliert/Dimension geq 3/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt]] [[Tangentialkegel/Einführung/Textabschnitt]] [[Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt]] [[Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt]] [[Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt]] [[Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt]] [[Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt]] [[Hauptteile/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Selbstprodukt/Hauptteilmodul/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A n/Differentialoperatoren/Positive Charakteristik/Beispiel|| }} [[Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Derivation/Hyperfläche/PotenzadditionAusdehnbarkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel|| }} [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt]] [[Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt]] Vorträge [[Differentielle Signatur/Vortrag]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/3/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt]] d7e5gkakretjk6cmvv57lsqzwjn33ay 1078211 1078200 2026-04-27T10:40:39Z Bocardodarapti 2041 1078211 wikitext text/x-wiki {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene_Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Quasihomogener Ring/Euler-Derivation/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Hyperfläche/3 Variablen/Transformation/1/Beispiel|| }} [[Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Strukturgarbe/Offene Teilmengen/Globaler Schnittring/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Reflexiver Modul/Garbe/Auswertung/Textabschnitt]] [[Isolierte Singularität/Komplement/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Algebra/Spektrum/Realisierung/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Varianten/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Monoidring/Grad 0 Ring/Endliche Gruppe/Tangentialschema/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Kähler-Differentiale/Zweite äußere Potenz/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Äußere Ableitung/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Derivationen/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Isoliert/Dimension geq 3/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt]] [[Tangentialkegel/Einführung/Textabschnitt]] [[Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt]] [[Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt]] [[Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt]] [[Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt]] [[Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt]] [[Hauptteile/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Selbstprodukt/Hauptteilmodul/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A n/Differentialoperatoren/Positive Charakteristik/Beispiel|| }} [[Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Derivation/Hyperfläche/PotenzadditionAusdehnbarkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel|| }} [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt]] [[Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt]] Vorträge [[Differentielle Signatur/Vortrag]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/3/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt]] 9kxpgkkl8q5fm43v7yg1fgpwt59feeg 106 168181 1078193 1071492 2026-04-27T06:30:20Z Paul Sutermeister 37610 1078193 wikitext text/x-wiki {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | 6. Juli | 7 | Marketing |- | 6. Juli | 8 | Automatisieren |- | 6. Juli | 9 | Kundendienst |- | 6. Juli | 10 | Buchhaltung |- | 6. Juli | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | 6. Juli | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] a7p7q2gylggisd8900uagu8em8zecrz 1078194 1078193 2026-04-27T06:32:15Z Paul Sutermeister 37610 1078194 wikitext text/x-wiki Weil der Kurs mit Arbeitszeiten der teilnehmenden zusammenfällt, können die Kursinhalte asynchron, das heisst: nicht präsentiell, gelernt werden. Es gibt keinen Test, das Fach ist nicht diplomrelevant. Aber bei Nichtabsolvieren gibt es kein Minerva-Zertifikat "Künstliche Intelligenz". {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | 6. Juli | 7 | Marketing |- | 6. Juli | 8 | Automatisieren |- | 6. Juli | 9 | Kundendienst |- | 6. Juli | 10 | Buchhaltung |- | 6. Juli | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | 6. Juli | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] hq0pkml29ekj4psb2dkwtr86rdetcl7 1078195 1078194 2026-04-27T06:33:20Z Paul Sutermeister 37610 1078195 wikitext text/x-wiki Weil der Kurs mit Arbeitszeiten der teilnehmenden zusammenfällt, können die Kursinhalte asynchron, das heisst: nicht präsentiell, gelernt werden. Es gibt keinen Test, das Fach ist nicht diplomrelevant. Aber bei Nichtabsolvieren gibt es kein Minerva-Zertifikat "Künstliche Intelligenz". Angeraten wird der Besuch präsenziell an den beiden Kurstagen 08:00-134:00 (2 x 6 Lektionen). Bei Abwesenheit müssen online gegebene Aufträge erfüllt werden. {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | 6. Juli | 7 | Marketing |- | 6. Juli | 8 | Automatisieren |- | 6. Juli | 9 | Kundendienst |- | 6. Juli | 10 | Buchhaltung |- | 6. Juli | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | 6. Juli | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] 2bg6yiuy7pnv8yfkpf0qw2735kvkqc7 1078196 1078195 2026-04-27T06:35:43Z Paul Sutermeister 37610 1078196 wikitext text/x-wiki Weil der Kurs mit Arbeitszeiten der teilnehmenden zusammenfällt, können die Kursinhalte asynchron, das heisst: nicht präsentiell, gelernt werden. Es gibt keinen Test, das Fach ist nicht diplomrelevant. Aber bei Nichtabsolvieren gibt es kein Minerva-Zertifikat "Künstliche Intelligenz". Angeraten wird der Besuch präsenziell an den beiden Kurstagen 08:00-13:00 (2 x 6 Lektionen). Bei Abwesenheit müssen online gegebene Aufträge erfüllt werden. {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | 6. Juli | 7 | Marketing |- | 6. Juli | 8 | Automatisieren |- | 6. Juli | 9 | Kundendienst |- | 6. Juli | 10 | Buchhaltung |- | 6. Juli | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | 6. Juli | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] loh0wdny6wvl2cgk3xwb82kfl0761ri 106 170021 1078197 1078101 2026-04-27T06:44:09Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1078197 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann wird das komplexe Integral über die Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] se1wv4mmw0e1wkpf20hxbctg93ad2fn 1078198 1078197 2026-04-27T06:52:03Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellungslemma für komplexe Flächenintegrale */ 1078198 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W3): === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_R} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fe6jdgw5hbd1v2vxmf6zds79o4h8rkx 1078199 1078198 2026-04-27T06:52:47Z Bert Niehaus 20843 /* W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078199 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W3): === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rxysx6a02osr8t65o9bp84qvwhgq5mj 1078203 1078199 2026-04-27T10:18:58Z Bert Niehaus 20843 /* W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078203 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W3): === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man die Definition des [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] für die Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> an: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3ewa8bbaw5yaq113l3d0cbx4ab2itti 1078204 1078203 2026-04-27T10:26:20Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals */ 1078204 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W3): === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l86b681ljuou85t3llwrh5d0n8d3g50 1078205 1078204 2026-04-27T10:27:53Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellungslemma für Rechteckintegrale */ 1078205 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexe Flächenintegral mit Stammfunktionen kann damit für die Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrückt werden. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gmagjafvpzppqt06ispwgsar7ugtbye 1078206 1078205 2026-04-27T10:29:49Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare */ 1078206 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jxipwnm7lu1cwh0864h6rvqyt1t3pd6 1078207 1078206 2026-04-27T10:30:48Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellungslemma für Rechteckintegrale */ 1078207 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tm8fubs4sim2obnk9mqnsd0bv9u5dvt 1078208 1078207 2026-04-27T10:32:13Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078208 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Insgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m80unvd1r0f7arbn03c56l2koxhdqq5 1078209 1078208 2026-04-27T10:36:28Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare */ 1078209 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweh === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des orientierten Flächenintegrals über <mathInsgesamt erhält man die Aussage des Darstellungslemmas und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n5yp5dpu9dra3cizxsnm47v4uxntbvx 1078212 1078209 2026-04-27T10:40:52Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Alternierender Randweh */ 1078212 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man auch die Aussage (W2) des Darstellungslemmas über die Addition beider Dastellungen aus (W1). Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man die Aussage. === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Es entsteht ein alternierende Randweg mit wechselnden Integrationsrichtungen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6fzz1xgn2jkmzueoffuyp43puc2yjbq 1078213 1078212 2026-04-27T10:41:51Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Alternierender Randweg */ 1078213 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man auch die Aussage (W2) des Darstellungslemmas übe :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Es entsteht ein alternierende Randweg mit wechselnden Integrationsrichtungen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] knbsdbkxrrjtgayvn3xqwvok63leap1 1078214 1078213 2026-04-27T10:44:01Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Alternierender Randweg */ 1078214 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Es entsteht ein alternierende Randweg mit wechselnden Integrationsrichtungen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d1dtynn1n88gikizp5h5x3bnqpsw6ok 1078215 1078214 2026-04-27T10:45:54Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5 - Alternierender Randweg */ 1078215 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkt. Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mu2aesfdpl3c7z31ua8ghpk18uwhxda 1078216 1078215 2026-04-27T10:50:34Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5 - Alternierender Randweg */ 1078216 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1vwab2ro0kq8xqj348a5kinm92tjfn3 1078217 1078216 2026-04-27T10:51:35Z Bert Niehaus 20843 /* W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078217 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle + \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann man mit Flächenstammfunktion berechnen. Damit lässt sich nun Flächenintegral als Differenz von [[Wegintegral|Wegintegralen]] über gegenüberliegende Viereckseiten ausgedrücken. Das Integral ist dabei unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a2xbryko5ww5fcemp7u1b0227ecadrd 1078219 1078217 2026-04-27T10:56:10Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare */ 1078219 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle + \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] octdhcsp4m179zmz9quiuetg07doiec 1078220 1078219 2026-04-27T10:56:39Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung */ 1078220 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle + \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die umgekehrten Vorzeichen bei den Stammfunktionen des komplexen Flächenintegrals ergibt sich aus der Subtraktion des zweiten Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hmmr0085fjkaykd8e6yjpa2g4j2p1sn 1078221 1078220 2026-04-27T10:59:10Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale */ 1078221 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle + \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hjqemp8tfmbdz55s7eof9xl52q6wumi 1078222 1078221 2026-04-27T10:59:56Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078222 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle + \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7hsvdk4ron6swtiq92lqczch4qvapnr 1078236 1078222 2026-04-27T11:51:11Z Bert Niehaus 20843 /* W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078236 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n6buzw6zm2pck6n8lhc6ngdbpqhma28 1078237 1078236 2026-04-27T11:52:38Z Bert Niehaus 20843 /* W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078237 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den alternierenden Randweg: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math> als Aussage (W2). <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0hxany189xrfe6z8gbx5g2ejliazg24 1078238 1078237 2026-04-27T11:56:03Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5 - Alternierender Randweg */ 1078238 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den alternierenden Randweg: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lqjvl39jb6rzlqmn4049ik6s0glxk6h 106 170191 1078223 1077516 2026-04-27T11:09:48Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1078223 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \,\,\, +\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(\xi) \,\, d\xi </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] fxobajuv22njqlzc9sluafdw13kqfj2 1078224 1078223 2026-04-27T11:12:16Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1078224 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] e1f3te65l8hkds33o7ox5pmf50lsl5k 1078225 1078224 2026-04-27T11:22:24Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1078225 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 8c8k7fmy9uo3w10f9ogzradp4v5wm4z 1078226 1078225 2026-04-27T11:23:10Z Bert Niehaus 20843 /* Integralnotation */ 1078226 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 1g1au0yjeka6mari0tms0y6f5u3jnpr 1078227 1078226 2026-04-27T11:27:02Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Randweg im Rechteck */ 1078227 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 3cp3yujihe5pj7kabicdvr44665u2q2 1078229 1078227 2026-04-27T11:34:04Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1078229 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. <span id="Lemma"></span> == Randwegintegrallemma im Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche. :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] c061k386qgb9q1pwo1dmn6pjo9r39fo 1078230 1078229 2026-04-27T11:35:41Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Randwegintegral Dreieck */ 1078230 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. <span id="Lemma"></span> == Randwegintegrallemma im Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche. :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des Randwegintegrals für Dreiecke auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\iint} F(\xi) \,\, d^2\!\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] f1dlm1bqfjyxf3jh1h236k88xe7hd5a 1078231 1078230 2026-04-27T11:36:35Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Randwegintegral Dreieck */ 1078231 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. <span id="Lemma"></span> == Randwegintegrallemma im Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche. :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrals für Dreiecke]] auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\iint} F(\xi) \,\, d^2\!\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die nicht notwendigerweise geschlossen sind. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] sezxudltqfcl0pc4zwpzefocn8x2l96 1078232 1078231 2026-04-27T11:40:41Z Bert Niehaus 20843 /* Randwege und Flächen */ 1078232 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. <span id="Lemma"></span> == Randwegintegrallemma im Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche. :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrals für Dreiecke]] auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\iint} F(\xi) \,\, d^2\!\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die zwar wie geschlossene Wege über den gesamten Rand des Vielecks laufen, aber pro Kante des Polygons eine alternierde [[orientierte Fläche|Orientierung]] der Integrationswege besitzen. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] 7bs8ozxfxdfx9rc9uo257lmn31mdzs5 1078233 1078232 2026-04-27T11:43:16Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1078233 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. <span id="Lemma"></span> == Randwegintegrallemma im Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche. :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrals für Dreiecke]] auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\iint} F(\xi) \,\, d^2\!\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die zwar wie geschlossene Wege über den gesamten Rand des Vielecks laufen, aber pro Kante des Polygons eine alternierde [[orientierte Fläche|Orientierung]] der Integrationswege besitzen. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] jmgc3wp4zu14492puhj2o3jyfghzuz5 1078234 1078233 2026-04-27T11:46:09Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1078234 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. <span id="Lemma"></span> == Randwegintegrallemma im Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche. :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrals für Dreiecke]] auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\iint} F(\xi) \,\, d^2\!\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die zwar wie geschlossene Wege über den gesamten Rand des Vielecks laufen, aber pro Kante des Polygons eine alternierde [[orientierte Fläche|Orientierung]] der Integrationswege besitzen. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] ob8meq1s00s9bhbuqasndhu6m3tgn70 1078235 1078234 2026-04-27T11:47:06Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randwegintegral Dreieck */ 1078235 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Gradient <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)</math> in einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>Grad(\gamma)</math> gibt als Vektor im <math>\mathbb{C}^2</math> die Orientierung der Fläche in jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> an. Dabei spielen die Integrationswege über den Rand der Fläche und die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> eine wesentliche Rolle, um die Flächenintegrale über eine orientierte Dreiecksfläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> berechnen zu können. ==== Gradient und Orientierung der Dreiecksfläche ==== Die orientierte Dreiecksfläche ergibt dabei wieder aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und die Orientierung in einem Punkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> des Dreieck aus dem Gradienten von <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === In der folgenden Animation ist Gradient <math>Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> jeweils in grüner Farbe in dem Dreieckspunkt <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) \in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingezeichnet worden. [[File:Flaechenintegral Orientierung Dreieck v1.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Kollinearität des Gradienten mit Randwege === Wenn man die obige Animation bezogen auf [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] speziell für die die Randpunkte <math>z\in \partial\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> des Dreiecks betrachtet, erkennt man, dass die partiellen Ableitungen <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_1}</math> und <math>\frac{d\gamma_{\Delta}}{dt_2}</math> in den [[w:de:Kollinearität|Kollinearität]] zu Randintegralen aufweisen. Diese Randintegrale über die Stammfunktion <math>F</math> treten wiederum im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] auf, um die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] berechnen zu können. <span id="Definition"></span> == Definition - Randwegintegral Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das Integral über den Randweg von <math>z_1</math> nach <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> für das Dreiecks <math>\Delta (z_1,z_2,z_3)</math> wird als Differenz von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> definiert: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, := - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Randweg im Rechteck === Das Randwegintegral im Rechteck <math>R</math> hat eine ähnliche alternierende Struktur (siehe [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale#W2|Randwegintegral im Rechteck]]). Dies deutet bereits die allgemeinere Struktur von orientierten Flächenintegral bei Vielecken an, bei der Vieleck auch additiv in Teildreieck zerlegt werden können. Die Definition der orientierten Flächen ist dabei konsistent zur komplexwertigen Flächeninhaltsaddition von Teilflächen. <span id="Lemma"></span> == Randwegintegrallemma im Dreieck == Sei <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to G</math> die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]], die sich aus der Darstellung über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ergibt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ \end{array} </math> Das alternierende Randwegintegral berechnet die orientierte Dreiecksfläche. :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Integralnotation === In einigen Fällen benötigt man eine Kurzform der Integraldarstellung. Dies wird im Folgenden genannt. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, := \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Randwegintegral Dreieck === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert der Wert des [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrals für Dreiecke]] auch den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks selbst, d.h. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\iint} F(\xi) \,\, d^2\!\xi = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> == Kombinatorische Möglichkeiten == Im bisherigen [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs zur Funktionentheorie]] wurden vorwiegend geschlossene Integrationswege über den Rand betrachtet (siehe [[Lemma von Goursat]]. Bei geschlossenen Integrationswegen über den Rand eines Dreiecks gibt es kombinatorisch nur zwei Möglichkeiten: * Umlaufrichtung gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) * Umlaufrichtung mit den Uhrzeigersinn (negative Orientierung) Das Integral unterscheidet bei Umkehrung des Umlaufsinns dabei nur um ein Vorzeichen. === Randwege und Flächen === Für Flächenintegrale betrachtet Randwege als stückweise stetig differenzierbare Integrationswege, die zwar wie geschlossene Wege über den gesamten Rand des Vielecks laufen, aber pro Kante des Polygons eine alternierde [[orientierte Fläche|Orientierung]] der Integrationswege besitzen. Diese Lerneinheit betrachtet diese kombinatorischen Möglichkeiten, wobei im [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] der Wert des Integrals in Abhängigkeit des Integrals auf dem Rand betrachtet wird. === Randweg 1 - Punkt zu Integrationsweg === Als erste kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Orientierung aus der obigen Animation, wobei die [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] in einem Punkt <math>z_1</math> als Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> startet und zu Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> transformiert wird. Jeder Punkt <math>z</math> aus dem Dreieck kann dann über folgende Integral der orientierte Fläche dargestellt werden. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== [[File:Randintegral z1 z2z3.gif|350px|center|Surface integral from z1 to z2,z3]] ==== Beispielrechnung 1 - Punkt zu Integrationsweg ==== Sei <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2 </math>. Mit dem [[Satz über lokale Stammfunktionen]] erhält man als Stammfunktion <math>F(z)=\tfrac{1}{3}z^3</math> und als Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}(z)=\tfrac{1}{12}z^4</math>. Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] erhält man mit der obigen orientierten Fläche folgenden Wert des Integrals: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) = -196-288i </math> Wobei die Punkte <math>z_1:=1+i</math>, <math>z_2:=6+2i</math> und <math>z_3:=:=4+6i</math> als Eckpunkte des Dreiecks gewählt wurden. === Randweg 2 - Integrationsweg zu Punkt === Als zweite kombinatorische Möglichkeit betrachtet man die Transfomation eines Integrationsweges <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationweg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> als [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Formal bezeichnet diese Transformation: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_2,z_3 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = - \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Animation 2 - Integrationsweg zu Punkt ==== [[File:Randintegral z2z3 z1.gif|350px|center|Surface integral triangle - contraction z2z3 to z1]] === Randweg 3 - Orientierungswechsel des Integrationsweges === Für die dritte orientierte Dreiecksflächen wird nun der rot markierte Weg auf dem Rand umgekehrt. Damit verändert sich der Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> und transformiert diesen wieder zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. dem Integrationsweg <math>\langle z_1,z_1 \rangle</math>. Das Wegintegral über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> hat damit folgende Formulierung: :<math> \overset{ \quad \quad z_1 \quad }{ \underset{\langle z_3,z_2 \rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> ==== Veranschaulichung - Orientierungswechsel ==== [[File:Randintegral z3z2 z1.gif|center|350px|Surface integral triangle from transformation from convex combination to point - animation export with OpenSource Geogebra]] ==== Randweg 3 - Umformung der Darstellung ==== In der obigen Animation kontrahiert der Weg <math>\langle z_3,z_2 \rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math>. Dies entspricht dem Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \\ &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Randweg 3 - Umformungen ==== In der obigen Umformungen zeigen die Gleichheit der folgenden beiden Flächenintegrale: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\overset{z_1}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \underset{z_1}{\overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ändert sich das Vorzeichen nicht, da zwei vorzeichenändernde Operationen durchgeführt wurden: * Vertauschung der Integralgrenzen im Doppelintegral <math>\iint \ldots</math> und * Richtungswechsel im Integrationsweg <math>\langle z_3,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] === Mathematische Teilgebiete === * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[w:de:Geometrie|Geometrie]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] t3iwxlfgmk2ktpxvfc85wsiav5ovhag 0 170268 1078201 2026-04-27T07:42:40Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078201 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | x || t^3 -3t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || t^4-4t^2 || || || |SZ=. }} Die Gleichung ist {{ Relationskette/display | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || 0 || || || |SZ=. }} Dabei erfüllt {{math|term= t |SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || 0 || || || |SZ=, }} es ist ja {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || t^2-t {{makl| t^3 -3t |}} + {{makl| t^4-4t^2 |}} || t^2 -t^4 +3t^2 +t^4 -4t^2 || 0 || |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette/display | t^2 || tx-y || || || |SZ=. }} Wir setzen ein {{ Relationskette/align | x || t^3-3t || t {{makl| t^2-3 |}} || t {{makl| tx-y -3 |}} || t^2x-ty-3t || {{makl| tx-y |}} x-ty-3t || tx^2 -yx-ty-3t |SZ=. }} Daraus ergibt sich die rationale Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} b0hkaplfn0sg3x9cowcqj58eihwq144 1078202 1078201 2026-04-27T09:36:20Z Bocardodarapti 2041 1078202 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | x || t^3 -3t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || t^4-4t^2 || || || |SZ=. }} Die Gleichung ist {{ Relationskette/display | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || 0 || || || |SZ=. }} Dabei erfüllt {{math|term= t |SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || 0 || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= 2 |SZ=,}} es ist ja {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || t^2-t {{makl| t^3 -3t |}} + {{makl| t^4-4t^2 |}} || t^2 -t^4 +3t^2 +t^4 -4t^2 || 0 || |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette/display | t^2 || tx-y || || || |SZ=. }} Wir setzen ein {{ Relationskette/align | x || t^3-3t || t {{makl| t^2-3 |}} || t {{makl| tx-y -3 |}} || t^2x-ty-3t || {{makl| tx-y |}} x-ty-3t || tx^2 -yx-ty-3t |SZ=. }} Daraus ergibt sich die rationale Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || || || |SZ=. }} Mit {{ Relationskette/display | z || t^5-10t || || || |SZ= }} kann man {{ Relationskette/align | z || t^5-10t || t {{makl| tx-y |}}^2-10t || t {{makl| t^2x^2 -2xy+y^2 |}} -10t || t {{makl| {{makl| tx-y |}} x^2 -2xy+y^2 |}} -10t || t {{makl| tx^3 - x^2y -2xy+y^2 |}} -10t || {{makl| tx-y |}} x^3 + t {{makl| - x^2y -2xy+y^2 |}} -10t || -yx^3 +t {{makl| x^4 - x^2y -2xy+y^2 -10 |}} |SZ= }} ableiten. Also ist {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|z +yx^3 | x^4 - x^2y -2xy+y^2 -10 }} || || || |SZ=. }} Alternativ ist {{ Relationskette/align |z || t^5 -10t || t^2 {{makl| x+3t |}} -10t || 3t^3 +xt^2-10t || 3 {{makl| x+3t |}} +xt^2-10t || xt^2 +3x -t |SZ=. }} Wenn man die quadratische Ganzheitsgleichung von oben heranzieht, ergibt sich {{ Relationskette/display | z || x {{makl| tx-y |}} +3x -t || -xy +3x +t {{makl| x^2 -1 |}} || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| z+xy-3x |x^2-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} psn1xvm11j5cit2ibdxihnsfu96pkmi 0 170269 1078210 2026-04-27T10:40:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078210 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} mq2mxor0devbko9ian89nokfcmsjovi 1078218 1078210 2026-04-27T10:52:08Z Bocardodarapti 2041 1078218 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jjliux8wn9qtuf3iqbcr476sxzrgvpg