Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.24 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 9722 1078273 1075841 2026-04-27T13:30:18Z Bert Niehaus 20843 /* Zufallsexperimente */ 1078273 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs Stochastik nutzt den [[Wiki2Reveal]] und den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur temporär für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation und nur in der eigenen Browsersitzung erhalten. Wenn andere Personen die Wiki2Reveal-Präsentation aufrufen, sehen diese die eigenen Annotationen nicht. Das Design von [[Wiki2Reveal]] sorgt dafür, dass jeder Aufruf eine eigene individuelle Annotationsumgebung im Browser besitzt und damit auch bei einem Reload die eigenen Annotationen aus Datenschutzgründen nicht mehr sichtbar sind. == Lernressourcen == * [[/Aufgaben Tutorium/]] * [[Stochastik Überblick]] von Thomas Rudolf Korn * [[/R-Befehle/]] für Übungen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Datenanalyse == Grundlagen == * [[/Sigma-Algebra/]] * [[Borelsche Sigma-Algebra]] für stetige Wahrscheinlichkeitsmaße * '''[[Wahrscheinlichkeitsraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Siebformel|Siebformel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Siebformel&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Siebformel&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Zufallsvariable|Zufallsvariable]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zufallsvariable&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zufallsvariable&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kombinatorik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kombinatorik&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kombinatorik&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] wird z.B. benötigt, um die Anzahl in der Grundmenge <math>\Omega</math> zu bestimmen oder auch in der Definition von W-Verteilungen (z.B. [[/Binomialverteilung/]]) * '''[[Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen|Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20und%20stetige%20Wahrscheinlichkeitsverteilungen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/diskrete Verteilung/]] ** [[Kurs:Stochastik/stetige Verteilung|Stetige Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Stetige%20Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Verteilungsfunktion/]] ** [[/P-fast sicher/]] * '''[[Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume|Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diskrete%20Wahrscheinlichkeitsr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Bedingte%20Wahrscheinlichkeit&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Definition|Definition - bedingte Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_von_Bayes|Satz von Bayes]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Satz_totale_Wahrscheinlichkeit|Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit]] ** [[Bedingte Wahrscheinlichkeit#Produktformel|Produktformel]] * '''[[Stochastische Unabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Stochastische%20Unabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Momente|Erwartungswert und Momente]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Momente&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Linearität Erwartungswert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Linearit%C3%A4t%20Erwartungswert&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) **[[/Gleitender Mittelwert/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gleitender+Mittelwert&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Varianz|Varianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Varianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Varianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Kovarianz|Kovarianz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Kovarianz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kovarianz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Erzeugende Funktionen|Erzeugende Funktionen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Erzeugende%20Funktionen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erzeugende%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche Sigma-Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Borelsche%20Sigma-Algebra&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Borelsche%20Sigma-Algebra&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Räumliche Wahrscheinlichkeitsdichten aus diskreten Daten/]] == Zufallsexperimente == * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment|Zufallsexperiment]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsexperiment&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsexperiment&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Verteilungsfunktion&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Eigenschaften Verteilungsfunktion|Eigenschaften Verteilungsfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eigenschaften%20Verteilungsfunktion&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz von Verteilungsfunktionen/]] * [[/Nullmenge/]] === Diskrete Zufallsexperimente === * [[/Bernoulli-Experiment/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Bernoulli-Experiment&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Galtonbrett/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Galtonbrett&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Binomialverteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) * [[/Negative Binomialverteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Negative%20Binomialverteilung&author=Kurs%3A+Stochastik&audioslide=no&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/hypergeometrische Verteilung/]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/hypergeometrische%20Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate%20hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Poisson-Verteilung|Poisson-Verteilung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Poisson-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Poisson-Verteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stetige Zufallsexperimente === * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Normalverteilung|Normalverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Normalverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normalverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetige Gleichverteilung|Stetige Gleichverteilung bzw. Rechteckverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetige%20Gleichverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetige%20Gleichverteilung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[w:de:Dreiecksverteilung|Dreiecksverteilung]] * '''[[Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Exponentialverteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Exponentialverteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Cauchy-Verteilung|Cauchy-Verteilung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Verteilung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Gesetze der großen Zahlen == <span id="Konvergenzbegriffe"><span> * [[/Unfaire Münze/]] * [[/Faltung/|Summenverteilung - Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] * '''[[/Konvergenzeigenschaften/]]''' ** [[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit/]] ** [[Konvergenz nach Verteilung]] ** [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Tschebyscheffsche%20Ungleichung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Tschebyscheffsche%20Ungleichung&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Gesetz der großen Zahlen|Gesetze der großen Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Stochastik/Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Schwaches Gesetz der großen Zahlen|Schwaches Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schwaches%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Stochastik/Starkes Gesetz der großen Zahlen|Starkes Gesetz der großen Zahlen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Starkes%20Gesetz%20der%20gro%C3%9Fen%20Zahlen&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/fast sichere Konvergenz|P-fast sichere Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/fast%20sichere%20Konvergenz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=fast%20sichere%20Konvergenz&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzwertsätze]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzwertsätze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Approximation Binomialverteilung/]] ** [[/Zentraler Grenzwertsatz/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zentraler_Grenzwertsatz&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Hypothesentest]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Hypothesentest&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Allgemeine Wahrscheinlichkeitstheorie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Allgemeine_Wahrscheinlichkeitstheorie&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf Vektorräumen === * [[Multivariate Statistik]] ** [[/multivariate hypergeometrische Verteilung/]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/multivariate_hypergeometrische_Verteilung&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no Foliensatz]) * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=no&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Texterzeugung und Textanalyse === * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastik auf Texten|Stochastik auf Texten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastik%20auf%20Texten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastik%20auf%20Texten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Rangordnung|Rangordnung von Texten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße/|Tippfehler und Ähnlichkeitsmaße]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Kryptoanalyse und Stochastik|Kryptoanalyse und Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/syntaktische Struktur|syntaktische Struktur und Grammatik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Vorhersage von Textfragmenten|Vorhersage von Textfragmenten]] * '''[[Kurs:Stochastik/Stochastische Netze|Stochastische Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Stochastische%20Netze&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastische%20Netze&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Textanalyse und Textgenerierung/Graphen von Textfragmenten|Graphen von Textfragmenten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Textanalyse%20und%20Textgenerierung/Graphen%20von%20Textfragmenten&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graphen%20von%20Textfragmenten&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/Wege in Graphen|Wege in Graphen aus Textfragmenten]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/stochastische Textgenerierung|stochastische Textgenerierung]] * [[Textanalyse und Textgenerierung/interaktive Textgenerierung|interaktive Textgenerierung]] == Mathematik und Nachhaltigkeit == * [[Geplante Obsoleszenz]] - Stochastik, mittlere Lebensdauer und die Identifikation von kurzlebigen Produkten, die nicht ressourcenschonend produziert wurden. == Literatur / Skripte == <references/> == Siehe auch == * [[COVID-19/Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Formelsammlung Stochastik|Formelsammlung Stochastik]] * [[Graph einer Funktion]] * [[v:en:KnitR|KnitR]] * [[Kurs:Didaktik der Stochastik für Lernumgebungen]] * [[Kurs:Statistik für Anwender]] * [[w:de:Stochastik|Stochastik]] * [[Textanalyse und Textgenerierung]] * [[Wiki2Reveal]] mit [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator für Wiki2Reveal] [[Kategorie:Stochastik]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] hr5xzmiggn4jyiyum1d01pqs8aqivbf 106 12769 1078269 1078239 2026-04-27T13:19:51Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078269 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 51z5xke8j7rpfzw3tyk0ejr3erhttfd 1078270 1078269 2026-04-27T13:21:06Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen */ 1078270 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> nq4z0g6ljgmddpfm892gjfkltrs3zlq 1078290 1078270 2026-04-27T14:13:16Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078290 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/alternierender Randweg/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> kxwyew1r66xb1qmdpw40bojgfltah70 1078326 1078290 2026-04-28T07:06:50Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1078326 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/alternierender Randweg/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 3w4d5pqtoqdb0vjrqwko2jh28a9oy4c 3 39908 1078307 1076262 2026-04-27T16:01:37Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* This Month in Education: April 2026 */ 1078307 wikitext text/x-wiki == Hinweis == FYI: Du hast Mail. :)--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 13:43, 30. Mär. 2013 (CET) * Hallo, ich stelle meine Inhalte von Moodle gerne zur Verfügung! Was müsste ich denn tun? Und ich habe heute bereits begonnen, mit anderen KollegInnen zu sprechen. --[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 17:56, 11. Apr. 2013 (CEST) ::Das einfachste wäre es, Kontakt mit Jan Luca aufzunehmen, dass er aus einer Sicherung eines ersten Moodle-Kurses eine Kopie in der moodle-Sandbox des WMFlabs-Servers implementiert. So habe ich es mit meinem Kurs "Freies Wissen" gemacht. Ich würde mir den Kurs dann ansehn; dann sollten wir eine Strategie entwickeln, welche Inhalte in welcher Form auf Wikiversity kopiert und dann zur Integration in Kurse anderer Nutzer integriert werden können. Aus diesem Beispiel könnten wir dann eine Kurzanleitung für das uploaden von Kursinhalten entwickeln. --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 12:32, 12. Apr. 2013 (CEST) :::Unser plugin in Moodle selbst funktioniert jetzt, d.h. wir können Wikiversity-Inhalte in Moodle anbieten. Das ist eigentlich genau das, was ich brauche. Unsere IT sagt: «das PlugIn funktioniert. Ihr könnt es Euch hier anschauen: (...) Nach Rücksprache mit D würden wir es auf das Produktivsystem übernehmen, sobald das Plugin reviewed und über Moodle.org verfügbar ist. Es handelt sich hier technisch gesehen um einen Filter, der Performanceeinbußen hervorrufen könnte – wir behalten das also im Blick. ;-)»--[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 15:07, 24. Apr. 2013 (CEST) == This Month in Education: April 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 4, April 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource|Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2013/Wikimedia Argentina's educational strategic plan|Wikimedia Argentina's educational strategic plan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Wikiversity and Moodle|Wikiversity and Moodle]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Czech program flourishes|Czech program flourishes]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Egypt program celebrates end of second term|Egypt program celebrates end of second term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 15. Apr. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0414 --> =@Löschvorgang= ''Hallo Chi-Vinh, von Dir wurde in 2011 der [[Kurs:Advanced_Corporate_Finance]],[[Kurs:Business_English_1]] angelegt. Die Seite ist allerdings leer. Kann die Seite gelöscht werden? --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 09:30, 13. Mai 2013 (CEST)'' Die Inhalte sind in den Menüpunkten. Können wir es zu meiner Benutzerseite verschieben ? [[Benutzer:Chi-Vinh|Chi-Vinh]] ([[Benutzer Diskussion:Chi-Vinh|Diskussion]]) 01:10, 15. Mai 2013 (CEST) == This Month in Education: May 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 5, May 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/First ever medical school education program pilot begins at UCSF|First ever medical school education program pilot begins at UCSF]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/7th grade Wikipedia project in Geneva|7th grade Wikipedia project in Geneva]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wiki Education Foundation proposed|Wiki Education Foundation proposed]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wikiversity-Moodle project is moving on|Wikiversity-Moodle project is moving on]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Principles of radiation astronomy in Wikiversity|Principles of radiation astronomy in Wikiversity]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Trophy Case highlights good student work|Trophy Case highlights good student work]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 19:00, 15. Mai 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0449 --> == This Month in Education: June 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 6, June 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Growing contributions from wikiArS initiative|Growing contributions from wikiArS initiative]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/German Wikiversity continues its relaunch|German Wikiversity continues its relaunch]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/English Wikipedia program seeks Ambassadors|English Wikipedia program seeks Ambassadors]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Italian nursing students and Wikipedia|Italian nursing students and Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 16:15, 17. Jun. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0492 --> == This Month in Education: July 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 7, July 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Students' articles nominated for Featured Article|Students' articles nominated for Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 00:45, 17. Jul. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0526 --> == This Month in Education: August 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 8, August 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals|EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet|The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Videos from Open Educational Resources conference|Videos from Open Educational Resources conference]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan|Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 00:00, 21. Aug. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0561 --> == This Month in Education: September 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 9, September 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Wikimania pre-conference draws crowd|Wikimania pre-conference draws crowd]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Student leader achieves Featured Article|Student leader achieves Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons|Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:30, 16. Sep. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0585 --> == This Month in Education: October 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 10, October 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals|Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013|Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus|Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/WikiProject Open launches on English Wikipedia|WikiProject Open launches on English Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Demystifying Wikipedia at Singapore Management University|Demystifying Wikipedia at Singapore Management University]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure|Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 21:10, 15. Okt. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0605 --> == This Month in Education: November 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 11, November 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff|EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus|Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again|"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Plagiarism study results released|Plagiarism study results released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/More than 50 gather to celebrate third Egypt term|More than 50 gather to celebrate third Egypt term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft|Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin|Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 18. Nov. 2013 (CET) </div> <!-- EdwardsBot 0655 --> == This Month in Education: December 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 12, December 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences|International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Final report on "Silberwissen" available in English|Final report on "Silberwissen" available in English]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Planning the future of course pages|Planning the future of course pages]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Day of the Dead photo contest winners|Day of the Dead photo contest winners]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]].</div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6449078 --> == This Month in Education: January 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 1, January 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER) Berlin discusses introduction of OER in schools|Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER); Berlin discusses introduction of OER in schools]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Next EduWiki conference slated for Serbia|Next EduWiki conference slated for Serbia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico|Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne|Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. </div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6946416 --> == This Month in Education: February 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 2, February 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimania still accepting submissions for Education related presentations|Wikimania still accepting submissions for Education related presentations]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014|Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wiki Borregos begin Spring 2014 projects|Wiki Borregos begin Spring 2014 projects]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Free online course: Writing Wikipedia Articles|Free online course: Writing Wikipedia Articles]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Turning senior Czech citizens into Wikipedians|Turning senior Czech citizens into Wikipedians]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics|Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/New features for course pages released|New features for course pages released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Interactive elements added to editing tutorials|Interactive elements added to editing tutorials]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7433275 --> == This Month in Education: March 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 3, March 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague|Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director|Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research|Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Welcome, Floor Koudijs!|Welcome, Floor Koudijs!]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7867845 --> == This Month in Education: April 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/April 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 4, April 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program|Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Adrianne Wadewitz|Remembering Adrianne Wadewitz]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Cynthia Ashley-Nelson|Remembering Cynthia Ashley-Nelson]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia|Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Jisc/ Wikimedia UK partnership|Jisc/ Wikimedia UK partnership]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity|Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Happenings at Tec de Monterrrey, Mexico City Campus|Happenings at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Educational programming continues on Wikinews|Educational programming continues on Wikinews]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Welcome, Anna Koval!|Welcome, Anna Koval!]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Exploratory research started for setting up a Wikpedia Education program in the Netherlands|Exploratory research started for setting up a Wikipedia Education program in the Netherlands]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations|LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[User:AKoval (WMF)|Anna Koval (WMF)]] ([[user talk:AKoval (WMF)|talk]]) 23:45, 15. Apr. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8163849 --> == This Month in Education: May 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/May 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 5, May 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wiki Camp 2014 at Vanadzor|Wiki Camp 2014 at Vanadzor]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/EduWiki Conference in Belgrade 2014|EduWiki Conference in Belgrade 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey|Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Sverige: Meeting the educators|Wikimedia Sverige: Meeting the educators]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments|Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:08, 15. Mai 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8517082 --> == This Month in Education: June 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 18pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/June 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 6, June 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Education Project in Uruguay|Wikipedia Education Project in Uruguay]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia|Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Primary School Project|Wikipedia Primary School Project]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles|Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia|Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students|Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far|Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia|Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus|News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Czech senior citizen program supported by a WMF grant|Czech senior citizen program supported by a WMF grant]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors|Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wiki Education Foundation attends WikiConference USA|Wiki Education Foundation attends WikiConference USA]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Update on the education portal|Update on the education portal]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;" | <center><small>'''[[outreach:Education/Newsletter/June_2014/Highlights|Highlights]] {{·}} [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Single|Single page edition]]'''</small></center> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 90%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 07:12, 16. Jun. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|please update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8872797 --> == This Month in Education: July 2014 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr/> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 7, July 2014</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2014|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/July_2014/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Single|Single page edition]]</div> <hr/> <br> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Macedonian internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising|MACEDONIA: Internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit|ISRAEL: Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Editing about Literary Theory in UNAM|MEXICO: Editing about Literary Theory in UNAM]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Professor training continues as part of the Wiki Learning program|MEXICO: Professor training continues as part of the Wiki Learning program]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Czech education program presented at BarCamp, a free conference of Czech language|CZECH REPUBLIC: Education program presented at BarCamp]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in June 2014|GERMANY: Wikimedia Deutschland June Activities]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/6th International Integrity and Plagiarism Conference|UK: 6th International Integrity and Plagiarism Conference]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/VLE content reuse at Wikimania|UK: VLE content reuse at Wikimania]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/The Wikipedia Library|TWL: The Wikipedia Library]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Learning & Evaluation will launch a quarterly newsletter|WMF: Learning & Evaluation to publish quarterly newsletter]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Updates from Wikipedia Education Program and the Education Collaborative|WMF: Updates from the Wikipedia Education Program and the Wikipedia Education Collaborative]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Brazil, South Africa, The Signpost, and more]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"><br> To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|in the archives]]. </div></div></div> 16:07, 15. Jul. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9198271 --> == ''This Month in Education'': August 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Education at Wikimania|Education at Wikimania]] * U.S & Canada: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up|U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up]] * Taiwan: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge|Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Vanadzor again welcomes WikiCamp|Vanadzor, Armenia again welcomes WikiCamp]] * Netherlands: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Pilot project by Wikimedia Nederland|Education pilot projects by Wikimedia Nederland]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Sweden creates Open Badges|Wikimedia Sverige creates Open Badges for education program]] * Germany: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Deutschland's July report|Wikimedia Deutschland's July education activities]] * Tech: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/VisualEditor for students|VisualEditor for students and educators]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, India, Armenia, Ukraine]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 23:39, 19. Aug. 2014 (CEST) </div></div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9576931 --> == ''This Month in Education'': September 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members|Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events|Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey|Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Digital agenda for education and open badges to be tested|Digital agenda for education and open badges to be tested]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Most successful Czech course continues again this year|Most successful Czech course continues again this year]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:19, 17. Sep. 2014 (CEST) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9888493 --> == This Month in Education: October 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects|Sweden: Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles|Greece: Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece|Greece: Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together|Serbia & Hungary: Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"|Bulgaria: Bulgarian college students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network|Bulgaria: Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia|Israel: 9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/New classes and activities at Tec de Monterrey|Mexico: New classes and activities at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia|Catalonia: Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia|Ukraine: Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia|Netherlands: Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Data Collection Round II has started: be part|WMF: Data Collection Round II has started: be part]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Poland, Philippines, United States, WikiProject Medicine, Jimmy Wales, and more]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:55, 3. Dez. 2014 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: November 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education|France: Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Tec de Monterrey wrapping up semester projects|Mexico: Tec de Monterrey wrapping up semester projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia|Mexico: A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia|Egypt: Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden|Sweden: Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh|Global: Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Iberoconf discusses Wikipedia in education|Global: Iberoconf discusses Wikipedia in education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Welcoming new WMF staff supporting education|Global:Welcoming new WMF staff supporting education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: MIT, Myanmar, and Jimmy Wales]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:57, 3. Dez. 2014 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: December 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay|Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success|Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/First Wikipedia Ambassador at the University of Belgrade|First Wikipedia ambassador at the University of Belgrade]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Swedish Wikimini 1 year anniversary|Swedish Wikimini 1 year anniversary]] * UK: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikimedia UK processing EduWiki 2014|Wikimedia UK processing EduWiki 2014]] * Regional: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Eastern European education programs presented at regional conference|Eastern European education programs presented at regional conference]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Korea, Australia, the Gender Gap, the Wikipedia Library, WikiProject Medicine, Adrianne Wadewitz, Jimmy Wales, and Wikibombs]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:27, 6. Jan. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10863442 --> == This Month in Education: [January 2015] == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night|Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night]] * India: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage|100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons|Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo|Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo]] * Syria: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Pilot Wikipedia Education Program in Syria|Pilot Wikipedia Education Program in Syria]] * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement|Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey|Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Open Badges in the Education Program in Sweden|Open Badges in the Education Program in Sweden]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic|Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Egypt, India, Armenia, Books, Jimmy Wales, and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 05:16, 1. Feb. 2015 (CET) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11078510 --> == This Month in Education: [February 201 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikimedia Armenia run WikiCamps with great success|Wikimedia Armenia runs WikiCamps with great success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Greek adult school starts a project on writing articles in Wikipedia|Corfu adult school piloting WikiExpeditions and article writing on Wikipedia]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Serbian high school student advocates for the Education Program|High school student advocates for Education Program]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Education Program in Sweden succeeds with high school students|Education Program succeeds with high school students]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Armenian students contribute more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month|WikiClub contributes more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New campus ambassador serving a new translation class in Egypt's Education Program|New campus ambassador and new Chinese translation class]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education toolkit to help program leaders develop their programs at all levels|New education toolkit helps program leaders develop their programs]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education learning patterns answer many of your questions|New education learning patterns answer many of your questions]] * Communications: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikipedia Education Program is now on Facebook|Wikipedia Education Program is now on Facebook]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Australia, Ireland, Black History Month, WikiWomen and Jimmy Wales]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:25, 28. Feb. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11318733 --> == This Month in Education: March 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay|A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Czech senior citizen program scales up|Czech senior citizen program scales up]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia|Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia]] * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses|Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events|Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey|Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Events commemorating WikiWomen History Month, WikiMed and Black History editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:31, 1. Apr. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11528793 --> == This Month in Education: April 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * WMF: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Quarterly update from the education team|Quarterly update from the education team]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program|Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program]] * Ukraine: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/First round of WikiStudia wraps up with success|First round of WikiStudia wraps up with success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages|Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/New to Wikipedia: A personal perspective|New to Wikipedia: A personal perspective]] * Latvia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia]] * Russia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity|Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Studies and news from Harvard to Cambridge, women events and history editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:17, 1. Mai 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12056134 --> == This Month in Education: May 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Tunisia: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia|Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Five new classes begin experimenting with Wikipedia|Five new classes begin experimenting with Wikipedia]] * Arab World: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Arab World Education Program at WikiArabia 2015|Arab World Education Program at WikiArabia 2015]] * China: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw|Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Editathon for young students to edit articles about their school|Editathon for young students to edit articles about their school]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Maria enjoys editing Wikipedia as her community service|Maria enjoys editing Wikipedia as her community service]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!|Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education|Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: School editathons, medical research, Jimmy wales and new Wiki]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:44, 1. Jun. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12357013 --> == This Month in Education: June 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award in Uruguay|A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award]] * Hong Kong: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/The First Wikipedia Education Program in Hong Kong|The First Wikipedia Education Program in Hong Kong]] * Greece: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Greek adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers|Adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers]] * Sweden: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program in Sweden|Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program]] * Mexico: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New video tutorial for Commons created by students|New video tutorial for Commons created by students]] * Armenia: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015|Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015]] * Argentina: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries|Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries]] * Israel: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary|Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary]] * Global: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New recognition certificates for program students, teachers and leaders|New recognition certificates for program students, teachers and leaders]] * Media [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Uk, India, Palestine and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:07, 30. Jun. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12525637 --> ==verwaist== [[Kurs:Freies Wissen]] [[Kurs:Freies Wissen/Einführung]] [[Kurs:Software Engineering II]] == This Month in Education: July 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity|Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity]] * Community: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Join the Community Health learning campaign on Meta|Join the Community Health learning campaign on Meta]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimania 2015: education highlights|Wikimania 2015: education highlights]] * Education Collaborative: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!|Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Wikimania, Wikipedians in residence and public domain value]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 01:02, 2. Aug. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12853406 --> == This Month in Education: August 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio|The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey|Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process|On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Call for volunteers - This Month In Education|Call for volunteers - This Month In Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, Mexico and Australia]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 16:59, 1. Sep. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=13014597 --> == Wikimedia Education Newsletter: December 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|'''Arab World:''' Arab World Education Program at WISE Doha 2015]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|'''Argentina:''' Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|'''Argentina:''' The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut|'''Armenia:''' Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers|'''Bangladesh:''' Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/First Wiki Education Workshop in Bulgaria|'''Bulgaria:''' First Wiki Education Workshop in Bulgaria]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia|'''Central and Eastern Europe:''' Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|'''Czech Republic:''' Collaboration with Masaryk University turns official]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|'''Egypt:''' Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia|'''France:''' A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece|'''Greece:''' Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong|'''Hong Kong:''' The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|'''Israel:''' Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Israel: Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists|'''Israel:''' Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|'''Mexico:''' Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|'''Norway:''' Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/What I Learned: Wiki Photo School in Serbia|'''Serbia:''' What I Learned: Wiki Photo School in Serbia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians|'''Serbia:''' Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden|'''Sweden:''' Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool|'''Uruguay:''' Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The Wikipedia Education Program now on Twitter|'''Global:''' The Wikipedia Education Program now on Twitter]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit|'''Global:''' Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 20:10, 7. Dez. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=14461758 --> == This Month in Education: [March 2016] == <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|Arab World Education Program at WISE Doha 2015]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:WISE 2015 00 (3).JPG|thumbnail|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty and Ms. Suad Alhalwachi|right]] [[File:WISE 2015 00 (5).JPG|thumbnail|Walaa with Dr. Sherifa Atallah|right]] [[File:WISE 2015 00 (4).JPG|thumbnail|left|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty, Ms. Bonnie Chiu, Mr. Jake and Ms. Naadiya Moosajee.]] '''Snippet:''' Education Leaders at WISE Doha 2015 introducing Wikipedia Education Program in Egypt to WISE Conference attendees, as an example of a program in the Arab World, to share their experience to inspire other universities and institutions starting new programs in the area. WISE 2015 Sessions and Plenaries were designed around three main pillars such as the UN Sustainable Development Goals; education and the economy; fostering innovation in education systems. Each pillar examined a variety of key topics including: the linkages between education, employment, and entrepreneurship; education reform and innovation in the MENA region and Qatar; emerging models of education financing, attracting, rewarding and retaining quality teachers; and the importance of investing in early childhood development. Representatives of [[outreach:Education/Countries/Egypt|Wikipedia Education Program]] [[user:لا روسا|Walaa Abdel Manaem]] and [[user:Reem Al-Kashif|Reem Al-Kashif]] participated in [https://www.wise-qatar.org/2015-summit-education-invest-impact WISE Doha 2015] in Qatar, the annual World Innovation Summit for Education is the premier international platform dedicated to innovation and creative action in education where top decision-makers share insights with on-the-ground practitioners and collaborate to rethink education. Also, WISE 2015 was the first global education conference following the ratification of the UN Sustainable Development Goals (SDGs) in September 2015. Contributions ranged from [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arabic_Brochure_of_Editing_Wikipedia,_WALAA.pdf Arabic Brochure of Editing Wikipedia for students in WEP in Egypt and everybody who would like to edit Wikipedia without ‎problems], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Welcome2WP_Arabic_082310.pdf The Arabic version of Welcome to Wikipedia reference guideline], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikipedia-in-Arabic-Education-Program.pdf PDF of brochure handed out during Arabic Wikipedia Convening, Doha, Qatar, 2011] and [https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D8%A9_%D8%B9%D9%86_%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7.pdf Introduction to Wikipedia]. These contributions are related to show a case study of Wikipedia Education program in Egypt and how it worked since February 2012 till the November 2015, as the seventh edition ended last October. All discussions were about the program's mechanism and what were the motivations keeping it going. The program helped increasing gender diversity and supported the featured content on Arabic Wikipedia. Wikipedia Education Program, like any other initiative, has achievements and dark sides, for that reason, the representatives had to locate both of them and how they influence the Arabic community and how the community interact with this phenomenon. ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' ''[[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم|Read more about the Wikipedia Education program in the Arab World here (in Arabic).]]'' {{clear}} <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]]</h2> By [[User:esh77|Shani Evenstein (WMIL)]] [[File:Amir Aharoni explains about the new translation tool to students.jpg|thumbnail|right|300px|Amir explains about the new translation tool to students]] '''Snippet:''' A first-of-its-kind, for-credit, elective course that focuses on contributing to Wikipedia has opened at Tel Aviv University and is now available to all B.A. students on campus On October 19th a new for-credit elective course called "Wikipedia: Skills for producing and consuming knowledge"<ref>Link to the course page at the TAU website (in Hebrew) - http://www2.tau.ac.il/yedion/syllabus.asp?course=1880180101&year=2015</ref> has opened at Tel Aviv University (TAU). The semester-long course (13 weeks) is available to all B.A. students on campus and this semester about 50 students from various disciplines are taking part in this first-of-its-kind course in Israel. [[File:Working in small groups 3.jpg|thumbnail|right|300px|Working in small groups to correct copyrights and Non-NPOV violations]] The course draws from "flipped classroom" concepts and uses "blended learning" methods, which practically means combining in-class lectures, workshops and small-group activities, as well as online individual learning. Both the Moodle learning management system (LMS) and the Wikipedia Education Extension are used to monitor the students' work and progress throughout the course. The course has 2 main assignments - expanding an existing stub, as well as writing a new article, in the hopes that the content added during the course will assist not only the students themselves, but also future generations of learners as well as the general public. Though the course focuses on adding quality content to Wikipedia, it also aims to help students sharpen their academic skills and their 21st century skills, highlighting collaborative learning, joint online research and interdisciplinary collaborations in the process of constructing knowledge. This course was initiated and is led by Shani Evenstein, an educator, Wikimedian and member of the [[Education/Wikipedia Education Collaborative|Wikipedia Education Collaborative]], in collaboration with the Orange Institute for Internet Studies, as well as the School of Education at TAU. The syllabus for the new course builds on the success of [http://blog.wikimedia.org/2014/02/13/wiki-med-israel-wikipedia-education-course/#cite_note-7 Wiki-Med], a for-credit elective course, which was designed in 2013 and is led by Evenstein at the Sackler school of Medicine for the third consecutive year. While Wiki-med is focused on contributing medical content to Wikipedia and is only available to Medical Students on campus, the new course is designed to accommodate students from different academic disciplines and varying backgrounds. [[File:Wikipedia course for BA students at Tel Aviv University - Course Logo.png|thumbnail|right|75px]] The course was chosen to be part of TAU's cross-discipline elective courses system ("Kelim Shluvim") and was approved by the Vice-Rector, who heads the program. In that, the course marks an important precedent in the collaboration between Academia and the Wikipedia Education Program, as it is the first time a higher institution acknowledges the importance of a course focusing on Wikipedia ''on a university level'', offering it to all students, rather than a faculty level or individual lecturers as mostly practiced. It is our hope that other higher education institutions will follow this example and offer similar courses to students both in Israel and around the world. ''[[outreach:Education/Countries/Israel|Read more about the Wikipedia Education Program in Israel here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]]</h2> By [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], Wikimedia Argentina '''Snippet:''' University professors become Wikipedians in an online course during just a week. [[File:MOOC UBA II 2015.jpg|thumb|How to be a Wikipedian in a week ([http://www.escenariostec.citep.rec.uba.ar/2015/ educactional MOOC] for university professors) ]] Educators with different profiles and from different latin america countries, but most of them professors at the [[:en:University_of_Buenos_Aires|University of Buenos Aires]] (UBA) from different faculties, have just participated in the online training and free course "Educational scenarios with technology. Among the real and the possible" organized by the [http://citep.rec.uba.ar/ Center for Innovation in Technology and Pedagogy] (CITEP) of this university. Different educational activities were carried out simultaneously. During the week and under the topic “Open movement”, Wikimedia Argentina participated with three different proposals: starting with an interview of [[:es:Usuario:Patricio.lorente|Patricio Lorente]] accompanied with a short text to know more about the movement. To make an immersive experience we designed " Knowing Wikipedia by first-hand or Wikipedia in the first person" to work directly on the platform translating articles from english to spanish from a list created especially for that purpose. Along with this specific proposal, educators participated in a [https://www.youtube.com/watch?v=uT5u0h2luac&feature=youtu.be videoconference with Galileo Vidoni (available in Spanish)], where participants could talk and learn more about how are the first steps to become a Wikipedian and the importance of the movement at the local and regional level. [[File:MOOC UBA I 2015.jpg|thumb|A professor´s educational experience with Wikipedia explained with a tweet. He said: "I´m translating, enjoying and learning with Wikipedia". Know more experiences on [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba Storify].]] With only seven days and without being mandatory, different educators discovered how to edit on Wikipedia, indeed many of them mentioned that they had it as a pending to learn and participate on the free encyclopedia, but never had the time or the real chance. The enthusiasm was also present on social networks, where they shared the experience with the [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba hashtag #escenariostec]. '''<u>The result</u>''' '''More than 100 educators got involved''' and exchanged their experience in an online forum with '''more of 280 messages''' that reflected their learning process while experiencing with the activity. '''80 of them were new users''', and '''they created 61 new articles''' [[:es:Wikipedia:Wikimedia_Argentina/MOOC_UBA|in spanish]]. An important fact: '''78 of them were women''', which means that working with educators is a key issue '''to continue closing the digital gender gap'''. Finally from CITEP, they shared the following insights regarding the question that ran through all the activities that took place during the week dedicated to the open movement. Some thoughts can be sum up as follows:<blockquote>''The collaborative production in open environments: chaos or construction? (...) For the teacher also means accepting new challenges: encourage students to produce knowledge in an environment of divergent nature, it requires permanent operations and convergence. In a space that fosters interventions unmarked, the teacher needs to frame depending on the purpose of education and teaching purposes. (…) Wikipedia is the best example of the challenges posed by the digital era in the educational field, it forces us to rethink the relationship between technology and the production of knowledge and allows us to confirm that the collaborative work does not lead to chaos, if not to the construction. (. ..) [Authors: Angeles Solectic and Miri Latorre]''</blockquote>We share some of the voices of the protagonists in social networks with [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba storify] (available in Spanish). ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|Collaboration with Masaryk University turns official]]</h2> By [[User:Vojtěch Dostál|Vojtěch Dostál (Wikimedia Czech Republic)]] [[File:Seminář pro zaměstnance MU 09.jpg|thumbnail|right|300px|Masaryk University employees are being trained in using and editing Wikipedia]] [[File:Brno-Masarykova-univerzita-ujíždí-na-Wikipedii2015Marek-Blahuš2.jpg|thumb|right|300px|Marek Blahuš, Wikipedian in residence at Masaryk University]] '''Snippet:''' The second largest university in the Czech Republic has employed a Wikipedian in residence, leading to a boom of Wikimedia activities in the city of Brno. Collaboration between Wikipedia and Czech institutions has always been a priority for Wikimedia Czech Republic, but the year 2015 has taken this to another level. First, an official memorandum of collaboration with the [[:cs:Národní památkový ústav|National Heritage Institute]] (NPÚ) was signed in May 2015, to be followed by official collaboration with [[:cs:Masarykova univerzita|Masaryk University]] in Brno (the second largest city and university in the Czech Republic), which was contracted in November 2015. In fact, Wikimedia activities in Brno have been blooming for several years now, mainly as a result of the community's own development, but aided substantially by the external interest in Wikipedia by [http://www.spolek.muni.cz/ Masaryk University alumni society], demonstrated as early as March 2013. In February 2015, the university employed one of the most experienced Czech Wikipedians – Marek Blahuš ([[:cs:User:Blahma|Blahma]]) – who was appointed to become the university's first "[[Wikipedian in Residence|Wikipedian in residence]]". Marek Blahuš has been in the center of the Wikimedia community in Brno for about two years, organizing regular Wikipedia meetups, the 2014 edition of the annual [[:cs:Wikipedie:Wikikonference/2014|WikiConference]] ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=7}} more in English here]) and creating the [[:cs:Wikipedie:WikiProjekt Česko-slovenská Wikipedie|Czech-Slovak Wikipedia translation tool]], which has famously led to the creation of >9000 articles on Czech and Slovak Wikipedias ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=9}} more in English here]). His current work as Wikipedian in residence is funded by Masaryk University and runs under the patronage of Wikimedia Czech Republic as well as Masaryk University's rector [[:cs:Mikuláš Bek|Mikuláš Bek]]. Since February, Wikipedia has taken a prominent role within Masaryk University. Marek Blahuš started a "Masaryk University Wikipedians team", gathering local Wikipedians and facilitating contacts with the university, aided by his status of a graduate and current employee in its language center. Articles about Masaryk University alumni and faculties have been identified and improved after consultations with Masaryk University archives and libraries which provided helpful resources. Wikipedia citation templates can now be directly generated from the university's [http://is.muni.cz/thesis/?lang=en on-line archive of theses]. In September, a public conference called "[[:cs:Wikipedie:Masarykova univerzita/Masarykova univerzita ujíždí na Wikipedii|Masaryk University Is Getting High on Wikipedia]]" took place on university grounds, featuring the experienced Wikipedian [[:en:Jan Sokol (philosopher)|Jan Sokol]] ([[:cs:user:Sokoljan|Sokoljan]]), who is a philosopher, university teacher and a former presidential candidate. The talks focused on the use of Wikipedia in university education, in line with the successful Czech "[https://blog.wikimedia.org/2012/05/22/the-czech-ambassador-program-at-one-year/ Students Write Wikipedia]" program. One of the teachers, Jiří Rambousek, expressed his desire to organize a Wikipedia Club as a regular meetup where articles would be improved in a collaborative effort and new editors introduced to Wikipedia. The program is actively preparing for 2016 when we expect Wikimedia Czech Republic to take a more active role in overseeing the initiatives as well as the creation of a position of a "Wikipedian in Brno" – person officially in charge of the wide array of Wikimedia activities happening in the city. The chapter's annual plan includes initiatives to increase the number of university courses which incorporate Wikipedia into the curriculum, public presentations of Wikipedia at various events, scanning and uploading of images from institutional and personal archives, and much more. Let's wish that our plans come true! ''[[outreach:Education/Countries/Czech Republic|Read more about the Wikipedia Education Program in the Czech Republic here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]]</h2> By [[User:Thelmadatter|Leigh Thelmadatter (Wiki Learning-Tec de Monterrey)]] [[File:StudentsRetoWikimediaSept2015 01.JPG|thumb|Group photo of Reto Wikimedia participants at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] '''Snippet:''' Student participation is more than just text! For the Fall 2015 Wiki Learning-Tec de Monterrey held two wiki expeditions in Mexico City and began a collaboration with the Museo de Arte Popular. We also received our first grant! ===Wiki expeditions=== The 32-campus [[Education/Countries/México/Tec de Monterrey|Tec de Monterrey system]] has each semester an event called "Semana i" (i Week), when students forego normal classes for an entire week to work on challenging projects called "retos." For the [[:en:Monterrey Institute of Technology and Higher Education, Mexico City|Mexico City]] and [[:en:Tecnológico de Monterrey, Campus Santa Fe|Santa Fe]] campuses, one option for students was to work with Wikimedia, with the aptly named projects "[https://commons.wikimedia.org/wiki/Reto_Wikimedia_Semana_i_Fall_2015 Reto Wikimedia]." Both campuses opted to do wiki-expeditions to different parts of Mexico City. The Mexico City campus had the larger group with almost 90 students registered, who covered the two southern boroughs of [[:en:Xochimilco|Xochimilco]] and [[:en:Tlalpan|Tlalpan]]. The Santa Fe group had 35 participants, and covered the [[:en:San Ángel|San Ángel]] neighborhood found not far from this campus. Both campus took photos of landmarks with the Mexico City campus also focusing on photos of everyday life in the south of the city. The Mexico City campus tallied 5264 photos, 8 videos and 36 articles, including articles related to the area into French, Swedish and Danish. The Santa Fe group tallied 605 photos, and ten articles in Spanish on landmarks in San Ángel. In addition, the Mexico City campus had a special speaker the borough chronicler of Xochmilco, Sebastián Flores Farfán. A short montage video of the event is in the works. Some student photos: <gallery> File:Day4RetoWikimediaFall2015 008.JPG File:Building003.JPG File:Nahui ollin.JPG File:Cruce del canal.JPG File:Lagarto "barisia imbricata" criadero Xochimilco.JPG File:Puerta principal de la capilla Santa Cruz, Xochimilco, México.JPG File:Mural 001.JPG File:Oratorio de Amaxalco4.JPG File:Parque ecológico de la ciudad de México 12.jpg File:Santuario Parroquial de nuestra señora de los dolores 3.JPG </gallery> Some video clips of the event: <gallery> File:Clip of Sebastian Flores Farfán.webm File:SaraStudentRetoWikimediaFall2015CCM.webm File:JoelStudentFrenchRetoWikimedia.webm </gallery> ===Animation clips with the Museo de Arte Popular=== [[File:Alebrijes wikilearning.webm|thumb|Animation about alebrijes]] Wikiservicio, students working with Wikimedia for their community service requirement, added a new component. To attract more students and encourage more students to do all of their community service hours with Wikimedia, a collaboration was set up with the Museo de Arte Popular (MAP)... the first of many we hope! Six students from the digital art and animation major (see [https://outreach.wikimedia.org/wiki/Education/Newsletter/August_2015/Summer_term_ends_with_great_success_and_Fall_begins_at_Tec_de_Monterrey last newsletter]) have continued working with Wikimedia, but focusing their efforts in creating short animation clips in relation to the mission of promoting and preserving Mexican folk art. One clip has been completed and can be see to the right of this text. So far, the video has subtitles in English, German, French and Punjabi. A second clip is nearing completion at the time of this writing. ===Classes and Wikimetrics=== Fifteen students completed work with Wikiservicio doing translations, writing new articles and doing photography projects. As of this date, 7 have indicated interest in working with Wikiservicio on campus and another six with MAP. Five university level classes and one high school class on the Mexico City (South) campus have had projects, all in writing and translation, with some video work. Wikimetrics for the semester are: ''According to Wikimetrics tool....'' *'''9,589,918 bytes to Spanish Wikipedia''' *'''3,098 edits to the mainspace of Spanish Wikipedia''' *'''367 pages created in the mainspace of Spanish Wikipedia''' ''Manual count'' *'''302 student and teacher participants''' *'''281 Spanish Wikipedia articles created or expanded''' *'''6,057 photographs''' *'''10 videos''' *'''9 articles in English Wikipedia''' *'''2 articles in French Wikipedia''' *'''1 article in Swedish Wikipedia''' *'''1 article in Danish Wikipedia''' '''First grant''' Wiki Learning received its first grant from the Wikimedia Foundation. The long-term goal of this grant is to establish a system for financing Wiki Learning. The grant, which totals a modest 12,500 Mexican pesos, will be used for swag, such as t shirts, stickers, buttons, etc, especially for Semana i activities and promotion of wiki activities to other campus. The money will also be used for incidental travel expenses, especially for projects needing to move expensive camera equipment. ''[[outreach:Education/Countries/México|Read more about the Wikipedia Education Program in Mexico here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]]</h2> By [[User:Christian Cariño|Christian Cariño (Wikimedia México)]] and [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta (Wikimedia Argentina)]] [[File:Learning to educate digital free magazine.jpg|thumb|[http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 Wikipedia Education Program in Argentina]]] '''Snippet''': Aprender para Educar writes about Wikipedia Education Program in Argentina. The digital free magazine ''Aprender para Educar'' (Learning to educate) of the [[w:es:Universidad Tecnológica Nacional|National Technological University (UTN]]) is recognized in the community of education and technology in Argentina to write about innovation issues in Spanish, which is not common in the academic dissemination and teacher training field. Cristina Velazquez, general editor of the magazine invited Wikimedia Argentina to write an article that generally describes their activities in the Education Program, after reading the proposal she decided to publish it as the [http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 main article] of the 12th edition. To describe the education program, WMAR wrote two notes completing one another, as doing a zoom: from the local to the global and from the global to the local, showing how a movement of this magnitude does not stand alone, it is part of a huge network. [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], education manager in WMAR and [[user:Patricio.lorente|Patricio Lorente]], chair of the Wikimedia Foundation Board of Trustees wrote those two notes.The first one focuses on the Education Program, implementation, challenges and obstacles that they had at the beginning, plans to integrate it into the classrooms in Argentina and how different Wikimedia Projects are also relevant in education. The most important thing, Melina adds, is to strengthen the values that inspire them, show how the free culture give meaning to education in general and digital culture in particular. Meanwhile in the second part, Lorente focuses on the global movement, the community pillars, the agenda of today's challenges and the effort of their volunteers as protagonists. It is not easy show the world what drives us and why we work as volunteers in different countries. In education very few people understand the value of building free knowledge. There is still a great prejudice or negative perceptions of Wikipedia in the classroom because teachers ignore how Wikipedia is built. Everybody reads Wikipedia, but few people edit it. We can change this fact by spreading in spaces such as the Journal of the UTN and inviting more people to collaborate and be the protagonist of this huge collective work for humanity. ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:Wiki Arabia 2015 - Day 1 DSC 9802 (cropped).jpg|250px|thumbnail|right|Bassem Fleifel]] '''Snippet:''' Online ambassador helped spanish students course in Cairo University to nominate their articles, scoring an [[Commons:File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf|exceptional record of WEP excellent content]]. [[:ar:مستخدم:باسم|Bassem Fleifel]], an online ambassador of [[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|Cairo university spanish course]], played a prominent role to help all students to encourage them to nominate their excellent content to be a featured and good articles in Arabic Wikipedia. Those articles are [[:ar:تاريخ الخبز|History of bread]] (Featured article); [[:ar:والت ديزني|Walt Disney]]; [[:ar:دانيال رادكليف|Daniel Radcliffe]]; Al-[[:ar:الأندلس|Andalus]]; [[:ar:شاعر في نيويورك|Poet in New York]]; and [[:ar:بوبول فو|Popol Vuh]]. The seventh term, the program started in Cairo University with promoting posts on Wikipedia and social media websites to help new participants understand the general idea of the program as well as holding meetings with professors from the departments of History, chinese, English language and Spanish language. Walaa Abdel Manaem (program leader in Cairo University) and Bassem Fleifel (online ambassador) have held some workshops in campus and online for the whole students to teach them "How to edit Wikipedia". On the other hand, Prof. Abeer Abdel-Hafiz has exerted great efforts with her students in addition to introducing Walaa to new classes of senior students for whom she has organized general seminars about Wikipedia and the education program. At the same time Walaa was assigning her Spanish department students of the first and second year to edit Wikipedia. This term, Prof. Abeer let the chance to her students to choose any articles they would like to translate from the Spanish Wikipedia to the Arabic Wikipedia or working on articles about history. They already have chosen some articles to translate with the target of nominating them to be a featured and good articles. Most of students worked on articles about different topics like history, writers, actors, history of food and drink, mayan literature, islam and politics, etc. This course itself achieved an exceptional record of [[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم/لوحة الشرف/محتوى متميز|Wikipedia Education program excellent]] content and the best term ever in the history of [[Education/Countries/Egypt|WEP in Egypt]] in general and in the Faculty of Arts, Cairo University in specific. Walaa has held 2 online webinars to follow up with her students in addition to the workshops held at the campus. Regarding numbers, 38 students joined this course, of which 35 are female and 3 are male students. They worked on 1748 articles adding more than 12,282,943 million bytes to the article namespace on the Arabic Wikipedia, with the help of the online ambassador, who also participated as a student. ''[[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|See the course page of this group on the Arabic Wikipedia here.]]'' ''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf Full statistics of WEP in Egypt the first term in 2012 till the seventh term in 2015 which include numbers of created articles, featured and good articles, featured portals and lists.]'' ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]]</h2> By [[User:WMNOjorid|Jorid Martinsen]] (Wikimedia Norge) [[File:Jorid Martinsen at the University of Oslo.png|thumbnail|Jorid Martinsen teaching students at the University of Oslo about Wikipedia.]] '''Snippet''': This fall masters students in History and Archeology at the University of Oslo take on the task of Wikipedia editing as one of the main parts in a subject on communication of History. The University of Oslo is Norway’s largest higher education institution, and it is the first time Wikimedia Norway collaborates with this University in forming and using Wikipedia editing as a integrated part of higher education. The collaboration started by Wikimedia Norway contacting assistant professor John McNicol, who already had gotten some media attention on his eagerness to make students skilled in knowledge sharing. Starting off with a two hour lecture on the secret world of Wikipedia and a two hour editing workshop in mid-September, and in October the students will evaluate the life of their articles. Has there been many additional edits on their articles? Discussions? Request to delete everything? For Wikimedia Norge it is fun to see the students both engaging in Wikipedia editing and using the ways of Wikipedia to discuss how knowledge is formed. ''[[outreach:Education/Countries/Norway|Read more about the Wikipedia Education Program in Norway here.]]'' {{clear}}[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 09:26, 1. Mär. 2016 (CET). <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rberchie@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15329308 --> == This Month in Education: [March 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 2, March 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia|'''Argentina:''' Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters|'''Argentina and Mexico:''' First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Czech education program turns professional with a new education manager|'''Czech Republic:''' Czech education program turns professional with a new education manager]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Wikipedia workshop for students of Fountain University|'''Nigeria:''' Wikipedia workshop for students of Fountain University]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia|'''Sverige:''' Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning|'''Taiwan:''' Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Education Program Historic Data Campaign|'''Global:''' Education Program Historic Data Campaign]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We apologize for an earlier distribution that mistakenly took on the older content. We hope you enjoy the newest issue of the newsletter we are sharing now.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:44, 2. Mär. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15399206 --> == This Month in Education: [June 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 3, June 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/A New Online Course in a New Virtual Campus‎|'''Argentina:''' A New Online Course in a New Virtual Campus]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/How to survive the Big Bang in your education program|'''Czech Republic:''' How to survive the Big Bang in your education program]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎|'''Estonia:''' An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app|'''Greece:''' Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/New training materials in Arabic by WMIL‎‎|'''Israel:''' New training materials in Arabic by WMIL‎‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia|'''Mexico:''' Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎|'''Mexico:''' Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Maastricht University 40 years|'''Netherlands:''' Maastricht University 40 years]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎|'''Sweden:''' Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!|'''Taiwan:''' Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education at Wikimania‎|'''Wikimania 2016:''' Education at Wikimania‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education Program surveys are here!|'''Wikimedia Foundation:''' Education Program surveys are here!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation|'''Wikimedia Foundation:''' Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 18:53, 1. Jun. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15665751 --> == This Month in Education: [September 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 3, September 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Armenian students inspire their parents to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their parents to join Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies''|'''Brazil:''' Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies'']] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP|'''Egypt:''' Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Online wiki training for educators in Greece|'''Greece:''' Online wiki training for educators in Greece]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University|'''Israel:''' Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference|'''Israel:''' Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/"Writing a new article is a special experience that feels new every time"|'''Israel:''' "Writing a new article is a special experience that feels new every time"]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Video projects redefine student Wiki work and student community service|'''Mexico:''' Video projects redefine student Wiki work and student community service]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia|'''Russia:''' Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program|'''Sweden:''' Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia|'''Turkey:''' Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader|'''West Africa:''' West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 15:00, 1. Sep. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15874487 --> == This Month in Education: December 2016 == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"><hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|<font color="black">Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 4, December 2016</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Single|Single page edition]]</div> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Greek_schools_collaborate_to_write_local_history_about_Corfu|'''Greece:''' Greek schools collaborate to write on local history]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem|'''Israel:''' It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Open Science Fellows Program launched in Germany|'''Germany:''' Open Science Fellows Program launched in Germany]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Students go wikipedian in the Basque Country|'''Basque Country:''' Students go wikipedian in the Basque Country]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo|'''Norway:''' Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/First Wiki Club in Macedonia|'''Macedonia:''' First Wiki Club in Macedonia]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"> <br> To get involved with the newsletter, please visit [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|the newsroom]]. To browse past issues, please visit [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/Archives|the archives]]. </div></div><section end="education-newsletter"/> [[outreach:Education/News|Home]] • [[m:Global message delivery/Targets/Wikimedia Education Newsletter|Subscribe]] • [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] • [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] - The newsletter team 19:51, 22. Dez. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16170520 --> == This Month in Education: [February 2017] == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 1 | February 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/Feb_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> {{anchor|back}} In This Issue </span></div> === === {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"| <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] [[Outreach:Education/News/Drafts/time_is_not_an_unlimited_resource|Common Challenges: Time is not an unlimited resource]] |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/Medical_students%27_contributions_reach_200_articles_in_an_innovative_elective_course_at_Tel_Aviv_University.| Medical Students' contributions reach 200 articles in innovative elective course at Tel Aviv University]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Wikilesa:_Working_with_university_students_on_human_rights| Wikilesa: working with university students on human rights]] [[Outreach:Education/News/Drafts/An_auspicious_beginning_at_university| An auspicious beginning at university in Basque Country]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Wikipedia_Education_Program_kicks_off_in_Finland| The Wikipedia Education Program kicks off in Finland]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Brief_Story_of_Mrgavan_WikiClub| The Brief Story of Mrgavan WikiClub]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Citizen_Science_and_biodiversity_in_school_projects_on_Wikispecies,_Wikidata_and_Wikimedia_Commons| Citizen Science and biodiversity in school projects on Wikispecies, Wikidata and Wikimedia Commons]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/ACTC2017| WMF Education Program to be featured at the Asian Conference for Technology in the Classroom]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Opportunities_to_grow_in_Oman|Opportunities to grow in Oman]] [[Outreach:Education/News/Drafts/hundred_words_campaign|An invitation to participate in the "Hundred Words" campaign!]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Education_Collab_adopts_new_membership_criteria#The_Education_Collab_adopts_new_membership_criteria|Education Collab updates membership criteria]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://www.npr.org/sections/ed/2017/02/22/515244025/what-students-can-learn-by-writing-for-wikipedia|What Students Can Learn By Writing For Wikipedia] [http://www.businessinsider.com/career-benefits-sharing-knowledge-2017-2| Online communities are supercharging people's careers] [https://www.linux.com/news/2017/2/using-open-source-empower-students-tanzania| Using open source to empower students in Tanzania] [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Wikipedia_Signpost/2017-02-27/Recent_research| Signpost Special Issue: Wikipedia in Education] </span> |} We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:54, 28. Feb. 2017 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16360344 --> == This Month in Education: [March 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 2 |March 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"|[[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/March 2017/Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan|Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons|High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Approaching History students as pilot of Education program in Iran|Approaching History students as pilot of Education program in Iran]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/An experience with middle school students in Ankara|An experience with middle school students in Ankara]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust|Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey|UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Meet the team|Meet the team]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://lararnastidning.se/fran-dammiga-arkiv-till-artiklar-pa-natet%7C| Från dammiga arkiv till artiklar på nätet] </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[User:Saileshpat|Saileshpat]] ([[User talk:Saileshpat|talk]]) 19:07, 1 April 2017 (UTC) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16517453 --> == This Month in Education: [April 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 3 | April 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/April 2017/How responsible should teachers be for student contributions?|How responsible should teachers be for student contributions?]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP|Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan|Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work|Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Education at WMCON17|Education at WMCON17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/OER17|OER17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school|Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Building a global network for Education|Building a global network for Education]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Mobile Learning Week 2017|Mobile Learning Week 2017]] </span> </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:18, 1. Mai 2017 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16627464 --> == This Month in Education: September 2017 == <div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 8 | September 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter| subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> In This Issue </span></div> {| style="width: 60%;" | style="width: 50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width: 50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/September 2017/Wikipedia - Here and Now|"Wikipedia – Here and Now": 40 students in the Summer School "I Can – Here and Now" in Bulgaria heard more about Wikipedia]] |- | colspan="3" | ---- |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/News/September 2017/Klexikon|Klexikon: the German 'childrens' Wikipedia' in Montréal]] [[outreach:Education/News/September 2017/Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics|Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics]] |} </div> <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:24, 1. Okt. 2017 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17258722 --> == This Month in Education: October 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 9 | October 2017 </span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 1|Your community should discuss to implement the new P&E Dashboard functionalities]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 2|Wikidata implemented in Wikimedia Serbia Education Programe]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 3|Hundred teachers trained in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 4|Basque Education Program makes a strong start]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Education Team | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 8|WikiConvention Francophone 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 9|CEE Meeting 2017]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:05, 2. Nov. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17368194 --> == This Month in Education: November 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 10 | November 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 1|Hashemite University continues its strong support of Education program activities]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 2|Wikicontest for high school students]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 3|Exploring Wikiversity to create a MOOC]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 4|Wikidata in the Classroom at the University of Edinburgh]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 5|How we defined what secondary education students need]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 6|Wikipedia Education Program in Bangkok,Thailand]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 7|Shaken but not deterred]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 8|Wikipedia workshop against human trafficking in Serbia]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 9|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique kicks in 4 francophones African countries]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 10|A Proposal for Education Team endorsement criteria]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 11|Student perceptions of writing with Wikipedia in Australian higher education]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:23, 1. Dez. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17496082 --> == This Month in Education: December 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 11 | December 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 2|Wikimedia Serbia has established cooperation with three new faculties within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 3|Updates to Programs & Events Dashboard]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 4|Wiki Camp Berovo 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 5|WM User Group Greece organises Wikipedia e-School for Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 6|Corfupedia records local history and inspires similar projects]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 7|Wikipedia learning lab at TUMO Stepanakert]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 8|Wikimedia CH experiments a Wikipedia's treasure hunt during "Media in Piazza"]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 9|Creating digitally minded educators at BETT 2017]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 10|Things My Professor Never Told Me About Wikipedia]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 11|"Academia and Wikipedia: Critical Perspectives in Education and Research" Conference in Ireland]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 12|Science is shaped by Wikipedia]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 20:31, 5. Jan. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17597557 --> == This Month in Education: January 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 1 | January 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> {{anchor|back}} <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 1|Bertsomate: using Basque oral poetry to illustrate math concepts]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 2|Wikimedia Serbia celebrated 10 years from the first article written within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 3|WikiChallenge Ecoles d'Afrique update]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 4|The first Swedish Master's in Digital Humanities partners with Wikimedia Sverige]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 5|How we use PetScan to improve partnership with lecturers and professors]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 6|The Education Survey Report is out!]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 7|Education Extension scheduled shutdown]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:42, 1. Feb. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17696217 --> == This Month in Education: February 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 2 | February 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 2|WikiProject Engineering Workshop at IIUC,Chittagong]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 3|What did we learn from Wikibridges MOOC?]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 4|Wikimedia Serbia launched Wiki scholar project]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 5|Wiki Club in Ohrid, Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 6|Karvachar’s WikiClub: When getting knowledge is cool]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 7|More than 30 new courses launched in the University of the Basque Country]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 8|Review meeting on Christ Wikipedia Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 9|The Multidisciplinary Choices of High School Students: The Arabic Education Program; Wikimedia Israel]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 10|The Education Extension is being deprecated (second call)]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 11|The 2017 survey report live presentation is available for viewing]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:53, 1. Mär. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17757914 --> == This Month in Education: March 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 3 | March 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 1|Education Programs Itinerary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 2|Animated science educational videos in Basque for secondary school student]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 3|Beirut WikiClub: Wikijourney that has enriched our experiences]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 4|Students of the Faculty of Biology in Belgrade edit Wikipedia for the first time]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 5|The role of Wikipedia in education - Examples from the Wiki Education Foundation]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 6|Multilingual resource for Open education projects]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 7|Wikipedia: examples of curricular integration in Portugal]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 8|Resources and Tips to engage with Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 9|Education Session at WMCON 2018]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:33, 4. Apr. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17882222 --> == This Month in Education: April 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 4 | April 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 1|Wikimedia at the Open Educational Resources Conference 2018]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 2|Global perspectives from Western Norway]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 3|Togh's WikiClub: Wikipedia is the 8th wonder of the world!]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 4|Aboriginal Volunteers in Taiwan Shared Experience about Incubating Minority Language Wikipedia in Education Magazine]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 5|Workshops with Wiki Clubs members in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 6|Celebrating Book's Day in the University of the Basque Country: is Wikipedia the largest Basque language book?]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 7|Txikipedia is born and you'll love it]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 8|Students Write Wiktionary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 9|Presenting the Wikipedia Education Program at the Open Education Global Conference]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:33, 4. Mai 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17992472 --> == This Month in Education: May 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 5 | May 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 2|Creating and reusing OERs for a Wikiversity science journalism course from Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 3|Inauguration Ceremony of Sri Jayewardenepura University Wiki Club]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 4|Wiki Education publishes evaluation of Fellows pilot]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 5|The first students of Russia with diplomas of Wikimedia and Petrozavodsk State University]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 6|Selet WikiSchool]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 8|A lofty vision for the Education Team]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 9|UNESCO Mobile Learning Week 2018, Digital Skills for Life and Work]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:44, 4. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=18071070 --> == This Month in Education: June 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 6 | June 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 1|Academia and Wikipedia: the first Irish conference on Wikipedia in education]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 2|Ashesi Wiki Club: Charting the cause for Wikipedia Education Program in West Africa]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 3|Wikimedia Serbia has received a new accreditation for the Accredited seminars for teachers]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 4|Côte d'Ivoire: Wikipedia Classes 2018 are officially up and running]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 5|Basque secondary students have now better coverage for main topics thanks to the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 6|What lecturers think about their first experience in the Basque Education Program]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 7|Education Extension scheduled deprecation]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 8|Wikipedia calls for participation to boost content from the continent]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 9|Wikipedia in the History Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 10|Wikipedia as a Pedagogical Tool Complicating Writing in the Technical Writing Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 11|When the World Helps Teach Your Class: Using Wikipedia to Teach Controversial Issues]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:03, 30. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18158878 --> == This Month in Education: July 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 7 | July 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 1|Wikipedia+Education Conference 2019: Community Engagement Survey]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 2|Young wikipedian: At WikiClub you get knowledge on your own will]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 3|Wikipedia in schools project at the "New Technologies in Education" Conference]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 4|Basque Education Program: 2017-2018 school year report]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 10|UNESCO ICT in Education Prize call for nominations opens]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 11|An educator's overview of Wikimedia (in short videos format)]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:32, 2. Aug. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18263925 --> == This Month in Education: August 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 8 | August 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 2|The reconnection of Wikimedia Projects in Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 3|Christ (DU) students enrolls for 3rd Wikipedia certificate course]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 4|Educational wiki-master-classes at International "Selet" forum]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 5|54 students help enrich the digital Arabic content]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 6|Mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:12, 2. Sep. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18288215 --> == This Month in Education: September 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 9 | September 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 1|Edu Wiki Camp 2018: New Knowledge for New Generation]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 2|Education loves Monuments: A Brazilian Tale]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 3|“I have always liked literature, now I like it even more thanks to Wikipedia”. Literature is in the air of WikiClubs․]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 4|History of Wikipedia Education programme at Christ (Deemed to be University)]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 5|Preparation for the autumn educational session of Selet WikiSchool is started]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 6|Wiki Camp Doyran 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 7|Wikicamp Czech Republic 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 8|Wikipedia offline in rural areas of Colombia]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 9|Presentation on mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:14, 9. Okt. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18394865 --> == This Month in Education: November 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 10 | October 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 1|A new academic course featuring Wikidata at Tel Aviv University]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 2|How we included Wikipedia edition into a whole University department curriculum]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 3|Meet the first board of the UG Wikipedia & Education]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 4|The education program has kicked off as the new academic year starts]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 5|The education program has kicked off as the new academic year starts in Albania]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 6|The first Wikimedia+Education conference will happen on April 5-7 at Donostia-Saint Sebastian]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 7|Using ORES to assign articles in Basque education program]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 8|What to write for Wikipedia about? Monuments!]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 9|Wikifridays: editing Wikipedia in the university]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 10|Writing articles on Wikipedia is our way of leaving legacy to the next generations]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 06:55, 12. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18504430 --> == This Month in Education: November 2018 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em; direction:ltr;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 4 &bull; Issue 10 &bull; October 2018</span> ------ <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2018|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/November 2018/Single page|Single page view]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ------- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2018/WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG |WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia Education Program in ICETC 2018 , Japan |Wikipedia Education Program in ICETC 2018, Japan]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia has become the inseparable part of my daily life |Wikipedia has become the inseparable part of my daily life]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place |Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wiki conference for teachers in Ohrid |Wiki conference for teachers in Ohrid]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Our baby is 3! |Our baby is 3!]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/highlighting work of Sailesh Patnaik |Highlighting work of Sailesh Patnaik]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Important updates from Wikimedia Education Team |Important updates from Wikimedia Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Welcome Melissa to the Education Team |Welcome Melissa to the Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/What has the education team been up to? Year end review and updates! |What has the education team been up to? Year end review and updates! ]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:18, 30. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18673623 --> == This Month in Education: January 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &bull; Issue 1 &bull; January 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/January 2019/Registration for Wikimedia+Education Conference is open|Registration for Wikimedia+Education Conference is open]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov|Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Meet the first Programs & Events Dashboard sysops|Meet the first Programs & Events Dashboard sysops]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia|More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians|Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/The WikiClub contributes to the development of our human qualities |The WikiClub contributes to the development of our human qualities]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Third prize for Wikipedia in schools project|Third prize for Wikipedia in schools project]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/We've updated the design of Education space!|We've updated the design of Education space!]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique is back]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wiki Advanced Training at VVIT|Wiki Advanced Training at VVIT]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiEducation in Albania from WoALUG|Creating our first WikiClub]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons|WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now|Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched|Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:41, 29. Jan. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18816770 --> == This Month in Education: February 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 2 &#x2022; February 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon|Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia+Education Programme announced|Wikimedia+Education Programme announced]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikipedia in Education, Uruguay|Wikipedia in Education, Uruguay]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”|Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Basque Education Program: 2018 in review|Basque Education Program: 2018 in review]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education|Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Seminar on wikis in education|Seminar on wikis in education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL|Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/The Swiss Lab: Wikipedia as a game|The Swiss Lab: Wikipedia as a game]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Meet Hungary|Meet Hungary]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:52, 27. Feb. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18903920 --> == This Month in Education: March 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia at MLW2019|Wikimedia at UNESCO Mobile Learning Week 2019]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit|Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiGap brings editors to close WikiGap|WikiGap brings editors to close WikiGap and open Wiki Pathshala]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Education Mapping exercise is open for public review|Education Mapping exercise is open for public review]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum|Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year|“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities|WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Mini-MWT at VVIT (Feb 2019)|Mini MediaWiki Training at VVIT]]</div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:32, 28. Mär. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18959709 --> == Bring your idea for Wikimedia in Education to life! Launch of the Wikimedia Education Greenhouse == {|border="0" cellspacing="2" cellpadding="10" width="100%" style="background:transparent;font-size:1.0em;line-height:normal" |-valign="top" |style="{{pre style}};width:100%"| '''<center>Apply for Education Greenhouse</center>'''<br><br> [[File:Wikimedia Education Greenhouse logo button.svg|frameless|left|120px]] Are you passionate about open education? Do you have an idea to apply Wikimedia projects to an education initiative but don’t know where to start? Join the the Wikimedia & Education Greenhouse! It is an immersive co-learning experience that lasts 9 months and will equip you with the skills, knowledge and support you need to bring your ideas to life. You can apply as a team or as an individual, by May 12th. Find out more <big> [[:outreach:Education/Greenhouse|Education Greenhouse]].</big> For more information reachout to mguadalupe{{@}}wikimedia.org |} —[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 13:16, 5. Apr. 2019 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18981257 --> == This Month in Education: April 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/April 2019/Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!|Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikipedia Student Scholar|Wikipedia Student Scholar]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions|Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia+Education Conference highlights|Wikimedia+Education Conference highlights]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:27, 24. Apr. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19034809 --> == This Month in Education: May 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[Outreach:Education/Newsletter/May 2019|Contents]] &#x2022; [[Outreach:Education/Newsletter/May 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Education in Wales|Education in Wales]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!|Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Meet Germany|Wiki Camp 'Meet Germany']] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Seniors also count!|Seniors also count!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Mandatory internship at Wikimedia Armenia|Mandatory internship at Wikimedia Armenia]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect|Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019|OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"|Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day|Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:16, 29. Mai 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19113682 --> == This Month in Education: June 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/June 2019/The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded|The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Welcome Vasanthi|Welcome Vasanthi to the Education Team!]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikimedia Education SAARC Conference happening in India|Wikimedia Education SAARC Conference happening in India]] *[[outreach:Education/News/June 2019/"Won't somebody please think of the children?"|"Won't somebody please think of the children?"]] *[[outreach:Education/News/June 2019/The first Annual Report of VVIT WikiConnect|The first Annual Report of VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/June 2019/An effective collaboration of WikiClubs and schools|An effective collaboration of WikiClubs and schools]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikiclassroom: New way for students' inspiration|Wikiclassroom: New way for students' inspiration]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo|Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:40, 6. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19174995 --> == This Month in Education: July 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/July 2019/First WikiEducation gathering in Mexico|First WikiEducation gathering in Mexico]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.|SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Selet WikiSchool: results of first half of 2019|Selet WikiSchool: results of first half of 2019]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL|Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian|Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Collaboration with American University of Armenia|Collaboration with American University of Armenia]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation|Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Wikimedia Education SAARC Conference Journey|Wikimedia Education SAARC Conference Journey]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 11:53, 30. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19221452 --> == This Month in Education: August 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 8 &#x2022; August 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/August 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2019/Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia|Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Together, we can create an environment that promotes Quality Education|Together, we can create an environment that promotes Quality Education]] * [[outreach:Education/News/August 2019/International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata|International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp|Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp]] * [[outreach:Education/News/August 2019/We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home|We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:00, 5. Sep. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19308048 --> == This Month in Education: September 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 9 &#x2022; September 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/September 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/September 2019/Learning history by expanding articles about novels|Learning history by expanding articles about novels]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein|Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia|Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers|Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over|WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia Education Program launched in Bangladesh|Wikipedia Education Program held at Netrokona Government College, Bangladesh]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Stepanakert WikiClub turns 4!|Stepanakert WikiClub turns 4!]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019|Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran|Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:34, 1. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19418815 --> == This Month in Education: October 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 10 &#x2022; October 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers|Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects|Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia|Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw|Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners| Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners]] *[[outreach:Education/News/October 2019/New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published|New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published courses.]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Youth Salon by VVIT WikiConnect along with Wikipedia & Education user group|Wikimedia 2030 Strategoy Youth Salon by VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online courses.]] *[[outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 10:30, 25. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19436525 --> == This Month in Education: November 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 11 &#x2022; November 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2019/GOES for Ghana|Wikimedians aim to make a difference in the lives of students in Ghana with support from the Wikimedia & Education Greenhouse]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/The Third "Editatón WikiUNAM"|The Third "Editatón WikiUNAM"]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau|Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?|What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/We are highlighting the work User:Ixocactus for his contributions in Wikimedia & Education‎| We are highlighting the work of User:Ixocactus this month‎]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia|“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia courses.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Workshops with Wiki Club members|Workshops with Wiki Club members]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga|"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:15, 29. Nov. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19589002 --> == This Month in Education: January 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &bull; Issue 1 &bull; January 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/January 2020/Featured education community member of January 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: User:Parvathisri]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Alva's college collaboration|Alva's college collaboration]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/EtnoWiki strikes again!|EtnoWiki strikes again in Poland!]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community|Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub|Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects|Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time|Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon|Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Club Ohrid grows|Wiki Club Ohrid grows]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia|Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge|Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina|WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:26, 3. Feb. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19722205 --> == This Month in Education: February 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 1 &#x2022; February 2020</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2020/Featured education community member of February 2020|Featured education community member of February 2020]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Wikipedia in Mayan Language|Wikipedia in Mayan Language]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Open Education Week - events with Wikimedia Poland|Open Education Week - events with Wikimedia Poland]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Youngest wikimedians ever editing Txikipedia|Youngest wikimedians ever editing Txikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Fashion and digital citizenship at Bath Spa University|Fashion and digital citizenship at Bath Spa University]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education|WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Respati Project|Respati Project]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:06, 3. Mär. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19845865 --> == This Month in Education: March 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2020/An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program|An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Education Program in CUC Sur, Jalisco, México|Education Program in CUC Sur, Jalisco, México]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Featured education community member of March 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Amber Berson]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles|Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles]] * [[outreach:Education/News/March 2020/How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project|How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement|Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 17:30, 30. Mär. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19864438 --> == This Month in Education: April 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2020/ Wikipedia Reveals New Sides of Translation|Wikipedia Reveals New Sides of Translation]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Education Webinars organized by Wikimedia México|Education Webinars organized by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fact checking tool with library under cc-license|Fact checking tool with library under cc-license]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources|Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Featured education community member of April 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron|Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki-school project with Wikimedia Poland|Wiki-school. A new program for teachers in Poland]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia|Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:45, 5. Mai 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20024483 --> == This Month in Education: May 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/May 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2020/EduWiki challenge México by Wikimedia México|EduWiki challenge México by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Featured education community member of May 2020|Featured education community member of May 2020]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines|Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days|Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade|Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikipedia as career counseling tool for teenagers|Wikipedia as career counseling tool for teenagers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:39, 10. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20130275 --> == This Month in Education: June 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report|Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Community as Research Fellows|Understanding Wikimedia Community as Research Fellows]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia|Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!|Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award|Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Featured education community member of June 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Oleh Kushch]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:54, 24. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20166080 --> == This Month in Education: July 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2020/About Education at the Wikimedia Polska Conference|About Education at the Wikimedia Polska Conference]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Featured education community member of July 2020|Featured education community member]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The importance of having an Education and Human Rights Program|The importance of having an Education and Human Rights Program]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The Welsh Wiki-Education project|The Welsh Wiki-Education project]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality|Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality]] * [[outreach:Education/News/July 2020/WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech|WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:27, 5. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20337242 --> == This Month in Education: August 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 8 • August 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2020/Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers|Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice” organized by the Faculty of Education Sciences of the Universidad Autónoma de Tlaxcala and Wikimedia México.|Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice”]] * [[outreach:Education/News/August 2020/3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)|3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program|Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program]] * [[outreach:Education/News/August 2020/A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons|A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:33, 23. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20345269 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 14:49, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:46, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 13:59, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:03, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: November 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 11 • November 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/November 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/November 2020/Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada|Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference|Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Education Team 2020 Year End Review|Education Team 2020 Year End Review]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Featured education community members of 2020|Featured education community members of 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia|Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon|Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova|Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland|Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The article about Wiki-education in the science magazine|The article about Wiki-education in the science magazine]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The first Online EduWiki Camp in Serbia|The first Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020|Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated|Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:15, 17. Dez. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20831200 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:26, 23. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20974633 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:35, 24. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21000945 --> == This Month in Education: February 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 2 • February 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/February 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/February 2021/Education news bytes|Wikimedia Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Featured education community member of February 2021|Featured education community member of February 2021]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Karvachar Wikiclub continues its activities online|Karvachar Wikiclub continues its activities online]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Over 4,000 references added|Over 4,000 more references added! 1Lib1Ref campaign in Poland]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Philippines Climate Change Translate-a-thon|Philippines Climate Change Translate-a-thon]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:34, 24. Feb. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21035028 --> == This Month in Education: March 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 3 • March 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/March 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2021/A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers|A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Educational program of GLAM Macedonia|Educational program of GLAM Macedonia]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Filling Gaps - the Conference about Education in Poland|Filling the Gaps & Open Education Week]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Featured education community member of March 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Bara'a Zama'reh]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines|Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:46, 26. Mär. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21247888 --> == This Month in Education: April 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 4 • April 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/April 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2021/Collaboration with Brusov State University|Collaboration with Brusov State University]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Editing contest "Meet Russia"|Editing contest "Meet Russia"]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences|Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences (Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas (CUCEA)) of the University of Guadalajara]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC|Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program|Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 00:48, 26. Apr. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21372399 --> == This Month in Education: May 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 5 • May 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/May 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2021/A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil|A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Featured education community member of May 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Maria Weronika Kmoch]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania|Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh|Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo; Workshop with telecommunication students at University of Prishtina|Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikipedia training for the Safeguardians of the Intangible Cultular Heritage|Wikipedia training for the Bearers of Intangible Cultural Heritage in Poland]] * [[outreach:Education/News/May 2021/“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine|“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:38, 27. Mai 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21425406 --> == This Month in Education: June 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 6 • June 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/June 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2021/Children writing for an encyclopedia – is it possible?|Can children write articles for a wiki encyclopedia?]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Editing contest "Biosphere reserves in the world"|Editing contest "Biosphere reserves in the world"]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc|Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines|Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki-School program in Poland at the end of school year|Wikipedia makes children and teachers happy!]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Workshop with students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"|Workshop with the students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:57, 23. Jun. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21553405 --> == This Month in Education: July 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 7 • July 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2021/UHI Editathon celebrates 10 years as a university|University celebrates 10th anniversary with an Editathon]] * [[outreach:Education/News/July 2021/A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia|A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Announcing the Training of Trainers program for Reading Wikipedia in the Classroom!|Announcing the Training of Trainers program for "Reading Wikipedia in the Classroom"]] * [[outreach:Education/News/July 2021/MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre|MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Leamos Wikipedia en Bolivia|Updates on the Leamos Wikipedia en Bolivia 2021]] * [[outreach:Education/News/July 2021/E-lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska|Virtual lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska for schools]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:32, 3. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21829196 --> == This Month in Education: August 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 8 • August 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2021/Workshop for the Teachers from Poland|GLAM-wiki Summer in the City: Polish Teachers met in Warsaw]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers|Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers]] * [[outreach:Education/News/August 2021/The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico|The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico]] * [[outreach:Education/News/August 2021/"Searching for the unschooling vibes around Wikipedia" at the Wikimania 2021|Wikimania 2021 and the unschooling vibes around Wikipedia by Wikimedia Polska, Education team]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers|Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:38, 25. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21914750 --> == This Month in Education: September 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 9 • September 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2021/Cultural history on Wikipedia|Cultural history on Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Education program in Ukraine is finally back to offline|Education program in Ukraine is finally back to offline!]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines|Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou|Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou]] * [[outreach:Education/News/September 2021/WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia|#WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:43, 26. Sep. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22072998 --> == This Month in Education: October 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 10 • October 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2021/1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia.|1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community|Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community]] * [[outreach:Education/News/October 2021/The Second Online EduWiki Camp in Serbia|The Second Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/University courses in the UK|Higher and further education courses in the UK]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland|Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland and in Czech Republic]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:41, 26. Okt. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22208730 --> == This Month in Education: November 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 11 • November 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Education/Newsletter/November 2021|Contents]] • [[m:Education/Newsletter/November 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/November 2021/We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it|We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it]] * [[m:Education/News/November 2021/Welcome to Meta!|Welcome to Meta!]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021|Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership|Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership]] * [[m:Education/News/November 2021/Launch of the Wikimedia Research Fund!|Launch of the Wikimedia Research Fund!]] * [[m:Education/News/November 2021/Education projects in the Land of Valencia|Education projects in the Land of Valencia]] * [[m:Education/News/November 2021/A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event|A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students|Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students|Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:19, 21. Nov. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22360687 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:29, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:14, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: February 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English ... {{int:please-translate}} <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 2 • February 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</div> </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS|Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia|Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico|Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay|Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos|WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields|Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians|The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians]] </div> </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:09, 28. Feb. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22886200 --> == This Month in Education: March 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 3 • March 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment|Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week|The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Call for Participation: Higher Education Survey|Call for Participation: Higher Education Survey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Collection of Good Practices in Wikipedia Education|Collection of Good Practices in Wikipedia Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America|Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week 2022, celebrations and learnings|EduWiki Week 2022, celebrations and learnings]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week in Armenia|EduWiki Week in Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León|Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan|Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers|Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:58, 25. Mär. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23020683 --> == This Month in Education: April 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 4 • April 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico|Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana|Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong|Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/HerStory walks as a part of edit-a-thons|HerStory walks as a part of edit-a-thons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Join us for Wiki Workshop 2022|Join us for Wiki Workshop 2022]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student|The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:52, 24. Apr. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23177152 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:43, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23282386 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[m:Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[m:Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[m:Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[m:Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[m:Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[m:Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[m:Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:54, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23351176 --> == This Month in Education: June 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 6 • June 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group|Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom|Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University|Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA|The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign|New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end|The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course|The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows|Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikiclubs in Albania|Wikiclubs in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience|Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand|Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia|А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:50, 4. Jul. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23406065 --> == This Month in Education: July 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 7 • July 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education|Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program|Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia for Illiterate Persons|Wikimedia for Illiterate Persons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/EtnoWiki edit-a-thon in Poland|Polish Wikipedia is enriched with new EtnoWiki content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Career Education through Wikipedia|Career Education through Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:39, 3. Aug. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23607963 --> == This Month in Education: August 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 8 • August 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom|The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience|Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons|An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience|Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again|Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience |Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wiki For Senior Citizens|Wiki For Senior Citizens]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete|WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikiteka project in Poland - summertime|Wikiteka project in Poland - summertime]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 7. Sep. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23758285 --> == This Month in Education: September 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 9 • September 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland|OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage|Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Research Fund|Wikimedia Research Fund]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe|Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikipedia, Education, and the Crisis of Information|Wikipedia, Education, and the Crisis of Information]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:55, 3. Okt. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23879722 --> == This Month in Education: End of the 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 10 • October–November 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/2nd Latin American Regional Meeting on Education|2nd Latin American Regional Meeting on Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom|Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete|Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school|Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project|Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wiki For Senior Citizens Network|Wiki For Senior Citizens Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources|WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative|Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/An event at the National History Museum in Tirana|An event at the National History Museum in Tirana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Students 24-hour competition on Wikipedia article writing|Students 24-hour competition on Wikipedia article writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wiki-Data a Giant at 10|Wiki-Data a Giant at 10]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge|WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative|Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom |Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook|Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time|“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results|Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:56, 19. Dez. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24091294 --> == This Month in Education: January 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 1 • January 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Educational Projects 2023-1 in Mexico|Educational Projects 2023-1 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led|Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina|Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai|Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina|Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching|Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:32, 6. Feb. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24472891 --> == This Month in Education: February 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 2 • February 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil|A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand|Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Call for Submissions to Wiki Workshop 2023|Call for Submissions to Wiki Workshop 2023]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January|Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program|Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Wikiclubs with different schools in Albania |Wikiclubs with different schools in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:08, 12. Mär. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24706239 --> == This Month in Education: March 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 3 • March 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program|Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club|Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Exploring How Wikipedia Works|Exploring How Wikipedia Works]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit|Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Improving hearing health content in Brazil|Improving hearing health content in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries |Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikeys in the Albanian language|Wikeys in the Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia|Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Polska short report|Wikimedia Polska short report]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia|Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:45, 8. Apr. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24824837 --> == This Month in Education: April 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 4 • April 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Auckland Museum Alliance fund project update|Auckland Museum Alliance fund project update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers|Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program|KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/On-line Courses for Educators in Poland|On-line Courses for Educators in Poland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives|Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania |Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad|Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference|Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:27, 23. Mai 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24999562 --> == This Month in Education: June 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 5 • June 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates|Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia|From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers|Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Using Wikipedia in education: students' and teachers' view|Using Wikipedia in education: students' and teachers' view]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State|The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/WMB goes to Serbia |WMB goes to Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/But we don't want it to end!|But we don't want it to end!]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:44, 4. Jul. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25147408 --> == This Month in Education: July 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • July 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Kaduna Connect Campaign|Wikimedia Kaduna Connect Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program|Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia and Education Kailali Multiple campus|Wikimedia and Education Kailali Multiple campus]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation|WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wiki at the Brazilian National History Symposium|Wiki at the Brazilian National History Symposium]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/US & Canada program reaches 100M words added |US & Canada program reaches 100M words added]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers|Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba|Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony|Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book|Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book. Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources in Xalala, Veracruz from the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program|62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine|“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana|OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:33, 14. Aug. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25457946 --> == This Month in Education: September 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • September 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference|Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs|Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa|Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools|WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia|WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education |Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:01, 10. Okt. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25700976 --> == This Month in Education: October 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Volume 12 • Issue 8 • October 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye|3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community|CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan|Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci|Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU|PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab|PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities|WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi|Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia in Brazil is going to be a book|Wikimedia in Brazil is going to be a book]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023|Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:34, 8. Nov. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25784366 --> == This Month in Education: November 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 9 • November 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education|4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo|Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia|EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia|Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities|Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania |Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/First anniversary of the game Wikeys|First anniversary of the game Wikeys]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Involve visiting students in education programs|Involve visiting students in education programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing|Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy|Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin|Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Tyap Wikimedians Zaria Outreach|Tyap Wikimedians Zaria Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Art Outreach at Aje Compreshensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland|Art Outreach at Aje Comprehensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment|PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:24, 14. Dez. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25919737 --> == This Month in Education: January 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 1 • January 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia|Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students|Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania|Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language|Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Summer students at Auckland Museum|Summer students at Auckland Museum]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project|WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Armenia's Educational Workshops|Wikimedia Armenia's Educational Workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment|Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 11:02, 10. Feb. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26091771 --> == This Month in Education: February 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 2 • February 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February|2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/More two wiki-education partnerships|More two wiki-education partnerships]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Open Education Week 2024 in Mexico|Open Education Week 2024 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows|Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Education Philippines promotes OERs utilization|Wiki Education Philippines promotes OERs utilization]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Loves Librarians, Kaduna|Wiki Loves Librarians, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Workshop 2024 CfP - Call for Papers Research track|Wiki Workshop 2024 CfP – Call for Papers Research track]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:38, 20. Mär. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26310117 --> == This Month in Education: March 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 3 • March 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna|Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand|Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad|Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wikipedia within the Education Setting in Albania|Wikipedia within the Education Setting in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:28, 28. Apr. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26659969 --> == This Month in Education: April 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Diesen Monat im Bildungswesen</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Band 13 • Ausgabe 4 • April 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In dieser Ausgabe</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/EduWiki Updates From Uganda|Neuigkeiten von EduWiki aus Uganda]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Good news from Bolivia: Reading Wikipedia Program continues in 2024|Gute Nachrichten aus Bolivien: Das Wikipedia-Leseprogramm wird 2024 fortgesetzt]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Hearing Health Project: Impactful partnership with Wiki Movement Brazil|Hörgesundheitsprojekt: Wirkungsvolle Partnerschaft mit Wiki Movement Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Wikimedia Spain, Amical Wikimedia and the University of Valencia develop Wikipedia educational project|Wikimedia Spanien, Amical Wikimedia und die Universität von Valencia entwickeln Wikipedia-Bildungsprojekt]]</div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|Über ''Diesen Monat im Bildungswesen'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren/Deabonnieren]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Globale Nachrichtenverteilung]] · Für das Team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:20, 14. Mai 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26698909 --> == This Month in Education: May 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 5 • May 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024|Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan|Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia|Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons|Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/We left a piece of our hearts at Arhavi|We left a piece of our hearts at Arhavi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series |Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA|Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:30, 15. Jun. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26854161 --> == This Month in Education: June 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 6 • June 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect|From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico|5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students|Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024|First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy|Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects |Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions|Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration|Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:58, 9. Jul. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 7 • August 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran|Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba|Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine|Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Edu Wiki Camp in Serbia, 2024|Edu Wiki Camp in Serbia, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount|Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning|Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon|Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop|Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 11. Sep. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 8 • October 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/CBSUA Wiki Education turns 1 year|CBSUA Wiki Education turns 1 year]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic|7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo|Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edu_Wiki_in_South_Sudan:_Creating_a_better_future_in_education|Empowering Digital Literacy through Wikimedia in South Sudan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD|Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month |New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms|Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global|WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia helps in improving cognitive skills|Wikipedia helps in improving cognitive skills]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact|Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WiLMa PH establishes a Wiki Club|WiLMa PH establishes a Wiki Club]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:57, 12. Nov. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 9 • November 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Auckland Museum Wikipedia Student Programme|Auckland Museum Wikipedia Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language|Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week|Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania|Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in Albania, 2024|Wikidata birthday in Albania, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in School |Wikidata birthday in School]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University|Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia MKD's new collaborations and new content|Wikimedia MKD's new collaborations and new content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program|Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:13, 10. Dez. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 1 • January 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey|Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress|Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Celebrating 10 Years of Wiki Education|Celebrating 10 Years of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran|Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra|Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey |Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania|Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia|Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia|Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wikimedia and Scientific Events in Brazil|Wikimedia and Scientific Events in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wiki Workshop- Call for Contributions|Wiki Workshop- Call for Contributions]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:56, 5. Feb. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 2 • February 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute|Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs|Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students|Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen|Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wiki Workshop in Mitrovica |Wiki Workshop in Mitrovica]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles|Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar|Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:04, 12. Mär. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 3 • March 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia|A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia|Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Faculty of Social Sciences Workshop in Albania|Faculty of Social Sciences Workshop in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme|Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March|Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:04, 10. Apr. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 4 • April 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia|Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil|The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools|EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja|Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues |Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage in Has region, Northern Albania|Wikivoyage in Has region, Northern Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage workshop in Bulqiza|Wikivoyage workshop in Bulqiza]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:48, 10. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: May 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 5 • May 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania|Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania|Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May|Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program|Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop|Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia |The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje|Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:58, 28. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: June 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 6 • June 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague|Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program|Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota|Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT|Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children|PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College|Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikimedia MKD's Workshops in June|Wikimedia MKD's Workshops in June]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival|Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:19, 27. Jun. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: July 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 7 • July 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025|Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Educational Outreach with Youth Centers in Albania|Educational Outreach with Youth Centers in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025|Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs|Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning|The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025 |When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD|Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia|Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Various programmes up and rolling with Charles University Prague|Various programmes up and rolling with Charles University Prague]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:01, 1. Aug. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 8 • August 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Bootcamp Wikipedia in Classroom|Bootcamp Wikipedia in Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Brazil launches campaign about Open Science on Wiki|Brazil launches campaign about Open Science on Wiki]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins|Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI|Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From a Curious Student to a Wikimedia Leader|From a Curious Student to a Wikimedia Leader]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators|From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Higher education with Wikipedia in Spain|Higher education with Wikipedia in Spain]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal|Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network|Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/The brains behind Wikipedia|The brains behind Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers|Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point|Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers|Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia vs AI at La Trobe University|Wikipedia vs AI at La Trobe University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers|St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna|Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education|In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer|Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:16, 2. Sep. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: September 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 9 • September 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination|Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners|CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025|2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište|Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Breaking Barriers, Why open Knowledge matters|Breaking Barriers, Why open Knowledge matters]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach |Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan|Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia|Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Monográfico sobre Wikipedia en el aula, Revista Docere|Monograph on Wikipedia in the classroom, Docere Magazine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan|The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025|The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes|Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cultura libre en las aulas|Free culture in the classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia Rwanda Wiki clubs|Wikimedia Rwanda Wiki clubs]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:10, 2. Okt. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 10 • October 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025|"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer|A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Debating open science and scientific dissemination in Brazil|Debating open science and scientific dissemination in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta|Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025|India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/JDACA & Amman Arab University|JDACA & Amman Arab University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/New starting page for Wikipedia users had been launched in September|New starting page for Wikipedia users had been launched in September]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset|Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia MKD’s Education Program activities for October|Wikimedia MKD’s Education Program activities for October]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania|Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:05, 2. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 11 • November 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026|Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia|Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras|Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day|190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/2nd International Congress Wikimedia, Education, and Digital Cultures – WECUDI|2nd International Congress Wikimedia, Education, and Digital Cultures – WECUDI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Africa and Proud Leads Wiki Classroom Project Across Three Nigerian States|Africa and Proud Leads Wiki Classroom Project Across Three Nigerian States]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/November 2025November 2025/Annual Czech Wiki Conference took place on Saturday, Nov 8th|November 2025November 2025/Annual Czech Wiki Conference took place on Saturday, Nov 8th]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/EduWiki Meetup at GLAM Wiki Conference 2025|EduWiki Meetup at GLAM Wiki Conference 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Highly productive autumn education activities in Macedonia|Highly productive autumn education activities in Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Kannada Wikipedia Asian Month 2025: Edit-a-thon & Workshop Highlights from Loyola College, Karnataka|Kannada Wikipedia Asian Month 2025: Edit-a-thon & Workshop Highlights from Loyola College, Karnataka]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe|Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course|Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training|United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM|Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge|Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Science Competition in Albania and Kosovo|Wiki Science Competition in Albania and Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Workshop 2026 Call for Contributions|Wiki Workshop 2026 Call for Contributions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo|Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community|Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:47, 30. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: December 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 12 • December 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages|WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wiki in schools - Architecture and Open Heritage|Wiki in schools - Architecture and Open Heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context|What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge|WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina|Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University |WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição|Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025|Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClubs and educational partnership in Albania|New WikiClubs and educational partnership in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania|New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025|Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop|Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 17. Dez. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 1 • January 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026|Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan|Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia Education Program - Train The Trainer in Nepal|Wikipedia Education Program – Train The Trainer in Nepal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU|Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program|CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth|WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Updates on Auckland Museum Summer Student Programme|Updates on Auckland Museum Summer Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network|Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge|Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025|Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme|Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Envisioning an Open Future together - WikiForAll|Envisioning an Open Future together – WikiForAll]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025|A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge|A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/¡Celebrando 25 años de conocimiento libre! El Proyecto "25x25" llega a las aulas de Córdoba, Argentina|Celebrating 25 years of free knowledge! The '25x25' Project reaches the classrooms of Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A atuação em rede da Universidade Federal de Juiz de Fora para a difusão do conhecimento livre na Wikipédia|The collaborative efforts of the Federal University of Juiz de Fora for the dissemination of free knowledge on Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:26, 28. Jan. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 2 • February 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces|Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan|Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Encontro da Rede Latino Americana de Inteligência Artificial Feminista: construindo futuros possíveis|Meeting of the Latin American Network of Feminist Artificial Intelligence: building possible futures]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Farewelling the Auckland Museum Summer Students|Farewelling the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi|Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana |Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade|Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics|Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia|LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/New online workshops for the German language Wikipedia|New online workshops for the German language Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors|Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects|The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day|Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages|Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026|Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity|Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia|WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops|Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiPatrimoine Senghor : Valorisation du patrimoine culturel africain à l'Université Senghor|WikiPatrimoine Senghor : Valuation of African cultural heritage at the University Senghor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future|Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:56, 3. Mär. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 3 • March 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona|Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG|Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources|Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe|Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Inside Wikimedia Ukraine's education program|Inside Wikimedia Ukraine's education program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026|Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/One School, One Article Campaign Wrap Up|One School, One Article Campaign Wrap Up]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN|Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology|Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries|The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia CR published updated guide for beginners|Wikimedia CR published updated guide for beginners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia goes back to the classroom in Brazil|Wikimedia goes back to the classroom in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI|Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities|“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikipedia & Libraries: Building New Contributors|Wikipedia & Libraries: Building New Contributors]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:21, 1. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 4 • April 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update|Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh|WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War|Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course|Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools|Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia|University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania|Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan|Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria|Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites|Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/A month full of encounters with students in Brazil|A month full of encounters with students in Brazil]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 27. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> 6k0gnkvet9qxl9dlcjgi2wc03xc36d5 0 93482 1078242 1065638 2026-04-27T12:33:02Z Bert Niehaus 20843 /* Konvexkombination als Abbildung */ 1078242 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math>. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3er Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math> <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,... für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> i43blnc30x474xde8ruqbz5gznl4bes 1078243 1078242 2026-04-27T12:33:29Z Bert Niehaus 20843 /* Konvexkombination als Abbildung */ 1078243 wikitext text/x-wiki [[Datei:Geogebra convex ord3.png|thumb|360px|Veranschaulichung einer Konvexkombination 1., 2. und 3. Ordnung in Geogebra ]] [[File:ConvexCombination-3D.gif|thumb|Konvexkombination in 3D mit 4 Vektoren]] == Wiki2Reveal == Dies Lerneinheit lässt sich als [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Webpräsentation] darstellen. == Einführung == Gegebenen sei ein reeller [[w:Vektorraum|Vektorraum]] <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math>. Eine [[w:Linearkombination|Linearkombination]] heißt Konvexkombination, wenn alle Koeffizienten <math>\lambda_i \in [0,1]</math> aus dem Einheitsintervall [0,1] stammen und die Summe aller <math>\lambda_i</math> für die Vektoren <math>v_i\in V</math> mit <math>i \in \{1,\ldots ,n\}</math> 1 ergibt: : <math> \begin{array}{rcl} v & = & \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dotsb + \lambda_n v_n \\ & = & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\\ & \mbox{mit} & 0 \le \lambda_i \le 1,\quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1 \, . \end{array} </math> == Konvexkombinationen in der Ebene == Wenn man Konvexkombinationen in der Ebene betrachtet, ist der zugrundeliegende Vektorraum der zweidimensionalen Raum <math>V:=\mathbb{R}^2</math>. Zunächst betrachten wir in <math>\mathbb{R}^2</math> Konvexkombinationen von zwei Vektoren. Durch die Bedingung <math>\lambda_1 + \lambda_2 = 1</math> sind beide Skalare voneinander abhängig. Ist <math>t \in [0,1]</math>, dann setzt man z.B. <math>\lambda_1:= (1-t)</math> und <math>\lambda_2 := t</math>. === Konvex Hülle === Wenn eine Menge <math>M</math> nicht konvex ist, kann von <math>M</math> die [[/konvexe Hülle/]] <math>Conv(M)</math>betrachten, die alle Konvexkombination mit Vektoren aus <math>M</math> erzeugt. Dabei gilt <math>M\subset Conv(M)</math>. === Konvexkombinationen als Abbildungen in den Vektorraum === Betrachtet man nun eine Abbildung <math>K \colon [0,1]\to V </math>, so kann man allgemein Konvexkombinationen 1. Ordnung von 2 Vektoren <math>v_1, v_2 \in V</math> wie folgt über die Abbildung <math>K</math> darstellen: :<math> K(t):= (1-t) \cdot v_1 + t \cdot v_2</math> === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Konvexkombinationen in Funktionenräumen == Die Behandlung von Konvexkombination mit <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> oder <math>v_1,v_2,v_3 \in \mathbb{R}^3</math> liefert eine Veranschaulichung im Vektorräume aus der Sekundarstufe II als spezielle Linearkombinationen. Konvexkombinationen kann man aber auch auf Funktionenräume angewendet werden. Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Wege in topologischen Vektorräumen === Die obigen Animation kann man auch [[topologischer Vektorraum/Weg|Weg in einem Funktionenraum]] als toplogischen Vektorraum auffassen === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Konvexkombinationen von Konvexkombinationen == In der obigen Animation sieht man eine Konvexkombination von 2 Vektoren in der Ebene oder in einem Funktionenraum betrachtet. Verwendet man drei Punkte so kann man zwischen jeweils zwei Punkten eine Konvexkombination 1. Ordnung erstellen. Wir werden nun Konvexkombinationen höherer Ordnung betrachten, indem man z.B. aus zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung eine Konvexkombination 2. Ordnung konstruiert. Allgemein enstehen aus [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc 2 Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> eine Konvexkombinationen der Ordnung <math>n+1</math>]. === Konvexe Hülle === Die Menge aller Konvexkombinationen einer vorgegebenen Menge von Vektoren bezeichnet man als [[Wikipedia:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe_Hülle|p-konvex Hülle]]). === Video Konvexkombinationen in der Ebene === [[Datei:Convex combination geogebra.webm|800px|Video zu Konvexkombination in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === Bemerkungen Video über Konvexkombinationen der Ordnung 1, 2 und 3 in Geogebra === In dem Video sieht man [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombinationen] der * 1. Ordnung zwischen <math>A_1</math> und <math>B_1</math> ohne Hilfspunkte, * 2. Ordnung zwischen <math>A_2</math> und <math>B_2</math> mit dem Hilfspunkt <math>S_1</math>, * 3. Ordnung zwischen <math>A_3</math> und <math>B_3</math> mit den Hilfspunkten <math>H_1, H_2</math>, == Konvexkombinationen als Polynome von t == Konvexkombination können als Polynome aufgefasst werden, bei denen die Koeffizienten aus einem Vektorraum <math>(V,+,\cdot,\mathbb{R})</math> stammen (siehe auch [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]]). Wählt man z.B. <math>V:=\mathbb{R}^n</math> kann man eine Konvexkombinationen <math>K</math> als Element der [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>V[t]</math> auffassen. === 3D-Konvexkombination - 1. Ordnung === Wählt man z.B. <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math>, so ist eine Konvexkombination 1. Ordnung wie folgt definiert :<math> A=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix}, \, B=\begin{pmatrix}4\\1\\0 \end{pmatrix}, \, \, K(t):= (1-t) \cdot A + t \cdot B = (B-A) \cdot t + A </math> Eine Konvexkombination 1. Ordnung liefert also ein Polynom mit dem Grad 1. mit dem Argument <math>t</math>. Stellen Sie die Konvexkombination in [[Geogebra|Geogebra 3D]] mit <math>t\in[0,1]</math> dar (siehe auch Darstellung einer Geraden durch Richtungsvektor und Ortsvektor). === 3D-Konvexkombination - 2. Ordnung === Wählt man wieder <math>n=3</math> und <math>V:=\mathbb{R}^3</math> mit einem Hilfpunkt <math>H_1\in V</math>, so liefern zwei Konvexkombinationen 1. Ordnung die Konvexkombinationen 2. Ordnung. :<math> H_1=\begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix}, \begin{array}{rcl} K_{(1,1)}(t) & := & (H_1-A) \cdot t + A \\ K_{(1,2)}(t) & := & (B-H_1) \cdot t + H_1 \\ K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \end{array} </math> Stellen Sie <math>K_{2}</math> als Polynom <math>K_{2}(t)=P_2 \cdot t^2 +P_1 \cdot t^1 + P_0 \cdot t^0 </math> dar. ==== Koeffizienten ==== Man erhält damit für die Koeffizientenvektoren: * <math>P_0 = A</math> * <math>P_1 = 2\cdot (H_1-A)</math> * <math>P_2 = B-2H_1 +A</math> ==== Aufgabe für Studierende ==== * Berechnen Sie nun für <math>n=3</math> (<math>n=4,5,...</math>) die Koeffizienten in <math>P_k\in V = \mathbb{R}^3 </math>. * Welches System für die Berechnung der Koeffizienten können Sie bzgl. Anfangs, Endpunkt und den Hilfpunkten entdecken? === Bernsteinpolynom - Ordnung 1 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{1}(t) & := & A \cdot (1-t) + B\cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^1 \cdot t^0 + B\cdot (1-t)^0 \cdot t^1 \\ \end{array} </math> === Berechnung des Polynoms - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & (H_1 \cdot t -A \cdot t + A) - (H_1 \cdot t^2 -A \cdot t^2 + A\cdot t) \\ & & + (B\cdot t^2 -H_1 \cdot t^2 + H_1 \cdot t ) \\ & = & (B - 2 \cdot H_1 + A)\cdot t^2 + 2\cdot (H_1 - A) \cdot t + A \end{array} </math> === Bernsteinpolynom - Ordnung 2 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{2}(t) & := & ((H_1-A) \cdot t + A)\cdot (1-t) + ((B-H_1) \cdot t + H_1) \cdot t \\ & = & A \cdot (1-t)^2 + 2 \cdot H_1 \cdot t\cdot (1-t) + B\cdot t^2 \end{array} </math> === Bernsteinpolynoms - Ordnung 3 === :<math> \begin{array}{rcl} K_{3}(t) & := & A \cdot (1-t)^3 + 3\cdot H_1 \cdot (1-t)^2\cdot t + 3\cdot H_2\cdot (1-t)\cdot t^2 + B \cdot t^3 \end{array} </math> == Aufgabe: Berechnung des Polynoms - Ordnung 3 == * Berechnen Sie das Polynom 3 Grades und leiten Sie daraus die allgemeine Formel für die Koeffizienten von <math>t^n</math>. Verwenden Sie dazu die Notation <math>H_0 := A</math> und <math>H_n := B</math> für Konvexkombinationen der Ordnung <math>n</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> mit den Hilfpunkten <math>H_1,\ldots , H_{n-1}</math>. * Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion. :: <math> K_n(t):= \sum_{k=0}^n {n\choose k} \cdot H_k \cdot t^k \cdot (1-t)^{n-k} </math> == Interaktives Geogebra-Arbeitsblatt == Das Video zeigt eine Interaktion mit dem obigen Konvexkombinationen. Aus Geogebra heraus wurde das erstellte Arbeitsblatt auf die Geogebra-Materialienseite hochgeladen. Dies können Sie direkt im Browser unter folgendem Link nutzen: :: '''[https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Interaktives Arbeitsblatt: Konvexkombination auf Geogebra]''' == Konvexkombination als Abbildung == Eine Konvexkombination kann für die Interpolation von Punkten <math>A=v_1</math> und <math>B=v_n</math> verwendet werden. Seinen ferner die Hilfspunkte <math>H_1=v_2</math>,....<math>H_{n_1}=v_{n-1}</math> für eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung gegeben. Die Konvexkombinationen kann man allgemein als Abbildung von dem Intervall <math>[0,1]</math> nach <math>\mathbb{R}^n</math> wie folgt auffassen (siehe [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]]): :<math> \begin{array}{rcl} K_n: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R}^n \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot v_{k+1} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} v_1 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t v_2 + \ldots + {n\choose n} t^n v_n \end{array} </math> == Konvexkombinationen in Geogebra - Download == In [[Geogebra]] kann man die geometrische Bedeutung der Konvexkombinationen dynamisch visualisieren. Unter dem * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] können Sie * [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Beispieldateien von Konvexkombinatioen für Geogebra als ZIP-Datei] herunterladen * Das [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination GitHub-Repository] enthält ferner eine [[Maxima_CAS|wxMaxima Datei]] für die algebraische Berechnung der Punkte, die auf der Konvexkombination liegen. Dort sind auch Datenpunkte aus dem <math>\mathbb{R}^3</math> eingebaut, die zeigen, dass man die gesamte Konstruktion der Konvexkombinatione auch auf den <math>\mathbb{R}^3</math> bzw. den <math>\mathbb{R}^n</math> übertragen kann. In den Beispieldateien werden Konvexkombinationen von zwei Punkten (Vektoren <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) behandelt. == Definition der Konvexkombinationen als Abbildungen/Kurven im Vektorraum == === Konvexkombination 1. Ordnung === * Konvexkombination 1. Ordnung erzeugen alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zwischen den zwei Punkten <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>. :: <math> K_{1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot v_2 </math> === Konvexkombination 2. Ordnung === * Eine Konvexkombination 2. Ordnung entsteht mit einem weiteren Hilfpunkte <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden beiden Konvexkombinationen 1.Ordnung: :: <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) :: <math> K_{2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombination 3. Ordnung === Eine Konvexkombination 3. Ordnung entsteht mit zwei weiteren Hilfpunkte <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> in der Ebene aus den folgenden drei Konvexkombinationen 1.Ordnung: : <math> K_{1,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot v_1 + \lambda \cdot h_1 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>v_1,h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_1 + \lambda \cdot h_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{1,3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot h_2 + \lambda \cdot v_2 </math> (Konvexkombination 1. Ordnung zwischen <math>h_2,v_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 2. Ordnung aus KK der 1. Ordung ==== Aus den drei Konvexkombinatioen 1. Ordnung konstruiert man zwei Konvexkombination 2. Ordnung wie folgt: : <math> K_{2,1}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,h_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_1 \in \mathbb{R}^2</math>) : <math> K_{2,2}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{1,2}(\lambda) + \lambda \cdot K_{1,3}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>h_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit dem Hilfpunkt <math>h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) ==== Konvexkombinationen 3. Ordnung aus KK der 2. Ordung ==== Aus den beiden Konvexkombinationen 2. Ordnung entsteht nun eine Konvexkombination 3. Ordnung wie folgt: : <math> K_{3}: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \qquad \lambda \mapsto (1-\lambda) \cdot K_{2,1}(\lambda) + \lambda \cdot K_{2,2}(\lambda) </math> (Konvexkombination 2. Ordnung zwischen <math>v_1,v_2 \in \mathbb{R}^2</math> mit den Hilfpunkten <math>h_1, h_2 \in \mathbb{R}^2</math>) === Konvexkombinationen ''n''-ter Ordnung === Allgemein hat eine Konvexkombination <math>n</math>-ter Ordnung * <math>n-1</math> Hilfspunkte <math>h_1,\ldots ,h_{n_1}</math> * <math>n</math> Konvexkombinationen 1. Ordnung, * <math>n-1</math> Konvexkombinationen 2. Ordnung, * ... * <math>n-k</math> Konvexkombinationen <math>(k+1)</math>-ter Ordnung, * ... * <math>1</math> Konvexkombination ''n''-ter Ordnung, In der 3D-Graphik sind insbesondere die Konvexkombinationen 3. Ordnung von Bedeutung (siehe [[w:de:Bezier-Kurve|Bezier-Kurven]]) === Konvexkombination von Funktionen === Sei <math>\mathbb{D}</math> ein Definitionbereich von Funktionen und <math>(V,+,*,\mathbb{K})</math> ein Vektorraum über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> (z.B. <math>\mathbb{K}:= \mathbb{R},\mathbb{C}</math> und <math>\mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>\mathbb{D}</math> nach <math>V</math>. Eine Konvexkombination von zwei stetigen Funktionen <math>f,g \in \mathcal{C}(\mathbb{D},V)</math> mit <math>\lambda \in [0,1] \subset \mathbb{K}</math> ist definiert durch: :<math> h_\lambda := (1- \lambda) \cdot f + \lambda \cdot g </math> mit :<math> \begin{array}{rcl} h_\lambda: \mathbb{D} & \to & V \\ z & \mapsto & h_\lambda(z):= (1- \lambda) \cdot f(z) + \lambda \cdot g(z) \\ \end{array} </math> == Konvexkombinationen aus mehr als 2 Vektoren == Im obigen Fall wurde zwei Vektoren aus dem zugrundeliegenden Vektorraum als Konvexkombination untersucht und auch Konvexkombinationen höherer Ordnung konstruiert. Nun wird das Vorgehen auf mehr als 2 Vektoren erweitert, wobei wieder ein Parametrisierung über Vektoren <math>(t_1,\ldots, t_n)\in [0,1]^n </math> erfolgt. === Konvexkombinationen aus 3 Vektoren === Erweitern Sie den Ansatz auf Konvexkombination mit zwei Parametern <math>t_1,t_2 \in [0,1]</math> und Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> über: :<math> \lambda_1 := (1-t_1), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), \, \lambda_3 := t_1 \cdot t_2 </math> und der Abbildung für die Konvexkombinationen in das abgeschlossene Dreieck, das durch die drei Vektoren <math>v_1,v_2,v_2</math> als [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] definiert wird: :<math>K_3(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1 \cdot (1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_3} \cdot v_3</math> === Konvexkombinationen aus 4 Vektoren === Für 4 Vektoren verwendet man wieder als Parametrisierung <math>(t_1,t_2) \in [0,1]\times [0,1]</math> :<math> \lambda_1 := (1-t_1)\cdot (1-t_2), \, \lambda_2 := t_1 \cdot (1-t_2), </math> :<math> \lambda_3 := (1-t_1)\cdot t_2, \, \lambda_4 := t_1 \cdot t_2 </math> Die Abbildung <math>K_4:[0,1]^2 \to V</math> stellt dann alle Vektoren aus der konvexe Hülle von <math>v_1,v_2,v_3,v_4\in V</math> dar. :<math>K_4(t_1,t_2):= \underbrace{(1-t_1)(1-t_2)}_{=\lambda_1} \cdot v_1 + \underbrace{t_1(1-t_2)}_{=\lambda_2} \cdot v_2 + \underbrace{(1-t_1) t_2}_{=\lambda_2} \cdot v_3 + \underbrace{t_1 \cdot t_2 }_{=\lambda_4} \cdot v_3</math> == Aufgabe == * '''(Geogebra)''' Analysieren Sie die [https://github.com/niebert/GeogebraConvexCombination/archive/master.zip Geogebra-Beispieldateien] und beschreiben Sie die Bedeutung der Hilfspunkte für die Form der Ortslinie in der Dynamischen Geometrie-Software (DGS) Geogebra. * Welche Rolle spielen die Hilfspunkte, um differenzierbare Interpolationen zu erzeugen (Tangentialvektoren)? * '''(Interpolation)''' Vergleichen Sie die Interpolationen nach Lagrange bzw. Newton für viele Datenpunkte mit der Interpolation durch mehrere Konvexkombinationen 3. Ordnung. Welche Stärken und Schwächen (Oszillation zwischen den Datenpunkten) haben die unterschiedlichen Verfahren. Veranschaulichen Sie diese mit Geogebra. === Aufgabe - 3. Ordnung und funktionale Darstellung === * '''(Konvexkombination 3-ter Ordnung)''' Berechnen Sie die Punkte von Konvexkombinationen 3. Ordnung im <math>\mathbb{R}^3</math> mit [[Maxima CAS]] (siehe auch [http://www.rvk-hagen.de/~stewen/maxima_in_beispielen/maxima_in_beispielense37.html Maxima Tutorial der FH-Hagen]). ::<code>K(t):= A * (1-t)^3 + H1 * (1-t)^2 * t + H2 * (1-t) * t^2 + B * t^3</code> : Definieren Sie die Punkte als 3x1-Matrizen mit: ::<code>A : matrix( [-1], [3], [-4] )</code> * '''(Unterschied Konvexkombination 3er Ordnung und kubischen Splines)''' Analysieren Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede von kubischen Splines und Konvexkombinationen 3er Ordnung! Was ist der Anwendungskontext von kubischen Splines? Wann würden Sie Konvexkombinationen verwenden? === Aufgabe - Konvexkombinationen von Funktionen === * '''(Konvexkombination von Funktionen)''' Wählen Sie <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math> <math>V:=\mathbb{R}</math> und stellen die Konvexkombination von <math>f</math> und <math>g</math> in Geogebra mit einem Schieberegler <math>\lambda</math> (analog zur GIF-Animation), wobei <math>f(x)=x^2</math> und <math>g(x)=cos(x)</math> ist. Was beobachten Sie, wenn Sie den Schieberegler von 0 auf 1 bewegen? <math>g(x)=cos(x)</math> ist beschränkt und <math>f(x)=x^2</math> ist unbeschränkt auf <math>\mathbb{D}:=\mathbb{R}</math>. Welche Eigenschaft hat <math>h_\lambda</math> für <math> 0 < \lambda < 1 </math>? * '''(Konvexkombinationen und Polynomalgebren)''' Fassen Sie die Konvexkombination der Ordnung <math>n</math> mit Koeffizienten aus einem Vektorraum nach Potenzen von <math>t^n</math> zusammen und betrachten Sie die Koeffizienten aus dem Vektorraum <math>V</math> allgemein. Wie werden die Koeffizienten der Polynome aus den Punkten bzw. Hilfspunkten für die Potenzen gebildet? (siehe auch [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]) === Aufgabe - Bernsteinpolynome und De-Casteljau-Algorithmus === * '''([[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]])''' Analysieren Sie den Zusammenhang von Konvexkombinationen als spezielle Linearkombinationen aus der Linearen Algebra mit [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] und [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]]. [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynome]] für einen bestimmten Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> stellen eine Zerlegung der Eins dar. Welchen Zusammenhang besteht bzgl. einer Zerlegung der Eins bei den Konvexkombinationen. Welche Bedeutung hat dabei eine polynomial Darstellung in Bezug auf die Zerlegung der 1 ::<math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k = 1</math> * '''([[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]])''' Analysieren Sie den [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] und erläutern Sie, welche Rolle die [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] als Kontrollpolynome für die definierenden Punkte der Kurve darstellen. == Polynome - Potenzreihen == Die obigen Beispiele von Konvexkominationen als Kurven im <math> \mathbb{R}^2 </math> bzw. allgemeiner in einem <math> \mathbb{R}</math>-Vektorraum <math>V</math> sind Polynome mit Argument <math>t</math>. Kreise im <math> \mathbb{R}^2 </math> mit Radius <math>r > 0 </math> sind Potenzreihen, die sich durch die Reihendarstellung von [[w:de:Kosinus|Kosinus]] und [[w:de:Sinus|Sinus]] ergeben. :<math> \gamma_r(t) := (r\cdot cos(t),r\cdot sin(t)) </math> Erzeugen Sie aus der obigen Darstellung eine Potenzreihe in <math>t</math> mit Koeffizienten aus dem <math> \mathbb{R}^2 </math>. == Interpolationen == Konvexkombinationen können auch für die Interpolation von Polynomen verwendet werden. Starten Sie zunächst mit Interpolationen der ersten Ordnung, indem die Punkte mit Geraden der Form <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> interpoliert werden. Dabei sind die Punkte <math>\mathbb{D}:=\{(x_0,y_0),\ldots , (x_n,y_n) \}</math> Datenpunkte gegeben, die mit den Funktionen <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math> stückweise Interpoliert werden. Berechnen Sie aus den Konvexkombinationen <math>P_k(t)\in \mathbb{R}^2</math> die funktionale Darstellung <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>: :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> === Berechnung von t in Abhängigkeit von x === Gegeben sei <math>x\in [x_{k-1},x_k] \subset \mathbb{R}</math>. Wir berechnen nun das zugehörige <math>t\in [0,1]</math> für die Konvexkombination mit der Vorüberlegung, dass <math>t=0</math> für <math>x = x_{k-1}</math> und <math>t=1</math> für <math> x= x_k</math> sein soll. Die folgende Abbildung übernimmt die lineare Transformation <math>T:[x_{k-1},x_k] \to [0,1]</math>. :<math>T(x):=\frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}</math> === Berechnung des Funktionswertes zu x === Die Konvexkombination :<math> P_k(t):= (1-t)\cdot \begin{pmatrix} x_{k-1}\\y_{k-1}\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} x_{k}\\y_{k}\end{pmatrix}</math> liefert den Interpolationspunkt des Graphen. Man benötigt allerdings nur die y-Koordinate des zugehörigen Interpolationspunktes <math>P_k(t)= \begin{pmatrix} (1-t)\cdot x_{k-1} + t\cdot x_k \\(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k\end{pmatrix}</math>. Also verwenden wir den folgende Term: <math>(1-t)\cdot y_{k-1} + t\cdot y_k </math>. === CAS4Wiki === Mit [[CAS4Wiki]] kann die Spur der dreidimensionalen Konvexkombination der Ordnung 3 geplottet werden. : '''[https://niebert.github.io/WikiversityDoc/cas4wiki.html?filename=commands4cas_plot3d.json&casdata=%7B%22castype%22%3A%22maxima%22%2C%22title4cas%22%3A%22Computer%20Algebra%20System%22%2C%22title4commands%22%3A%22Commands%22%2C%22title4functions%22%3A%22Functions%22%2C%22title4variables%22%3A%22Variables%22%2C%22commands%22%3A%5B%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve3d()%20-%20cur(t)%22%2C%22cmd%22%3A%22curve3d(K(t)%2Ct%5B0%2C1%5D%2Ccolor%5Bblue%5D%2Clinewidth%5B10%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%2C%7B%22cmdtitle%22%3A%22Plot%20curve2d()%20-%20Spiral%22%2C%22cmd%22%3A%22curve2d(%5Bt*cos(t)%2Ct*sin(t)%5D%2Ct%5B0%2C16%5D%2Ccolor%5Bgreen%5D%2Clinewidth%5B3%5D)%22%2C%22result4cmd%22%3A%22%20x%20%22%7D%5D%2C%22casfunctions%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22g%22%2C%22args%22%3A%22x%2Cy%22%2C%22def%22%3A%22x%5E3%2By%5E2%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22cur%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22%5Bcos(t)%2Csin(t)%2Ct%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22K%22%2C%22args%22%3A%22t%22%2C%22def%22%3A%22v1*%20(1-t)%5E3%20%2Bv2*3*(1-t)%5E2*t%2B%20v3*3*(1-t)*t%5E2%20%2Bv4*t%5E3%22%7D%5D%2C%22casvariables%22%3A%5B%7B%22name%22%3A%22v1%22%2C%22def%22%3A%22%5B3%2C4%2C5%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v2%22%2C%22def%22%3A%22%5B5%2C4%2C-3%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v3%22%2C%22def%22%3A%22%5B-6%2C-6%2C6%5D%22%7D%2C%7B%22name%22%3A%22v4%22%2C%22def%22%3A%22%5B-3%2C-7%2C0%5D%22%7D%5D%7D&title=Computer%20Algebra%20System CAS4Wiki Commands]''' [[File:Plot_konvexkombination_IR3.png|350px|Plot Convex combination]] === Funktionale Darstellung === Durch Einsetzen für <math>t \in [0,1]</math> erhält man die lineare Interpolationsfunktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> über: :<math>f_k(x):= \bigg( 1- \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg)\cdot y_{k-1} + \bigg( \underbrace{ \frac{x-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}} }_{=t} \bigg) \cdot y_k </math>. === Aufagben === * Berechnen Sie die Koeffizienten <math>m_k,b_k \in \mathbb{R}</math> der Funktion <math>f_k:[x_{k-1},x_k] \to \mathbb{R}</math> mit <math>f_k(x):=m_k \cdot x + b_k</math>! * Übertragen Sie diese Interpolation auf Konvexkombination der Ordnung 3 und überlegen Sie, wie Sie in Abhängigkeit von den Datenpunkten die beiden Hilfspunkte der Interpolation wählen müssen, damit die Interpolation differenzierbar ist und in der Darstellung differenzierbare Übergänge zwischen den Interpolationspunkten generiert. * Welche geometrischen Eigenschaften müssen Hilfspunkte zwischen zwei benachbarten Interpolationsintervallen für die Differnzierbarkeit besitzen. === Interpolation mit Konvexkombination der Ordnung 3 === [[Datei:Interpolation konvexkombination ord3.png|550px|Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/dcfbnbuk Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/konvexkombination_ord3_interpolation.ggb Geogebra-File] === 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === [[Datei:3d_interpolation convex_combination.png|550px|3D-Interpolation mit Konvexkombinationen 3. Ordnung]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/ykevrdeu Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://github.com/niebert/wikiversity_files/raw/master/de/Konvexkombination/3d_interpolation_convex_combination.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - 3D-Interpolation mit Konvexkombinationen der Ordnung 3 === * In einem konvexen Polygon mit einem Zentrum <math>P_o \in \mathbb{R}^2 </math> wird dem Zentrum ein Funktionswert <math>y_o \in \mathbb{R} </math> zugeordnet, * im Inneren des Polygons wird drei geschlossene Wege <math>\gamma_0 ,\gamma_1 , \gamma_2 </math> erzeugt, wobei die [[Integrationweg|Spur]] von <math>\gamma_0 </math> die Seitenmittelpunkte berührt. === Aufgabe für Studierende === Entwickeln Sie für die folgenden eine mathematische/algebraische Beschreibung durch Terme: * Die grün gestichelte Linien sind Konvexkombinationen 1. Ordnung, * An den Knotenpunkten des offenen [[w:de:Polygonzug (Mathematik)|Polygonzuges]] erstellen Sie eine Winkelhalbierende (konstruktiv kann man das durch eine Raute umsetzen, wobei zwei Seiten und ein Eckpunkt durch zwei benachbarte Strecken im Polygonzug definiert sind). * Erstellen Sie eine Orthogonale durch den Verbindungspunkt von zwei benachbarten Strecken im Polygonzug. * Analysieren Sie die Abbildung oben und legen Sie die nächsten Schritte für die Festlegung der beiden Hilfspunkte für eine Konvexkombination 3. Ordnung fest. Das Vorgehen ist nicht eindeutig insbesondere an den Randpunkte des Polygonzuges. Was spricht für Ihre Wahl der mathematischen Umsetzung? Nutzen Sie insgesamt Methoden aus der Lineare Algebra (z.B. Skalarprodukt,... für die vektorielle Beschreibung des obigen geometrischen Vorgehens. == Morphing und die Nutzung von Konvexkombinationen == Im folgenden Abschnitt werden wir Transformationen von Bilder im Kontext von Konvexkombinationen betrachten. Beim [[w:de:Morphing|Morphing]] gibt es zahlreiche mathematische Werkzeuge. Hier werden nur Aspekte im Kontext von Konvexkombinationen betrachtet. [[File:Animated GIF cheloVechek.gif|350px|Morphing - Nutzen von Konvexkombinationen]] === Konvexkombination für Graustufenbilder === Betrachten Sie die obige GIF-Animation und nehmen Sie zunächst zwei unterschiedliche Schwarzweißbilder und transformieren Sie pixelweise die Graufstufenwerte (schwarz=0,...255=weiß) von einem Pixel aus Bild 1 zu einem Pixel in Bild 2 (Umsetzung z.B. in [https://docs.octave.org/v7.3.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v7.3.0] bzw. [https://docs.octave.org/v5.2.0/Image-Processing.html Octave Image Processing v5.2.0]. Beachten Sie dabei, dass die Konvexkombinationen reellwertige Helligkeitswerte in den Graustufen liefern, die Sie auf ganzzahlige Werte runden müssen (z.B. 232,423 auf 232 = annähernd weiß) === Konvexkombination für Farbbilder === * Übertragen Sie das Vorgehen nur auf Farbbilder, wobei Sie Farbwerte für die Grundfarben in ähnlicher Weise von Graustufenwerten auf Farbwerte übertragen werden. * Eine große [[w:de:RGB-Farbraum|digitale Farbpalette]] wird dabei Anteil von drei Grundfarben kodiert (z.B. [[w:de:RGB-Farbraum|Rot, Grün, Blau RGB]]. Unterscheiden sich Farben, kann man z.B. die Konvexkombinationen auf die einzelnen Grundfarben anwenden. === Räumliche Bewegung von Pixeln === * In der obigen Morphing-Animation werden aber nicht nur statisch pixelweise konvex kombiniert, sondern für fest definierte Punkte, wie z.B. Augen findet auch ein räumlicher Transformationsprozess statt. Überlegen Sie sich, wie z.B. das Zentrum der Iris im Auge räumlich von einem Bild1 in das Bild2 verschoben wird. * Verbinden Sie nun räumliche Transformationsprozesse mit einer Farbanpassung der Pixel, dass sich also ein Pixel vom Ort <math>(x_1,y_1)</math> in der Bildmatrix nach <math>(x_2,y_2)</math> bewegt und sich auf dem Weg von <math>(x_1,y_1)</math> nach <math>(x_2,y_2)</math> die Farbe von gelb nach blau wechselt. == Siehe auch == * [[w:Linearkombination#Konvexkombination|Konvexkombinationen]] * [[Wegintegral]] * [[/konvexe Hülle/]] * [[p-konvexe Hülle]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [https://www.geogebra.org/m/ek7RHvuc Konvexkombination interaktiv in GeogebraTube] * [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg#Beispiel|Integrationswege in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum |Hilbertraum]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Satz von Rouché|Satz von Rouché in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynomen]] * [[w:de:Bezierkurve|Bezierkurven]] * [[w:de:De-Casteljau-Algorithmus|De-Casteljau-Algorithmus]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Morphing|Morphing]] === Wiki2Reveal - Folien === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexkombination https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Konvexkombination * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Convex combination]] </noinclude> [[Kategorie:Lernressource mit Video]] <noinclude> [[en:convex combination]] </noinclude> 6u71egco37tm9o0u4sp38feyunpetm3 0 101886 1078278 1071184 2026-04-27T13:41:35Z Bert Niehaus 20843 /* Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung */ 1078278 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] nooeaxxso69zmj2scvxtw5pzal8n87q 1078279 1078278 2026-04-27T13:42:04Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078279 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] f9o70u0rlxo09klsk28xd1790ib5nu5 106 103176 1078248 1061490 2026-04-27T12:40:37Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078248 wikitext text/x-wiki == Glatte Wege und Wegunterteilung == Die folgenden Definitionen wurden mit Kürzeln belegt und werden in Beweisen als Begründungen für Umformungen oder Folgerungen verwendet. * '''(WG1) Definition (Weg glatt):''' Ein Weg <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist. * '''(UT) Definition (Unterteilung):''' Sei <math>[a,b]</math> ein Intervall, <math>n \in\mathbb{N}</math> und <math>{a}={u}_{{0}} < {\ldots} < {{u}}_{n}={b}</math>. <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}\in\mathbb{R}^{n+1}</math> heißt dann Unterteilung von <math>{\left[{a},{b}\right]}</math>. * '''(WG2) Definition (Wegunterteilung):''' Sei <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> ein Weg in <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math>, <math>{n}\in\mathbb{N}</math>, <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}</math> eine Unterteilung von <math>[a,b]</math>, <math>\gamma_{{k}}:{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right]}\to\mathbb{C}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> ein Weg in <math>{U}</math>. <math>{\left(\gamma_{{{1}}},\ldots,\gamma_{{{n}}}\right)}</math> heißt Wegunterteilung von <math>\gamma</math>, wenn gilt <math>\gamma_{1}{\left(a\right)}=\gamma{\left({a}\right)}</math>, <math>\gamma_{{n}}{\left({b}\right)}=\gamma{\left({b}\right)}</math> und <math>\forall_{{{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}}}\forall_{{{t}\in{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right)}}}:\gamma_{{k}}{\left({t}\right)}=\gamma{\left({t}\right)}\wedge\gamma_{{k}}{\left({u}_{{{k}-{1}}}\right)}=\gamma_{{{k}-{1}}}{\left({u}_{{k}}\right)}</math>. * '''(WG3) Definition (Weg stückweise glatt):''' Ein Weg <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung <math>{\left(\gamma_{{1}},\ldots\gamma_{{n}}\right)}</math> aus glatten Wegen <math>\gamma_{{k}}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> existiert. == Integrationsweg == * '''(WG4) Definition (Wegintegral):''' Sei <math>f : U \to\mathbb{C}</math> eine stetige Funktion und <math>\gamma: [a,b] \to U </math> ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: <math>\int_{\gamma} f := \int_{\gamma} f(z) \, dz := \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot\gamma'(t)\, dt </math>. Ist <math>\gamma</math> nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung <math>( \gamma_1 ,\ldots,\gamma_n ) </math>, dann definiert man <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz :=\sum_{k=1}^{n} \int_{\gamma_k} f(z) \, dz</math>. * '''Definition (Integrationsweg):''' Ein Integrationsweg ist ein stückweise glatter (stückweise stetig differenzierbarer) Weg. == Beispiel == [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg auf dem Dreiecksrand]] Der folgende Weg ist stückweise stetig differenzierbar (glatt) und für die Ecken <math>z_1,z_2,z_3\in \text{Spur}(\gamma)</math> ist der geschlossene Dreiecksweg <math>\gamma : [0,3] \to \mathbb{C}</math> nicht differenzierbar. Der Dreiecksweg ist auf dem Intervall <math>[0,3]</math> mit <math> \gamma(t) := \left\langle z_1 ,z_2 ,z_3 \right\rangle (t)</math> wie folgt definiert: :<math> \gamma(t) := \begin{cases} (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 & \text{für } t \in [0,1] \\ (2-t)\cdot z_2 + (t-1)\cdot z_3 & \text{für } t \in (1,2] \\ (3-t)\cdot z_3 + (t-2) \cdot z_1 & \text{für } t \in (2,3] \\ \end{cases} </math> === Wege aus Konvexkombinationen === Der stückweise stetig differenzierbare Weg ist aus [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] entstanden. Die Teilwege * <math>\gamma_1 := \left\langle z_1 ,z_2 \right\rangle </math> mit <math>\gamma_1 : [0,1] \to \mathbb{C}, \ (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> * <math>\gamma_2 := \left\langle z_2 ,z_3 \right\rangle </math> mit <math>\gamma_2 : [1,2] \to \mathbb{C}, \ (2-t)\cdot z_2 + (t-1)\cdot z_3 </math> * <math>\gamma_3 := \left\langle z_3 ,z_1 \right\rangle </math> mit <math>\gamma_3 : [2,3] \to \mathbb{C}, \ (3-t)\cdot z_3 + (t-2)\cdot z_1 </math> sind stetig differenzierbar. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/holomophe_Integrationswege|holomorphe Integrationswege]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat_(Details)|Lemma von Goursat]] * [[Konvexkombination]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Path of Integration]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] mxo17beeorgurvcpag2p6qxb2m6vwp9 2 105152 1078309 1078211 2026-04-27T17:06:18Z Bocardodarapti 2041 1078309 wikitext text/x-wiki {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Quasihomogener Ring/Euler-Derivation/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Hyperfläche/3 Variablen/Transformation/1/Beispiel|| }} [[Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Strukturgarbe/Offene Teilmengen/Globaler Schnittring/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Reflexiver Modul/Garbe/Auswertung/Textabschnitt]] [[Isolierte Singularität/Komplement/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Algebra/Spektrum/Realisierung/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Varianten/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Monoidring/Grad 0 Ring/Endliche Gruppe/Tangentialschema/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Kähler-Differentiale/Zweite äußere Potenz/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Äußere Ableitung/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Derivationen/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Isoliert/Dimension geq 3/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt]] [[Tangentialkegel/Einführung/Textabschnitt]] [[Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt]] [[Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt]] [[Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt]] [[Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt]] [[Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt]] [[Hauptteile/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Selbstprodukt/Hauptteilmodul/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A n/Differentialoperatoren/Positive Charakteristik/Beispiel|| }} [[Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Derivation/Hyperfläche/PotenzadditionAusdehnbarkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel|| }} [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt]] [[Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt]] Vorträge [[Differentielle Signatur/Vortrag]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/3/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt]] cj73e1ezgsyfjg43xflmao8lh29jtbz 0 123565 1078308 932436 2026-04-27T16:18:45Z Jeb 26942 /* Archive */ 2025 1078308 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wikidata tastydata.svg|thumb|#tastyData: Daten, die schmecken]] [[Datei:Wikipedia20 animated Wikidata.gif|mini|Wikipedia 20: ''Wikidata'', animiert]] [[File:Die Datenlaube.jpg|thumb|„DieDatenlaube“]] [[Datei:Saxorum.svg|mini|[https://www.saxorum.de/aktuelles/beitrag/2019/02/08/kollaborative-query-und-modulentwicklung-fuer-sxrm-mit-wikidata-und-wikisource/ Saxorum.de : Sächsische Landeskunde digital]]] ''Die Datenlaube'' ist ein Citizen Science-Projekt für offene Kulturdaten. Seit 2008 transkribiert eine wachsende Gemeinschaft in Wikisource ‘Die Gartenlaube’, d.h. insgesamt circa 18.500 Artikel des ersten deutschen Massenblatts seit 1853 bis 1899. Dieses Großprojekt steht beispielhaft für die Potentiale ehrenamtlichen Engagements für bibliothekarische Tätigkeiten in Bezug auf Produkte der Massendigitalisierung: Scans, Volltexte, Transkriptionen – und deren Benutzung. Seit Anfang 2019 erfolgt die Erschließung deutscher Wikisource-Dokumente systematisch und offen in Wikidata. Im Dezember 2021 gab es die erste '''[[VBIB21/DatenlaubeCon|DatenlaubeCon]]'''. == Archive == * immer dienstags: [[DieDatenlaube/Notizen]] * 2020: erste Wartungsarbeiten als ''DatenlaubeJam'' im [[DieDatenlaube/August2020|August '20]] * 2021: [[DieDatenlaube/Notizen/2021|Notizen '21]], Teilprojekt ''[[DieDatenlaube/Wikicite]]'' * 2022: [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe_Abstrakt|GeNeMe Abstrakt]], [[DieDatenlaube/Gesprochene Wikisource|Gesprochene Wikisource]], pm4dh: ''[[DieDatenlaube/pm4dh abstract| Projekt- und Community-Management im Digitalen – was bewirken, mit echten Menschen im Wikiversum]]'', [[DieDatenlaube/Notizen/2022|Notizen '22]], [[DieDatenlaube/Lehre|Lehre]] * 2023: [[DieDatenlaube/call4edits|Call4edits]]: Forschungsfragen und andere Ideen, '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|Notizen '23]]''', [[Projekt:Datenlaube-Kalender 2023]] * 2024: [[DieDatenlaube/Notizen/Methode DatenlaubeJam|Methode ''DatenlaubeJam'']], [[Projekt:Immerwährender Datenlaube-Kalender]], ... * 2025: [[DieDatenlaube/Notizen/2025]] === Themen (Auswahl) === * Frauen(bewegung) :* {{wikisource|Die Führerinnen der Frauenbewegung in Deutschland}} :* {{wikisource|Zum Frauenstudium}} :* {{wikisource|Weibliche Aerzte}} * Parlament, Wahlen :* {{wikisource|Die preisgekrönten Entwürfe des neuen Reichstagsgebäudes in Berlin}} :* {{wikisource|Moltke in der Reichstagssitzung vom 4. December 1886}} :* {{wikisource|Das neue Reichstagshaus}} * Soziale Frage :* {{wikisource|Unterhaltungsabende für Arbeiter}} :* {{wikisource|Der Freund der deutschen Arbeiter}} :* {{wikisource|Der „erste Arbeiter Frankreichs“}} :* {{wikisource|Arbeiter- und Heimatkolonien im Moor}} * Saxonica :* {{wikisource|Schule und Werkbank}} :* {{wikisource|Laienhülfe bei Erforschung von Gewittererscheinungen}} :* {{wikisource|Gustav Adolf}} :* {{wikisource|Ein trefflich gelungenes Portrait von Dr. Schulze-Delitzsch}} :* {{wikisource|Schloß Scharfenberg bei Meißen}} :* {{wikisource|Der Leipziger Buchhandel vor 1848}} :* {{wikisource|Der hundertjährige Kamelienbaum im Schloßgarten zu Pillnitz}} :* [https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Korrekturen_des_Monats Korrekturen des Monats] @Wikisource :* ... In den Gartenlaube-Artikelseiten auf die in den Texten eingebetteten blauen Seitenzahlen klicken: Korrekturen/ Bearbeitungen finden immer auf den Text-"Quell-"seiten statt, die die un- bzw. erstkorrigierte OCR-Artikeltexte der gescannten Zeitungsseiten enthalten. Schließlich, nach der Bearbeitung, bitte am unteren Rand des Editors GELB (korrigiert) oder GRÜN (zweitkorrigiert/fertig) klicken für den ggf. neuen (veränderten) Seitenstatus. == ''Call a DatenlaubeJam!'' == Beratung zu Themen aus und in ''Die Gartenlaube'', ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken/ 1Lib1Nearby]'', ''[https://www.stadtwikidd.de/wiki/Linked_Open_Storytelling Linked Open Storytelling]'' kann man "buchen". Einzelne Jahrgänge [https://de.wikisource.org/wiki/Die_Gartenlaube_(1868) zwischen 1853 und 1899], [https://de.wikisource.org/wiki/Schule Themen]- und [https://de.wikisource.org/wiki/Rudolf_Lavant Autorinnenseiten] sind alternative Einstiege in den wachsenden Datenberg (der eine*n anfangs etwas überfordern kann). [[Datei:Oscifant.svg|mini|Open Science Elefant, ''Oscifant'', inoffizielles Maskotchen (Q105582980) des ''Open Science Fellows'' Programms]] == #DatenlaubeJam == Jens arbeitet in der [https://www.slub-dresden.de/open-science/citizen-science/ SLUB Dresden], Christian in Luzern, Matthias in Dresden. Unser Ziel ist es beim ''DatenlaubeJam'' ins Gespräch zu kommen, Fragen zu beantworten, Wissen zu teilen ... Treffpunkt: Dienstag, circa 8:15 Uhr, '''https://meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam''' ist der Link zum Seminarraum == OER, Dokumentationen, Gastbeiträge == [[File:Wikipedia20 animated Wikiversity.gif|thumb|Wikipedia20 animated Wikiversity]] * [https://textlab.hypotheses.org/tag/wikidata textlab.hypotheses.org/tag/wikidata] * ''[https://saxorum.hypotheses.org/2396 Sachsens arboreale Merkwürdigkeiten, oder: Wie man Geschichte(n) verwurzelt]'' * https://saxorum.hypotheses.org/tag/wikidata * https://diedatenlaube.github.io/ == ''Die Gartenlaube'' in Wikidata == [https://diedatenlaube.github.io/ ''Die Datenlaube''] ist ein Citizen Science-Projekt: Wir erschließen die ''Die Gartenlaube'' bibliografisch von 1853 bis 1899 in Wikisource mittels Wikidata, um mit Abfragen Visualisierungen und weitere Forschung zu ermöglichen: Digital Humanities. {{Wikisource|Die Gartenlaube}} {{Wikisource|Wikisource:Wikidata}} == Kurse, Projekte und Schriften in der Wikiversity == * [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)]] * [[Kurs:Linked Open Data (Uni Potsdam, 2021)]] * [[Kurs:Partizipative Transkriptionsprojekte (DieDatenlaube)]], 29. Oktober 2021 * [[Projekt:Digitale Heimatforschung (innoX2021)]] * [[DieDatenlaube/pm4dh abstract|Projekt- und Community-Management im Digitalen – was bewirken, mit echten Menschen im Wikiversum]], Abstract 2022 * [[DieDatenlaube/LIBREAS Grassroots Open Access|LIBREAS: Grassroots Open Access]], Preprint Oktober 2023 ([https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=DieDatenlaube/LIBREAS_Grassroots_Open_Access&diff=prev&oldid=898053 Abstract Juni 2023]) == Literatur == <gallery> Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|mini|Wikidata-Broschüre, 2019 Metadata roundtripping of GLAM data with Wikidata and Wikimedia Commons.png|mini|Metadata roundtripping of GLAM data with Wikidata and Wikimedia Commons 1Lib1Nearby.jpg|mini|1Lib1Nearby </gallery> Wir knüpfen an: an [[WikiCafe]] und [[WikiLunch]] im Frühjahr diesen Jahres. [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Digital Humanities]] [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Fachbereich_Geschichte]] 318aa0wbw9fvz3ehub503suj70a0fuf 0 128943 1078313 1078055 2026-04-27T17:40:11Z A. Wagner 16035 /* April */ + Karte 1078313 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] gw5r2jaeajo9qzb4ssejdzc56w2nt2d 1078350 1078313 2026-04-28T09:44:39Z Jeb 26942 /* April */ Die Krankenpflege 1876.pdf 1078350 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 61lzdg22v9whxohst1j19yl98gj2wci 2 148073 1078319 879467 2026-04-27T22:33:50Z CommonsDelinker 1336 Removing [[:c:File:Mattdenaro.jpg|Mattdenaro.jpg]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Josve05a|Josve05a]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/File:Mattdenaro.jpg|]]. 1078319 wikitext text/x-wiki Die Einleitung beinhaltet anfangs das '''Lemma''', das einmalig fett formatiert ist. Der Artikel sollte in 3 bis 4 Sätzen die wichtigsten Inhalte zusammenfassen. Matteo Messina ist ein mutmaßlicher italienischer Mafiaboss. <ref name=":0">{{Internetquelle |autor=Redaktion Stern |url=https://www.stern.de/panorama/stern-crime/italien--meistgesuchter-mafiaboss-gefasst---aus-privatklinik-abgefuehrt--video--33103926.html |titel=Direkt aus der Privatklinik: Hier wird Italiens meistgesuchter Mafiaboss abgeführt |abruf=16.01.2023 |sprache=16.01.2023}}</ref> == Matteo Messina Denar == [[Matteo Messina Denar]] ist der sizilianischen Mafiaboss. Sein Spitzname ist ''U siccu'' (sizilianisch für „der Dürre“), er wird auch ''[https://www.wortbedeutung.info/Diabolik/ Diabolik]'' oder ''Rolex'' genannt. <ref name=":0" /><ref>{{Internetquelle |autor=Tim Farin |url=https://www.stern.de/panorama/stern-crime/the-world-s-most-wanted--diabolik----der-kranke-killer-3754526.html |titel="Diabolik" - der kranke Killer |datum=22.08.2008 |abruf=16.01.2023}}</ref> == Cosa Nostra == == Italienische Mafia == == Weblinks == [https://www.wortbedeutung.info/Diabolik/ Wortbedeutung Diabolik] == Einzelnachweise == <references /> k1ol922efc0ul57cqys4ua6b5l9awg9 106 168181 1078247 1078196 2026-04-27T12:40:34Z Paul Sutermeister 37610 1078247 wikitext text/x-wiki Weil der Kurs mit Arbeitszeiten der teilnehmenden zusammenfällt, können die Kursinhalte asynchron, das heisst: nicht präsentiell, gelernt werden. Es gibt keinen Test, das Fach ist nicht diplomrelevant. Aber bei Nichtabsolvieren gibt es kein Minerva-Zertifikat "Künstliche Intelligenz". Angeraten wird der Besuch präsenziell an den beiden Kurstagen 08:00-15:00 (8 Lektionen). Bei Abwesenheit müssen online gegebene Aufträge erfüllt werden. {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | 29. Juni | 7 | Marketing |- | 29. Juni | 8 | Automatisieren |- | Asynchron | 9 | Kundendienst |- | Asynchron | 10 | Buchhaltung |- | Asynchron | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | Asynchron | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] c4oxi52mccv2f8tztpavewztzd67w2n 1078258 1078247 2026-04-27T13:04:11Z Paul Sutermeister 37610 1078258 wikitext text/x-wiki Weil der Kurs mit Arbeitszeiten der teilnehmenden zusammenfällt, können die Kursinhalte asynchron, das heisst: nicht präsentiell, gelernt werden. Es gibt keinen Test, das Fach ist nicht diplomrelevant. Aber bei Nichtabsolvieren gibt es kein Minerva-Zertifikat "Künstliche Intelligenz". Angeraten wird der Besuch präsenziell an den beiden Kurstagen 08:00-13:00 (6 Lektionen). Bei Abwesenheit müssen online gegebene Aufträge erfüllt werden. {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | Asynchron | 7 | Marketing |- | Asynchron | 8 | Automatisieren |- | Asynchron | 9 | Kundendienst |- | Asynchron | 10 | Buchhaltung |- | Asynchron | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | Asynchron | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] rupvb0gl2k4vxpv2b1h7co3zh126c33 1078259 1078258 2026-04-27T13:04:52Z Paul Sutermeister 37610 1078259 wikitext text/x-wiki Weil der Kurs mit Arbeitszeiten der Teilnehmenden zusammenfällt, können die Kursinhalte asynchron, das heisst: nicht präsentiell, gelernt werden. Es gibt keinen Test, das Fach ist nicht diplomrelevant. Aber bei Nichtabsolvieren gibt es kein Minerva-Zertifikat "Künstliche Intelligenz". Angeraten wird der Besuch präsenziell am gesamten Kurstag (6 Lektionen). Bei Abwesenheit müssen online gegebene Aufträge erfüllt werden. {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | Asynchron | 7 | Marketing |- | Asynchron | 8 | Automatisieren |- | Asynchron | 9 | Kundendienst |- | Asynchron | 10 | Buchhaltung |- | Asynchron | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | Asynchron | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] 83xipx7llgntdr3z3xid7r93nhhm9be 106 168362 1078250 1076104 2026-04-27T12:41:35Z Paul Sutermeister 37610 1078250 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Office Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 20.</ref> und auf dem [[:w:International Certification of Digital Literacy|ECDL]]-Syllabus.<ref>Für Word, Excel, Computer- und Online-Grundlagen: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/Downloads/Syllabus_Standard_web.pdf ''ECDL Standard Syllabus'']. Für PowerPoint: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> Die ECDL-Tests '''Textverarbeitung (= Word)''', '''Tabellenkalkulation (= Excel)''' und '''Präsentation (= PowerPoint)''' werden absolviert. Wichtige Lehrmittel (neben [[:Kategorie:Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)|Wikiversity-Seiten]]) sind die Website easy4me.info der [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichischen Computer Gesellschaft]]<ref>[https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]]</ref> und die [[:w:Herdt-Verlag|Herdt]]-Bände 2<ref>''Office Skills Word 2019 – Schriftliche Kommunikation Handelsdiplom VSH 2/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-072-5</ref> und 3<ref>''Office Skills Excel 2019 – PowerPoint 2019 Handelsdiplom VSH 3/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-071-8</ref>. <small>(kleine Programmänderungen vorbehalten)</small> {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 9.-12. Februar 2026</br>[[Datei:Microsoft_Office_Word_(2025–present).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:Textverarbeitung|A - Textverarbeitung (Programm bedienen)]]''':</br>'''[[Kurs:Textverarbeitung/Text|B - Grundlegende Techniken (Text eingeben)]]'''</br>[[Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)/Textformatierung|Zeichenformatierung]] | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 14-41 |- | 16.-19. Februar | '''[[Kurs:Textverarbeitung/Formatierung|C - Text übersichtlich machen]]'''</br>Absätze formatieren</br>Tabulatoren</br>Dokumente gestalten | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 42-70 |- | 23.-26. Februar | '''[[Kurs:Textverarbeitung/Objekt|D - Bilder und Tabellen einfügen]]'''</br>Abbildungen einfügen</br>Mit Tabellen / Objekten arbeiten</br>'''Korrespondenz''': Regelkonforme Dokumentdarstellung</br>Gängiger Geschäftsverkehr – Einleitung, Anfrage, Angebot/Offerte usw. | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 71-90 und Seiten 122-183 |- | 2.-5. März | '''[[Kurs:Textverarbeitung/Serie|E - Eine Serie machen]]'''</br>'''[[Kurs:Textverarbeitung/Ausgabe|F - Druckfertig machen]]'''</br>Kopf- und Fusszeile</br>Korrekturhilfen</br><!--Korrespondenz: Stilregeln--> | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 91-108 |- | 9.-12. März | Verweise, Gesamtrepetition, alte Diplomprüfungen Teil Textverarbeitung | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 109-113 |- | 16.-19. März | <span style="color:red;">'''ECDL Textverarbeitung'''</span> | easy4me</br> |- | 23.-26. März</br>[[Datei:Microsoft_Office_Excel_(2025–present).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:Tabellenkalkulation|A - Tabellenkalkulation (Programm bedienen)]]'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zellen]]''' formatieren, mit Formeln arbeiten</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]]''': ausfüllen, kopieren und verschieben | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 16-67</br>[https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten], [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente] |- | 30. März - 2. April | '''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Funktionen]]''' | [https://zenodo.org/records/15033093 SUMME, MITTELWERT], [https://zenodo.org/records/18051993 MAX, MIN], WENN (easy4me), [https://zenodo.org/records/15298974 ANZAHL, ZÄHLENWENN]</br>Herdt 3/3, Seiten 72-82 |- | 20.-23. April | '''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Formatierung]]'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]]''' erstellen und gestalten.</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Veröffentlichen]]'''</br>Bonus: Zeitberechnungen durchführen. | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 83-100</br>[https://zenodo.org/records/18144586 Diagramm] |- | 27.-30. April | Alte Diplomprüfungen Teil Tabellenkalkulation | easy4me</br> |- | 4.-7. Mai | <span style="color:red;">'''ECDL Tabellenkalkulation'''</span> | easy4me</br> |- | 11. Mai</br>[[Datei:Microsoft_Office_PowerPoint_(2025–present).svg|frameless|50px]] | [[:w:Microsoft PowerPoint|Präsentation]]</br>Einstieg in die Folienbearbeitung</br>Folienmaster, Tabellen in PowerPoint, WordArt, Bilder und AV-Medien | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 129-178</br> |- | 18.-21. Mai | Folienübergänge, Animationen, Kopf- und Fusszeile | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 179-185</br> |- | 1.-4. Juni | Alte Diplomprüfungen Teil Präsentation | easy4me</br> |- | 8.-11. Juni | <span style="color:red;">'''ECDL Präsentation'''</span> | easy4me</br> |- | 15.-19. Juni | Alte Diplomprüfungen | easy4me</br> |- | 22.-25. Juni | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> | |- | 29. Juni und Teil Asynchron | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] insgesamt 12 Lektionen | |} = Lehrmittel = * [https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]] * ''Office Skills Word 2019 – Schriftliche Kommunikation Handelsdiplom VSH 2/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-072-5 * ''Office Skills Excel 2019 – PowerPoint 2019 Handelsdiplom VSH 3/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-071-8 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 5xl5ehw0li00t0pbcvjelz85ja81w50 106 168671 1078333 1078154 2026-04-28T07:20:19Z Bocardodarapti 2041 1078333 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Permutation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Inverses Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfungen/Monoid/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ring/Über Halbring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linkseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linksvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtsvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Reflexiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Transitiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Symmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Antisymmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition|| }} <!-- {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Beschränkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Komplementär/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Distributiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Boolesch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Äquivalenzrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multinomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Lineare Rekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matrixrekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Folge/C/Erzeugende Funktion/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Ungerichtet/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Pfad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Blatt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Regulär/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Homogen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Weg/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Durchmesser/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Exzentrizität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Wald/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Baum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Basis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Rang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Aufspannender Wald/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multigraph/Ungerichtet/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Inzidenzmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multigraph/Laplace-Matrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Knotenteilmenge/Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Bipartiter Graph/Teilmenge/Paarungsbedingung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Hamiltonkreis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Hamiltonsch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Eulersch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Kantendisjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Zulässig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Chromatische Zahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Planar/Definition|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> 650hgolfsf4a0oq2ef9v5kyv3d3hfq3 106 168673 1078334 1077827 2026-04-28T07:20:41Z Bocardodarapti 2041 1078334 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Permutationen/Fixpunktfrei/Asymptotisches Verhalten/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ }} {{ inputfaktklappe |Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} <!-- {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Aufgabe|| }} {{ inputfaktklappe |Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Lineare Rekursion/C/Lösung/Explizite Darstellung/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Vier Farben/Fakt|Satz|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> ox5ysgz047puwb5yrhkhvea5okaogqz 106 169124 1078336 1071914 2026-04-28T07:23:32Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1078336 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|7|3|Kurs=|}} qu7d75avkuq8gom2t2pp8aq22vdcq5k 106 170021 1078268 1078238 2026-04-27T13:18:12Z Bert Niehaus 20843 /* W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078268 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(W1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g1g8xhtii7tnzse6fantk8gjrjpih7n 106 170032 1078347 1077636 2026-04-28T08:30:45Z Bert Niehaus 20843 /* Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt */ 1078347 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(G))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m5zhszcs287an4jl2tjgaf0d22rjcbu 1078348 1078347 2026-04-28T08:50:58Z ~2026-25802-87 41534 /* Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche */ 1078348 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(G))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cud0sqju87l7bvw2wpdzwybzhetqalp 106 170056 1078335 1077850 2026-04-28T07:22:53Z Bocardodarapti 2041 1078335 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=5 |von1=36 |bis1=41 |Blatt2=6 |von2=33 |bis2=39 |}} [[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]] ebn45pn3gv16z2izyd2dwm2aqaa23iv 0 170171 1078339 1078022 2026-04-28T08:00:11Z C.Koltzenburg 13981 1078339 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] = Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen = == nur Stichworte (Blatt 1) == [VN NN] <br /> Sina Gowitz <br /> [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 <br /> [Gewicht] <br /> 80 kg <br /> [Größe] <br /> 184 cm <br /> [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] <br /> Nikotin: <br /> Nichtraucherin C2: <br /> | trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> [+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I] Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert <br /> [+ Verb im Konjunktiv I] [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> [FA] <br /> Mutter: Herzinsuffizienz <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) <br /> <-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil <br /> ab hier --> == Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) == '''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).''''' === 1. Satz (oder 1-3 Sätze) === ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. === darauffolgende Abschnitte === [BS] <br /> | Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] <br /> | Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] <br /> | Begleitend besteht: [+ Nominativ] <br /> | Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. <br /> | Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] <br /> [VA] <br /> | In der VA bestehen ... <br /> | In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... <br /> | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. <br /> | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. <br /> [VE/VO] <br /> | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: <br /> | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: <br /> (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) <br /> | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: <br /> Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. <br /> | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren. <br /> | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... <br /> | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. <br /> | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). <br /> [Med] <br /> | Die Anamnese der Medikation ergab: <br /> | Die Medikation besteht aus <br /> Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen. [VD] <br /> | Meine VD lautet: akute Appendizitis. <br /> | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. <br /> | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. <br /> [DD] <br /> | An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: <br /> Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] <br /> | Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: <br /> | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: <br /> körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] <br /> | Therapeutisch empfehle ich: <br /> | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: <br /> | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: <br /> | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: <br /> laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. e84iq2por2al1vcdhwrdfd9hrvd7ssh 106 170210 1078324 1077719 2026-04-28T06:33:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte */ 1078324 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6robat7d2miwy1qcrxv7bkzqojrpwl2 1078325 1078324 2026-04-28T06:35:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals */ 1078325 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 23n4oa58adzecjy2vz0cyl22ci4d3yk 1078349 1078325 2026-04-28T09:40:36Z ~2026-25802-87 41534 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1078349 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=z_3-z_1\in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pjil5mywzjkmasw2uhbec18syuq98p5 0 170269 1078252 1078218 2026-04-27T12:55:06Z Bocardodarapti 2041 1078252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | VW || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d23ene2ncwvw9ubbc0ae6m8qx7eoe5g 1078297 1078252 2026-04-27T14:41:46Z Bocardodarapti 2041 1078297 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | VW || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Die beiden Punkte {{mathl|term= (\pm1 ,0,0) |SZ=}} erfüllen die drei Gleichungen, aber nicht die allererste Gleichung in {{math|term= x,v |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (\pm 1)^4-4(\pm 1)^2- {{makl| -2 |}}^3 -6 {{makl| -2 |}}^2 -9 {{makl| -2 |}} || 1-4 + 8 - 24 +18 || -1 | \neq | 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1v76wdewnnosgq71ksfif5q2ay2arqs 1078306 1078297 2026-04-27T15:25:41Z Bocardodarapti 2041 1078306 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || x+ {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} |w}} || || |SZ=. }} Man kann also {{math|term= t |SZ=}} auf der Kurve mit Nennern {{mathl|term= x^2-1,v,w |SZ=}} schreiben. In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | VW || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Die beiden Punkte {{mathl|term= (\pm1 ,0,0) |SZ=}} erfüllen die drei Gleichungen, aber nicht die allererste Gleichung in {{math|term= x,v |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (\pm 1)^4-4(\pm 1)^2- {{makl| -2 |}}^3 -6 {{makl| -2 |}}^2 -9 {{makl| -2 |}} || 1-4 + 8 - 24 +18 || -1 | \neq | 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1wtum3fb5e3q23vbcvvmtairldob2jk 1078311 1078306 2026-04-27T17:13:57Z Bocardodarapti 2041 1078311 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette/align/netzlinks | x^4-4x^2 - {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x^2 - 3 {{makl| x^2-1 |}} -3 - {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^3 -6 {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^2 -9 {{makl| x^2-1 -v-2 |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} {{makl| |}} + v {{makl| |}} -3 +8 -24 +18 || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} {{makl| |}} + v {{makl| |}} - 1 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} smtewqydw9sxdc6jtcirqdhxzgbbrga 1078314 1078311 2026-04-27T17:57:57Z Bocardodarapti 2041 1078314 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^3 || {{makl| x^2-1 |}}^3-v^3 -8 - 3 {{makl| x^2-1 |}}^2v +3 {{makl| x^2-1 |}}v^2 -6{{makl| x^2-1 |}}^2 +12{{makl| x^2-1 |}} -6v^2-12v +12 {{makl| x^2-1 |}} v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 |}} -v {{makl| v^2 +6v +12 |}} -8 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^2 || {{makl| x^2-1 |}}^2 +v^2 +4 -2 {{makl| x^2-1 |}} v -4 {{makl| x^2-1 |}} +4v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 |}} +v {{makl| v+4 |}} +4 || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette/align/netzlinks | x^4-4x^2 - {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x^2 - 3 {{makl| x^2-1 |}} -3 - {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^3 -6 {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^2 -9 {{makl| x^2-1 -v-2 |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T -3 +8 -24 +18 || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T - 1 |SZ= }} mit {{ Relationskette/align | S || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 + {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 -9 || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | T || -v^2 -6v -12 + v+4 +9 || -v^2 -5v +1 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jnu1a2vpz0psgg4uas9wta16pp8f6no 106 170270 1078240 2026-04-27T12:30:58Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078240 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Integrationsweg]] 741ehgcsmguutf85ds5d7sz0yy3hh6j 1078241 1078240 2026-04-27T12:31:27Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078241 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] kz6o3ywuhte517fuj7xrdjiup45f2ro 1078244 1078241 2026-04-27T12:36:02Z Bert Niehaus 20843 /* Konvexkombination 1. Ordnung */ 1078244 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: == Siehe auch == * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] 4nnylosdwy0icimawrl8tj4c55l1fs7 1078245 1078244 2026-04-27T12:36:23Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078245 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] hljvkmx5hmo0eqdk0la0a10iddu58bw 1078246 1078245 2026-04-27T12:38:59Z Bert Niehaus 20843 /* Konvexkombinationen n-ter Ordnung */ 1078246 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] r3i6m3yv88t3hi62frxzfbcjhly2q4z 1078249 1078246 2026-04-27T12:40:57Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg */ 1078249 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] onf3qne407oiu2jvx7b21kbekjpvy1g 1078251 1078249 2026-04-27T12:52:18Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078251 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich als Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]) === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] l1fn8utzd5tdfmovx948eccnmku7bxu 1078253 1078251 2026-04-27T12:56:19Z Bert Niehaus 20843 /* Kreise und Ellipsen */ 1078253 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] 27f0mu3g7jxvq440xo0f1a88ly7u5z5 1078254 1078253 2026-04-27T12:57:33Z Bert Niehaus 20843 /* Wegintegral über Rand von Ellipsen */ 1078254 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] o5dfzb7r8vhy3niu0seda52xvula7g1 1078255 1078254 2026-04-27T13:00:42Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Halbachsen */ 1078255 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar: [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|350px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] kp0y9sqr65r3lnumr166p3c2t5ip3me 1078256 1078255 2026-04-27T13:01:07Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Halbachsen */ 1078256 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar: [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] ekzrlpmdplyhh7380z5pzrwwr6decjy 1078257 1078256 2026-04-27T13:02:38Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Halbachsen */ 1078257 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich Ellipsen wie folgt darstellen: == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] miq48pb5wcwhsrnpctb9p4zdz9cd61b 1078260 1078257 2026-04-27T13:06:50Z Bert Niehaus 20843 /* Fläche in den komplexen Zahlen */ 1078260 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen <math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)}</math> mit <math>a,b > 0</math> und <math>z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}</math> wie folgt darstellen: :<math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)} := \left\{ x+iy \in \mathbb{C} \, \colon \, \left(\frac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\frac{y-y_0}{b}\right)^2 \leq 1 \right\} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] s3up9gsc2hip7bok9rfn05nrvui1so7 1078261 1078260 2026-04-27T13:07:11Z Bert Niehaus 20843 /* Fläche in den komplexen Zahlen */ 1078261 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen <math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)}</math> mit <math>a,b > 0</math> und <math>z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}</math> wie folgt darstellen: :<math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)} := \left\{ x+iy \in \mathbb{C} \, \colon \, \left(\tfrac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\tfrac{y-y_0}{b}\right)^2 \leq 1 \right\} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] rpn9yjchzez4wrat85cqtiaq1gmsr1e 1078262 1078261 2026-04-27T13:14:06Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078262 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen <math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)}</math> mit <math>a,b > 0</math> und <math>z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}</math> wie folgt darstellen: :<math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)} := \left\{ x+iy \in \mathbb{C} \, \colon \, \left(\tfrac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\tfrac{y-y_0}{b}\right)^2 \leq 1 \right\} </math> == Fazit == Alle bisher in der Funktionentheorie verwendet Wege besitzen eine holomorphe Forsetzung auf ein Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> und waren sogar ganze Funktionen. Wählt man eine beliebigen '''stetigen Integrationsweg''' <math>\gamma</math>, so unterscheidet sich das Wegintegral im Vergleich zu einem '''holomorphen Integrationsweg''' <math>\widehat{\gamma\,} </math> nach dem Cauchy-Integralsatz nicht, wenn Anfangs- und Endpunkt von <math>\gamma</math> und <math>\widehat{\gamma\,} </math> übereinstimmen. == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] 04kmne1l10tz06wpflmuozj29qaly2d 1078263 1078262 2026-04-27T13:14:26Z Bert Niehaus 20843 /* Fazit */ 1078263 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen <math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)}</math> mit <math>a,b > 0</math> und <math>z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}</math> wie folgt darstellen: :<math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)} := \left\{ x+iy \in \mathbb{C} \, \colon \, \left(\tfrac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\tfrac{y-y_0}{b}\right)^2 \leq 1 \right\} </math> == Fazit == Alle bisher in der Funktionentheorie verwendet Wege besitzen eine holomorphe Forsetzung auf ein Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> und waren sogar ganze Funktionen. Wählt man eine beliebigen ''stetigen Integrationsweg'' <math>\gamma</math>, so unterscheidet sich das Wegintegral im Vergleich zu einem ''holomorphen Integrationsweg'' <math>\widehat{\gamma\,} </math> nach dem Cauchy-Integralsatz nicht, wenn Anfangs- und Endpunkt von <math>\gamma</math> und <math>\widehat{\gamma\,} </math> übereinstimmen. == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] al32rrq73yr3skr9bmxxluhzh3abudb 1078264 1078263 2026-04-27T13:14:52Z Bert Niehaus 20843 /* Fazit */ 1078264 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen <math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)}</math> mit <math>a,b > 0</math> und <math>z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}</math> wie folgt darstellen: :<math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)} := \left\{ x+iy \in \mathbb{C} \, \colon \, \left(\tfrac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\tfrac{y-y_0}{b}\right)^2 \leq 1 \right\} </math> == Fazit == Alle bisher in der Funktionentheorie verwendet Wege besitzen eine holomorphe Forsetzung auf ein Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> und waren sogar ganze Funktionen. Wählt man eine beliebigen ''stetigen Integrationsweg'' <math>\gamma</math>, so unterscheidet sich das Wegintegral im Vergleich zu einem ''holomorphen Integrationsweg'' <math>\widehat{\gamma\,} </math> nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] nicht, wenn Anfangs- und Endpunkt von <math>\gamma</math> und <math>\widehat{\gamma\,} </math> übereinstimmen. == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] plbc49w22vtulge1wk9otebs6idzaw1 1078265 1078264 2026-04-27T13:15:04Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078265 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen <math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)}</math> mit <math>a,b > 0</math> und <math>z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}</math> wie folgt darstellen: :<math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)} := \left\{ x+iy \in \mathbb{C} \, \colon \, \left(\tfrac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\tfrac{y-y_0}{b}\right)^2 \leq 1 \right\} </math> == Fazit == Alle bisher in der Funktionentheorie verwendet Wege besitzen eine holomorphe Forsetzung auf ein Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> und waren sogar ganze Funktionen. Wählt man eine beliebigen ''stetigen Integrationsweg'' <math>\gamma</math>, so unterscheidet sich das Wegintegral im Vergleich zu einem ''holomorphen Integrationsweg'' <math>\widehat{\gamma\,} </math> nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] nicht, wenn Anfangs- und Endpunkt von <math>\gamma</math> und <math>\widehat{\gamma\,} </math> übereinstimmen. == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Cauchy-Integralsatz]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] tfnjtzsv8e38xw9yrgupqtsarrgenvx 1078266 1078265 2026-04-27T13:15:44Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078266 wikitext text/x-wiki == Ziel der Lerneinheit == Ziel der Lerneinheit ist, spezielle Integrationswege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> zu betrachten, die eine reellwertige Auswertung eine holomorphen Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset G</math> darstellen. === Bemerkung - Holomorphie - Integrationsweg === Jeder holomorphe Funktion <math>\gamma_{_G} : G \to \mathbb{C}</math> auf dem Gebiet <math>G</math> liefert durch Einschränkung auf <math>[a,b]\subset G</math> eine stetig differenzierbare Abbildung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> und damit einen Integrationsweg. Die Umkehrung gilt, wenn <math>\gamma</math> reelle analytisch ist (d.h. sich auf <math>[a,b]\subset G</math> in eine Potenzreihe entwickeln lässt). == Konvexkombinationen als holomorphe Wege == [[Konvexkombination]]en der Ordnung <math>n</math> lassen über Bernsteinpolynome als Polynome vom Grad <math>n</math> darstellen und sind damit nicht nur holomorph, sondern <math>\gamma_{_G}</math> ist damit sogar eine ganze Funktion mit <math>G=\mathbb{C}</math>. === Konvexkombination 1. Ordnung === Man kann die Konvexkombination 1. Ordnung als Polynom 1. Ordnung ([[affine Abbildung]]) darstellen: :<math> \gamma(t):= (1-t)z_0 +tz_1 = z_0 + (z_1-z_0)\cdot t </math> Mit <math>\gamma_{_G}(z) := z_0 + (z_1-z_0)\cdot z</math> erhält man ein Polynom vom Grad 1 als holomorphe Fortsetzung von <math>\gamma:[0,1]\to \mathbb{C} </math> auf <math>\gamma_{_G}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>. === Konvexkombinationen n-ter Ordnung === Konvexkombinationen <math>n</math>-ter Ordnung und den Vektoren <math>z_0, \ldots , z_n \in \mathbb{C}</math> lassen sich wie folgt, als Polynom der Ordnung <math>n</math> schreiben: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma: & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} (1-t)^{n-k}\cdot t^k \cdot z_{k} \\ & & & = {n\choose 0} (1-t)^{n} z_0 + {n\choose 1} (1-t)^{n-1}t z_1 + \ldots + {n\choose n} t^n z_n \end{array} </math> == Kreise und Ellipsen == In der Funktionentheorie wurden [[Wegintegral|Wegintegrale]] über den Kreisrand z.B. in der [[Cauchy-Integralformel]]. Für Kreisränder <math>\partial D_r(z_0)</math> und Ränder von Ellipsen <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> mit <math>a,b > 0</math> erhält holomorphe Fortsetzung, die sich zwar nicht mehr als Polynome aber als [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktionen]] über Potenzreihen darstellen lassen (siehe [[Holomorphiekriterien]]). === Wegintegral über Kreisrand === Die Integrationswege über den Rand einer Kreisscheibe <math>\partial D_r(z_0)</math> wurde über den folgenden Integrationsweg definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + r\cdot e^{it} \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + r\cdot e^{iz} \end{array} </math> === Wegintegral über Rand von Ellipsen === Die Integrationswege über den Rand einer Ellipse <math>\partial E_{(a,b)}(z_0)</math> lässt analog zum Kreisrand wie folgt als Integrationsweg definieren: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 + a\cdot \cos (t) + i \cdot b \cdot \sin(t) \end{array} </math> Auch in diesem Fall gibt es eine holomorphe Fortsetzung des Integrationsweges auf <math>\mathbb{C}</math> mit: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(t) = z_0 + a\cdot \cos (z) + i \cdot b \cdot \sin(z) \end{array} </math> ==== Bemerkung - Halbachsen ==== Die reellen Zahlen <math>a,b > 0</math> stellen die Halbachsen der [[w:de:Ellipse|Ellipse]] dar. [[Datei:Pythagorean theorem ellipse eccentricity.svg|200px|zentriert|Halbachsen der Ellipse]] ==== Fläche in den komplexen Zahlen ==== Als Menge in den komplexen Zahlen lassen sich abgeschlossene Ellipsen <math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)}</math> mit <math>a,b > 0</math> und <math>z_0 = x_0 + iy_0 \in \mathbb{C}</math> wie folgt darstellen: :<math> \overline{E_{(a,b)}(z_0)} := \left\{ x+iy \in \mathbb{C} \, \colon \, \left(\tfrac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left(\tfrac{y-y_0}{b}\right)^2 \leq 1 \right\} </math> == Fazit == Alle bisher in der Funktionentheorie verwendet Wege besitzen eine holomorphe Forsetzung auf ein Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math> und waren sogar ganze Funktionen. Wählt man eine beliebigen ''stetigen Integrationsweg'' <math>\gamma</math>, so unterscheidet sich das Wegintegral im Vergleich zu einem ''holomorphen Integrationsweg'' <math>\widehat{\gamma\,} </math> nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] nicht, wenn Anfangs- und Endpunkt von <math>\gamma</math> und <math>\widehat{\gamma\,} </math> übereinstimmen. == Siehe auch == * [[w:de:Bernsteinpolynom|Bernsteinpolynom]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Cauchy-Integralsatz]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Integrationsweg]] * [[Konvexkombination]] * [[Randwegintegral für Dreiecke]] * [[Randwegintegral für Vierecke]] 4nqv1qt8anbzyskc3i9a729gn0qpcp8 0 170271 1078267 2026-04-27T13:16:58Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W2]] erstellt 1078267 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma_für_Rechteckintegrale#W2]] r9zqqfs5rvcskqi3k922i2m8n6mckkm 106 170272 1078271 2026-04-27T13:27:26Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078271 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. 7fa216bxciwqkyrnyqdoyht2vlhpvj2 1078272 1078271 2026-04-27T13:28:15Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078272 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] 14w387ibg1fsjcqpga3ase15h913b95 106 170273 1078274 2026-04-27T13:38:09Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078274 wikitext text/x-wiki == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe 1 == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. 6zba1imqrudastq48wxibj005kcg4o2 1078275 1078274 2026-04-27T13:38:48Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 */ 1078275 wikitext text/x-wiki == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Siehe auch == * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] m1lhrlky2inyzo58h4uzbhnl8cketyr 1078276 1078275 2026-04-27T13:39:50Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078276 wikitext text/x-wiki == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] lgawez7po34nvdtt0hgbnuleckojobo 1078277 1078276 2026-04-27T13:40:43Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1078277 wikitext text/x-wiki == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] hr8kpcwsq7zlxbxaccd0ln8ohr10wpz 1078281 1078277 2026-04-27T13:52:41Z Bert Niehaus 20843 /* Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078281 wikitext text/x-wiki == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] fdvwcgvyln4as338rdtrvwb5err9rpc 1078282 1078281 2026-04-27T13:52:56Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078282 wikitext text/x-wiki == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] bnvt7f9pk44v2zrihj74o4tkgtdsnpn 1078283 1078282 2026-04-27T14:02:03Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Nullmenge */ 1078283 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ov47xkkp3mndf34plq6zxsl11m42wcu 1078320 1078283 2026-04-28T06:22:52Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078320 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \geq 0 </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] dj9bm448dz2vpilw0rsfnobi0hubdz3 1078321 1078320 2026-04-28T06:23:16Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078321 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> p=== Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] myipehi7m0dv1pd88d1f1ssqxfxau13 1078322 1078321 2026-04-28T06:23:40Z Bert Niehaus 20843 /* Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078322 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] 3hkam464cnaaoh3o963v9ayfnrl1ssr 1078323 1078322 2026-04-28T06:26:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078323 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 5jkqfs6gl1n5srvgu4xqv4y8wlf2i9w 0 170274 1078280 2026-04-27T13:42:12Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Stochastik/Nullmenge]] erstellt 1078280 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Stochastik/Nullmenge]] knz8qiz09tvbu9mohmlxv4ezuvrcwrn 106 170275 1078284 2026-04-27T14:05:48Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078284 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]] 4nivzu0toiaziy6mhti1cq1qb62jkdc 1078291 1078284 2026-04-27T14:23:57Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078291 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierender Randweg - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> 3xavbemvzsx0d8fiun9ov3jd2ta723j 1078292 1078291 2026-04-27T14:25:13Z Bert Niehaus 20843 /* Alternierender Randweg - Rechteck */ 1078292 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: 0gqd1x8uonvispxj3e672rv6b26pj59 1078293 1078292 2026-04-27T14:26:38Z Bert Niehaus 20843 /* Alternierendes Randwegintegral - Dreieck */ 1078293 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> 2hzxh77hx3pn39mmzqf2g1pjiral4u5 1078294 1078293 2026-04-27T14:37:04Z Bert Niehaus 20843 /* Alternierendes Randwegintegral - Dreieck */ 1078294 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } f(z) \, dz </math> gb8psrdy1z2ilsacnaa9hwomh6pc8c0 1078295 1078294 2026-04-27T14:38:12Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - alternierendes Randwegintegral */ 1078295 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> 7thcygkb3ga578lyl0szfwb6iljmydw 1078296 1078295 2026-04-27T14:40:59Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - alternierendes Randwegintegral */ 1078296 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> === Bemerkung 1 - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === j3bjwuysjnqtvr61flgoupceaaivhfh 1078298 1078296 2026-04-27T14:48:09Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - alternierendes Randwegintegral */ 1078298 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> === Bemerkung 1 - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> 4zxqtek7vbvagkjxbii6a4un81h21nr 1078299 1078298 2026-04-27T14:59:11Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung 1 - orientierte Flächenintegrale */ 1078299 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> bygpclkwccm756je40l6wa5dgrtnv5t 1078300 1078299 2026-04-27T15:01:21Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel */ 1078300 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = </math> q7cgul5ev0e91jrvtb8rq60ffske2p7 1078301 1078300 2026-04-27T15:02:08Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion */ 1078301 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> 3u3aopxl5iplzk4uq4aousq60o3r0q3 1078302 1078301 2026-04-27T15:03:16Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - alternierendes Randwegintegral */ 1078302 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! f(z) \, dz </math> javwssn02i0uzcznd1tq0jlxia78tdj 1078303 1078302 2026-04-27T15:04:16Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion */ 1078303 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k+1}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! (z) \, dz </math> 3rzjpxwuit2967jew6tgsqacv8nz1gf 1078304 1078303 2026-04-27T15:04:57Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - alternierendes Randwegintegral */ 1078304 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k+1}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k+1}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! (z) \, dz </math> mb27cdxjzr3fxay0ngchys72z4okdb7 1078305 1078304 2026-04-27T15:06:29Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion */ 1078305 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe : :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k+1}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k+1}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> hmc9xqw1nmrlbl23hqu7cqnrv3ik9ud 0 170276 1078285 2026-04-27T14:06:46Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W1]] erstellt 1078285 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W1]] 2hft6eww7umlhrx8h1m00fvxputfplz 1078286 1078285 2026-04-27T14:07:10Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitungsziel von [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W1]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W2]] geändert 1078286 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W2]] eiqm06l4tsf1g3rfdk0yfj49aefomym 106 170277 1078287 2026-04-27T14:10:30Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078287 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition eines alternierenden Randweges entsteht aus Analyse des Flächenintegrals über [[Randwegintegral über Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. s3ij1m7tt4lxbfk4exbog4l1awvh6if 0 170278 1078288 2026-04-27T14:11:04Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W2]] erstellt 1078288 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale#W2]] eiqm06l4tsf1g3rfdk0yfj49aefomym 0 170279 1078289 2026-04-27T14:11:57Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg]] erstellt 1078289 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg]] mrvuo3zfbpr9uxdcyebc1ty17dgq2ps 0 170280 1078310 2026-04-27T17:07:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078310 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || x+ {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} |w}} || || |SZ=. }} Man kann also {{math|term= t |SZ=}} auf der Kurve mit Nennern {{mathl|term= x^2-1,v,w |SZ=}} schreiben. In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | VW || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Die beiden Punkte {{mathl|term= (\pm1 ,0,0) |SZ=}} erfüllen die drei Gleichungen, aber nicht die allererste Gleichung in {{math|term= x,v |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (\pm 1)^4-4(\pm 1)^2- {{makl| -2 |}}^3 -6 {{makl| -2 |}}^2 -9 {{makl| -2 |}} || 1-4 + 8 - 24 +18 || -1 | \neq | 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ngq2mzbhf037qtk4s7xt6oij3c4u0ze 1078312 1078310 2026-04-27T17:29:02Z Bocardodarapti 2041 1078312 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Es sei {{math|term= H |SZ=}} die Gleichung aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel |Nr= |SZ=, }} wir schreiben sie wie dort als {{ Relationskette/display | vA+ {{makl| x^2-1 |}} B -1 || 0 || || || |SZ=. }} Insbesondere erzeugen {{ mathkor|term1= v |und|term2= x^2-1 |SZ= }} modulo dieser Gleichung das Einheitsideal. Modulo {{math|term= I,H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | t || t 1 || t {{makl| vA+ {{makl| x^2-1 |}} B |}} || t vA + t {{makl| x^2-1 |}} B || {{makl| x^3 -vx -2x |}} A + {{makl| w |}} B |SZ=. }} Weitere Gleichungen Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || x+ {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} |w}} || || |SZ=. }} Man kann also {{math|term= t |SZ=}} auf der Kurve mit Nennern {{mathl|term= x^2-1,v,w |SZ=}} schreiben. In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | VW || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Die beiden Punkte {{mathl|term= (\pm1 ,0,0) |SZ=}} erfüllen die drei Gleichungen, aber nicht die allererste Gleichung in {{math|term= x,v |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (\pm 1)^4-4(\pm 1)^2- {{makl| -2 |}}^3 -6 {{makl| -2 |}}^2 -9 {{makl| -2 |}} || 1-4 + 8 - 24 +18 || -1 | \neq | 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2tskjne3bq6m5l153s987uzqjipyxtc 1078315 1078312 2026-04-27T18:25:01Z Bocardodarapti 2041 1078315 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Es sei {{math|term= H |SZ=}} die Gleichung aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel |Nr= |SZ=, }} wir schreiben sie wie dort als {{ Relationskette/display | vA+ {{makl| x^2-1 |}} B -1 || 0 || || || |SZ=. }} Insbesondere erzeugen {{ mathkor|term1= v |und|term2= x^2-1 |SZ= }} modulo dieser Gleichung das Einheitsideal. Modulo {{math|term= I,H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | t || t 1 || t {{makl| vA+ {{makl| x^2-1 |}} B |}} || t vA + t {{makl| x^2-1 |}} B || {{makl| x^3 -vx -2x |}} A + {{makl| w |}} B |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || t^5-10t + {{makl| t^3-3t |}} {{makl| t^4-4t^2 |}} -3 {{makl| t^3-3t |}} || t^7 -6t^5+9t^3 -t || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | v || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align | x^3 -vx -2x || {{makl| t^3-3t |}} ^3 - {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}} {{makl| t^3-3t |}} -2 {{makl| t^3-3t |}} || t^7 -7 t^5 +13 t^3 -3t || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/align | A || x^2-3 +S || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | B || T || -v^2 -5v +1 || - {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}}^2 - 5 {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}} + 1 || - t^{12} - 49t^8 -169 t^4 -9 +14 t^{10} -26 t^8 + 182 t^6 + 6 t^6 -42t^4 + 78 t^2 -5 t^6 +35 t^4 -65 t^2 +16 || - t^{12} +14 t^{10} - 75t^8 + 183 t^6 - 176 t^4 + 13t^2 +7 |SZ=. }} Weitere Gleichungen Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || x+ {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} |w}} || || |SZ=. }} Man kann also {{math|term= t |SZ=}} auf der Kurve mit Nennern {{mathl|term= x^2-1,v,w |SZ=}} schreiben. In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | VW || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Die beiden Punkte {{mathl|term= (\pm1 ,0,0) |SZ=}} erfüllen die drei Gleichungen, aber nicht die allererste Gleichung in {{math|term= x,v |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (\pm 1)^4-4(\pm 1)^2- {{makl| -2 |}}^3 -6 {{makl| -2 |}}^2 -9 {{makl| -2 |}} || 1-4 + 8 - 24 +18 || -1 | \neq | 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} eez47y74b552o75eybfvxzkbhxbjgna 1078316 1078315 2026-04-27T18:39:32Z Bocardodarapti 2041 1078316 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Es sei {{math|term= H |SZ=}} die Gleichung aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel |Nr= |SZ=, }} wir schreiben sie wie dort als {{ Relationskette/display | vA+ {{makl| x^2-1 |}} B -1 || 0 || || || |SZ=. }} Insbesondere erzeugen {{ mathkor|term1= v |und|term2= x^2-1 |SZ= }} modulo dieser Gleichung das Einheitsideal. Modulo {{math|term= I,H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | t || t 1 || t {{makl| vA+ {{makl| x^2-1 |}} B |}} || t vA + t {{makl| x^2-1 |}} B || {{makl| x^3 -vx -2x |}} A + {{makl| w |}} B |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A || x^2-3 +S || x^2-3 + {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || T || -v^2-5v+1 || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | t || {{makl| x^3 -vx -2x |}} {{makl| x^2-3 + {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 |}} + {{makl| w |}} {{makl| -v^2-5v+1 |}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || t^5-10t + {{makl| t^3-3t |}} {{makl| t^4-4t^2 |}} -3 {{makl| t^3-3t |}} || t^7 -6t^5+9t^3 -t || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | v || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align | x^3 -vx -2x || {{makl| t^3-3t |}} ^3 - {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}} {{makl| t^3-3t |}} -2 {{makl| t^3-3t |}} || t^7 -7 t^5 +13 t^3 -3t || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/align | A || x^2-3 +S || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | B || T || -v^2 -5v +1 || - {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}}^2 - 5 {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}} + 1 || - t^{12} - 49t^8 -169 t^4 -9 +14 t^{10} -26 t^8 + 182 t^6 + 6 t^6 -42t^4 + 78 t^2 -5 t^6 +35 t^4 -65 t^2 +16 || - t^{12} +14 t^{10} - 75t^8 + 183 t^6 - 176 t^4 + 13t^2 +7 |SZ=. }} Weitere Gleichungen Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || x+ {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} |w}} || || |SZ=. }} Man kann also {{math|term= t |SZ=}} auf der Kurve mit Nennern {{mathl|term= x^2-1,v,w |SZ=}} schreiben. In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | VW || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Die beiden Punkte {{mathl|term= (\pm1 ,0,0) |SZ=}} erfüllen die drei Gleichungen, aber nicht die allererste Gleichung in {{math|term= x,v |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (\pm 1)^4-4(\pm 1)^2- {{makl| -2 |}}^3 -6 {{makl| -2 |}}^2 -9 {{makl| -2 |}} || 1-4 + 8 - 24 +18 || -1 | \neq | 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} maivl82nlzqd5rahazhlrglxl9zbg1n 106 170281 1078327 2026-04-28T07:13:26Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078327 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. 5zkh3ckp9twlitzx5lvbbxo8eotf6nb 1078328 1078327 2026-04-28T07:13:57Z Bert Niehaus 20843 /* D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078328 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. f3mwazzkd6a3gyfzga7d67ulte4gu17 1078329 1078328 2026-04-28T07:14:55Z Bert Niehaus 20843 /* D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078329 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. bglzo0jjoj560vn5u8um32k8pe42e51 1078330 1078329 2026-04-28T07:15:59Z Bert Niehaus 20843 /* D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078330 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. im6zicgw6wvukxuyve5rkcyuxmk30p8 1078331 1078330 2026-04-28T07:16:58Z Bert Niehaus 20843 /* D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078331 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. d8g16148paugemlr6iowcb7gxfby6df 1078332 1078331 2026-04-28T07:18:06Z Bert Niehaus 20843 /* D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078332 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. 80xg3o30q4o89lx6jkyiedbamt2y9sc 1078337 1078332 2026-04-28T07:23:57Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare */ 1078337 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. gcd1sp5k229l4gerw0k9s3yw0g26fsx 1078338 1078337 2026-04-28T07:59:17Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale */ 1078338 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken annulieren. [[File:Flaechenintegration dreieck_v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. i8hvrni2pxujw2ssryvwlw4375o7pn6 1078340 1078338 2026-04-28T08:00:30Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale */ 1078340 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken annulieren. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. oxx62pztzmcqwaua10n3wkejquls6et 1078341 1078340 2026-04-28T08:04:40Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale */ 1078341 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. 76h6bur8yb7i3kxdgyhveqd8gefu025 1078342 1078341 2026-04-28T08:05:22Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen */ 1078342 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == ivcb0j6eldq5oyc8plqqrb5xrx9eoio 1078343 1078342 2026-04-28T08:05:41Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Integraldarstellung und Konvexkombinationen */ 1078343 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == j0rinxxokn1hv69gf0px2p3xxx18mh8 1078344 1078343 2026-04-28T08:05:54Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen */ 1078344 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == st2izru0fl9sjbq909n54o3j5d0pian 1078345 1078344 2026-04-28T08:06:06Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - alternierender Rand - Vorzeichen */ 1078345 wikitext text/x-wiki == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == 7cacguhlwcx1c0brf5wbdrdl3qnfvbk 1078346 1078345 2026-04-28T08:10:41Z Bert Niehaus 20843 1078346 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == 4p3ezh3bgn0tdfn7dz8wy8iom8f7tvs