Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 3 10493 1078386 1063906 2026-04-28T18:32:00Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* You may be an eligible candidate for the U4C election */ 1078386 wikitext text/x-wiki == Dopplungen == Hallo, ich meine, die folgenden Seiten sollten zusammengelegt werden: * [[Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 20]] und [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Vorlesung 20]] * [[:Kategorie:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)]] und [[:Kategorie:Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)]] Gruß, [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|1234qwer1234qwer4]] ([[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|Diskussion]]) 15:25, 13. Aug. 2022 (CEST) == Einbindungsproblem == Hallo Holger, bei https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_(Osnabr%C3%BCck_2021-2023)/Teil_I/Vorlesung_24 scheint ganz unten im Beispiel eine Referenz nicht korrekt aufgeloest zu werden beim einbinden. Gruss [[Benutzer:Axel|Axel]] ([[Benutzer Diskussion:Axel|Diskussion]]) 14:07, 19. Aug. 2022 (CEST) :Danke, ist gelöst. Wieder Freunde? Holger {{unsigned|Bocardodarapti|17:35, 19 August 2022 (CEST)}} == Erinnerung: Stimm jetzt über die Mitglieder des ersten U4C ab == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2024/Announcement – vote reminder|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]] [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2024/Announcement – vote reminder}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]'' Liebe:r Wikimedianer:in, du erhältst diese Nachricht, weil du dich zuvor am UCoC-Prozess beteiligt hast. Das ist eine Erinnerung daran, dass die Abstimmungsphase für das Koordinationskomitee des universellen Verhaltenskodex (U4C) am 9. Mai 2024 endet. Auf der [[m:Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2024|Wahlseite im Meta-Wiki]] könnt ihr mehr über die Wahl und die Wahlberechtigung erfahren. Das Koordinationskomitee des universellen Verhaltenskodex (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und konsequente Umsetzung des UCoC einsetzt. Communitymitglieder waren eingeladen, sich für das U4C zu bewerben. Mehr Informationen über das U4C und seine Aufgaben sind in [[m:Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|der U4C-Satzung]] zu finden. Bitte teile diese Nachricht mit Mitgliedern deiner Community, sodass sie sich auch beteiligen können. Für das UCoC-Projektteam<section end="announcement-content" /> [[m:User:RamzyM (WMF)|RamzyM (WMF)]] 01:17, 3. Mai 2024 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:RamzyM (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2024/Previous_voters_list&oldid=26721206 --> == Löschen == Hallo! Wenn Sie Zeit haben, gibt es in [[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]] Dateien, die gelöscht werden können. Sie wurden nach Commons verschoben. [[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 16:06, 10. Nov. 2024 (CET) : Danke, dass Sie die Dateien gelöscht haben. Ich habe weitere Dateien zu Commons verschoben, sodass es wieder Dateien zum Löschen gibt. Ich habe die neuesten Dateien zur [[:c:Category:Mathematik (German Wikiversity)]] hinzugefügt, aber sie können auch in andere Kategorien eingeordnet werden. --[[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 14:13, 22. Dez. 2024 (CET) Hallo! Können einige der Unbenutzte Dateien in [[Spezial:Unbenutzte_Dateien]] gelöscht werden? Zum Beispiel einige Tabellen wie [[:Datei:Einkaufstabelle.gif]]? Außerdem gibt es Dateien wie [[:Datei:Ich,Litauen.PNG]], die „Selbst gemacht“ angeben, aber es sieht nicht wie ein Selfie aus, daher bezweifle ich, dass der Uploader der Fotograf ist. Wenn ja, wie kann ich die Dateien zur Löschung nominieren? Oder könnten Sie die Liste durchgehen? --[[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 19:42, 29. Mär. 2025 (CET) == Ist das so üblich hier? == Ich wusste nicht, dass es hier eine Art Vorabzensur der Arbeit gibt. Vielen Dank jedenfalls schon einmal für die Unterstützung. LG, --[[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]]) 20:35, 24. Okt. 2025 (CEST) https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversity%3AHochschulprogramm&diff=1056450&oldid=1056445 [[Benutzer:Barkmann-hdaOek|Barkmann-hdaOek]] ([[Benutzer Diskussion:Barkmann-hdaOek|Diskussion]]) 20:35, 24. Okt. 2025 (CEST) : Guten Abend, mit einer Verifikation wäre das erledigt.[https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Benutzer:Barkmann-hdaOek&diff=next&oldid=1056400] Aber das ist nicht meine Aufgabe, sondern es sollten sich die Administratoren hier drum kümmern. Ich kümmere mich hier nur noch um meinen Kram. —<span style="text-shadow:7px 5px 7px grey;font-family:High Tower Text">[[Benutzer:Wulfrich|<span style="color:#123524">Wulfrich</span>]] ^{[[Benutzer Diskussion:Wulfrich|<span style="color:#353839">Diskussion</span>]]}</span> 21:08, 24. Okt. 2025 (CEST) ::Nein, hier gibt es keine Vorzensur. Es ist aber sinnvoll, dass ein Kurs, der einen echten Kurs an einer Hochschule widerspiegelt, erkennbar ist. Viel Spaß dabei.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:24, 25. Okt. 2025 (CEST) == Wsc == Guten Morgen, da ich mich hier nicht mehr einloggen kann, was mich ein wenig verwundert, melde ich mich auf diesem Wege. Die Seiten können gelöscht werden, die in der Kategorie „Löschen“ aufgelistet sind. Ich frage besser nicht, warum ich mich nicht mehr anmelden kann. Gruß, W. [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-34538-20|&#126;2025-34538-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-34538-20|Diskussion]]) 13:01, 18. Nov. 2025 (CET) :weiß ich nicht und wundert mich auch, da ja dein Konto nicht deaktiviert ist. Dass du da löschen hingeschrieben hast, hat auch keinen Effekt auf das Konto. Ich werde die Seiten in den nächsten Tagen löschen. Wenn du möchtest, könnten wir auf einer Seite wie Wikiscience (also deine alte Hauptseite) schreiben, dass das Projekt nach ... umgezogen ist. Gruß [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 14:11, 18. Nov. 2025 (CET) == Bist du der Benutzer mit Methodius?? == Ich glaube schon! [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-38237-58|&#126;2025-38237-58]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-38237-58|Diskussion]]) 20:08, 3. Dez. 2025 (CET) :weil der auch Mathematiker ist? [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 20:11, 3. Dez. 2025 (CET) ::und weil wir beide Shafarevich kennen? Vielleicht sind auch du und ich (oder sogar alle drei) gleich, weil wir alle Tacitus und die Sorbonne kennen, und uns einfach gern mit uns selbst unterhalten?[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 20:23, 3. Dez. 2025 (CET) ::Wie kommst du denn auf diese Idee? Mathematiker brauchen wir. Du bist bislang nicht das Problem. Deine Position ist unwichtig. Das Problem ist der genannte Benutzer. [[Spezial:Beiträge/&#126;2025-38273-62|&#126;2025-38273-62]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2025-38273-62|Diskussion]]) 20:23, 3. Dez. 2025 (CET) == Löschung von Seiten eines anderen Projektes == lb Holger, mit etwas Verwunderung habe ich festgestellt, dass du einige Seiten eines vorrangig von mir geleiteten und auch von mir in den Grundzügen entwickelten und betreuten Projektes (welches damals sogar als das erfolgreichste Communityprojekt Europas von der Europeana gewürdigt wurde) gelöscht hast. Es war nicht einfach ein Projekt, sondern ein im Zusammenarbeit mit der Universität Wien, Fakultät für Kommunikationswissenschaften und Publizistik entwickelter Versuch, Wikipedia durch über mehrere Jahre hinweg Teil mehrerer Seminare den Studenten näherzubringen. Was immer auf den Seiten dieser Projekte passiert ist, hatte seine Begründung, weil es auch die Arbeitsweise der Seminarentwickler widerspiegelt. Es ging - neben den Inhalten (Propaganda vor dem ersten Weltkrieg) auch und vor allem um die didaktische Arbeit. Somit bleiben alle Seiten immanenter Teil des Projektes. Ich denke nicht, dass ich eine Mailinformation übersehen habe. Welche Begründung kannst du mir nennen, warum du es gelöscht hast? Wurde das von einem der in der Seminarbeschreibung angeführten Verantwortlichen gefordert? Mich wundert es vor allem auch deswegen, weil du ja selbst Projektentwickler in Wikiversity bist und meines Wissens nach keinerlei Bezüge zu den österreichischen Projekten hast. Und auch genau weißt, dass Wikiversity nicht Wikipedia ist. Danke im Voraus für deine nachdenkliche Antwort. lg aus Wien [[Benutzer:Hubertl|Heinz E.]] ([[Benutzer Diskussion:Hubertl|Diskussion]]) 15:43, 28. Dez. 2025 (CET) : sorry, wenn ich was gelöscht hab, was noch verwendet wird. Das wundert mich, da ich zuletzt nur Sachen gelöscht habe, die verwaist waren und Keinen sinnvollen Inhalt hatten. Kannst du mir genau sagen, was es war, dann stell ich das wieder her. Gruß Holger :: kann es sein, dass Kollege kollauer da was gelöscht hat? :::Ich kann nicht sagen, wer gena was gelöscht hat, aber ich habe die Mitteilung bekommen, dass DU gelöscht hast Ich kann jetzt aus dem Kopf nicht mehr sagen was es genau war. aber wie oben beschrieben, es war nicht nur ein Projekt, wo man Inhalte hinterlassen hat, ich habe daraus ein Wikipedia-Projekt gemacht, wie es auch von der uni so verstanden und gefordert war. Und da gehört eben alles dazu, weil erst das Gesamte den Projektablauf sichtbar macht. ::::Aber eine Frage an Dich: Leiden wir unter einem Mangel an Festplattenplatz oder warst du einfach nur unterbeschäftigt? ::::lg --[[Benutzer:Hubertl|Heinz E.]] ([[Benutzer Diskussion:Hubertl|Diskussion]]) 16:25, 4. Jan. 2026 (CET) :::::Eine Formulierung wie zuletzt ist hier nicht üblich und verschlechtert das Klima. Wenn du die Nachricht bekommen hast, solltest du es doch sagen können, um was es ging. Ich hab da doch meine Hilfe angeboten. Ich selbst hatte in der Tat die Seite [[Kurs:Welterbe, Kulturgüterschutz und Kommunikation (Sommeruniversität 2016)/Termine]] gelöscht und jetzt wieder hergestellt. Die ist leer und verwaist. Da ist ein Löschen üblich. Die Seiten [[Kurs:Krieg, Politik und Propaganda: vom Ersten Weltkrieg zur Ersten Republik (WS 2018)/Anwesenheitsliste 20181005 220041 Gruppe 3]] [[Kurs:Krieg, Politik und Propaganda: vom Ersten Weltkrieg zur Ersten Republik (WS 2018)/Anwesenheitsliste 20181109 220041 Gruppe 3]] [[Kurs:Krieg und Propaganda: bis zum 1. Weltkrieg (WS 2017)/Anwesenheitsliste 20171216 220041 Gruppe 4]] hat Jo.Kolliauer gelöscht, (falls die zu deinem Bereich gehören). [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:13, 4. Jan. 2026 (CET) lb Holger, danke für die Information. Ich muss dir recht geben, ich hätte, auch wenn ich verärgert war, nicht ins Persöniche abbiegen sollen. Dafür möchte ich mich bei dir entschuldigen. Es war unnötig und auch unprofessionell. lg --[[Benutzer:Hubertl|Heinz E.]] ([[Benutzer Diskussion:Hubertl|Diskussion]]) 21:32, 4. Jan. 2026 (CET) :Danke, ist angenommen, Holger == Urheberrechtsverletzungen und Adminrechte == Bocardodarapti, können Sie sich mal zu den Urheberrechtsverletzungen äußern, die diesem Portal vorgeworfen werden? Die Vorwürfe gibt es schon länger. Weiter besteht der Verdacht, dass Sie selber mehrere Accounts betreiben, um im Falle Ihrer eigenen Sperrung weiter die Adminrechte inne zu haben. Deshalb haben Sie auch Ihren weiteren Accounts die Adminrechte erteilt. Das ist ein schwerer Punkt, der beantwortet werden muss. Bedenken Sie, dass dieses Projekt durch Spendengelder finanziert wird. Gelder, die Ihnen nicht gehören. Das geht einfach nicht. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-50870|&#126;2026-50870]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-50870|Diskussion]]) 17:55, 3. Jan. 2026 (CET) :solche wichtige Fragen, die die gesamte Wikiversity betreffen, bitte in der Cafeteria diskutieren. Und bitte nicht anonym. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 10:02, 4. Jan. 2026 (CET) == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 20:32, 28. Apr. 2026 (CEST) </div> 1e7n2vfevjk3i6rv1az3ueo102j9s6u 2 19388 1078400 1076373 2026-04-29T06:09:53Z Bocardodarapti 2041 1078400 wikitext text/x-wiki [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Deckblatt|Deckblatt]] [[/Differentialgeometrie]] [[/Monomiale Syzygien/Beispiel]] [[/Simpliziale Komplexe]] [[/Analysis III]] [[/Algebraische Zahlentheorie]] [[/Algebraische Topologie]] [[/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[/Elliptisches]] [[/Riemannsche Flächen]] [[/Funktionentheorie]] [[/Diskrete Mathematik]] [[/Kommutative Algebra]] [[/Invariantentheorie]] [[/Differentialoperatoren]] [[/Trigonometrische Summen]] [[Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt]] [[/Cogni/Papers]] [[/Sonderaufgaben]] [[/Z/Modulschema]] [[/Positive Charakteristik]] [[Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel]] [[Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln]] [[Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt]] [[Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt]] [[/Lineare Algebra]] [[/BEU]] [[/Lineare Algebra]] [[/Homologische Algebra]] [[/Modallogik]] [[/Affine Situation/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]] == == [[/Parameter/Tabellen]] [[/Sonstiges]] [[Hilfsparameter/Durchnummeriert/400]] http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf == [[Projekt:Semantische Vorlagen]] == {{:Benutzer:Bocardodarapti/Vorlagendiagramm|Vorlagendiagramm}} [[:Kategorie:Mathematische Diagrammvorlagen]] === [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js]] === === [[:Kategorie:Latex-Vorspann|Latex-Vorspänne]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Grundvorspann in Latex|Grund]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Vortragshandvorspann in Latex|Hand]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Skriptvorspann in Latex|Skript]] === [[Projekt:Semantische Vorlagen/Tabellen mit benannten Parametern/Latex|Tabellen mit benannten Parametern]] [[Projekt:Semantische_Vorlagen/Aufgabenblatt/Stauchung/Latex]] === [[:Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]] === ==== [[/Kursaufbau/Reihenfolge]] ==== === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Verlinkungshilfe/Standardkurse]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Bereits kategorisiert]] === == Admin == [[Spezial:Spezialseiten]] == Sonstiges == [https://github.com/JonathanSteinbuch/sheafstability] [[/Sonstiges]] [[/Vom Fliegen]] [[/Fußball]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)]] [[/Wiki-Seminar/Konzeption]] [[Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie]] [[Benutzer:Mgausmann]] == [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie]] == [[/Hilfstabellen]] [[/Hilfstabelle/1/20]] [[/Hilfstabelle/1/30]] [[/Hilfstabelle/2/20]] [[/Hilfstabelle/6/20]] [[/Hilfstabelle/7/20]] [[/Hilfstabelle/9/2]] == [[w:Wikipedia:Hilfe]] == === [[w:Hilfe:Vorlagenprogrammierung]] === [[commons:Category:Mathematics|Commons]] [[commons:Category:MediaWiki_edit_toolbar|Buttons]] == [[Benutzer:Bocardodarapti/Sonstiges|Sonstiges]] == == Check == [[:Kategorie:Mathematischer Text/check]] 1cxjhq985c2d2x1nbo01jtlsdaiq1k9 10 39653 1078430 593946 2026-04-29T10:59:14Z Doc Taxon 19114 autoarchive not included to other pages 1078430 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{Autoarchiv|Alter=14|Ziel='Wikiversity:IZ_Banklab_Campustermine/Archiv/((Jahr))/((Monat:##))'|Mindestbeiträge=1|Zeigen=Ja|Übersicht=[[Wikiversity:IZ_Banklab_Campus/Archiv]]}} </noinclude> 7tnbydir49c8jh73ekwve5smrkeb10b 3 61424 1078389 1062710 2026-04-28T18:32:01Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* You may be an eligible candidate for the U4C election */ 1078389 wikitext text/x-wiki == Anfrage an Transwiki-Importeure: Import von Template == Wäre es möglich das [[Vorlage:Webarchiv|Template]] <code> Vorlage:Webarchiv </code> und <code>Vorlage:Wikiquote</code> aus [[Spezial:Importieren|Wikipedia nach Wikiversity zu importieren]]? Dieser Import ist für Standardnutzer in Wikiversity nicht möglich. Das wäre z.B. für Transwiki-Importeure möglich, die diese Rechte besitzen. Vielen Dank. Durch den Import erhält man eine saubere History der Templateentwicklung und man in Wikiversity auch ein analoge Verwendung von Zitaten und Quellennachweisen verwenden - Vielen Dank für den Import, falls das möglich ist. Ist es möglich, templates aus dem englischen Wikiversity ebenfalls im deutschen Wikiversity zu verwenden? Z.B. Template:Graph:Chart ?? --[[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 22:18, 28. Jun. 2020 (CEST) == Welcome back! == Wenn ich das mal so sagen darf... ;) --[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 18:05, 2. Jul. 2013 (CEST) :Ich bin immer noch sauer. Bildzitate sind in der Bildung wichtig. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 23:56, 5. Jul. 2013 (CEST) ::So lange es für die deutsche Wikiversity keine offizielle [http://wikimediafoundation.org/wiki/Resolution:Licensing_policy EDP] gibt, können auch keine Bildzitate verwendet werden. Wir müssen uns schon an die Regeln halten. --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 08:32, 6. Jul. 2013 (CEST) :::Doch, das können wir, das haben wir jahrelang gemacht und es gibt keinen Grund, das ohne Not zu kippen. Bindend ist deutsches Recht. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 11:18, 10. Jul. 2013 (CEST) ::::Dann sage ich es Dir ganz offen: In einem OER-Projekt gibt es tatsächlich keinen Platz für beispielsweise [[:Datei:Der Landser.JPG|Landserhefte]] und Vergleichbares. Eine etwaige frühere Praxis (von wem praktiziert?) kann von dem Beschluß einer EDP nicht entbinden. Die Diskussion dazu [[Wikiversity:Urheberrechtsfragen/Archiv/2008#Bildzitat_.28erl..29|endete 2008]] mit dem Ergebnis, daß dies hier nicht möglich wäre. Es gab keine abschließende Klärung. Danach war Ruhe im Karton, aber diejenigen, die seitdem als Admins tätig waren, haben sich NULL um die Einhaltung urheberrechtlicher Fragen gekümmert, deshalb stehen wir heute vor einem Berg an Arbeit, zu dem Du, Ralf, bitte was beigetragen hast oder bei dessen Abarbeitung Du welchen Beitrag leistest (außer wild die eigenen Benutzerseiten zu löschen und sich selbst auf „inaktiv“ zu setzen)?--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 11:35, 10. Jul. 2013 (CEST) :::::Ich habe mich hier nur um die Bildrechte gekümmert. Aber das wirst du ja jetzt alles viel besser machen. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 21:32, 16. Jul. 2013 (CEST) ::::::Der Austausch von Unfreundlichkeiten wird uns nicht weiterbringen. Dazu brauchen wir uns übrigens auch nicht zu treffen. Wenn Du an unserem Treffen teilnehmen möchtest, wäre mein Wunsch: Sei bitte konstruktiv oder nimm von der Teilnahme Abstand.--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 22:42, 16. Jul. 2013 (CEST) :::::::Das gilt fuer alle. Ich hoffe, dass du kommst.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 22:57, 16. Jul. 2013 (CEST) ::::::::Natürlich gilt das für alle, und ich habe mir auch gewünscht, daß Ralf kommen würde, aber Übergriffigkeiten (''das wirst du ja jetzt alles viel besser machen'') nehme ich nicht hin.--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 23:01, 16. Jul. 2013 (CEST) == Verwaiste Seiten == [[Beispiele Nachnutzung]] [[Kurs:Internet-Marketing für mittelständische Unternehmen]] [[Kurs:Photoshop Einzellösungen/Panorama mit Publikumsbewegung]] [[Kurs:Photoshop Journalistenakademie München 2013]] [[Fotografischer Standort]] [[Reports of the Cambridge Anthropological Expedition to Torres Straits]] [[Kurs:Bildbearbeitung mit Photoshop]] [[Grenzen der Panoramafreiheit]] [[Gute Fotos mit billigen Kameras]] [[Mit einer Billigknipse zu guten Fotos/Software]] wird nach .en verschoben [[Diva vor der Kamera]] ist umgezogen nach http://www.fahrradmonteur.de/Diva_vor_der_Kamera und wirt dort weitergepflegt [[Native Auflösung]] [[Ralf Roletschek Fotos]] [[Beispielbilder_Landtagsprojekte]] [[Bildrechte Internet ETH]] [[Checkliste Homepagepflege]] [[Fahrschule B2]] [[Entstürzen mit ShiftN oder Photoshop]] [[Diva vor der Kamera]] [[Kanalwahl Blitzkopf Elinchrome BX 500Ri]] {{ok}} ist heute umgezogen nach http://www.fahrradmonteur.de/Gruppenwahl_Elinchrome und wurde dort erweitert, hier wird ein Link gesetzt [[Solmeta N3 Kompaß]] ist schon vor Monaten umgezogen nach http://www.fahrradmonteur.de/Solmeta_N3_Kompa%C3%9F - wird gelöscht [[Web 2.0 und Barrierefreiheit]] [[Was ist ein gutes Foto?]] {{ok}} ist heute umgezogen nach http://www.fahrradmonteur.de/Was_ist_ein_gutes_Foto%3F - wird gelöscht [[Fotoflugkurs Cuxhaven 2013]] [[Ich und mein Hof]] [[Tristesse]] [[Mit einer Billigknipse zu guten Fotos]] {{ok}} wird nach .en verschoben, ist wenig verlinkt, wird gelöscht [[50mm Berlin]] {{ok}} ist schon vor Monaten umgezogen nach http://www.fahrradmonteur.de/50mm_Berlin [[50 mm St. Pölten]] {{ok}} ist schon vor Monaten umgezogen nach www.fahrradmonteur.de/50mm_St._P%C3%B6lten [[Tärfenschiefe]] ===Disk. dazu=== :Meinetwegen löscht alles von mir. Ich danke Bocardodarapti und den anderen Admins hier für die immer angenehme Arbeitsatmosphäre. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 00:20, 23. Jul. 2013 (CEST) ::deine Reaktion versteh ich nicht, ich hab dich lediglich auf ein paar verwaiste Seiten hingewiesen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 10:28, 23. Jul. 2013 (CEST) :::Entschuldige bitte! Das meine ich Ernst. Ich habe irgendwie nicht realisiert, daß das von dir war. Und es war eine unangemessene Reaktion, mein Fehler. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 21:17, 24. Jul. 2013 (CEST) ::::ist ok. Ich schlage vor, wir stellen all diese Seiten wieder her.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 21:37, 24. Jul. 2013 (CEST) :::::Das ständige Hin und Her nervt. Ralf, entweder bist Du drinnen oder Du bist draußen. Könntest Du Dich bitte entscheiden? Wenn Du drinnen bist, arbeite bitte konstruktiv mit. Wenn Du draußen bist, gib bitte Deine Adminrechte zurück und schweige stille.--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 21:43, 24. Jul. 2013 (CEST) ::::::Vorschlag: Deeskalation--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 21:46, 24. Jul. 2013 (CEST) :::::::Ich habe mich bereits in Lüneburg 2009 in mehreren Vorträgen dafür eingesetzt, daß Wikiversity mehr genutzt wird, ans Referentennetzwerk war da noch nicht zu denken. Ich habe bei den Referentn anfangs mitgemacht, war beim ersten Arbeitswochenende im Linux-Hotel Essen. Mir wurde dort unmißverständlich klargemacht, daß es unerwünscht ist, Wikiversity dafür zu nutzen. Jahrelang waren wir hier ziemlich allen und jeder hat nach Möglichkeiten seine Materialien bzw. Kurse so gestaltet, wie er es für nötig erachtet hat. Dabei mußten wir manchmal mit sehr großer Vorsicht vorgehen, einer der Fleißgsten hat es einfach nicht begriffen, wie Bilder ordentlich zu lizenzieren sind. Wir haben es mit langem Atem geschafft. Da war ein übermotivierter französischer Benutzer, den wir sanft stoppen mußten usw usw... :::::::Wikiversity war nie tot, auch wenn das heute gern behauptet wird. WV ist nur klein. Und nun sind da seit einigen Monaten ein paar Leute, die WV nach ihrem Bild umgestalten wollen und alles in Frage stellen. Wir werden als Deppen hingestellt, die nichts gemacht haben. Ich habe Vorlesungen aus WV mittlerweile vor mehreren tausend Leuten gehalten, sowohl in Hochschulen als auch vor öffentlichem Publikum. Das ist nicht erkennbar aber ein Fakt. Aber sowas interessiert offenbar nicht. Alles Alte taugt nichts, alles muß neu werden. Nein! Muß es nicht, manches ist heute noch mit Tafel und Kreide besser vermittelbar als mit jeder noch so modernen Technik. Und mit Technik kann man nicht alles erschlagen, es kommt auf Inhalte an. Es muß nicht alles umgekrempelt werden. Manchem reicht es, wenn WV der Ersatz für den Stapel Papier in der Hand beim Vortrag ist. Oder der Ersatz des unbeliebten Powerpoint. Oder nur der Handzettel, den man austeilt, allerdings mit dem Vorteil, daß man Links anklicken kann... Wir werden hier nicht von heute auf morgen die eierlegende Wollmilschsau haben, nur weil ein paar Leute eine Revolution starten. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 22:20, 24. Jul. 2013 (CEST) ::::::::seh ich ähnlich. Wikiversity war nie tot. Sie ist auch gut geeignet für einen Fotokurs und ähnliches, warum auch nicht. Es ist aber auch hilfreicher für jemand, der auf Seiten stoßt, zu wissen, wozu sie gehören, etc. Übrigens gefällt mir besonders das mit der Diva.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 22:32, 24. Jul. 2013 (CEST) :::::::::In Sachen Wikipedia habe ich noch nie einen "Leser" kennengelernt, der auch nur wahrgenommen hätte, daß es Kategorien gibt. Dem Leser zeigen, worum es geht? Klar, das muß sein. Über Kategorien? Nein, das ist der falsche Weg, die taugen wenn überhaupt nur zur internen Organisation vortgeschrittener Benutzer. Das kann hier ein wenig anders sein aber nicht grundlegend, der übliche Nutzer wird sich nicht durch Kategorien hangeln. Der Vortrag "Diva" übrigens enthält gerade bei den Bildbeispielen nicht die Informationen, die beim Vortrag kommen, das geht aus Gründen des Persönlichkeitsrechts nicht. Was ich da jeweils sage, erfahren nur Zuhörer, das wird nicht öffentlich sichtbar aufgeschrieben. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 22:54, 24. Jul. 2013 (CEST) ::::::::::Es tut mir leid, es erschließt sich mir nicht, was jemand wie Du in einem Online-Learning-Projekt sucht. Insoweit wäre mein Vorschlag, daß Du Dich bitte aus diesen fruchtlosen Diskussionen, die wir mit Dir hier nun schon sehr, sehr lange geführt haben, zurückziehst und gehst.--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 23:04, 24. Jul. 2013 (CEST) :Also liebe Leute, das ist mir ehrlich zu blöd - wenn die Wikiversity so toll war, und die neuen Leute (damit kann ja nur ich gemeint sein) sich hier auch noch als Vandalen beschimpfen lassen müssen, dann bin ich hier ganz schnell weg - ich wünsche viel Spaß beim Wiederherstellen der vielen tollen Seiten, die ich in einem Anfall von Vandalismus gelöscht habe. --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 23:31, 24. Jul. 2013 (CEST) ::+1.--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 23:57, 24. Jul. 2013 (CEST) ::: Also wenn hier jemand wirklich neu ist, dann bin das wohl ich und ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung was hier los ist? Ich habe gerade eben gesehen, dass RalfR auf der Administratorenseite seinen Status auf aktiv gesetzt hat und wollte ihn hier gerade nur zurueck begruessen und mich vorstellen. Ich bin dann auf diese Diskussion gestossen und finde sie sehr befremdend! Ich habe bei dem Treffen in Limburg alle Leute hier als sehr konstruktiv kennen gelernt. Ich weiss also nicht was in der Vergangenheit vorgefallen ist, dass solche Graeben entstanden. Ich moechte es auch gar nicht wissen, es gehoert hier naemlich nach der [[Wikipedia:Wikiquette|Wikiquette]] nicht hin. Ich beobachte das hier '''verschiedene Weltansichten''' aufeinander treffen. Sehr gut! So entsteht kollektive Intelligenz, eines der Grundprinzipien der Wikipedia. Lasst uns also einen Termin vereinbaren, bei dem wir viel konkreter die Werte, die Wikiversity definieren und festlegen. Lasst uns in einem konstruktiven Umgang am richtigen Ort z.b. einem Chat miteinander streiten! Diese Werte sollten wir dann gerne auch wieder fuer neue Benutzer transparent kommunizieren. Ich werde in Kuerze sowieso einen Vorschlag unterbreiten, wie wir den Einstieg fuer neue Nutzer erleichtern koennen. Lasst uns gemeinsam noch ein Mal die schon erwaehnte [[Wikipedia:Wikiquette|Wikiquette]] in Erinnerung rufen. Ich sehe wie hier von allen Beteiligten mindestens eine dieser Regeln gebrochen wurde. Auch wenn wir unterschiedliche Meinungen haben, so haben wir doch hoffentlich alle die gleichen gemeinsamen Fernziele: Erstellen von freien Inhalten, Gute Lehre, Kollaboratives Arbeiten, Aufbauen einer guten community. --[[Benutzer:Renepick|Renepick]] ([[Benutzer Diskussion:Renepick|Diskussion]]) 13:38, 25. Jul. 2013 (CEST) ::::Kluge Worte! Ich bin vorerst mal weg hier, das hat nichts mit Eingeschnapptheit oder sonstwas zu tun, ich muß nur einfach noch was arbeiten und kann nicht ständig nur diskutieren. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 13:42, 25. Jul. 2013 (CEST) == An important message about renaming users == <div class="mw-content-ltr"> Dear Ralf Roletschek, ''My aplogies for writing in English. Please translate or have this translated for you if it will help.'' I am cross-posting this message to many places to make sure everyone who is a Wikimedia Foundation project bureaucrat receives a copy. If you are a bureaucrat on more than one wiki, you will receive this message on each wiki where you are a bureaucrat. As you may have seen, work to perform the Wikimedia cluster-wide [[mw:SUL finalisation|single-user login finalisation]] (SUL finalisation) is taking place. This may potentially effect your work as a local bureaucrat, so please read this message carefully. Why is this happening? As currently stated at [[m:Global rename policy|the global rename policy]], a global account is a name linked to a single user across all Wikimedia wikis, with local accounts unified into a global collection. Previously, the only way to rename a unified user was to individually rename every local account. This was an extremely difficult and time-consuming task, both for stewards and for the users who had to initiate discussions with local bureaucrats (who perform local renames to date) on every wiki with available bureaucrats. The process took a very long time, since it's difficult to coordinate crosswiki renames among the projects and bureaucrats involved in individual projects. The SUL finalisation will be taking place in stages, and one of the first stages will be to turn off Special:RenameUser locally. This needs to be done as soon as possible, on advice and input from Stewards and engineers for the project, so that no more accounts that are unified globally are broken by a local rename to usurp the global account name. Once this is done, the process of global name unification can begin. The date that has been chosen to turn off local renaming and shift over to entirely global renaming is 15 September 2014, or three weeks time from now. In place of local renames is a new tool, hosted on Meta, that allows for global renames on all wikis where the name is not registered will be deployed. Your help is greatly needed during this process and going forward in the future if, as a bureaucrat, renaming users is something that you do or have an interest in participating in. The Wikimedia Stewards have set up, and are in charge of, a new community usergroup on Meta in order to share knowledge and work together on renaming accounts globally, called [[m:Global renamers|Global renamers]]. Stewards are in the process of creating documentation to help global renamers to get used to and learn more about global accounts and tools and Meta in general as well as the application format. As transparency is a valuable thing in our movement, the Stewards would like to have at least a brief public application period. If you are an experienced renamer as a local bureaucrat, the process of becoming a part of this group could take as little as 24 hours to complete. You, as a bureaucrat, should be able to apply for the global renamer right on Meta by the [[m:SRGP|requests for global permissions]] page on 1 September, a week from now. In the meantime please update your local page where users request renames to reflect this move to global renaming, and if there is a rename request and the user has edited more than one wiki with the name, please send them to [[:m:SRUC|the request page for a global rename]]. Stewards greatly appreciate the trust local communities have in you and want to make this transition as easy as possible so that the two groups can start working together to ensure everyone has a unique login identity across Wikimedia projects. Completing this project will allow for long-desired universal tools like a global watchlist, global notifications and many, many more features to make work easier. If you have any questions, comments or concerns about the SUL finalisation, read over the [[m:SUL|Help:Unified login]] page on Meta and leave a note on the talk page there, or on the talk page for [[m:Talk:Global renamers|global renamers]]. You can also contact me on [[m:User talk:Keegan (WMF)|my talk page on meta]] if you would like. I'm working as a bridge between Wikimedia Foundation Engineering and Product Development, Wikimedia Stewards, and you to assure that SUL finalisation goes as smoothly as possible; this is a community-driven process and I encourage you to work with the Stewards for our communities. Thank you for your time. -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] [[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]] 20:24, 25. Aug. 2014 (CEST) <small>--This message was sent using [[m:MassMessage|MassMessage]]. Was there an error? [[m:Talk:MassMessage|Report it!]]</small> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Keegan (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Keegan_(WMF)/MassMessage/Crats&oldid=9637985 --> == {{int:right-upload}}, [[commons:Special:MyLanguage/Commons:Upload Wizard|{{int:uploadwizard}}]]? == [[Image:Commons-logo.svg|right|100px|alt=Wikimedia Commons logo]] Hello! Sorry for writing in English. As you're an administrator here, please check the message I left on [[MediaWiki talk:Licenses]] and the village pump. Thanks, [[m:User:Nemo_bis|Nemo]] 21:22, 18. Sep. 2014 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Nemo bis@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User_talk:Nemo_bis/Unused_local_uploads&oldid=9923284 --> == Löschung einer Kategorie == Guten Tag Herr Roletschk, ich wende mich an Ihnen mit der Bitte um Löschung der [https://de.wikiversity.org/wiki/Kategorie:Kunstsammlung_Anton_Cos folgenden Kategorie]. Ich selbst habe sie erstellt (unter dem Benuter Solemio - heisse jetzt Solemio2 weil ich mein Passwort vergessen habe), das Namensrecht der betroffen Person ist jedoch verletzt. Mit bestem Gruss --[[Benutzer:Solemio2|Solemio2]] ([[Benutzer Diskussion:Solemio2|Diskussion]]) 17:13, 12. Jan. 2016 (CET) :Ich kann das gerne löschen aber was hat die Kategorie mit Namensrecht zu tun? --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 22:28, 2. Feb. 2016 (CET) :: Lieber Herr Roletschk, bezüglich der oben angefragten Kategorielöschung möchte ich nochmals anfragen, ob Sie diese löschen können. Ich war der Ersteller und habe meine Sammlung online eingestellt, was sich im Nachhinen auch als unklug herauswies. Zum einen halte ich es für nicht ungefährlich Wertgegenstände unter dem Klarnamen zu publizieren, zum anderen gehören mir die Arbeiten teils nicht mehr. Da sich die Werke sowieso in den Auktionsdatenbanken und teilweise bei Commons abrufen lassen, sind sie auch nicht für den wissenschaftlichen Zweck verloren. Ich würde daher Sie noch ein Mal bitten die Kategorie definitiv zu löschen. Mit bestem Gruss --[[Benutzer:Solemio2|Solemio2]] ([[Benutzer Diskussion:Solemio2|Diskussion]]) 16:38, 13. Jan. 2020 (CET) :::Ok, die Kat. ist gelöscht. So ganz verstehe ich das nicht aber Benutzerwunsch geht über Unverständnis ;) --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 21:14, 13. Jan. 2020 (CET) :::: Merci ;)--[[Benutzer:Solemio2|Solemio2]] ([[Benutzer Diskussion:Solemio2|Diskussion]]) 23:00, 13. Jan. 2020 (CET) [[File:High-contrast-media-flash crop.svg|right|120px]] == Icon: Speicherchip == Hallo Ralf, weil der originale GNOME-Icon für deine Zwecke unbrauchbar gewesen ist (viel zu breiter Rand) hast du damals schnell eine [[:File:High-contrast-media-flash.png|PNG-Variante]] erstellt. Nun gibt es bessere SVG-Varianten, für hier ist [[:File:High-contrast-media-flash crop.svg]] sicher am besten - ich habe die Datei bereits ausgewechselt, sieht gut aus. Ich schlage vor, die nunmehr obsolete PNG-Datei löschen zu lassen. OK? --''[[Commons:User talk:Sarang| sarang]]''<span style="color:#800">♥</span>[[:de:Wikipedia:Benutzer:Sarang|사랑]] 12:04, 14. Apr. 2018 (CEST) :Nein, bitte nicht. Ich benutze mit Schülern/Studenten die verwendeten Grafiken auch als Beispiele weiter und da ist SVG wertlos. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 14:23, 15. Apr. 2018 (CEST) == How we will see unregistered users == <section begin=content/> Hallo! Du erhältst diese Nachricht, da du Administrator in einem Wikimedia-Wiki bist. Wenn heute jemand unangemeldet eine Bearbeitung in einem Wikimedia-Wiki vornimmt, zeigen wir dessen IP-Adresse an. Wie viele von euch bereits wissen, werden wir dies in der Zukunft nicht mehr tun können. Dies ist eine Entscheidung der Rechtsabteilung der Wikimedia Foundation aufgrund der Änderung von Normen und Vorschriften zum Datenschutz im Internet. Statt der IP-Adresse zeigen wir eine maskierte Identität. Als Admin '''wirst du weiterhin auf die IP zugreifen können'''. Es wird auch neue Benutzerrechte für diejenigen geben, die die vollständigen IPs von unangemeldeten Benutzern sehen müssen, um Vandalismus, Belästigung und Spam bekämpfen zu können ohne Admin zu sein. Kontrollierer werden ebenfalls Teile der IP sehen können, auch ohne dieses Benutzerrecht. Wir arbeiten auch an [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|besseren Werkzeugen]] zur Unterstützung. Wenn du die Seite noch nicht gesehen hast, kannst du [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/de|auf Meta mehr lesen]]. Wenn du sicherstellen möchtest, keine technischen Änderungen in den Wikimedia-Wikis zu verpassen, kannst du [[m:Tech/News/de|den wöchentlichen technischen Newsletter]] [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|abonnieren]]. Wir haben [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|zwei Möglichkeiten vorgeschlagen]], wie diese Identität funktionieren kann. '''Wir würden uns über deine Rückmeldung freuen''', welche Möglichkeit für dich und dein Wiki am besten funktionieren würde, jetzt und in der Zukunft. Du kannst [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|es uns auf der Diskussionsseite wissen lassen]]. Du kannst in deiner Sprache schreiben. Die Vorschläge wurden im Oktober veröffentlicht und wir werden nach dem 17. Januar entscheiden. Danke. /[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]<section end=content/> 19:12, 4. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johan (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(2)&oldid=22532495 --> == Need your input on a policy impacting gadgets and UserJS == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Dear interface administrator, This is Samuel from the Security team and I hope my message finds you well. There is an [[m:Talk:Third-party resources policy|ongoing discussion]] on a proposed policy governing the use of external resources in gadgets and UserJS. The proposed [[m:Special:MyLanguage/Third-party resources policy|Third-party resources policy]] aims at making the UserJS and Gadgets landscape a bit safer by encouraging best practices around external resources. After an initial non-public conversation with a small number of interface admins and staff, we've launched a much larger, public consultation to get a wider pool of feedback for improving the policy proposal. Based on the ideas received so far, the proposed policy now includes some of the risks related to user scripts and gadgets loading third-party resources, best practices for gadgets and UserJS developers, and exemptions requirements such as code transparency and inspectability. As an interface administrator, your feedback and suggestions are warmly welcome until July 17, 2023 on the [[m:Talk:Third-party resources policy|policy talk page]]. Have a great day!</div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[m:User:Samuel (WMF)|Samuel (WMF)]], on behalf of the Foundation's Security team</bdi> 01:02, 8. Jul. 2023 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Samuel (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Samuel_(WMF)/IAdmins_MassMessage_list_1&oldid=25272788 --> == == bitte mal (als Admin) einen Blick auf die Vandalismusmeldung werfen. Gruß [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 08:47, 1. Dez. 2025 (CET) :Ich weiß noch nicht, wie ich mit den zahlreichen Löschanträgen umgehen soll. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 10:19, 1. Dez. 2025 (CET) == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 20:32, 28. Apr. 2026 (CEST) </div> 5gf70kz98u0z4k5mb2geac1vkxequ1u 3 87679 1078387 1062907 2026-04-28T18:32:00Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* You may be an eligible candidate for the U4C election */ 1078387 wikitext text/x-wiki == Your feedback matters: Final reminder to take the global Wikimedia survey == (''Sorry to write in Engilsh'') <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> Hallo! Dies ist eine endgültige Erinnerung, dass die Wikimedia Foundation Umfrage am '''28. Februar 2017 (23:59 UTC)''' schließen wird. Die Umfrage ist in unterschiedlichen Sprachen verfügbar und nimmt 20 und 40 Minuten deiner Zeit in Anspruch. '''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&Aud=AE&Src=19AEOP Nimm an der Umfrage jetzt teil.]''' Wenn du schon die Umfrage gemacht hast: danke! Wir werden dich nicht wieder stören. '''Über diesem Umfrage:''' Mehr Information zur Umfrage [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|gibt es hier]], oder Sie können die [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|häufig gestellte Fragen]] lesen. Die Umfrage wird von einem externen Anbieter betrieben, es gelten diese [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|Datenschutzbestimmungen]]. Wenn du zusätzliche Hilfe benötigst oder wenn du an zukünftigen Kommunikationen über diese Umfrage nicht teilnehmen möchtest, sende uns eine e-Mail an [[:m:Special:EmailUser/EGalvez_(WMF)| User:EGalvez (WMF)]] by dem ''EmailUser''-Funcktion oder surveys@wikimedia.org. '''Über die Wikimedia Foundation:''' Die [[:wmf:Home|Wikimedia Foundation]] unterstützt Sie bei der Arbeit an Software und Technik, um die Seiten schnell, sicher und zugänglich zu machen, sowie die Wikimedia-Programme und Initiativen, um den Zugang zu erweitern und kostenloses Wissen weltweit zu unterstützen. Danke! --[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]] ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) 09:23, 24. Feb. 2017 (CET) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:EGalvez (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/19-AEOP&oldid=16205365 --> Hallo Bert, möchtest du hier nicht Adminstrator werden, du bist hier doch stabil aktiv? Gruß, Holger Hallo Holger, Wäre nett, wenn ich das Recht bekommen würde, die Special:Import-Tools nutzen zu dürfen. Das würde mir schon helfen ein paar Templates, wie z.B. das Graph-Templates zu importieren. Vielen Dank für Euer Vertrauen. Grüße, Bert == Bitte überprüfen Sie Ihre E-Mail == Hallo {{PAGENAME}}: Bitte überprüfen Sie Ihre E-Mail! Betreff: "The Community Insights survey is coming!" Sollten Sie noch Fragen haben, dann schicken Sie einfach eine Mail an surveys@wikimedia.org. (Please check your email! Subject: "The Community Insights survey is coming!" If you have questions, email surveys@wikimedia.org.) Sorry for the inconvenience, [[:b:de:Special:Diff/929536|see my explanation here]]. [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 20:16, 24. Sep. 2020 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Samuel (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Samuel_(WMF)/Community_Insights_survey/de&oldid=20476452 --> ==Verschiebungen== :bitte keine Sachen verschieben, die in Kurse eingebunden sind, Gruß Holger Das betrifft so ziemlich alles, was du heute verschoben hast (ca 50 Seiten). Du hast glaub ich deine Kompaktseite zu Funktionalanalysis/Kompaktheit verschoben, dabei aber alle Unterseiten, die mit Kompaktheit anfangen, mitverschoben. Schau mal unter deine Beiträge. Am besten einfach mit Unterseiten zurückverschieben und dann ohne Unterseiten wieder hingeschrieben. Gruß Holger : @Bocardodarapti: Hi Holger, sorry alles zurückverschoben und REDIRECT gesetzt in der root-Seite von Kompaktheit, hoffe alles wieder ok, REDIRECT kann auch entfernt werden. ::es war noch das Vorkurs Kurs: zu viel, deshalb hab ich nochmal verschoben, jetzt sollte alles am Platz sein. Gruß.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) ::: @Bocardodarapti Danke und entschuldige bitte die Arbeit, die ich durch die Verschiebung gemacht habe. --[[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 12:39, 13. Dez. 2021 (CET) ::::Kein Problem.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) == How we will see unregistered users == <section begin=content/> Hallo! Du erhältst diese Nachricht, da du Administrator in einem Wikimedia-Wiki bist. Wenn heute jemand unangemeldet eine Bearbeitung in einem Wikimedia-Wiki vornimmt, zeigen wir dessen IP-Adresse an. Wie viele von euch bereits wissen, werden wir dies in der Zukunft nicht mehr tun können. Dies ist eine Entscheidung der Rechtsabteilung der Wikimedia Foundation aufgrund der Änderung von Normen und Vorschriften zum Datenschutz im Internet. Statt der IP-Adresse zeigen wir eine maskierte Identität. Als Admin '''wirst du weiterhin auf die IP zugreifen können'''. Es wird auch neue Benutzerrechte für diejenigen geben, die die vollständigen IPs von unangemeldeten Benutzern sehen müssen, um Vandalismus, Belästigung und Spam bekämpfen zu können ohne Admin zu sein. Kontrollierer werden ebenfalls Teile der IP sehen können, auch ohne dieses Benutzerrecht. Wir arbeiten auch an [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|besseren Werkzeugen]] zur Unterstützung. Wenn du die Seite noch nicht gesehen hast, kannst du [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/de|auf Meta mehr lesen]]. Wenn du sicherstellen möchtest, keine technischen Änderungen in den Wikimedia-Wikis zu verpassen, kannst du [[m:Tech/News/de|den wöchentlichen technischen Newsletter]] [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|abonnieren]]. Wir haben [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|zwei Möglichkeiten vorgeschlagen]], wie diese Identität funktionieren kann. '''Wir würden uns über deine Rückmeldung freuen''', welche Möglichkeit für dich und dein Wiki am besten funktionieren würde, jetzt und in der Zukunft. Du kannst [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|es uns auf der Diskussionsseite wissen lassen]]. Du kannst in deiner Sprache schreiben. Die Vorschläge wurden im Oktober veröffentlicht und wir werden nach dem 17. Januar entscheiden. Danke. /[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]<section end=content/> 19:12, 4. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johan (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(2)&oldid=22532495 --> == Bedingung == Der erste Satz in [[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie]] stimmt so nicht, nur für Teilmengen vom {{math|term= \R^n |SZ=}} mit der euklidischen Topologie. Beispielsweise kann man den {{math|term= \R^n |SZ=}} selbst auch beschränkt metrisieren. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 14:58, 30. Jul. 2022 (CEST) :Danke Dir [[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 15:01, 30. Jul. 2022 (CEST) == Erinnerung: Stimm jetzt über die Mitglieder des ersten U4C ab == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2024/Announcement – vote reminder|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]] [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2024/Announcement – vote reminder}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]'' Liebe:r Wikimedianer:in, du erhältst diese Nachricht, weil du dich zuvor am UCoC-Prozess beteiligt hast. Das ist eine Erinnerung daran, dass die Abstimmungsphase für das Koordinationskomitee des universellen Verhaltenskodex (U4C) am 9. Mai 2024 endet. Auf der [[m:Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Election/2024|Wahlseite im Meta-Wiki]] könnt ihr mehr über die Wahl und die Wahlberechtigung erfahren. Das Koordinationskomitee des universellen Verhaltenskodex (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und konsequente Umsetzung des UCoC einsetzt. Communitymitglieder waren eingeladen, sich für das U4C zu bewerben. Mehr Informationen über das U4C und seine Aufgaben sind in [[m:Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|der U4C-Satzung]] zu finden. Bitte teile diese Nachricht mit Mitgliedern deiner Community, sodass sie sich auch beteiligen können. Für das UCoC-Projektteam<section end="announcement-content" /> [[m:User:RamzyM (WMF)|RamzyM (WMF)]] 01:17, 3. Mai 2024 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:RamzyM (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2024/Previous_voters_list&oldid=26721206 --> == MediaWiki to LaTeX Vortrag == Hallo Bert, da du dich ja etwas für mein mediawiki2latex Projekt interessierst wollte ich dich kurz auf meinen virtuellen Vortrag über das Projekt auf der WikiCon hinweisen. Er ist bereits aufgezeichnet und online verfügbar (Dauer 35 Minuten). Siehe hier: [[:Datei:MediaWiki2LaTeXTalkRevision4.webm]] Die Folien sind hier: [[:Datei:MediaWiki2LaTeXTalk.pdf]] Viel Spass und viele Grüße [[Benutzer:Dirk Hünniger|Dirk Hünniger]] ([[Benutzer Diskussion:Dirk Hünniger|Diskussion]]) 12:52, 9. Sep. 2024 (CEST) :Klasse Dirk, schaue ich mir gerne in Ruhe an. [[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 13:50, 9. Sep. 2024 (CEST) == Dateien == Hallo! Ich habe einige Dateien überprüft (siehe zum Beispiel [[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]]) und ich habe bemerkt, dass [[:Datei:TagFlieger.png]] kein PNG, sondern ein JPG ist. Vielleicht könntest du es in .jpg umbenennen? [[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 13:52, 30. Nov. 2024 (CET) :Datei habe ich umbenannt und Weiterleitung auf die JPG gesetzt. Diese könnte gelöscht werden, wenn keine Bildverweise auf die PNG mehr verwendet werden. [[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 18:16, 30. Nov. 2024 (CET) :: Vielen Dank! --[[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 19:00, 1. Dez. 2024 (CET) == Hauptseite == Willst du vielleicht auch deine Kurse auf den Beispielkursen auf der Hauptseite erwähnen? (ebenso auf der Matheseite?) Dass das, was wir haben, etwas präsenter ist. Eventuell auch, dass du deinen Ansatz kurz erläuterst (wenn ich es richtig verstehe, vernwendest du ja überarbeitete Wikipediaseiten in einer bestimmten Darstellungsform). Gruss [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 20:18, 3. Dez. 2025 (CET) :Im Sinne von Versionskontrol a la Git, sollte man einen Fork von der Quelle kennzeichnen. Darum habe ich den Footer verwendet. Damit hat man eine saubere Versionshistorie, die man durch die Versionierung im Dokument kenntlich macht. Finde Konzept mit den Template informatisch bei Dir besser gelöst. Muss mir dazu das Expandieren von Definitionen und Satz-Templates auch einmal genauer ansehen, damit das auch in Vorlesungsfolien von [[Wiki2Reveal]] funktioniert, die man auch clientseitig im Browser in der Vorlesung beschreiben kann, ohne dass die Daten in Wikiversity dadurch verändert werden. [[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 12:02, 4. Dez. 2025 (CET) == verwaist == Hallo Bert, schöne Ferien! Wenn dir langweilig ist, könntest du mal einen Blick auf [[Spezial:Verwaiste_Seiten]] werfen, da ist einiges von dir gelandet. Ich räum da grad auf. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 11:28, 21. Dez. 2025 (CET) :Habe mich um die verwaisten Seiten gekümmert. Danke für den Hinweis, Holger, hatte die Seiten nicht mehr auf dem Schirm. Noch eine schöne Zeit, [[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 14:49, 26. Dez. 2025 (CET) == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 20:32, 28. Apr. 2026 (CEST) </div> 9dmriastowv7scpfbquri4gydn2l1p7 3 101038 1078385 1061182 2026-04-28T18:32:00Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* You may be an eligible candidate for the U4C election */ 1078385 wikitext text/x-wiki :hab dir die Adminrechte erteilt, und ich kann als Mentor fungieren. Gruß, Holger. Hallo [[Benutzer:Bocardodarapti|Holger]]. Ganz herzlichen Dank. Ich versuche, mich in den nächsten Tagen mit Hilfe des WP-Admin-Handbuchs in die Sache einzuarbeiten, und freue mich, wenn ich ab und zu bei Dir mal fragen darf, wenn ich nicht weiterkommen sollte.--[[Benutzer:PaFra|PaFra]] ([[Benutzer Diskussion:PaFra|Diskussion]]) 16:38, 2. Okt. 2018 (CEST) == Fragen oder Anmerkungen == Hier können Sie Ihre Fragen oder Anmerkungen hinterlassen.--[[Benutzer:PaFra|PaFra]] ([[Benutzer Diskussion:PaFra|Diskussion]]) 17:32, 20. Okt. 2018 (CEST) == How we will see unregistered users == <section begin=content/> Hallo! Du erhältst diese Nachricht, da du Administrator in einem Wikimedia-Wiki bist. Wenn heute jemand unangemeldet eine Bearbeitung in einem Wikimedia-Wiki vornimmt, zeigen wir dessen IP-Adresse an. Wie viele von euch bereits wissen, werden wir dies in der Zukunft nicht mehr tun können. Dies ist eine Entscheidung der Rechtsabteilung der Wikimedia Foundation aufgrund der Änderung von Normen und Vorschriften zum Datenschutz im Internet. Statt der IP-Adresse zeigen wir eine maskierte Identität. Als Admin '''wirst du weiterhin auf die IP zugreifen können'''. Es wird auch neue Benutzerrechte für diejenigen geben, die die vollständigen IPs von unangemeldeten Benutzern sehen müssen, um Vandalismus, Belästigung und Spam bekämpfen zu können ohne Admin zu sein. Kontrollierer werden ebenfalls Teile der IP sehen können, auch ohne dieses Benutzerrecht. Wir arbeiten auch an [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|besseren Werkzeugen]] zur Unterstützung. Wenn du die Seite noch nicht gesehen hast, kannst du [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/de|auf Meta mehr lesen]]. Wenn du sicherstellen möchtest, keine technischen Änderungen in den Wikimedia-Wikis zu verpassen, kannst du [[m:Tech/News/de|den wöchentlichen technischen Newsletter]] [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|abonnieren]]. Wir haben [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|zwei Möglichkeiten vorgeschlagen]], wie diese Identität funktionieren kann. '''Wir würden uns über deine Rückmeldung freuen''', welche Möglichkeit für dich und dein Wiki am besten funktionieren würde, jetzt und in der Zukunft. Du kannst [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|es uns auf der Diskussionsseite wissen lassen]]. Du kannst in deiner Sprache schreiben. Die Vorschläge wurden im Oktober veröffentlicht und wir werden nach dem 17. Januar entscheiden. Danke. /[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]<section end=content/> 19:12, 4. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johan (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(2)&oldid=22532495 --> == [[:Datei:Logo-Universität-Bamberg-blau.png]] == Hallo! Sie haben auf [[:c:Commons:Deletion requests/File:Logo-Universität-Bamberg-blau.png]] diesen Kommentar geschrieben: "The University of Bamberg has allowed me to use it in the German-language Wikiversity, but has made it clear that it may not be uploaded to Wikimedia Commons." Wenn das Logo nicht frei ist, kann es nicht auf Commons behalten werden. Es kann aber auch nicht auf der deutschen Wikiversity bleiben, da nicht-freie Inhalte hier nicht erlaubt sind. Ich habe hier bereits darüber geschrieben: [[:Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2025#Nicht-freie_Inhalte]]. [[:wmf:Resolution:Licensing_policy]] erfordert eine Exemption Doctrine Policy (EDP) und es gibt keine auf [[:m:Non-free_content#Wikiversity]]. [[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 17:55, 2. Jun. 2025 (CEST) :Hallo {{ping|MGA73}}. Heißt das, dass wir hier in der Wikiversität eine Exemption Doctrine Policy (EDP) haben müssen, damit wir dieses Logo behalten können? Und wenn ja, was muss gemacht werden, damit die Wikiversität eine EDP erhält?[[Benutzer:PaFra|PaFra]] ([[Benutzer Diskussion:PaFra|Diskussion]]) 22:39, 2. Jun. 2025 (CEST) :: Ja, für nicht-freie Inhalte ist ein EDP erforderlich. Dieser sollte kurz beschreiben, welche Inhalte unter welchen Bedingungen erlaubt sind. Er sollte auch auf die einschlägigen Gesetze verweisen. Abschließend sollte er gemäß den üblichen Verfahren genehmigt werden. --[[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 06:18, 3. Jun. 2025 (CEST) Hallo! Ich habe nun ein "nowiki" hinzugefügt, damit die Seite nicht mehr in der Kategorie der Löschvorschläge steht, während wir auf das Ergebnis deines Vorschlags auf [[Wikiversity:Cafeteria#Exemption_Doctrine_Policy_(EDP)]] warten. Vielleicht kannst du dir meinen Vorschlag auf [[MediaWiki_Diskussion:Licenses#Änderung_der_Lizenz]] anschauen? Wie ich auf [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2025#Vorschlag,_CC-BY-SA-4.0_zu_MediaWiki:Licenses_hinzuzufügen]] geschrieben habe, verstehe ich nicht, warum man die neueste Version von Creative Commons (4.0) nicht hinzufügen möchte. Ich kann teilweise nachvollziehen, warum man GFDL nicht ändern würde. Aber ich glaube, der Vorschlag wurde missverstanden, indem angenommen wurde, dass die Änderung von GFDL die bestehenden Dateien neu lizenzieren würde – das tut sie aber nicht. Wenn man "(nicht empfohlen)" hinzufügt, ist das lediglich eine Nachricht, die der Benutzer beim Hochladen von Dateien sieht. Wenn man zu Bild-GFDL-Neu wechselt, wird damit ausdrücklich signalisiert, dass alle neuen Dateien nicht neu lizenziert werden können. Mein Vorschlag ist daher, die Zeile mit Bild-CC-by-sa-4.0 hinzuzufügen, "(nicht empfohlen)" nach GFDL einzufügen und, falls du unsicher bist, darauf zu verzichten, "-Neu" hinzuzufügen. --[[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 10:06, 8. Jun. 2025 (CEST) ::Hallo {{ping|MGA73}}, ich habe Deinen Vorschlag umgesetzt. Bitte überprüfe, ob es [[MediaWiki:Licenses|so]] richtig ist.--[[Benutzer:PaFra|PaFra]] ([[Benutzer Diskussion:PaFra|Diskussion]]) 13:16, 8. Jun. 2025 (CEST) ::::Danke. Das sieht gut aus. --[[Benutzer:MGA73|MGA73]] ([[Benutzer Diskussion:MGA73|Diskussion]]) 15:14, 8. Jun. 2025 (CEST) == Beispielkurse == ich hab deine Kurse auf der Hauptseite erwähnt. Falls du das ändern/präzisieren möchtest, oder deinen Namen da noch mit rein, nur zu. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 20:09, 3. Dez. 2025 (CET) ::Gute Idee. Danke!--[[Benutzer:PaFra|PaFra]] ([[Benutzer Diskussion:PaFra|Diskussion]]) 21:34, 3. Dez. 2025 (CET) == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 20:32, 28. Apr. 2026 (CEST) </div> m8zlgh0ruko8ag0e81nm4x8z6zsvttd 3 101066 1078388 1063071 2026-04-28T18:32:00Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* You may be an eligible candidate for the U4C election */ 1078388 wikitext text/x-wiki <!--{{Benutzer_inaktiv|1=<b>No access to (own) computer (it will be repaired).</b>}}--> {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=7|Ziel='((Lemma))/Archiv' |Übersicht=[[Benutzer Diskussion:JoKalliauer/Archiv]]|Zeigen=Ja}} __TOC__ == [[:w:Benutzer:Laura_Anna_Ertl/Arbeitsseite_(Laura_Anna_Ertl)]]== Hallo, ich hoffe das ist jetzt die richtige Seite um zu kommunizieren. Ich habe jetzt mal den Artikel auf meiner Arbeitsseite erstellt. Da ist aber auch noch das von der Übung (Margret Thatcher) drauf. Macht das was? -- [[Benutzer:Laura Anna Ertl|Laura Anna Ertl]] ([[Benutzer Diskussion:Laura Anna Ertl|Diskussion]]) :{{ping|Laura_Anna_Ertl}}Am besten ist du löscht einfach die zwei Sätze zu Margit Thatcher, die sind in der Verlaufgeschichte ohnehin sichtbar und für die Benotung ist das Gegenlesen, der Artikel und die Benotung wichtig.  — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 19:39, 22. Jul. 2019 (CEST) == Wiktoria Korzekwa == Hallo, tut mir Leid, dass ich anders vorgegangen bin, als vorgesehen. Ich habe bereits per E-Mail geschrieben, dass ich weder über die Aufgabenstellung, noch Deadlines benachrichtigt wurde und deshalb noch nichts abgegeben hab. Nachdem ich nicht beim Forum dabei war, weil ich ursprünglich für das PR-Seminar angemeldet war, hat mich nach der letzten Einheit keine Nachricht erreicht, was dort genaues besprochen und beschlossen wurde. Liebe Grüße --[[Benutzer:Wiktoria Korzekwa|Wiktoria Korzekwa]] ([[Benutzer Diskussion:Wiktoria Korzekwa|Diskussion]]) 22:59, 24. Aug. 2019 (CEST) :{{ping|Wiktoria Korzekwa}} Leider Lag bei deinem Namen ein Tippfehler vor, weshalb ich dich hier nicht erreichte, aber du hättest proaktiv auch nachfragen können. Wie auch immer, wenn du jetzt aufholst sehe ich darin kein Problem. Das letzte Wort/Benotung hat jedoch {{ping|Friedrich Schipper}}.  — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 23:12, 24. Aug. 2019 (CEST) Ich habe bereits Artikel (https://de.wikipedia.org/wiki/Tryst_with_Destiny) und Quellenrecherche(https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Wiktoria_Korzekwa/Dokumentation_(Kurs:Europaforum_Wachau_(SS_2019))#cite_note-1) angelegt. --[[Benutzer:Wiktoria Korzekwa|Wiktoria Korzekwa]] ([[Benutzer Diskussion:Wiktoria Korzekwa|Diskussion]]) 00:37, 25. Aug. 2019 (CEST) :{{ping|Wiktoria Korzekwa}} Danke für die so rasche Aufholung. :-D :Du hättest den Artikel auf [[Benutzer:Wiktoria_Korzewka/Arbeitsseite_(Wiktoria_Korzewka)]] schreiben sollen, da könntest du ungestört arbeiten. :Wenn du willst, kann ich den dorthinverschieben, anderenfalls kann es sein, dass andere miteditieren. ({{ping|Agruwie|Regiomontanus|Karl Gruber}} Ich finde den Arikel so weit, dass ich eine Verschiebung nicht notwendig finde, da es kaum Editierungen gibt.) :Ich mag dich auf [[Benutzer:JoKalliauer/Typische_Fehler#Zitatrecht/Wörtliche_Zitate]] hinweisen. Derzeit ist es (in der Auslegung für die Lehrveranstaltung) das Zitatrecht in dieser Zitatlänge nicht zulässig, somit stellt somit eine Urheberrechtsverletzung dar. Des weiteren war es nicht als wörtliches Zitat ausreichend gekennzeichtet, und hatte ein Plagiat dargestellt. : — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 07:59, 25. Aug. 2019 (CEST) Ich sehe den Fehler in der Zitatlänge bei meinem Artikel, jedoch ist es die Rede, die so wiedergegeben wurde. Ist es dann nicht da eine Ausnahme? Ich hätte noch eine inhaltliche Frage, die ursprüngliche Rede war im Englischen, sollte diese noch in meinem deutschen Artikel ergänzt werden (da ich ja nur die deutsche Übersetzung zitiert habe) oder ist es nicht notwendig, da ein englischer Eintrag dafür bereits existiert? --[[Benutzer:Wiktoria Korzekwa|Wiktoria Korzekwa]] ([[Benutzer Diskussion:Wiktoria Korzekwa|Diskussion]]) 14:43, 25. Aug. 2019 (CEST) :{{ping|Wiktoria Korzekwa}}Wenn du einen Kinofilm/Youtubefilm siehst, darfst du wenn du darüber diskutierst auch nur Filmschnitzel zeigen die deine Aussagen belegen, aber nicht dem Film selbst um ihn zu beweren und auch nur dann wenn der Film legal öffentlich zugänglich ist (Kino, Youtube, Fernsehen, ...). Siehe https://youtube.com/watch?v=XOgKoxVQaPQ&t=30 :Am 12.04. hast du auch an [[:w:Sermon_on_the_Mound]] mitgeschrieben, diese beinhaltet kein einziges wörtliches Zitat, obwohl es eine Rede ist. :Ob man den englischen oder den deutschen Text zitiert (oder beides) ist eine Stielfrage die du selbst entscheiden kannst, ich würde mich an ähnlichen Artikel orientieren. :Solltest du die deutsche Übersetzung nehmen, dann hat sowohl die AutorIn des Originaltextes als auch die ÜbersetzerIn daran prinzipiell ein Urheberrecht. :Die Deutsche Wikipedia ist komplet getrennt von der englischen zu sehen. Die englische könnte es löschen, ändern, hat ander Regeln, andere Schwerpunkte, daher ist die en.wikipedia für die de.wikipedia egal. : — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 22:49, 25. Aug. 2019 (CEST) == Spam == Hi, kindly clear [[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]], it's full of nonsense created by spambots. Thanks. [[Benutzer:Minorax|Minorax]] ([[Benutzer Diskussion:Minorax|Diskussion]]) 06:39, 2. Feb. 2020 (CET) :{{ping|Minorax}} Hi <font color="#DC143C">大</font><font color="#FFC40C">诺</font><font color="#00A550">史</font>! Thanks. I just deleted the pages, but I did not block the users. (Maybe I should.) I did not even know [[meta:Small_Wiki_Monitoring_Team|SWMT]] till now. Generally, we don't have spam/conflics here therefore the admins here do not check for such things, I did not even knew [[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]] (Löschen .. german for delete) exists.  — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 20:54, 2. Feb. 2020 (CET) ::Thank you for your quick response! I believe that they should be blocked, unless they’re already locked by stewards. They might reappear and will recreate the spam pages and it’ll be a waste of time for someone to tag and another to delete. As I type this, another popped up so do kindly delete it. Once again, thank you for your help! [[Benutzer:Minorax|Minorax]] ([[Benutzer Diskussion:Minorax|Diskussion]]) 00:43, 3. Feb. 2020 (CET) == Hinweis auf De-Administrierung wegen Inaktivität == Hallo JoKalliauer, gemäß [[Wikiversity:Administratoren#Verfahren bei Inaktivität]] verlieren Admins nach einem Jahr der Inaktivität ihre erweiterten Benutzerrechte als Administratoren und Bürokraten. Inaktivität liegt vor, wenn der Benutzer ein Jahr lang weniger als zehn Bearbeitungen vorgenommen hat. Vor der Aberkennung der Rechte ist dem Benutzer Gelegenheit zur Stellungnahme binnen zwei Wochen zu geben. Erfolgt innerhalb dieser zwei Wochen keine Stellungnahme, werden die erweiterten Rechte entzogen. --[[Benutzer:Ameisenigel|Ameisenigel]] ([[Benutzer Diskussion:Ameisenigel|Diskussion]]) 13:22, 18. Feb. 2024 (CET) :{{ping|Ameisenigel}} Ich habe die zwei Wochen wie in der Judikatur aufgefasst, also dass ich noch heute bis 24:00 CET Zeit habe.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.oesterreich.gv.at/themen/gesetze_und_recht/gerichtsorganisation_der_justiz/zivilrecht/1/Seite.1010130.html |titel=Berechnung von gerichtlichen Fristen |sprache=de |abruf=2024-03-03}}</ref>. Da heute ein Sonntag ist, verlängert sich die Frist bis morgen 24:00 CET.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.verbraucherzentrale.de/wissen/vertraege-reklamation/kundenrechte/fristen-dschungel-der-termine-10387 |titel=Fristen: Dschungel der Termine |datum=2022-01-04 |sprache=de |abruf=2024-03-03}}</ref> :Dass ich 3,2Jahre inaktiv war, hat viele Gründe allemvoran dass im [[Projekt:Wikiversity_Austria]] keine Vorlesungen stattgefunden haben. Privat gab es einige zeitlich befristete Ereignisse: Es gibt familiär einen Pfegefall in meiner Familie der sich in den letzten Jahren deutlich verschlechtert hat, ich habe 2022 standesamtlich geheiratet, beruflich war ich ein Jahr (2022/2023) am [[w:MIT]] und der Wechsel von der Wissenschaft in die Privatwirtschaft war auch mit zusätzlichen Aufwand verbunden, da ich für die TU-Wien als auch für das MIT noch Projekte in meiner Freizeit zum fertig stellen habe. Ich bin zwar seit Juli wieder zurück, plane aktuell meine (kirchliche) Hochzeit die im April statt finden wird. :Ich war nach vielen Jahren wieder auf der (letzten) WikiCon (in Linz) und habe mich dort auch mit dort vorgestellten Hochschulprojekten vernetzt und plane wieder aktiver zu werden. :Ich bitte um Wieder-Erhalt meiner Administratoren-Rechte, wenn ich die erf. 10 Bearbeitungen bis Mitte dieses Jahres (31.06.2024) erreiche, sollte ich die 10 Bearbeitungen nicht erreichen, trete ich zurück.  — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 20:50, 3. Mär. 2024 (CET) , Korrektur 20:57, 3. Mär. 2024 (CET) <references/> ::Ich habe die zwei Wochen als minutengenau aufgefasst, also 18.02.2014 13:22 bis 03.03.2024 13:22. Ich persönlich habe allerdings überhaupt nichts dagegen, wenn du die Rechte zurückerhalten möchtest. Dafür müsstest du allerdings die lokalen Bürokraten kontaktieren. --[[Benutzer:Ameisenigel|Ameisenigel]] ([[Benutzer Diskussion:Ameisenigel|Diskussion]]) 21:07, 3. Mär. 2024 (CET) Das hättest du auch mit deiner Sockenpuppe rückgängig machen können, statt hier mit einem weiteren Account Account aufzutauchen[https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversity_Diskussion:Cafeteria&diff=next&oldid=1058641] == Bitte nicht mit Sockenpuppen == Wenn du mit mir eine Kommunikation suchst, dann bitte nicht über Sockenpuppen. Und noch etwas, halte dich von mir fern. <span style="text-shadow:7px 5px 7px grey;font-family:High Tower Text">[[Benutzer:Wulfrich|<span style="color:#123524">Wulfrich</span>]] ^{[[Benutzer Diskussion:Wulfrich|<span style="color:#353839">Diskussion</span>]]}</span> 22:37, 11. Nov. 2025 (CET) [[Wikiversity:Checkuser|CU-Verfahren]] nötig? Kann auch projektübergreifend erfolgen. Also, Anna, wie sieht es aus? <span style="text-shadow:7px 5px 7px grey;font-family:High Tower Text">[[Benutzer:Wulfrich|<span style="color:#123524">Wulfrich</span>]] ^{[[Benutzer Diskussion:Wulfrich|<span style="color:#353839">Diskussion</span>]]}</span> 22:45, 11. Nov. 2025 (CET) :Ich habe über [https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAuth/JoKalliauer 20.000 Bearbeitungen in Wikiversum], Trinitrix hat [https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAuth?target=Trinitrix über 17.000 Bearbeitungen] im Wikiversum, Wulfrich hat noch keine [https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAuth?target=Wulfrich 2.400 Bearbeitungen], insofern vermute ich, dass die drei unabhängige Hauptaccounts sind :wie bereits auf [[Wikiversity_Diskussion:Cafeteria#Gesicht_zeigen!]] geschrieben, wer will, kann bei den Bestätigungen der deutschsprachigen Wikipedia ([[:Wikipedia:Wikipedia:Persönliche_Bekanntschaften]]) mitmachen, ich habe die entsprechende Vorlage von der de.wikipedia hierher kopiert (ohne Versionsgeschichte), und ist zu finden unter: {{Vorlage|PB-Teilnehmer}}. :Wenn du ein Gesicht von mir haben willst, brauchst du einfach nur nach meinem Klarnamen suchen, transparenter als ich geht fast nicht: https://news.mit.edu/2022/civil-engineering-across-disciplines-johannes-kalliauer-0819 : — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 19:04, 12. Nov. 2025 (CET) == verwaist == [[Ziviltechnikergesetz für die ZT-Prüfung]] [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 12:53, 27. Dez. 2025 (CET) :Sollte nicht mehr verwaist sein, danke  — [[User:JoKalliauer|Johannes <span style="color:black; font-family:Monotype Corsiva;">Kalliauer</span>]] - <small>[[User talk:JoKalliauer|Diskussion]] &#124; [[Spezial:Beiträge/JoKalliauer|Beiträge]]</small> 19:16, 27. Dez. 2025 (CET) == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 20:32, 28. Apr. 2026 (CEST) </div> 0ia409760uzbi5crgnj5j96ucq0exes 2 105152 1078392 1078309 2026-04-29T06:03:01Z Bocardodarapti 2041 1078392 wikitext text/x-wiki [[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]] {{ inputbemerkung |Quasihomogener Ring/Euler-Derivation/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Hyperfläche/3 Variablen/Transformation/1/Beispiel|| }} [[Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Strukturgarbe/Offene Teilmengen/Globaler Schnittring/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Reflexiver Modul/Garbe/Auswertung/Textabschnitt]] [[Isolierte Singularität/Komplement/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Algebra/Spektrum/Realisierung/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Varianten/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Monoidring/Grad 0 Ring/Endliche Gruppe/Tangentialschema/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Kähler-Differentiale/Zweite äußere Potenz/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Äußere Ableitung/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Derivationen/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Isoliert/Dimension geq 3/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt]] [[Tangentialkegel/Einführung/Textabschnitt]] [[Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt]] [[Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt]] [[Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt]] [[Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt]] [[Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt]] [[Hauptteile/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Selbstprodukt/Hauptteilmodul/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A n/Differentialoperatoren/Positive Charakteristik/Beispiel|| }} [[Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Derivation/Hyperfläche/PotenzadditionAusdehnbarkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel|| }} [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt]] [[Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt]] Vorträge [[Differentielle Signatur/Vortrag]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/3/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt]] 3vaq4wt1sm6k2shjkb2itnd3y26bn1o 1078399 1078392 2026-04-29T06:08:51Z Bocardodarapti 2041 1078399 wikitext text/x-wiki {{ inputbemerkung |Quasihomogener Ring/Euler-Derivation/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Hyperfläche/3 Variablen/Transformation/1/Beispiel|| }} [[Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Strukturgarbe/Offene Teilmengen/Globaler Schnittring/Textabschnitt]] [[Affines Schema/Reflexiver Modul/Garbe/Auswertung/Textabschnitt]] [[Isolierte Singularität/Komplement/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Algebra/Spektrum/Realisierung/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Textabschnitt]] [[Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Varianten/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Monoidring/Grad 0 Ring/Endliche Gruppe/Tangentialschema/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Kähler-Differentiale/Zweite äußere Potenz/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Äußere Ableitung/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt]] [[Potenzsingularitäten/Derivationen/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt]] [[Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Textabschnitt]] [[Hyperflächensingularitäten/Isoliert/Dimension geq 3/Kähler-Differentiale/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt]] [[Tangentialkegel/Einführung/Textabschnitt]] [[Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt]] [[Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt]] [[Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt]] [[Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt]] [[Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt]] [[Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Gruppenoperation/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt]] [[Hauptteile/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt]] [[Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Selbstprodukt/Hauptteilmodul/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A n/Differentialoperatoren/Positive Charakteristik/Beispiel|| }} [[Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt]] {{ inputbeispiel |Derivation/Hyperfläche/PotenzadditionAusdehnbarkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differentialoperator/Ordnung 2/Hyperfläche/Potenzaddition/Ausdehnbarkeit/Beispiel|| }} [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/Arbeitsblatt]] [[Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt]] Vorträge [[Differentielle Signatur/Vortrag]] [[Facard/Vortrag/1/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/2/Textabschnitt]] [[Facard/Vortrag/3/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/1/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt]] 7ia293ky6euq0gpfthb4xhztpnmp5k9 0 126233 1078379 1045016 2026-04-28T15:55:46Z Bocardodarapti 2041 1078379 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |SZ= }} und {{ Relationskette |f | \in | L || || || |SZ= }} ein Element mit der Multiplikationsabbildung {{ Abbildung/display |name= \mu_f | L | L | y |fy |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist in {{math|term= K[X] |SZ=}} das {{ Definitionslink 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[[Benutzer:Arbota|Arbota]] ([[Benutzer Diskussion:Arbota|Diskussion]]) 12:10, 13. Aug. 2022 (CEST) == Botflag == Hallo @[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]], könnten Sie bitte diesem Konto via [[Spezial:Benutzerrechte/Arbota]] Botrechte vergeben? Im Moment werden [[Spezial:Letzte Änderungen]] (und darauf basierende Werkzeuge wie der [[m:SWViewer|SWViewer]]) mit hunderten von Bearbeitungen überflutet. [[Benutzer:1234qwer1234qwer4|1234qwer1234qwer4]] ([[Benutzer Diskussion:1234qwer1234qwer4|Diskussion]]) 16:47, 15. Aug. 2022 (CEST) Danke für den Hinweis, mir war im Moment gar nicht klar, wie man das macht. Gruß, Holger[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:01, 15. Aug. 2022 (CEST) == You may be an eligible candidate for the U4C election == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Greetings, The [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee (U4C)]] seeks candidates for the 2026 election. The U4C is the global committee responsible for overseeing enforcement of the [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]]. Elections are held annually, if elected a committee member serves for two years. This year the U4C requires candidates to hold administrator rights on at least one wiki, which is why you are being contacted as you appear to hold this right. There are other requirements, such as candidates must be at least 18 years old and may not be employed by the Wikimedia Foundation or other related chapters and affiliates. You can find more information in the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026#Call_for_Candidates|call for candidates on Meta-wiki]]. Additionally, the committee's working language is English; some ability to communicate in English is required. The election opens on 18 May, if you are eligible and interested you have until 10 May to submit your candidacy. There will week between for candidates to answer questions from the community. Voting takes place privately in [[m:Special:MyLanguage/SecurePoll|SecurePoll]], successful candidates must receive at least 60% support. More information is available on [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|the 2026 Elections page]], including timelines and other candidacy information. If you read over the material and consider yourself qualified, please consider submitting your name to run for the committee. If you think someone else in your community might be interested and qualified, please encourage them to run. In partnership with the U4C -- [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User_talk:Keegan (WMF)|talk]]) 20:32, 28. Apr. 2026 (CEST) </div> jht6uj2owyic2grxc81dc3jti50hy7a 106 156782 1078419 933301 2026-04-29T08:11:47Z ~2026-26142-93 41537 /* Vektoren in N Dimensionen */ 1078419 wikitext text/x-wiki Vorherige Seite: [[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Ableitungen|K0 - Ableitungen]]<br> Nächste Seite : [[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Matrizen|K0 - Matrizen]] ==Definiton == Punkte im dreidimensionalen Raum werden durch <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Koordinaten in der Form <math>P(x|y|z)</math> angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung <math>\vec{p}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}</math><br> betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als ''[[w:Vektor|Vektor]]'' bezeichnet. Die Menge der dreidimensionalen Vektoren wird als <math>\mathbb{R}^3</math> bezeichnet. ==Regeln== ===Betrag und Richtung=== Die Länge eines Vektors wird als sein ''Betrag'' bezeichnet und ist durch <math>|\vec{p}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> definiert. Ist dieser nicht Null, so lässt sich damit ein Vektor <math>\hat{\vec{n}}=\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}</math> der Länge Eins definieren, welcher die Richtung des Vektors angibt. ===Vektoraddition=== Vektoren lassen sich komponentenweise addieren <math> \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x+b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z \end{pmatrix} </math> Geometrisch entspricht dies einer Aneinanderreihung der Vektoren. Ebenso lässt sich die Differenz zweier Vektoren <math> \vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z \end{pmatrix} </math> definieren. Der Differenzvektor <math>\vec{a}-\vec{b}</math> gibt an, welcher Vektor an <math>\vec{b}</math> angehängt werden muss, um Vektor <math>\vec{a}</math> zu erhalten. ===(Komponentenweise) Skalarmultiplikation=== Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> multiplizieren <br> <math>\lambda\cdot\vec{p}=\lambda\cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda\cdot x\\ \lambda\cdot y\\ \lambda \cdot z \end{pmatrix}\quad\quad |\lambda\cdot\vec{p}|=|\lambda|\cdot |\vec{p}|</math><br> Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von <math>\lambda</math>. ====Aufgabe==== Gegeben seien die beiden Vektoren <math> \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\quad\quad \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}. </math> Bestimme den Ausdruck <math>3\vec{a}-2\vec{b}</math> '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' === Skalarprodukt=== Manchmal ist es nötig, einen Vektor <math>\vec{a}</math> in parallele und senkrechte Anteile zu einem gegebenen Vektor <math>\vec{n}</math> zu zerlegen. Die beiden Vektoren schließen den Winkel <math>\phi</math> ein. Aus geometrischen Überlegungen lässt sich zeigen, dass der parallele Anteil den Betrag <math>|\vec{a}_{\parallel}|=|\vec{a}|\cos{(\phi)}</math> bestitzt. (Streng genommen, gilt das nur für <math>\phi\in [-\pi/2, \pi/2]</math>.) Eingebettet in ein explizites Koordinatensystem lässt sich weiter zeigen, dass der Zusammenhang <math> a_xn_x+a_yn_y+a_zn_z = |\vec{a}|\cdot|\vec{n}|\cos{(\phi)} </math> gültig ist. Dieser wird benutzt, um das ''[[w:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]'' zweier Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> <math> \vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix} =a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\operatorname{cos}(\phi) </math> zu definieren. Der parallele Anteil von <math>\vec{a}</math> muss dann in Richtung von <math>\vec{n}</math> zeigen und kann daher durch <math>\vec{a}_{\parallel}=|\vec{a}_{\parallel}|\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\left(\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot\vec{a}\right)</math> bestimmt werden. Der senkrechte Anteil ist durch <math>\vec{a}_{\perp}=\vec{a}-\vec{a}_{\parallel}=\vec{a}-\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\left(\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot\vec{a}\right)</math> gegeben. Aus der Definition des Skalarprodukts lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen. Sind sowohl die Vektoren <math>\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math> nicht in allen Komponenten Null (also der ''Nullvektor''), das Skalarprodukt aber dennoch Null, so muss der Kosinus den Wert Null annehmen. Dies ist aber nur möglich, wenn <math>\phi</math> die Wert <math>\pi/2</math> oder <math>3\pi/2</math> annimmt. Da <math>\phi</math> aber den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt, stehen die Vektoren in diesem Fall senkrecht aufeinander. Allgemeiner werden Vektoren deren Skalarprodukt verschwindet als ''[[w:Orthogonalität|orthogonal]]'' bezeichnet. Ebenso lässt sich wegen <math> \vec{a}\cdot\vec{a}=a_x^2+a_y^2+a_z^2 = |\vec{a}|^2 </math> der Betrag eines Vektors mittels des Skalarprodukts durch <math>|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}</math> ausdrücken. ===Aufgabe=== Bestimme das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> aus der vorherigen Aufgabe. Stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander? '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' == Vektoren in <math>N</math> Dimensionen== Die bisherigen Betrachtungen lassen sich auf <math>n</math> Dimensionen erweitern. Die Menge der <math>N</math>-dimensionalen Vektoren wird mit <math>\mathbb{R}^N</math> bezeichnet. Die Vektoradditon erfolgt nach wie vor komponentenweise <math>(\vec{a}\pm\vec{b})_i=a_i\pm b_i</math> ebenso die Skalarmultiplikation <math>(\lambda\vec{a})_i=\lambda a_i.</math> Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und die jeweiligen Ergebnisse addiert, so dass <math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^{N}a_ib_i=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos{(\phi)}</math> gilt. Der Betrag eines Vektors kann weiterhin durch <math>|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{\sum_{i=1}^Na_i^2}</math> bestimmt werden. ==Geraden und Ebenen im Raum== ===Geraden im <math>\mathbb{R}^2</math>=== Vektoren eröffnen eine neue Betrachtungsweise auf Geraden, die in der Analysis durch die Geradengleichung <math>y=mx+b</math> beschrieben werden. Dazu werden Vektoren des <math>\mathbb{R}^2</math> betrachtet. * Es gibt (bis auf die Länge und das Vorzeichen) nur einen Richtungsvektor <math>\vec{n}</math> der senkrecht auf der Geraden steht. Ein solcher Vektor wird als ''Normalenvektor'' bezeichnet. * Der Abstandsvektor zweier Punkte, beschrieben durch die Ortsvektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math>, muss senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Ein bekannter Ortsvektor eines Punktes auf der Gerade wird als ''Stützvektor'' bezeichnet. Damit lässt sich begründen, dass für einen bekannten Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und einen bekannten Stützvektor <math>\vec{a}</math> die Ortsvektoren <math>\vec{x}</math> der Gerade die Gleichung <math>\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=0</math> erfüllen müssen. Diese Gleichung lässt sich mit der Einführung von <math> c = \vec{n}\cdot\vec{a}</math> auch durch <math>0=\vec{n}\cdot\vec{x}-\vec{n}\cdot\vec{a}=\vec{n}\cdot\vec{x}-c</math> ausdrücken. Die Gerade teilt darüber hinaus den Raum in zwei Bereiche. Wird ein Punkt eingesetzt, dessen Ortsvektor nicht auf der Gerade liegt, so ergibt sich beim Auswerten von <math>\vec{n}\cdot\vec{x}-c</math> ein Wert größer oder kleiner Null. Damit lassen sich die beiden Mengen <math> M_+ = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^2|\vec{n}\cdot\vec{x}-c>0\}\quad\quad M_- = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^2|\vec{n}\cdot\vec{x}-c<0\} </math> definieren. Diese Betrachtungsweise erlaubt es im Rahmen des maschinellen Lernens ''Entscheidungsregeln'' durch Vektoren zu beschreiben. ==== Aufgabe==== Im <math>\mathbb{R}^2</math> soll eine Gerade mit <math>c=2</math> und dem Normalenvektor <math> \vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} </math> gegeben sein. Bewerte, ob die Punkte <math>P_1(1|0)</math>, <math>P_2(1|1)</math> und <math>P_3(0|1)</math> auf der Gerade oder in den Mengen <math>M_{\pm}</math> liegen. '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' === Ebenen im <math>N</math> dimensionalen Raum=== Im <math>\mathbb{R}^3</math> wird der gesamte Raum durch eine Ebene in zwei Bereiche getrennt. Um Punkte in der Ebene zu beschreiben genügt es wieder, einen Vektor <math>\vec{n}</math> senkrecht auf der Ebene - der auch als Normalenvektor bezeichnet wird - und einen Vektor in der Ebene <math>\vec{a}</math> - der ebenfalls als Stützvektor bezeichnet wird - zu kennen. Die Ortsvektoren <math>\vec{x}</math> der Punkte der Ebene müssen dann die Gleichung <math>\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=\vec{n}\cdot\vec{x}-c=0</math> erfüllen. Genau, wie im zweidimensionalen Fall lassen sich die beiden Raumbereiche <math> M_+ = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3|\vec{n}\cdot\vec{x}-c>0\}\quad\quad M_- = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3|\vec{n}\cdot\vec{x}-c<0\} </math> definieren. All diese Betrachtungen lassen sich auf <math>N</math> Dimensionen übertragen. Dort wird durch die Gleichung <math>\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=\vec{n}\cdot\vec{x}-c=0</math> ein <math>N-1</math> dimensionales Objekt beschrieben, dass als ''Hyperebene'' bezeichnet wird. Der <math>N</math>-dimensionale Raum wird in die beiden Bereiche <math> M_+ = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^N|\vec{n}\cdot\vec{x}-c>0\}\quad\quad M_- = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^N|\vec{n}\cdot\vec{x}-c<0\} </math> geteilt. ====Aufgabe==== Betrachte eine Hyperebene mit <math>c=2</math> und dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\-1\\1\end{pmatrix}</math> und bestimme, ob die Punkte <math>P_1(1|1|1|1|1)</math>, <math>P_2(0|0|0|0|0)</math> und <math>P_(2|2|2|2|2)</math> auf der Hyperbene oder in den Mengen <math>M_{\pm}</math> liegen. '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' ===Abstände zu Hyperebenen === Beim Maschinellen Lernen können Hyperebenen für Entscheidungsregeln genutzt werden. Eine Entscheidung ist eindeutiger, je größer der Abstand der Trainingsdaten von der Ebene der Entscheidungsregel ist. Daher gibt es Methoden (wie die [[w:Support_Vector_Machine|Support Vector Machines]]) bei denen diese Abstände minimiert werden. Dazu ist es nötig, Abstände zwischen Punkten und Ebenen bestimmen zu können. Liegt ein Punkt mit dem Ortsvektor <math>\vec{p}</math> nicht in der Ebene, so kann der Verbindungsvektor zwischen diesem Punkt und dem Stützvektor <math>\vec{a}</math> der Ebene betrachtet werden. Da der Abstand zur Ebene durch den Abstand einer auf der Ebene senkrecht stehenden Verbindungslinie gegeben ist, muss die Länge des zum Normalenvektor parallelen Anteil des Differenzvektors bestimmt werden. Nach den Betrachtungen beim Skalarprodukt lässt sich so erkennen, dass der Abstand zwischen einem Punkt <math>P</math> und einer Hyperebene <math>H</math> durch <math>d(P, H)=\frac{|\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})|}{|\vec{n}|}</math> gegeben ist. ====Aufgabe ==== Bestimme für die obige Hyperebene im 5 dimensionalen Raum den Abstand der Punkte <math>P_2</math> und <math>P_3</math> zu diesen. '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' d9zr169jh077qfpn1fui2xmy9jjp30e 1078420 1078419 2026-04-29T08:12:19Z ~2026-26142-93 41537 /* Definiton */ 1078420 wikitext text/x-wiki Vorherige Seite: [[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Ableitungen|K0 - Ableitungen]]<br> Nächste Seite : [[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Matrizen|K0 - Matrizen]] ==Definiton == Punkte im dreidimensionalen Raum werden durch <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Koordinaten in der Form <math>P(x|y|z)</math> angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung <math>\vec{p}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}</math><br> betrachtet werden. Dieser kann unter Beibehaltung von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als ''[[w:Vektor|Vektor]]'' bezeichnet. Die Menge der dreidimensionalen Vektoren wird als <math>\mathbb{R}^3</math> bezeichnet. ==Regeln== ===Betrag und Richtung=== Die Länge eines Vektors wird als sein ''Betrag'' bezeichnet und ist durch <math>|\vec{p}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> definiert. Ist dieser nicht Null, so lässt sich damit ein Vektor <math>\hat{\vec{n}}=\frac{\vec{p}}{|\vec{p}|}</math> der Länge Eins definieren, welcher die Richtung des Vektors angibt. ===Vektoraddition=== Vektoren lassen sich komponentenweise addieren <math> \vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x+b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z \end{pmatrix} </math> Geometrisch entspricht dies einer Aneinanderreihung der Vektoren. Ebenso lässt sich die Differenz zweier Vektoren <math> \vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x-b_x\\a_y-b_y\\a_z-b_z \end{pmatrix} </math> definieren. Der Differenzvektor <math>\vec{a}-\vec{b}</math> gibt an, welcher Vektor an <math>\vec{b}</math> angehängt werden muss, um Vektor <math>\vec{a}</math> zu erhalten. ===(Komponentenweise) Skalarmultiplikation=== Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> multiplizieren <br> <math>\lambda\cdot\vec{p}=\lambda\cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda\cdot x\\ \lambda\cdot y\\ \lambda \cdot z \end{pmatrix}\quad\quad |\lambda\cdot\vec{p}|=|\lambda|\cdot |\vec{p}|</math><br> Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von <math>\lambda</math>. ====Aufgabe==== Gegeben seien die beiden Vektoren <math> \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\quad\quad \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}. </math> Bestimme den Ausdruck <math>3\vec{a}-2\vec{b}</math> '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' === Skalarprodukt=== Manchmal ist es nötig, einen Vektor <math>\vec{a}</math> in parallele und senkrechte Anteile zu einem gegebenen Vektor <math>\vec{n}</math> zu zerlegen. Die beiden Vektoren schließen den Winkel <math>\phi</math> ein. Aus geometrischen Überlegungen lässt sich zeigen, dass der parallele Anteil den Betrag <math>|\vec{a}_{\parallel}|=|\vec{a}|\cos{(\phi)}</math> bestitzt. (Streng genommen, gilt das nur für <math>\phi\in [-\pi/2, \pi/2]</math>.) Eingebettet in ein explizites Koordinatensystem lässt sich weiter zeigen, dass der Zusammenhang <math> a_xn_x+a_yn_y+a_zn_z = |\vec{a}|\cdot|\vec{n}|\cos{(\phi)} </math> gültig ist. Dieser wird benutzt, um das ''[[w:Skalarprodukt|Skalarprodukt]]'' zweier Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> <math> \vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix} =a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\operatorname{cos}(\phi) </math> zu definieren. Der parallele Anteil von <math>\vec{a}</math> muss dann in Richtung von <math>\vec{n}</math> zeigen und kann daher durch <math>\vec{a}_{\parallel}=|\vec{a}_{\parallel}|\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\left(\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot\vec{a}\right)</math> bestimmt werden. Der senkrechte Anteil ist durch <math>\vec{a}_{\perp}=\vec{a}-\vec{a}_{\parallel}=\vec{a}-\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\left(\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\cdot\vec{a}\right)</math> gegeben. Aus der Definition des Skalarprodukts lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen. Sind sowohl die Vektoren <math>\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math> nicht in allen Komponenten Null (also der ''Nullvektor''), das Skalarprodukt aber dennoch Null, so muss der Kosinus den Wert Null annehmen. Dies ist aber nur möglich, wenn <math>\phi</math> die Wert <math>\pi/2</math> oder <math>3\pi/2</math> annimmt. Da <math>\phi</math> aber den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt, stehen die Vektoren in diesem Fall senkrecht aufeinander. Allgemeiner werden Vektoren deren Skalarprodukt verschwindet als ''[[w:Orthogonalität|orthogonal]]'' bezeichnet. Ebenso lässt sich wegen <math> \vec{a}\cdot\vec{a}=a_x^2+a_y^2+a_z^2 = |\vec{a}|^2 </math> der Betrag eines Vektors mittels des Skalarprodukts durch <math>|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}</math> ausdrücken. ===Aufgabe=== Bestimme das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> aus der vorherigen Aufgabe. Stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander? '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' == Vektoren in <math>N</math> Dimensionen== Die bisherigen Betrachtungen lassen sich auf <math>n</math> Dimensionen erweitern. Die Menge der <math>N</math>-dimensionalen Vektoren wird mit <math>\mathbb{R}^N</math> bezeichnet. Die Vektoradditon erfolgt nach wie vor komponentenweise <math>(\vec{a}\pm\vec{b})_i=a_i\pm b_i</math> ebenso die Skalarmultiplikation <math>(\lambda\vec{a})_i=\lambda a_i.</math> Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und die jeweiligen Ergebnisse addiert, so dass <math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^{N}a_ib_i=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos{(\phi)}</math> gilt. Der Betrag eines Vektors kann weiterhin durch <math>|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{\sum_{i=1}^Na_i^2}</math> bestimmt werden. ==Geraden und Ebenen im Raum== ===Geraden im <math>\mathbb{R}^2</math>=== Vektoren eröffnen eine neue Betrachtungsweise auf Geraden, die in der Analysis durch die Geradengleichung <math>y=mx+b</math> beschrieben werden. Dazu werden Vektoren des <math>\mathbb{R}^2</math> betrachtet. * Es gibt (bis auf die Länge und das Vorzeichen) nur einen Richtungsvektor <math>\vec{n}</math> der senkrecht auf der Geraden steht. Ein solcher Vektor wird als ''Normalenvektor'' bezeichnet. * Der Abstandsvektor zweier Punkte, beschrieben durch die Ortsvektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math>, muss senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Ein bekannter Ortsvektor eines Punktes auf der Gerade wird als ''Stützvektor'' bezeichnet. Damit lässt sich begründen, dass für einen bekannten Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und einen bekannten Stützvektor <math>\vec{a}</math> die Ortsvektoren <math>\vec{x}</math> der Gerade die Gleichung <math>\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=0</math> erfüllen müssen. Diese Gleichung lässt sich mit der Einführung von <math> c = \vec{n}\cdot\vec{a}</math> auch durch <math>0=\vec{n}\cdot\vec{x}-\vec{n}\cdot\vec{a}=\vec{n}\cdot\vec{x}-c</math> ausdrücken. Die Gerade teilt darüber hinaus den Raum in zwei Bereiche. Wird ein Punkt eingesetzt, dessen Ortsvektor nicht auf der Gerade liegt, so ergibt sich beim Auswerten von <math>\vec{n}\cdot\vec{x}-c</math> ein Wert größer oder kleiner Null. Damit lassen sich die beiden Mengen <math> M_+ = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^2|\vec{n}\cdot\vec{x}-c>0\}\quad\quad M_- = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^2|\vec{n}\cdot\vec{x}-c<0\} </math> definieren. Diese Betrachtungsweise erlaubt es im Rahmen des maschinellen Lernens ''Entscheidungsregeln'' durch Vektoren zu beschreiben. ==== Aufgabe==== Im <math>\mathbb{R}^2</math> soll eine Gerade mit <math>c=2</math> und dem Normalenvektor <math> \vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} </math> gegeben sein. Bewerte, ob die Punkte <math>P_1(1|0)</math>, <math>P_2(1|1)</math> und <math>P_3(0|1)</math> auf der Gerade oder in den Mengen <math>M_{\pm}</math> liegen. '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' === Ebenen im <math>N</math> dimensionalen Raum=== Im <math>\mathbb{R}^3</math> wird der gesamte Raum durch eine Ebene in zwei Bereiche getrennt. Um Punkte in der Ebene zu beschreiben genügt es wieder, einen Vektor <math>\vec{n}</math> senkrecht auf der Ebene - der auch als Normalenvektor bezeichnet wird - und einen Vektor in der Ebene <math>\vec{a}</math> - der ebenfalls als Stützvektor bezeichnet wird - zu kennen. Die Ortsvektoren <math>\vec{x}</math> der Punkte der Ebene müssen dann die Gleichung <math>\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=\vec{n}\cdot\vec{x}-c=0</math> erfüllen. Genau, wie im zweidimensionalen Fall lassen sich die beiden Raumbereiche <math> M_+ = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3|\vec{n}\cdot\vec{x}-c>0\}\quad\quad M_- = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3|\vec{n}\cdot\vec{x}-c<0\} </math> definieren. All diese Betrachtungen lassen sich auf <math>N</math> Dimensionen übertragen. Dort wird durch die Gleichung <math>\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{a})=\vec{n}\cdot\vec{x}-c=0</math> ein <math>N-1</math> dimensionales Objekt beschrieben, dass als ''Hyperebene'' bezeichnet wird. Der <math>N</math>-dimensionale Raum wird in die beiden Bereiche <math> M_+ = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^N|\vec{n}\cdot\vec{x}-c>0\}\quad\quad M_- = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^N|\vec{n}\cdot\vec{x}-c<0\} </math> geteilt. ====Aufgabe==== Betrachte eine Hyperebene mit <math>c=2</math> und dem Normalenvektor <math>\vec{n}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\-1\\1\end{pmatrix}</math> und bestimme, ob die Punkte <math>P_1(1|1|1|1|1)</math>, <math>P_2(0|0|0|0|0)</math> und <math>P_(2|2|2|2|2)</math> auf der Hyperbene oder in den Mengen <math>M_{\pm}</math> liegen. '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' ===Abstände zu Hyperebenen === Beim Maschinellen Lernen können Hyperebenen für Entscheidungsregeln genutzt werden. Eine Entscheidung ist eindeutiger, je größer der Abstand der Trainingsdaten von der Ebene der Entscheidungsregel ist. Daher gibt es Methoden (wie die [[w:Support_Vector_Machine|Support Vector Machines]]) bei denen diese Abstände minimiert werden. Dazu ist es nötig, Abstände zwischen Punkten und Ebenen bestimmen zu können. Liegt ein Punkt mit dem Ortsvektor <math>\vec{p}</math> nicht in der Ebene, so kann der Verbindungsvektor zwischen diesem Punkt und dem Stützvektor <math>\vec{a}</math> der Ebene betrachtet werden. Da der Abstand zur Ebene durch den Abstand einer auf der Ebene senkrecht stehenden Verbindungslinie gegeben ist, muss die Länge des zum Normalenvektor parallelen Anteil des Differenzvektors bestimmt werden. Nach den Betrachtungen beim Skalarprodukt lässt sich so erkennen, dass der Abstand zwischen einem Punkt <math>P</math> und einer Hyperebene <math>H</math> durch <math>d(P, H)=\frac{|\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})|}{|\vec{n}|}</math> gegeben ist. ====Aufgabe ==== Bestimme für die obige Hyperebene im 5 dimensionalen Raum den Abstand der Punkte <math>P_2</math> und <math>P_3</math> zu diesen. '''[[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lösungen|Lösungen]]''' cre7buxppv5hfmzoc8r9qcgl436e6p1 0 168562 1078390 1078057 2026-04-28T19:05:51Z Bocardodarapti 2041 1078390 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation nennt man eine Ordnung, wofür man häufig ein Symbol wie {{mathl|term= \geq, \leq,\preccurlyeq, \subseteq |SZ=}} verwendet. Wir geben nochmal die ausführliche Definition. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} Eine Menge mit einer fixierten Ordnung darauf heißt {{Stichwort|geordnete Menge|SZ=.}} In der Regel verwendet man für eine Ordnung ein asymmetrisches Symbol wie {{mathl|term= \preccurlyeq ,\, \leq, \, \subseteq |SZ=.}} Man verwendet dann auch {{Anführung|gespiegelte Schreibweisen|SZ=,}} so bedeutet {{ Relationskette | x | \succcurlyeq | y || || || |SZ= }} einfach {{ Relationskette | y | \preccurlyeq | x || || || |SZ=. }} Eine Schreibweise wie {{ Relationskette | x | \prec | y || || || |SZ= }} bedeutet {{ Relationskette | x | \preccurlyeq | y || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x | \neq | y || || || |SZ=. }} Zu jeder geordneten Menge {{mathl|term= (M, \preccurlyeq) |SZ=}} und jeder Teilmenge {{ Relationskette | N |\subseteq| M || || || |SZ= }} ist auch {{math|term= N |SZ=}} eine geordnete Menge, indem man direkt die Ordnungsbeziehung von {{math|term= M |SZ=}} übernimmt. Man spricht von der {{Stichwort|induzierten Ordnung|msw=Induzierte Ordnung|SZ=}} auf {{math|term= N |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} Man sagt auch, dass bei einer linearen Ordnung je zwei Elementen {{Stichwort|vergleichbar|msw=|SZ=}} sind. {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Anordnung/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Endliche Menge/Totale Ordnungen/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Wörter/Lexikographische Ordnung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Menge/Identität/Ordnung/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} Ein angeordneter Ring ist also nicht nur ein Ring, auf dem es zusätzlich noch eine totale Ordnung gibt, sondern die Ordnung muss auch mit den algebraischen Verknüpfungen in der beschriebenen Weise verbunden sein. Ein angeordneter Ring, der ein Körper ist, heißt {{Stichwort|angeordneter Körper|SZ=.}} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=,}} die rationalen Zahlen {{math|term= \Q |SZ=}} und die reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=}} sind angeordnete Ringe bzw. Körper. Der Körper der komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}} |SZ=}} ist nicht angeordnet {{ Zusatz/Klammer |text=und lässt sich auch nicht anordnen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Verband Teiler30|png|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Verband_Teiler30 |Text= |Autor= |Benutzer=SirJective |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} Achtung! Die Teilbarkeitsbeziehung in {{math|term= \N |SZ=}} sollte man allein innerhalb der natürlichen Zahlen behandeln. Man vermeide Formulierungen wie, dass {{math|term= a |SZ=}} die Zahl {{math|term= b |SZ=}} teilt, wenn bei der Division von {{math|term= b |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} kein Rest bleibt oder dass der Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} ganzzahlig ist. Solche Charakterisierungen mit deutlich komplizierteren Strukturen verdunkeln den einfachen Sachverhalt. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Variante 2/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Potenzmenge/Geordnet durch Inklusion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Funktionen nach R/Geordnet/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition|| }} In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Funktionen nach R/Geordnet/Beispiel |Nr= |SZ= }} werden die reellen Zahlen so oft genommen, wie es {{math|term= X |SZ=}} vorgibt. Dort liegt also eine Produktordnung vor. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} tuqhwdaobmvad06bumx8vmoiuk34f1m 106 168584 1078383 1078058 2026-04-28T17:32:58Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Frage zu Schreibweisen von Vergleichsrelationen in Vorlesungen 7,8,9 */ 1078383 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) :Auf einer Menge kann man verschiedene Ordnungen definieren, man denke an eine endliche Menge. (Ebenso kann man auf einer Menge verschiedene Monoidstrukturen definieren.) Entscheidend ist, dass eine geordnete Menge beides ist, eine Menge und eine fixierte Ordnung. Wenn man zwei Ordnungen auf einer Menge vergleichen möchte, so geht es beispielsweise um die Frage, ob die Identität {{mathl|term= (M, \leq_1) \rightarrow (M, \leq_2) |SZ=}} ordnungstreu ist. In diesem Fall ist {{math|term= \leq_2 |SZ=}} eine Verfeinerung der ersten Ordnung. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 08:16, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) :das ist die Definition von monoton fallend, da ändert sich die Richtung. In der Tat, statt {{math|term= a \leq b |SZ=}} schreibt man auch {{math|term= b \geq a |SZ=.}} [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 07:58, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Schreibweisen von Vergleichsrelationen in Vorlesungen 7,8,9 == Hallo, mir ist aufgefallen, dass an vielen stellen in den obenstehenden Vorlesungen an Stellen wo "echt kleiner" oder "echt größer" gemeint ist die Schreibweise "a ≠ b, a ≤ b" verwendet wird, anstelle von < und >. Ist das so weil < und > vorher nicht formal eingeführt wurden? Wenn es so ist, warum wurde dann an einer stelle doch < verwendet? MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:32, 28. Apr. 2026 (CEST) kuoztomvfky87b33uccpqk3eua3t120 1078391 1078383 2026-04-28T19:20:59Z Bocardodarapti 2041 /* Frage zu Schreibweisen von Vergleichsrelationen in Vorlesungen 7,8,9 */ Antwort 1078391 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) :Auf einer Menge kann man verschiedene Ordnungen definieren, man denke an eine endliche Menge. (Ebenso kann man auf einer Menge verschiedene Monoidstrukturen definieren.) Entscheidend ist, dass eine geordnete Menge beides ist, eine Menge und eine fixierte Ordnung. Wenn man zwei Ordnungen auf einer Menge vergleichen möchte, so geht es beispielsweise um die Frage, ob die Identität {{mathl|term= (M, \leq_1) \rightarrow (M, \leq_2) |SZ=}} ordnungstreu ist. In diesem Fall ist {{math|term= \leq_2 |SZ=}} eine Verfeinerung der ersten Ordnung. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 08:16, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) :das ist die Definition von monoton fallend, da ändert sich die Richtung. In der Tat, statt {{math|term= a \leq b |SZ=}} schreibt man auch {{math|term= b \geq a |SZ=.}} [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 07:58, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Schreibweisen von Vergleichsrelationen in Vorlesungen 7,8,9 == Hallo, mir ist aufgefallen, dass an vielen stellen in den obenstehenden Vorlesungen an Stellen wo "echt kleiner" oder "echt größer" gemeint ist die Schreibweise "a ≠ b, a ≤ b" verwendet wird, anstelle von < und >. Ist das so weil < und > vorher nicht formal eingeführt wurden? Wenn es so ist, warum wurde dann an einer stelle doch < verwendet? MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:32, 28. Apr. 2026 (CEST) :hab diese Schreibweise jetzt auch eingeführt. An vielen Stellen sind beide Schreibweisen gleichermaßen möglich, da bitte nichts überinterpretieren. Tendenziell würde ch sagen: Im allgemeinen Kontext wie bei Definitionen bevorzugt man das eigentliche Relationssymbol, in konkreten Fällen wie bei der Division mit Rest ist aber < eine sinnvolle Abkürzung.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 21:20, 28. Apr. 2026 (CEST) hl3y3z8t4n0iazytzh00gmdc49wvdf5 106 170010 1078370 1078106 2026-04-28T15:35:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Lemma für Rechteckintegrale */ 1078370 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] p86nc0i7t37v2v6e9jr7shohk187eqe 1078378 1078370 2026-04-28T15:55:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung */ 1078378 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6464rjmzs9mwp2lygcm1fzq52w0rqaz 1078427 1078378 2026-04-29T10:46:22Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks */ 1078427 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 660ze3u0yii2ahqs2ansxbegdh10cjf 1078428 1078427 2026-04-29T10:47:21Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1078428 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ziel dieser Lerneinheit ist es, das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] für ein Rechteck in der Ebene der komplexen Zahlenebene zu definiert und geometrisch zu motivieren. Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] mbp3gfont3ri1gtkht64rus4jlza739 106 170024 1078421 1077666 2026-04-29T08:48:29Z Kaan Bauer 38603 /* Ableitungen und Stammfunktion */ 1078421 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Existenz lokaler Stammfunktionen für eine Funktion <math> f:G\to\mathbb{C}</math> auf einem Gebiet <math>G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit der Existenz lokal Stammfunktionen <math>F:D_r(z_o)\to \mathbb{C}</math> mit <math>F' = f</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> ist <math>F</math> und damit auch <math>F' = f</math> auf <math>D_r(z_0)</math>. Da <math>f</math> auf ganz <math>G</math> lokale Stammfunktionen besitzt ist <math>f</math> auch überall komplex differenzierbar und damit holomorph auf <math>G</math>. Lokale Stammfunktionen werden verwendet, um [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] berechnen zu können. === Stammfunktionen und Ableitungen === In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wurde im ersten Teil des Kurses gezeigt, dass ''"1x komplex differenzierbar"'' schon ''"unendlich oft komplex differenzierbar"''. Der folgende Satz zeigt, dass dieses auch für [[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen#Satz|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] gilt. Allerdings gilt diese Eigenschaft wegen der Konvergenzradien von Potenzradien und dem [[Abelsches Lemma|Abelschen Lemma]] nur auf lokal auf Kreischeiben <math>D_r(z_0)</math>. <span id="DefinitionOrdnung"></span> <span id="Definition"></span> == Definition - Stammfunktion höherer Ordnung == Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> heißt <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> ''lokale Stammfunktion der Ordnung'' <math>k</math>, wenn gilt: * Kreischeibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> mit <math> F_{(0)}:= f </math>, * <math> F_{(1)}:= F </math> ist eine ''lokale Stammfunktion'' von <math>f</math> auf <math> D_r(z_o)</math> (d.h. <math>F' = f</math>), * <math> F'_{(i+1)}:= F_{(i)} </math> für alle <math>i \in \{1,\ldots ,k-1\}</math>. === Ableitungen und Stammfunktion === Bezeichnet <math>g^{(k)}:G\to \mathbb{C} </math> die <math>k</math>-te Ableitung einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>g:G\to \mathbb{C} </math>, so kann man für <math>k\in \mathbb{N}_0</math> den folgenden Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen herstellen: :<math> \big(F_{(k)}\big)^{(k)}:= f </math> Dabei gilt <math> \big(f^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> gilt im Allgemeinen nicht. === Aufgabe für Studierende === Geben Sie eine Gegenbeispiel für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> an, dass <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)} = f </math> im Allgemeinen nicht gilt. <math> \big(F^{(k)}\big)_{(k)}</math> bezeichnet dabei, dass zunächst die Ableitungen gebildet werden und dann eine Stammfunktionen der Ordnung <math>k</math> gebildet wird. <span id="Satz"></span> == Satz über lokale Stammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], die auf der Kreisscheibe <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> die folgende Potenzreihendarstellung besitzt :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n,</math> dann besitzt <math>f</math> lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>, die die folgende [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihendarstellung]] für <math>|z-z_o|<r</math> besitzt: :<math>F_{(k)} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k},</math> === Bemerkung - Existenzaussage Stammfunktion k-ter Ordnung === Der obige Satz ist eine Existenzaussage für Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math>. Der [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] zeigt dann, dass sich zwei beliebige Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> und <math>\widehat{F_{(k)}}</math> der Ordnung <math>k</math> durch eine Polynom der Ordung <math>k-1\in \mathbb{N}</math> unterscheiden. Für Stammfunktionen <math>F</math> (also Stammfunktion erster Ordnung) unterscheiden sich diese um eine Konstante <math>c\in \mathbb{C}</math>. == Beweis == Der Beweis nutzt die summandenweise Integration, weil die Folge der Partialsummen der Potenzreihe von <math>f</math> [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] konvergiert. Der Beweis gliedert sich in die folgenden beiden Teilaussagen: * '''(B1) Existenz:''' lokale Stammfunktion <math>F_{(1)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> erster Ordnung <math>k=1</math>, * '''(B2) Potenzreihendarstellung:''' die Stammfunktion <math>F_{(k)}</math> der Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> besitzt die angegebene Potenzreihendarstellung und * '''(B3) Konvergenzradius:''' der Konvergenzradius der lokalen Stammfunktionen <math>F_{(k)}</math> entspricht dem Konvergenzradius <math>r > 0</math> der Potenzreihe für <math>f</math>. === Beweis B1 - Existenz === Die Existenzaussage lokaler Stammfunktionen (erster Ordnung) erfolgt über die Cauchy-Integralformel und der gleichmäßigen Konvergenz der Partialsummen von der Potenzreihe gegen die Potenzreihe der Stammfunktion. Durch das induktive bilden der Stammfunktion der Ordnung <math>n+1</math> aus der Stammfunktion der Ordnung <math>n</math> erhält man die lokale Stammfunktionen <math>F_{(k)} : D_r(z_o) \to \mathbb{C}</math> beliebiger Ordnung. ==== Beweisschritt B1.1 - Cauchy-Integralformel ==== Über die Cauchy-Integralformel und die Verwendung des [[Cauchy-Kern]]s kann man die Funktion <math>f</math> lokal auf Kreisscheiben <math> D_r(z_o) := \{z\in\mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| < r \} \subset G</math> in die folgende Potenzreihe entwickeln: :<math>f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \underbrace{ \left(\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z_o\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)}_{=a_n}(z-z_o)^n= \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n}\cdot (z-z_o)^n.</math> Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] ist für einen Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math> nach dem [[Identitätssatz]] eindeutig bestimmt. Mit der [[Cauchy-Integralformel|Integralformel]] für <math>f^{(n)}</math> folgt sofort, dass die Koeffizienten <math>a_n</math> genau die [[w:de:Taylorreihe|Taylor-Koeffizienten]] sind. ==== Beweisschritt B1.2 - Gleichmäßige Konvergenz ==== Analog zum Behandlung der [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Normalverteilung in der Funktionentheorie]] nutzt man die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Potenzreihe, um die darstellende Potenzreihe für <math>f(z)</math> summandenweise integrieren zu können. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit der Eigenschaft <math>F(z_o)=0</math>. :<math>F(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1}</math> ==== Beweisschritt B1.3 - Stammfunktion der Ordnung 2 ==== Da auch für <math>F</math> die Partialsummen der Potenzreihe von <math>F</math> wieder gleichmäßig gegen die darstellende Potenzreihe für <math>F(z)</math> konvergieren, kann man auch <math>F</math> summandenweise integrieren. Damit erhält man eine Stammfunktion <math>F_{(2)}</math> von <math>F</math>, die ebenfalls die Eigenschaft <math>F_{(2)}(z_o)=0</math> erfüllt. Die Potenzreihe hat damit die folgende Darstellung: :<math>F_{(2)}(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_{n}}{(n+1)\cdot (n+2)} \cdot (z-z_o)^{n+2}</math> === Beweisschritt B2 - Stammfunktion beliebig hoher Ordnung === Durch fortgesetzte Integration der Stammfunktion erhält man die Existenz lokaler Stammfunktionen (B1) über Erweiterung mit <math>n!</math> im Bruch <math>\tfrac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)}</math>. :<math> \begin{array}{rcl} F_{(k)} & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k)} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k} \\ & = & \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!}{(n+k)!} \cdot a_{n}\cdot (z-z_o)^{n+k}, \\ \end{array} </math> === Beweisschritt B3 - Konvergenzradius der Stammfunktion höherer Ordnung === In dem Beweiteil B3 wird gezeigt, dass der Konvergenzradius der Stammfunktionen <math> F_{(k)}</math> mit beliebig hoher Ordnung <math>k\in \mathbb{N}</math> mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der lokalen Potenzreihenentwicklung von <math>f</math> übereinstimmt. ==== Beweisschritt B3.1 - Definition Konvergenzradius ==== Der Konvergenzradius einer Potenzreihe <math display="inline">f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}</math> ist als das [[w:de:Supremum|Supremum]] aller Zahlen <math>r_z \geq 0</math> definiert, für welche die Potenzreihe für (mindestens) ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z-z_0| = r_z</math> [[w:de:Konvergenz (Mathematik)|konvergiert]]: :<math>r:=\sup \left\{ |z-z_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cdot (z-z_{0})^{n}\ \text{konvergiert}\right.\right\} </math> Falls <math>f</math> eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] ist, dann konvergiert die Potenzreihe für alle komplexen Zahlen und man definiert den Konvergenzradius dann als unendlich: <math>r := \infty</math>. ==== Beweisschritt B3.2 - Satz von Cauchy-Hadamard ==== Der Konvergenzradius lässt sich mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnen: Es gilt :<math>r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.</math> Dabei setzt man <math>r = 0</math>, falls der [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner gegen <math>+\infty</math> konvergiert, und <math>r = +\infty</math>, falls dieser gegen <math>0</math> strebt. ==== Beweisschritt B3.3 - Anwendung auf Stammfunktion ==== Die Potenzreihendarstellung von <math>F</math> lautet unter Verwendung der Indexverschiebung: :<math> F(z) = \int_{\langle z_o,z\rangle} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \cdot (z-z_o)^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \underbrace{\frac{a_{n-1}}{n}}_{=b_n} \cdot (z-z_o)^n. </math> Mit der [[w:de:Konvergenzbereich#Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] erhält man: :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)}.</math> ==== Beweisschritt B3.4 - Analyse des Limes Superior ==== Betrachtet man das Argument des [[w:de:Limes superior|Limes superior]] im Nenner, so erhält man durch Umformung folgende Term: :<math> \sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{\left|\frac{a_{n-1}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{|a_{n-1}|}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} </math> Für <math>n\to \infty </math> konvergiert der Term <math>\frac{n-1}{n}</math> gegen 1. ==== Beweisschritt B3.5 - Analyse des Limes Superior ==== Mit den [[w:de:Regel_von_de_L’Hospital|Regel von L’Hospital]] lässt sich zeigen, das der Term <math>\sqrt[n]{n}</math> für <math>n\to \infty </math> ebenfalls gegen 1 konvergiert, denn es gilt bei Lograithmierung des Terms <math>\sqrt[n]{n} > 0</math>: :<math> \lim_{n\to \infty} \ln (\sqrt[n]{n} ) = \lim_{n\to \infty} \frac{\ln (n)}{n} \,\,\, \stackrel{_{L'Hospital}}{=} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \frac{\tfrac{1}{n}}{1} = 0 </math> Damit gilt für <math>\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}= \lim_{n\to \infty} \exp(\ln (\sqrt[n]{n} )) = \exp(0)=1</math>: ==== Beweisschritt B3.6 - Limes Superior und Konvergenzradius ==== Für den [[w:de:Limes superior|Limes superior]] gilt damit insgesamt: :<math> \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{ \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right)^{\frac{n-1}{n}} }{\sqrt[n]{n}} \right) = \limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \left( \sqrt[n-1]{|a_{n-1}|} \right) </math> Angewendet auf den Konvergenzradius <math>r_{\!_F}</math> erhält man dann Gleichheit der Konvergenzradien von <math>f</math> und <math>F:</math> :<math>r_{\!_F}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|b_n|}\right)} = r.</math> ==== Beweisschritt B3.7 - Konvergenzradius und Limes Superior ==== Durch induktive Anwendung des Vorgehens von B3.1 bis B3.6 auf lokale Stammfunktionen höherer Ordnung erhält man die Aussage, dass die Konvergenzradien von aller Stammfunktionen höherer Ordnung mit dem Konvergenzradius <math>r</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] übereinstimmt. <math>\Box</math> === Bemerkung - Holomorphiekriterium === Die Existenz lokaler Stammfunktionen <math>F:D_r(z_0)\to \mathbb{C}</math> zu einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> ist ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]], denn mit dieser Eigenschaft gilt auf <math>z\in D_r(z_0)</math> auch <math>F'(z) = f(z)</math>. Damit ist auch <math> f</math> auf dem gesamten Gebiet <math>G</math> holomorph. == Siehe auch == * [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] * [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Normalverteilung#Funktionentheorie|Behandlung der Normalverteilung in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4snxpyaxi0c5800im79mbypszmj9ud3 106 170032 1078353 1078348 2026-04-28T14:17:26Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1078353 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ausgehend von Definition von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]] wird die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> behandelt. === Lernvoraussetzungen === * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Definition - Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] === Dichtefunktion und komplexer Flächeninhalt === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> integrierbar, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> Gilt für die Funktion <math>f:G\to \mathbb{R}_o^{+}</math> und <math>\mu_f(G) = 1</math>, dann ist <math>\mu_f : \mathcal{B}(G)</math> sogar ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] auf dem [[Messraum]] <math>(G,\mathcal{B}(G))</math> === Komplexer Flächeninhalt für ein Dreieck === Ist <math>\Delta=\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Dreieck die konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Dreiecks ist damit: :<math> \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math> Im Allgemeinen ist <math>f</math> als holomorphe Funktion nicht konstant. === Bezug zum Flächeninhalt in der Geometrie === Wenn man in der Geometrie über Flächeninhalt eines Dreiecks spricht, wäre die Entsprechung in der Integrationstheorie <math> \textstyle \mu_f(\Delta) = \int_{\Delta} 1 \, dx </math>. Die bekannten [[w:de:Kongruenzsätze|Kongruenzsätze für Dreiecke]] aus der Geometrie benötigen ein translationsinvariantes Maß als Voraussetzung. Die Translationsinvarianz der Maßes ist aber nur in der Funktionentheorie gegeben, wenn die Dichtefunktion <math>f</math> konstant ist (nicht notwendig <math>f(z)=1</math>). Die Flächeninhaltsformel <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math> basiert auf der Zerlegung eines Parallogramms in zwei kongruente Teildreieck. Daher ist die Behandlung von [[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Zerlegungen eines Rechtecks in zwei Teildreieck über Flächenintegrale]] bei beliebigen [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] <math>f</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aufwendiger. === Lemma von Goursat === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg über den Dreiecksrand beim Lemma von Goursat]] Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert. Für Dreieckintegrale werden wieder Wegintegrale verwendet. Diese können aber nicht über geschlossene Wege über den Dreieckrand in konvexen Gebieten dargestellt werden, denn dann wäre das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über alle Dreiecksflächen immer 0. == Dreieck als orientierte Fläche == Zunächst wird ein Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_1,z_2,z_3)</math> mengentheoretisch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben und dann kann man aus der mengentheoretischen Beschreibung funktionale Darstellung einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\Delta</math> ableiten, wobei die Orientiertung der Fläche in in einem Punkt <math>\gamma_\Delta(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> durch den Gradienten <math>Grad(\gamma_\Delta)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> berechnet werden. === Dreieck - mengentheoretisch als Konvexkombination === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben: : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> === Dreiecksfläche als Abbildung === Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. ==== Konvexkombination als Integrationsweg ==== Eine [[Konvexkombination]] wurde beim [[Lemma von Goursat]] für den geschlossenen Integrationsweg über den Dreiecksrand verwendet. Die folgende Definition der Konvexkombination <math>K</math> wird für die funktionale Darstellung der orientierten Dreiecksfläche <math>\gamma_\Delta</math> verwendet: :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex [[orientierte Fläche]] kann nun als Konvexkombination von zwei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt ein [[Randintegral für Dreiecksflächen]] den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="FlächenintegralsatzDreiecke"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweis - Flächenintegralsatz === Der [[Beweis zum Flächenintegralsatz für Dreiecke]] nutzt die Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] und die [[Definition Flächenintegrale]] für die Berechnung des Flächenintegrals über Dreiecke. === Bemerkung - Randwegintegrale für Dreiecksfläche === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> wird damit das Integral über Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> als [[Randwegintegral für Dreiecke]] dargestellt und liefert damit eine Zusammenhang zwischen Flächenintegralen für <math>f</math> zu der Summe von zwei [[Wegintegral|Wegintegralen]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2z := \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> === Bemerkung - Flächenintegrale als Wegintegrale für Dreiecke === Gleichzeitig stellt die obige Summe von zwei Wegintegralen bzgl. der [[Kurs:Funktionentheorie/Randwege für Dreiecke|Randwege von einem Dreieck]] über <math>F</math> auch das Flächenintegral über Dreiecke <math>f</math> über <math>\gamma_{_\Delta}</math> dar. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2 z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] kann man die obigen Wegintegral ferner als Differenz von zwei Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> berechnen. === Notation der Wegintegrale === Die Notation <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \ldots </math> bedeutet, dass die beiden Integrationswege bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> gebildet werden und * bei dem Eckpunkt <math>z_1</math> in dem konstanten Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle = \gamma_{_\Delta}(0,\cdot )</math> starten und * mit wachsenden <math>t_1</math> Integrationsweg <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,\cdot)</math> gegen den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3\rangle = \gamma_{_\Delta}(1,\cdot )</math> läuft. * Konvergiert <math>t_1</math> gegen 0, kontrahiert der Weg zu einem Punkt <math>z_1</math> bzw. zu dem Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math>. <span id="KorollarDreiecke"></span> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hbq6brn19mi2rnra5xjmvqk3y7no3zy 106 170097 1078361 1077530 2026-04-28T14:41:10Z Bert Niehaus 20843 1078361 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & 2\cdot ( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) ) \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] locgesgbh6vg3flc4z6u82fbwu4823b 1078362 1078361 2026-04-28T14:45:58Z Bert Niehaus 20843 /* Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale */ 1078362 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] acpo2yuom00i28bi6xpdf6eyfw1ugjy 1078363 1078362 2026-04-28T14:51:53Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecke als orientierte Fläche */ 1078363 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreiecke === Das Flächenintegral über ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> wird in den folgenden Sätzen als das Intergal über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> verstanden und erhält folgende Notation: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] intg31p6esrqsypzge04q706mnvbhtk 1078364 1078363 2026-04-28T14:52:27Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegral über Dreiecke */ 1078364 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] oxj5tcdsv7ie2exu09hb4qesnb6utwv 1078365 1078364 2026-04-28T15:03:41Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecke 1 als orientierte Fläche */ 1078365 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 1 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6epsunn4ysia9vm6t60e2jzo86jksgc 1078366 1078365 2026-04-28T15:04:10Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegral über Dreieck 1 */ 1078366 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 1 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1) </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 90psqvnymnnlzn9jihw4nknsum2a9xk 1078367 1078366 2026-04-28T15:05:46Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecke 2 als orientierte Fläche */ 1078367 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 1 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1) </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 2 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\widetilde{\Delta}}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\widetilde{\Delta}}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d7ubsdx9e7byx6e78g2wtkswrc5cbx4 1078368 1078367 2026-04-28T15:09:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung */ 1078368 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 1 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1) </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 2 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\widetilde{\Delta}}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\widetilde{\Delta}}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgabe für Studierende == * Führen Sie einen analogen Beweis für die 2. Diagonale im Rechteck durch! Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es! * Berechnen Sie für <math>f(z)=z^2</math> die beiden Zerlegungen. == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7ueyr4gk1yufktw3ihe0cu0z1cp2rkh 1078369 1078368 2026-04-28T15:10:48Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1078369 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 1 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1) </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 2 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\widetilde{\Delta}}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\widetilde{\Delta}}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgabe für Studierende == * Führen Sie einen analogen Beweis für die 2. Diagonale im Rechteck durch! Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es! * Berechnen Sie für <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> Integrale für die beiden unterschiedlichen Zerlegungen in Teildreiecke für die beiden Diagonalen! == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s0m3rm1bk888n6egw8j1qyu8sbyz2pj 106 170210 1078351 1078349 2026-04-28T14:11:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral */ 1078351 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot (z_2-z_1) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gv702b9g82v6ljgaqys15x36r9p9iv5 1078352 1078351 2026-04-28T14:15:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals */ 1078352 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v4.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ox06f2aab9cs3unjq1jxjfftusuvoi6 1078354 1078352 2026-04-28T14:18:11Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen */ 1078354 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} \!\! - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cxxphi128pl6gikeqol9kbolj1yh76a 1078355 1078354 2026-04-28T14:21:32Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1078355 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3ivavm5s1bxxtedehtrqiiy1t8pit3q 1078356 1078355 2026-04-28T14:23:06Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1078356 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a95d69w4h893m6zo9gok603r1r6rgf1 1078357 1078356 2026-04-28T14:23:24Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1078357 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n7iuomvpvyyedekn8l88p39wkynb8n5 1078358 1078357 2026-04-28T14:24:21Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 */ 1078358 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6407hk1xpmkwtie51938a5vrxim4afi 1078359 1078358 2026-04-28T14:25:41Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt */ 1078359 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{\quad\quad z_1\quad}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \stackrel{(1)}{=} \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gzgkqy3uu0pe1549yq8shngkn5lp7hn 1078360 1078359 2026-04-28T14:26:55Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale */ 1078360 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum ''Flächenintegralsatz für Dreiecke'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Satz|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] über Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> und Wegintegrale über Stammfunktionen <math>F</math> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar1|Korollar 1]]''' zur Invarianz der Auswahl eines Eckpunktes * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar2|Korollar 2]]''' zu Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] und der Einfluß der Orientierung als [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] auf das [[Wegintegral]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar3|Korollar 3]]''' Kette aus 2 Integrationswegen auf Dreiecksrand. === Gradient - Orientierung von Punkten der Fläche === Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> Der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] ist damit konstant für die gesamte konvexe Menge der Dreieckspunkte <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math>. === Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen === Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] <span id="Satz"></span> == Flächenintegralsatz für Dreiecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> ist über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Veranschaulichung der Integraldarstellung 1 === Der obige Aussage liefert, dass das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> mit den Weg <math>\langle z_2, z_3\rangle</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v16 dreieck.png|350px|center|Randwegintegral über eine Wege]] === Veranschaulichung der Integraldarstellung 2 === Ferner kann man mit der obigen Aussage das Flächenintegral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> durch ein [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> analog zu <math>F(b)-F(a)</math> in der reellen Analysis als Differenz zwei Wegintegralen <math>\langle z_1, z_3\rangle</math> und <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> darstellen. [[File:Flaechenintegration v17 dreieck.png|350px|center|Dreiecksfläche über zwei Randwegintegrale]] === Aufgabe - Lemma von Goursat === Wenn man die Subtraktion des Wegintegrals <math>\langle z_1, z_2\rangle</math> über <math>F</math> durch Addition des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_1\rangle</math> darstellt, kann man die Gleichheit der beiden Integraldarstellung für die orientierte Dreiecksfläche über das [[Lemma von Goursat]] nachweisen. Stellen Sie die Idee in den Übungen vor. <span id="Beweis"></span> == Beweis - Flächenintegralsatz == Nach der [[Definition Flächenintegrale]] verwendet man nach Voraussetzung <math>\gamma_{_\Delta}</math> für die [[orientierte Fläche]]: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Die [[orientierte Fläche|orientierte Dreiecksfläche]] wendet man der erhält man die [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] an: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] sind dabei <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=(z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_2}(t_1,t_2)=(z_3-z_2)\cdot t_1 \in \mathbb{C}</math>. Die Integralgrenze sind in diesem Fall <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math>. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Integrals === Sei <math>U\subset G</math> eine konvexe offene Umgebung von <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset U</math>. Da <math>f</math> als [[holomorphe Funktion]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Mengen besitzt, kann man eine Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> für <math>f</math> eingeschränkt auf <math>U</math> wählen. Zunächst wird das innere Integral nach <math>t_1</math> mit der stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitung]] <math>\tfrac{d\gamma{_{_\Delta}}}{dt_1}(t_1,t_2)=z_2-z_1\in \mathbb{C}</math> berechnet und man erhält: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{0}^{1} \bigg( F(\gamma_{_\Delta}\big(1,t_2)\big) - F(\gamma_{_\Delta}\big(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 3 - Berechnung der Dreieckspunkte === Nun werden zunächst die Punkte im Argument der Stammfunktion <math>F:U\to \mathbb{C}</math> berechnet. Man erhält durch Einsetzen von <math>t_1</math> in Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> für alle <math> t_2\in [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}\big(1,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ &=& z_2 + (z_3-z_2) \cdot t_2 \\ \gamma_{_\Delta}\big(0,t_2) &=& z_1 + (z_2-z_1)\cdot 0 + (z_3-z_2)\cdot 0 \cdot t_2 \\ &=& z_1\\ \end{array} </math> Damit gilt <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,0)=z_2</math>, <math>\gamma_{_\Delta}\big(1,1)=z_3</math> und <math>z_1 = \gamma_{_\Delta}\big(0,0) = \gamma_{_\Delta}\big(0,1) </math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Integrals === Das Integral aus Beweisschritt 3 wird über die Linearität auf zwei Teilintegrale zerlegt und man erhält über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box} : U\to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> die folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z \!\!\!\! & = & \!\!\!\!\!\! \displaystyle \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 - \!\! \int_{0}^{1} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)} - \,\,\, \underbrace{ \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} }_{=F_{_\Box}(z_1)-F_{_\Box}(z_1) = 0} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Bestimmung Eckpunkte der Fläche === Die Eckpunkte der orientierten Fläche sind damit: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(1,1) &=& z_1 + (z_2-z_1) + (z_3-z_2) = z_3 \\ \gamma_{_\Delta}(1,0) &=& z_1 + (z_2-z_1) = z_2 \\ \gamma_{_\Delta}(0,1) &=& z_1 \ \,\, = \ \,\, \gamma_{_\Delta}(0,0) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Dreiecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \,\,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) }_{=0} \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Darstellung des Flächenintegrals === Insgesamt erhält man ferner die Darstellung des orientierten Dreiecksintegrals für <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> bzgl. <math>f</math> als Wegintegral über den Rand des Dreiecks bzgl. der Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> === Beweisschritt 8 - Anwendung des Lemmas von Goursat === Nach dem [[Lemma von Goursat]] angewendet auf eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> erhält man: :<math> 0 = \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi }_{ = - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi } </math> === Beweisschritt 9 - Übereinstimmung der Wegintegrale === Über Äquivalenzumformungen gilt insgesamt der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. :<math> \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi \,\,\,\, = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\!\!\! </math> <math>\quad q.e.d.</math>. === Bemerkung - orientierte Fläche und Integraldarstellung=== Das Flächenintegral hängt zunächst einmal von der Definition der orientierten Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> ab. Die Definition von <math>\gamma_{_\Delta}</math> basierte auf [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] als [[orientierte Fläche]]. Das Flächenintegral lässt sich als Wegintegral über Stammfunktionen oder (analog zur reellen Analysis) als Differenz von zwei [[Flächenstammfunktion]] als [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion zweiter Ordnung]]. <span id="Korollar"></span> <span id="Korollar1"></span> == Korollar 1 - Invarianz für Auswahl Eckpunkt == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> == Beweis - Korollar 1 == Der Beweis des [[Korollar - Flächenintegralsatz für Dreiecke|Korollars]] gliedert sich in die beiden Teilaussagen: * '''(K1.1)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Anfangspunkt, * '''(K1.2)''' Unabhängigkeit von der Wahl von <math>z_1</math> in <math>G</math> als Endpunkt von zwei Wegintegral über <math>F</math>. === Beweis zu K1.1 - Unabhängigkeit von Eckpunktwahl === Mit der Aussage des Satzes eine Darstellung eine Flächenintegrals über die Differenz einer Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>, die in zwei Eckpunkten <math>z_{2}</math> und <math>z_{3}</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Dabei kann der Startpunkt (oder Endpunkt) <math>z_1</math> der Darstellung der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] über [[Konvexkombination|Konvexkombination]] über einen Randweg frei gewählt werden, da der Wert des Integral mit <math> F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)</math> nicht von <math>z_1</math> abhängt. ==== Bemerkung K1D - Notation - Anfangs- und Endpunkt ==== Ob die orientierte Fläche als Anfangs- oder als Endpunkt der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] gewählt wurde, kann man an der Notation ablesen: * '''(<math>z_1</math> Anfangspunkt)''' <math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\int}} \!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> der Weg <math>\langle z_1,z_1\rangle</math> wird mit wachsenden <math>t_1</math> transformiert zu <math>\langle z_2,z_3\rangle</math>. * '''(<math>z_1</math> Endpunkt)''' <math> \overset{\quad\quad z_1\quad}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int}} \!\!\!\!\! F(\xi) \,\, d\xi </math> Dabei kontrahiert der Weg <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> zu einem Punkt <math>z_1</math> für wachsendes <math>t_1</math> in der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math>. Die beiden orientierten Flächen unterscheiden sich bzgl. [[Definition Flächenintegrale]] um ein Vorzeichen (K2D). ==== Bemerkung K1D - Wahl des Eckpunktes ==== Bei der Wahl von <math>z_1</math> muss man lediglich darauf zu achten, dass die [[w:de:konvexe Menge|konvexe Dreiecksfläche]] <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> ganz in dem Gebiet <math>G</math> für die [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> liegt. <span id="Korollar2"></span> == Korollar 2 - Rechenregeln für Dreiecksflächenintegrale == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann hat das Flächenintegral über <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> folgende Darstellungen als [[Randwegintegral für Dreiecke]] über <math>F</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z \,\, \stackrel{(1)}{=} \! \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(2)}{=} - \!\!\! \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} \!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(3)}{=} \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} \! f(z) \,\, d^2\!z \,\, \stackrel{(4)}{=} - \!\!\! \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, </math> == Beweis - Korollar 2 - Rechenregeln == Das zweite Korollar behandelt Rechenregeln für [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale in Dreiecke]] einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Die Rechenregeln zeigen, wie sich die Orientierungsänderungen auf die Integraldarstellung und die Integralgrenzen auswirken. === Beweis zu Gleichung (1) - Orientierung === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) </math> Damit stimmt das [[Randintegral für Dreiecksflächen]] für die zugehörige [[orientierte Fläche]] mit dem Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> \overset{\langle z_2,z_3\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (2) - Orientierungswechsel === Nach dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gilt analog die Aussage: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit erzeugt der Orientierungswechsel beim Weg in der oberen Integralgrenze des [[Randintegral für Dreiecksflächen]] ein Vorzeichenwechels beim Flächenintegral über <math>\gamma_{_\Delta}</math> bzgl. <math>f</math> überein. :<math> - \overset{\langle z_3,z_2\rangle}{\underset{z_1}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (3) - Orientierungswechsel für Wege === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> zum Endpunkt der Wegintegral auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. :<math> \overset{z_1}{\underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\quad\iint\quad}} f(z) \, d^2\!z = \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweis zu Gleichung (4) - Doppelter Vorzeichenwechsel === Der Vorzeichenwechsel bei den Wegintegralen entsteht durch Orientierungswechsel in Wegen von <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> zu <math>\langle z_3,z_1\rangle</math> bzw. von <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> zu <math>\langle z_2,z_1\rangle</math> und ein Vertauschen der Integralgrenzwege liefert dann: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = - \left( \,\,\, \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi \right) = - \overset{z_1}{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\iint}} f(z) \,\, d^2\! z </math> Damit wird <math>z_1</math> bzw. Weg <math>\langle z_1, z_1\rangle</math> zum Endpunkt der Wegintegrale auf dem Dreiecksrand über <math>\Delta</math> und man erhält als [[Randintegral für Dreiecksflächen]] die Berechnung. <math>\quad q.e.d.</math> <span id="Korollar3"></span> == Korollar 3 - Kette auf Dreiecksrand == Sei <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)\subset G</math> mit den Eckpunkte mit <math>z_1,z_2,z_3\in G</math>, dann ist das komplexwertige Flächenintegral invariant bzgl. der Auswahl des Startpunktes (bzw. Endpunktes) <math>z_1</math> der beiden Wegintegrale über <math>F</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi </math> == Beweis Korollar 3 == Unter Verwendung der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> erhält man durch Einsetzen die Aussage des Korollar 3: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z &=& F_{_\Box}(z_3) \underbrace{ - F_{_\Box}(z_1) + F_{_\Box}(z_1)}_{=0} - F_{_\Box}(z_2) \\ &=& \big( F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_1)\big) + \big( F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2)\big) \\ &=& \displaystyle \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \! F(\xi) \,\, d\xi \\ \end{array} </math> Damit gilt Korollar 3. <math>\qquad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexwertige Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[holomorphe Funktion]] * [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|Kongruenz in der Geometrie]] * [[Lemma von Goursat]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramm]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] i51gzlb2u14ronwbge3z3aw0w04t3mr 0 170268 1078396 1078202 2026-04-29T06:06:11Z Bocardodarapti 2041 1078396 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | x || t^3 -3t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || t^4-4t^2 || || || |SZ=. }} Die Gleichung ist {{ Relationskette/display | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || 0 || || || |SZ=. }} Dabei erfüllt {{math|term= t |SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || 0 || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= 2 |SZ=,}} es ist ja {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || t^2-t {{makl| t^3 -3t |}} + {{makl| t^4-4t^2 |}} || t^2 -t^4 +3t^2 +t^4 -4t^2 || 0 || |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette/display | t^2 || tx-y || || || |SZ=. }} Wir setzen ein {{ Relationskette/align | x || t^3-3t || t {{makl| t^2-3 |}} || t {{makl| tx-y -3 |}} || t^2x-ty-3t || {{makl| tx-y |}} x-ty-3t || tx^2 -yx-ty-3t |SZ=. }} Daraus ergibt sich die rationale Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x+yx | x^2 -y-3 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 76r1y5nurc6h37qwdxgeeqxieipt1p5 1078422 1078396 2026-04-29T09:06:52Z Bocardodarapti 2041 1078422 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | x || t^3 -3t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || t^4-4t^2 || || || |SZ=. }} Die Gleichung ist {{ Relationskette/display | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || 0 || || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Relationskette/display | \partial_x || 4x^3-8x || 4x {{makl| x^2-2 |}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \partial_y || -3y^2-12y-9 || -3 {{makl| y^2+4y+3 |}} || -3 {{makl| y+1 |}} {{makl| y+3 |}} || |SZ=. }} Dabei sind {{ Math/display|term= ( \sqrt{2}, -1), \, (- \sqrt{2}, -1), \, ( 0, -3) |SZ= }} Singularitäten. Das Element {{math|term= t |SZ=}} erfüllt die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || 0 || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= 2 |SZ=,}} es ist ja {{ Relationskette/display | t^2-tx+y || t^2-t {{makl| t^3 -3t |}} + {{makl| t^4-4t^2 |}} || t^2 -t^4 +3t^2 +t^4 -4t^2 || 0 || |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette/display | t^2 || tx-y || || || |SZ=. }} Wir setzen ein {{ Relationskette/align | x || t^3-3t || t {{makl| t^2-3 |}} || t {{makl| tx-y -3 |}} || t^2x-ty-3t || {{makl| tx-y |}} x-ty-3t || tx^2 -yx-ty-3t |SZ=. }} Daraus ergibt sich die rationale Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x+yx | x^2 -y-3 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} f9n8yktwmuaubzpogp5d339yb97p0j3 0 170269 1078417 1078314 2026-04-29T07:58:03Z Bocardodarapti 2041 1078417 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^3 || {{makl| x^2-1 |}}^3-v^3 -8 - 3 {{makl| x^2-1 |}}^2v +3 {{makl| x^2-1 |}}v^2 -6{{makl| x^2-1 |}}^2 +12{{makl| x^2-1 |}} -6v^2-12v +12 {{makl| x^2-1 |}} v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 |}} -v {{makl| v^2 +6v +12 |}} -8 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^2 || {{makl| x^2-1 |}}^2 +v^2 +4 -2 {{makl| x^2-1 |}} v -4 {{makl| x^2-1 |}} +4v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 |}} +v {{makl| v+4 |}} +4 || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette/align/netzlinks | x^4-4x^2 - {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x^2 - 3 {{makl| x^2-1 |}} -3 - {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^3 -6 {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^2 -9 {{makl| x^2-1 -v-2 |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T -3 +8 -24 +18 || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T - 1 |SZ= }} mit {{ Relationskette/align | S || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 + {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 -9 || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | T || -v^2 -6v -12 + v+4 +9 || -v^2 -5v +1 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} gt4jhvhqiop3ha7e0d6foan7lmpvak1 1078423 1078417 2026-04-29T09:11:28Z Bocardodarapti 2041 1078423 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=. }} Die singulären Punkte sind jetzt {{ Math/display|term= ( \sqrt{2}, 0), \, (- \sqrt{2}, 0), \, (0, 0) |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^3 || {{makl| x^2-1 |}}^3-v^3 -8 - 3 {{makl| x^2-1 |}}^2v +3 {{makl| x^2-1 |}}v^2 -6{{makl| x^2-1 |}}^2 +12{{makl| x^2-1 |}} -6v^2-12v +12 {{makl| x^2-1 |}} v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 |}} -v {{makl| v^2 +6v +12 |}} -8 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^2 || {{makl| x^2-1 |}}^2 +v^2 +4 -2 {{makl| x^2-1 |}} v -4 {{makl| x^2-1 |}} +4v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 |}} +v {{makl| v+4 |}} +4 || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette/align/netzlinks | x^4-4x^2 - {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x^2 - 3 {{makl| x^2-1 |}} -3 - {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^3 -6 {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^2 -9 {{makl| x^2-1 -v-2 |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T -3 +8 -24 +18 || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T - 1 |SZ= }} mit {{ Relationskette/align | S || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 + {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 -9 || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | T || -v^2 -6v -12 + v+4 +9 || -v^2 -5v +1 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ibp5qmuzc56fw6i3x7ihx1m1tshi0ns 1078424 1078423 2026-04-29T09:24:54Z Bocardodarapti 2041 1078424 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir verwenden {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} mit der neuen Variablen {{ Relationskette/display | v || x^2-y-3 || {{makl| t^3-3t |}}^2 -t^4+4t^2 -3 || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | y || x^2-v-3 || || || |SZ=. }} Aus der Gleichung wird {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=. }} Die singulären Punkte sind jetzt {{ Math/display|term= ( \sqrt{2}, 0), \, (- \sqrt{2}, 0), \, (0, 0) |SZ=. }} Der Schnitt mit {{mathl|term= V(v) |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wir setzen {{ Relationskette/k | u || x^2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Relationskette/align | u^2-4u - {{makl| u-3 |}}^3- 6 {{makl| u-3 |}}^2 - 9 {{makl| u-3 |}} || u^2-4u -u^3 + 9 u^2 - 27 u -6u^2 +36u -9u || -u^3 + 4 u^2 -4 u || -u {{makl| u^2 - 4 u + 4 |}} || -u {{makl| u -2 |}}^2 |SZ=. }} Die rationale Beschreibung wird zu {{ Relationskette/align | t || {{op:Bruch|x+yx|x^2 -y-3}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch|x (1+y) |v}} || {{op:Bruch| x (x^2-v-2) |v}} || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch| x^3-2x |v}} -x |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^3 || {{makl| x^2-1 |}}^3-v^3 -8 - 3 {{makl| x^2-1 |}}^2v +3 {{makl| x^2-1 |}}v^2 -6{{makl| x^2-1 |}}^2 +12{{makl| x^2-1 |}} -6v^2-12v +12 {{makl| x^2-1 |}} v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 |}} -v {{makl| v^2 +6v +12 |}} -8 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -v-2 |}}^2 || {{makl| x^2-1 |}}^2 +v^2 +4 -2 {{makl| x^2-1 |}} v -4 {{makl| x^2-1 |}} +4v || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 |}} +v {{makl| v+4 |}} +4 || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette/align/netzlinks | x^4-4x^2 - {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x^2 - 3 {{makl| x^2-1 |}} -3 - {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^3 -6 {{makl| x^2-1 -v-2 |}}^2 -9 {{makl| x^2-1 -v-2 |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T -3 +8 -24 +18 || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2 -3 |}} + {{makl| x^2-1 |}} S + v T - 1 |SZ= }} mit {{ Relationskette/align | S || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v +3v^2 -6 {{makl| x^2-1 |}} +12 v +12 + {{makl| x^2-1 |}} -2v-4 -9 || {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | T || -v^2 -6v -12 + v+4 +9 || -v^2 -5v +1 || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cmclk27v5abqa9euvqd3zlyoduucgn2 0 170280 1078415 1078316 2026-04-29T07:51:20Z Bocardodarapti 2041 1078415 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Weitere Gleichungen Wir setzen {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ= }} in die quadratische Ganzheitsgleichung ein und erhalten {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(|w|x^2-1}}^2 || {{op:Bruch|w|x^2-1}} x -x^2 +v+3 || || || |SZ=. }} Multiplikation mit dem Nenner ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | w^2 - {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich auch {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || x+ {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} |w}} || || |SZ=. }} Man kann also {{math|term= t |SZ=}} auf der Kurve mit Nennern {{mathl|term= x^2-1,v,w |SZ=}} schreiben. In Verbindung mit der Gleichung von oben, {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/align | 0 || w {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} |}} || || || || |SZ= }} und durch Division mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} weiter {{ Relationskette/align | w x {{makl| x^2-v-2 |}} -v xw - v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -x^2 +v+3 |}} || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 3x^2v -x^2 v+v^2 +3 v || x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Die beiden Punkte {{mathl|term= (\pm1 ,0,0) |SZ=}} erfüllen die drei Gleichungen, aber nicht die allererste Gleichung in {{math|term= x,v |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | (\pm 1)^4-4(\pm 1)^2- {{makl| -2 |}}^3 -6 {{makl| -2 |}}^2 -9 {{makl| -2 |}} || 1-4 + 8 - 24 +18 || -1 | \neq | 0 || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} s4v6ag44mqfxpabl61fpmo491qcczz7 106 170281 1078371 1078346 2026-04-28T15:45:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Darstellungslemma */ 1078371 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] ezypzgfw0kt5pzorm1vs1vxdndrjg7a 1078372 1078371 2026-04-28T15:46:58Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral */ 1078372 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] 3s5ziji21nu436gikv7hlvxucti3nhb 1078373 1078372 2026-04-28T15:47:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen */ 1078373 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] 210oakqn5ewwngw5hxsrabaxbq6vcfc 1078374 1078373 2026-04-28T15:49:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1078374 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] egbz82rjytrm4ecndg13k6jz2mjy073 1078375 1078374 2026-04-28T15:51:23Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1078375 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] 77d1bvtqop1qebmi3w0d2rwjzcjbb7s 1078376 1078375 2026-04-28T15:53:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1078376 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] gqdoakesf3z3xz8bvuxsjat860qadbk 1078377 1078376 2026-04-28T15:54:01Z Bert Niehaus 20843 /* Sieh auch */ 1078377 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 1o515ao1x1la1ns52krw2amnqefr48c 1078380 1078377 2026-04-28T15:56:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals */ 1078380 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 3uok7vjd14gy6rgsf9d5o6vy8to0jtl 1078381 1078380 2026-04-28T15:57:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung */ 1078381 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] i5o1r2hwc63ypn3y0wlp77wi831gpi0 1078382 1078381 2026-04-28T15:58:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1078382 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] sy5rnszp1c1axkc6z7ccq68nr0mwewb 1078397 1078382 2026-04-29T06:06:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1078397 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 6z1vqz7hswm0a8cj5ksob350usq5j7v 1078401 1078397 2026-04-29T06:10:26Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1078401 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] f1yyv2oehw8mknl38u3nfa2lcl4d0rk 1078402 1078401 2026-04-29T06:11:21Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1078402 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 6hdj4genpfx3171aa4g4jyuljjtkwx9 1078403 1078402 2026-04-29T06:22:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1078403 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 5sxdr62ownxgfjax48i37nh0ym8r75l 1078404 1078403 2026-04-29T06:33:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals */ 1078404 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ \displaystyle \bigg[ F_\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(0,1)\big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] igjgf9osorgrh8v2x2qce1cizet50rr 1078405 1078404 2026-04-29T06:37:45Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals */ 1078405 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] jyxlbdovuutkwz4zblv4l9zx8peaai0 1078406 1078405 2026-04-29T06:40:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals */ 1078406 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ F_{_\Box}\big(z_{3}\big) + \tfrac{1}{2}F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - \tfrac{1}{2}F_{_\Box}\big(z_{1}\big) end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] shylw1pz9lrn7d4f4cvcn4fxkbu3ysr 1078407 1078406 2026-04-29T06:45:44Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals */ 1078407 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] jyxlbdovuutkwz4zblv4l9zx8peaai0 1078408 1078407 2026-04-29T06:46:05Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals */ 1078408 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] dm2b4ey9hh5l7ahj55rztx08we6slsn 1078426 1078408 2026-04-29T10:44:57Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals */ 1078426 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 5axjugao3pxf3nor10bg8eep3g41qqg 1078429 1078426 2026-04-29T10:53:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals */ 1078429 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 5v40ug4bfysltw856lu5t33wgm2041x 1078431 1078429 2026-04-29T10:59:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals */ 1078431 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals === Für die Berechnung des Integrals wird die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in Anfangs- und Endpunkten der beiden Wegintegrale <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] qwmvjgpzb9158stco2zdoooczcdm66s 1078432 1078431 2026-04-29T11:02:44Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintegrals */ 1078432 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] i8afp05e9ajsv50m9e4oyjsoo5vbx8s 1078433 1078432 2026-04-29T11:08:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral */ 1078433 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] a8za5dt0v7zoandnixy2jcfocilbr1s 1078434 1078433 2026-04-29T11:25:23Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral */ 1078434 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] gthio6be3srlhy085zzama4kib5d4dx 1078435 1078434 2026-04-29T11:28:22Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Darstellungslemma */ 1078435 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bp48j2xdf6i0ozgb9nb78jfhbv6wfhk 1078436 1078435 2026-04-29T11:28:57Z Bert Niehaus 20843 /* D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078436 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 6gwco8430c6xh4wfhvcqbt7cfau4oh5 1078437 1078436 2026-04-29T11:29:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral */ 1078437 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] o17rm2lk5ffoptl3f624yxwxrsjujig 1078438 1078437 2026-04-29T11:30:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral */ 1078438 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Sieh auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 5ej1hiqjnxkcr8elntwnoewrcgi07s3 1078439 1078438 2026-04-29T11:54:19Z Bert Niehaus 20843 /* Sieh auch */ 1078439 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] p3quvzs6flc6kt6wuvvhf09rn4g4e1s 0 170282 1078393 2026-04-29T06:04:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078393 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} i6c7kqej3nft94i3n7hmxck6p7xkhg1 1078395 1078393 2026-04-29T06:05:46Z Bocardodarapti 2041 1078395 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 45n6bb67ofhceg7ag2em3ah7p9t8b9o 1078409 1078395 2026-04-29T07:03:01Z Bocardodarapti 2041 1078409 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} pudwej2xm3nvo21oiqnk3qfrcdqyzll 1078414 1078409 2026-04-29T07:50:30Z Bocardodarapti 2041 1078414 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichung für t/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 7ekm08ymvz11efthomfkrvh6ittv9bg 1078418 1078414 2026-04-29T08:01:46Z Bocardodarapti 2041 1078418 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichung für t/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} {{ Relationskette/align | x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | x^3w -2xvw -2xw + x^4v - 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x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ivwuipe5bx2rqhfxqzwcieu6h9cion6 14 170283 1078394 2026-04-29T06:04:17Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078394 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe 0 170284 1078398 2026-04-29T06:08:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078398 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Relationskette/display | z || t^5-10t || || || |SZ= }} kann man {{ Relationskette/align | z || t^5-10t || t {{makl| tx-y |}}^2-10t || t {{makl| t^2x^2 -2xy+y^2 |}} -10t || t {{makl| {{makl| tx-y |}} x^2 -2xy+y^2 |}} -10t || t {{makl| tx^3 - x^2y -2xy+y^2 |}} -10t || {{makl| tx-y |}} x^3 + t {{makl| - x^2y -2xy+y^2 |}} -10t || -yx^3 +t {{makl| x^4 - x^2y -2xy+y^2 -10 |}} |SZ= }} ableiten. Also ist {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|z +yx^3 | x^4 - x^2y -2xy+y^2 -10 }} || || || |SZ=. }} Alternativ ist {{ Relationskette/align | z || t^5 -10t || t^2 {{makl| x+3t |}} -10t || 3t^3 +xt^2-10t || 3 {{makl| x+3t |}} +xt^2-10t || xt^2 +3x -t |SZ=. }} Wenn man die quadratische Ganzheitsgleichung aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Beispiel |Nr= |SZ= }} heranzieht, ergibt sich {{ Relationskette/display | z || x {{makl| tx-y |}} +3x -t || -xy +3x +t {{makl| x^2 -1 |}} || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| z+xy-3x |x^2-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0deufltbpt1yweyrlmm5z2dyy92yzhg 0 170285 1078410 2026-04-29T07:08:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078410 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Abbildung/display |name= \theta | K[X,Y,Z] | K[T] || |SZ= }} ein surjektiver {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra-Homomorphismus| |Kontext=| |SZ=, }} der durch {{mathl|term= X \mapsto P_1(T), \, Y \mapsto P_2(T), \, Z \mapsto P_3(T), \, |SZ=}} gegeben sei, und es sei {{ Relationskette | Q | \in | K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} ein Polynom mit {{ Relationskette | \theta(Q) || T || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Kern| \theta|}} || {{makl| X-P_1(Q),Y-P_2(Q),Z-P_3(Q) |}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} fvuf2liib9ymjams8d4d67dudb9lomr 1078411 1078410 2026-04-29T07:08:21Z Bocardodarapti 2041 1078411 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Abbildung/display |name= \theta | K[X,Y,Z] | K[T] || |SZ= }} ein surjektiver {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ=, }} der durch {{mathl|term= X \mapsto P_1(T), \, Y \mapsto P_2(T), \, Z \mapsto P_3(T), \, |SZ=}} gegeben sei, und es sei {{ Relationskette | Q | \in | K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} ein Polynom mit {{ Relationskette | \theta(Q) || T || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Kern| \theta|}} || {{makl| X-P_1(Q),Y-P_2(Q),Z-P_3(Q) |}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} fhzu9ehsstljnkrqmn94ciq3k7qowbg 0 170286 1078412 2026-04-29T07:15:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078412 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Voraussetzung besagt {{ Relationskette/display | Q(P_1(T),P_2(T),P_3(T)) || T || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align | K[T] | \cong | K[X,Y,Z,T]/ {{makl| X-P_1(T), Y -P_2(T), Z-P_3(T) |}} | \cong | K[X,Y,Z,T]/ {{makl| X-P_1(T), Y -P_2(T), Z-P_3(T), T-Q(X,Y,Z) |}} | \cong | K[X,Y,Z,T]/ {{makl| X-P_1(Q), Y -P_2(Q), Z-P_3(Q) , T-Q(X,Y,Z) |}} | \cong | K[X,Y,Z]/ {{makl| X-P_1(Q), Y -P_2(Q), Z-P_3(Q)|}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ecazc49grzko1byy7d2hppoqxl4xgms 1078413 1078412 2026-04-29T07:35:21Z Bocardodarapti 2041 1078413 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Voraussetzung besagt {{ Relationskette/display | Q(P_1(T),P_2(T),P_3(T)) || T || || || |SZ=. }} Daher ist in {{mathl|term= K[X,Y,Z,T] |SZ=}} {{ Relationskette/display | T-Q(X,Y,Z) || Q(P_1(T),P_2(T),P_3(T)) - Q(X,Y,Z) |\in | {{makl| X-P_1(T), Y -P_2(T), Z-P_3(T) |}} || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | K[T] | \cong | K[X,Y,Z,T]/ {{makl| X-P_1(T), Y -P_2(T), Z-P_3(T) |}} | \cong | K[X,Y,Z,T]/ {{makl| X-P_1(T), Y -P_2(T), Z-P_3(T), T-Q(X,Y,Z) |}} | \cong | K[X,Y,Z,T]/ {{makl| X-P_1(Q), Y -P_2(Q), Z-P_3(Q) , T-Q(X,Y,Z) |}} | \cong | K[X,Y,Z]/ {{makl| X-P_1(Q), Y -P_2(Q), Z-P_3(Q)|}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} kd3916ya1618kalrdzso6md7ydj5ogf 0 170287 1078416 2026-04-29T07:51:54Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078416 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Mit {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || || || |SZ= }} erhält man {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch| x^3-xv-2x |v}} || {{op:Bruch|w |x^2-1}} || || |SZ=. }} Dies ergibt die Gleichung {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} Die partielle Ableitung nach {{math|term= w |SZ=}} ist {{math|term= v |SZ=.}} Eine Singularität kann also nur bei {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} || 0 || || || |SZ= }} vorliegen. Die partielle Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} ist {{ Math/display|term= -v {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x + {{makl| {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2 -2 |}} |}}' |SZ=. }} Vorne muss {{math|term= 0 |SZ=}} sein und hinten kann es nicht gleichzeitig mit oben {{math|term= 0 |SZ=}} werden, da die Nullstellen einfach sind, die Fläche ist also glatt. Es sei {{math|term= H |SZ=}} die Gleichung aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel |Nr= |SZ=, }} wir schreiben sie wie dort als {{ Relationskette/display | vA+ {{makl| x^2-1 |}} B -1 || 0 || || || |SZ=. }} Insbesondere erzeugen {{ mathkor|term1= v |und|term2= x^2-1 |SZ= }} modulo dieser Gleichung das Einheitsideal. Modulo {{math|term= I,H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. auf der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | t || t 1 || t {{makl| vA+ {{makl| x^2-1 |}} B |}} || t vA + t {{makl| x^2-1 |}} B || {{makl| x^3 -vx -2x |}} A + {{makl| w |}} B |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | A || x^2-3 +S || x^2-3 + {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || T || -v^2-5v+1 || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | t || {{makl| x^3 -vx -2x |}} {{makl| x^2-3 + {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}} v -5 {{makl| x^2-1 |}} +3v^2 +10 v -1 |}} + {{makl| w |}} {{makl| -v^2-5v+1 |}} || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | w || z+xy-3x || t^5-10t + {{makl| t^3-3t |}} {{makl| t^4-4t^2 |}} -3 {{makl| t^3-3t |}} || t^7 -6t^5+9t^3 -t || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | v || t^6 -7t^4 +13t^2-3 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align | x^3 -vx -2x || {{makl| t^3-3t |}} ^3 - {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}} {{makl| t^3-3t |}} -2 {{makl| t^3-3t |}} || t^7 -7 t^5 +13 t^3 -3t || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette/align | A || x^2-3 +S || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | B || T || -v^2 -5v +1 || - {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}}^2 - 5 {{makl| t^6 -7t^4 +13t^2-3 |}} + 1 || - t^{12} - 49t^8 -169 t^4 -9 +14 t^{10} -26 t^8 + 182 t^6 + 6 t^6 -42t^4 + 78 t^2 -5 t^6 +35 t^4 -65 t^2 +16 || - t^{12} +14 t^{10} - 75t^8 + 183 t^6 - 176 t^4 + 13t^2 +7 |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} p11ax8nwju8uek2rhmbm2lthmy1ld7y