Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 6106 1078530 1076312 2026-04-30T08:55:13Z ~2026-26116-10 41538 /* Kontakt zur Community insgesamt */ 1078530 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:KONTAKT}} {{Navigation Wikiversity}} Diese Seite erklärt, wie man zu den Menschen, die bei Wikiversity mitarbeiten, in '''Kontakt''' tritt. Bedingt durch die Offenheit des Projektes, gibt es für die meisten Dinge keine festen Ansprechpartner. Bitte bedenke, dass es sich ausschließlich um ''ehrenamtliche'' Mitarbeiter handelt. Auch die nachfolgenden Angaben wurden von einem ehrenamtlichen Wikiversity-Autor zusammengestellt. Geschildert wird zunächst, welche Kanäle und Wege zur Verfügung stehen, um sich an die Community insgesamt zu wenden. Danach geht es um die Frage, wie zwei Benutzer von Wikiversity persönlich miteinander in Kontakt treten können. Nach einem Abschnitt zu Presseanfragen folgt abschließend eine Zusammenfassung von Kanälen für offizielle Anfragen. Bună ziua, Am identificat în zona dumneavoastră mai multe firme care ar putea fi interesate de serviciile/produsele dumneavoastră. Practic, clienți potențiali pe care poate nu i-ați luat în calcul până acum. Ce vă pun la dispoziție, pentru doar cateva sute de lei: O extragere din Google Maps a tuturor firmelor din aria dumneavoastră (cu telefon, email, site, adresă), sortate pe categorii de activitate. Datele sunt livrate într-un fișier pe care îl păstrați și îl puteți folosi oricând. Ce puteți face cu aceste date: Contactați direct firmele (prin email, telefon, SMS, WhatsApp), sau prin formularul de contact, așa cum v-am contactat eu. Sau le pot contacta eu pentru dumneavoastră. Ca să vă conving de valoarea informațiilor, vă ofer gratuit câteva unelte pentru a începe: scripturi de contact prin formular soft de trimitere e-mailuri soft de contactare prin WhatsApp opțional: soft de trimis SMS-uri sau de apeluri telefonice cu AI Dacă vă place ideea, îmi puteți scrie pe WhatsApp la 0766-465-311 și putem continua discuția. Mulțumesc pentru timpul acordat. == Kontaktaufnahme zwischen den Benutzern von Wikiversity == === Benutzerdiskussionsseite === Einzelne Benutzer nehmen untereinander Kontakt auf über ihre jeweiligen Benutzerdiskussionsseite. Wenn man einen Beitrag auf der Diskussionsseite eines anderen Benutzers einstellt, erhält dieser standardmäßig eine E-Mail mit einer Benachrichtigung zugesandt – es sei denn, er hätte diese Benachrichtigung abgeschaltet oder er hätte keine E-Mail-Adresse in seinem Benutzerkonto eingetragen. In jedem Fall wird der Adressat der Nachricht von dem neuen Eintrag auf der eigenen Benutzerdiskussionsseite durch eine Benachrichtigung durch einen Info-Balken am Seitenkopf der nächsten Wiki-Seite informiert, die er danach aufruft. === Wikimail === Wenn man selbst und ein anderer Benutzer im Konto eine E-Mail-Adresse eingetragen haben, kann man diesem über Wikiversity eine E-Mail zusenden, eine sogenannte ''Wikimail''. Das geschieht über den Link ''E-Mail an diesen Benutzer'' in der Werkzeugleiste in der Sidebar auf der Benutzerseite des Adressaten der E-Mail. == Presseanfragen == Für Presseanfragen gibt es eine '''[[:w:Wikipedia:Presse|Seite auf Wikipedia]]''', auf der sich Wikipedianer eingetragen haben, die bereit sind, Fragen von Journalisten zu beantworten, darunter auch Wikiversity-Autoren und -Administratoren, soweit jeweils vermerkt. Dort findet man auch die Kontaktangaben zur Abteilung Öffentlichkeitsarbeit des Fördervereins Wikimedia Deutschland, die ebenfalls Anfragen von Journalisten bearbeitet. Fragen an die Wikiversity-Community im ganzen können auch auf der '''[[Wikiversity:Cafeteria]]''' gestellt werden. == Offizielle Anfragen == Für weitere Infomationen zu offiziellen Anfragen siehe * '''[[m:Externe Kontakte|externe Kontakte]]''' und * '''[[Wikiversity:Impressum|Impressum]]'''. === Insbesondere: Anfragen an den Betreiber der Website === Betreiberin der Wikiversity ist die gemeinnützige [[Foundation:Hauptseite|Wikimedia Foundation]] mit Sitz in San&nbsp;Francisco, Kalifornien, USA, deren Kontaktdaten sich im '''[[Wikiversity:Impressum|Impressum]]''' finden. === Wikimedia-Fördervereine === Für eine unkomplizierte Kontaktaufnahme kannst Du Dich auch gerne an den jeweiligen Förderverein in Deutschland, in Österreich oder in der Schweiz wenden: * [http://www.wikimedia.de Wikimedia Deutschland] * [http://www.wikimedia.at Wikimedia Österreich] * [http://www.wikimedia.ch Wikimedia&nbsp;CH] Bitte beachte, dass die nationalen Fördervereine nicht der Betreiber der Wikiversity sind und diese auch nicht im juristischen Sinne vertreten. Wir bitten Dich auch, inhaltliche Fragen zu einzelnen Artikeln, Kursen oder Projekten nicht einen Förderverein, sondern an die jeweiligen Ansprechpartner, der auf der Kurs- oder Projektseite genannt wird, oder auf der [[Wikiversity:Cafeteria]] an die hiesige Community zu richten. === Support-Team === Für die ehrenamtlichen Helfer im OTRS-Team gelten für die Kontaktaufnahme zur hiesigen Community die Angaben auf der Seite '''[[Wikiversity:Support-Team]]'''. [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] [[el:Βοήθεια:Επικοινωνία]] [[en:Wikiversity:Contact]] [[pt:Wikiversidade:Contato]] llijed1tittxc12rhxyd78zrfpvm4xl 1078543 1078530 2026-04-30T10:45:32Z Bocardodarapti 2041 Änderung [[Special:Diff/1078530|1078530]] von [[Special:Contributions/~2026-26116-10|~2026-26116-10]] ([[User talk:~2026-26116-10|Diskussion]]) rückgängig gemacht. 1078543 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:KONTAKT}} {{Navigation Wikiversity}} Diese Seite erklärt, wie man zu den Menschen, die bei Wikiversity mitarbeiten, in '''Kontakt''' tritt. Bedingt durch die Offenheit des Projektes, gibt es für die meisten Dinge keine festen Ansprechpartner. Bitte bedenke, dass es sich ausschließlich um ''ehrenamtliche'' Mitarbeiter handelt. Auch die nachfolgenden Angaben wurden von einem ehrenamtlichen Wikiversity-Autor zusammengestellt. Geschildert wird zunächst, welche Kanäle und Wege zur Verfügung stehen, um sich an die Community insgesamt zu wenden. Danach geht es um die Frage, wie zwei Benutzer von Wikiversity persönlich miteinander in Kontakt treten können. Nach einem Abschnitt zu Presseanfragen folgt abschließend eine Zusammenfassung von Kanälen für offizielle Anfragen. == Kontakt zur Community insgesamt == === Cafeteria === Die zentrale Diskussions- und Kontaktseite ist die '''[[Wikiversity:Cafeteria]]'''. Dort werden Neuigkeiten veröffentlicht, es wird diskutiert und gefachsimpelt. Bitte poste dort Deine Fragen, die sich an die Online-Community im Ganzen richten. Ein anderer Benutzer wird sich dem wahrscheinlich bald annehmen und darauf reagieren. === Diskussionsseiten von Artikeln, Portalen usw. === Themenbezogene Diskussionen, die sich um das Thema einer Seite in Wikiversity drehen, sollten vorzugsweise auf der Diskussionsseite zu dem zugehörigen Artikel, Portal usw. erfolgen. So sind sie auch für andere Benutzer, die die Seite später aufrufen, auch weiterhin leicht auffindbar und können von ihnen ebenfalls zur Kenntnis genommen werden. === Mailingliste === Außerdem gibt es die Mailingliste [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/wikiversityde-l Wikiversityde-l], die man abonnieren kann, um mit anderen Benutzern in Kontakt zu treten. Näheres kann man auf der Seite [[Wikiversity:Mailingliste]] nachlesen. === Chat === Auf [[:w:Freenode|Freenode]] gibt es den Kanal '''#wikiversity-de'''. Näheres hierzu findet man auf der Seite [[Wikiversity:Chat]]. == Kontaktaufnahme zwischen den Benutzern von Wikiversity == === Benutzerdiskussionsseite === Einzelne Benutzer nehmen untereinander Kontakt auf über ihre jeweiligen Benutzerdiskussionsseite. Wenn man einen Beitrag auf der Diskussionsseite eines anderen Benutzers einstellt, erhält dieser standardmäßig eine E-Mail mit einer Benachrichtigung zugesandt – es sei denn, er hätte diese Benachrichtigung abgeschaltet oder er hätte keine E-Mail-Adresse in seinem Benutzerkonto eingetragen. In jedem Fall wird der Adressat der Nachricht von dem neuen Eintrag auf der eigenen Benutzerdiskussionsseite durch eine Benachrichtigung durch einen Info-Balken am Seitenkopf der nächsten Wiki-Seite informiert, die er danach aufruft. === Wikimail === Wenn man selbst und ein anderer Benutzer im Konto eine E-Mail-Adresse eingetragen haben, kann man diesem über Wikiversity eine E-Mail zusenden, eine sogenannte ''Wikimail''. Das geschieht über den Link ''E-Mail an diesen Benutzer'' in der Werkzeugleiste in der Sidebar auf der Benutzerseite des Adressaten der E-Mail. == Presseanfragen == Für Presseanfragen gibt es eine '''[[:w:Wikipedia:Presse|Seite auf Wikipedia]]''', auf der sich Wikipedianer eingetragen haben, die bereit sind, Fragen von Journalisten zu beantworten, darunter auch Wikiversity-Autoren und -Administratoren, soweit jeweils vermerkt. Dort findet man auch die Kontaktangaben zur Abteilung Öffentlichkeitsarbeit des Fördervereins Wikimedia Deutschland, die ebenfalls Anfragen von Journalisten bearbeitet. Fragen an die Wikiversity-Community im ganzen können auch auf der '''[[Wikiversity:Cafeteria]]''' gestellt werden. == Offizielle Anfragen == Für weitere Infomationen zu offiziellen Anfragen siehe * '''[[m:Externe Kontakte|externe Kontakte]]''' und * '''[[Wikiversity:Impressum|Impressum]]'''. === Insbesondere: Anfragen an den Betreiber der Website === Betreiberin der Wikiversity ist die gemeinnützige [[Foundation:Hauptseite|Wikimedia Foundation]] mit Sitz in San&nbsp;Francisco, Kalifornien, USA, deren Kontaktdaten sich im '''[[Wikiversity:Impressum|Impressum]]''' finden. === Wikimedia-Fördervereine === Für eine unkomplizierte Kontaktaufnahme kannst Du Dich auch gerne an den jeweiligen Förderverein in Deutschland, in Österreich oder in der Schweiz wenden: * [http://www.wikimedia.de Wikimedia Deutschland] * [http://www.wikimedia.at Wikimedia Österreich] * [http://www.wikimedia.ch Wikimedia&nbsp;CH] Bitte beachte, dass die nationalen Fördervereine nicht der Betreiber der Wikiversity sind und diese auch nicht im juristischen Sinne vertreten. Wir bitten Dich auch, inhaltliche Fragen zu einzelnen Artikeln, Kursen oder Projekten nicht einen Förderverein, sondern an die jeweiligen Ansprechpartner, der auf der Kurs- oder Projektseite genannt wird, oder auf der [[Wikiversity:Cafeteria]] an die hiesige Community zu richten. === Support-Team === Für die ehrenamtlichen Helfer im OTRS-Team gelten für die Kontaktaufnahme zur hiesigen Community die Angaben auf der Seite '''[[Wikiversity:Support-Team]]'''. [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] [[el:Βοήθεια:Επικοινωνία]] [[en:Wikiversity:Contact]] [[pt:Wikiversidade:Contato]] gsuzrbix58fcci33c18ngdl65qdoo7i 1078544 1078543 2026-04-30T10:46:08Z Bocardodarapti 2041 Schützte „[[Wikiversity:Kontakt]]“: Übermäßiger Vandalismus ([Bearbeiten=Nur Pedelle] (unbeschränkt) [Verschieben=Nur Pedelle] (unbeschränkt)) 1078543 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:KONTAKT}} {{Navigation Wikiversity}} Diese Seite erklärt, wie man zu den Menschen, die bei Wikiversity mitarbeiten, in '''Kontakt''' tritt. Bedingt durch die Offenheit des Projektes, gibt es für die meisten Dinge keine festen Ansprechpartner. Bitte bedenke, dass es sich ausschließlich um ''ehrenamtliche'' Mitarbeiter handelt. Auch die nachfolgenden Angaben wurden von einem ehrenamtlichen Wikiversity-Autor zusammengestellt. Geschildert wird zunächst, welche Kanäle und Wege zur Verfügung stehen, um sich an die Community insgesamt zu wenden. Danach geht es um die Frage, wie zwei Benutzer von Wikiversity persönlich miteinander in Kontakt treten können. Nach einem Abschnitt zu Presseanfragen folgt abschließend eine Zusammenfassung von Kanälen für offizielle Anfragen. == Kontakt zur Community insgesamt == === Cafeteria === Die zentrale Diskussions- und Kontaktseite ist die '''[[Wikiversity:Cafeteria]]'''. Dort werden Neuigkeiten veröffentlicht, es wird diskutiert und gefachsimpelt. Bitte poste dort Deine Fragen, die sich an die Online-Community im Ganzen richten. Ein anderer Benutzer wird sich dem wahrscheinlich bald annehmen und darauf reagieren. === Diskussionsseiten von Artikeln, Portalen usw. === Themenbezogene Diskussionen, die sich um das Thema einer Seite in Wikiversity drehen, sollten vorzugsweise auf der Diskussionsseite zu dem zugehörigen Artikel, Portal usw. erfolgen. So sind sie auch für andere Benutzer, die die Seite später aufrufen, auch weiterhin leicht auffindbar und können von ihnen ebenfalls zur Kenntnis genommen werden. === Mailingliste === Außerdem gibt es die Mailingliste [https://lists.wikimedia.org/mailman/listinfo/wikiversityde-l Wikiversityde-l], die man abonnieren kann, um mit anderen Benutzern in Kontakt zu treten. Näheres kann man auf der Seite [[Wikiversity:Mailingliste]] nachlesen. === Chat === Auf [[:w:Freenode|Freenode]] gibt es den Kanal '''#wikiversity-de'''. Näheres hierzu findet man auf der Seite [[Wikiversity:Chat]]. == Kontaktaufnahme zwischen den Benutzern von Wikiversity == === Benutzerdiskussionsseite === Einzelne Benutzer nehmen untereinander Kontakt auf über ihre jeweiligen Benutzerdiskussionsseite. Wenn man einen Beitrag auf der Diskussionsseite eines anderen Benutzers einstellt, erhält dieser standardmäßig eine E-Mail mit einer Benachrichtigung zugesandt – es sei denn, er hätte diese Benachrichtigung abgeschaltet oder er hätte keine E-Mail-Adresse in seinem Benutzerkonto eingetragen. In jedem Fall wird der Adressat der Nachricht von dem neuen Eintrag auf der eigenen Benutzerdiskussionsseite durch eine Benachrichtigung durch einen Info-Balken am Seitenkopf der nächsten Wiki-Seite informiert, die er danach aufruft. === Wikimail === Wenn man selbst und ein anderer Benutzer im Konto eine E-Mail-Adresse eingetragen haben, kann man diesem über Wikiversity eine E-Mail zusenden, eine sogenannte ''Wikimail''. Das geschieht über den Link ''E-Mail an diesen Benutzer'' in der Werkzeugleiste in der Sidebar auf der Benutzerseite des Adressaten der E-Mail. == Presseanfragen == Für Presseanfragen gibt es eine '''[[:w:Wikipedia:Presse|Seite auf Wikipedia]]''', auf der sich Wikipedianer eingetragen haben, die bereit sind, Fragen von Journalisten zu beantworten, darunter auch Wikiversity-Autoren und -Administratoren, soweit jeweils vermerkt. Dort findet man auch die Kontaktangaben zur Abteilung Öffentlichkeitsarbeit des Fördervereins Wikimedia Deutschland, die ebenfalls Anfragen von Journalisten bearbeitet. Fragen an die Wikiversity-Community im ganzen können auch auf der '''[[Wikiversity:Cafeteria]]''' gestellt werden. == Offizielle Anfragen == Für weitere Infomationen zu offiziellen Anfragen siehe * '''[[m:Externe Kontakte|externe Kontakte]]''' und * '''[[Wikiversity:Impressum|Impressum]]'''. === Insbesondere: Anfragen an den Betreiber der Website === Betreiberin der Wikiversity ist die gemeinnützige [[Foundation:Hauptseite|Wikimedia Foundation]] mit Sitz in San&nbsp;Francisco, Kalifornien, USA, deren Kontaktdaten sich im '''[[Wikiversity:Impressum|Impressum]]''' finden. === Wikimedia-Fördervereine === Für eine unkomplizierte Kontaktaufnahme kannst Du Dich auch gerne an den jeweiligen Förderverein in Deutschland, in Österreich oder in der Schweiz wenden: * [http://www.wikimedia.de Wikimedia Deutschland] * [http://www.wikimedia.at Wikimedia Österreich] * [http://www.wikimedia.ch Wikimedia&nbsp;CH] Bitte beachte, dass die nationalen Fördervereine nicht der Betreiber der Wikiversity sind und diese auch nicht im juristischen Sinne vertreten. Wir bitten Dich auch, inhaltliche Fragen zu einzelnen Artikeln, Kursen oder Projekten nicht einen Förderverein, sondern an die jeweiligen Ansprechpartner, der auf der Kurs- oder Projektseite genannt wird, oder auf der [[Wikiversity:Cafeteria]] an die hiesige Community zu richten. === Support-Team === Für die ehrenamtlichen Helfer im OTRS-Team gelten für die Kontaktaufnahme zur hiesigen Community die Angaben auf der Seite '''[[Wikiversity:Support-Team]]'''. [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] [[Kategorie:Wikiversity:Hilfe]] [[el:Βοήθεια:Επικοινωνία]] [[en:Wikiversity:Contact]] [[pt:Wikiversidade:Contato]] gsuzrbix58fcci33c18ngdl65qdoo7i 106 12769 1078452 1078326 2026-04-29T16:39:21Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1078452 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/alternierender Randweg/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> s0pp9ipbwc67cxgvblsfjatt9jhfix9 1078455 1078452 2026-04-29T16:42:12Z Bert Niehaus 20843 /* Kurse */ 1078455 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/alternierender Randweg/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> das8xuj16akzemfzzc8ytjkmutut11s 1078510 1078455 2026-04-30T04:00:33Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078510 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/alternierender Randweg/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> f6p3p8gd73j223mryjvz94ewcci2qk7 1078511 1078510 2026-04-30T04:01:48Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen */ 1078511 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/alternierender Randweg/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> kaftjgj2a03mxf33uclbod22dvw83tm 1078514 1078511 2026-04-30T04:10:47Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078514 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Eckenreduktionssatz für Polygone/]] * [[/alternierender Randweg/]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 0hov1d7qzxl92bxw25nu7n1bqlly203 1078558 1078514 2026-04-30T11:49:27Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078558 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> t5606h8hgcj29l7t3v9f8usgmq8puxl 2 19388 1078521 1078400 2026-04-30T06:04:47Z Bocardodarapti 2041 1078521 wikitext text/x-wiki [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Deckblatt|Deckblatt]] [[/Differentialgeometrie]] [[/Monomiale Syzygien/Beispiel]] [[/Simpliziale Komplexe]] [[/Analysis III]] [[/Algebraische Zahlentheorie]] [[/Algebraische Topologie]] [[/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[/Elliptisches]] [[/Riemannsche Flächen]] [[/Funktionentheorie]] [[/Diskrete Mathematik]] [[/Kommutative Algebra]] [[/Invariantentheorie]] [[/Differentialoperatoren]] [[/Trigonometrische Summen]] [[Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt]] [[/Cogni/Papers]] [[/Sonderaufgaben]] [[/Z/Modulschema]] [[/Positive Charakteristik]] [[Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel]] [[Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln]] [[Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt]] [[Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt]] [[/Lineare Algebra]] [[/BEU]] [[/Lineare Algebra]] [[/Homologische Algebra]] [[/Modallogik]] [[/Affine Situation/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]] == == [[/Parameter/Tabellen]] [[/Sonstiges]] [[Hilfsparameter/Durchnummeriert/400]] https://www.geogebra.org/m/vWMCKYbV http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf == [[Projekt:Semantische Vorlagen]] == {{:Benutzer:Bocardodarapti/Vorlagendiagramm|Vorlagendiagramm}} [[:Kategorie:Mathematische Diagrammvorlagen]] === [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js]] === === [[:Kategorie:Latex-Vorspann|Latex-Vorspänne]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Grundvorspann in Latex|Grund]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Vortragshandvorspann in Latex|Hand]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Skriptvorspann in Latex|Skript]] === [[Projekt:Semantische Vorlagen/Tabellen mit benannten Parametern/Latex|Tabellen mit benannten Parametern]] [[Projekt:Semantische_Vorlagen/Aufgabenblatt/Stauchung/Latex]] === [[:Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]] === ==== [[/Kursaufbau/Reihenfolge]] ==== === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Verlinkungshilfe/Standardkurse]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Bereits kategorisiert]] === == Admin == [[Spezial:Spezialseiten]] == Sonstiges == [https://github.com/JonathanSteinbuch/sheafstability] [[/Sonstiges]] [[/Vom Fliegen]] [[/Fußball]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)]] [[/Wiki-Seminar/Konzeption]] [[Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie]] [[Benutzer:Mgausmann]] == [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie]] == [[/Hilfstabellen]] [[/Hilfstabelle/1/20]] [[/Hilfstabelle/1/30]] [[/Hilfstabelle/2/20]] [[/Hilfstabelle/6/20]] [[/Hilfstabelle/7/20]] [[/Hilfstabelle/9/2]] == [[w:Wikipedia:Hilfe]] == === [[w:Hilfe:Vorlagenprogrammierung]] === [[commons:Category:Mathematics|Commons]] [[commons:Category:MediaWiki_edit_toolbar|Buttons]] == [[Benutzer:Bocardodarapti/Sonstiges|Sonstiges]] == == Check == [[:Kategorie:Mathematischer Text/check]] 84cbwqtx55ib2qhdl2gxst1d0jvbqq7 0 101886 1078456 1078279 2026-04-29T16:43:33Z Bert Niehaus 20843 /* Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung */ 1078456 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math>, wobei * <math>\Omega</math> die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (<math>\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math> Würfelwurf) * <math>\mathcal{S}</math> als Mengensystem von Teilmengen von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B. <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega) </math> ) und * <math> P: \mathcal{S} \rightarrow [ 0,1 ] </math> die Funktion ist, die jeder messbaren Menge <math> A \in \mathcal{S} </math> eine Wahrscheinlichkeit <math> P(A) </math> zuordnet (z.B. <math>P(A)=\frac{1}{2} </math> mit <math>A:=\{1,3,5\}</math>). [[Datei:Audio de 0 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Einleitung]] <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> <span id="Ergebnis"></span><span id="Ereignis"></span> == Ergebnis - Ereignis == * '''(Ergebnis)''' Elemente <math>\omega \in \Omega</math> nennt man Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Z.B. besagt das Ergebnis <math>\omega = 3</math> bei einem einmaligen Würfelwurf mit <math> \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}</math>, dass die Zahl 3 gewürfelt wurde. * '''(Ereignis)''' Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> aus einer <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] sind dagegen Mengen von einzelnen Ergebnissen, deren Zusammenfassung man als ''"Ereignis"'' bezeichnet. Das Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' kann man als Menge <math>A=\{2,4,6\}</math> formal beschreiben. Alle <math>A \in \mathcal{S}</math> aus der <math>\sigma</math>-Algebra nennt man [[messbare Abbildung|messbare Mengen]], denen man später mit einem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A) </math> zuordnen kann. == Bemerkung - Maßproblem == Es kann [[w:de:Maßproblem#Unlösbarkeit_des_Maßproblems|gezeigt werden]], dass man auf <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner <math> \mathbb{R}^n</math> nicht allen Teilmengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> mit einem positiven, <math>\sigma</math>-additiven, normierten und translationsinvarianten Maß <math>\mu</math> eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. dass u.a. Strecken deren Länge, Flächen deren Flächeninhalt bzw. allgemeine Mengen <math>A\subseteq \mathbb{R}^n</math> das Volumen zuordnet. Als Konsequenz schränkt man die Mächtigkeit der Potenzmenge über die Definition der <math>\sigma</math>-Algebra ein. <span id="Sigma-Algebra"></span> == Definition - Sigma-Algebra == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math>. Ein Teilmenge <math>\mathcal{S}</math> der Potenzmenge <math>\wp(\Omega) </math> heißt <math>\sigma</math>-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten: * <math>\Omega \in \mathcal{S}</math> * <math>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{S}</math> * <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt <math>\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \in \mathcal{S}</math> [[Datei:Audio de 1 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Sigma-Algebra]] ===Anmerkung === Die Struktur der <math>\sigma</math>-Algebra ist Grundlage für die Definition der Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes und dessen [[w:de:Wohldefiniertheit|Wohldefiniertheit]]. <span id="Messraum"></span> == Definition - Messraum == Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma</math>-Algebra über <math>\Omega</math>, dann heißt <math>(\Omega, \mathcal{S})</math> ein Messraum. Die Elemente <math>A \in \mathcal{S}</math> heißen ''messbare'' Mengen. [[Datei:Audio de 2 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Messraum]] <span id="Ergebnisraum"></span><span id="Ereignisraum"></span> === Bemerkung - Ergebnisraum - Ereignisraum === In der [[Kurs:Stochastik|Wahrscheinlichkeitstheorie]] nennt man <math>\Omega</math> [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnisraum]] und [[Ereignis (Stochastik)|Ereignisraum]]. Beim eine [[w:de:Zufallsexperiment|Würfelexperiment]] ist 4 eine [[Ergebnis (Stochastik)|Ergebnis]] und <math>A=\{2,4,6\}\in \mathcal{S}</math> das Ereignis, dass eine ''gerade Zahl'' gewürfelt wurde. == Aufgaben == Die folgenden Aufgaben haben die angegebenen Lernziele: * Aufgabe 1 ist eine Übung, bei der man ein Mengensystem minimal so erweitern soll, dass es die Eigenschaft eine <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] besitzt. * Aufgabe 2 beschäftigt sich mit dem Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-Sigma-Algebra]] und Einpunktmengen. === Aufgabe 1 === Sei <math>\Omega \not= \emptyset</math> und <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math>. Ziel der Aufgabe ist es, <math>\mathcal{S}' \subseteq \wp(\Omega)</math> so zu <math>\mathcal{S} \subseteq \wp(\Omega)</math> zu erweitern, dass <math>(\Omega,\mathcal{S})</math> ein Messraum ist. * Sei <math>\Omega := \{1,2,3,4,5,6\}</math> und <math>\mathcal{S}' := \{ \Omega, \{1,2\},\{5,6\} \}</math>. Ergänzen Sie Menge <math>\mathcal{S}'</math> minimal so zu <math>\mathcal{S}</math>, dass <math>\mathcal{S}</math> eine <math>\sigma-</math>Algebra ist. [[Datei:Audio de 3a wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 1]] === Aufgabe 2 === Die Borelsche <math>\sigma-</math>Algebra von den abgeschlossenen Intervallen <math>\mathcal{E}:= \{[a,b] | a,b \in \mathbb{R} \wedge a < b \}</math> erzeugt: * Begründen Sie mit dem Erzeuger der <math>\mathcal{E}</math> und den Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, dass <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> auch alle Einpunktmengen <math>\{x\} \in \mathcal{B}</math> enthält. [[Datei:Audio de 3b wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Aufgabe 2]] <span id="messbare_Abbildung"> == Definition - Messbare Abbildung == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> [[Messraum|Messräume]]. Eine Abbildung <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> heißt <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2)</math>-messbar, wenn gilt: :<math>\forall_{B \in \mathcal{S}_2} \ : \ X^{-1}(B) \in \mathcal{S}_1 </math> === Bemerkung - Zufallsgröße === Wenn zusätzlich auf <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ein [[#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(P_1,\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> ist, dann nennt man <math>X</math> [[Zufallsgröße]]. Über die Zufallsgröße wird dann auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_2</math> auf dem [[Messraum]] <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> über <math>P_2(B) := P_1(X^{-1}(B))</math> induziert. <span id="induzierte_Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="induziertes_Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> == Definition - Induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]], dann nennt man die durch <math>X</math> erzeugte Abbildung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung mit: :<math>P^X(B):= P(X^{-1}(B))</math> für alle <math>B \in \mathcal{S}_2</math>. <br> [[Datei:Audio de 5 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Induzierte W-Verteilung]] == Lemma - Induzierte Verteilung == Sei <math>(\Omega_1,\mathcal{S}_1, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum#Definition|Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> eine [[messbare Abbildung]] und <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> die von dem [[Messraum]] <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> auf den Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> induzieren Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann ist die induzierte Verteilung <math>P^X:\mathcal{S}_2 \to \mathbb{R}</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf dem Messraum <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math>. === Aufgabe - Beweis des Lemma induzierte Verteilung === Beweisen Sie das Lemma zu induzierten Verteilungen als Übungsaufgaben, indem Sie die Axiome (P1), (P2) und (P3) eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] nachweisen. == Beispiel == Seien <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1)</math> und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)</math> als Messräume wie folgt definiert: * <math>\Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> zweimaliges Würfeln mit <math>\mathcal{S}_1 := \wp(\Omega_1)</math> (Potenzmenge von <math>\Omega_1</math>). * <math>\Omega_2 := \mathbb{R}</math> mit <math>\mathcal{S}_2 := \mathcal{B}</math> ([[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]]). * <math>X(w_1,w_2):= w_1+w_2 </math> für alle <math>(w_1,w_2) \in \Omega_1 := \{1,2,3,4,5,6\}^2</math> Bestimmen Sie mit <math>X: \Omega_1 \longrightarrow \Omega_2</math> die Menge <math>B:=\{1,\, 4\}\subset \Omega_2</math> die Menge <math>X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\, 4\}) \subseteq \Omega_1</math>! [[Datei:Audio de 6 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Beispiel: Messbare Abbildung]] <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span> <span id="Definition"><span> <span id="Wahrscheinlichkeitsmaß"></span><span id="Wahrscheinlichkeitsverteilung"></span> <span id="Definition"></span><span id="SigmaAdditivitaet"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und eine Abbildung <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt: * '''(Nichtnegativität)''' <math>P(A)\geq 0</math> für alle <math>A \in \mathcal{S}</math> * '''(Normiertheit)''' <math>P(\Omega)=1</math> * '''(<math>\sigma</math>-Additivität)''' <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> und [[w:de:disjunkt|paarweise disjunkt]] folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math>. <br> <math>P</math> nennt man dann '''''Wahrscheinlichkeitsmaß''''' bzw. '''''Wahrscheinlichkeitsverteilung''''' auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> [[Datei:Audio de 7 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Definition W-Maß]]. <span id="Wahrscheinlichkeitsraum"></span> == Defintion - Wahrscheinlichkeitsraum == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein Messraum und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] gegeben, dann nennt man <math>( \Omega,\mathcal{S}, P ) </math> '''''Wahrscheinlichkeitsraum'''''. == Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes == * <math>0 \leq P(A) \leq 1</math> * <math>P(\emptyset) = 0</math> * <math>P(\Omega \setminus A) = 1-P(A)</math> * <math>P(A \setminus B) = P(A) - P(B)</math> falls <math>B \subseteq A</math> * <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A \cap B)</math> * Gilt <math>A \subseteq B</math>, so folgt <math>P(A) \leq P(B)</math>. === Aufgabe 1=== Beweisen Sie die obigen Aussagen durch Anwendung der Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsraumes. === Aufgabe 2=== Vergleichen Sie die Eigenschaften der <math>\sigma</math>-Algebra mit den erweitereten Eigenschaften des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. Welche Parallelen stellen Sie fest? Gemeint sind Eigenschaften einer <math>\sigma</math>-Algebra, die notwendig sind, damit man das [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> überhaupt auf der <math>\sigma</math>-Algebra definieren kann. == Reellwertige Zufallsgröße == Sei <math>(\Omega_1, \mathcal{S}_1, P_1)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>(\Omega_2, \mathcal{S}_2)=(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> die [[w:de:Borelsche σ-Algebra|Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra]], dann nennt man die <math>(\mathcal{S}_1,\mathcal{B})</math>-messbare Abbildung <math>X:\Omega_1 \to \mathbb{R}</math> eine (eindimensionale) Zufallsgröße. '''Bemerkung:''' Die Messbarkeit von <math>X</math> sorgt dafür, dass <math>P</math> auch auf den Mengen <math>X^{-1}(B)\in \mathcal{S}_1</math> definiert ist. Damit kann man dann eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf <math>(\mathbb{R}, \mathcal{B})</math> erzeugen. == Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung == Sei <math>(\Omega,\mathcal{S},P)</math> ein Zufallsexperiment und <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Zufallsgröße auf dem Messraum <math>(\Omega,\mathcal{S})</math>. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P_X</math> ist dann mit <math>\mathcal{B}</math> als Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra wie folgt definiert: :<math>P_X: \mathcal{B} \rightarrow [0,1] </math> mit <math>B \mapsto P_X(B):= P(\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \,\mathcal{S}}) </math> <math>(\mathbb{R},\mathcal{B},P_X)</math> nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math><br/> [[Datei:Audio de 8 wahrscheinlichkeitsraum.ogg|Reellwertige induzierte W-VT]] = Siehe auch = * [[Kurs:Stochastik]] * [[Glockenkurve]] und stetige Wahrscheinlichkeitsdichten * [[Nullmenge]] * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * [[Zufallsgröße]] * [[w:de:Zufallsvektor|Zufallsvektor]] * [[Zufallsfolge]] = Seiteninformation = Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wahrscheinlichkeitsraum&author=Stochastik&language=de&audioslide=yes Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Stochastik Kurs:Stochastik]''' mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] über den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Linkgenerator] erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Stochastik]] 8b8u1z4wgtvn32tyskmftozv1a45k6l 106 102487 1078532 1065618 2026-04-30T10:06:30Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: Weg */ 1078532 wikitext text/x-wiki == Definition: Weg == Gegeben sei eine Teilmenge <math>U\subset \mathbb{C}</math>. Ein Weg in <math>U</math> ist eine stetige Abbildung mit :<math>\gamma \colon [a,b] \rightarrow U </math> mit <math>a < b</math> und <math>a,b \in \mathbb{R}</math>. == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Definition: Geschlossener Weg == Gegeben sei ein Weg <math>\gamma \colon [a,b] \rightarrow U </math> in <math>U\subset \mathbb{C}</math>. Die Abbildung <math>\gamma</math> heißt geschlossener Weg wenn gilt: : <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math> == Definition: Bereich == Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine offene Teilmenge <math>\mathbb{C}</math>. Dann nennt man <math>U</math> Bereich. == Definition: wegzusammenhängend == Sei <math>U\subset \mathbb{C}</math> eine nicht-leere Menge. : <math>U</math> wegzusammenhängend <math>:\Longleftrightarrow \ \forall_{z_1,z_2 \in U }\exists_{\gamma\colon [a,b]\rightarrow U}: \ \gamma(a)=z_1 \wedge \gamma(b)=z_2 \wedge Spur(\gamma) \subseteq U</math> == Definition: Gebiet == Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine nicht-leere Teilmenge <math>\mathbb{C}</math>. Ist * <math>G</math> offen * <math>G</math> wegzusammenhängend Dann nennt man <math>G</math> ein Gebiet <math>\mathbb{C}</math>. == Beispiel (Kreiswege)== Es seien <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und eine komplexe Zahl und <math>r > 0</math> als Radius gegeben. Dazu definiert man einen Kreisweg <math>\gamma_{z_o,r}\colon [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{C}</math> um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> als: :<math>\gamma_{z_o,r}(t):= z_o + r\cdot e^{i\cdot t}</math> == Beispiel - Wege mit Ellipse als Spur == Es seien <math>z_o \in \mathbb{C}</math> und eine komplexe Zahl und <math>a, b > 0</math> als Halbachsen einer Ellipse gegeben. Dazu definiert man einen elliptischen Weg <math>\gamma_{z_o,a,b}\colon [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{C}</math> um <math>z_o \in \mathbb{C}</math> als: :<math>\gamma_{z_o,a,b}(t):= z_o + a\cdot \cos(t) + i\cdot b\cdot \sin(t)</math> == Gärtnerkonstruktion einer Ellipse == [[File:Elliko-g.svg|350px|Gärtnerkonstruktion einer Ellipse]] == Konvexkombinationen == Es seien <math>z_1,z_2 \in \mathbb{C}</math> komplexe Zahlen und <math>t \in [0,1]</math> als Skalar gegeben. Damit definiert man einen Weg <math>\gamma_{z_1,z_2}\colon [0,1] \rightarrow \mathbb{C}</math>, der die Verbindungsstrecke zwischen <math>z_1,z_2 \in \mathbb{C}</math> als Spur beinhaltet: :<math>\gamma_{z_1,z2}(t):= (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> Einen solchen Weg nennt man Konvexkombination 1. Ordnung (siehe auch [[Konvexkombination|Konvexkominationen höherer Ordung]]) === Animation einer Konvexkombination von zwei Vektoren als Abbildung === [[Datei:Convex combination 1 ord with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|Konvexkombination als Abbildung in einer GIF-Animation ]] == Integrationweg == Gegeben sei ein Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}</math>. Ein Integrationsweg in <math>G</math> ist ein Weg, der stückweise stetig differenzierbar ist mit :<math>\gamma \colon [a,b] \rightarrow U </math> mit <math>a < b</math> und <math>a,b \in \mathbb{R}</math>. === Bemerkung - Integration über Ränder von Polygonen === Ein Integrationweg kann z.B. durch stückweise durch Konvexkombinationen zwischen mehreren Punkten <math>z_1, \ldots z_n \in \mathbb{C}</math> ausgedrückt werden. Der gesamte Weg damit insbesondere an den Punkten <math>z_1, \ldots z_n \in \mathbb{C}</math> nicht notwendig differzierbar. Die Spur eines solchen Weges nennt man auch Polygonzug. === Bemerkung - Integration über Rand von Dreiecken === [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg auf dem Dreiecksrand]] Für Wegintegrale über <math>\gamma</math> benötigt man in der Definition auch die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>. Im [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Satz von Goursat]] wird über den Rand von Dreiecken integriert, die fortgesetzt in weitere Dreiecke unterteilt werden. Man zerlegt dabei das Wegintegral in 3 Teilwege als Dreiecksseiten, für die dann <math>\gamma_1{}'</math>, <math>\gamma_2{}'</math> und <math>\gamma_3{}'</math> existiert. == Siehe auch == * [[w:de:Ellipse|Ellipse]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum/Weg|Wege in topologischen Vektorräumen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wege https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wege] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wege Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Wege * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Paths]]</noinclude> ghlk9j6g2solwbhljvdck6wioy1f5dv 2 147795 1078440 875372 2026-04-29T13:16:06Z James500 30596 Remove template 1078440 wikitext text/x-wiki {{Benutzerseite}} {{Babel|en}} [[en:User:James500]] 0wqnwro7mdpssoufkf5u5u5acdrrric 0 168221 1078533 1065640 2026-04-30T10:08:35Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Weg im topologischen Vektorraum */ 1078533 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 8ml9sww1ymta8txfxsrkl30dr57zi2c 1078535 1078533 2026-04-30T10:10:06Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078535 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] l23ea4q50lfp1ib78pxs4tnaxp26qtq 106 170021 1078486 1078268 2026-04-29T19:03:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078486 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (W2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bbhj0ilfv6m6smnsgzbeznsjd42622n 1078487 1078486 2026-04-29T19:03:37Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 5 - Alternierender Randweg */ 1078487 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (W1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mztvbfk91jnbfcq1ef7rhxwv42h9zhr 1078488 1078487 2026-04-29T19:04:03Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 4 - Alternierender Randweg */ 1078488 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (W1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (W2) wird (W1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8nai1rld0wdfohpwu2vv3dzp4grnssq 1078489 1078488 2026-04-29T19:04:20Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare */ 1078489 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> === W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (R1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (R2) wird (R1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ks46xe6uqt5j0h96wqs6ngdk9805ahm 1078490 1078489 2026-04-29T19:05:29Z Bert Niehaus 20843 /* W1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078490 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> <span id="R1"></span> === (R1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> <span id="R2"></span> === W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (R1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (R2) wird (R1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p2cg3asycrb1wapig8wk7n4scmbe9w4 1078491 1078490 2026-04-29T19:05:48Z Bert Niehaus 20843 /* W2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078491 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> <span id="R1"></span> === (R1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> <span id="R2"></span> === (R2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (R1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (R2) wird (R1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aj3loog695fr3xbv93f7sclywzs7w3w 1078492 1078491 2026-04-29T19:07:45Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078492 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> <span id="R1"></span> === (R1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> <span id="R2"></span> === (R2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (R1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (R2) wird (R1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8h993vzv6ppkbg2h0zk91hfcdkdxbjb 1078497 1078492 2026-04-29T19:19:06Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078497 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> <span id="R1"></span> === (R1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> <span id="R2"></span> === (R2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (R1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (R2) wird (R1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Polygonintegrale]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pzgggwbn5e3p6z2kqs5i04vyt5bdqoa 106 170097 1078525 1078369 2026-04-30T07:49:13Z Bert Niehaus 20843 /* Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale */ 1078525 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der zweidimensionalen euklidischen Geometrie ist der Flächeninhalt <math>A_{\Delta}</math> eines Dreiecks über die grundlegende Formeln definiert: :<math> A_{\Delta} = \frac{g\cdot h}{2} </math> Dabei ist <math>g</math> die Länge der Grundseite und <math>h</math> die Höhe des Dreieck. Geometrisch kann man die Flächenformel für das Dreieck aus der [[w:de:Parallelogramm|Flächenrechnungen eines Parallelogramms]] ableiten, indem man das Parallelogramm in zwei [[w:de:Kongruenz (Geometrie)|kongruente Dreieck]] zerlegt. In dieser Lerneinheit wird ein Zusammenhang zu komplexwertigen [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Flächenintegralen]], [[Wegintegral|Wegintegralen]] und der Flächenberechnung für Dreiecke hergestellt. === Flächeninhalt des Dreiecks in der Geometrie === Der zentrale Unterschied zwischen dem Flächeninhalt in der Geometrie der Ebene <math>\mathbb{R}^2</math> und dem Flächenintegral über orientierte Flächen ist die Dichtefunktion <math>f</math> des Maßes <math>\mu_f</math> ist die spezielle Wahl der Dichtefunktion <math>f = 1</math> als konstante Funktion. Ist die Dichtefunktion <math>f</math> konstant, so <math>\mu_f</math> bzgl. [[w:de:Kongruenzabbildung|Kongruenzabbildungen]] invariant bzgl. des Flächeninhaltes. === Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in Dreiecke === In der ebene Geometrie kann man ein Rechteck <math>R</math> mit der Breite <math>g</math> und der Höhe <math>h</math> durch das Einzeichnen einer Diagonalen in zwei kongruente Dreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widehat{\Delta\,}</math> zerlegen. Da die Dreiecke wegen Punktsymmetrie am Diagonalenschnittpunkt kongruent sind, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke gleich - d.h. es gilt <math>\mu_1(\Delta)=\mu_1\big(\,\widehat{\Delta\,}\,\big)</math> für das invariante Maß <math>\mu_1</math> unter Kongruenzabbildungen). Damit ist der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks <math>\mu_1(\Delta)=\tfrac{1}{2} \cdot \mu_1(R)</math>. Dies kann man auf Parallogramme und Zerlegungsdreiecke analog übertragen. === Dreiecke 1 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_3 + (z_2-z_3)\cdot t_1 + (z_1-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_3) + (z_1-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_1-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 1 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\Delta}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_2,z_1\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1) </math> === Dreiecke 2 als orientierte Fläche === Ein Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird wie folgt als [[orientierte Fläche]] mit dem angegebenen Gradient der Fläche definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_2 + (z_3-z_2)\cdot t_1 + (z_4-z_3)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_3-z_2) + (z_4-z_3)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_4-z_3)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> === Flächenintegral über Dreieck 2 === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für <math>\widetilde{\Delta} := \Delta(z_2,z_3,z_4)\subset \mathbb{C}</math> wird über die obige [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\widetilde{\Delta}}</math> erhält man mit der Stammfunktion <math>F</math> folgende Darstellungen: :<math> \underset{\gamma_{_\widetilde{\Delta}}}{\iint} f(z)\,\,\, d^2z \,\,\, = \!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle }{\int} F(\xi)\,\,\, d\xi = F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3) </math> === Ziel der Lerneinheit === Ziel der Lerneinheit ist es, die Flächeninhaltszerlegung eines Rechtecks in zwei Dreiecke in dem Kontext von orientierten Flächen und beliebigen holomorphen Dichtefunktionen zu behandeln. === Lernvoraussetzungen === Lernvoraussetzung dazu sind: * [[Definition Flächenintegrale]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> die Eckpunkte eines Rechtecks <math>R:=[a_1,b_1]+i[a_2,b_2]</math> sind. <math>R</math> liegt dabei in einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann gilt für das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> mit der Stammfunktion <math> F:K\to \mathbb{C}</math> folgende Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{R} f(z) \, d^2\!z & = & \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z + \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, d^2\!z \\ & = & \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi + \underset{\langle z_4,z_3 \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \end{array} </math> === Veranschaulichung 1 - Flächenintegral Rechteck === Die Eckpunkt des Rechtecks <math>R</math> erzeugen in diesem elementaren Fall ein Rechteck, wobei durch die Bedingung <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>, die Dreieckseiten parallel zu der Realteilachse bzw. Imaginärteilachse liegen. [[File:Flaechenintegration v14.png|350px|center|Integration over triangle v14 - create with LibreOffice Draw]] === Veranschaulichung 2 - Flächenintegral Dreieck === Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei Teildreiecke. Betrachtet werden in dem Aussage das Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math>. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] === Geometrische Aspekte in der Funktionentheorie === In der komplexen Analysis besitzen viele algebraische Aspekte geometrische Interpretationen - angefangen von der Multiplikation in <math>\mathbb{C}</math> als Drehsteckung, Wegintegralen bis hin zu geometrischen formierlierten Beweisideen, wobei analog zum [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat]] eine forgesetzte Unterteilung in Teildreiecke zu finden sind. Das obige Beispiel zeigt ein grundlegendes Prinzip, geometrische Interpretation für das Verständnis von theoretischen Vorgehensweisen zu verwenden. Dies wird für die Behandlung der Flächenintegral bzgl. Dreiecken ebenfalls verwendet. == Beweis - Zerlegungslemma == Der Beweis des Dreieckslemmas erfolgt über die Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. Dabei geht man von der Flächenberechnung des Rechtecks <math>R</math> aus und zerlegt dieses in zwei Flächenintegrale über Teildreiecke <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>, die als Summe den Wert des Integrals über das Rechteck <math>R</math> liefern. Die Schnittmenge der <math>\Delta\cap \widetilde{\Delta} \not= \emptyset</math> ist dabei die Punktmenge auf der Diagonale und damit nicht leer. Diese Schnittschmenge ist aber eine Nullmenge des Lebesgue-Integrals auf <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Definition des Flächenintegrals für Rechtecke === Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] lässt sich der komplexwertige Flächenintegral von <math>R</math> über <math>F_{_\Box}</math> als [[Flächenstammfunktion|Stammfunktionen zweiter Ordnung]] berechnen. Man erhält mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> den folgenden komplexen Flächeninhalt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ &=& \displaystyle \underbrace{ F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)}_{ =\underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz } + \underbrace{ F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) }_{ =\underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz } \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Für eine [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich das Integral über das [[w:de:konvexe Menge|konvexe]] Dreieck <math> \Delta = \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> über die folgende orientierte Fläche auf <math>[0,1]\times [0,1]</math>: :<math> \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) = z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_1)\cdot t_1 \cdot t_2 </math> definieren. Das Flächenintegral besitzt dann die folgende Darstellung über die Stammfunktion <math>F</math> und Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underbrace{\underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi}_{ = F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2)} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_2,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\Delta := \Delta (z_3,z_2,z_1)</math>. === Beweisschritt 4 - Darstellung als Randintegrale === Mit der folgenden Darstellung als [[Randwegintegral für Dreiecke]] erhält man :<math> \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\, = \underset{\langle z_4,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_2\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(\xi) \,\, d\xi </math> Das Randintegral über das Dreieck berechnet dies für das Dreieck <math>\widetilde{\Delta} := \Delta (z_2,z_3,z_4)</math>. === Beweisschritt 5 - Anwendung Flächenintegralsatz für Dreiecke === In Schritt 1 wurde das Flächenintegral über das Rechteck <math>R\subset G</math> als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Teilmenge]] des Definitionsbereiches <math>G</math> von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über Summe von zwei Wegintegralen über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt. Diese [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegrale]] entsprechen durch Anwendung des [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatzes über Dreiecke]] den gesuchten Flächenintegralen über Dreiecke über <math>\Delta</math> und <math>\widetilde{\Delta}</math>. === Beweisschritt 6 - Dreieckszerlegung === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R} f(z) \, d^2z &=& \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4 \rangle}{\int} F(z) \, dz \,\,\, + \underset{\langle z_2,z_1 \rangle}{\int} F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \overset{\langle z_3,z_4\rangle}{\underset{z_2}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z \,\,\, + \overset{\langle z_2,z_1\rangle}{\underset{z_3}{\iint}} f(z) \,\, d^2\!z\\ &=& \displaystyle \iint_{\widetilde{\Delta}} f(z) \, dz + \iint_{\Delta} f(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit wurde die Zerlegung in zwei Dreiecksintegrale nachgewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgabe für Studierende == * Führen Sie einen analogen Beweis für die 2. Diagonale im Rechteck durch! Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es! * Berechnen Sie für <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> Integrale für die beiden unterschiedlichen Zerlegungen in Teildreiecke für die beiden Diagonalen! == Bezug zur Geometrie der Ebene == Die Diagonale des Rechtecks <math>R</math> zerlegt die Ausgangsfläche in zwei kongruente Teildreiecke. In der ebenen Geometrie sind die beiden Teildreiecke flächeninhaltsgleich. <math>g\cdot h=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)</math> liefert in der Geometrie den Flächeninhalt. Die Teildreieck haben daher den Flächeninhalt <math>\tfrac{g\cdot h}{2}</math>. Für Flächenintegrale über eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> kann man nicht voraussetzen, dass <math>f</math> konstant ist. Daher liefert Flächenintegral über <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> und <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> nicht notwendig den gleichen Wert. === Veranschaulichung Teildreiecke === In folgenden Abbildung ist ein Teildreieck <math> \Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> in dem Rechteck <math>R</math> dargestellt. In dem zweiten Teildreick <math> \widetilde{\Delta} = \Delta(z_2,z_3,z_4)</math> in <math>R</math> wird die Funktion <math>f</math> an einer anderen Stelle im Definitionsbereich <math>G</math> ausgewertet. [[File:Flaechenintegration v13.png|350px|center|Integration over triangle v13 - create with LibreOffice Draw]] == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegrale]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 947qt9kbv14rgrbjqfzxdrk8x2kv6ut 106 170272 1078442 1078272 2026-04-29T15:53:19Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078442 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]] in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math> von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] dcrld42w1214sjh153ew0s1hd6xs8bf 1078454 1078442 2026-04-29T16:40:42Z Bert Niehaus 20843 /* Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078454 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]] in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] mm657hhrlh1v7u6wgxcg0uloafsfmhj 1078479 1078454 2026-04-29T18:44:39Z Bert Niehaus 20843 /* Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078479 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]] in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] t55yhikl08s2l54uhrdkh97w4lgmrrr 1078480 1078479 2026-04-29T18:52:36Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - alternierender Randweg */ 1078480 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]] in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>: [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] 9g1dbzee3l4yqz2heot3pbitcawb7mn 1078481 1078480 2026-04-29T18:58:29Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - alternierender Randweg */ 1078481 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]] in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] ps9fsufh871k1kuvzbgvzq6p6n8mcyv 1078482 1078481 2026-04-29T19:01:20Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078482 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]] in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen Flächen sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] bhg6ma6agbz7hs787p7kkrbjufy027z 1078496 1078482 2026-04-29T19:16:00Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078496 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] dkqjbjf46rpu2n4ht8x3agmfr4240hq 1078498 1078496 2026-04-29T19:38:03Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078498 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] jl9vsy7qdp8oe4niy4llx94v8zcf01b 1078499 1078498 2026-04-29T19:41:08Z Bert Niehaus 20843 /* (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078499 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] 0oid3c2qx0n7nod7t4xptrr3ki3zzzg 1078500 1078499 2026-04-29T19:47:11Z Bert Niehaus 20843 /* (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078500 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + (-1)^{n} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} F(z) \, dz + (-1)^{n+1} \cdot \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] f3dw2iqu1f3tkkrhp38hg7bh8naobsx 1078501 1078500 2026-04-29T19:49:04Z Bert Niehaus 20843 /* (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078501 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] ewtkwjyov4cx7kbuzztb601pq5xgkfv 1078502 1078501 2026-04-29T19:51:29Z Bert Niehaus 20843 /* (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078502 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot \underset{\langle z_k,z_{k+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] iesyny384jjep1mndmnn16mps0693og 1078503 1078502 2026-04-29T19:51:59Z Bert Niehaus 20843 /* (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078503 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot \!\!\!\! \underset{\langle z_k,z_{k+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] 70waf9ry62y1wb0lkkvhjv2se1gvgsn 1078504 1078503 2026-04-29T19:52:37Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare */ 1078504 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n+1)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot \!\!\!\! \underset{\langle z_k,z_{k+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] l8qq2jupx93nj7koplj9hmak7u6h3g3 106 170273 1078443 1078323 2026-04-29T15:54:35Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1078443 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> == Aufgabe für Studierende == Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] ncck5bo52m8uipyqwckb3n6leawzw7w 1078444 1078443 2026-04-29T15:55:35Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1078444 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität und verwenden Sie die [[Siebformel]] im Beweis. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] q5e7c65zhllpbsqrbhaoopysu8j4lad 1078448 1078444 2026-04-29T16:20:53Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078448 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_{n}\right) = <math>P\left(\bigcap_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 0d7lk29l0adlosj2sw23gfoxd0bfryo 1078449 1078448 2026-04-29T16:26:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen */ 1078449 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] hd6qzuxnch97umrc00z83xg2hcc8pix 1078451 1078449 2026-04-29T16:28:38Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen */ 1078451 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Die Vereinigung der <math>A_n</math> kann nun durch die Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden und die Folge der <math>B_n</math> ist paarweise disjunkt. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] hi8m1sfax6tamazmkrzx0hjio6sabiw 1078458 1078451 2026-04-29T16:46:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung */ 1078458 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Die Vereinigung der <math>A_n</math> kann nun durch die Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden und die Folge der <math>B_n</math> ist paarweise disjunkt. :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 4bpwgkxd4bir320lyx8zostrctvwdwj 1078459 1078458 2026-04-29T16:48:12Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung */ 1078459 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Die Vereinigung der <math>A_n</math> kann nun durch die Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden und die Folge der <math>B_n</math> ist paarweise disjunkt. :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> === Beweisschritt 4 - Nullmengeneigenschaft === Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] k4rw3keo416wr426gvto2bu11oqzejr 1078460 1078459 2026-04-29T17:04:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen */ 1078460 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Die Vereinigung der <math>A_n</math> kann nun durch die Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden und die Folge der <math>B_n</math> ist paarweise disjunkt. :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> === Beweisschritt 4 - Nullmengeneigenschaft === Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 671jufvu00dto9rsf9nmr4em4kv1g97 1078461 1078460 2026-04-29T17:04:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen */ 1078461 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Die Vereinigung der <math>A_n</math> kann nun durch die Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden und die Folge der <math>B_n</math> ist paarweise disjunkt. :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> === Beweisschritt 4 - Nullmengeneigenschaft === Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] r3xjbe6kw3t88q0kimyn5ii8iv8duqq 1078463 1078461 2026-04-29T17:21:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung */ 1078463 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> für beliebige Teilmengenbeziehungen auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Nullmengeneigenschaft === Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] trc60414vsk1nf0h7aozqh3z21siu06 1078464 1078463 2026-04-29T17:21:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung */ 1078464 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Nullmengeneigenschaft === Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] hybw23eeypgblko9mzzvh7hytwq1nd6 1078465 1078464 2026-04-29T17:26:02Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Nullmengeneigenschaft */ 1078465 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft === == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] gth0bludqaf56ln7jttdoxep4bq12ol 1078466 1078465 2026-04-29T17:33:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft */ 1078466 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft === Mit Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 7h2dy24c1csd7xrarfmjc0oez44iecu 1078467 1078466 2026-04-29T17:42:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft */ 1078467 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5: == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] qlhbod5jp4x3xjw2aijils6jazfb44l 1078468 1078467 2026-04-29T17:44:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung */ 1078468 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5: == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 8c5o074de8xiiynj7bggwq57vxk3x2c 1078469 1078468 2026-04-29T17:47:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung */ 1078469 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5: <math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\left(A_{n+1} \setminus \right \cup A_{n+1}\right) \\ &=& \displaystyle \\ &=& \displaystyle \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] ow7t06h97nw70m8calwpmjotrgg9hh2 1078470 1078469 2026-04-29T18:07:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078470 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} \\ &=& \displaystyle P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 5owm3zzjkkxu13iou67z9nnctk9b4of 1078471 1078470 2026-04-29T18:08:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung */ 1078471 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Beweisen Sie den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen und verwenden Sie die [[Siebformel]] für die Beweisidee. Berücksichtigen Sie dabei folgenden Zusammenhang. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind, denn es gilt: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] kvc6lfx0gyk30ux53m9mujlzl0rs0ya 1078472 1078471 2026-04-29T18:11:27Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078472 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen und Schnitte === Beweisen Sie als Vorbereitung für den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen die folgende Aussage. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind, so sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind. Nutzen Sie dazu die Abschätzung: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq P\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> Führen Sie den Beweis vollständig aus! == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] fr0d7dkh660zrvu7v70xvol37chx7zb 1078473 1078472 2026-04-29T18:13:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung */ 1078473 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen und Schnitte === Beweisen Sie als Vorbereitung für den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen die folgende Aussage. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind, so sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind. Nutzen Sie dazu die Abschätzung: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq P\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> Führen Sie den Beweis vollständig aus! == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> Zusammen mit der Ungleichung für Teilmengen aus Beweisschritt 4 gilt <math>P(A_{n+1}) = P(B_{n+1})</math> und wegen <math>B_1:=A_1</math> gilt ebenfalls <math>P(A_{1}) = P(B_{1})</math>. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] mgb3urtq7afgxmqx2xqnnlikt4sx39u 1078474 1078473 2026-04-29T18:16:21Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung */ 1078474 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen und Schnitte === Beweisen Sie als Vorbereitung für den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen die folgende Aussage. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind, so sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind. Nutzen Sie dazu die Abschätzung: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq P\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> Führen Sie den Beweis vollständig aus! == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> Zusammen mit der Ungleichung für Teilmengen aus Beweisschritt 4 gilt <math>P(A_{n+1}) = P(B_{n+1})</math> und wegen <math>B_1:=A_1</math> gilt ebenfalls <math>P(A_{1}) = P(B_{1})</math>. === Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Zusammen mit Beweisschritt 3 und 6 erhält man die Behauptung: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty \underbrace{P(B_k)}_{=P(A_k)} = \sum_{k=1}^\infty P(A_k) </math> == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] 1f5405y2zpkfeeo1mqs2hqisi6ohckx 1078475 1078474 2026-04-29T18:16:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078475 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen und Schnitte === Beweisen Sie als Vorbereitung für den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen die folgende Aussage. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind, so sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind. Nutzen Sie dazu die Abschätzung: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq P\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> Führen Sie den Beweis vollständig aus! == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> Zusammen mit der Ungleichung für Teilmengen aus Beweisschritt 4 gilt <math>P(A_{n+1}) = P(B_{n+1})</math> und wegen <math>B_1:=A_1</math> gilt ebenfalls <math>P(A_{1}) = P(B_{1})</math>. === Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Zusammen mit Beweisschritt 3 und 6 erhält man die Behauptung: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty \underbrace{P(B_k)}_{=P(A_k)} = \sum_{k=1}^\infty P(A_k) </math> q.e.d. == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] nxzlwieluuoudjqmnwido2iqukvux2g 1078476 1078475 2026-04-29T18:19:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078476 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen und Schnitte === Beweisen Sie als Vorbereitung für den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen die folgende Aussage. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind, so sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind. Nutzen Sie dazu die Abschätzung: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq P\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> Führen Sie den Beweis vollständig aus! == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> Zusammen mit der Ungleichung für Teilmengen aus Beweisschritt 4 gilt <math>P(A_{n+1}) = P(B_{n+1})</math> und wegen <math>B_1:=A_1</math> gilt ebenfalls <math>P(A_{1}) = P(B_{1})</math>. === Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Zusammen mit Beweisschritt 3 und 6 erhält man die Behauptung: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty \underbrace{P(B_k)}_{=P(A_k)} = \sum_{k=1}^\infty P(A_k) </math> q.e.d. == Aufgabe 3 - Maßtheorie == Verallgemeinern Sie die Aussage für Lebesque-Maße auf <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\mathbb{C}</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math>! == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] k8z8vqp03wxtbfun5eu4f91ebhhk7sy 1078477 1078476 2026-04-29T18:19:22Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität */ 1078477 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen und Schnitte === Beweisen Sie als Vorbereitung für den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen die folgende Aussage. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind, so sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind. Nutzen Sie dazu die Abschätzung: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq P\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> Führen Sie den Beweis vollständig aus! == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> Zusammen mit der Ungleichung für Teilmengen aus Beweisschritt 4 gilt <math>P(A_{n+1}) = P(B_{n+1})</math> und wegen <math>B_1:=A_1</math> gilt ebenfalls <math>P(A_{1}) = P(B_{1})</math>. === Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Zusammen mit Beweisschritt 3 und 6 erhält man die Behauptung: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty \underbrace{P(B_k)}_{=P(A_k)} = \sum_{k=1}^\infty P(A_k) </math> q.e.d. == Aufgabe 3 - Maßtheorie == Verallgemeinern Sie die Aussage für Lebesque-Maße auf <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\mathbb{C}</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math>! == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] ixrnmwkhzfgpkm2gbigkijdhobebuy3 1078478 1078477 2026-04-29T18:20:51Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078478 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Begriff der Nullmengen ist ein Begriff der Maßtheorie, bei denen eine Menge <math>N</math> durch ein allgemeines Maß <math>\mu</math> oder ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math> das Maß <math>\mu(N)=0</math> bzw. <math>P(N)=0</math>. Ob eine Menge <math>N</math> eine Nullmenge ist, ist keine Eigenschaft der Menge, sondern eine Eigenschaft des Maßes. Daher spricht man in der Regel von <math>\mu</math>-Menge bzw. <math>P</math>-Nullmenge. === Beispiel === Das Ereigns <math>A=\{2,4,6\}</math> ist in jedem stetig Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf den reellen Zahlen eine <math>P</math>-Nullmenge. In dem diskreten [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] des Würfelexperiments <math>P_{_W}</math> ist <math>A</math> als Ereignis ''"gerade Zahl gewürfelt"'' keine <math>P_{_W}</math>-Nullmenge, denn es gilt <math>P_{_W}(A)=\tfrac{1}{2}\not= 0</math>. == Definition - Nullmenge == Sei <math>\mu : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ein Maß auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math>. Eine messbare Menge <math>N\in\mathcal{S}</math> heißt Nullmenge bzw. <math>\mu</math>-Nullmenge, wenn <math>\mu(N) = 0</math> gilt. === Wahrscheinlichkeitsmaß === Ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math> P : \mathcal{S} \to \mathbb{R}</math> ist eine Spezialfall eines allgemeinen Maßes auf der <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{S}</math> === Aufgabe 1 - Nullmengen === Zeige Sie, dass die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen in jedem stetigen Wahrscheinlichkeitsmaß <math>P</math> auf <math>\mathbb{R}</math> eine <math>P</math>-Nullmenge ist. Verwenden Sie dazu die <math>\sigma</math>-Additivität eines [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]]. <span id="SatzSigmaNullmenge"></span> == Satz über Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>( \Omega,\mathcal{S} ) </math> mit <math>A_n \in \mathcal{S}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>, dann gilt die Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität, d.h. <math>P(A_k\cap A_m) = 0</math> gilt, für alle <math>k,m\in \mathbb{N}</math> mit <math>k\not= m</math> so folgt: <math>P\left(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n \right) = \sum_{n\in \mathbb{N}} P\left( A_n \right)</math> === Aufgabe 2 - Nullmengen und Schnitte === Beweisen Sie als Vorbereitung für den Satz der Nullmengen-<math>\sigma</math>-Additivität in den Übungen die folgende Aussage. Wenn paarweise Schnitte Voraussetzung <math>A_k\cap A_m</math> mit <math>k\not= m</math> Nullmengen sind, so sind auch beliebige Schnitte <math>\bigcap_{i=1}^m A_{m_i}</math> von paarweise verschiedenen <math>A_{m_i}</math> bereits Nullmengen sind. Nutzen Sie dazu die Abschätzung: :<math> 0 = P(A_{m_1} \cap A_{m_2}) \geq P\left( \bigcap_{i=1}^m A_{m_i} \right) \geq 0 </math> Führen Sie den Beweis vollständig aus! == Beweis - Nullmengen-Sigma-Additivität == Sei <math> (\Omega, \mathcal{S}) </math> ein [[Messraum]] und <math>P:\mathcal{S}\to [0,1]</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] und seien <math> A_n \in \mathcal{S} </math> Mengen mit <math> P(A_i \cap A_j) = 0 </math> für alle <math> i \ne j </math>. === Beweisschritt 1 - Folge aus paarweise disjunkten Mengen === Aus der gegebenen Folge <math>(A_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{S} </math> wird eine weitere Folge <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> von Mengen aus der <math>\sigma</math>-Algebra erzeugt, die paarweise disjunkt sind. Dieses Schritt wird verwendet, um die <math>\sigma</math>-Additivität auf <math>P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}\right) = P\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_{n}\right)</math> anwenden zu können und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung berechnen zu können. === Beweisschritt 2 - Definition der disjunkten Mengen === Die Mengen <math>B_n</math> werden induktiv definiert, indem aus dem gegeben <math>A_{n+1}</math> alle Elemente aus <math>\Omega</math> entfernt werden, die bereits in <math>A_1 , \ldots , A_n</math> berücksichtigt wurden. :<math> B_1 = A_1, \quad B_2 = A_2 \setminus A_1, \quad B_3 = A_3 \setminus (A_1 \cup A_2), \quad \dots </math> Allgemein gilt für beliebige <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> B_{n+1} := A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k \subseteq A_{n+1} </math> === Beweisschritt 3 - Darstellung der Vereinigung === Zunächst einmal kann die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>A_n</math> auch durch die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der <math>B_n</math> dargestellt werden: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty P(B_k) </math> Das zweite Gleichheitszeichen gilt über die <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von <math>P</math>. === Beweisschritt 4 - Teilmengenbeziehung und W-Maße === Mit Beweisschritt 2 gilt über <math>B_{n}\subseteq A_{n}</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> und für beliebige Teilmengenbeziehungen bzgl. des [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsmaßes]] <math>P</math> auch <math>P(B_{n}) \leq P(A_{n})</math>. Es wird nun gezeigt, dass mit der Nullmengeneigenschaft aus den Voraussetzungen auch <math>P(B_{n}) = P(A_{n})</math>. Nun wendet man die Nullmengeneigenschaft aus der Voraussetzung an. === Beweisschritt 5 - Nullmengeneigenschaft - Mengendarstellung === Mit der Rechenregeln für Mengen der Form <math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)</math> erhält man die Darstellung :<math> A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} (A_{n+1} \cap A_k) =: C_{n+1} </math> Die Mengen <math> A_{n+1} \cap A_k </math> aus der Vereinigungsmengen auf der rechten Gleichungsseite sind Nullmengen, d.h. <math> P(A_n \cap A_k) = 0 </math> gilt für <math> k \leq n </math>. === Beweisschritt 6 - Nullmengeneigenschaft - Abschätzung === Da <math> P </math> <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-additiv]] ist, gilt die folgende Abschätzung für die Mengendarstellung aus Beweisschritt 5 mit <math>n+1 \not= k</math> für <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> und <math>n\in\mathbb{N}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} P(A_{n+1}) &=& \displaystyle P\bigg( \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \setminus \bigcup_{k=1}^{n} A_k }_{=B_{n+1}} \bigg) \cup \bigg( \underbrace{ A_{n+1} \cap \bigcup_{k=1}^{n} A_k}_{=:C_{n+1}}\bigg) \bigg) \\ & \leq & \displaystyle P( B_{n+1} ) + \sum_{k=1}^{n} \underbrace{P(A_{n+1} \cap A_k)}_{=0} = P( B_{n+1} ) \\ \end{array} </math> Zusammen mit der Ungleichung für Teilmengen aus Beweisschritt 4 gilt <math>P(A_{n+1}) = P(B_{n+1})</math> und wegen <math>B_1:=A_1</math> gilt ebenfalls <math>P(A_{1}) = P(B_{1})</math>. === Beweisschritt 7 - Nullmengen-Sigma-Additivität === Zusammen mit Beweisschritt 3 und 6 erhält man die Behauptung: :<math> P\left( \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right) = P\left( \bigcup_{k=1}^\infty B_k \right) = \sum_{k=1}^\infty \underbrace{P(B_k)}_{=P(A_k)} = \sum_{k=1}^\infty P(A_k) </math> q.e.d. == Aufgabe 3 - Maßtheorie == Verallgemeinern Sie die Aussage für Lebesque-Maße auf <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\mathbb{C}</math> oder <math>\mathbb{C}^n</math>! == Siehe auch == * [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelsche]] <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * <math>\sigma</math>[[Sigma-Algebra|-Algebra]] * [[Siebformel]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale als Maße in der Funktionentheorie]] === Kurse === * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] oqvlfqvpaoqgdpbm5csod149jw4kx9n 106 170275 1078512 1078305 2026-04-30T04:06:05Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - alternierendes Randwegintegral */ 1078512 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k+1}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> oa2obh7so1v65a52vbbt1xol6q842aw 1078513 1078512 2026-04-30T04:08:00Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion */ 1078513 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> d6yli756a4aelnrcdoqplfcmxccyy1i 1078559 1078513 2026-04-30T11:53:37Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion */ 1078559 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5bv9jkxwxcy43hretl66w9nmmy0hyty 106 170281 1078453 1078439 2026-04-29T16:39:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078453 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 5clcf5lom2xj6ukxjcbly9is5m4fku9 1078484 1078453 2026-04-29T19:02:09Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellungslemma für Dreiecksintegrale */ 1078484 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] dqpk4u1l2xzx7nvgmwkawqfuqx5r0fw 1078485 1078484 2026-04-29T19:02:43Z Bert Niehaus 20843 /* D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078485 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hj4wgpxf73pku7gave9f54yd0betpeg 1078493 1078485 2026-04-29T19:08:20Z Bert Niehaus 20843 /* D1 - Wegintegralsumme über Stammfunktion */ 1078493 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] na1d2sfzbss9qaau9621ofnnhb3jck6 1078494 1078493 2026-04-29T19:08:35Z Bert Niehaus 20843 /* D2 - Alternierende Randweg über Stammfunktion */ 1078494 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] or9934hmc4gzyrphz5bm6minz60xv6a 1078495 1078494 2026-04-29T19:09:21Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078495 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> == Aufgaben == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 5pp585dyo60qm1l3tqn2q1d281fh8r9 1078505 1078495 2026-04-30T03:56:46Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben */ 1078505 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) === Für die Berechnung von Integralen ist (D1) von Bedeutung, da mit (D1) eine Flächenstammfunktion <math>F_{_{\Box}}</math> nur an zwei Stellen in der [[w:de:konvexe Menge|konvexen Menge]] ausgewertet werden muss. Die Darstellung (D2) ist für die Berechnung von Flächenintegral für Vielecke (Polygone) als orientierte Fläche wesentlich. == Aufgabe == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] bkzjb3j4npvor1yavqysi2d4lrngl8x 1078506 1078505 2026-04-30T03:58:20Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) */ 1078506 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) === Für die Berechnung von Integralen ist (D1) von Bedeutung, da mit (D1) eine Flächenstammfunktion <math>F_{_{\Box}}</math> nur an zwei Stellen in der [[w:de:konvexe Menge|konvexen Menge]] ausgewertet werden muss. Die Darstellung (D2) ist für die Berechnung von Flächenintegrale für Vielecke (Polygone) als orientierte Fläche wesentlich, da die Dreieckzerlegung damit einen [[alternierenden Randweg]] erzeugt. == Aufgabe == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] tb5t15ff7djd51pk534guigrneqpii3 1078507 1078506 2026-04-30T03:58:41Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) */ 1078507 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) === Für die Berechnung von Integralen ist (D1) von Bedeutung, da mit (D1) eine Flächenstammfunktion <math>F_{_{\Box}}</math> nur an zwei Stellen in der [[w:de:konvexe Menge|konvexen Menge]] ausgewertet werden muss. Die Darstellung (D2) ist für die Berechnung von Flächenintegrale für Vielecke (Polygone) als orientierte Fläche wesentlich, da die Dreieckzerlegung damit einen [[alternierender Randweg]] Randweg|alternierenden Randweg]] erzeugt. == Aufgabe == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] np4ia28n62h7ej7ocjxgkhynleacn7y 1078508 1078507 2026-04-30T03:59:03Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) */ 1078508 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) === Für die Berechnung von Integralen ist (D1) von Bedeutung, da mit (D1) eine Flächenstammfunktion <math>F_{_{\Box}}</math> nur an zwei Stellen in der [[w:de:konvexe Menge|konvexen Menge]] ausgewertet werden muss. Die Darstellung (D2) ist für die Berechnung von Flächenintegrale für Vielecke (Polygone) als orientierte Fläche wesentlich, da die Dreieckzerlegung damit einen [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] erzeugt. == Aufgabe == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pmyzalgnvvqd7g2gs3o93sjhpopaqdn 1078509 1078508 2026-04-30T03:59:17Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078509 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) === Für die Berechnung von Integralen ist (D1) von Bedeutung, da mit (D1) eine Flächenstammfunktion <math>F_{_{\Box}}</math> nur an zwei Stellen in der [[w:de:konvexe Menge|konvexen Menge]] ausgewertet werden muss. Die Darstellung (D2) ist für die Berechnung von Flächenintegrale für Vielecke (Polygone) als orientierte Fläche wesentlich, da die Dreieckzerlegung damit einen [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] erzeugt. == Aufgabe == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ll9ejzae6bzx0jipqu9amjvh3iff24e 0 170282 1078441 1078425 2026-04-29T14:58:38Z Bocardodarapti 2041 1078441 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichung für t/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} {{ Relationskette/align | x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | x^3w -2xvw -2xw + x^4v - x^2v^2 - 4 x^2v +v^2 +3 v || 0 || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. 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Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 7z7v62zbuf9vjtt9or78uv3wjplvkpy 0 170288 1078445 2026-04-29T15:57:35Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Stochastik/Nullmenge#SatzSigmaNullmenge]] erstellt 1078445 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Stochastik/Nullmenge#SatzSigmaNullmenge]] 6a41r0x6971qhpt7msxc4a42pjt0u9m 0 170289 1078457 2026-04-29T16:43:50Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Wahrscheinlichkeitsraum#SigmaAdditivitaet]] erstellt 1078457 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Wahrscheinlichkeitsraum#SigmaAdditivitaet]] az2ovqzawa7m34fu3higze47ud4tsbx 0 170290 1078462 2026-04-29T17:05:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078462 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die ebene Kurvengleichung {{ Relationskette/display || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w -x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Relationskette/display | \partial_w || 3w^2 - 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \partial_x || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -12 x w -7x^4 + 8x^2-1 |}} || || || |SZ=. }} Die Bedingung {{ Relationskette | \partial_w || 0 || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}}^2 || || || |SZ= }} und damit in der Kurvengleichung auf {{ Relationskette/display | w {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w -x {{makl| x^2-1 |}}^3 || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -2w - x {{makl| x^2-1 |}} |}} || 0 || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm 1 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette | w || 0 || || || |SZ= }} sein, das sind zwei Singularitäten. Sei {{ Relationskette | x | \neq | \pm 1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | w || - {{op:Bruch|x {{makl| x^2-1 |}} | 2}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | x || \pm 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w || \pm 3 || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} o9dyrlxxo37jy97bud2vjph0vee1dhx 1078522 1078462 2026-04-30T06:09:42Z Bocardodarapti 2041 1078522 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die ebene Kurvengleichung {{ Relationskette/display || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w -x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind {{ Relationskette/display | \partial_w || 3w^2 - 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \partial_x || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -12 x w -7x^4 + 8x^2-1 |}} || || || |SZ=. }} Die Bedingung {{ Relationskette | \partial_w || 0 || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}}^2 || || || |SZ= }} und damit in der Kurvengleichung auf {{ Relationskette/display | w {{makl| x^2-1 |}}^2 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w -x {{makl| x^2-1 |}}^3 || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -2w - x {{makl| x^2-1 |}} |}} || 0 || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm 1 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette | w || 0 || || || |SZ= }} sein, das sind zwei Singularitäten. Sei {{ Relationskette | x | \neq | \pm 1 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | w || - {{op:Bruch|x {{makl| x^2-1 |}} | 2}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | x || \pm 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w || \pm 3 || || || |SZ=. }} Das ist keine Singularität. In den beiden Singularitäten treffen sich jeweils drei Zweige. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rn9ga48qd6fiuvtlwazrwp9c6zaz63g 0 170291 1078483 2026-04-29T19:01:45Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale#Lemma]] erstellt 1078483 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale#Lemma]] 2pj41hmpthioi22ud9epubwaoyjk658 106 170292 1078515 2026-04-30T04:18:15Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078515 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Die geometrische Grundidee Eckenreduktionssatz betrachtet nun zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die einen gemeinsamen Anfangspunkt oder Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. rzixlml66xidk32v2s762ejh0g2sw35 1078516 1078515 2026-04-30T04:21:14Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078516 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. mm5hk3nw8risedmmsq4tjdr3ksmnsvl 1078517 1078516 2026-04-30T04:35:55Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078517 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === qh87sgfn2dxsooee6rsfp63xgg66l3e 1078518 1078517 2026-04-30T04:50:31Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung */ 1078518 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= <math>\langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. 4s6swhtephbmhp6390c266uyxj1squ2 1078519 1078518 2026-04-30T05:01:09Z Bert Niehaus 20843 /* Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg */ 1078519 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. 1oi5fzogi0h1cxd86w34ff28x4cl8m8 1078520 1078519 2026-04-30T05:01:49Z Bert Niehaus 20843 /* Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg */ 1078520 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == 85ymxha46zh3hy16s7uz0azffc36wmj 1078524 1078520 2026-04-30T07:24:39Z Bert Niehaus 20843 /* Eckenreduktionssatz für Polygone */ 1078524 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] emxgd0rs00bv0t4x4uein559waoi06d 1078526 1078524 2026-04-30T08:17:20Z Bert Niehaus 20843 /* Eckenreduktionssatz für Polygone */ 1078526 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [a,b]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] dgyenzfre9kubqp0m5aqczb9frpoevu 1078527 1078526 2026-04-30T08:26:27Z Bert Niehaus 20843 /* Eckenreduktionssatz für Polygone */ 1078527 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: * <math>\gamma_k(t):= (1-t)\cdot z_{k} + t\cdot z_{k+1} </math> * <math>-\gamma_k(t):= (1-t)\cdot z_{k+1} + t\cdot z_{k} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] q7fqghnukzrkj5zmow55yj79acvmpdo 1078528 1078527 2026-04-30T08:28:16Z Bert Niehaus 20843 /* Eckenreduktionssatz für Polygone */ 1078528 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] lbscw795i972djj6kka6m70nzusz5pa 1078529 1078528 2026-04-30T08:33:19Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Randwege */ 1078529 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] coq01qqtb3heubbsctmihmye2t83wz6 1078531 1078529 2026-04-30T10:03:51Z Bert Niehaus 20843 /* Startpunkt und Endpunkt von Wegen */ 1078531 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des Weges ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 0x48lhh7yzcygu3jtok9lfx6qg4pjuo 1078536 1078531 2026-04-30T10:10:51Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges */ 1078536 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 6kxmn1meocdo16xsvg8kpi54fx8wse7 1078537 1078536 2026-04-30T10:30:17Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges */ 1078537 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] co8jglet55kz6z35is85wppu0hqkyd3 1078538 1078537 2026-04-30T10:33:23Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen */ 1078538 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_3,z_4\rangle</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 9h3zizplzbm48ktf1ntnwiurwt6mpmb 1078539 1078538 2026-04-30T10:34:14Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt */ 1078539 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 19np3979dt160t3a3qykiz9gm65yrtx 1078540 1078539 2026-04-30T10:38:08Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078540 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] gt4lw2up32vlxtwjlovpta4709ahtm2 1078541 1078540 2026-04-30T10:41:01Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt */ 1078541 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] o0j5gn8sviqr5kr5baldmcto4woo7qn 1078542 1078541 2026-04-30T10:45:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078542 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ie4e1jqd0wa7wp0hyrgcwsbpe08usv4 1078545 1078542 2026-04-30T10:46:08Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege */ 1078545 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 9gofzquxr81lclfb5u4o3l2s1p98ugq 1078546 1078545 2026-04-30T10:46:18Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt */ 1078546 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] c0z7z09l1l4i09peay7dl4mq4aqzuic 1078547 1078546 2026-04-30T10:53:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege */ 1078547 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 07zei652x0piskhllbubs69udd5atcx 1078549 1078547 2026-04-30T11:02:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion */ 1078549 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. <math>\{\} \cap </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 3f1zm3tpktj9rbl9bcgdiry367rcsio 1078550 1078549 2026-04-30T11:21:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078550 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 10e6404i8rjkofw1jifov2o3uzw786o 1078551 1078550 2026-04-30T11:23:10Z Bert Niehaus 20843 /* Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg */ 1078551 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mdxumc633qqca0ftzje2qu4at3jtogo 1078552 1078551 2026-04-30T11:33:23Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078552 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] iuyb0uw46p51jdiyvlc4587ws7mby3j 1078553 1078552 2026-04-30T11:40:54Z Bert Niehaus 20843 /* Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte */ 1078553 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|350px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 7wsvf467oeox01l5j73bc53j8v3w4m5 1078554 1078553 2026-04-30T11:42:15Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung */ 1078554 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] ia9kjyog3i4fmvebnvi7ygsw910lxt9 1078555 1078554 2026-04-30T11:45:48Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078555 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] 16w3sqejqjpgfv8sma9zs0q0mshvdzp 1078556 1078555 2026-04-30T11:46:53Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078556 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hav5701y70jkkth0mlh0raduu8umw80 1078557 1078556 2026-04-30T11:47:01Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078557 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qlg7m36i5u8ftotyu6lzp0rp5alo36e 0 170293 1078534 2026-04-30T10:09:01Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Topologischer Vektorraum/Weg]] erstellt 1078534 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[topologischer Vektorraum/Weg]] gtyims96pldt209d9680ocpfu0kc8zs 0 170294 1078548 2026-04-30T10:54:52Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Kette]] erstellt 1078548 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Kette]] agot6ak8lg7tonpqb77mcv3ves3tak9