Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1078592 1078186 2026-05-01T07:09:29Z ~2026-26314-20 41542 1078592 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:44, 16. Jan. 2026 (CET) == Jährliche Überprüfung des Universal Code of Conduct und der Durchsetzungsrichtlinien == <section begin="announcement-content" /> Ich möchte euch gerne darüber informieren, dass die jährliche Überprüfungsphase für den Universal Code of Conduct und die Durchsetzungsrichtlinien nun begonnen hat. Ihr könnt bis zum 9. Februar 2026 Änderungsvorschläge einreichen. Dies ist der erste von mehreren Teilschritten, die im Rahmen der jährlichen Überprüfung unternommen werden. Weitere Informationen und eine Diskussion, an der ihr teilnehmen könnt, finden sich auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|UCoC-Seite auf Meta]]. Das [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und einheitliche Umsetzung des UCoC einsetzt. Diese jährliche Überprüfung wird vom U4C geplant und durchgeführt. Weitere Informationen und die Aufgaben des U4C findet ihr in der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|U4C-Satzung]]. Bitte leitet diese Informationen an andere Mitglieder aus eurer Community weiter, wo immer dies angemessen ist. -- In Zusammenarbeit mit dem U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|Diskussion]])<section end="announcement-content" /> 22:02, 19. Jan. 2026 (CET) == [[Benutzer:Methodios]]‘ Sperre in Wikipedia == Da der entsprechende Benutzer [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Vandalismusmeldung&diff=prev&oldid=264177803 in der Wikipedia wegen klarem Rassismus (11. Februar 2026) gesperrt] wurde, sollte man auch hier darüber nachdenken, ob man dem Benutzer die Schreibrechte entzieht. Ich meine, er ist ja auch hier oft wegen ähnlicher Aussagen aufgefallen. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-94362-3|&#126;2026-94362-3]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-94362-3|Diskussion]]) 13:43, 11. Feb. 2026 (CET) : Was hätte man anderes erwarten sollen? Das musste ja so kommen. -[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-12113-21|&#126;2026-12113-21]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-12113-21|Diskussion]]) 19:21, 23. Feb. 2026 (CET) :: Anscheinend versucht Herr Methodios die Diskussion zu stören. Kein Wunder, wo man jetzt seine Gesinnung entlarvt hat. Die falsche Unterschrift habe ich jedenfalls entfernt, da es Vandalismus war.-[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-19907-85|&#126;2026-19907-85]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-19907-85|Diskussion]]) 16:42, 31. Mär. 2026 (CEST) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:11, 3. Apr. 2026 (CEST) == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) rav0uno4ly8p7pt9t3pgg0xy8v9sdg6 106 12769 1078623 1078558 2026-05-01T10:35:46Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1078623 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Flächenintegrale über Vielecke/]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> qkdnfilwj0ddez47tbcuqfzlno9q91w 2 19388 1078617 1078521 2026-05-01T08:42:39Z Bocardodarapti 2041 1078617 wikitext text/x-wiki [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Deckblatt|Deckblatt]] [[/Differentialgeometrie]] [[/Monomiale Syzygien/Beispiel]] [[/Simpliziale Komplexe]] [[/Analysis III]] [[/Algebraische Zahlentheorie]] [[/Algebraische Topologie]] [[/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[/Elliptisches]] [[/Riemannsche Flächen]] [[/Funktionentheorie]] [[/Diskrete Mathematik]] [[/Kommutative Algebra]] [[/Invariantentheorie]] [[/Differentialoperatoren]] [[/Trigonometrische Summen]] [[Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt]] [[/Cogni/Papers]] [[/Sonderaufgaben]] [[/Z/Modulschema]] [[/Positive Charakteristik]] [[Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel]] [[Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt]] [[Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln]] [[Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt]] [[Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt]] [[/Lineare Algebra]] [[/BEU]] [[/Lineare Algebra]] [[/Homologische Algebra]] [[/Modallogik]] [[/Affine Situation/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]] == == [[/Parameter/Tabellen]] [[/Sonstiges]] [[Hilfsparameter/Durchnummeriert/400]] https://www.geogebra.org/m/vWMCKYbV https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-simplification-calculator http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf == [[Projekt:Semantische Vorlagen]] == {{:Benutzer:Bocardodarapti/Vorlagendiagramm|Vorlagendiagramm}} [[:Kategorie:Mathematische Diagrammvorlagen]] === [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js]] === === [[:Kategorie:Latex-Vorspann|Latex-Vorspänne]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Grundvorspann in Latex|Grund]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Vortragshandvorspann in Latex|Hand]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Skriptvorspann in Latex|Skript]] === [[Projekt:Semantische Vorlagen/Tabellen mit benannten Parametern/Latex|Tabellen mit benannten Parametern]] [[Projekt:Semantische_Vorlagen/Aufgabenblatt/Stauchung/Latex]] === [[:Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]] === ==== [[/Kursaufbau/Reihenfolge]] ==== === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Verlinkungshilfe/Standardkurse]] === [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Bereits kategorisiert]] === == Admin == [[Spezial:Spezialseiten]] == Sonstiges == [https://github.com/JonathanSteinbuch/sheafstability] [[/Sonstiges]] [[/Vom Fliegen]] [[/Fußball]] [[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)]] [[/Wiki-Seminar/Konzeption]] [[Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie]] [[Benutzer:Mgausmann]] == [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie]] == [[/Hilfstabellen]] [[/Hilfstabelle/1/20]] [[/Hilfstabelle/1/30]] [[/Hilfstabelle/2/20]] [[/Hilfstabelle/6/20]] [[/Hilfstabelle/7/20]] [[/Hilfstabelle/9/2]] == [[w:Wikipedia:Hilfe]] == === [[w:Hilfe:Vorlagenprogrammierung]] === [[commons:Category:Mathematics|Commons]] [[commons:Category:MediaWiki_edit_toolbar|Buttons]] == [[Benutzer:Bocardodarapti/Sonstiges|Sonstiges]] == == Check == [[:Kategorie:Mathematischer Text/check]] mc9nzeakwvyxi0ndvfs2vspgm0zker1 106 22308 1078621 333911 2026-05-01T10:22:17Z CommonsDelinker 1336 Replacing Captcha.jpg with [[File:Gimpy-r_CAPTCHA.jpg]] (by [[:c:User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] because: [[:c:COM:FR|File renamed]]: [[:c:COM:FR#FR2|Criterion 2]] (meaningless or ambiguous name) · "Captcha" is a generic category. According to [htt 1078621 wikitext text/x-wiki Farbenfehlsichtigkeit (Dyschromatopsie, Dyschromasie) entsteht durch einen Defekt in der Netzhaut. Dieser Defekt ist meistens angeboren, kann aber auch in einigen Fällen erst im Lauf des Lebens eintreten, bspw. durch altersbedingte Abnahme der Farbwahrnehmung. Betroffen von solch einem Defekt sind etwa 8-9% der Männer, jedoch nur ca. 1% der Frauen. __TOC__ ==Formen== :Allgemein besitzt der Mensch drei Rezeptoren, die für das Farbsehen verantwortlich sind. Sind einer oder mehrere dieser Rezeptoren defekt kommt es zu Farbenfehlsichtigkeit. Man unterscheidet folgende Formen der Farbensichtigkeit, wovon die ersten beiden Formen als Farbenfehlsichtigkeit bezeichnet werden. ====Monochromasie==== :Ist nur noch ein Rezeptor funktionsfähig zählt man zu den sogenannten Monochromaten. Man unterscheid keinerlei Farben mehr, sondern nur noch in Grau- bzw. Helligkeitsstufen. ====Dichromasie==== :Sind nur noch zwei der drei Rezeptoren funktionsfähig zählt man zu den Dichromaten. Je nach Form des Defekts kommt es hierbei zu einer Rot- oder Grünblindheit. Daher spricht man allgemein auch von der Rot-Grün-Sehschwäche. ====Trichromasie==== :Sind alle drei Rezeptoren intakt zählt man zu den Trichromaten. Diese haben keinerlei beeinträchtigung der Farbwahrnehmung. [[Image:Ishihara_11.PNG|thumb|rechts|Ishihara Tafel zur Erkennung des Farbsehvermögens]] ==Tests zur Farbwahrnehmung== :Einfachste Form um einen Anhaltspunkt zu erhalten, ob man an Farbenfehlsichtigkeit leidet, ist die Ishihara-Tafel. Hierbei handelt es sich um die Darstellung einer Zahl oder einiger Buchstaben mit Hilfe von Farbflecken, welche in verschiedener Größe und Prägnanz aneinandergesetzt sind. In diesen Tafeln wurden mittels dieser Farbflecken-Codierung bestimmte Zeichen eingearbeitet. Farbenfehlsichtige sind, je nach Farbcodierung, nicht fähig die Zeichen zu erkennen, welche die Tafel zeigt. Allgemein müssen mehrere verschiedene Tafeln von einer Person betrachtet werden um den Grad der Fehlsichtigkeit messen zu können. :''Online-Test:'' :http://www.farbsehtest.de ==Darstellung der Barriere== :Menschen die an einer Farbenfehlsichtigkeit leiden, benötigen starke Kontraste und klare Schriften um eine Webseite angemessen wahrnehmen zu können. Blinkende bzw. animierte Elemente können ebenso eine Barriere darstellen, wie falsche Textfarbe auf falschem Hintergrund. :'''Text Beispiel''' ::<p style="color:#F00000; background-color:#00FF00; width:25%;text-align:center">Bsp. rote Schrift auf grünem Hintergrund</p> ::Leidet man an einer Rot-Grün-Schwäche kann man diesen Textblock nicht mehr lesen. Eine bessere Variante wäre: ::<p style="color:#0000F0; background-color:#00FF00; width:25%;text-align:center">Bsp. blaue Schrift auf grünem Hintergrund</p> :'''Grafiken Beispiel''' ::{| class="prettytable" |- class="hintergrundfarbe6" ! style="text-align:center" | Trichromatisches Bild ! style="text-align:center" | Dichromatisches Bild<br />ohne Rot-Grün-Unterscheidung ! style="text-align:center" | Achromatisches Bild<br />in Graustufen |- style="text-align:center" | [[Image:TCFruits.jpg|thumb]] | [[Image:RGFruits.jpg|thumb]] | [[Image:BWFruits.jpg|thumb]] |} :Wie stark die Kontraste sein müssen ist nicht festgelegt. Es ist zwar ein Wert für den Mindestwert bestimmt, jedoch kein Wert für den Maximalwert. Wobei zu hohe Kontraste auch wieder Probleme mit sich bringen, da Menschen mit bestimmten Leseschwächen diese auch wieder nicht ohne Probleme erkennen können. [[Image:Gimpy-r CAPTCHA.jpg|thumb|rechts|Beispiel eines CAPTCHA]] :Ein weiteres gutes Beispiel für den Ausschluss von farbenfehlsichigkeits Leidenden sind die sogenannten CAPTCHAs. Es gibt verschiedene Formen von CAPTCHA, welche die den Text verzerren (siehe rechts), oder welche die den abgebildeten Text mit Kontrasten versuchen zu verundeutlichen, um bspw. Bots außenvor zu lassen. Leider haben eben nicht nur Bots Probleme solche CAPTCHAs zu lesen. ==Was also tun?== :'''In der BITV (Barrierefreie Informationstechnik-Verordnung) gibt es zwei Bedingungen, welche sich speziell auf die Farbenfehlsichtigkeit beziehen:''' <br /> :<p style="width: 75%;font-style:italic;text-align:center;border:1px;border-style:solid">»Bilder sind so zu gestalten, dass die Kombinationen aus Vordergrund- und Hintergrundfarbe auf einem Schwarz-Weiß-Bildschirm und bei der Betrachtung durch Menschen mit Farbfehlsichtigkeiten ausreichend kontrastieren.«</p> <br /> :<p style="width: 75%;font-style:italic;text-align:center;border:1px;border-style:solid">»Texte sind so zu gestalten, dass die Kombinationen aus Vordergrund- und Hintergrundfarbe auf einem Schwarz-Weiß-Bildschirm und bei der Betrachtung durch Menschen mit Farbfehlsichtigkeiten ausreichend kontrastieren.«</p> <br /> :Das soll nicht bedeuten, dass nun alles in schwarz-weiß gestaltet werden muss. Wichtig ist sicherzustellen, dass relevante, wichtige Textpassagen, von allen Menschen wahrgenommen werden können. Handelt es sich beispielsweise um einen Begrüßungstext auf einer Webseite, so ist es nicht tragisch, sollte dieser nicht von allen wahrgenommen werden. Er wird nicht mal von all den Menschen wahrgenommen, die ihn lesen können. Bei Bildern ist es anders als bei Text. Während man Text notfalls noch via Browser anpassen kann, so ist es bei Bildern geradezu unmöglich. Ist ein Bild in einem Kontrast vorhanden, dann bleibt es auch so. Es gibt zwar ein [https://addons.mozilla.org/en-US/firefox/addon/5001 Plugin für Mozilla], dies ist aber recht Speicheraufwendig, benötigt Java und läuft nur unter Windows. Zudem ist es auch der falsche Weg, wenn jeder für sich am heimischen Computer das Problem einer Webseite löst, anstatt dass es von der Webseite erst garnicht bereitgestellt wird. :Das Nutzen von den verschieden Werkzeugen, die im Internet angeboten werden, ist schon eine gute Hilfe, jedoch sollte man sich nicht zu 100% auf sie verlassen. :Grundlegend ist zu sagen, man sollte alles nutzen was da ist, aber nichts als sichere Lösung verstehen. Das betrifft das Design an sich, wie auch die darauf folgende Implementierung. <br /> :Folgende Stichpunkte sollen Anhaltspunkte sein, wie man eine Webseite um einige Barrieren verkürzen kann: :*'''Validatoren:''' Man sollte sich an die Vorgaben des W3C halten, möglichst validen Code zu verwenden, denn das ist meist schon ein guter Kurs Richtung Barrierefreiheit. :*'''Verwendung von Style-Sheets:''' Es ist zwar den meisten schon bekannt, jedoch noch nicht verinnerlicht worden, dass das Design von der Struktur getrennt werden sollte. (Struktur > HTML ; Design > CSS) :*'''Funktionen, oder besser:''' Auf der eigenen Webseite ein paar hilfreiche Funktionen (wie das Anpassen des Kontrastes) einzubauen, kann nie Schaden. Besser ist es natürlich immer, schon im Vorhinein darauf zu achten, dass es Leute mit entsprechenden Einschränkungen gibt, und diese beim gestalten einer Webseite zu berücksichtigen. <p style="font-size:10px">Autor: [[Benutzer:Zariel|Falko Möller]] Matr.-Nr.: 4045736</p> ==Links== ====Weblinks==== :http://blog.falkomoeller.de/hci/barrierefreies-webdesign/ ''Barrierefreies Webdesign ist für alle da!'' ====Hilfe für Webprogrammierer==== :http://www.colorschemedesigner.com ''Farbschemengenerator mit Farbfehlsichtigkeitsdarstellung'' :http://www.vischeck.com ''Zeigt wie Farbenfehlsichtige Ihre Webseite wahrnehmen'' :http://colorfilter.wickline.org ''Zeigt, ebenso wie vischeck, wie Farbenfehlsichtige Ihre Webseite wahrnehmen'' ====Quellen==== :http://www.einfach-fuer-alle.de :http://de.wikipedia.org/wiki/Farbenfehlsichtigkeit htsoca3b39ejo78go9n4ezgcy18sx66 0 84169 1078609 1063441 2026-05-01T07:49:49Z Bert Niehaus 20843 /* Konstruktion von Homomorphismen */ 1078609 wikitext text/x-wiki == Definition: Lineare Abbildung == Seien <math>V</math> und <math>W</math> Vektorräume über einem gemeinsamen [https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra) Grundkörper] <math> \mathbb K </math>. Eine Abbildung <math> f\colon V \to W </math> heißt lineare Abbildung, wenn für alle <math> x,y \in V </math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> die folgenden Bedingungen gelten: * <math>f</math> ist homogen: *: <math>f\left(\lambda \cdot x\right) = \lambda \cdot f\left(x\right)</math> * <math>f</math> ist additiv: *: <math>f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)</math> == Alternative Definition Lin. Abb. == Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen: :<math>f\left(\lambda \cdot x + y\right) = \lambda \cdot f\left(x\right) + f\left(y\right)</math> * Für <math>y = 0_V \in V</math> liefert diese die Bedingung für die Homogenität und * für <math>\lambda = 1 \in \mathbb K</math> in Eigenschaft für die Additivität. Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionsgraph Graph] der Abbildung <math>f</math> ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum Untervektorraum] der Summe der Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> ist. == Übung == Seien <math>V, W</math> zwei <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräume und <math>f:V \rightarrow W</math> eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgende Äquivalenz gilt: : <math>f \mbox{ linear } \Longleftrightarrow </math> : <math> \qquad \forall_{x,y \in V, \lambda \in \mathbb K}\ : \ f\left(\lambda \cdot x + y\right) = \lambda \cdot f\left(x\right) + f\left(y\right)</math> * Zeit: 10min * Formale Schreibweise - Hinweise - Beweistypen == Beispiele 1 == Für <math>V = W = \mathbb R</math> hat jede lineare Abbildung die Gestalt <math>f(x) = m x</math> mit <math>m \in \mathbb R</math>. In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen <math>f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)= mx + b</math> mit <math>m, b \in \mathbb{R}</math> als linear. Solche affinelineare Abbildungen sind aber nur für <math>b=0</math> tatsächlich lineare Abbildungen: Für <math>m = 1</math> und <math>b = 3</math> ist <math>f(x)= x + 3</math> und die Linearitätseigenschaften ist nicht erfüllt: :<math>f(2x)= 2x + 3 \neq 2x + 6 = 2f(x)</math>. == Beispiele 2 == Es sei <math>V = \mathbb R^n</math> und <math>W = \mathbb R^m</math>. Dann wird für jede <math>m \times n</math>-Matrix <math>A</math> mit Hilfe der [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation] eine lineare Abbildung :<math>f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> durch :<math>f(x) = A \, x = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} </math> definiert. Jede lineare Abbildung von <math>\mathbb{R}^n</math> nach <math> \mathbb{R}^m </math> kann so dargestellt werden. == Beispiele 3 == * Ist <math>I \subset \mathbb R</math> ein offenes Intervall, <math>V = C^1(I,\mathbb R)</math> der <math>\mathbb R</math>-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf <math>I</math> und * <math>W = C^0(I,\mathbb R)</math> der <math>\mathbb R</math>-Vektorraum der stetigen Funktionen auf <math>I</math>, so ist die Abbildung :<math> D \colon C^1(I,\mathbb R) \to C^0(I,\mathbb R)</math>, <math>f \mapsto f'</math>, die jeder Funktion <math>f \in C^1(I,\mathbb R)</math> ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere [https://de.wikipedia.org/wiki/Linearer_Differentialoperator lineare Differentialoperatoren]. == Beispiele 4 == * Ist <math>I := [a,b] \subset \mathbb R</math> ein abgeschlossene Intervall, <math>V = C([a,b],\mathbb R)</math> der <math>\mathbb R</math>-Vektorraum der stetigen Funktionen auf <math>I</math> und * <math>\mu(f):= \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx </math> das Riemannintegral für <math>f \in C([a,b],\mathbb R)</math>. Zeigen Sie, dass <math>\mu : V \to \mathbb R</math> eine lineare Abbildung ist. == Bild == Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das [https://de.wikipedia.org/wiki/Bild_(Mathematik) Bild] und der [https://de.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra) Kern] einer linearen Abbildung <math>f\colon V \to W</math>. * Das Bild <math>\mathrm {im} (f)</math> der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter <math>f</math>, also die Menge aller <math>f(v)</math> mit <math>v</math> aus <math>V</math>. Die Bildmenge wird daher auch durch <math>f(V)</math> notiert. * Das Bild ist ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum Untervektorraum] von <math>W</math>. == Kern == * Der Kern <math>\mathrm{Ker}(f)</math> der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus <math>V</math>, die durch <math>f</math> auf den [https://de.wikipedia.org/wiki/Nullvektor Nullvektor] von <math>W</math> abgebildet werden. * Der Kern ist ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die Abbildung <math>f</math> ist genau dann [https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivität injektiv], wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. == Klassifizierung von linearen Abbildungen == Lineare Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) können wie folgt klassifziert werden: * '''Monomorphismus:''' Injektive lineare Abbildung * '''Epimorphismus:''' Surjektive lineare Abbildung * '''Isomorphismus:''' Bijektive lineare Abbildung * '''Endomorphismus:''' Lineare [[w:de:Selbstabbildung|Selbstabbildung]] * '''Automorphismus:''' Bijektive lineare Selbstabbildung === Monomorphismus: Injektivität === Ein [[w:de:Monomorphismus|Monomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[w:de:Injektivität|injektiv]] ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind. === Epimorphismus: Surjektivität === Ein [[w:de:Epimorphismus|Epimorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[w:de:Surjektivität|surjektiv]] ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der [[w:de:Rang (Mathematik)|Rang]] der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von <math>W</math> ist. === Isomorphismus: Bijektivität === Ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[w:de:bijektiv|bijektiv]] ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix [[w:de:Reguläre Matrix|regulär]] ist. Die beiden Räume <math>V</math> und <math>W</math> bezeichnet man dann als isomorph. === Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung === Ein [[w:de:Endomorphismus|Endomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume <math>V</math> und <math>W</math> gleich sind: <math>f\colon V \to V</math>. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix. ===Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung === Ein [[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume <math>V</math> und <math>W</math> gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix. == Folgenräume == Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert mit <math>a:=(a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math>, <math>b:=(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> und <math>c:=(c_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus <math>V:= \mathbb{K}^{\mathbb{N}}</math> wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (a,b)\mapsto a+b:= c</math> und <math>c_n:= a_n + b_n</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,a)\mapsto \lambda \cdot a:= c</math> und <math>c_n := \lambda \cdot a_n</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Absolute konvergente Reihen === Man betrachtet nun die folgende Teilmenge von <math>\mathbb{K}^{\mathbb{N}}</math>. :<math>\quad \ell^1(\mathbb{C}) := \left\{(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \, : \, \sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty \right\}</math> und die Abbildung: :<math> f: \ell^1(\mathbb{K}) \to \mathbb{C} </math> mit <math> f\left( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \right) = \sum_{n=1}^\infty a_n </math> * Zeigen Sie, dass die <math>f</math> linear ist. * Bestimmen Sie die Abbildungseigenschaften (injektiv, surjektiv) in Abhängigkeit von <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C} </math> === Konstruktion von Homomorphismen === Konstruieren Sie unterschiedliche Homomorphismen von <math>\ell^1(\mathbb{C})</math> auf<math>\ell^1(\mathbb{C})</math>, die nicht der Identität auf <math>\ell^1(\mathbb{C})</math> entsprechen * Monomorphismus (nur injektiv, aber nicht surjektiv), * Epimorphismus (nur surjektiv, aber nicht injektiv), * Automorphismus (aber nicht Identität). == Definition -Semilinearität == Ein == Siehe auch == * [[absolute Homogenität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Mehrdimensionale lineare Regression]] == Seiten-Information == * Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildung&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung] * Diese Seite ist ein [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * OER-Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Lineare_Abbildung * Nächste Inhalte des Kurses [[Diagonalisierung]] Matrizen als Beispiel für Operatoren auf dem <math>\mathbb{R}^n</math> * Dynamische Erzeugung der Seite mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]]. * siehe zur Erstellung von Links und deren Einbettung [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] f24boyjzbp0xico5txeec6i422xpzz1 1078611 1078609 2026-05-01T07:59:14Z Bert Niehaus 20843 /* Definition -Semilinearität */ 1078611 wikitext text/x-wiki == Definition: Lineare Abbildung == Seien <math>V</math> und <math>W</math> Vektorräume über einem gemeinsamen [https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra) Grundkörper] <math> \mathbb K </math>. Eine Abbildung <math> f\colon V \to W </math> heißt lineare Abbildung, wenn für alle <math> x,y \in V </math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> die folgenden Bedingungen gelten: * <math>f</math> ist homogen: *: <math>f\left(\lambda \cdot x\right) = \lambda \cdot f\left(x\right)</math> * <math>f</math> ist additiv: *: <math>f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)</math> == Alternative Definition Lin. Abb. == Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen: :<math>f\left(\lambda \cdot x + y\right) = \lambda \cdot f\left(x\right) + f\left(y\right)</math> * Für <math>y = 0_V \in V</math> liefert diese die Bedingung für die Homogenität und * für <math>\lambda = 1 \in \mathbb K</math> in Eigenschaft für die Additivität. Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionsgraph Graph] der Abbildung <math>f</math> ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum Untervektorraum] der Summe der Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> ist. == Übung == Seien <math>V, W</math> zwei <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräume und <math>f:V \rightarrow W</math> eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgende Äquivalenz gilt: : <math>f \mbox{ linear } \Longleftrightarrow </math> : <math> \qquad \forall_{x,y \in V, \lambda \in \mathbb K}\ : \ f\left(\lambda \cdot x + y\right) = \lambda \cdot f\left(x\right) + f\left(y\right)</math> * Zeit: 10min * Formale Schreibweise - Hinweise - Beweistypen == Beispiele 1 == Für <math>V = W = \mathbb R</math> hat jede lineare Abbildung die Gestalt <math>f(x) = m x</math> mit <math>m \in \mathbb R</math>. In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen <math>f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> der Form <math>f(x)= mx + b</math> mit <math>m, b \in \mathbb{R}</math> als linear. Solche affinelineare Abbildungen sind aber nur für <math>b=0</math> tatsächlich lineare Abbildungen: Für <math>m = 1</math> und <math>b = 3</math> ist <math>f(x)= x + 3</math> und die Linearitätseigenschaften ist nicht erfüllt: :<math>f(2x)= 2x + 3 \neq 2x + 6 = 2f(x)</math>. == Beispiele 2 == Es sei <math>V = \mathbb R^n</math> und <math>W = \mathbb R^m</math>. Dann wird für jede <math>m \times n</math>-Matrix <math>A</math> mit Hilfe der [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation] eine lineare Abbildung :<math>f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> durch :<math>f(x) = A \, x = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} </math> definiert. Jede lineare Abbildung von <math>\mathbb{R}^n</math> nach <math> \mathbb{R}^m </math> kann so dargestellt werden. == Beispiele 3 == * Ist <math>I \subset \mathbb R</math> ein offenes Intervall, <math>V = C^1(I,\mathbb R)</math> der <math>\mathbb R</math>-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf <math>I</math> und * <math>W = C^0(I,\mathbb R)</math> der <math>\mathbb R</math>-Vektorraum der stetigen Funktionen auf <math>I</math>, so ist die Abbildung :<math> D \colon C^1(I,\mathbb R) \to C^0(I,\mathbb R)</math>, <math>f \mapsto f'</math>, die jeder Funktion <math>f \in C^1(I,\mathbb R)</math> ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere [https://de.wikipedia.org/wiki/Linearer_Differentialoperator lineare Differentialoperatoren]. == Beispiele 4 == * Ist <math>I := [a,b] \subset \mathbb R</math> ein abgeschlossene Intervall, <math>V = C([a,b],\mathbb R)</math> der <math>\mathbb R</math>-Vektorraum der stetigen Funktionen auf <math>I</math> und * <math>\mu(f):= \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx </math> das Riemannintegral für <math>f \in C([a,b],\mathbb R)</math>. Zeigen Sie, dass <math>\mu : V \to \mathbb R</math> eine lineare Abbildung ist. == Bild == Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das [https://de.wikipedia.org/wiki/Bild_(Mathematik) Bild] und der [https://de.wikipedia.org/wiki/Kern_(Algebra) Kern] einer linearen Abbildung <math>f\colon V \to W</math>. * Das Bild <math>\mathrm {im} (f)</math> der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter <math>f</math>, also die Menge aller <math>f(v)</math> mit <math>v</math> aus <math>V</math>. Die Bildmenge wird daher auch durch <math>f(V)</math> notiert. * Das Bild ist ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Untervektorraum Untervektorraum] von <math>W</math>. == Kern == * Der Kern <math>\mathrm{Ker}(f)</math> der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus <math>V</math>, die durch <math>f</math> auf den [https://de.wikipedia.org/wiki/Nullvektor Nullvektor] von <math>W</math> abgebildet werden. * Der Kern ist ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die Abbildung <math>f</math> ist genau dann [https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivität injektiv], wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. == Klassifizierung von linearen Abbildungen == Lineare Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) können wie folgt klassifziert werden: * '''Monomorphismus:''' Injektive lineare Abbildung * '''Epimorphismus:''' Surjektive lineare Abbildung * '''Isomorphismus:''' Bijektive lineare Abbildung * '''Endomorphismus:''' Lineare [[w:de:Selbstabbildung|Selbstabbildung]] * '''Automorphismus:''' Bijektive lineare Selbstabbildung === Monomorphismus: Injektivität === Ein [[w:de:Monomorphismus|Monomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[w:de:Injektivität|injektiv]] ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind. === Epimorphismus: Surjektivität === Ein [[w:de:Epimorphismus|Epimorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[w:de:Surjektivität|surjektiv]] ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der [[w:de:Rang (Mathematik)|Rang]] der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von <math>W</math> ist. === Isomorphismus: Bijektivität === Ein [[w:de:Isomorphismus|Isomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung <math>f\colon V \to W</math>, die [[w:de:bijektiv|bijektiv]] ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix [[w:de:Reguläre Matrix|regulär]] ist. Die beiden Räume <math>V</math> und <math>W</math> bezeichnet man dann als isomorph. === Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung === Ein [[w:de:Endomorphismus|Endomorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume <math>V</math> und <math>W</math> gleich sind: <math>f\colon V \to V</math>. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix. ===Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung === Ein [[w:de:Automorphismus|Automorphismus]] zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume <math>V</math> und <math>W</math> gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix. == Folgenräume == Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert mit <math>a:=(a_n)_{n\in\mathbb{N}} </math>, <math>b:=(b_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> und <math>c:=(c_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> aus <math>V:= \mathbb{K}^{\mathbb{N}}</math> wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (a,b)\mapsto a+b:= c</math> und <math>c_n:= a_n + b_n</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,a)\mapsto \lambda \cdot a:= c</math> und <math>c_n := \lambda \cdot a_n</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. === Absolute konvergente Reihen === Man betrachtet nun die folgende Teilmenge von <math>\mathbb{K}^{\mathbb{N}}</math>. :<math>\quad \ell^1(\mathbb{C}) := \left\{(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N} \, : \, \sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty \right\}</math> und die Abbildung: :<math> f: \ell^1(\mathbb{K}) \to \mathbb{C} </math> mit <math> f\left( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \right) = \sum_{n=1}^\infty a_n </math> * Zeigen Sie, dass die <math>f</math> linear ist. * Bestimmen Sie die Abbildungseigenschaften (injektiv, surjektiv) in Abhängigkeit von <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C} </math> === Konstruktion von Homomorphismen === Konstruieren Sie unterschiedliche Homomorphismen von <math>\ell^1(\mathbb{C})</math> auf<math>\ell^1(\mathbb{C})</math>, die nicht der Identität auf <math>\ell^1(\mathbb{C})</math> entsprechen * Monomorphismus (nur injektiv, aber nicht surjektiv), * Epimorphismus (nur surjektiv, aber nicht injektiv), * Automorphismus (aber nicht Identität). <span id="semilinear"></span> == Definition - Semilineare Abbildung == Seien <math>V</math> und <math>W</math> Vektorräume über einem gemeinsamen [https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra) Grundkörper] <math> \mathbb{C} </math>. Eine Abbildung <math> f\colon V \to W </math> heißt semilineare Abbildung, wenn für alle <math> x,y \in V </math> und <math>\lambda \in \mathbb K</math> die folgenden Bedingungen gelten: * <math>f</math> ist konjugiert homogen: :: <math>f\left(\lambda \cdot x\right) = \overline\lambda \cdot f\left(x\right)</math> * <math>f</math> ist additiv: :: <math>f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)</math> === Bemerkung - Skalarprodukt === Im Gegensatz zu [[Skalarprodukt|Skalarprodukten]] auf <math>\mathbb{R}</math>-Vektorräumen ist ein [[Skalarprodukt]] auf <math>\mathbb{C}</math>-Vektorräumen nicht in beiden Komponenten linear, sondern nur in einer der beiden Komponenten. In der 1. Komponente ist ein [[Skalarprodukt]] auf <math>\mathbb{C}</math>-Vektorräumen z.B. semilinear und in der 2. Komponente linear. == Siehe auch == * [[absolute Homogenität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Mehrdimensionale lineare Regression]] == Seiten-Information == * Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildung&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abbildung] * Diese Seite ist ein [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * OER-Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Lineare_Abbildung * Nächste Inhalte des Kurses [[Diagonalisierung]] Matrizen als Beispiel für Operatoren auf dem <math>\mathbb{R}^n</math> * Dynamische Erzeugung der Seite mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]]. * siehe zur Erstellung von Links und deren Einbettung [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] ro103od848fp1gtsmmrxqujrbze111t 106 99563 1078583 1060157 2026-05-01T04:57:10Z Bert Niehaus 20843 /* Wegintegral über Ketten/Zyklen */ 1078583 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aus den Begriff der Kette und des Zyklus. == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>, mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * Die Bildmenge der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] rl9870rv57db61r8cmvk7ikvijcu4pi 1078584 1078583 2026-05-01T05:36:40Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1078584 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aus den Begriff der Kette und des Zyklus. == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>, mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * Die Bildmenge der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] e8wy2qrdatx8w6frmqnx5izj2bal747 1078585 1078584 2026-05-01T05:37:06Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078585 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aus den Begriff der Kette und des Zyklus. == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>, mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * Die Bildmenge der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] 4izx02aspid0pijwwsp7ktbrqrjcv31 106 103176 1078613 1078248 2026-05-01T08:01:17Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078613 wikitext text/x-wiki == Glatte Wege und Wegunterteilung == Die folgenden Definitionen wurden mit Kürzeln belegt und werden in Beweisen als Begründungen für Umformungen oder Folgerungen verwendet. * '''(WG1) Definition (Weg glatt):''' Ein Weg <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist. * '''(UT) Definition (Unterteilung):''' Sei <math>[a,b]</math> ein Intervall, <math>n \in\mathbb{N}</math> und <math>{a}={u}_{{0}} < {\ldots} < {{u}}_{n}={b}</math>. <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}\in\mathbb{R}^{n+1}</math> heißt dann Unterteilung von <math>{\left[{a},{b}\right]}</math>. * '''(WG2) Definition (Wegunterteilung):''' Sei <math>\gamma: [a,b] \to\mathbb{C}</math> ein Weg in <math>{U}\subseteq\mathbb{C}</math>, <math>{n}\in\mathbb{N}</math>, <math>{\left({u}_{{0}},\ldots,{u}_{{{n}}}\right)}</math> eine Unterteilung von <math>[a,b]</math>, <math>\gamma_{{k}}:{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right]}\to\mathbb{C}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> ein Weg in <math>{U}</math>. <math>{\left(\gamma_{{{1}}},\ldots,\gamma_{{{n}}}\right)}</math> heißt Wegunterteilung von <math>\gamma</math>, wenn gilt <math>\gamma_{1}{\left(a\right)}=\gamma{\left({a}\right)}</math>, <math>\gamma_{{n}}{\left({b}\right)}=\gamma{\left({b}\right)}</math> und <math>\forall_{{{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}}}\forall_{{{t}\in{\left[{u}_{{{k}-{1}}},{u}_{{k}}\right)}}}:\gamma_{{k}}{\left({t}\right)}=\gamma{\left({t}\right)}\wedge\gamma_{{k}}{\left({u}_{{{k}-{1}}}\right)}=\gamma_{{{k}-{1}}}{\left({u}_{{k}}\right)}</math>. * '''(WG3) Definition (Weg stückweise glatt):''' Ein Weg <math>\gamma:{\left[{a},{b}\right]}\to\mathbb{C}</math> heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung <math>{\left(\gamma_{{1}},\ldots\gamma_{{n}}\right)}</math> aus glatten Wegen <math>\gamma_{{k}}</math> für alle <math>{k}\in{\left\lbrace{1},\ldots,{n}\right\rbrace}</math> existiert. == Integrationsweg == * '''(WG4) Definition (Wegintegral):''' Sei <math>f : U \to\mathbb{C}</math> eine stetige Funktion und <math>\gamma: [a,b] \to U </math> ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: <math>\int_{\gamma} f := \int_{\gamma} f(z) \, dz := \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot\gamma'(t)\, dt </math>. Ist <math>\gamma</math> nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung <math>( \gamma_1 ,\ldots,\gamma_n ) </math>, dann definiert man <math>\int_{\gamma} f(z) \, dz :=\sum_{k=1}^{n} \int_{\gamma_k} f(z) \, dz</math>. * '''Definition (Integrationsweg):''' Ein Integrationsweg ist ein stückweise glatter (stückweise stetig differenzierbarer) Weg. == Beispiel == [[Datei:Dreiecksweg.svg|mini|Integrationsweg auf dem Dreiecksrand]] Der folgende Weg ist stückweise stetig differenzierbar (glatt) und für die Ecken <math>z_1,z_2,z_3\in \text{Spur}(\gamma)</math> ist der geschlossene Dreiecksweg <math>\gamma : [0,3] \to \mathbb{C}</math> nicht differenzierbar. Der Dreiecksweg ist auf dem Intervall <math>[0,3]</math> mit <math> \gamma(t) := \left\langle z_1 ,z_2 ,z_3 \right\rangle (t)</math> wie folgt definiert: :<math> \gamma(t) := \begin{cases} (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 & \text{für } t \in [0,1] \\ (2-t)\cdot z_2 + (t-1)\cdot z_3 & \text{für } t \in (1,2] \\ (3-t)\cdot z_3 + (t-2) \cdot z_1 & \text{für } t \in (2,3] \\ \end{cases} </math> === Wege aus Konvexkombinationen === Der stückweise stetig differenzierbare Weg ist aus [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] entstanden. Die Teilwege * <math>\gamma_1 := \left\langle z_1 ,z_2 \right\rangle </math> mit <math>\gamma_1 : [0,1] \to \mathbb{C}, \ (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2</math> * <math>\gamma_2 := \left\langle z_2 ,z_3 \right\rangle </math> mit <math>\gamma_2 : [1,2] \to \mathbb{C}, \ (2-t)\cdot z_2 + (t-1)\cdot z_3 </math> * <math>\gamma_3 := \left\langle z_3 ,z_1 \right\rangle </math> mit <math>\gamma_3 : [2,3] \to \mathbb{C}, \ (3-t)\cdot z_3 + (t-2)\cdot z_1 </math> sind stetig differenzierbar. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/holomophe_Integrationswege|holomorphe Integrationswege]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat_(Details)|Lemma von Goursat]] * [[Konvexkombination]] * [https://www.geogebra.org/m/rwwjymrv Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene] * [[Weg (Mathematik)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Path of Integration]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] 96q1uhew0f0c7r6nj2rne9hknmq4ou3 106 128303 1078595 1057882 2026-05-01T07:19:54Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: Skalarprodukt */ 1078595 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * Orthogonalität bzw. * genauer Winkel zwischen Vektoren können definiert werden.- und Längenbegriffen –, bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] (des Längenbegriffs) ist. === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein.Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> das heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. Äquivalent dazu ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra ([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). Sind diese Basisvektoren darüber hinaus so normiert, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation == {{Hauptartikel|Satz von Fischer-Riesz}} Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. Je zwei Hilberträume mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]: Man erhält einen Isomorphismus, indem man eine Bijektion zwischen einer Orthonormalbasis des einen und einer Orthonormalbasis des anderen eindeutig zu einem stetigen linearen Operator zwischen den Räumen fortsetzt. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). Dieser Raum wird versehen mit dem Skalarprodukt :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist als ''Satz von Fischer-Riesz'' bekannt. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. Der Grund dafür, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne dass <math>f</math> die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist – nämlich genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> (d.&nbsp;h. wenn <math>f</math> nur auf einer Menge ungleich 0 ist, welche eine <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] darstellt). Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] pvive1ep4i2erqvpz60ay63dpe7lry1 1078607 1078595 2026-05-01T07:47:22Z Bert Niehaus 20843 /* Orthogonalität und Orthogonalsysteme */ 1078607 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * Orthogonalität bzw. * genauer Winkel zwischen Vektoren können definiert werden.- und Längenbegriffen –, bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] (des Längenbegriffs) ist. === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein.Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> das heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation == {{Hauptartikel|Satz von Fischer-Riesz}} Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. Je zwei Hilberträume mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]: Man erhält einen Isomorphismus, indem man eine Bijektion zwischen einer Orthonormalbasis des einen und einer Orthonormalbasis des anderen eindeutig zu einem stetigen linearen Operator zwischen den Räumen fortsetzt. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). Dieser Raum wird versehen mit dem Skalarprodukt :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist als ''Satz von Fischer-Riesz'' bekannt. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. Der Grund dafür, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne dass <math>f</math> die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist – nämlich genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> (d.&nbsp;h. wenn <math>f</math> nur auf einer Menge ungleich 0 ist, welche eine <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] darstellt). Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 7xwvvql3307qk2u06e4cyh5z2evj7p4 1078608 1078607 2026-05-01T07:48:57Z Bert Niehaus 20843 /* Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente */ 1078608 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * Orthogonalität bzw. * genauer Winkel zwischen Vektoren können definiert werden.- und Längenbegriffen –, bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] (des Längenbegriffs) ist. === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein.Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> das heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L^p-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation == {{Hauptartikel|Satz von Fischer-Riesz}} Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. Je zwei Hilberträume mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]: Man erhält einen Isomorphismus, indem man eine Bijektion zwischen einer Orthonormalbasis des einen und einer Orthonormalbasis des anderen eindeutig zu einem stetigen linearen Operator zwischen den Räumen fortsetzt. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). Dieser Raum wird versehen mit dem Skalarprodukt :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist als ''Satz von Fischer-Riesz'' bekannt. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''²-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. Der Grund dafür, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne dass <math>f</math> die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist – nämlich genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> (d.&nbsp;h. wenn <math>f</math> nur auf einer Menge ungleich 0 ist, welche eine <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] darstellt). Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] omep6ke9pbi3grib1dnzjfvk45zquhw 106 128529 1078594 932693 2026-05-01T07:19:17Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: Orthogonalität */ 1078594 wikitext text/x-wiki == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das Skalarprodukt <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des Skalarproduktes über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 66k5jbaqt2t5imfvcdyskongnx8j8g9 1078596 1078594 2026-05-01T07:20:45Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: Orthogonalität */ 1078596 wikitext text/x-wiki == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des Skalarproduktes über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] sdlefmpz1gjjg0p5sw58owplq3zjwrm 1078597 1078596 2026-05-01T07:21:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078597 wikitext text/x-wiki == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] oporvor6se5sgv7rp2y7tuqenlvr3zz 1078598 1078597 2026-05-01T07:21:27Z Bert Niehaus 20843 /* Skalarprodukt */ 1078598 wikitext text/x-wiki == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] jefat169ab8x8j3cdpfez6uipsfhjx3 1078599 1078598 2026-05-01T07:27:44Z Bert Niehaus 20843 /* Definition: Orthogonalität */ 1078599 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] fc86mrfpok66bm5g9v30lvgwui2ermq 1078600 1078599 2026-05-01T07:28:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078600 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] tlvgsikon1b2vjp7zbygoj0sxbgrqzt 1078601 1078600 2026-05-01T07:28:37Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung */ 1078601 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gg4a30xhpq9tdaxw34nn10wakbflw4c 1078602 1078601 2026-05-01T07:30:32Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078602 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|350px|mini|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 3m3wow0d3htcewabbw59uxsnh9xt8i0 1078603 1078602 2026-05-01T07:34:42Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung */ 1078603 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Nutzen Sie die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qvx0vo7u8333bpluucogbj5reb7oatf 1078605 1078603 2026-05-01T07:36:58Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078605 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt: == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] k1zh0sdswlmjhknouvxmdinb6nawrni 1078606 1078605 2026-05-01T07:40:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 */ 1078606 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - Semilinearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> <math> \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9jpsw4fgz7iist0mdqm8u5n5fa7kspm 106 150879 1078571 1075625 2026-04-30T13:08:30Z Mjchael 1011 /* Farbige Skalendiagramme */ Typo 1078571 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Kurs:Lilypond für Wikis/_Navi|Kurs:Lilypond für Wikis| {{:Kurs:Lilypond für Wikis/_Themen}}| img=LilyPond-logo-with-music.png|bg=#FEFEB6|border=#83A324|color=#83A324}} </noinclude> Der [[Kurs:Lilypond für Wikis: Schnelleinstieg|Schnelleinstieg]] wird als bekannt vorausgesetzt. == Gitarrengriffbilder == Lilypond verfügt standardmäßig über vordefinierte Gitarrenakkorde, die über eine externe Datei eingebunden werden kann.Das Score-Plugin unterstützt die Funktion nicht. Also muss man Akkordgriffbilder von Hand erstellen. <syntaxhighlight lang="latex"> <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/g f d:/fis g g:7 }} \new FretBoards { \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > % C < b,-2 g c'-1 e' > % C/B < a, e-2 a-3 c'-1 e' > % Am < g,-4 a, e-2 a-3 c'-1 e' > % Am/G < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > % F < fis,-2 a, d a-3 c'-1 fis'-4> % D/F# < g,-3 b,-2 d g b g'-4> % G < g,-3 b,-2 d g b f'-1> % G7 } >> </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/g f d:/fis g g:7 }} \new FretBoards { \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > < b,-2 g c'-1 e' > < a, e-2 a-3 c'-1 e' > < g,-4 a, e-2 a-3 c'-1 e' > < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > < fis,-2 a, d a-3 c'-1 fis'-4> < g,-3 b,-2 d g b g'-4> < g,-3 b,-2 d g b f'-1> } >> </score> ; \new FretBoards { : stellt die Akkorde als Gitarrengriffe dar. ; \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 : vergrößert hier die Griffbilder um 150% ; \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot : schreibt die Ziffern für die Finger in die Kreise, und nicht am Rand des Griffbildes. ; \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white :stellt die Finger weiß, statt schwarz dar. ; \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape : richtet die Akkorde gemäß der Tabulatur aus, anstatt quer um Platz zu sparen. ; < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > : man trägt die Noten eines Akkordes von der tiefsten zur höchsten Note zwischen eckigen Klammern. Nach einem Bindestrich folgt der Fingersatz (1-4) ggf. Kann man die Saite angeben, auf der ein Ton erscheint soll. Man fügt die Saite nach einem Backslash (\) an. : < f,-1\6 c-3\5 f-4\4 a-2\3 c'-1\2 f'-1\1 > Dieses ist (nur) dann nötig, wenn Lilypond nicht weiß, auf welcher Saite er einen Ton darstellen soll. ; Tipp: sprich: "F ''(f,)'' mit der 1 ''(-1)'' auf der 6 ''(\6)''." "Mit" erinnert dich an das Minus und "auf" das de Ton auf der Saite 6 über dem Backslash steht. Offene (0) oder gedämpfte (X) Saiten und Barre-Finger (als Klammer) werden automatisch gesetzt. Die Akkorde nach dem Kommentarzeichen (%) dienen nur der Information der Autoren, um Akkorde einfacher kopieren zu können. == Eine Tabulatur == <syntaxhighlight lang="latex"> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Basslauf in C" encoder="cc-by-sa Wikibooks (mjchael)" } myKey = { \tempo 4 = 120 %Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" %% verschmilzt unterschiedliche Notenköpfe \mergeDifferentlyHeadedOn \clef "G_8" } myChords = \chordmode { c2 c:/b a:m a:m/g f d:7/f g g4:/a g:/b } myDiskant = { c8 g c' e' b, g c' e' | % 1 a,8 a c' e' g, a c' e' | % 2 f,8 a c' f' fis, a c' fis' | % 3 g,8 g b g' a, g b, g | % 4 Basis \mark "4x" } myBass = { c2 b, a, g, f, fis, g, a,4 b, } %% Layout \score { << \new ChordNames { \myChords } { %%Noten \new Staff << \myKey \mergeDifferentlyHeadedOn \repeat volta 4 \myDiskant \\ %% beachte: Wiederholungszeichen ist für Midi notwendig! \repeat volta 4 \myBass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \myDiskant \\ \myBass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \myDiskant \\ \repeat volta 4 \myBass >> %% Schluss c2 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm % DinA4 0 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Basslauf in C" encoder="cc-by-sa Wikibooks (mjchael)" } myKey = { \tempo 4 = 120 %Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" %% verschmilzt unterschiedliche Notenköpfe \mergeDifferentlyHeadedOn \clef "G_8" } myChords = \chordmode { c2 c:/b a:m a:m/g f d:7/f g g4:/a g:/b } myDiskant = { c8 g c' e' b, g c' e' | % 1 a,8 a c' e' g, a c' e' | % 2 f,8 a c' f' fis, a c' fis' | % 3 g,8 g b g' a, g b, g | % 4 Basis \mark "4x" } myBass = { c2 b, a, g, f, fis, g, a,4 b, } %% Layout \score { << \new ChordNames { \myChords } { %%Noten \new Staff << \myKey \mergeDifferentlyHeadedOn \repeat volta 4 \myDiskant \\ %% beachte: Wiederholungszeichen ist für Midi notwendig! \repeat volta 4 \myBass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \mergeDifferentlyHeadedOn \myDiskant \\ \myBass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \myDiskant \\ \repeat volta 4 \myBass >> %% Schluss c2 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm % DinA4 0 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> == Death Notes == <syntaxhighlight lang="latex"> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Zupfen mit Death Notes" encoder="mjchael" } myKey = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)" \clef "G_8" \tempo 4 = 170 %% Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major } clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} Diskant = { \clean r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C /B r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am/E r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F/A r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G/B \mark "4x" } Bass = { \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean f2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } % Layout \score { << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/e f f:/a g g:/b } } { %% Noten \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \Diskant \\ %% Beachte: Wiederholungszeichen im Bass ist für's Midi notwendig! \repeat volta 4 \Bass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { %% 2x Notenhälse bei ½ Noten verwirren. % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \Diskant \\ \Bass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \clef "G_8" \repeat volta 4 \Diskant \\ \repeat volta 4 \Bass >> <c,e g c' e'>1 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm %% Breite line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Zupfen mit Death Notes" encoder="mjchael" } myKey = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)" \clef "G_8" \tempo 4 = 170 %% Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major } clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} Diskant = { \clean r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C /B r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am/E r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F/A r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G/B \mark "4x" } Bass = { \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean f2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } % Layout \score { << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/e f f:/a g g:/b } } { %% Noten \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \Diskant \\ %% Beachte: Wiederholungszeichen im Bass ist für's Midi notwendig! \repeat volta 4 \Bass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { %% 2x Notenhälse bei ½ Noten verwirren. % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \Diskant \\ \Bass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \clef "G_8" \repeat volta 4 \Diskant \\ \repeat volta 4 \Bass >> <c,e g c' e'>1 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm %% Breite line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> <syntaxhighlight lang="latex"> \deadNote \deadNotesOn \deadNotesOff </syntaxhighlight> * <code>\deadNote</code> ändert einen einzelnen Notenkopf (allerdings nicht den Sound). * <code>\deadNotesOn</code> ändert alle folgenden Notenkopf. * <code>\deadNotesOff</code> setzt die Notenköpfe wieder zurück. <syntaxhighlight lang="latex"> clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} </syntaxhighlight> Setzt den Sound wieder zurück <syntaxhighlight lang="latex"> muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} </syntaxhighlight> Setzt vereinzelte Deth Notes. Möchtest du mehrere hintereinander, dann lösche das <code>\once</code>. <syntaxhighlight lang="latex"> ... \muted < g b g'> \clean < g b g'> ... \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } </syntaxhighlight> So kannst du recht einfach zwischen (vereinzelten) Death Notes und einer cleanen Gitarre hin und her schalten. ;Zur Erinnerung Vereinzelte Ziffern wiederholen noch einmal die vorangehende Note oder Akkord mit dem neuen Notenwert. <small>Danke an Malte und Harm6 vom [https://lilypondforum.de/index.php/topic,1412.html LilypondForum] bei der Hilfe mit dem Lilypond-Code.</small> == Einfache Skalen-Diagramme == Die Bunddiagramme sind ursprünglich für Akkorddiagramme über Noten gedacht. Doch wir können sie auch für Skalen gebrauchen. <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px; border:black solid 1px; "> ;F-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% oder %% 6-3-2 Saite-Bund-Intervall %% 4-o zeigt 4. Saite offen \fret-diagram #"s:3;f:1; 3-3-2;3-5-3;3-6-4; 4-3-6;4-5-7;4-6-1; 5-3-3;5-4-4;5-6-5; 6-3-7;6-4-1;6-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> </syntaxhighlight> ;Drei davon ergibt <div style="float:left; padding: 5px; border:black solid 1px; "> ;F-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \paper{ indent=0\mm line-width=120\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% 4-o zeigt 4. Saite offen \fret-diagram #"s:3;f:1; 3-3-2;3-5-3;3-6-4; 4-3-6;4-5-7;4-6-1; 5-3-3;5-4-4;5-6-5; 6-3-7;6-4-1;6-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:10px 5px; border:black solid 1px; "> ;Bb-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { \fret-diagram #"s:3;f:1; 2-4-2;2-6-3;2-7-4; 3-3-6;3-5-7;3-6-1; 4-3-3;4-4-4;4-6-5; 5-3-7;5-4-1;5-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:10px 5px; border:black solid 1px; "> ;D-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { \fret-diagram #"s:3;f:1; 1-4-2;1-6-3;1-7-4; 2-4-6;2-6-2;2-7-1; 3-3-3;3-4-4;3-6-5; 4-3-7;4-4-1;4-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px; border:black solid 1px; "> </syntaxhighlight> Die drei einzelnen Skalen wurden in je einen Div-Container gepackt, der sich automatisch je nach Medium (PC, Laptop, Handy, Druck) so anordnet, dass alle Skalen sichtbar sind. Sollte eine Skala über den rechten Rand der Homepage herausragen, so erfolgt ein automatischer Zeilenumbruch. ;Tipp :<code><div style="float:left; padding:{{rot|9px}} 5px; border:black solid 1px; "></code> Bei Umbruchfehlern kann der Innenabstand (padding) oben und unten (erster Wert) etwas vergrößert werden. <syntaxhighlight lang="latex"> \markup { \fret-diagram #"s:3;f:1; %% hier folgen die Finger } </syntaxhighlight> Das würde eigentlich ausreichen. Doch die Skala wäre hochkant. <syntaxhighlight lang="latex"> \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) </syntaxhighlight> modifiziert die Anzeige. * Die Bundangabe wird in römischen Ziffern (III statt 3 oder iii) angegeben. * Der Fingersatz wird innerhalb der Punkte dargestellt; alternativ wäre am Rand der Saiten. * Die Skala wird quer (landscape) und nicht hochkant angezeigt. <syntaxhighlight lang="latex"> %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% 4-o zeigt 4. Saite offen </syntaxhighlight> Die Kommentare sind gleichzeitig Gedächtnisstützen. Es empfiehlt sich, die Finger von der höchsten zu den tiefsten Saiten, und vom tiefsten zum höchsten Bund zu sortieren, und die Saiten durch Zeilenumbrüche zu trennen, damit man halbwegs den Überblick behält. In dem Beispiel oben nutze ich die Ziffern jedoch nicht für den Fingersatz (ZMRK = 1234) sondern für Intervalle (1=Prime, 2=Sekunde, 3=Terz...) <syntaxhighlight lang="latex"> {{clear}} </syntaxhighlight> Die Gruppe der Div-Container sollte mit der 'clear'-Vorlage abgeschlossen werden, damit der nachfolgende Text die Bilder nicht ungewollt umfließen. ;Quellen * [http://lilypond.web.fc2.com/v2.13.45/Documentation/notation/common-notation-for-fretted-strings.html#fret-diagram-markups Lilypond Doku (Fred-Diagram-Markups)] *[http://lilypond.web.fc2.com/v2.13.45/Documentation/notation/common-notation-for-fretted-strings.de.html#fret-diagram-markups ... auf deutsch] * [https://lilypond.org/doc/v2.23/Documentation/notation/instrument-specific-markup ... mehr Details] == Farbige Skalendiagramme == <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \column { %% Überschrift / Headline \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } \halign #CENTER { "C ionian (C shape) " } %% Aussehen / Look \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . #'landscape ) (finger-code . #'in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) %% Finger %% Saite Bund "Intervall" Farbe %% string fret "interval" color \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "3" black ) (place-fret 1 13 "4" yellow3 ) (place-fret 1 15 "5" darkgrey ) (place-fret 2 12 "j7" yellow3 ) (place-fret 2 13 "1" black ) (place-fret 2 15 "2" darkgreen ) (place-fret 3 12 "5" black ) (place-fret 3 14 "6" darkgreen ) (place-fret 4 12 "2" darkgreen ) (place-fret 4 14 "3" black ) (place-fret 4 15 "4" yellow3 ) (place-fret 5 12 "6" darkgreen ) (place-fret 5 14 "j7" yellow3 ) (place-fret 5 15 "2" black ) (place-fret 6 12 "3" black ) (place-fret 6 13 "4" yellow3 ) (place-fret 6 15 "5" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=80\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} </syntaxhighlight> ;ergibt <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \column { %% Überschrift / Headline \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } \halign #CENTER { "C ionian (C shape) " } %% Aussehen / Look \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . #'landscape ) (finger-code . #'in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) %% Finger %% Saite Bund "Intervall" Farbe %% string fret "interval" color \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "3" black ) (place-fret 1 13 "4" yellow3 ) (place-fret 1 15 "5" darkgrey ) (place-fret 2 12 "j7" yellow3 ) (place-fret 2 13 "1" black ) (place-fret 2 15 "2" darkgreen ) (place-fret 3 12 "5" black ) (place-fret 3 14 "6" darkgreen ) (place-fret 4 12 "2" darkgreen ) (place-fret 4 14 "3" black ) (place-fret 4 15 "4" yellow3 ) (place-fret 5 12 "6" darkgreen ) (place-fret 5 14 "j7" yellow3 ) (place-fret 5 15 "2" black ) (place-fret 6 12 "3" black ) (place-fret 6 13 "4" yellow3 ) (place-fret 6 15 "5" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=80\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ;Box <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ... </div> </syntaxhighlight> Zeichnet eine Box um das Griffbrettdiagram und lässt mehrere davon nebeneinander stehen. ; Zeilenumbruch :<code><nowiki>{{clear}}</nowiki></code> erzwingt einen Zeilenumbruch. ;Abstände der Box korrigieren :<code>padding:5px;</code> 5 Pixel Abstand zum Rand :<code>padding:5px 5px 13px 5px;</code> 5 Pixel oben, 5 Pixel rechts, 13 Pixel unten, 5 Pixel links<br>gleicht Abständen aus, wenn beispielsweise eine E-Saite leer bleibt. ; Bildüberschrift <syntaxhighlight lang="latex"> \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } </syntaxhighlight> Erzeugt, falls nötig, eine Überschrift. (Der Header-Block der Lieder wäre zu groß.) ;Finger :<code>(place-fret 6 7 "j7" yellow3 )</code> :Saite Bund "Bezeichnung" Farbe Die Bezeichnung ist eigentlich für den Fingersatz in Ziffern (1-4) ohne Anführungszeichen gedacht. Mit Anführungszeichen können auch konkrete Intervalle oder Notennamen genutzt werden. ;Tipp für die Farben *[https://lilypond.miraheze.org/wiki/Liste_der_X11_Farben lilypond•miraheze•org: Liste der X11 Farben] ;Breite des Griffdiagramm :<code>line-width=80\mm</code> Im Paper-Block muss ggf. angepasst werden, damit die Schrift und das Griffbrettdiagramm vollständig angezeigt wird. :<code>(fret-count . 3)</code> ggf. muss auch die Anzahl der Bünde angepasst werden. ; Konventionen aus den deutschen Wikibooks * Grundton (1) schwarz * Akkordtöne (3b)(3)(5) weiß/grau * Töne der Dur- (2)(6) und Moll-Pentatonik (4)(m7) grün * Funktionseinschränkende Töne in Dur (j7)(4) oder Moll (2)(6b) gelb<ref>Funktionseinschränkende Intervalle schließen eine Akkordfunktion aus.<br>Für einen besseren Kontrast wurde ein dunkles Gelb gewählt, dass etwas ins grünliche geht.</ref> * Funktionsbestimmende Töne wie die mixolydische Septime (7), die lydische Quarte (4#) die dorische Sexte (6) und die phrygische Sekunde (2b) orange<ref>Funktionsbestimmende Intervalle sind charakteristisch für die Akkordfunktion bzw. für den Modus.</ref> * Tritonus (5b) und bei Bedarf auch (4#), wenn es nicht die lydische Quarte ist. magenta * Alterationen wie beispielsweise (mj7), (9b) <ref>Alterationen: tonleiterfremde Intervalle, die keine Modulation oder Ausweichung sind, also die nicht natürlicherweisen in einer anderen Tonleiter ohne Vorzeichen vorkommen können.</ref> * Blue-Notes oder chromatische Durchgangstöne ohne funktionale Bedeutung blau * Finger ohne Funktion grau ohne Bezeichner n4mt7csuh3tq7mw3yurxgbvgdvqb7f3 1078573 1078571 2026-04-30T14:10:40Z Mjchael 1011 /* Gitarrengriffbilder */ + 1078573 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Kurs:Lilypond für Wikis/_Navi|Kurs:Lilypond für Wikis| {{:Kurs:Lilypond für Wikis/_Themen}}| img=LilyPond-logo-with-music.png|bg=#FEFEB6|border=#83A324|color=#83A324}} </noinclude> Der [[Kurs:Lilypond für Wikis: Schnelleinstieg|Schnelleinstieg]] wird als bekannt vorausgesetzt. == Gitarrengriffbilder == Lilypond verfügt standardmäßig über vordefinierte Gitarrenakkorde, die über eine externe Datei eingebunden werden kann.Das Score-Plugin unterstützt die Funktion nicht. Also muss man Akkordgriffbilder von Hand erstellen. <syntaxhighlight lang="latex"> <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/g f d:/fis g g:7 }} \new FretBoards { \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > % C < b,-2 g c'-1 e' > % C/B < a, e-2 a-3 c'-1 e' > % Am < g,-4 a, e-2 a-3 c'-1 e' > % Am/G < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > % F < fis,-2 a, d a-3 c'-1 fis'-4> % D/F# < g,-3 b,-2 d g b g'-4> % G < g,-3 b,-2 d g b f'-1> % G7 } >> </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/g f d:/fis g g:7 }} \new FretBoards { \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > < b,-2 g c'-1 e' > < a, e-2 a-3 c'-1 e' > < g,-4 a, e-2 a-3 c'-1 e' > < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > < fis,-2 a, d a-3 c'-1 fis'-4> < g,-3 b,-2 d g b g'-4> < g,-3 b,-2 d g b f'-1> } >> </score> : \new ChordNames { : die Akkordnamen werde separat über den Akkorddiagrammen erstellt. (Wie bei Liedern und Tabulaturen.) ; \new FretBoards { : stellt die Akkorde als Gitarrengriffe dar. ; \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 : vergrößert hier die Griffbilder um 150% ; \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot : schreibt die Ziffern für die Finger in die Kreise, und nicht am Rand des Griffbildes. ; \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white :stellt die Finger weiß, statt schwarz dar. ; \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape : richtet die Akkorde gemäß der Tabulatur aus, anstatt quer um Platz zu sparen. ; < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > : man trägt die Noten eines Akkordes von der tiefsten zur höchsten Note zwischen eckigen Klammern. Nach einem Bindestrich folgt der Fingersatz (1-4) ggf. Kann man die Saite angeben, auf der ein Ton erscheint soll. Man fügt die Saite nach einem Backslash (\) an. : < f,-1\6 c-3\5 f-4\4 a-2\3 c'-1\2 f'-1\1 > Dieses ist (nur) dann nötig, wenn Lilypond nicht weiß, auf welcher Saite er einen Ton darstellen soll. ; Tipp: sprich: "F ''(f,)'' mit der 1 ''(-1)'' auf der 6 ''(\6)''." "Mit" erinnert dich an das Minus und "auf" das de Ton auf der Saite 6 über dem Backslash steht. Offene (0) oder gedämpfte (X) Saiten und Barre-Finger (als Klammer) werden automatisch gesetzt. Die Akkorde nach dem Kommentarzeichen (%) dienen nur der Information der Autoren, um Akkorde einfacher kopieren zu können. == Eine Tabulatur == <syntaxhighlight lang="latex"> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Basslauf in C" encoder="cc-by-sa Wikibooks (mjchael)" } myKey = { \tempo 4 = 120 %Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" %% verschmilzt unterschiedliche Notenköpfe \mergeDifferentlyHeadedOn \clef "G_8" } myChords = \chordmode { c2 c:/b a:m a:m/g f d:7/f g g4:/a g:/b } myDiskant = { c8 g c' e' b, g c' e' | % 1 a,8 a c' e' g, a c' e' | % 2 f,8 a c' f' fis, a c' fis' | % 3 g,8 g b g' a, g b, g | % 4 Basis \mark "4x" } myBass = { c2 b, a, g, f, fis, g, a,4 b, } %% Layout \score { << \new ChordNames { \myChords } { %%Noten \new Staff << \myKey \mergeDifferentlyHeadedOn \repeat volta 4 \myDiskant \\ %% beachte: Wiederholungszeichen ist für Midi notwendig! \repeat volta 4 \myBass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \myDiskant \\ \myBass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \myDiskant \\ \repeat volta 4 \myBass >> %% Schluss c2 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm % DinA4 0 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Basslauf in C" encoder="cc-by-sa Wikibooks (mjchael)" } myKey = { \tempo 4 = 120 %Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" %% verschmilzt unterschiedliche Notenköpfe \mergeDifferentlyHeadedOn \clef "G_8" } myChords = \chordmode { c2 c:/b a:m a:m/g f d:7/f g g4:/a g:/b } myDiskant = { c8 g c' e' b, g c' e' | % 1 a,8 a c' e' g, a c' e' | % 2 f,8 a c' f' fis, a c' fis' | % 3 g,8 g b g' a, g b, g | % 4 Basis \mark "4x" } myBass = { c2 b, a, g, f, fis, g, a,4 b, } %% Layout \score { << \new ChordNames { \myChords } { %%Noten \new Staff << \myKey \mergeDifferentlyHeadedOn \repeat volta 4 \myDiskant \\ %% beachte: Wiederholungszeichen ist für Midi notwendig! \repeat volta 4 \myBass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \mergeDifferentlyHeadedOn \myDiskant \\ \myBass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \myDiskant \\ \repeat volta 4 \myBass >> %% Schluss c2 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm % DinA4 0 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> == Death Notes == <syntaxhighlight lang="latex"> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Zupfen mit Death Notes" encoder="mjchael" } myKey = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)" \clef "G_8" \tempo 4 = 170 %% Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major } clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} Diskant = { \clean r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C /B r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am/E r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F/A r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G/B \mark "4x" } Bass = { \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean f2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } % Layout \score { << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/e f f:/a g g:/b } } { %% Noten \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \Diskant \\ %% Beachte: Wiederholungszeichen im Bass ist für's Midi notwendig! \repeat volta 4 \Bass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { %% 2x Notenhälse bei ½ Noten verwirren. % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \Diskant \\ \Bass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \clef "G_8" \repeat volta 4 \Diskant \\ \repeat volta 4 \Bass >> <c,e g c' e'>1 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm %% Breite line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Zupfen mit Death Notes" encoder="mjchael" } myKey = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)" \clef "G_8" \tempo 4 = 170 %% Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major } clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} Diskant = { \clean r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C /B r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am/E r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F/A r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G/B \mark "4x" } Bass = { \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean f2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } % Layout \score { << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/e f f:/a g g:/b } } { %% Noten \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \Diskant \\ %% Beachte: Wiederholungszeichen im Bass ist für's Midi notwendig! \repeat volta 4 \Bass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { %% 2x Notenhälse bei ½ Noten verwirren. % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \Diskant \\ \Bass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \clef "G_8" \repeat volta 4 \Diskant \\ \repeat volta 4 \Bass >> <c,e g c' e'>1 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm %% Breite line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> <syntaxhighlight lang="latex"> \deadNote \deadNotesOn \deadNotesOff </syntaxhighlight> * <code>\deadNote</code> ändert einen einzelnen Notenkopf (allerdings nicht den Sound). * <code>\deadNotesOn</code> ändert alle folgenden Notenkopf. * <code>\deadNotesOff</code> setzt die Notenköpfe wieder zurück. <syntaxhighlight lang="latex"> clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} </syntaxhighlight> Setzt den Sound wieder zurück <syntaxhighlight lang="latex"> muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} </syntaxhighlight> Setzt vereinzelte Deth Notes. Möchtest du mehrere hintereinander, dann lösche das <code>\once</code>. <syntaxhighlight lang="latex"> ... \muted < g b g'> \clean < g b g'> ... \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } </syntaxhighlight> So kannst du recht einfach zwischen (vereinzelten) Death Notes und einer cleanen Gitarre hin und her schalten. ;Zur Erinnerung Vereinzelte Ziffern wiederholen noch einmal die vorangehende Note oder Akkord mit dem neuen Notenwert. <small>Danke an Malte und Harm6 vom [https://lilypondforum.de/index.php/topic,1412.html LilypondForum] bei der Hilfe mit dem Lilypond-Code.</small> == Einfache Skalen-Diagramme == Die Bunddiagramme sind ursprünglich für Akkorddiagramme über Noten gedacht. Doch wir können sie auch für Skalen gebrauchen. <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px; border:black solid 1px; "> ;F-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% oder %% 6-3-2 Saite-Bund-Intervall %% 4-o zeigt 4. Saite offen \fret-diagram #"s:3;f:1; 3-3-2;3-5-3;3-6-4; 4-3-6;4-5-7;4-6-1; 5-3-3;5-4-4;5-6-5; 6-3-7;6-4-1;6-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> </syntaxhighlight> ;Drei davon ergibt <div style="float:left; padding: 5px; border:black solid 1px; "> ;F-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \paper{ indent=0\mm line-width=120\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% 4-o zeigt 4. Saite offen \fret-diagram #"s:3;f:1; 3-3-2;3-5-3;3-6-4; 4-3-6;4-5-7;4-6-1; 5-3-3;5-4-4;5-6-5; 6-3-7;6-4-1;6-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:10px 5px; border:black solid 1px; "> ;Bb-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { \fret-diagram #"s:3;f:1; 2-4-2;2-6-3;2-7-4; 3-3-6;3-5-7;3-6-1; 4-3-3;4-4-4;4-6-5; 5-3-7;5-4-1;5-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:10px 5px; border:black solid 1px; "> ;D-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { \fret-diagram #"s:3;f:1; 1-4-2;1-6-3;1-7-4; 2-4-6;2-6-2;2-7-1; 3-3-3;3-4-4;3-6-5; 4-3-7;4-4-1;4-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px; border:black solid 1px; "> </syntaxhighlight> Die drei einzelnen Skalen wurden in je einen Div-Container gepackt, der sich automatisch je nach Medium (PC, Laptop, Handy, Druck) so anordnet, dass alle Skalen sichtbar sind. Sollte eine Skala über den rechten Rand der Homepage herausragen, so erfolgt ein automatischer Zeilenumbruch. ;Tipp :<code><div style="float:left; padding:{{rot|9px}} 5px; border:black solid 1px; "></code> Bei Umbruchfehlern kann der Innenabstand (padding) oben und unten (erster Wert) etwas vergrößert werden. <syntaxhighlight lang="latex"> \markup { \fret-diagram #"s:3;f:1; %% hier folgen die Finger } </syntaxhighlight> Das würde eigentlich ausreichen. Doch die Skala wäre hochkant. <syntaxhighlight lang="latex"> \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) </syntaxhighlight> modifiziert die Anzeige. * Die Bundangabe wird in römischen Ziffern (III statt 3 oder iii) angegeben. * Der Fingersatz wird innerhalb der Punkte dargestellt; alternativ wäre am Rand der Saiten. * Die Skala wird quer (landscape) und nicht hochkant angezeigt. <syntaxhighlight lang="latex"> %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% 4-o zeigt 4. Saite offen </syntaxhighlight> Die Kommentare sind gleichzeitig Gedächtnisstützen. Es empfiehlt sich, die Finger von der höchsten zu den tiefsten Saiten, und vom tiefsten zum höchsten Bund zu sortieren, und die Saiten durch Zeilenumbrüche zu trennen, damit man halbwegs den Überblick behält. In dem Beispiel oben nutze ich die Ziffern jedoch nicht für den Fingersatz (ZMRK = 1234) sondern für Intervalle (1=Prime, 2=Sekunde, 3=Terz...) <syntaxhighlight lang="latex"> {{clear}} </syntaxhighlight> Die Gruppe der Div-Container sollte mit der 'clear'-Vorlage abgeschlossen werden, damit der nachfolgende Text die Bilder nicht ungewollt umfließen. ;Quellen * [http://lilypond.web.fc2.com/v2.13.45/Documentation/notation/common-notation-for-fretted-strings.html#fret-diagram-markups Lilypond Doku (Fred-Diagram-Markups)] *[http://lilypond.web.fc2.com/v2.13.45/Documentation/notation/common-notation-for-fretted-strings.de.html#fret-diagram-markups ... auf deutsch] * [https://lilypond.org/doc/v2.23/Documentation/notation/instrument-specific-markup ... mehr Details] == Farbige Skalendiagramme == <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \column { %% Überschrift / Headline \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } \halign #CENTER { "C ionian (C shape) " } %% Aussehen / Look \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . #'landscape ) (finger-code . #'in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) %% Finger %% Saite Bund "Intervall" Farbe %% string fret "interval" color \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "3" black ) (place-fret 1 13 "4" yellow3 ) (place-fret 1 15 "5" darkgrey ) (place-fret 2 12 "j7" yellow3 ) (place-fret 2 13 "1" black ) (place-fret 2 15 "2" darkgreen ) (place-fret 3 12 "5" black ) (place-fret 3 14 "6" darkgreen ) (place-fret 4 12 "2" darkgreen ) (place-fret 4 14 "3" black ) (place-fret 4 15 "4" yellow3 ) (place-fret 5 12 "6" darkgreen ) (place-fret 5 14 "j7" yellow3 ) (place-fret 5 15 "2" black ) (place-fret 6 12 "3" black ) (place-fret 6 13 "4" yellow3 ) (place-fret 6 15 "5" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=80\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} </syntaxhighlight> ;ergibt <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \column { %% Überschrift / Headline \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } \halign #CENTER { "C ionian (C shape) " } %% Aussehen / Look \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . #'landscape ) (finger-code . #'in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) %% Finger %% Saite Bund "Intervall" Farbe %% string fret "interval" color \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "3" black ) (place-fret 1 13 "4" yellow3 ) (place-fret 1 15 "5" darkgrey ) (place-fret 2 12 "j7" yellow3 ) (place-fret 2 13 "1" black ) (place-fret 2 15 "2" darkgreen ) (place-fret 3 12 "5" black ) (place-fret 3 14 "6" darkgreen ) (place-fret 4 12 "2" darkgreen ) (place-fret 4 14 "3" black ) (place-fret 4 15 "4" yellow3 ) (place-fret 5 12 "6" darkgreen ) (place-fret 5 14 "j7" yellow3 ) (place-fret 5 15 "2" black ) (place-fret 6 12 "3" black ) (place-fret 6 13 "4" yellow3 ) (place-fret 6 15 "5" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=80\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} ;Box <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> ... </div> </syntaxhighlight> Zeichnet eine Box um das Griffbrettdiagram und lässt mehrere davon nebeneinander stehen. ; Zeilenumbruch :<code><nowiki>{{clear}}</nowiki></code> erzwingt einen Zeilenumbruch. ;Abstände der Box korrigieren :<code>padding:5px;</code> 5 Pixel Abstand zum Rand :<code>padding:5px 5px 13px 5px;</code> 5 Pixel oben, 5 Pixel rechts, 13 Pixel unten, 5 Pixel links<br>gleicht Abständen aus, wenn beispielsweise eine E-Saite leer bleibt. ; Bildüberschrift <syntaxhighlight lang="latex"> \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } </syntaxhighlight> Erzeugt, falls nötig, eine Überschrift. (Der Header-Block der Lieder wäre zu groß.) ;Finger :<code>(place-fret 6 7 "j7" yellow3 )</code> :Saite Bund "Bezeichnung" Farbe Die Bezeichnung ist eigentlich für den Fingersatz in Ziffern (1-4) ohne Anführungszeichen gedacht. Mit Anführungszeichen können auch konkrete Intervalle oder Notennamen genutzt werden. ;Tipp für die Farben *[https://lilypond.miraheze.org/wiki/Liste_der_X11_Farben lilypond•miraheze•org: Liste der X11 Farben] ;Breite des Griffdiagramm :<code>line-width=80\mm</code> Im Paper-Block muss ggf. angepasst werden, damit die Schrift und das Griffbrettdiagramm vollständig angezeigt wird. :<code>(fret-count . 3)</code> ggf. muss auch die Anzahl der Bünde angepasst werden. ; Konventionen aus den deutschen Wikibooks * Grundton (1) schwarz * Akkordtöne (3b)(3)(5) weiß/grau * Töne der Dur- (2)(6) und Moll-Pentatonik (4)(m7) grün * Funktionseinschränkende Töne in Dur (j7)(4) oder Moll (2)(6b) gelb<ref>Funktionseinschränkende Intervalle schließen eine Akkordfunktion aus.<br>Für einen besseren Kontrast wurde ein dunkles Gelb gewählt, dass etwas ins grünliche geht.</ref> * Funktionsbestimmende Töne wie die mixolydische Septime (7), die lydische Quarte (4#) die dorische Sexte (6) und die phrygische Sekunde (2b) orange<ref>Funktionsbestimmende Intervalle sind charakteristisch für die Akkordfunktion bzw. für den Modus.</ref> * Tritonus (5b) und bei Bedarf auch (4#), wenn es nicht die lydische Quarte ist. magenta * Alterationen wie beispielsweise (mj7), (9b) <ref>Alterationen: tonleiterfremde Intervalle, die keine Modulation oder Ausweichung sind, also die nicht natürlicherweisen in einer anderen Tonleiter ohne Vorzeichen vorkommen können.</ref> * Blue-Notes oder chromatische Durchgangstöne ohne funktionale Bedeutung blau * Finger ohne Funktion grau ohne Bezeichner mxx6jcbpif0qyln70qhb1pslmb4nyqb 1078574 1078573 2026-04-30T14:12:06Z Mjchael 1011 /* Gitarrengriffbilder */ Syntaxfix 1078574 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Kurs:Lilypond für Wikis/_Navi|Kurs:Lilypond für Wikis| {{:Kurs:Lilypond für Wikis/_Themen}}| img=LilyPond-logo-with-music.png|bg=#FEFEB6|border=#83A324|color=#83A324}} </noinclude> Der [[Kurs:Lilypond für Wikis: Schnelleinstieg|Schnelleinstieg]] wird als bekannt vorausgesetzt. == Gitarrengriffbilder == Lilypond verfügt standardmäßig über vordefinierte Gitarrenakkorde, die über eine externe Datei eingebunden werden kann.Das Score-Plugin unterstützt die Funktion nicht. Also muss man Akkordgriffbilder von Hand erstellen. <syntaxhighlight lang="latex"> <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/g f d:/fis g g:7 }} \new FretBoards { \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > % C < b,-2 g c'-1 e' > % C/B < a, e-2 a-3 c'-1 e' > % Am < g,-4 a, e-2 a-3 c'-1 e' > % Am/G < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > % F < fis,-2 a, d a-3 c'-1 fis'-4> % D/F# < g,-3 b,-2 d g b g'-4> % G < g,-3 b,-2 d g b f'-1> % G7 } >> </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score> << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/g f d:/fis g g:7 }} \new FretBoards { \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape < c-3 e-2 g c'-1 e' > < b,-2 g c'-1 e' > < a, e-2 a-3 c'-1 e' > < g,-4 a, e-2 a-3 c'-1 e' > < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > < fis,-2 a, d a-3 c'-1 fis'-4> < g,-3 b,-2 d g b g'-4> < g,-3 b,-2 d g b f'-1> } >> </score> ; \new ChordNames { : die Akkordnamen werde separat über den Akkorddiagrammen erstellt. (Wie bei Liedern und Tabulaturen.) ; \new FretBoards { : stellt die Akkorde als Gitarrengriffe dar. ; \override FretBoards.FretBoard.size = #'1.5 : vergrößert hier die Griffbilder um 150% ; \override FretBoard.fret-diagram-details.finger-code = #'in-dot : schreibt die Ziffern für die Finger in die Kreise, und nicht am Rand des Griffbildes. ; \override FretBoard.fret-diagram-details.dot-color = #'white :stellt die Finger weiß, statt schwarz dar. ; \override FretBoard.fret-diagram-details.orientation = #'landscape : richtet die Akkorde gemäß der Tabulatur aus, anstatt quer um Platz zu sparen. ; < f,-1 c-3 f-4 a-2 f'-1 > : man trägt die Noten eines Akkordes von der tiefsten zur höchsten Note zwischen eckigen Klammern. Nach einem Bindestrich folgt der Fingersatz (1-4) ggf. Kann man die Saite angeben, auf der ein Ton erscheint soll. Man fügt die Saite nach einem Backslash (\) an. : < f,-1\6 c-3\5 f-4\4 a-2\3 c'-1\2 f'-1\1 > Dieses ist (nur) dann nötig, wenn Lilypond nicht weiß, auf welcher Saite er einen Ton darstellen soll. ; Tipp: sprich: "F ''(f,)'' mit der 1 ''(-1)'' auf der 6 ''(\6)''." "Mit" erinnert dich an das Minus und "auf" das de Ton auf der Saite 6 über dem Backslash steht. Offene (0) oder gedämpfte (X) Saiten und Barre-Finger (als Klammer) werden automatisch gesetzt. Die Akkorde nach dem Kommentarzeichen (%) dienen nur der Information der Autoren, um Akkorde einfacher kopieren zu können. == Eine Tabulatur == <syntaxhighlight lang="latex"> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Basslauf in C" encoder="cc-by-sa Wikibooks (mjchael)" } myKey = { \tempo 4 = 120 %Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" %% verschmilzt unterschiedliche Notenköpfe \mergeDifferentlyHeadedOn \clef "G_8" } myChords = \chordmode { c2 c:/b a:m a:m/g f d:7/f g g4:/a g:/b } myDiskant = { c8 g c' e' b, g c' e' | % 1 a,8 a c' e' g, a c' e' | % 2 f,8 a c' f' fis, a c' fis' | % 3 g,8 g b g' a, g b, g | % 4 Basis \mark "4x" } myBass = { c2 b, a, g, f, fis, g, a,4 b, } %% Layout \score { << \new ChordNames { \myChords } { %%Noten \new Staff << \myKey \mergeDifferentlyHeadedOn \repeat volta 4 \myDiskant \\ %% beachte: Wiederholungszeichen ist für Midi notwendig! \repeat volta 4 \myBass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \myDiskant \\ \myBass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \myDiskant \\ \repeat volta 4 \myBass >> %% Schluss c2 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm % DinA4 0 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Basslauf in C" encoder="cc-by-sa Wikibooks (mjchael)" } myKey = { \tempo 4 = 120 %Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major \set Staff.midiInstrument = #"acoustic guitar (nylon)" %% verschmilzt unterschiedliche Notenköpfe \mergeDifferentlyHeadedOn \clef "G_8" } myChords = \chordmode { c2 c:/b a:m a:m/g f d:7/f g g4:/a g:/b } myDiskant = { c8 g c' e' b, g c' e' | % 1 a,8 a c' e' g, a c' e' | % 2 f,8 a c' f' fis, a c' fis' | % 3 g,8 g b g' a, g b, g | % 4 Basis \mark "4x" } myBass = { c2 b, a, g, f, fis, g, a,4 b, } %% Layout \score { << \new ChordNames { \myChords } { %%Noten \new Staff << \myKey \mergeDifferentlyHeadedOn \repeat volta 4 \myDiskant \\ %% beachte: Wiederholungszeichen ist für Midi notwendig! \repeat volta 4 \myBass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \mergeDifferentlyHeadedOn \myDiskant \\ \myBass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \myDiskant \\ \repeat volta 4 \myBass >> %% Schluss c2 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm % DinA4 0 210mm - 10mm Rand - 20mm Lochrand = 180mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> == Death Notes == <syntaxhighlight lang="latex"> <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Zupfen mit Death Notes" encoder="mjchael" } myKey = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)" \clef "G_8" \tempo 4 = 170 %% Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major } clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} Diskant = { \clean r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C /B r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am/E r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F/A r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G/B \mark "4x" } Bass = { \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean f2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } % Layout \score { << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/e f f:/a g g:/b } } { %% Noten \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \Diskant \\ %% Beachte: Wiederholungszeichen im Bass ist für's Midi notwendig! \repeat volta 4 \Bass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { %% 2x Notenhälse bei ½ Noten verwirren. % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \Diskant \\ \Bass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \clef "G_8" \repeat volta 4 \Diskant \\ \repeat volta 4 \Bass >> <c,e g c' e'>1 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm %% Breite line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> </syntaxhighlight> ; ergibt <score sound="1" raw="1"> \version "2.20.0" \header { title="Zupfen mit Death Notes" encoder="mjchael" } myKey = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)" \clef "G_8" \tempo 4 = 170 %% Tempo ausblenden \set Score.tempoHideNote = ##t \time 4/4 \key c \major } clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} Diskant = { \clean r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C r4 < g c' e'> \muted < g c' e'> \clean < g c' e'> | % C /B r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am r4 < a c' e'> \muted < a c' e'> \clean < a c' e'> | % Am/E r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F r4 < a c' f'> \muted < a c' f'> \clean < a c' f'> | % F/A r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G r4 < g b g'> \muted < g b g'> \clean < g b g'> | % G/B \mark "4x" } Bass = { \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean f2 \muted 2 \clean a,2 \muted 2 \clean g,2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } % Layout \score { << \new ChordNames { \chordmode { c1 c:/b a:m a:m/e f f:/a g g:/b } } { %% Noten \new Staff << \myKey \repeat volta 4 \Diskant \\ %% Beachte: Wiederholungszeichen im Bass ist für's Midi notwendig! \repeat volta 4 \Bass >> } %% Tabulatur \new TabStaff { %% 2x Notenhälse bei ½ Noten verwirren. % \tabFullNotation \repeat volta 4 << \Diskant \\ \Bass >> } >> \layout {} } %% Midiausgabe mit Wiederholungen, ohne Akkorde \score { << \unfoldRepeats { \new Staff << \myKey \clef "G_8" \repeat volta 4 \Diskant \\ \repeat volta 4 \Bass >> <c,e g c' e'>1 } >> \midi {} } %% unterdrückt im raw="1"-Modus das DinA4-Format. \paper { indent=0\mm %% Breite line-width=100\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f % bookTitleMarkup=##f scoreTitleMarkup=##f } </score> <syntaxhighlight lang="latex"> \deadNote \deadNotesOn \deadNotesOff </syntaxhighlight> * <code>\deadNote</code> ändert einen einzelnen Notenkopf (allerdings nicht den Sound). * <code>\deadNotesOn</code> ändert alle folgenden Notenkopf. * <code>\deadNotesOff</code> setzt die Notenköpfe wieder zurück. <syntaxhighlight lang="latex"> clean = {\set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (clean)"} </syntaxhighlight> Setzt den Sound wieder zurück <syntaxhighlight lang="latex"> muted = { \set Staff.midiInstrument = #"electric guitar (muted)" \once \deadNotesOn} </syntaxhighlight> Setzt vereinzelte Deth Notes. Möchtest du mehrere hintereinander, dann lösche das <code>\once</code>. <syntaxhighlight lang="latex"> ... \muted < g b g'> \clean < g b g'> ... \clean c2 \muted 2 \clean b,2 \muted 2 } </syntaxhighlight> So kannst du recht einfach zwischen (vereinzelten) Death Notes und einer cleanen Gitarre hin und her schalten. ;Zur Erinnerung Vereinzelte Ziffern wiederholen noch einmal die vorangehende Note oder Akkord mit dem neuen Notenwert. <small>Danke an Malte und Harm6 vom [https://lilypondforum.de/index.php/topic,1412.html LilypondForum] bei der Hilfe mit dem Lilypond-Code.</small> == Einfache Skalen-Diagramme == Die Bunddiagramme sind ursprünglich für Akkorddiagramme über Noten gedacht. Doch wir können sie auch für Skalen gebrauchen. <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px; border:black solid 1px; "> ;F-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% oder %% 6-3-2 Saite-Bund-Intervall %% 4-o zeigt 4. Saite offen \fret-diagram #"s:3;f:1; 3-3-2;3-5-3;3-6-4; 4-3-6;4-5-7;4-6-1; 5-3-3;5-4-4;5-6-5; 6-3-7;6-4-1;6-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> </syntaxhighlight> ;Drei davon ergibt <div style="float:left; padding: 5px; border:black solid 1px; "> ;F-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \paper{ indent=0\mm line-width=120\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% 4-o zeigt 4. Saite offen \fret-diagram #"s:3;f:1; 3-3-2;3-5-3;3-6-4; 4-3-6;4-5-7;4-6-1; 5-3-3;5-4-4;5-6-5; 6-3-7;6-4-1;6-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:10px 5px; border:black solid 1px; "> ;Bb-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { \fret-diagram #"s:3;f:1; 2-4-2;2-6-3;2-7-4; 3-3-6;3-5-7;3-6-1; 4-3-3;4-4-4;4-6-5; 5-3-7;5-4-1;5-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> <div style="float:left; padding:10px 5px; border:black solid 1px; "> ;D-Form <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) { \fret-diagram #"s:3;f:1; 1-4-2;1-6-3;1-7-4; 2-4-6;2-6-2;2-7-1; 3-3-3;3-4-4;3-6-5; 4-3-7;4-4-1;4-6-2;" } \paper{ indent=0\mm line-width=180\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px; border:black solid 1px; "> </syntaxhighlight> Die drei einzelnen Skalen wurden in je einen Div-Container gepackt, der sich automatisch je nach Medium (PC, Laptop, Handy, Druck) so anordnet, dass alle Skalen sichtbar sind. Sollte eine Skala über den rechten Rand der Homepage herausragen, so erfolgt ein automatischer Zeilenumbruch. ;Tipp :<code><div style="float:left; padding:{{rot|9px}} 5px; border:black solid 1px; "></code> Bei Umbruchfehlern kann der Innenabstand (padding) oben und unten (erster Wert) etwas vergrößert werden. <syntaxhighlight lang="latex"> \markup { \fret-diagram #"s:3;f:1; %% hier folgen die Finger } </syntaxhighlight> Das würde eigentlich ausreichen. Doch die Skala wäre hochkant. <syntaxhighlight lang="latex"> \override #'(fret-diagram-details . ( (number-type . roman-upper) (finger-code . in-dot) (orientation . landscape))) </syntaxhighlight> modifiziert die Anzeige. * Die Bundangabe wird in römischen Ziffern (III statt 3 oder iii) angegeben. * Der Fingersatz wird innerhalb der Punkte dargestellt; alternativ wäre am Rand der Saiten. * Die Skala wird quer (landscape) und nicht hochkant angezeigt. <syntaxhighlight lang="latex"> %% s:3 = 3x so groß %% f:1 zeigt Finger als Kreise %% f:2 zeigt Finger neben den Saiten %% 6-3-2 Saite-Bund-Finger %% 4-o zeigt 4. Saite offen </syntaxhighlight> Die Kommentare sind gleichzeitig Gedächtnisstützen. Es empfiehlt sich, die Finger von der höchsten zu den tiefsten Saiten, und vom tiefsten zum höchsten Bund zu sortieren, und die Saiten durch Zeilenumbrüche zu trennen, damit man halbwegs den Überblick behält. In dem Beispiel oben nutze ich die Ziffern jedoch nicht für den Fingersatz (ZMRK = 1234) sondern für Intervalle (1=Prime, 2=Sekunde, 3=Terz...) <syntaxhighlight lang="latex"> {{clear}} </syntaxhighlight> Die Gruppe der Div-Container sollte mit der 'clear'-Vorlage abgeschlossen werden, damit der nachfolgende Text die Bilder nicht ungewollt umfließen. ;Quellen * [http://lilypond.web.fc2.com/v2.13.45/Documentation/notation/common-notation-for-fretted-strings.html#fret-diagram-markups Lilypond Doku (Fred-Diagram-Markups)] *[http://lilypond.web.fc2.com/v2.13.45/Documentation/notation/common-notation-for-fretted-strings.de.html#fret-diagram-markups ... auf deutsch] * [https://lilypond.org/doc/v2.23/Documentation/notation/instrument-specific-markup ... mehr Details] == Farbige Skalendiagramme == <syntaxhighlight lang="latex"> <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \column { %% Überschrift / Headline \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } \halign #CENTER { "C ionian (C shape) " } %% Aussehen / Look \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . ( (orientation . #'landscape ) (finger-code . #'in-dot ) (dot-color . #'black) (dot-radius . 0.4) (dot-position . 0.5) (top-fret-thickness . 6) (fret-count . 3) (number-type . roman-upper) )) %% Finger %% Saite Bund "Intervall" Farbe %% string fret "interval" color \fret-diagram-verbose #'( (place-fret 1 12 "3" black ) (place-fret 1 13 "4" yellow3 ) (place-fret 1 15 "5" darkgrey ) (place-fret 2 12 "j7" yellow3 ) (place-fret 2 13 "1" black ) (place-fret 2 15 "2" darkgreen ) (place-fret 3 12 "5" black ) (place-fret 3 14 "6" darkgreen ) (place-fret 4 12 "2" darkgreen ) (place-fret 4 14 "3" black ) (place-fret 4 15 "4" yellow3 ) (place-fret 5 12 "6" darkgreen ) (place-fret 5 14 "j7" yellow3 ) (place-fret 5 15 "2" black ) (place-fret 6 12 "3" black ) (place-fret 6 13 "4" yellow3 ) (place-fret 6 15 "5" darkgrey ) ) }} \paper{ indent=0\mm line-width=80\mm oddFooterMarkup=##f oddHeaderMarkup=##f bookTitleMarkup = ##f scoreTitleMarkup = ##f} </score> </div> {{clear}} </syntaxhighlight> ;ergibt <div style="float:left; padding:5px;margin:5px; border:black solid 1px; "> <score raw="1"> \version "2.14.2" \markup \column { %% Überschrift / Headline \halign #CENTER { \bold "C-ionisch (C-Form) " } \halign #CENTER { "C ionian (C shape) " } %% Aussehen / Look \override #'(size . 3.0) { \override #'(fret-diagram-details . 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(Der Header-Block der Lieder wäre zu groß.) ;Finger :<code>(place-fret 6 7 "j7" yellow3 )</code> :Saite Bund "Bezeichnung" Farbe Die Bezeichnung ist eigentlich für den Fingersatz in Ziffern (1-4) ohne Anführungszeichen gedacht. Mit Anführungszeichen können auch konkrete Intervalle oder Notennamen genutzt werden. ;Tipp für die Farben *[https://lilypond.miraheze.org/wiki/Liste_der_X11_Farben lilypond•miraheze•org: Liste der X11 Farben] ;Breite des Griffdiagramm :<code>line-width=80\mm</code> Im Paper-Block muss ggf. angepasst werden, damit die Schrift und das Griffbrettdiagramm vollständig angezeigt wird. :<code>(fret-count . 3)</code> ggf. muss auch die Anzahl der Bünde angepasst werden. ; Konventionen aus den deutschen Wikibooks * Grundton (1) schwarz * Akkordtöne (3b)(3)(5) weiß/grau * Töne der Dur- (2)(6) und Moll-Pentatonik (4)(m7) grün * Funktionseinschränkende Töne in Dur (j7)(4) oder Moll (2)(6b) gelb<ref>Funktionseinschränkende Intervalle schließen eine Akkordfunktion aus.<br>Für einen besseren Kontrast wurde ein dunkles Gelb gewählt, dass etwas ins grünliche geht.</ref> * Funktionsbestimmende Töne wie die mixolydische Septime (7), die lydische Quarte (4#) die dorische Sexte (6) und die phrygische Sekunde (2b) orange<ref>Funktionsbestimmende Intervalle sind charakteristisch für die Akkordfunktion bzw. für den Modus.</ref> * Tritonus (5b) und bei Bedarf auch (4#), wenn es nicht die lydische Quarte ist. magenta * Alterationen wie beispielsweise (mj7), (9b) <ref>Alterationen: tonleiterfremde Intervalle, die keine Modulation oder Ausweichung sind, also die nicht natürlicherweisen in einer anderen Tonleiter ohne Vorzeichen vorkommen können.</ref> * Blue-Notes oder chromatische Durchgangstöne ohne funktionale Bedeutung blau * Finger ohne Funktion grau ohne Bezeichner d45mhakzbxc9dhpg3ywgactuuawpt2v 0 156759 1078587 1005342 2026-05-01T06:06:53Z Bert Niehaus 20843 /* VR-Headset mit Smartphone */ 1078587 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Lernressource behandelt das [[räumliches Sehen|räumliche Sehen]] unter dem Blickwinkel der Kontruktion von eigenen stereoskopischen Bildern mit zwei selbst aufgenommenen Einzelbildern von einem Objekt. === Grundprinzip === Weil die wahrgenommenen Bilder über beide Augen Unterschiede aufweisen, ist es möglich räumliche Tiefe wahrzunehmen. Die Unterschiede entstehen durch leicht horizontal versetzte Position beider Augen. Um diese räumliche Wahrnehmung technisch zu simulieren, muss man beiden Augen unterschiedliche Bildinformationen mit genau dieser horizontal versetzten Position der Kamera liefern. === WebApp - Editor4Stereoscopy=== Für diese Lernressource wurde eine [[w:en:AppLSAC|WebApp]] erstellt, die als [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy Editor für Stereoscopie]<ref>Bert Niehaus (2025) Editor for Stereoscopy - Github Repository: https://www.github.com/niebert/editor4stereoscopy - WebApp URL: https://niebert.github.io/editor4stereoscopy (created 2025-04-01, accessed 2025-04-01)</ref> Lernenden/Studierenden bei der Erstellung von Stereoskopie-Bildern unterstützen soll. Durch die Bereitstellung oder Aufnahme von Bildern für das linke bzw. ein um den Augenabstand horizontal nach rechts verschobene Aufnahme für das rechte Auge kann man mit der WebApp [[Anaglyph 3D]] oder Stereoscopybilder erzeugen, die das [[räumliches Sehen|räumliche Sehen]] als Lerngegenstand behandeln. In dieser Lernressource im Detail behandelt werden. == Lernziel == [[File:Tree trunk stereo.png|thumb|Lernziel: Erzeugung eines stereographischen Bildes aus zwei räumlich versetzen Einzelaufnahmen unter Vewendung von OpenSource z.B. LibreOffice Draw und [[c:File:Stereo Image Headset v2.png|LR-Maske für linkes und rechtes Auge]] - Abbildung erzeugt für die Wikiversity-Lerneinheit]] [[File:Stereoscopy - Cameras mounted on tripod with eye distance.jpg|thumb|Stereoskopie - Zwei Kameras auf einem Stativ mit Augenabstand als Distanz zwischen den Objektiven]] [[File:Bench align stereoscopy.gif|thumb|Stereoskopiebild und transparente überlappende Positionierung der Einzelbilder für das rechte und linke Auge]] [[File:Bench anaglyph - Wikiversity Anaglyph.png|thumb|Falls Sie kein VR-Headset besitzen, können Sie eine 3D-Situation auch mit einem Rot-Grün-Brille betrachten]] In dieser Lernressource wird als Lernziel ein dreidimensional wahrnehmbares Bild erzeugt (u.a. unter Verwendung eine [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoskopie-WebApp stereoscopy4wiki]<ref name="stereoscopy4wiki">Bert Niehaus (2021) Stereoscopy WebApp - Github-WebApp https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ - Repository: https://www.github.com/niebert/editor4stereoscopy (accessed 2024/06/24)</ref>. Dabei werden aus zwei getrennten Standardbildern ein einziges stereoskopischen Bild erzeugt. Der 3D-Effekt ersteht durch die leicht horizont versetzten Einzelbilder. Die räumliche Versetzung erfolgt im Augenabstand, erzeugt so die dreidimenionale Wahrnehmung, wenn diese Einzelbilder getrennt dem linken und rechten Auge als Bildinformation angeboten werden. Mit einem VR-Headset können diese 3D-Szene angezeigt werden. Alle Methoden sollten mit kostengünstiger IT-Infrastruktur repliziert werden oder mit einem Smartphone und Anwendung OpenSource Software erstellt werden können. == Hauptschritte == * '''([[/Linkes und rechtes Auge/]])''' Erstellen Sie zwei verschiedene Bilder für das linke Auge und für das rechte Auge und lernen, wie man die Bilder mit verschiedenen Methoden erstellt. * '''([[/Positionierung der Einzelbilder/]])''' Bilder für Stereoskopiebild für das linke und rechte Auge positionieren mit [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoscopy4Wiki-App]<ref name="stereoscopy4wiki" />. * die beiden Bilder in ein Bild kombinieren und eine Maske zum Bild hinzufügen (z.B. [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoscopy4Wiki-App]<ref name="stereoscopy4wiki" />). * Erweitern Sie das Konzept zur Aufnahme von 3D-Videos mit zwei Action-Cams, die mit einer parallelen Ansicht in der Entfernung Ihrer Augen montiert sind * '''([[/Geschichte/]])''' Die geschichtliche Entwicklung der Stereoskopie behandelt die zeitliche Entwicklung und soll die Lernenden dabei unterstützten moderne 3D-Ansätze im Kontext der räumlichen Wahrnehmung nachvollziehen zu können. * '''([[/Geometrie/]])''' Verwendung der Stereoskopie in der [[Geogebra/Perspektivisches Zeichnen|Geometrie]] und die Fehlerkorrektur in den Einzelbilder bei freihändiger horizontal verschobener Aufnahme der Einzelbilder für das rechte und linke Auge (siehe auch [[w:de:Querdisparation|Querdisparation]]). == Einführung == '''Stereoskopie''' (auch '''stereoskop''' oder '''stereo-Bildgebung''') ist eine Technik zur Erstellung oder Verbesserung der [[w:de:Raumwahrnehmung|Raumwahrnehmung]] in einem Bild mittels [[w:de:Stereoskopisches Sehen|stereoskopischem Sehen]]<ref>Der Logische Ansatz, 3D-Bilder zu sehen. www.vision3d.com von Optometrists Network. 2009-08-21</ref> Das Wort ''[[w:de:Stereoskopie|Stereoskopie]]'' entstammt der griechische Sprache ''στερεός' (stereos) für ''fest, solide' und ''σκοπέω'' (skopeō) für ''sehen, betrachten''.<ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dstereo%2Fs στερεός Tufts.edu], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon', auf Perseus Digital Library</ref><ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dskope%2Fw σκοπέω], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref> Jedes stereoskopische Bild wird als '''Stereogramm''' bezeichnet. Ursprünglich bezeichnete Stereogramme ein paar Stereobilder, die mit einem [[w:de:Stereoskop|Stereoskop]] betrachtet werden konnten. === VR-Headset mit Smartphone === Wenn Sie ein VR-Headset für Smartphones haben, stecken Sie das Smartphone ein und testen Sie die stereoskopischen Bilder in diesem Headset. Für diesen Lernressourcen wurde eine [https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ Web-App ''Stereoscopy4Broswer'' auf GitHub]<ref name="stereoscopy4browser">Bert Niehaus (2024) Stereoscopy4Broswer - Web-App für Wikiversity-Lernressource - URL: https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ - Repository: https://github.com/niebert/stereoscopy4browser - Letzter Zugriff: 2024-11-30</ref> erstellt, um die stereoskopischen Bilder in VR-Headsets für Smartphones in einem geteilten Bildschirm mit einer immersiven Vollbildschirm-Anzeige zu testen. === Einzelbilder für das rechte und linke Auge === Die meisten stereoskopischen Methoden präsentieren zwei Offset-Bilder getrennt zum linken und rechten Auge des Betrachters. Diese zweidimensionalen Bilder werden dann im Gehirn kombiniert und die dreidimensionale Wahrnehmung entsteht durch die [[w:de:Querdisparation|Querdisparation]] der der beiden Augen. Diese Technik unterscheidet sich von [[w:de:3D-Modellierung|3D-Darstellung]], wobei dabei . === Demobilder für rechtes und linkes Auge === {| class="wikitable" |- ! Bild für das linke Auge !! Bild für das rechte Auge |- | | [[File:Stereoscopy_bench1_left_eye.jpg|thumb|400px]] || [[File:Stereoscopy_bench1_right_eye.jpg|thumb|400px]] |} === Ausrichtung der Einzelbilder === Die Ausrichtung der Einzelbilder ist ggf. notwendig, wenn die Einzelbilder freihändig mit eine einzelnen Kamera und einer horizontalen Verschiebung der Einzelbilder entstanden sind. Die folgende Animation zeigt, die Positionierung der Einzelbilder für einen einzeln Punkt an der Vorderkante des Tisches vorgenommen wird. Durch einen festen Bezugspunkt in beiden Einzelbilder an der gleichen Stelle liegt, werden die Einzelbilder ausgerichtt. [[Datei:Bench align stereoscopy.gif|350px|mini|zentriert|Ausrichtung der Einzelbilder]] === Aufgabe für Studierende === Wählen Sie als Punkt, der deckungsgleich in beiden Bildern gewählt wurde, * einmal eine Punkt im Vordergrund des Bildes (z.B. Ecke des Holztisches) und * in einem zweiten stereoskopischen Bild eine Bezugspunkt in Hintergrund (z.B. einen Baum in Hintergrund, den Sie in beiden Bilder gut identfizieren können) Betrachten Sie dann die beiden stereoskopischen Bilder in einem VR-Headset und als [[Anaglyph 3D|Anaglyph-3D-Bild]]. Welche Unterschiede können Sie in der räumlichen Wahrnehmung der Objekte erkennen und welche Konsequenzen ziehen Sie daraus für die Wahl des Bezugspunktes. === Stereoskopiebild für ein VR-Headset === [[Datei:Bench stereoscopy.png|450px|mini|zentriert|Holzbank im Wald als Stereoskopiebild]] === Ansehen des Stereoskopiebildes in einem VR-Headset === In dem folgenden Beispiel wird das Stereoskopiebild in einem VR-Headset angezeigt, in dem ein Smartphone als Bildschirm einlegt wird. Der geteilt Bildschirm (Splitscreen) sorgt für die getrennten Bilder für das rechte und linke Auge. [[File:VR headset with smartphone and stereoscopy image.jpg|450px|thumb|VR-Headset mit Smartphone außerhalb mit Stereoskopiebild]] [[File:VR headset insert smartphone stereoscopy image.jpg|450px|thumb|center|VR headset mit eingeschobenem Smartphone zur rämlichen Vorstellung des Stereoskopiebildes]] == Aufgaben für Studierende == [[Datei:3D view mask stereoscopy.png|mini|3D-Stereoskopie-Maske]] [[Datei:Mtm-05277e 3d.png|mini|3D-Visualisierung eines digitalen Höhenmodells am Beispiel einer Schlucht auf dem Mars]] * '''([[3D-Modellierung]])''' Analysieren Sie, wie die 3D-Modellierung mit AR.js und Aframe das Prinzip der Stereoskopie nutzt, um eine 3D-Ansicht für eine Szene zu erzeugen. * '''([[Stereoskopie/Positionierung_der_Einzelbilder|Positionierung der Einzelbilder für die Augen]])''' Schließen Sie schnell nacheinander das rechte und das linke Auge mit einem Zeigefinger oder Stift im Blickfeld. Vergleichen Sie die Bilder, die Sie mit nur einem Auge sehen. Können Sie für Objekte in unterschiedliche Entfernungen identifizieren, wie die sich in Position in Abhängigkeit von der Entfernung bewegen. Erklären Sie, warum die Evolution die Augen mehr auf einer Seite des Kopfes "platziert" hat, und damit eine schlechtere Rundumsicht zu haben (vergleiche Position der Augen bei Fluchttieren z.B. Pferden oder Tieren, die Beute jagen z.B. Eulen). * '''(LibreOffice Draw - LR-Maske)''' Starten Sie die LibreOffice Demo-Datei mit der LR-Maske (linke Augenmaske) und positionieren Sie die beiden Bilder für das linke Auge unter den linken Bereich und das Bild für das rechte Auge auf der rechten Seite des [[w:de:LibreOffice Draw|LibreOffice-Draw-Bildes]]. * '''([[Fernerkundung|Stereoskopie mit 2 Satelliten]])''' Untersuchen Sie im Kontext der [[Fernerkundung]], wie zwei in einem festen Abstand die Erde umkreisende Satelliten zur Erdbeobachtung für die Stereoskopie und [[Photogrammetrie]] eingesetzt werden können (z.B. [[w:de:TerraSAR-X|TerraSAR-X]] und [[w:de:TanDEM-X|TanDEM-X]]<ref>Faller, N., Weber, M., & GmbH, I. (2007, July). TerraSAR-X and TanDEM-X: Revolution in spaceborne radar. In 2007 IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium (pp. 4924-4928). IEEE. </ref>). Welche technischen Aspekte sind dabei zu beachten, um aus zwei räumliche versetzten Bildinformationen ein [[w:de:digitales Höhenmodell|digitales Höhenmodell]] zu generieren? == Siehe auch == * [[w:de:Raumwahrnehmung|Raumwahrnehmung]] * [[Anaglyph 3D]] * [[3D-Modellierung]] * [[Photogrammetrie]] * [[Geogebra/Perspektivisches Zeichnen|Fluchtpunktperspektive]] * [[Räumliches Sehen]] == Quellennachweis == <references/> <noinclude> [[en:Stereoscopy]] </noinclude> d0gx1689eivm9ggt01dkpkugd7k9ki4 1078588 1078587 2026-05-01T06:14:11Z Bert Niehaus 20843 /* Ansehen des Stereoskopiebildes in einem VR-Headset */ 1078588 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Lernressource behandelt das [[räumliches Sehen|räumliche Sehen]] unter dem Blickwinkel der Kontruktion von eigenen stereoskopischen Bildern mit zwei selbst aufgenommenen Einzelbildern von einem Objekt. === Grundprinzip === Weil die wahrgenommenen Bilder über beide Augen Unterschiede aufweisen, ist es möglich räumliche Tiefe wahrzunehmen. Die Unterschiede entstehen durch leicht horizontal versetzte Position beider Augen. Um diese räumliche Wahrnehmung technisch zu simulieren, muss man beiden Augen unterschiedliche Bildinformationen mit genau dieser horizontal versetzten Position der Kamera liefern. === WebApp - Editor4Stereoscopy=== Für diese Lernressource wurde eine [[w:en:AppLSAC|WebApp]] erstellt, die als [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy Editor für Stereoscopie]<ref>Bert Niehaus (2025) Editor for Stereoscopy - Github Repository: https://www.github.com/niebert/editor4stereoscopy - WebApp URL: https://niebert.github.io/editor4stereoscopy (created 2025-04-01, accessed 2025-04-01)</ref> Lernenden/Studierenden bei der Erstellung von Stereoskopie-Bildern unterstützen soll. Durch die Bereitstellung oder Aufnahme von Bildern für das linke bzw. ein um den Augenabstand horizontal nach rechts verschobene Aufnahme für das rechte Auge kann man mit der WebApp [[Anaglyph 3D]] oder Stereoscopybilder erzeugen, die das [[räumliches Sehen|räumliche Sehen]] als Lerngegenstand behandeln. In dieser Lernressource im Detail behandelt werden. == Lernziel == [[File:Tree trunk stereo.png|thumb|Lernziel: Erzeugung eines stereographischen Bildes aus zwei räumlich versetzen Einzelaufnahmen unter Vewendung von OpenSource z.B. LibreOffice Draw und [[c:File:Stereo Image Headset v2.png|LR-Maske für linkes und rechtes Auge]] - Abbildung erzeugt für die Wikiversity-Lerneinheit]] [[File:Stereoscopy - Cameras mounted on tripod with eye distance.jpg|thumb|Stereoskopie - Zwei Kameras auf einem Stativ mit Augenabstand als Distanz zwischen den Objektiven]] [[File:Bench align stereoscopy.gif|thumb|Stereoskopiebild und transparente überlappende Positionierung der Einzelbilder für das rechte und linke Auge]] [[File:Bench anaglyph - Wikiversity Anaglyph.png|thumb|Falls Sie kein VR-Headset besitzen, können Sie eine 3D-Situation auch mit einem Rot-Grün-Brille betrachten]] In dieser Lernressource wird als Lernziel ein dreidimensional wahrnehmbares Bild erzeugt (u.a. unter Verwendung eine [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoskopie-WebApp stereoscopy4wiki]<ref name="stereoscopy4wiki">Bert Niehaus (2021) Stereoscopy WebApp - Github-WebApp https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ - Repository: https://www.github.com/niebert/editor4stereoscopy (accessed 2024/06/24)</ref>. Dabei werden aus zwei getrennten Standardbildern ein einziges stereoskopischen Bild erzeugt. Der 3D-Effekt ersteht durch die leicht horizont versetzten Einzelbilder. Die räumliche Versetzung erfolgt im Augenabstand, erzeugt so die dreidimenionale Wahrnehmung, wenn diese Einzelbilder getrennt dem linken und rechten Auge als Bildinformation angeboten werden. Mit einem VR-Headset können diese 3D-Szene angezeigt werden. Alle Methoden sollten mit kostengünstiger IT-Infrastruktur repliziert werden oder mit einem Smartphone und Anwendung OpenSource Software erstellt werden können. == Hauptschritte == * '''([[/Linkes und rechtes Auge/]])''' Erstellen Sie zwei verschiedene Bilder für das linke Auge und für das rechte Auge und lernen, wie man die Bilder mit verschiedenen Methoden erstellt. * '''([[/Positionierung der Einzelbilder/]])''' Bilder für Stereoskopiebild für das linke und rechte Auge positionieren mit [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoscopy4Wiki-App]<ref name="stereoscopy4wiki" />. * die beiden Bilder in ein Bild kombinieren und eine Maske zum Bild hinzufügen (z.B. [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoscopy4Wiki-App]<ref name="stereoscopy4wiki" />). * Erweitern Sie das Konzept zur Aufnahme von 3D-Videos mit zwei Action-Cams, die mit einer parallelen Ansicht in der Entfernung Ihrer Augen montiert sind * '''([[/Geschichte/]])''' Die geschichtliche Entwicklung der Stereoskopie behandelt die zeitliche Entwicklung und soll die Lernenden dabei unterstützten moderne 3D-Ansätze im Kontext der räumlichen Wahrnehmung nachvollziehen zu können. * '''([[/Geometrie/]])''' Verwendung der Stereoskopie in der [[Geogebra/Perspektivisches Zeichnen|Geometrie]] und die Fehlerkorrektur in den Einzelbilder bei freihändiger horizontal verschobener Aufnahme der Einzelbilder für das rechte und linke Auge (siehe auch [[w:de:Querdisparation|Querdisparation]]). == Einführung == '''Stereoskopie''' (auch '''stereoskop''' oder '''stereo-Bildgebung''') ist eine Technik zur Erstellung oder Verbesserung der [[w:de:Raumwahrnehmung|Raumwahrnehmung]] in einem Bild mittels [[w:de:Stereoskopisches Sehen|stereoskopischem Sehen]]<ref>Der Logische Ansatz, 3D-Bilder zu sehen. www.vision3d.com von Optometrists Network. 2009-08-21</ref> Das Wort ''[[w:de:Stereoskopie|Stereoskopie]]'' entstammt der griechische Sprache ''στερεός' (stereos) für ''fest, solide' und ''σκοπέω'' (skopeō) für ''sehen, betrachten''.<ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dstereo%2Fs στερεός Tufts.edu], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon', auf Perseus Digital Library</ref><ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dskope%2Fw σκοπέω], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref> Jedes stereoskopische Bild wird als '''Stereogramm''' bezeichnet. Ursprünglich bezeichnete Stereogramme ein paar Stereobilder, die mit einem [[w:de:Stereoskop|Stereoskop]] betrachtet werden konnten. === VR-Headset mit Smartphone === Wenn Sie ein VR-Headset für Smartphones haben, stecken Sie das Smartphone ein und testen Sie die stereoskopischen Bilder in diesem Headset. Für diesen Lernressourcen wurde eine [https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ Web-App ''Stereoscopy4Broswer'' auf GitHub]<ref name="stereoscopy4browser">Bert Niehaus (2024) Stereoscopy4Broswer - Web-App für Wikiversity-Lernressource - URL: https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ - Repository: https://github.com/niebert/stereoscopy4browser - Letzter Zugriff: 2024-11-30</ref> erstellt, um die stereoskopischen Bilder in VR-Headsets für Smartphones in einem geteilten Bildschirm mit einer immersiven Vollbildschirm-Anzeige zu testen. === Einzelbilder für das rechte und linke Auge === Die meisten stereoskopischen Methoden präsentieren zwei Offset-Bilder getrennt zum linken und rechten Auge des Betrachters. Diese zweidimensionalen Bilder werden dann im Gehirn kombiniert und die dreidimensionale Wahrnehmung entsteht durch die [[w:de:Querdisparation|Querdisparation]] der der beiden Augen. Diese Technik unterscheidet sich von [[w:de:3D-Modellierung|3D-Darstellung]], wobei dabei . === Demobilder für rechtes und linkes Auge === {| class="wikitable" |- ! Bild für das linke Auge !! Bild für das rechte Auge |- | | [[File:Stereoscopy_bench1_left_eye.jpg|thumb|400px]] || [[File:Stereoscopy_bench1_right_eye.jpg|thumb|400px]] |} === Ausrichtung der Einzelbilder === Die Ausrichtung der Einzelbilder ist ggf. notwendig, wenn die Einzelbilder freihändig mit eine einzelnen Kamera und einer horizontalen Verschiebung der Einzelbilder entstanden sind. Die folgende Animation zeigt, die Positionierung der Einzelbilder für einen einzeln Punkt an der Vorderkante des Tisches vorgenommen wird. Durch einen festen Bezugspunkt in beiden Einzelbilder an der gleichen Stelle liegt, werden die Einzelbilder ausgerichtt. [[Datei:Bench align stereoscopy.gif|350px|mini|zentriert|Ausrichtung der Einzelbilder]] === Aufgabe für Studierende === Wählen Sie als Punkt, der deckungsgleich in beiden Bildern gewählt wurde, * einmal eine Punkt im Vordergrund des Bildes (z.B. Ecke des Holztisches) und * in einem zweiten stereoskopischen Bild eine Bezugspunkt in Hintergrund (z.B. einen Baum in Hintergrund, den Sie in beiden Bilder gut identfizieren können) Betrachten Sie dann die beiden stereoskopischen Bilder in einem VR-Headset und als [[Anaglyph 3D|Anaglyph-3D-Bild]]. Welche Unterschiede können Sie in der räumlichen Wahrnehmung der Objekte erkennen und welche Konsequenzen ziehen Sie daraus für die Wahl des Bezugspunktes. === Stereoskopiebild für ein VR-Headset === [[Datei:Bench stereoscopy.png|450px|mini|zentriert|Holzbank im Wald als Stereoskopiebild]] === Ansehen des Stereoskopiebildes in einem VR-Headset === In dem folgenden Beispiel wird das Stereoskopiebild in einem VR-Headset angezeigt, in dem ein Smartphone als Bildschirm einlegt wird. Der geteilt Bildschirm (Splitscreen) sorgt für die getrennten Bilder für das rechte und linke Auge. ==== Größe Smartphone-Display ==== Die Displaygröße von Smartphones ist unterschiedlich. Daher kann es sein, dass man bei Einsetzen des Smartphones in das VR-Headset nicht der ganze Bildschirmbereich sichtbar ist. Mit der Webapplikation <tt>[https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ stereoscopy4browser]</tt><ref name="stereoscopy4browser"/> kann man den Projektionsbereich des stereoskopischen Bildes so verkleinern, dass beide Bilder der Augen von Linsen des VR-Headsets vollständig erfasst werden (Einstellung Prozentangabe der Verkleinerung. ==== Smartphone als Monitor im VR-Headset ==== In dem VR-Headset in der Abbildung ist nur ein Linsensystem (ohne Display) verbaut. Der Smartphonebilschirm wird als Monitor vor die Linsen in das Headset geschoben. So bekommen beide Augen jeweils unterschiedliche Bildinformationen. [[File:VR headset with smartphone and stereoscopy image.jpg|450px|thumb|VR-Headset mit Smartphone außerhalb mit Stereoskopiebild]] [[File:VR headset insert smartphone stereoscopy image.jpg|450px|thumb|center|VR headset mit eingeschobenem Smartphone zur rämlichen Vorstellung des Stereoskopiebildes]] == Aufgaben für Studierende == [[Datei:3D view mask stereoscopy.png|mini|3D-Stereoskopie-Maske]] [[Datei:Mtm-05277e 3d.png|mini|3D-Visualisierung eines digitalen Höhenmodells am Beispiel einer Schlucht auf dem Mars]] * '''([[3D-Modellierung]])''' Analysieren Sie, wie die 3D-Modellierung mit AR.js und Aframe das Prinzip der Stereoskopie nutzt, um eine 3D-Ansicht für eine Szene zu erzeugen. * '''([[Stereoskopie/Positionierung_der_Einzelbilder|Positionierung der Einzelbilder für die Augen]])''' Schließen Sie schnell nacheinander das rechte und das linke Auge mit einem Zeigefinger oder Stift im Blickfeld. Vergleichen Sie die Bilder, die Sie mit nur einem Auge sehen. Können Sie für Objekte in unterschiedliche Entfernungen identifizieren, wie die sich in Position in Abhängigkeit von der Entfernung bewegen. Erklären Sie, warum die Evolution die Augen mehr auf einer Seite des Kopfes "platziert" hat, und damit eine schlechtere Rundumsicht zu haben (vergleiche Position der Augen bei Fluchttieren z.B. Pferden oder Tieren, die Beute jagen z.B. Eulen). * '''(LibreOffice Draw - LR-Maske)''' Starten Sie die LibreOffice Demo-Datei mit der LR-Maske (linke Augenmaske) und positionieren Sie die beiden Bilder für das linke Auge unter den linken Bereich und das Bild für das rechte Auge auf der rechten Seite des [[w:de:LibreOffice Draw|LibreOffice-Draw-Bildes]]. * '''([[Fernerkundung|Stereoskopie mit 2 Satelliten]])''' Untersuchen Sie im Kontext der [[Fernerkundung]], wie zwei in einem festen Abstand die Erde umkreisende Satelliten zur Erdbeobachtung für die Stereoskopie und [[Photogrammetrie]] eingesetzt werden können (z.B. [[w:de:TerraSAR-X|TerraSAR-X]] und [[w:de:TanDEM-X|TanDEM-X]]<ref>Faller, N., Weber, M., & GmbH, I. (2007, July). TerraSAR-X and TanDEM-X: Revolution in spaceborne radar. In 2007 IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium (pp. 4924-4928). IEEE. </ref>). Welche technischen Aspekte sind dabei zu beachten, um aus zwei räumliche versetzten Bildinformationen ein [[w:de:digitales Höhenmodell|digitales Höhenmodell]] zu generieren? == Siehe auch == * [[w:de:Raumwahrnehmung|Raumwahrnehmung]] * [[Anaglyph 3D]] * [[3D-Modellierung]] * [[Photogrammetrie]] * [[Geogebra/Perspektivisches Zeichnen|Fluchtpunktperspektive]] * [[Räumliches Sehen]] == Quellennachweis == <references/> <noinclude> [[en:Stereoscopy]] </noinclude> p2jiq1x2dhkh48s05kdbk5te7rfn1w2 1078589 1078588 2026-05-01T06:14:43Z Bert Niehaus 20843 /* Größe Smartphone-Display */ 1078589 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Lernressource behandelt das [[räumliches Sehen|räumliche Sehen]] unter dem Blickwinkel der Kontruktion von eigenen stereoskopischen Bildern mit zwei selbst aufgenommenen Einzelbildern von einem Objekt. === Grundprinzip === Weil die wahrgenommenen Bilder über beide Augen Unterschiede aufweisen, ist es möglich räumliche Tiefe wahrzunehmen. Die Unterschiede entstehen durch leicht horizontal versetzte Position beider Augen. Um diese räumliche Wahrnehmung technisch zu simulieren, muss man beiden Augen unterschiedliche Bildinformationen mit genau dieser horizontal versetzten Position der Kamera liefern. === WebApp - Editor4Stereoscopy=== Für diese Lernressource wurde eine [[w:en:AppLSAC|WebApp]] erstellt, die als [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy Editor für Stereoscopie]<ref>Bert Niehaus (2025) Editor for Stereoscopy - Github Repository: https://www.github.com/niebert/editor4stereoscopy - WebApp URL: https://niebert.github.io/editor4stereoscopy (created 2025-04-01, accessed 2025-04-01)</ref> Lernenden/Studierenden bei der Erstellung von Stereoskopie-Bildern unterstützen soll. Durch die Bereitstellung oder Aufnahme von Bildern für das linke bzw. ein um den Augenabstand horizontal nach rechts verschobene Aufnahme für das rechte Auge kann man mit der WebApp [[Anaglyph 3D]] oder Stereoscopybilder erzeugen, die das [[räumliches Sehen|räumliche Sehen]] als Lerngegenstand behandeln. In dieser Lernressource im Detail behandelt werden. == Lernziel == [[File:Tree trunk stereo.png|thumb|Lernziel: Erzeugung eines stereographischen Bildes aus zwei räumlich versetzen Einzelaufnahmen unter Vewendung von OpenSource z.B. LibreOffice Draw und [[c:File:Stereo Image Headset v2.png|LR-Maske für linkes und rechtes Auge]] - Abbildung erzeugt für die Wikiversity-Lerneinheit]] [[File:Stereoscopy - Cameras mounted on tripod with eye distance.jpg|thumb|Stereoskopie - Zwei Kameras auf einem Stativ mit Augenabstand als Distanz zwischen den Objektiven]] [[File:Bench align stereoscopy.gif|thumb|Stereoskopiebild und transparente überlappende Positionierung der Einzelbilder für das rechte und linke Auge]] [[File:Bench anaglyph - Wikiversity Anaglyph.png|thumb|Falls Sie kein VR-Headset besitzen, können Sie eine 3D-Situation auch mit einem Rot-Grün-Brille betrachten]] In dieser Lernressource wird als Lernziel ein dreidimensional wahrnehmbares Bild erzeugt (u.a. unter Verwendung eine [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoskopie-WebApp stereoscopy4wiki]<ref name="stereoscopy4wiki">Bert Niehaus (2021) Stereoscopy WebApp - Github-WebApp https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ - Repository: https://www.github.com/niebert/editor4stereoscopy (accessed 2024/06/24)</ref>. Dabei werden aus zwei getrennten Standardbildern ein einziges stereoskopischen Bild erzeugt. Der 3D-Effekt ersteht durch die leicht horizont versetzten Einzelbilder. Die räumliche Versetzung erfolgt im Augenabstand, erzeugt so die dreidimenionale Wahrnehmung, wenn diese Einzelbilder getrennt dem linken und rechten Auge als Bildinformation angeboten werden. Mit einem VR-Headset können diese 3D-Szene angezeigt werden. Alle Methoden sollten mit kostengünstiger IT-Infrastruktur repliziert werden oder mit einem Smartphone und Anwendung OpenSource Software erstellt werden können. == Hauptschritte == * '''([[/Linkes und rechtes Auge/]])''' Erstellen Sie zwei verschiedene Bilder für das linke Auge und für das rechte Auge und lernen, wie man die Bilder mit verschiedenen Methoden erstellt. * '''([[/Positionierung der Einzelbilder/]])''' Bilder für Stereoskopiebild für das linke und rechte Auge positionieren mit [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoscopy4Wiki-App]<ref name="stereoscopy4wiki" />. * die beiden Bilder in ein Bild kombinieren und eine Maske zum Bild hinzufügen (z.B. [https://niebert.github.io/editor4stereoscopy/ Stereoscopy4Wiki-App]<ref name="stereoscopy4wiki" />). * Erweitern Sie das Konzept zur Aufnahme von 3D-Videos mit zwei Action-Cams, die mit einer parallelen Ansicht in der Entfernung Ihrer Augen montiert sind * '''([[/Geschichte/]])''' Die geschichtliche Entwicklung der Stereoskopie behandelt die zeitliche Entwicklung und soll die Lernenden dabei unterstützten moderne 3D-Ansätze im Kontext der räumlichen Wahrnehmung nachvollziehen zu können. * '''([[/Geometrie/]])''' Verwendung der Stereoskopie in der [[Geogebra/Perspektivisches Zeichnen|Geometrie]] und die Fehlerkorrektur in den Einzelbilder bei freihändiger horizontal verschobener Aufnahme der Einzelbilder für das rechte und linke Auge (siehe auch [[w:de:Querdisparation|Querdisparation]]). == Einführung == '''Stereoskopie''' (auch '''stereoskop''' oder '''stereo-Bildgebung''') ist eine Technik zur Erstellung oder Verbesserung der [[w:de:Raumwahrnehmung|Raumwahrnehmung]] in einem Bild mittels [[w:de:Stereoskopisches Sehen|stereoskopischem Sehen]]<ref>Der Logische Ansatz, 3D-Bilder zu sehen. www.vision3d.com von Optometrists Network. 2009-08-21</ref> Das Wort ''[[w:de:Stereoskopie|Stereoskopie]]'' entstammt der griechische Sprache ''στερεός' (stereos) für ''fest, solide' und ''σκοπέω'' (skopeō) für ''sehen, betrachten''.<ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dstereo%2Fs στερεός Tufts.edu], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon', auf Perseus Digital Library</ref><ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dskope%2Fw σκοπέω], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref> Jedes stereoskopische Bild wird als '''Stereogramm''' bezeichnet. Ursprünglich bezeichnete Stereogramme ein paar Stereobilder, die mit einem [[w:de:Stereoskop|Stereoskop]] betrachtet werden konnten. === VR-Headset mit Smartphone === Wenn Sie ein VR-Headset für Smartphones haben, stecken Sie das Smartphone ein und testen Sie die stereoskopischen Bilder in diesem Headset. Für diesen Lernressourcen wurde eine [https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ Web-App ''Stereoscopy4Broswer'' auf GitHub]<ref name="stereoscopy4browser">Bert Niehaus (2024) Stereoscopy4Broswer - Web-App für Wikiversity-Lernressource - URL: https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ - Repository: https://github.com/niebert/stereoscopy4browser - Letzter Zugriff: 2024-11-30</ref> erstellt, um die stereoskopischen Bilder in VR-Headsets für Smartphones in einem geteilten Bildschirm mit einer immersiven Vollbildschirm-Anzeige zu testen. === Einzelbilder für das rechte und linke Auge === Die meisten stereoskopischen Methoden präsentieren zwei Offset-Bilder getrennt zum linken und rechten Auge des Betrachters. Diese zweidimensionalen Bilder werden dann im Gehirn kombiniert und die dreidimensionale Wahrnehmung entsteht durch die [[w:de:Querdisparation|Querdisparation]] der der beiden Augen. Diese Technik unterscheidet sich von [[w:de:3D-Modellierung|3D-Darstellung]], wobei dabei . === Demobilder für rechtes und linkes Auge === {| class="wikitable" |- ! Bild für das linke Auge !! Bild für das rechte Auge |- | | [[File:Stereoscopy_bench1_left_eye.jpg|thumb|400px]] || [[File:Stereoscopy_bench1_right_eye.jpg|thumb|400px]] |} === Ausrichtung der Einzelbilder === Die Ausrichtung der Einzelbilder ist ggf. notwendig, wenn die Einzelbilder freihändig mit eine einzelnen Kamera und einer horizontalen Verschiebung der Einzelbilder entstanden sind. Die folgende Animation zeigt, die Positionierung der Einzelbilder für einen einzeln Punkt an der Vorderkante des Tisches vorgenommen wird. Durch einen festen Bezugspunkt in beiden Einzelbilder an der gleichen Stelle liegt, werden die Einzelbilder ausgerichtt. [[Datei:Bench align stereoscopy.gif|350px|mini|zentriert|Ausrichtung der Einzelbilder]] === Aufgabe für Studierende === Wählen Sie als Punkt, der deckungsgleich in beiden Bildern gewählt wurde, * einmal eine Punkt im Vordergrund des Bildes (z.B. Ecke des Holztisches) und * in einem zweiten stereoskopischen Bild eine Bezugspunkt in Hintergrund (z.B. einen Baum in Hintergrund, den Sie in beiden Bilder gut identfizieren können) Betrachten Sie dann die beiden stereoskopischen Bilder in einem VR-Headset und als [[Anaglyph 3D|Anaglyph-3D-Bild]]. Welche Unterschiede können Sie in der räumlichen Wahrnehmung der Objekte erkennen und welche Konsequenzen ziehen Sie daraus für die Wahl des Bezugspunktes. === Stereoskopiebild für ein VR-Headset === [[Datei:Bench stereoscopy.png|450px|mini|zentriert|Holzbank im Wald als Stereoskopiebild]] === Ansehen des Stereoskopiebildes in einem VR-Headset === In dem folgenden Beispiel wird das Stereoskopiebild in einem VR-Headset angezeigt, in dem ein Smartphone als Bildschirm einlegt wird. Der geteilt Bildschirm (Splitscreen) sorgt für die getrennten Bilder für das rechte und linke Auge. ==== Größe Smartphone-Display ==== Die Displaygröße von Smartphones ist unterschiedlich. Daher kann es sein, dass man bei Einsetzen des Smartphones in das VR-Headset nicht der ganze Bildschirmbereich sichtbar ist. Mit der Webapplikation <tt>[https://niebert.github.io/stereoscopy4browser/ stereoscopy4browser]</tt><ref name="stereoscopy4browser"/> kann man den Projektionsbereich des stereoskopischen Bildes so verkleinern, dass beide Bilder der Augen von Linsen des VR-Headsets vollständig erfasst werden (Einstellung Prozentangabe der Skalierung). ==== Smartphone als Monitor im VR-Headset ==== In dem VR-Headset in der Abbildung ist nur ein Linsensystem (ohne Display) verbaut. Der Smartphonebilschirm wird als Monitor vor die Linsen in das Headset geschoben. So bekommen beide Augen jeweils unterschiedliche Bildinformationen. [[File:VR headset with smartphone and stereoscopy image.jpg|450px|thumb|VR-Headset mit Smartphone außerhalb mit Stereoskopiebild]] [[File:VR headset insert smartphone stereoscopy image.jpg|450px|thumb|center|VR headset mit eingeschobenem Smartphone zur rämlichen Vorstellung des Stereoskopiebildes]] == Aufgaben für Studierende == [[Datei:3D view mask stereoscopy.png|mini|3D-Stereoskopie-Maske]] [[Datei:Mtm-05277e 3d.png|mini|3D-Visualisierung eines digitalen Höhenmodells am Beispiel einer Schlucht auf dem Mars]] * '''([[3D-Modellierung]])''' Analysieren Sie, wie die 3D-Modellierung mit AR.js und Aframe das Prinzip der Stereoskopie nutzt, um eine 3D-Ansicht für eine Szene zu erzeugen. * '''([[Stereoskopie/Positionierung_der_Einzelbilder|Positionierung der Einzelbilder für die Augen]])''' Schließen Sie schnell nacheinander das rechte und das linke Auge mit einem Zeigefinger oder Stift im Blickfeld. Vergleichen Sie die Bilder, die Sie mit nur einem Auge sehen. Können Sie für Objekte in unterschiedliche Entfernungen identifizieren, wie die sich in Position in Abhängigkeit von der Entfernung bewegen. Erklären Sie, warum die Evolution die Augen mehr auf einer Seite des Kopfes "platziert" hat, und damit eine schlechtere Rundumsicht zu haben (vergleiche Position der Augen bei Fluchttieren z.B. Pferden oder Tieren, die Beute jagen z.B. Eulen). * '''(LibreOffice Draw - LR-Maske)''' Starten Sie die LibreOffice Demo-Datei mit der LR-Maske (linke Augenmaske) und positionieren Sie die beiden Bilder für das linke Auge unter den linken Bereich und das Bild für das rechte Auge auf der rechten Seite des [[w:de:LibreOffice Draw|LibreOffice-Draw-Bildes]]. * '''([[Fernerkundung|Stereoskopie mit 2 Satelliten]])''' Untersuchen Sie im Kontext der [[Fernerkundung]], wie zwei in einem festen Abstand die Erde umkreisende Satelliten zur Erdbeobachtung für die Stereoskopie und [[Photogrammetrie]] eingesetzt werden können (z.B. [[w:de:TerraSAR-X|TerraSAR-X]] und [[w:de:TanDEM-X|TanDEM-X]]<ref>Faller, N., Weber, M., & GmbH, I. (2007, July). TerraSAR-X and TanDEM-X: Revolution in spaceborne radar. In 2007 IEEE International Geoscience and Remote Sensing Symposium (pp. 4924-4928). IEEE. </ref>). Welche technischen Aspekte sind dabei zu beachten, um aus zwei räumliche versetzten Bildinformationen ein [[w:de:digitales Höhenmodell|digitales Höhenmodell]] zu generieren? == Siehe auch == * [[w:de:Raumwahrnehmung|Raumwahrnehmung]] * [[Anaglyph 3D]] * [[3D-Modellierung]] * [[Photogrammetrie]] * [[Geogebra/Perspektivisches Zeichnen|Fluchtpunktperspektive]] * [[Räumliches Sehen]] == Quellennachweis == <references/> <noinclude> [[en:Stereoscopy]] </noinclude> 59e61syjj35e9kuu89j81t2vsk6gr8r 0 160390 1078563 1078021 2026-04-30T12:14:25Z C.Koltzenburg 13981 /* 1. */ 1078563 wikitext text/x-wiki Siehe zum Beispiel auch: [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] = Tipps für das Schreibtraining = '''Fünf Schritte''' (ohne ChatGPT) == 1. == Wenn auf dem ersten Blatt oben Stichworte zu schreiben sind, denken Sie beim Schreiben des Berichts NICHT an Ihre ganzen Sätze in der PatV, sondern schreiben Sie oben nur Stichworte (bitte extra üben!). <br/> Der Stichwortstil gehört zum schriftlichen, formellen C1 Med Deutsch, das Sie im Bericht zeigen sollen. <br/> Wiederholen Sie außer dem Namen Ihrer Patientin im Bericht nichts von dem, was oben in Stichworten steht (Effizienz). <br/> (Die Angaben aus den Stichworten üben Sie dann für die Patient*innenvorstellung in ganzen Sätzen zu sprechen - davon aber nur das, was für Ihre VD relevant ist!). == 2. == Schreiben Sie '''mit Timer''' und schreiben Sie immer '''nur 20 Minuten lang''', damit Sie wissen, wie weit Sie kommen (denn in der FSP haben Sie keine Minute länger Zeit). <br/> Am besten versuchen Sie, schon in 15 Minuten damit fertig zu sein, damit Sie noch Zeit haben, Ihren Text zu überprüfen und sich ggf. auf dem Blatt mit den Notizen aus dem Anamnesegespräch Markierungen für die Patientenvorstellung zu machen (denn ablesen dürfen Sie im Arzt-Arzt-Gespräch nichts, sondern auf Ihrem Blatt aus dem Anamnesegespräch nur kurz nach Stichworten suchen). == 3. == Arbeiten Sie an Ihren Texten. 3a. Trainieren Sie, '''immer effizientere Formulierungen''' zu nutzen. 3b. '''Analysieren Sie Ihre Fehler''' und überlegen Sie, ob Sie die Korrekturen verstehen. Fragen Sie nach, wenn Sie Fragen haben. == 4. == Machen Sie sich in der Trainingsphase eine '''Checkliste Ihrer häufigsten Fehler''' und prüfen Sie alles anhand dieser mentalen Checkliste, '''bevor''' Sie den Bericht zur Korrektur geben. (Herzlichen Dank im Voraus ;-) == 5. == Erstellen Sie von Ihrem Bericht '''eine fehlerfreie Version'''. Und wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Sie die Korrekturen verstanden haben: Fragen Sie nach, bevor Sie es üben ;-) 5a. Bei Stichworten oben in Ihrem Bericht: Sehen Sie es sich genau an! Wo ist ein Stichwort ohne Verb richtig, wo ohne Personalpronomen? 5b. Bei Stichworten oben in Ihrem Bericht: Nutzen Sie das richtige Datenformat, denn es muss im Detail normgerecht sein. (Am besten üben Sie das richtige Datenformat gleich für Ihre Notizen während des Anamnesegesprächs.) 5c. Die ganzen Sätze üben Sie am besten einzeln, Satz für Satz und fehlerfrei. Vielleicht lesen Sie sich einen Satz einmal laut vor, schreiben ihn dann auswendig von Hand und vergleichen es anschließend. Für den nächsten Bericht wieder bei Schritt 1 beginnen :) oyf9kqvh9dmxhpaby789sel70f9ci8f 1078564 1078563 2026-04-30T12:20:45Z C.Koltzenburg 13981 /* Tipps für das Schreibtraining */ 1078564 wikitext text/x-wiki Siehe zum Beispiel auch: [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] = Tipps für das Schreibtraining = '''Fünf Schritte''' In Teil 2 verfassen Sie einen Anamnesebericht. Das ist wie ein Arztbrief, aber ohne Anrede (Adresse) und ohne Grußformel am Schluss, vor allem aber ohne den Abschnitt Epikrise! == 0. == Planen Sie Ihr Training genau: Wählen Sie zuerst einfache Fälle aus, zu denen Sie schon genügend Wortschatz haben. Falls Sie die erste Version mit KI erstellen wollen, ist es wichtig, 1 Tag später eine weitere Version ohne Hilfsmittel zu schreiben. Denn sonst können Sie ja nicht wissen, ob die Antworten der Hilfsmittel für Sie sinnvoll waren: In der Prüfung haben Sie ja nur sich und Ihren Kopf dabei :) == 1. == Auf dem ersten Blatt sollen die Angaben nur in Stichworten geschrieben werden. Denken Sie beim Schreiben des Berichts NICHT an Ihre ganzen Sätze in der PatV, sondern schreiben Sie oben nur Stichworte (bitte extra üben!). <br/> Der Stichwortstil gehört zum schriftlichen, formellen C1 Med Deutsch, das Sie im Bericht zeigen sollen. <br/> Wiederholen Sie außer dem Namen Ihrer Patientin im Bericht nichts von dem, was oben in Stichworten steht (Effizienz). <br/> (Die Angaben aus den Stichworten üben Sie dann für die Patient*innenvorstellung in ganzen Sätzen zu sprechen - davon aber nur das, was für Ihre VD relevant ist!). == 2. == Schreiben Sie '''mit Timer''' und schreiben Sie immer '''nur 20 Minuten lang''', damit Sie wissen, wie weit Sie kommen (denn in der FSP haben Sie keine Minute länger Zeit). <br/> Am besten versuchen Sie, schon in 15 Minuten damit fertig zu sein, damit Sie noch Zeit haben, Ihren Text zu überprüfen und sich ggf. auf dem Blatt mit den Notizen aus dem Anamnesegespräch Markierungen für die Patientenvorstellung zu machen (denn ablesen dürfen Sie im Arzt-Arzt-Gespräch nichts, sondern auf Ihrem Blatt aus dem Anamnesegespräch nur kurz nach Stichworten suchen). == 3. == Arbeiten Sie an Ihren Texten. 3a. Trainieren Sie, '''immer effizientere Formulierungen''' zu nutzen. 3b. '''Analysieren Sie Ihre Fehler''' und überlegen Sie, ob Sie die Korrekturen verstehen. Fragen Sie nach, wenn Sie Fragen haben. == 4. == Machen Sie sich in der Trainingsphase eine '''Checkliste Ihrer häufigsten Fehler''' und prüfen Sie alles anhand dieser mentalen Checkliste, '''bevor''' Sie den Bericht zur Korrektur geben. (Herzlichen Dank im Voraus ;-) == 5. == Erstellen Sie von Ihrem Bericht '''eine fehlerfreie Version'''. Und wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Sie die Korrekturen verstanden haben: Fragen Sie nach, bevor Sie es üben ;-) 5a. Bei Stichworten oben in Ihrem Bericht: Sehen Sie es sich genau an! Wo ist ein Stichwort ohne Verb richtig, wo ohne Personalpronomen? 5b. Bei Stichworten oben in Ihrem Bericht: Nutzen Sie das richtige Datenformat, denn es muss im Detail normgerecht sein. (Am besten üben Sie das richtige Datenformat gleich für Ihre Notizen während des Anamnesegesprächs.) 5c. Die ganzen Sätze üben Sie am besten einzeln, Satz für Satz und fehlerfrei. Vielleicht lesen Sie sich einen Satz einmal laut vor, schreiben ihn dann auswendig von Hand und vergleichen es anschließend. Für den nächsten Bericht wieder bei Schritt 1 beginnen :) s3if4jatso6uozia87fy73jusde6u1e 1078566 1078564 2026-04-30T12:21:41Z C.Koltzenburg 13981 /* Tipps für das Schreibtraining */ 1078566 wikitext text/x-wiki Siehe zum Beispiel auch: [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] = Tipps für das Schreibtraining = '''Fünf Schritte''' In Teil 2 verfassen Sie einen Anamnesebericht. Das ist wie ein Arztbrief, aber ohne Anrede (Adresse) und ohne Grußformel am Schluss, vor allem aber ohne den Abschnitt Epikrise! == 0. == Planen Sie Ihr Training genau: Wählen Sie zuerst einfache Fälle aus, zu denen Sie schon genügend Wortschatz haben. Falls Sie die erste Version mit KI erstellen wollen, ist es wichtig, 1 Tag später eine weitere Version ohne Hilfsmittel zu schreiben. Denn sonst können Sie ja nicht wissen, ob die Antworten der Hilfsmittel für Sie sinnvoll waren: In der Prüfung haben Sie ja nur sich und Ihren Kopf dabei :) Und Sie wissen ja selbst, dass es auf die Dauer sehr frustrierend ist, nicht genug zu können. Also müssen Sie gut für sich sorgen und in kleinen Paketen lernen, damit Sie Fortschritte sehen. == 1. == Auf dem ersten Blatt sollen die Angaben nur in Stichworten geschrieben werden. Denken Sie beim Schreiben des Berichts NICHT an Ihre ganzen Sätze in der PatV, sondern schreiben Sie oben nur Stichworte (bitte extra üben!). <br/> Der Stichwortstil gehört zum schriftlichen, formellen C1 Med Deutsch, das Sie im Bericht zeigen sollen. <br/> Wiederholen Sie außer dem Namen Ihrer Patientin im Bericht nichts von dem, was oben in Stichworten steht (Effizienz). <br/> (Die Angaben aus den Stichworten üben Sie dann für die Patient*innenvorstellung in ganzen Sätzen zu sprechen - davon aber nur das, was für Ihre VD relevant ist!). == 2. == Schreiben Sie '''mit Timer''' und schreiben Sie immer '''nur 20 Minuten lang''', damit Sie wissen, wie weit Sie kommen (denn in der FSP haben Sie keine Minute länger Zeit). <br/> Am besten versuchen Sie, schon in 15 Minuten damit fertig zu sein, damit Sie noch Zeit haben, Ihren Text zu überprüfen und sich ggf. auf dem Blatt mit den Notizen aus dem Anamnesegespräch Markierungen für die Patientenvorstellung zu machen (denn ablesen dürfen Sie im Arzt-Arzt-Gespräch nichts, sondern auf Ihrem Blatt aus dem Anamnesegespräch nur kurz nach Stichworten suchen). == 3. == Arbeiten Sie an Ihren Texten. 3a. Trainieren Sie, '''immer effizientere Formulierungen''' zu nutzen. 3b. '''Analysieren Sie Ihre Fehler''' und überlegen Sie, ob Sie die Korrekturen verstehen. Fragen Sie nach, wenn Sie Fragen haben. == 4. == Machen Sie sich in der Trainingsphase eine '''Checkliste Ihrer häufigsten Fehler''' und prüfen Sie alles anhand dieser mentalen Checkliste, '''bevor''' Sie den Bericht zur Korrektur geben. (Herzlichen Dank im Voraus ;-) == 5. == Erstellen Sie von Ihrem Bericht '''eine fehlerfreie Version'''. Und wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Sie die Korrekturen verstanden haben: Fragen Sie nach, bevor Sie es üben ;-) 5a. Bei Stichworten oben in Ihrem Bericht: Sehen Sie es sich genau an! Wo ist ein Stichwort ohne Verb richtig, wo ohne Personalpronomen? 5b. Bei Stichworten oben in Ihrem Bericht: Nutzen Sie das richtige Datenformat, denn es muss im Detail normgerecht sein. (Am besten üben Sie das richtige Datenformat gleich für Ihre Notizen während des Anamnesegesprächs.) 5c. Die ganzen Sätze üben Sie am besten einzeln, Satz für Satz und fehlerfrei. Vielleicht lesen Sie sich einen Satz einmal laut vor, schreiben ihn dann auswendig von Hand und vergleichen es anschließend. Für den nächsten Bericht wieder bei Schritt 1 beginnen :) dsjruwudjfse7qxig2yp94fsp4s3u6k 0 168221 1078614 1078535 2026-05-01T08:07:48Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Weg im topologischen Vektorraum */ 1078614 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] l6kvv0qf0ool6qeff8g4rf8j9j7zg3d 1078615 1078614 2026-05-01T08:09:08Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078615 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] * [[Weg (Mathematik)]] 89fe6z72lxzobcmfvr6c09gma66q3e0 1078616 1078615 2026-05-01T08:10:15Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078616 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Aus der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] sind Wege <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> stetige Abbildungen von einem Intervall <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> in die komplexen Zahlen. Diese Grundidee existiert in der mehrdimensionalen reellen Analysis unter dem Begriff "Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math>. In dieser Lerneinheit wird diese Grundidee auf Wertbereiche von Wegen ausgedehnt, die [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] sind. == Definition - Weg im topologischen Vektorraum == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Ein Weg <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in ein Vektorraum ist eine [[Stetigkeit|stetige Abbildung]] bzgl. der Vektorraumtopologie <math>\mathcal{T}</math>. <span id="Spur"></span> == Definition - Spur eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Die Spur eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Bildmenge von <math>\gamma</math> in <math>V</math> wie folgt definiert: :<math> Spur(\gamma) := \{\gamma(t) \in V \ : \ t \in [a,b]\} </math> <span id="Graph"></span> == Definition - Graph eines Weges == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein [[topologischer Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. Der Graph eines Weges <math>\gamma : [a,b]\to V</math> in einem Vektorraum ist als Teilmenge des Kreuzproduktes von <math>[a,b] \times V</math> wie folgt definiert: :<math> Graph(\gamma) := \{(t,\gamma(t)) \in [a,b]\times V \ : \ t \in [a,b]\} </math> == Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges == Sei <math>\gamma : [a,b] \to V</math> ein Weg in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>v_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>v_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=v_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=v_{_E}</math>. == Beispiel - Weg in Funktionenräumen == Einen Weg <math>\gamma : [\alpha,\beta] \to V</math>in einem Funktionenraum kann man z.B. als [[Konvexkombination]] von zwei Funktionen auffassen. Das Intervall des Definitionsbereiches vom Weg <math>[\alpha,\beta] \subset \mathbb{R}</math> anders bezeichnet werden, da <math>[a,b]</math> hier als Definitionsbereich der Funktionen im Funktionenraum aufgefasst wird. === Definition der Funktionen === Z.B. seien <math>f,g \in V:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>, so entsteht mit <math>\lambda_1, \lambda_2 \in [0,1]</math> und <math>\lambda_1 + \lambda_2=1</math> eine neue Funktion <math>h_t \in V</math> mit: :<math> h_t:= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> Der Index <math>t</math> in <math>h_t</math> wird verwendet, da in Abhängigkeit von <math>t</math> eine andere Funktion <math>h_t</math> definiert wird. === Beispiel für Konvexkombinationen von Funktionen === Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Abbildung veranschaulicht die Konvexkombination <math>K(t):= (1-t)\cdot f + t \cdot g </math> === Animation für Konvexkomobinationen von Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|gerahmt|zentriert|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] '''Geogebra:''' [https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Interaktives Applet] - '''Download:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Konvexkombination/Convex_combination_of_functions_sin_xsquare.ggb Geogebra-File] === Bemerkung - Deformation === Wenn die erste Funktion <math>f</math> die Ausgangsform beschreibt und <math>g</math> die Zielform, kann man Konvexkombinationen z.B. in der Computer-Graphik für die Deformation einer Ausgangsform in eine Zielform beschreiben. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Konvexkombination]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Wegintegral]] n5gl8adfb3w4jblm4evm8f3gdlc0ksf 106 169974 1078586 1078131 2026-05-01T05:41:44Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegral */ 1078586 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Wegintegraltypen === Folgende Wegintegrale kann man dabei unterscheiden: * '''(Wegintegral mit Wegableitung)''' Durch die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> in der Definition <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t))\cdot \gamma\,'(t) \, dz</math> erhält man die Wegunabhängigkeit. * '''(Wegintegral ohne Wegableitung)''' Ohne die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> ein Integral <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t)) \, dz</math> erhält man ein wegabhängiges Integral. Z.B. ist bei einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]] genau diese Wegabhänigkeit wesentlich, um den Weg mit kleinsten Risiko in einem Optimierungsprozess zu finden. === Flächenintegral === * '''(Doppenintegral über Real- und Imaginärteil)''' Dabei wird das komplexewertige Integral mit der Identifzierung von <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> als mehrdimensionales Integral von <math>\mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{R}^2</math> aufgefasst. ::<math>\int_{a_2}^{b_2}\!\!\!\int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\,dy</math> * '''(Flächenintegral über orientierte Fläche)''' Eine [[orientierte Fläche]] ist eine Abbildung <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math>, wobei die Orientierung durch einen Gradienten <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> beschrieben wird, mit der Notation: ::<math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\!z</math> == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\iint_M f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\iint_M f_1(z) \, d^2\!z}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\iint_M f_2(z) \, d^2\!z}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] das Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot a_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\underbrace{\gamma_1(t_1)}_{=t_1})\cdot \underbrace{{\gamma_1}\!'(t_1)}_{=1} \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1+ia_2) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = a_1 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\underbrace{\gamma_2(t_2)}_{=a_1 + i\cdot t_2})\cdot \underbrace{{\gamma_2}\!'(t_2)}_{=i} \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(a_1 + i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das [[orientierte Fläche|orientierte]] Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(z) \, d^2\,z \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \iint_R f(z) \, d^2\,z = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \iint_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Lemma für Rechteckintegrale]] - Berechnung über Flächenstammfunktionen * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] j0ppfow3k5kupse8xfkf5162qnoo5js 1078590 1078586 2026-05-01T07:08:43Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Teilmengen */ 1078590 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Wegintegraltypen === Folgende Wegintegrale kann man dabei unterscheiden: * '''(Wegintegral mit Wegableitung)''' Durch die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> in der Definition <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t))\cdot \gamma\,'(t) \, dz</math> erhält man die Wegunabhängigkeit. * '''(Wegintegral ohne Wegableitung)''' Ohne die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> ein Integral <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t)) \, dz</math> erhält man ein wegabhängiges Integral. Z.B. ist bei einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]] genau diese Wegabhänigkeit wesentlich, um den Weg mit kleinsten Risiko in einem Optimierungsprozess zu finden. === Flächenintegral === * '''(Doppenintegral über Real- und Imaginärteil)''' Dabei wird das komplexewertige Integral mit der Identifzierung von <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> als mehrdimensionales Integral von <math>\mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{R}^2</math> aufgefasst. ::<math>\int_{a_2}^{b_2}\!\!\!\int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\,dy</math> * '''(Flächenintegral über orientierte Fläche)''' Eine [[orientierte Fläche]] ist eine Abbildung <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math>, wobei die Orientierung durch einen Gradienten <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> beschrieben wird, mit der Notation: ::<math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\!z</math> == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\iint_M f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\iint_M f_1(z) \, d^2\!z}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\iint_M f_2(z) \, d^2\!z}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] als Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> bzgl. einer komplexwertigen Dichtefunktion <math>f</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot a_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\underbrace{\gamma_1(t_1)}_{=t_1})\cdot \underbrace{{\gamma_1}\!'(t_1)}_{=1} \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1+ia_2) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = a_1 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\underbrace{\gamma_2(t_2)}_{=a_1 + i\cdot t_2})\cdot \underbrace{{\gamma_2}\!'(t_2)}_{=i} \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(a_1 + i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das [[orientierte Fläche|orientierte]] Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(z) \, d^2\,z \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \iint_R f(z) \, d^2\,z = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \iint_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Lemma für Rechteckintegrale]] - Berechnung über Flächenstammfunktionen * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] 5kobe5czu0p035m5tdr0syhzg1q1lpo 1078591 1078590 2026-05-01T07:09:05Z Bert Niehaus 20843 /* Integral über messbare Teilmengen */ 1078591 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Wegintegraltypen === Folgende Wegintegrale kann man dabei unterscheiden: * '''(Wegintegral mit Wegableitung)''' Durch die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> in der Definition <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t))\cdot \gamma\,'(t) \, dz</math> erhält man die Wegunabhängigkeit. * '''(Wegintegral ohne Wegableitung)''' Ohne die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> ein Integral <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t)) \, dz</math> erhält man ein wegabhängiges Integral. Z.B. ist bei einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]] genau diese Wegabhänigkeit wesentlich, um den Weg mit kleinsten Risiko in einem Optimierungsprozess zu finden. === Flächenintegral === * '''(Doppenintegral über Real- und Imaginärteil)''' Dabei wird das komplexewertige Integral mit der Identifzierung von <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> als mehrdimensionales Integral von <math>\mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{R}^2</math> aufgefasst. ::<math>\int_{a_2}^{b_2}\!\!\!\int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\,dy</math> * '''(Flächenintegral über orientierte Fläche)''' Eine [[orientierte Fläche]] ist eine Abbildung <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math>, wobei die Orientierung durch einen Gradienten <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> beschrieben wird, mit der Notation: ::<math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\!z</math> == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\iint_M f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\iint_M f_1(z) \, d^2\!z}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\iint_M f_2(z) \, d^2\!z}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] als Integral über eine messbare Menge <math>M \subseteq \mathbb{C}</math> bzgl. einer komplexwertigen Dichtefunktion <math>f</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot a_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\underbrace{\gamma_1(t_1)}_{=t_1})\cdot \underbrace{{\gamma_1}\!'(t_1)}_{=1} \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1+ia_2) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = a_1 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\underbrace{\gamma_2(t_2)}_{=a_1 + i\cdot t_2})\cdot \underbrace{{\gamma_2}\!'(t_2)}_{=i} \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(a_1 + i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das [[orientierte Fläche|orientierte]] Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(z) \, d^2\,z \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \iint_R f(z) \, d^2\,z = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \iint_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Lemma für Rechteckintegrale]] - Berechnung über Flächenstammfunktionen * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] phkigpnk17y17nmbdj4o0rn0wljstv8 1078593 1078591 2026-05-01T07:16:59Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral */ 1078593 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird der Unterschied zwischen Wegintegralen und Integralen über messbare Teilmengen in der komplexen Analysis behandelt. Die zentralen Aussagen in der Einführung für die Funktionentheorie beziehen sich in der Regel Wegintegrale in der Cauchy-Integralformel, dem Cauchy-Integralsatz oder dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] über [[nullhomolog|nullhomologe]] Zyklen. In dieser Lerneinheit werden [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] behandelt und diese mit reellwertigen Doppelintegrale über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Wegintegraltypen === Folgende Wegintegrale kann man dabei unterscheiden: * '''(Wegintegral mit Wegableitung)''' Durch die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> in der Definition <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t))\cdot \gamma\,'(t) \, dz</math> erhält man die Wegunabhängigkeit. * '''(Wegintegral ohne Wegableitung)''' Ohne die Wegableitung <math>\gamma\,'</math> ein Integral <math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_a^b f(\gamma (t)) \, dz</math> erhält man ein wegabhängiges Integral. Z.B. ist bei einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]] genau diese Wegabhänigkeit wesentlich, um den Weg mit kleinsten Risiko in einem Optimierungsprozess zu finden. === Flächenintegral === * '''(Doppenintegral über Real- und Imaginärteil)''' Dabei wird das komplexewertige Integral mit der Identifzierung von <math>\mathbb{C}</math> und <math>\mathbb{R}^2</math> als mehrdimensionales Integral von <math>\mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{R}^2</math> aufgefasst. ::<math>\int_{a_2}^{b_2}\!\!\!\int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\,dy</math> * '''(Flächenintegral über orientierte Fläche)''' Eine [[orientierte Fläche]] ist eine Abbildung <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math>, wobei die Orientierung durch einen Gradienten <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> beschrieben wird, mit der Notation: ::<math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\!z</math> == Vergleich der Definitionen == Zunächst werden das Wegintegral und das Integral über messbare Mengen gegenübergestellt. Dabei wird der [[Messraum|Messbarkeitsbegriff]] aus der [[w:de:Maßtheorie|Maßtheorie]] verwendet und für die [[Borelsche Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> als zweidimensionaler <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraum verwendet. Dabei wird die [[Sigma-Algebra]] <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> von allen offenen Teilmengen von <math>\mathbb{C}</math> erzeugt. === Wegintegral in der komplexen Analysis === Ein ''Wegintegral'' (auch Kurvenintegral) ist das Integral einer komplexen Funktion entlang eines [[Integrationsweg|Integrationsweges]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> in der komplexen Ebene definiert wird: <math>\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\cdot \gamma\,'(t) \, dt</math> Dabei ist <math>\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}</math> ein stetiger differenzierbaren Weg und <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine komplexwertige integrable Funktion auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math>. === Integral über messbare Teilmengen === Für ein ''Integral über messbare Teilmengen'' ist das Integral einer Funktion über eine messbare Teilmenge <math>M\in\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> der komplexen Ebene formal wie folgt mit <math>f=f_1+i\cdot f_2 </math> definiert: :<math>\iint_M f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\iint_M f_1(z) \, d^2\!z}_{w_1\in \mathbb{R}} + i\cdot \underbrace{\iint_M f_2(z) \, d^2\!z}_{w_2\in \mathbb{R}} = w_1+i\cdot w_2</math> Dabei wird mit dem [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] als Integral über eine messbare Menge <math>M \subseteq \mathbb{C}</math> bzgl. einer komplexwertigen Dichtefunktion <math>f</math> berechnet. == Darstellung als reelles Doppelintegrale == In einem ersten Schritt werden die Integrale über die folgenden Flächen als einführendes Beispiel mit einem reellen Doppelintegral behandelt, wobei man die komplexen Zahlen als <math>\mathbb{R}^2</math> interpretiert und die Komponentenfunktionen <math>f:=f_1+i\cdot f_2</math> als reelles Doppelintegral von <math> f_{_\mathbb{R}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> über den Realteil und den Imaginärteil betrachtet. :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei sind <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. === Beispiele für messbare Mengen === * Integrale über rechteckige Menge <math>R</math> mit ::<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> * Integrale über abgeschlossene Kreisscheiben ::<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> mit <math>z_0\in \mathbb{C}</math> und <math>r > 0</math>. === Flächenintegral über Rechtecke === Ein Rechteck <math>R</math> wird im Folgenden als Teilmenge der komplexen Zahlen definiert, wobei für <math>z:=z_1+i\cdot z_2 \in R</math> der Realteil <math>z_1</math> zwischen <math>a_1</math> und <math>b_1</math> liegt und der Imaginärteil <math>z_2</math> zwischen <math>a_2</math> und <math>b_2</math>. :<math> R:= [a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] := \{z_1 + i\cdot z_2 \, \colon \, z_1 \in [a_1,b_1] \wedge z_2 \in [a_2,b_2] \}</math> ==== Wegintegral über reelle Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die reelle Rechtecksseite <math>[a_1,b_1]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_1 : [a_1,b_1] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_1 : & [a_1,b_1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_1(t) = t_1 + i\cdot a_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_1</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_1}\!'(t_1)=1</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{a_1}^{b_1} f(\underbrace{\gamma_1(t_1)}_{=t_1})\cdot \underbrace{{\gamma_1}\!'(t_1)}_{=1} \, dt_1 = \int_{a_1}^{b_1} f(t_1+ia_2) \, dt_1</math> ==== Wegintegral über imaginäre Rechtecksseite ==== Man kann das Wegintegral über die imaginäre Rechtecksseite <math>i \cdot [a_2,b_2]</math> als Wegintegral über <math>\gamma_2 : [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> darstellen, wobei: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_2 : & [a_2,b_2] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_2 & \mapsto & \gamma_2(t_2) = a_1 + i\cdot t_2 \end{array} </math> Für <math>\gamma_2</math> gilt dann insbesondere <math>{\gamma_2}\!'(t_2)=i</math> und man erhält: :<math>\int_{\gamma_2} f(z) \, dz = \int_{a_2}^{b_2} f(\underbrace{\gamma_2(t_2)}_{=a_1 + i\cdot t_2})\cdot \underbrace{{\gamma_2}\!'(t_2)}_{=i} \, dt_2 = i\cdot \int_{a_2}^{b_2} f(a_1 + i\cdot t_2) \, dt_2</math> ==== Flächenintegral als Doppelintegral über Rechtecke ==== Für ein Rechteck <math>R\in \mathcal{B}(\mathbb{C})</math> kann man das Integral <math>\int_R f(z) \, dz</math> über die messbare Menge <math>R</math> wie folgt berechnen: :<math> \int_R f(z) \, dz := \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(t_1 + i\cdot t_2) \, dt_1 \, dt_2 </math> Der Faktor <math>i</math> vor dem Doppelintegral entsteht als innere Ableitung von <math>\gamma_2</math>. Insgesamt kann als Doppelintegral über ein Rechteck <math>R</math> als komplexwertiges ''"Volumen"'' unter der Funktion <math>f</math> über <math>R</math> interpretiert werden. ==== Beispiel 1 - Flächenintegral über ein Rechteck als Doppelintegral==== Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left.\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i\left( x^2y\right) \right|_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left. \left( \left. \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right|_{-1}^{+2} \right) \right|_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral über Rechtecke mit Stammfunktion ==== Man betrachtet nun das gleiche Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und berechnet das [[orientierte Fläche|orientierte]] Flächenintegral für <math>f(z):=z^2</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z):=\tfrac{1}{12} z^4</math> über die Eckpunkte des Rechtecks mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R f(z) \, d^2\,z \!\!\! & = & \!\!\! \displaystyle F_\Box(2+5i) - F_\Box(2+3i) - F_\Box(-1+5i) + F_\Box(-1+3i) \\ & = & \displaystyle -24 - 92i \\ \end{array} </math> ==== Vergleich - Beispiel und Beispiel 2 - Unterschiede ==== Der Unterschied zwischen dem Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil (Beispiel 1) zum komplexen Flächenintegral ergibt sich algebraisch durch die Multiplikation <math>\tfrac{1}{i}= -i</math>. In Beispiel 1 berechnet man das Integral mit einer reellwertig unabhängigen Betrachtung des Realteilintegrals und des Imaginärteils. In Beispiel 1 geht also die innere Ableitung des Wegintegrals in Imaginärteilrichtung nicht mit ein. Dadurch ergeben sich die unterschiedlichen Ergebnisse in Beispiel 1 und 2. :<math> \iint_R f(z) \, d^2\,z = -i \cdot \iint_R f(x+iy) \, dx\, dy </math> Verwendet werden daher im weiteren Verlauf die komplexen Flächenintegrale <math display="inline"> \iint_R f(z) \, dz </math> mit der [[Flächenstammfunktion]]. ==== Bemerkung zu Beispiel 2 - Komplexes Flächenintegral ==== Die Differenz der Flächenstammfunktionen für die Eckpunkte des Vierecks ergibt sich mit den Vorzeichen maßtheoretisch analog zur [[Siebformel]] in der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] (siehe auch [[Flächenintegrale über Rechtecke]]). ==== Bemerkung - orientierte Fläche ==== Bei einem Integral über eine [[orientierte Fläche]] spielt nicht nur die messbare Teilmenge <math>M\subseteq \mathbb{C}</math> und die Dichtefunktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bei dem Flächenintegral eine Rolle, sondern zusätzlich auch die Orientierung. Diesen Unterschied gab es analog auch beim [[Wegintegral]] über <math>\gamma : [a,b] \to G</math>. Die [[Spur eines Weges]] <math>Spur(\gamma)</math> entspricht der Menge <math>M</math> während <math>\gamma</math> eine Orientierung auf dem Weg induziert, wobei <math>\gamma(a)</math> der Anfangspunkt <math>\gamma(b)</math> der Endpunkt des Weges ist. == Flächenintegral als Doppelintegral über Kreisscheiben == Für das Flächenintegrale über Kreisscheiben wählt man einen Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}<</math> und einen Radius <math>r > 0 </math>: :<math> \overline{D_r(z_o)} := \{z \in \mathbb{C} \, \colon \, |z-z_0| \leq r \}</math> Auch in diesem Fall wird durch Parametertransformation über ein Rechteck <math>R:= [0,2\pi]\times [0,r]</math> integriert. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil für Kreisscheiben === Durch Anwendung der [[Transformationsformel]] kann man das Integral über die Kreisscheibe wie folgt berechnen: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^r f(z_0+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> === Transformationsformel und Funktionaldeterminante === In dem obigen Integral ergibt sich die Multiplikation mit <math>r</math> über die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]], die in der [[Transformationsformel]] für die [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] <math>\Phi(r,\varphi)=\big(r\cdot \cos(\varphi) ,r\cdot \sin(\varphi)\big)</math> mit <math>r>0</math> enthalten ist. : <math>\det \big( D\Phi(r,\varphi)\big) =det \begin{pmatrix}\cos(\varphi) & -r\cdot \sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi)\end{pmatrix}=r\cdot \underbrace{(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}_{=1}=r.</math> === Integral über messbare Mengen als Doppelintegral === Für ein Integral über eine messbare Menge <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> erhält man über die Zerlegung <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> in Realteilfunktion <math>f_1:G\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R}</math> folgende Integraldarstellung unter Verwendung der [[Transformationsformel]] für [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]]: :<math>\iint_D f(x+iy) \, dx \, dy \, dz = \int_D f_1(x+iy) \, dx \, dy + i \int_D f_2(x+iy) \, dx \, dy</math> Wenn <math>D:=\overline{D_{r_o}(z_0)}</math> eine Kreisscheibe ist mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r</math> ist, erhält man folgendes Doppelintegral: :<math>\iint_{\overline{D_{r_o}(z_0)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \!\! \! \int_0^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> === Nullmengen === Der Abschluss der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> kann auch entfallen, da der Kreisrand bzgl. des [[w:de:Lebesque-Maß|Lebesque-Maßes]] eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. Ferner benötigt man für die Anwendung der [[Transformationsformel]] die Eigenschaft, dass die Transformation <math>\Phi</math> eine bijektive Abbildung ist. Für <math>r=0</math> ist die [[Polarkoordinatentransformation]] <math>\Phi</math> allerdings keine bijketive Abbildung mehr. Streng genommen müsste man daher das innere Integral für die punktierte Kreisscheibe <math>D:= \overline{D_{r_o}(z_0)} \setminus \{z_o\}</math> als Grenzwert für <math>\varepsilon > 0 </math> berechnen. :<math>\iint_{D} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^{r_o} f(z_0 + re^{it}) \cdot r \,\, dr \, dt</math> Das Integral stimmt aber mit dem obigen Integral überein, da auch in diesem Fall <math>\{z_o\}</math> eine [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] ist. === Beispiel 1 - Doppelintegral über Kreisscheiben - Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält man über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_o=0</math> mit dem Radius <math>r_o > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} (r\cdot e^{it} )^2 \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} r^3 \cdot e^{i2t} \, dr \, dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} {r_o}^4 \cdot e^{i2t} \, dt \\ \\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} r_o^4 \cdot \frac{1}{i2} \cdot \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} \cdot 2i\, dt = 0 \displaystyle \end{array} </math> === Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben - nicht Nullpunkt === Wendet man diese Definition wieder für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an, so erhält über die [[Transformationsformel]] das folgende Integral über die Kreisscheibe um <math>z_0\not=0</math> mit dem Radius <math>r_0 > 0</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(z) \, dz & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \cdot z_0^2 \cdot r_o^2 + \frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} \not=0 \displaystyle \end{array} </math> ==== Bemerkung zu den Summanden des Integrals ==== Das Integral über die letzten beiden Summanden <math>\frac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 </math> und <math> \frac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t}</math> ist jeweils 0, weil das Integral über <math>e^{i\cdot n\cdot t}</math> mit beliebigem <math>n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}</math> jeweils 0 ist: :<math> \int_0^{2\pi} e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = \frac{1}{i\cdot n} \int_0^{2\pi} {i\cdot n} \cdot e^{i\cdot n \cdot t} \, dt = e^{i\cdot n \cdot 2\pi} - e^{i\cdot n \cdot 0} = 1-1 = 0 </math> === Wegintegral über Rand von Kreisscheiben === Für einen geschlossenen Weg <math>\gamma</math> um einen Punkt <math>z_0</math> (z.B. Kreis um <math>z_0</math>) wird der [[Integrationsweg]] wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> Die Ableitung des Integrationsweges <math>\gamma\,'(t) = ire^{it}</math> liefert dann das [[Wegintegral]] über den Kreisrand: :<math>\int_\gamma f(z)\, dz = \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it}) \cdot ire^{it} \, dt = 0</math> Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten ist das Integral unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0. === Vergleich Doppelintegral und Wegintegral für Kreisscheiben === Insgesamt ist das [[Wegintegral]] für [[holomorphe Funktion]]en <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf konvexen Gebieten unabhängig vom Mittelpunkt <math>z_o\in G</math> immer 0, während das Doppelintegral für die komplexwertige Flächenberechnung auch Werte <math>w = z_o^2 \cdot r_o^2 \cdot \pi\not= 0</math> annehmen kann. :<math> \iint_{\overline{D_{r_o}(z_o)}} f(x+iy) \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt = \underbrace{z_o^2}_{\not= 0} \cdot r_o^2 \cdot \pi \not= 0 </math> == Darstellung über komplexe Stammfunktionen == Nun betrachtet man eine Stammfunktion <math>F:G\to \mathbb{C}</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei der Wert der Stammfunktion <math>F(z)</math> einen komplexwertig orientierten Flächeninhalt einer Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> darstellt. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] === Reellwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn man in den reellen Zahlen eine Stammfunktion <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> bildet, so gibt die Differenz <math>F(b)-F(a)</math> den orientierten Flächeninhalt an, d.h. Flächen mit <math>f(x) < 0</math> für stetige Funktionen <math> f</math> mit <math>x\in [a,b]</math> haben ein negatives Vorzeichen. Positiv und negativ orientierte Flächeninhalte können sich gegenseitig im Gesamtintegral aufheben, wenn die eingeschlossene Fläche zwischen <math>f</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse mit der eingeschlossenen Fläche unterhalb der <math>x</math>-Achse übereinstimmt, wie z.B. bei :<math>\int_0^{2\pi} \sin(x)\, dx = 0</math> === Komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Wenn die möglichen Orientierung in <math>\mathbb{R}</math> und <math>\mathbb{C}</math> vergleicht, erhält man: * '''(reelle Zahlen <math>\mathbb{R}</math>)''' positive Orientierung <math>+1=e^{i\cdot 0}</math> und negative Orientierung <math>-1=e^{i\cdot \pi}</math> * '''(komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math>)''' beliebige Winkel <math>t\in [0,2\pi)</math> mit Richtung <math>e^{i\cdot t}</math>. Eine Stammfunktion <math>F</math> soll nun geometrisch interpretiert werden und den komplexen orientierten Flächeninhalt auf dem rot markierten Rechteck in der Animation darstellen. Die Wahl des Punktes <math>z_0\in G</math> legt dabei die Konstante der Stammfunktion über <math>F(z_o)=0</math> eindeutig fest. === Bemerkung - Vergleich der Integrale === Diese komplexe Integralinterpretation der Stammfunktion unterscheidet von der reellwertiges Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil. Der Unterschied zwischen beiden Integraltypen kann algebraisch für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> bestimmen. === Stammfunktion als Wegintegral === In den komplexen Zahlen kann auf konvexen oder sternförmigen Gebieten eine Stammfunktion als Wegintegral darstellen: :<math>F_{z_o}(z) = \int_{\gamma_z} f(z) \, dz,</math> wobei das [[Wegintegral]] über einen Weg <math>\gamma_{z}</math> von <math>z_0</math> nach <math>z</math> in dem Gebiet <math>G</math> verläuft. Ist <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion in einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet, dann gilt insbesondere <math>F_{z_o}(z_o)= 0</math> === Taylorreihe der Stammfunktion === Die [[Taylorreihe]] ist eindeutig für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> festgelegt. Zwei Stammfunktionen <math>F_1</math> und <math>F_2</math> von <math>f</math> unterscheiden sich in einer Konstante (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]), denn aus <math>F_1' = f</math> und <math>F_2' = f</math> folgt <math>F_1' - F_2'= 0</math> und damit ist die Differenz <math>F_1 - F_2= c\in \mathbb{C}</math> eine Konstante aus den komplexen Zahlen. Aus der [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f</math> erhält man mit der [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Potenzreihenentwicklung]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n\cdot (z-z_o)^n </math> für <math>f</math> in einem Entwicklungspunkt <math>z_o\in G</math>. Wenn Stammfunktionen als Wegintegrale ausgehend von Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> in eine Potenzreihendarstellung mit dem Entwicklungspunkt <math>{z_o}</math> entwickelt werden, ist die Potenzreihendarstellung auf der Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>F(z_o) = 0</math> eindeutig mit: :<math>F(z) = \int_{\gamma_{z}} f(\xi) \, d\xi = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\cdot (z-z_o)^{n+1} </math> == Siehe auch == * [[Lemma für Rechteckintegrale]] - Berechnung über Flächenstammfunktionen * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale#Definition|Definition - komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]] * [[Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[w:de:Koordinatentransformation|Koordinatentransformation]] * [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] * [[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] * [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] * [[Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Transformationsformel/komplexe Wegintegrale|Transformationsformel für komplexe Wegintegrale]] * [[Transformationsformel]] * [[Wegintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] l6quhyx4ztqrmjvrkfhcmw8vs3rqkff 106 170021 1078624 1078497 2026-05-01T10:36:25Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1078624 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen besitzen einen engen Zusammenhang zur Wegintegralen bei [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]]. Dabei verwendet man die Wegunhängigkeit bei Wegintegral in einfach zusammenhängenden Gebieten. Ausgehend von der Definition des komplexen Flächenintegrals für Stammfunktionen, drückt man das Flächenintegral durch zwei Wegintegral aus, die über die Seiten des Rechtecks verlaufen. Das Darstellungslemma klärt damit auch, dass man für die Berechnung des Integrals die jeweils gegenüberliegenden Vierecksseiten alternativ als Wegintegrale wählen kann, wenn man die Orientierung der Wegintegrale berücksichtigt. === Veranschaulichung - Flächenintegral Rechteck === Das Flächenintegral für ein Rechteck kann man mit dem Darstellungslemma durch zwei Wegintegral von zwei Alternativen dargestellt werden. Dabei werden immer zwei Wegeintegrale von zwei gegenüberliegenden Seiten gewählt (rote Wegintegral bzw. grüne Wegintgeral) [[File:Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma.png|350px|center|Flaechenintegration v12 Rechteck - Darstellungslemma - LibreOffice Draw Bild mit PNG Export]] <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Rechteckintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dabei ist <math>z_o\in K </math> der Startpunkt des Wegintegrals der Stammfunktion <math>F</math> und es gilt <math> z_2-z_1 , z_4-z_3 \in \mathbb{R}</math> und <math> z_3-z_1 , z_4-z_2 \in i\cdot \mathbb{R}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_R}</math> folgende Darstellungen (W1-W2): <span id="W1"></span> <span id="R1"></span> === (R1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> <span id="W2"></span> <span id="R2"></span> === (R2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Integral für gegenüberliegende Seitenpaare === Das komplexwertige Flächenintegral über [[orientierte Fläche]] kann neben der Berechnung über eine [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auch Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. Neben dem Integral über einen alternierenden Randweg gibt es zwei Optionen, die unabhängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitenpaare sind. Die Integrationswege * <math>\langle z_3,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> sind die '''waagerechten Seitenpaare''' und * <math>\langle z_2,z_4\rangle</math> und <math>\langle z_1,z_3\rangle</math> sind die '''senkrechten Seitenpaare''' und === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis == '''(R1)''' Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, besitzt diese [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktionen]]. Sei <math> K\subseteq G</math> eine [[w:de;konvexe Menge|konvexe Menge]] mit <math>z_0, z_1,z_2,z_3,z_4\in K</math>. Für <math>z\in K</math> wird die [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion]] <math>F:K\to \mathbb{C}</math> als Wegintegral <math> \gamma_z:={\langle z_0,z\rangle} </math>, wobei <math>\gamma_z(t):=z_0\cdot (1-t) + t\cdot z </math> als [[Konvexkombination]] in der Menge <math>K</math> definiert ist. === Schritt 1 - Stammfunktion als Wegintegral === Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist und die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und der Startpunkt <math>z_0</math> der [[Stammfunktion als Wegintegral]] in der konvexen Menge <math>K\subseteq G</math> liegen, ist die Stammfunktion <math>F</math> als komplexes Wegintegral wohldefiniert mit: :<math> F(z) := \int_{\langle z_o, z\rangle} f(\xi) \, d\xi </math> === Schritt 2 - Anwendung der Definition des komplexen Flächenintegrals === Nun wendet man das [[Lemma für Rechteckintegrale]] an, um das Flächenintegrals über Rechtecke mit der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> auszudrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle F_{_\Box}(z_4)-F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_4) - F_{_\Box}(z_3)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_{_\Box}(z_2) - F_{_\Box}(z_1)} \\ & = & \underbrace{ \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_4) - F_\Box(z_2)} \,\,\, - \,\,\, \underbrace{ \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz }_{=F_\Box(z_3) - F_\Box(z_1)} \\ \\ \end{array} </math> === Schritt 3 - Unabhängigkeit von der Wahl der Seitenpaare === Damit erhält man die Aussage des Darstellungslemmas von (R1) und dieses zeigt, dass das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrals über Rechtecke]] unahängig von der Wahl der gegenüberliegenden Seitepaare ist. Für den Beweis von (R2) wird (R1) benötigt. === Schritt 4 - Alternierender Randweg === Mit (R1) erhält man zwei alternative Darstellung des [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrals]] über <math>\gamma_{_R}</math>. Insgesamt erhält man durch die Addition der Integraldarstellungen den doppelten orientierten Flächeninhalt von <math>\gamma_{_R}</math> :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \cdot \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz\bigg) \\ & & \displaystyle + \bigg( \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> === Schritt 5 - Alternierender Randweg === Bei Multiplikation mit <math>\tfrac{1}{2}</math> erhält man dann auch (R2). :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> Es entsteht ein geschlossener alternierende Randweg mit wechselnder Integrationsrichtung pro [[Konvexkombination]] zwischen Eckpunkten über <math>\tfrac{1}{2}F</math>. Der Vorzeichenwechsel entsteht durch Wechsel der Laufrichtung im Integrationwegen <math>\langle z_k,z_n\rangle = - \langle z_n,z_k\rangle </math>. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Stammfunktion=== Die Vorzeichen für Stammfunktion kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Stammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. <span id="Korollar"></span> == Korollar - Darstellungslemma == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], bei der die Eckpunkte <math>z_k\in K\subseteq G</math> eines Rechtecks mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math> in einer konvexen offenen Menge <math>K</math> liegen. Die lokale Stammfunktion <math> F_k: G \to \mathbb{C} </math> hat <math>z_k</math> Startpunkt des [[Stammfunktion als Wegintegral|Wegintegrals als Stammfunktion]]. Dann gilt mit den zugehörigen Flächenstammfunktionen <math> F_{_{k,\Box}}: G \to \mathbb{C} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_2) = \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F_2(z) \, dz + F_{_{2,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{3,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_3) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweis des Korollars === Die Anwendung der folgenden Gleichung liefert die Aussage jeweils für <math>F_k</math> und <math> F_{_{k,\Box}}</math> mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> die obige Behauptung. :<math> \underset{\langle z_i,z_j\rangle}{\quad\int\quad} F_k(z) \, dz = F_{_{k,\Box}}(z_j) - F_{_{k,\Box}}(z_i) </math> Dabei wurden wieder [[Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen als Wegintegrale]] verwendet. === Bemerkung 1 - Korollar === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] kann man den Wert <math>F(z)</math> einer [[lokale Stammfunktion|Stammfunktionen]] <math>F</math> von <math>f</math> als Wegintegrale von <math>z_0</math> nach <math>z</math> darstellen. In einem konvexen Menge <math>K</math> kann man diesen Startpunkt <math>z_0</math> frei wählen. Das Korollar zeigt, wie sich das Integral ändert, wenn man den Startpunkt als Eckpunkt des Rechtecks wählt. In dem Korollar wurde dies für die folgende Gleichung gezeigt. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_3,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 2 - Korollar === Die Aussage im Korollar gilt analog für :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> und man erhält ebenfalls mit <math> F_{_{k,\Box}}(z_k) = 0 </math> durch Einsetzen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{R} f(z) \, dz & = & \displaystyle \!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_1(z) \, dz - F_{_{1,\Box}}(z_3) = \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} F_3(z) \, dz + F_{_{3,\Box}}(z_1) \\ & = & \displaystyle F_{_{2,\Box}}(z_4) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz = - F_{_{4,\Box}}(z_2) - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Polygonintegrale]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Satz über lokale Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 67ryghij214vx9hflsxe966qp53gmow 106 170272 1078572 1078504 2026-04-30T13:18:51Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellungslemma für Rechteckintegrale */ 1078572 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Polygonintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,\ldots,z_n\in G</math> des Polygon <math>V(n):= V(z_1,\ldots , z_n) </math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots,z_n\})\subseteq G</math> in <math>G</math> liegt. Mit der Stammfunktion <math>F</math> und der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Polygonfläche]] <math>\gamma_{_{V_n}}</math> folgende Darstellungen (P1-P2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n-1)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot \!\!\!\! \underset{\langle z_k,z_{k+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] ng91kanf8frkdzfmvvg90rg5euu9xbc 106 170275 1078560 1078559 2026-04-30T12:06:08Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion */ 1078560 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 73mezsbuuzv066nzodvdvo47ujhytij 1078561 1078560 2026-04-30T12:08:05Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Flächenstammfunktion */ 1078561 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bce78f150jpy0yll2eufupklqi1dujh 1078562 1078561 2026-04-30T12:08:19Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 1 - Vorzeichenwechsel */ 1078562 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mwq0ye7iaxbrgsv31wb0jzg7pybl08a 1078565 1078562 2026-04-30T12:20:54Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion */ 1078565 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den alternierende Randweg auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. === Rechenregel 2 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 2 ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ \end{array} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 61qvlgm5gtgioha71sbzypz3fyizrhw 1078567 1078565 2026-04-30T12:35:08Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion */ 1078567 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den [[alternierender Randweg|alternierende Randweg]] auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. === Rechenregel 2 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 2 ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ \end{array} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 42l6i1hdl4wkptsewe4m3g3e6wpl3t3 1078568 1078567 2026-04-30T12:37:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Rechenregel 2 */ 1078568 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den [[alternierender Randweg|alternierende Randweg]] auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. === Rechenregel 2 - Vorzeichenwechsel === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 2 ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ \end{array} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jvo50v97ltwhdituldez43o2ccfnwba 1078570 1078568 2026-04-30T13:03:53Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 2 - Vorzeichenwechsel */ 1078570 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den [[alternierender Randweg|alternierende Randweg]] auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. === Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für <math>n=2m</math> gerade: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \underbrace{\tfrac{(-1)^{k}}{2}}_{=\frac{(-1)^{-k}}{2}}\cdot \bigg( \underbrace{F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k)}_{=-(F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}))} \bigg) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{\overbrace{2m+1-k}^{=(n+1)-k}}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \end{array} </math> === Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für <math>n=2m+1</math> ungerade: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \underbrace{\tfrac{(-1)^{k}}{2}}_{=\frac{(-1)^{-k}}{2}}\cdot \bigg( \underbrace{F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k)}_{=-(F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}))} \bigg) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{\overbrace{2m+2-k}^{=(n+1)-k}}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle - \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \end{array} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gs0ffg0qyuwhdikrr2e3mhgg31jkh6l 1078575 1078570 2026-04-30T16:19:14Z Bert Niehaus 20843 /* Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl */ 1078575 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den [[alternierender Randweg|alternierende Randweg]] auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. === Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für <math>n=2m</math> gerade: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \underbrace{\tfrac{(-1)^{k}}{2}}_{=\frac{(-1)^{-k}}{2}}\cdot \bigg( \underbrace{F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k)}_{=-(F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}))} \bigg) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{\overbrace{2m+1-k}^{=(n+1)-k}}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \end{array} </math> === Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für <math>n=2m+1</math> ungerade: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \underbrace{\tfrac{(-1)^{k}}{2}}_{=\frac{(-1)^{-k}}{2}}\cdot \bigg( \underbrace{F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k)}_{=-(F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}))} \bigg) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{\overbrace{2m+2-k}^{=(n+1)-k}}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle - \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \end{array} </math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jb7tluh0x0zs4jvd3mtes1s1kzcpj06 1078576 1078575 2026-04-30T16:20:19Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1078576 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Definition von alternierenden Randwege entsteht aus der Analyse von Flächenintegralen über [[Randwegintegral für Rechtecke|Rechtecke]] und [[Randwegintegral für Dreiecke|Dreiecke]]. Im Gegensatz zu einem geschlossenen Integrationsweges eines stückweise stetig differenzierbaren Wegen <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ändert sich bei einem alternierenden Rand die Orientierung des Teilwege jeweils von <math>\gamma_k</math> zu <math>\gamma_{k+1}</math>, sodass entweder die beiden Anfangspunkte oder die beiden Endpunkte des Integrationsweges <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> identisch sind. === Vergleich zu geschlossenen Wege === In einem geschlossenen Integrations eines stückweise stetigen Integrationsweges <math>\gamma := \sum_{k=1}^{n} \gamma_k</math> ist der Endpunkt von <math>\gamma_k</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{k+1}</math> und der Enpunkt von <math>\gamma_n</math> zugleich Anfangspunkt von <math>\gamma_{1}</math>. === Alternierendes Randwegintegral - Rechteck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Rechtecke|orientierte Rechteckintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_2,z_4\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \underset{\langle z_4,z_3\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Alternierendes Randwegintegral - Dreieck === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das [[Randwegintegral für Dreiecke|orientierte Dreiecksintegral]] folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \underset{\langle z_1,z_2,z_3\rangle}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(z) \,\, d^2\!z \,\, = - \!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi + \!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi - \!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\!\! \tfrac{1}{2} F(\xi) \,\, d\xi </math> == Definition - alternierendes Randwegintegral == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion mit lokaler Stammfunktion <math>F</math> und <math>z_1, \ldots ,z_n \in G</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_,\ldots ,z_n \})\subset G </math> in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] liegt. Mit <math>z_{n+1}:= z_1</math> definiert man das alternierende Randwegintegral über das Polygon <math>\langle z_1 , \ldots ,z_n \rangle</math> als folgende Summe mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, := \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{n-k}}{2}\cdot \!\!\!\underset{\langle z_k , z_{k+1} \rangle }{\quad \int \quad } \!\!\! F(z) \, dz </math> === Bemerkung - orientierte Flächenintegrale === Die alternierenden Randwegintegrale beschreiben die Flächenintegrale über [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] von Vielecken (Polygonen) in der komplexen Zahlenebene. === Rechenregel 1 - Flächenstammfunktion === Man kann den [[alternierender Randweg|alternierende Randweg]] auch über die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> berechnen: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k) \right) </math> Dabei definiert man <math>z_{n+1}:=z_1</math>, wodurch der letzte Punkt im Polygon mit dem ersten Punkt verbunden wird. === Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für <math>n=2m</math> gerade: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 2 - gerade Eckenzahl ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \underbrace{\tfrac{(-1)^{k}}{2}}_{=\frac{(-1)^{-k}}{2}}\cdot \bigg( \underbrace{F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k)}_{=-(F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}))} \bigg) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{\overbrace{2m+1-k}^{=(n+1)-k}}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \end{array} </math> === Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl === Durchläuft man den Rand in umgekehrter Reihenfolge so gilt für <math>n=2m+1</math> ungerade: :<math> \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \,\,\, = \,\,\, - \!\!\!\!\! \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z </math> ==== Beweis - Rechenregel 3 - ungerade Eckenzahl ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_1 , \ldots , z_n \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n \underbrace{\tfrac{(-1)^{k}}{2}}_{=\frac{(-1)^{-k}}{2}}\cdot \bigg( \underbrace{F_{_\Box}(z_{k+1}) - F_{_\Box}(z_k)}_{=-(F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}))} \bigg) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{-k}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle - \sum_{k=1}^n \tfrac{(-1)^{\overbrace{2m+2-k}^{=(n+1)-k}}}{2}\cdot \left( F_{_\Box}(z_{k}) - F_{_\Box}(z_{k+1}) \right) \\ & = & \displaystyle - \underset{\langle z_n , \ldots , z_1 \rangle }{\quad \iint \quad } f(z) \, d^2\!z \end{array} </math> == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ai86lk76jefynvd01yal59cvmy2zons 0 170282 1078577 1078523 2026-04-30T16:40:18Z Bocardodarapti 2041 1078577 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichung für t/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} {{ Relationskette/align | x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. 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Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Spur eines Weges]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] emi7as6ebm9bmjb2ky1u8mj1drwf6cm 2 170295 1078569 2026-04-30T12:40:10Z Tetrarchyenjoyer 41539 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078569 wikitext text/x-wiki [https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6mische_Tetrarchie Tetrarchy][https://de.wikipedia.org/wiki/Connaisseur enjoyer] em320g1826de4m468gicsbzgdazev9g 0 170296 1078578 2026-04-30T17:03:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078578 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/align | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-y-3 |}} w || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl|y+1|}} || || || |SZ=. }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - 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{{makl| x^2-1 |}}^2 y + x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | x^2-y-3 | \neq | 0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| {{makl| x^3-x |}} {{makl| y+1 |}} | x^2-y-3 }} || || || |SZ=. }} Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | {{op:Bruch(| {{makl| x^3-x |}} {{makl| y+1 |}} | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| {{makl| x^3-x |}} {{makl| y+1 |}} | x^2-y-3 }} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || || || |SZ=. }} Die linke Seite schreiben wir als {{ Relationskette/align/netzlinks | {{op:Bruch| {{makl| x^3-x |}}^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^3-x |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| x^2y^2 + 2x^2y +x^2 - x^4y +x^2y^2 +3x^2y -x^4 +x^2y +3x^2 +y {{makl| x^4 - 2x^2y -6x^2 +y^2 +6y +9 |}} }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| -x^4 +4x^2 + y^3 +6y^2 +9y }} || |SZ=. }} Mit der rechten Seite bedeutet dies, dass {{ Math/display|term= {{makl| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} +1 |}} {{makl| -x^4 +4x^2 + y^3 +6y^2 +9y }} |SZ= }} drin ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rs2zl1tcmehz9imqlhhd16b7zqmref4 1078622 1078619 2026-05-01T10:25:46Z Bocardodarapti 2041 1078622 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-y-3 |}} w || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl|y+1|}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y + x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | x^2-y-3 | \neq | 0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| {{makl| x^3-x |}} {{makl| y+1 |}} | x^2-y-3 }} || || || |SZ=. }} Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | {{op:Bruch(| {{makl| x^3-x |}} {{makl| y+1 |}} | x^2-y-3 }}^2 - 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Wenn man stattdessen {{ Math/display|term= {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III \pm {{makl| x^4-2x^2 |}} I |SZ= }} betrachtet, so erhält man hier eine Konstante mal I. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} fz79yd2h87nvv0p5ziwmxfdfe44q8v9