Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 141067 1078625 1078112 2026-05-01T12:23:04Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1078625 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Diese Daten stammen aus dem Cache. Der Zeitpunkt der letzten Aktualisierung: 2026-05-01, 06:09:14Z Uhr. Maximal {{PLURAL:5000|ein Ergebnis ist|5000 Ergebnisse sind}} im Cache verfügbar. {| class="sortable wikitable" ! 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Du kannst '''Pro- und Kontra-Argumente sammeln''', analysieren und eine '''gut begründete Empfehlung''' geben. === Überzeugende Kommunikation === Beispiel: Eine Vorgesetzte muss überzeugt werden, in ein neues Software-Tool zu investieren. Eine '''strukturierte Argumentation''' erleichtert es, ihn zu überzeugen. === Berichte und Analysen === Beispiel: Ein Bericht zur '''Marktentwicklung oder Produktstrategie'''. Eine '''sachliche, ausgewogene Analyse''' hilft, die beste Entscheidung zu treffen. === Verhandlungen === Beispiel: Preisverhandlungen mit einem Lieferanten. Eine '''gut vorbereitete Argumentation''' stärkt die Verhandlungsposition. === Beschwerden oder Reklamationen === Beispiel: Eine Reklamation an einen Geschäftspartner. Eine sachliche Erörterung hilft, den Fall nachvollziehbar zu schildern. = Quiz = <quiz display="simple"> { Was sind minimale '''Bewertungskriterien''' für alle handgeschriebenen freien [[:w:Erörterung|Erörterungen]]? } + Der Text entspricht der vorgegebenen '''Länge'''. (4 Punkte) + '''Rechtschreibung''', '''Zeichensetzung''' und Wortwahl sind korrekt. (2 Punkte) + Die '''Grammatik''' (Fälle, Zeit usw.) ist korrekt. (2 Punkte) + Die '''Ausdrucksfähigkeit''' (Stil, Wortschatz, abwechslungsreicher Satzbau) ist gut. (2 Punkte) + Eingangs wird '''Interesse geweckt'''. (0.5 Punkte) + Die '''einleitende Zusammenfassung''' ist vorhanden und nachvollziehbar. (1 Punkte) + Die Einleitung '''leitet zum Hauptteil über'''. (0.5 Punkte) + Etwaige '''Pro-Argumente''' sind sinnvoll angeordnet und nachvollziehbar. (3 Punkte) + Etwaige '''Kontra-Argumente''' sind sinnvoll angeordnet und nachvollziehbar. (3 Punkte) + Die '''abschliessende Zusammenfassung''' ist vorhanden und sinnvoll. (1 Punkt) + Der '''abschliessende Ausblick''' ist vorhanden und sinnvoll. (1 Punkt) { Die folgende Erörterung ist ungeordnet. Schreibe in die Lücken '''Einleitung''', '''Hauptteil''' oder '''Schluss''': | type="{}" } { Hauptteil }: ''Als Bürokauffrau organisiere ich interne Besprechungen und Termine mit Kunden und Lieferanten. Dafür koordiniere ich die Verfügbarkeiten aller Beteiligten und sorge dafür, dass alles reibungslos abläuft. Ich bin auch die Schnittstelle zwischen dem Unternehmen und seinen Kunden sowie Lieferanten. Das bedeutet, dass ich E-Mails und Anrufe bearbeite, um sicherzustellen, dass alle Anfragen und Anliegen zeitnah beantwortet werden und dass Kunden sowie Lieferanten sich gut betreut fühlen. Des Weiteren verwalte ich Dokumente: Ich erstelle, bearbeite und archiviere Verträge und Rechnungen, die für den reibungslosen Ablauf des Unternehmens erforderlich sind. Neben diesen Aufgaben unterstütze ich mein Team: ich helfe bei Projekten, mache Recherchen, assistiere bei der Vorbereitung von Präsentationen. Ich bin also eine Art Allrounderin.'' { Schluss }: ''Abschliessend gesagt sind meine Fähigkeiten in der Büroorganisation, im Zeitmanagement und in der Kommunikation entscheidend für den Erfolg des Unternehmens. Weil meine Arbeit viel wert ist, könnte ich fairer entlohnt werden.'' { Einleitung }: ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee. Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team. Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' { Betitle folgende Abschnitte: '''Abschliessender Ausblick''', '''Abschliessende Zusammenfassung''', '''Drittes Argument''', '''Einleitende Zusammenfassung''', '''Erstes Argument''', '''Interesse wecken''', '''Überleitung zum Hauptteil''', '''Viertes Argument''', '''Zweites Argument'''. | type="{}" } { Interesse wecken }: ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee.'' { Einleitende Zusammenfassung }: ''Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team.'' { Überleitung zum Hauptteil }: ''Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' { Erstes Argument }: ''Als Bürokauffrau organisiere ich interne Besprechungen und Termine mit Kunden und Lieferanten. Dafür koordiniere ich die Verfügbarkeiten aller Beteiligten und sorge dafür, dass alles reibungslos abläuft.'' { Zweites Argument }: ''Ich bin auch die Schnittstelle zwischen dem Unternehmen und seinen Kunden sowie Lieferanten. Das bedeutet, dass ich E-Mails und Anrufe bearbeite, um sicherzustellen, dass alle Anfragen und Anliegen zeitnah beantwortet werden und dass Kunden sowie Lieferanten sich gut betreut fühlen.'' { Drittes Argument }: ''Des Weiteren verwalte ich Dokumente: Ich erstelle, bearbeite und archiviere Verträge und Rechnungen, die für den reibungslosen Ablauf des Unternehmens erforderlich sind.'' { Viertes Argument }: ''Neben diesen Aufgaben unterstütze ich mein Team: ich helfe bei Projekten, mache Recherchen, assistiere bei der Vorbereitung von Präsentationen. Ich bin also eine Art Allrounderin.'' { Abschliessende Zusammenfassung }: ''Abschliessend gesagt sind meine Fähigkeiten in der Büroorganisation, im Zeitmanagement und in der Kommunikation entscheidend für den Erfolg des Unternehmens.'' { Abschliessender Ausblick }: ''Weil meine Arbeit somit viel wert ist, könnte ich fairer entlohnt werden.'' { Nummeriere folgende Abschnitte von 1 bis 9 in der richtigen Reihenfolge: | type="{}" } { 7 _3} ''Viertens unterstütze ich mein Team: ich helfe bei Projekten, mache Recherchen, assistiere bei der Vorbereitung von Präsentationen. Ich bin also eine Art Allrounderin.'' { 6 _3} ''Drittens verwalte ich Dokumente: Ich erstelle, bearbeite und archiviere Verträge und Rechnungen, die für den reibungslosen Ablauf des Unternehmens erforderlich sind.'' { 2 _3} ''Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team.'' { 9 _3} ''Weil meine Arbeit viel wert ist, könnte ich fairer entlohnt werden.'' { 4 _3} ''Erstens organisiere ich als Bürokauffrau interne Besprechungen und Termine mit Kunden und Lieferanten. Dafür koordiniere ich die Verfügbarkeiten aller Beteiligten und sorge dafür, dass alles reibungslos abläuft.'' { 1 _3} ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee.'' { 5 _3} ''Zweitens bin ich eine Schnittstelle zwischen dem Unternehmen und seinen Kunden sowie Lieferanten. Das bedeutet, dass ich E-Mails und Anrufe bearbeite, um sicherzustellen, dass alle Anfragen und Anliegen zeitnah beantwortet werden und dass Kunden sowie Lieferanten sich gut betreut fühlen.'' { 8 _3} ''Meine Fähigkeiten in der Büroorganisation, im Zeitmanagement und in der Kommunikation sind somit entscheidend für den Erfolg des Unternehmens.'' { 3 _3} ''Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' { Welche der folgenden sechs Aufgabenstellungen passt zur folgenden Einleitung? ''«Wow, mit deinem gemütlichen Beruf trinkst du gewiss den ganzen Tag Kaffee und plauderst mit Kolleginnen.» Leider konfrontieren mich Freunde immer wieder mit diesem Klischee. Als Bürokauffrau ist es oft schwierig, den eigenen Wert zu bestimmen, besonders bei Lohnverhandlungen. Dabei leiste ich viel: Ich organisiere Termine, kommuniziere mit Kunden und Lieferanten, verwalte Dokumente und unterstütze mein Team. Wie «wertvoll» ist diese Arbeit?'' } - Erörtere das Zitat: «Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe.» Khalil Gibran - «Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe.» Stimmt der Satz von Khalil Gibran? + Was ist meine Arbeit wert? Erörtere die Frage. - Wird meine Arbeit wertgeschätzt? Erörtere die Frage. - Was ist wichtiger: Wertschätzung oder Lohn? Erörtere die Frage. - Was ist das Wichtigste im Leben? Erörtere die Frage. { Benenne folgende Abschnitte mit '''Abschliessender Ausblick''', '''Abschliessende Zusammenfassung''', '''Pro-Argument''', '''Einleitende Zusammenfassung''', '''Kontra-Argument''', '''Interesse wecken''' oder '''Überleitung zum Hauptteil''' (nicht alles passt!). | type="{}" } { Interesse wecken }: ''«Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe», sagt Khalil Gibran. Wow, meine Arbeit als Bürokauffrau ist also vielleicht eine Form der «Liebe».'' { Einleitende Zusammenfassung }: ''In meinem Beruf erledige ich Aufgaben und jongliere mit Zahlen. Aber um die Arbeit zu lieben, muss ich eine gute Beziehung mit KollegInnen und Kunden pflegen.'' { Überleitung zum Hauptteil }: ''Wie mache ich das?'' { Pro-Argument }: ''Den KollegInnen spendiere ich einmal pro Woche am Morgen Gipfeli. Ich wertschätze meine KollegInnen, indem ich bei Bedarf ihre Dossiers bearbeite. Weil ich weiss, was meine Mitarbeitenden leisten, kann ich ihnen konstruktives Feedback geben. Die gegenseitige Wertschätzung führt zu einem «liebevollen» Arbeitsklima in meiner Abteilung.'' { Pro-Argument }: ''Beim Kundenkontakt achte ich auf wertschätzende Sprache: Ich schreibe respektvoll und situationsangepasst. Bei Reklamationen versuche ich mich wohlwollend in die Situation der Kundschaft hineinzuversetzen. Bei Kundengesprächen habe ich ein offenes Ohr für individuelle Wünsche, damit sich die Kunden wohlfühlen. Wenn ich die Anfragen effizient bearbeite, sind die Kunden zufrieden und «haben mich gern». Ich erhalte positive Rückmeldungen von den Kunden, und das tut mir gut.'' { Abschliessende Zusammenfassung }: ''Abschliessend gesagt erinnert mich Gibrans Aussage daran, dass Arbeit mehr als nur etwas Anstrengendes sein soll: Arbeite ich «liebevoll» mit Mitarbeitenden und KundInnen, tut mir das gut.'' { Abschliessender Ausblick }: ''Aber was Gibran halt genau mit seiner «sichtbar gemachten Liebe» meinte, weiss ich nicht. (203 Wörter)'' { Obige Erörterung ist eine } + lineare Erörterung - Pro-Kontra-Erörterung { Benenne folgende Abschnitte mit '''Abschliessender Ausblick''', '''Abschliessende Zusammenfassung''', '''Pro-Argument''', '''Einleitende Zusammenfassung''', '''Kontra-Argument''', '''Interesse wecken''' oder '''Überleitung zum Hauptteil'''. | type="{}" } { Interesse wecken }: ''«Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe», behauptet Khalil Gibran.'' { Einleitende Zusammenfassung }: ''Ich mag meinen Job als Bürokauffrau, aber nicht alle lieben ihren Job.'' { Überleitung zum Hauptteil }: ''Ist Arbeit also allgemein mit «Liebe» vergleichbar?'' { Pro-Argument }: ''Weil ich Dossiers effizient bearbeite, helfe ich meiner Firma und unterstütze meine KollegInnen. Deshalb «liebt» mich mein Team.'' { Pro-Argument }: ''Den Kunden liefere ich pünktlich gute Ware und berate sie professionell am Telefon. Von ihnen erhalte ich wertschätzende Rückmeldungen. Das tut mir gut und deshalb «liebe» ich meine Arbeit.'' { Kontra-Argument }: ''Aber nicht alle Menschen lieben ihre Arbeit. Viele Menschen müssen einfach ihren Lebensunterhalt verdienen. Fliessbandarbeitende zum Beispiel haben eine monotone Arbeit, was psychisch belastet. Und in Berufen mit körperlicher Belastung schädigt man seinen Körper.'' { Kontra-Argument }: ''In vielen Berufen geht es zudem darum, Kosten zu senken, indem man Kundinnen und Kunden schlecht behandelt. Zum Beispiel muss man nutzlose Produkte aufschwatzen oder in Gesundheitsberufen unter Zeitdruck viele Patientinnen und Patienten betreuen. Das ist viel Arbeit, hat aber nicht mehr viel mit «Liebe» zu tun.'' { Kontra-Argument }: ''Eine Mehrheit arbeitet wohl nicht aus Leidenschaft, sondern freut sich auf Feierabend. Sie erlebt die «Liebe» zuhause im Privaten, zum Beispiel in einer Familie, und im Ruhestand.'' { Abschliessende Zusammenfassung }: ''Weil mir Gibrans Aussage auf den ersten Blick zu vereinfacht klingt, lehne ich sie ab.'' { Abschliessender Ausblick }: ''Wenn ich mehr über Gibran wüsste, könnte ich meine Meinung ändern. (208 Wörter)'' { Was ist in obiger Erörterung erkennbar? } + Blockprinzip - Lineare Erörterung - Ping-Pong-Prinzip + Pro-Kontra-Erörterung </quiz> = Praktische Übung = Lehrperson macht mit WordCloud die Umfrage ''Was provoziert mich gesellschaftlich?''. Die Umfrageresultate werden veröffentlicht und die Lernenden erhalten folgende Aufgabenstellung: Wählen Sie eines dieser Probleme aus.<br> Schreiben Sie zwischen 90 und 110 Wörter, indem Sie folgende Fragen beantworten:<br> Einleitung: Was ist das Problem?<br> Hauptteil: Warum ist das ein Problem oder kein Problem?<br> Schluss: Was ist zu tun? (falls etwas zu tun ist)<br> Sie haben dafür 20 Minuten Zeit. Nach Ablauf der 20 Minuten besprechen wir per Zufallsgenerator eine Ihrer Erörterungen.<br> <!--{ Ordne jeweils etwas zu: | typ="[]" } | Aussage | Geschlossene Frage | Offene Frage | Zitat -+-- Wird meine Arbeit wertgeschätzt? --+- Was ist meine Arbeit wert? +--- Meine Arbeit ist wertvoll. ---+ «Arbeit ist sichtbar gemachte Liebe.» Khalil Gibran--> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] g9qtdtnipwunlk98tibqq25m1sger23 106 168647 1078629 1078127 2026-05-02T08:15:01Z Bocardodarapti 2041 1078629 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Ordnung/Endliche Menge/Total geordnet/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ordnung/Lexikographisch/Definiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Auf N/Zweierpotenzen rausziehen/Totale Ordnung/Aufgabe|| 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|tipp=Beweise dies zuerst für {{ Vergleichskette | r || 2 || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |R^2/Produktordnung/Kreis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Zahlen/N/Obere Schranke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Mengen/Monotone Abbildungen/Standard/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilerdiagramm/100/Begriffe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fakultät/Teilt gleichlanges Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilbarkeit/Größergleichbeziehung/Ordnungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz=zuvor {{:Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Definition|}} |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Potenzmenge/Teilbarkeit/Teilmengenbeziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnungsstruktur/Unendliche Teilmengen von N+/Reelles halboffenes Einheitsintervall/Bijektiv/Kein Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Konvergente Folge/Grenzwertabbildung/Ordnungstheoretisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Inklusionsdiagramm/Dreielementige Menge/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreielementige Menge/Ordnungen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierelementige Menge/Ordnungen/Isomorphie/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Antimonoton/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geordnete Menge/Ein maximales Element/Größtes Element/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 39skkg1k0fp4u9y2rex22lmczaitwoy 106 168649 1078627 1071856 2026-05-02T08:12:14Z Bocardodarapti 2041 1078627 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Untergruppe/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Untergruppenverband/Teilmengenverband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Verbände/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Total geordnete Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Zweielementige Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionen/R nach R/Infimum und Supremum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Definition|}} {{ inputaufgabe |Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Teilbarkeit/Teilmengenbeziehung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In einem Verband gilt stets {{ Relationskette | x \sqcap x || x || || || |SZ= }} für jedes {{math|term= x |SZ=.}} Diese Eigenschaft nennt man {{Stichwort|Idempotenz|SZ=,}} sie tritt in einem Ring ebenfalls auf, aber typischerweise nur für gewisse Elemente. {{ inputaufgabe |Körper/Idempotente Elemente (erläutert)/Projektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Idempotent/Nichttrivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktionen/Idempotenz/Stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizen/Körper/2/Idempotent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verband/Beschränkt/Isoliertes Zwischendeck/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Boolescher Verband/Komplementäregeln/Doppelnegation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Boolescher Verband/Komplementäregeln/Neutrale Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geordnete Menge/Atome/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Boolescher 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tdvjdh7eedaazs7o0nif5v2ti7bg66j 106 170281 1078626 1078509 2026-05-02T05:56:19Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen */ 1078626 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Analog zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch für Dreieckintegrale unterschiedliche Darstellungen über [[Wegintegral|Wegintegrale]] und [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] finden. Ferner werden [[alternierender Randweg|alternierende Randwege]] für die Integraldarstellung betrachtet, die insbesondere für Polygonen deren Flächenintegrale eine besondere Rolle spielen. <span id="Lemma"></span> == Darstellungslemma für Dreiecksintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3\in G</math> und die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3\})\subset G</math>. <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Rechteckfläche]] <math>\gamma_{_\Delta}</math> folgende Darstellungen (D1-D2): <span id="D1"></span> === (D1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (W1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_1,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} F(z) \, dz = \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & F_{_\Box}(z_3) - F_{_\Box}(z_2) \\ \end{array} </math> <span id="D2"></span> === (D2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]]: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bemerkung 1 - Integraldarstellung und Konvexkombinationen === Das komplexwertige Flächenintegral hat einen Bezug zur [[orientierte Fläche|Orientierung]] bei der Darstellung der Punkte in der Dreiecksfläche. Ferner kann analog zum [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] die Fläche nicht nur mit der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> berechnen, sondern auf zwei unterschiedliche Wegen als Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. Strukturgleich zum [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] kann man auch bei Dreiecken das Flächenintegral über einen alternierenden Randweg darstellen. === Bemerkung 2 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist bereits durch das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] bekannt. Analog liefert die alternierende Orientierung auf dem Rand weg <math>-\langle z_1,z_2\rangle</math>, <math>\langle z_2,z_3\rangle</math> und <math>\langle z_3,z_1\rangle</math>, dass sich bei dem Integranden <math>\tfrac{1}{2}\cdot F</math> die Werte bei Polygonen mit ungerader Anzahl von Ecken im Anfangspunkt des [[alternierender Randweg|alternierenden Randweges]] (hier <math>z_1</math>) annulieren. === Bemerkung 3 - alternierender Rand - Vorzeichen === Die Wege auf dem Rand sind grün markiert worden, wenn diese gegen den Uhrzeigersinn auf dem Dreiecksrand durchlaufen werden und rot, wenn diese negative Orientierung besitzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Cauchy-Integralsatz === Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] liefert die Summe den beiden rot markierten Wegintegrale den gleichen Wert wie das Wegintegral über den grün markierten Weg (siehe auch [[Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit der Wegintegrale]], wenn [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktionen]] existieren) == Beweis - Darstellungslemma == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta \subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine offene konvexen Umgebung <math>U\supset \Delta</math> auf der <math>f</math> die [[Satz über lokale Stammfunktionen|lokale Stammfunktion]] <math>F</math> besitzt (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]]. Die Darstellung (D1) ergibt sich aus [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]]. (D2) ist noch zu zeigen. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Dreieck <math>\Delta:= \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit <math>\Delta\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 + (z_3-z_2) \cdot t_1\cdot t_2</math> mit <math>a_1=a_2=0</math> und <math>b_1=b_2=1</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_1}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Beweisschritt 2 - partielle Ableitungen === Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> als [[orientierte Fläche]] sind * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_1}(t_1,t_2) = (z_2-z_1) + (z_3-z_2) \cdot t_2</math> und * <math>\tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) = (z_3-z_2) \cdot t_1 </math>. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Dreieck <math>\Delta\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(b_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(1,t_2)}\big) - F\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(a_1,t_2)}_{=F\gamma_{_\Delta}(0,t_2)}\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die Ersetzung des Integrals durch die Stammfunktion erfolgt über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] bei Wegintegralen. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>\Delta \subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> wieder eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktion 2. Ordnung]]. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2] := [0,1]</math> nach <math>U</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int\limits_{a_2}^{b_2} \!\!\! \bigg( F\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2) \big) - F\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2) \big) \bigg) \!\cdot\! \tfrac{d\gamma_{_\Delta}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\Box\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Anfangs- und Endpunkte des Wegintergrals === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Dreiecks <math>\Delta</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_1,b_1]=[0,1]=[a_2,b_2]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_\Delta}(0,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,1)}_{=:z_{1}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_\Delta}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - alternierendes Randwegintegral === Für die Berechnung des Integrals wurde die [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_{_\Box}</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Anfangs- und Endpunkten der beiden Integrationswegen <math>\gamma_{_\Delta}(1,\cdot)</math> und <math>\gamma_{_\Delta}(0,\cdot)</math> ausgewertet. Diese Summe wird nun durch algebraische Umformungen als alternierendes Randwegintegral dargestellt. :<math> \begin{array}{lc} F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - 2\cdot \tfrac{1}{2} \cdot F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \underbrace{ - \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) + \tfrac{1}{2}\cdot F_{_\Box}\big(z_{1}\big) }_{=0} & = \\ -\tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{2}\big) - F_{_\Box}\big(z_{1}\big) \big) + \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{3}\big) - F_{_\Box}\big(z_{2}\big) \big) - \tfrac{1}{2} \cdot \big( F_{_\Box}\big(z_{1}\big) - F_{_\Box}\big(z_{3}\big) \big) \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - alternierendes Randwegintegral === Die obige Zerlegung als Differenzen der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] führt zu der folgenden Darstellung als alternierendes Randwegintegral (D2): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_1,z_2\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_2,z_3\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz - \!\!\!\! \underset{\langle z_3,z_1\rangle}{\int} \!\! \tfrac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Damit auch die Integraldarstellung (D2) für Dreieckes als alternierendes Randintegral bewiesen. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung zu Teilaussagen (D1) und (D2) === Für die Berechnung von Integralen ist (D1) von Bedeutung, da mit (D1) eine Flächenstammfunktion <math>F_{_{\Box}}</math> nur an zwei Stellen in der [[w:de:konvexe Menge|konvexen Menge]] ausgewertet werden muss. Die Darstellung (D2) ist für die Berechnung von Flächenintegrale für Vielecke (Polygone) als orientierte Fläche wesentlich, da die Dreieckzerlegung damit einen [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] erzeugt. == Aufgabe == Berechnen Sie das Flächenintegral des folgenden Dreiecks für <math> f(z)=exp(z)</math> für die orientierte Dreiecksfläche <math>\Delta:=\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> mit den Eckpunkten * <math>z_{1}:= 1+i</math> * <math>z_{2}:= 5+i\cdot 2</math> * <math>z_{3}:= 2+i\cdot 6</math> Verwenden Sie dazu [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|Maxima CAS]] oder [[b:de:GNU R|GNU R]]. == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[holomorphe Funktion]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] * [[Stammfunktion als Wegintegral]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] j7g3bdzfftvmu7r0ceeovm1irw43h1k 0 170282 1078631 1078618 2026-05-02T08:37:43Z Bocardodarapti 2041 1078631 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichung für t/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +v+3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | vw || {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. 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Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. 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Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} pkjie64lfhlsfcfg7ce4hffcnh0kb8m 1078635 1078634 2026-05-02T10:20:13Z Bocardodarapti 2041 1078635 wikitext text/x-wiki {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| y+1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. 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Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man erhält eine Matrixgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| II | I }} || {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Spaltenvektor| II | III }} || || || |SZ=. }} Die Matrix kann man als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || {{op:Matrix22| 1|0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Matrix22| 1|0| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | - v^2 }} || || || |SZ= }} schreiben. 95h2eds1qtavq5l8i8n289f4c726tna