Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1078681 1078623 2026-05-03T10:32:58Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078681 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 9buhsmfnp608zpxu18nz73sgb3776cn 0 163909 1078637 1077955 2026-05-02T18:25:44Z Jeb 26942 /* Freiraum26 */ 1078637 wikitext text/x-wiki ; Call 4 Papers https://2026.bibliocon.de/call-for-papers/ == Vorträge == ''[[BiblioCON 2026/Kooperation nearby|Digital nebenan: Wikidata ermöglicht Bibliothekskooperationen ‘nearby’, lokal und überregional weltweit]]'', von Jens Bemme (SLUB) und Alexander Winkler (digiS). ''Nicht angenomen'' ''[[A Librarians’ Guide to the Wikiverse: Welche Rolle spielen Wikipedia, Wikimedia Commons und Wikidata für Bibliotheken?]]'', Eva Seidlmayer (ZB MED), Daniel Mietchen (FIZ Karlsruhe) , Alexander Winkler (Zuse Institut/digiS) ''[[BiblioCON 2026/Inklusion_in_Bibliotheken|Wie kann Inklusion in Bibliotheken gestärkt werden?]]'', Juliane flade (SLUB Dresden) == Hands on Labs== ; Eingereicht ''[[ Bibliothekswelten im Wikiversum: Vom Zuschauen zum Mitmachen]]'' Hands-on-Lab von Daniel Mietchen (FIZ Karlsruhe), Eva Seidlmayer (ZB MED), Alexander Winkler (Zuse Institut/digiS) == Arbeitssitzungen == == Freiraum26 == https://2026.bibliocon.de/call-for-freiraum26/ ''Bibliotheken und das Wikiversum: Anwendungsfelder, Synergien und offene Fragen'',Donnerstag, 21. Mai, 17:00 – 18:00, https://bibliocon2026.abstractserver.com/program/#/details/sessions/355 mit Eva Seidlmayer, Alexander Winkler und Daniel Mietchen == Poster == Deadline: 20. März 2026, https://2026.bibliocon.de/call-for-papers/ == Kooperationen == == Bibliothek == <gallery> WikiBiblioCon.svg Europe oaicons.png </gallery> <references responsive /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Berlin]] ey2e7gxsqcmdubviu9gupuip9cnel24 106 170098 1078638 1077770 2026-05-03T06:03:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke */ 1078638 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über die [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> wurde in der Abbildung 7.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mn6uj7kb6xox1eugd6exfhh0g4jacrh 1078639 1078638 2026-05-03T06:06:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078639 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über die [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> wurde in der Abbildung 7.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eu83v06re2n31jidbn8ika5r9feprvc 1078640 1078639 2026-05-03T06:10:44Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078640 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über die [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> wurde in der Abbildung 7.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4l9cf6vvcoo9oygt392wuq23uw1e8yh 1078641 1078640 2026-05-03T06:16:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078641 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle</math> und dem kurzen Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle</math>. ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4u8xgnwdpzy8dg26ltajni72wd1br6c 1078642 1078641 2026-05-03T06:18:26Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078642 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle</math> und dem kurzen Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle</math>. ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ogz8jj54g7172x54eb0i2k0p5s5tz8j 1078643 1078642 2026-05-03T06:20:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078643 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(1,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 77t53cen1ub7ybu6c9n0u36t48pwqhl 1078644 1078643 2026-05-03T06:24:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078644 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(1,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(1,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1teu9oczbdoq1kqkcznr409j5kmr23g 1078645 1078644 2026-05-03T06:25:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078645 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] duqzyqxsalz0xvh8zmj9id7kdqhonf7 1078646 1078645 2026-05-03T06:29:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck */ 1078646 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k), z_{(4,n,k)} } \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0gaytp0o460igw9olnnq0cq00pnu93a 1078647 1078646 2026-05-03T07:24:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078647 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] t11wgzgi761bjaw5z2dmitck2wo6qyj 1078648 1078647 2026-05-03T07:30:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck */ 1078648 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_3 \rangle</math> darstellen. Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0paud6h2c1e75oxnm9rq5ebc9p9gjvj 1078649 1078648 2026-05-03T07:33:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke */ 1078649 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_3 \rangle</math> darstellen. Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s4nczv0d5p59c6zpamelbdztynapczr 1078650 1078649 2026-05-03T07:34:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck */ 1078650 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{lc} \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z \quad = \quad \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + 2\cdot \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz \quad + & \\ \quad + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \quad + \quad \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0si1twte48mdpkpiuhi1w4ddcc3oztn 1078651 1078650 2026-05-03T07:49:33Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck */ 1078651 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.6 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\int} \!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r5qktbpzj6vi8idz248erccvw28ay92 1078652 1078651 2026-05-03T07:50:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke */ 1078652 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.6 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\int} \!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kwuecil6ugagyts9xsee4yootvzolq8 1078653 1078652 2026-05-03T07:57:44Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke */ 1078653 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.6 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\int} \!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k0khuty7p4wiv6ykj3brx5v5yysbfqb 1078654 1078653 2026-05-03T08:09:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks */ 1078654 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.6 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\int} \!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q1wgtknyp29yqid7zz7245xznu9xxzk 1078655 1078654 2026-05-03T08:14:01Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen */ 1078655 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.6 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\int} \!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ho4t27jv8nj7mo0j5w00iyizmctvk7u 1078656 1078655 2026-05-03T08:14:31Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung 8.1 - Annulliederende Wegintegrale */ 1078656 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.6 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\int} \!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l1d28fm3pkjydnmkm5c36hnojfs35kn 1078657 1078656 2026-05-03T08:16:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke */ 1078657 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.6 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bqluv81xbd8ibkaabhbpjogf67zx0da 1078658 1078657 2026-05-03T08:17:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck */ 1078658 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 723wvk362kvtfmx5uyrdck4c0pdq2pk 1078659 1078658 2026-05-03T08:17:28Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.6 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke */ 1078659 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] di42qx7m5daybbwpybf8jqgvte6x08m 1078660 1078659 2026-05-03T08:26:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 7.7 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks */ 1078660 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.1 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke === Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4bt0wvld1d2wwjg41dsf3j7vxbxj677 1078661 1078660 2026-05-03T08:27:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 9 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke */ 1078661 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.1 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fvqlr5uw0p9ilds2tcnkt4wevbkrbse 1078662 1078661 2026-05-03T08:28:27Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke */ 1078662 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.1 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mi1lki7x8863n11wak7zbvb8suhk7j3 1078663 1078662 2026-05-03T08:28:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8.1 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks */ 1078663 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.6 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] birirfbmhjwd1my7tg2q7ya5o9842q4 1078664 1078663 2026-05-03T08:29:58Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks */ 1078664 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ain6mocpmynng0si3e6vne4a9p2w2wb 1078665 1078664 2026-05-03T08:37:28Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks */ 1078665 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen === Da das Flächenintegral über das Dreieck als Summe von zwei Wegintegralen ergänzt wurde, wird nun noch das Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> zum zerlegt Wegintegral über <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n-1 \}</math> ergänzt. : :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ \end{array} </math> Das zweite Wegintegral über <math>\langle z_3, z_1 \rangle</math> bzgl. der [[lokale Stammfunktion|lokalen Stammfunktion]] <math>F</math> wurde ebenfalls zerlegt und in der Abbildung 8.1 grün markiert. ==== Beweisschritt 8.2 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jazfxqroupfk7td9pllioyuj4oshjxn 1078666 1078665 2026-05-03T08:38:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8 - Zweites Wegintegral hinzufügen */ 1078666 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Integraldarstellung ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jqw3erustiee0h9j6m90oxxsfecfnuw 1078667 1078666 2026-05-03T08:39:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 8.4 - Integraldarstellung */ 1078667 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 10 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man für ein feste <math>n</math> sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math>. Bei einem Grenzwertübergang von <math>m\to \infty</math> gilt dann u.a. die Approximationsaussage der Behauptung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ &=& \displaystyle 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f3srsayc99lqyciipecec7i7sd7tqw5 1078668 1078667 2026-05-03T08:42:52Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 10 - Integraldarstellung */ 1078668 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche <math>n</math> gibt dabei die äquidistante Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das komplexe Flächenintegrale von <math>f</math> bzgl. <math>\Delta</math> wie folgt definiert: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c7qws6sllew8qjkyd0lxjfg7r198gag 1078669 1078668 2026-05-03T08:46:07Z Bert Niehaus 20843 /* Approximation der Dreiecksfläche */ 1078669 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === Als Hilfssatz wird zunächst das Approximationslemma bewiesen, das die Aussage für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dass der [[orientierte Fläche|orientierte Flächeninhalt]] des Dreiecks nicht nur den doppelten eingeschriebenen orientierte Flächeninhalt durch die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert wird, sondern diesen für holomorphe Funktionen exakt für beliebige Zerlegungen der Feinheit <math>n</math> darstellt, zeigt der [[Zerlegungssatz für Dreiecke]]. === Vom Lemma zum Approximationssatz === Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck in mehrere achsenparalle Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann das Approximationslemma angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche Zahl <math>n</math> gibt dabei die Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das Flächenintegrale von <math>f</math> über die orientierte Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man wie folgt: :<math> \int_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] j4sbhdbbjw7h9x0tektx9oxa2dvze4d 1078670 1078669 2026-05-03T09:07:22Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationssatz für Dreiecke */ 1078670 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === In dem Beweis des Satzes wird zunächst das Integral über die [[orientierte Fläche]] über eine Wegintegral <math>\langle z_2,z_3\rangle </math> bzgl. einer [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> auf konvexen Gebieten ausgedrückt. Die Aussage gilt dann für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dabei wird im Beweis das Doppelte des [[orientierte Fläche|orientierten Flächeninhalt]] des Dreiecks durch den doppelten Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und einem Rest von Wegintegralen ausgedrückt, der dann in einem Grenzwertübergang die Approximationsaussage wachsender Feinheit <math>n</math> der Zerlegung darstellt. === Bemerkung - Untersummen beim Riemannintegral === Diese Grundidee ist analog zur Approximation eines Riemannintegrals in der Oberstufe durch Untersummen in der reellen Analysis. === Approximationssatz - beliebige Dreiecke=== Das Approximationslemma wird hier für achsenparallel rechtwinklige Dreieck geführt. Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck durch Subtraktion und Addition von mehrere achsenparalle rechtwickligen Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann der Approximationssatz angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Aufgabe - Parallelogramme - Approximationssatz === Analysieren Sie die Beweisschritte im Approximationssatz. Verallgemeinern Sie die obige Aussage durch eine Approximation eine beliebigen Dreiecks durch eine Summe von [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegralen]] über [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramme]], dessen Integral sich als orientierte Fläche analog zu Recheckintegralen darstellen lässt. === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche Zahl <math>n</math> gibt dabei die Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das Flächenintegrale von <math>f</math> über die orientierte Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man wie folgt: :<math> \int_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nhwypxmvwzp5xrgy8r3eoct45i8u2wg 1078671 1078670 2026-05-03T09:08:41Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Parallelogramme - Approximationssatz */ 1078671 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === In dem Beweis des Satzes wird zunächst das Integral über die [[orientierte Fläche]] über eine Wegintegral <math>\langle z_2,z_3\rangle </math> bzgl. einer [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> auf konvexen Gebieten ausgedrückt. Die Aussage gilt dann für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dabei wird im Beweis das Doppelte des [[orientierte Fläche|orientierten Flächeninhalt]] des Dreiecks durch den doppelten Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und einem Rest von Wegintegralen ausgedrückt, der dann in einem Grenzwertübergang die Approximationsaussage wachsender Feinheit <math>n</math> der Zerlegung darstellt. === Bemerkung - Untersummen beim Riemannintegral === Diese Grundidee ist analog zur Approximation eines Riemannintegrals in der Oberstufe durch Untersummen in der reellen Analysis. === Approximationssatz - beliebige Dreiecke=== Das Approximationslemma wird hier für achsenparallel rechtwinklige Dreieck geführt. Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck durch Subtraktion und Addition von mehrere achsenparalle rechtwickligen Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann der Approximationssatz angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche Zahl <math>n</math> gibt dabei die Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das Flächenintegrale von <math>f</math> über die orientierte Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man wie folgt: :<math> \int_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] apdqq9c05bahdvb4x27ndnmgsnb4tck 1078672 1078671 2026-05-03T09:09:10Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078672 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === In dem Beweis des Satzes wird zunächst das Integral über die [[orientierte Fläche]] über eine Wegintegral <math>\langle z_2,z_3\rangle </math> bzgl. einer [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> auf konvexen Gebieten ausgedrückt. Die Aussage gilt dann für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dabei wird im Beweis das Doppelte des [[orientierte Fläche|orientierten Flächeninhalt]] des Dreiecks durch den doppelten Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und einem Rest von Wegintegralen ausgedrückt, der dann in einem Grenzwertübergang die Approximationsaussage wachsender Feinheit <math>n</math> der Zerlegung darstellt. === Bemerkung - Untersummen beim Riemannintegral === Diese Grundidee ist analog zur Approximation eines Riemannintegrals in der Oberstufe durch Untersummen in der reellen Analysis. === Approximationssatz - beliebige Dreiecke=== Das Approximationslemma wird hier für achsenparallel rechtwinklige Dreieck geführt. Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck durch Subtraktion und Addition von mehrere achsenparalle rechtwickligen Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann der Approximationssatz angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = 2\cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche Zahl <math>n</math> gibt dabei die Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das Flächenintegrale von <math>f</math> über die orientierte Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man wie folgt: :<math> \int_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Aufgabe - Parallelogramme - Approximationssatz == Analysieren Sie die Beweisschritte im Approximationssatz. Verallgemeinern Sie die obige Aussage durch eine Approximation eine beliebigen Dreiecks durch eine Summe von [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegralen]] über [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramme]], dessen Integral sich als orientierte Fläche analog zu Recheckintegralen darstellen lässt. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s241xsnzhp0ngxd8wx7fq7j2mutvjcu 106 170179 1078682 1077964 2026-05-03T10:40:37Z Bert Niehaus 20843 /* Integralgrenzen der orientierte Fläche */ 1078682 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 2+i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{1}{2} \, z_0^2 \, r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt qudratisch vom Radius und vom Mittelpunkt ab. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Wahl der orientierte Fläche === Die obige Darstellung der Dreiecksfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen dazu, dass der Wert des Integrals über die orientierten Flächen nur von der Flächenstammfunktion der Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_3]\to \mathbb{C}</math> abhängt, d.h. von <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math>. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. Wie kann man das obige Doppelintegral als Spezialfall der Flächenintegration über Kreisscheiben auffassen? Stellen Sie diesen Zusammenhang in der Übung vor! === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertung des Flächenintegrals durch ein einzelnes Rechteck in den Integralgrenzen aufheben. Dies wird in den folgenden Berechnungen gezeigt und auch der zugehörige orientierte Flächeninhalt von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) = r e^{i t_1} + r\cdot t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot e^{i t_1} - 2\cdot r\cdot i \cdot \sin(t_1) = r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i \sin(t_1)\big) \\ &=& r\cdot \big( \cos(t_1) - i \sin(t_1) \big) \\ & = & r\cdot \big( \cos(-t_1) + i \sin(-t_1) \big) = re^{-i t_1} \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot e^{-i t_1} - e^{i t_1} = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> Damit ergibt sich obige Gradient <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-i t_1} \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. == Definition - Standardflächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. == Flächenintegral über Standardkreisscheibe == Mit der [[Definition Flächenintegral|Definition des Flächenintegrals]] erhält man für <math>f:G\to \mathbb{C}</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] und <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. In der folgenden Darstellung ist <math>F: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion und <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|lokale Flächenstammfunktion]] von <math>f</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1gh4bnff05dm4fhyxq6u2y3o0rvljpa 1078683 1078682 2026-05-03T10:43:52Z Bert Niehaus 20843 /* Wahl der orientierte Fläche */ 1078683 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 2+i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{1}{2} \, z_0^2 \, r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt qudratisch vom Radius und vom Mittelpunkt ab. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Dreiecksfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen dazu, dass der Wert des Integrals über die orientierten Flächen nur von der Flächenstammfunktion der Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_3]\to \mathbb{C}</math> abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> hängt nur von <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> auf der konvexen Hülle der Eckpunkte ab. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. Wie kann man das obige Doppelintegral als Spezialfall der Flächenintegration über Kreisscheiben auffassen? Stellen Sie diesen Zusammenhang in der Übung vor! === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertung des Flächenintegrals durch ein einzelnes Rechteck in den Integralgrenzen aufheben. Dies wird in den folgenden Berechnungen gezeigt und auch der zugehörige orientierte Flächeninhalt von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) = r e^{i t_1} + r\cdot t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot e^{i t_1} - 2\cdot r\cdot i \cdot \sin(t_1) = r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i \sin(t_1)\big) \\ &=& r\cdot \big( \cos(t_1) - i \sin(t_1) \big) \\ & = & r\cdot \big( \cos(-t_1) + i \sin(-t_1) \big) = re^{-i t_1} \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot e^{-i t_1} - e^{i t_1} = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> Damit ergibt sich obige Gradient <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-i t_1} \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. == Definition - Standardflächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. == Flächenintegral über Standardkreisscheibe == Mit der [[Definition Flächenintegral|Definition des Flächenintegrals]] erhält man für <math>f:G\to \mathbb{C}</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] und <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. In der folgenden Darstellung ist <math>F: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion und <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|lokale Flächenstammfunktion]] von <math>f</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g89c5tpwattcxcvnzsoochw31vp672e 1078684 1078683 2026-05-03T10:48:37Z Bert Niehaus 20843 /* Wahl der orientierten Fläche */ 1078684 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 2+i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{1}{2} \, z_0^2 \, r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt qudratisch vom Radius und vom Mittelpunkt ab. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. Wie kann man das obige Doppelintegral als Spezialfall der Flächenintegration über Kreisscheiben auffassen? Stellen Sie diesen Zusammenhang in der Übung vor! === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertung des Flächenintegrals durch ein einzelnes Rechteck in den Integralgrenzen aufheben. Dies wird in den folgenden Berechnungen gezeigt und auch der zugehörige orientierte Flächeninhalt von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) = r e^{i t_1} + r\cdot t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot e^{i t_1} - 2\cdot r\cdot i \cdot \sin(t_1) = r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i \sin(t_1)\big) \\ &=& r\cdot \big( \cos(t_1) - i \sin(t_1) \big) \\ & = & r\cdot \big( \cos(-t_1) + i \sin(-t_1) \big) = re^{-i t_1} \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot e^{-i t_1} - e^{i t_1} = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> Damit ergibt sich obige Gradient <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-i t_1} \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. == Definition - Standardflächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. == Flächenintegral über Standardkreisscheibe == Mit der [[Definition Flächenintegral|Definition des Flächenintegrals]] erhält man für <math>f:G\to \mathbb{C}</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] und <math>G</math> [[einfach zusammenhängend]] mit <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math>. In der folgenden Darstellung ist <math>F: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math> eine lokale Stammfunktion und <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math> eine [[Stammfunktionen höherer Ordnung|lokale Flächenstammfunktion]] von <math>f</math>. == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 20cry8p7nzrsh83henzasn9nxwaug9d 106 170272 1078679 1078572 2026-05-03T09:40:17Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078679 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Polygonintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,\ldots,z_n\in G</math> des Polygon <math>V(n):= V(z_1,\ldots , z_n) </math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots,z_n\})\subseteq G</math> in <math>G</math> liegt. Mit der Stammfunktion <math>F</math> und der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Polygonfläche]] <math>\gamma_{_{V_n}}</math> folgende Darstellungen (P1-P2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n-1)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot \!\!\!\! \underset{\langle z_k,z_{k+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis - Übungsaufgabe == Fertigen Sie für (P1) und (P2) zunächst eine Skizze an mit der Sie Ihre Beweisidee begründen. Ersetzen Sie dazu ggf. die Wegintegral entsprechend, indem Sie weiter Paare von Wegintegrale ergänzen, die sich in der Summe annullieren. Diese Vorgehen kennen Sie bereits beim [[Lemma von Goursat]] oder dem [[Approximationssatz für Dreiecke]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] cd15vq4mucnp2ygzuu2lrnl3azf6kkq 1078680 1078679 2026-05-03T10:32:13Z Bert Niehaus 20843 1078680 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die Berechnung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] von [[w:de:Polygon|Polygonen]] erfolgt mit einer geometrischen Grundidee über die Zerlegung eines Vielecks ([[w:de:Polygon|Polygone]]) in Teildreiecke. Die Berücksichtung der Ränder von Dreiecken mit mehreren Flächenintegralen verletzt streng genommen die <math>\sigma</math>-Additivität von Maßen. Die Ränder von kompakten messbaren Mengen sind bei [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] sind [[Nullmenge|Nullmengen]] bzgl. des Lebesque-Maßes auf der Borelschen <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> bzw. <math>\mathcal{B}(G)</math> für eine [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>. === Nullmengen-Sigma-Additivität === Die [[Nullmengen-Sigma-Additivität]] erweitert die Axiom der <math>\sigma</math>[[Sigma-Additivität|-Additivität]] von paarweise disjunkte Mengen <math>A_n</math> auf Mengen, dessen paarweiser Schnitt [[Nullmenge|Nullmengen]] sind. === Dreieckszerlegung === Die Berechnung des Integrals für eine [[orientierte Fläche]] für eine Polygon mit <math>V:= \langle z_1, \ldots , z_n \rangle</math> erfolgt über Zerlegung des <math>n</math>-Ecks in <math>n</math> Dreiecke und der Wert des Integrals erfolgt über Summation der Flächenintegrale über die Dreiecke. === Flächenintegralsatz für Dreiecks === Für einzelne Dreiecke kann man den [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] für Dreiecke anwenden, um das Flächenintegral durch ein Wegintegral über den Rand einer Dreiecksseite auszudrücken. Wie bei Dreiecken und Vierecken konnten man ferner über orientierte Flächenintegral über Darstellungssätze für Dreiecke und Vierecke über alternierende Randwegintegrale ausdrücken. === Veranschaulichung - alternierender Randweg === Durch Hinzufügen eines weiteren Punktes <math>z_0</math> im Inneren der [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte <math>z_1 ,\ldots , z_n\in G</math>. In der Abbildung wird der alternierende Randweg in einem Sechseck gezeigt. [[File:Polygon v01.svg|350px|center|alternierendes Randwegintegral für Polygone]] === Bemerkung - orientiertes Flächenintegral === Ziel ist das Integral über die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1 ,\ldots , z_n\})</math> der Eckpunkte eine Teilmenge des Definitionsbereiches <math>G</math> der Funktion <math>f</math> ist. == Darstellungslemma für Polygonintegrale == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,\ldots,z_n\in G</math> des Polygon <math>V(n):= V(z_1,\ldots , z_n) </math>, wobei die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots,z_n\})\subseteq G</math> in <math>G</math> liegt. Mit der Stammfunktion <math>F</math> und der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math>. Dann hat das komplexe Flächenintegral über die [[orientierte Fläche|orienterte Polygonfläche]] <math>\gamma_{_{V_n}}</math> folgende Darstellungen (P1-P2): <span id="P1"></span> === (P1) Wegintegralsumme über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> folgende Darstellung (P1): :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n-1)}}} f(z) \, d^2\! z + (-1)^{n+1} \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \bigg( \underset{\langle z_n,z_{1}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & & \displaystyle - \!\!\!\! \underset{\langle z_n,z_{n+1}\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\! \underset{\langle z_{n+1}, z_1\rangle}{\int} \!\!\! F(z) \, dz \bigg) \\ \end{array} </math> <span id="P2"></span> === (P2) Alternierende Randweg über Stammfunktion === Mit der Stammfunktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> von <math>f</math> hat das orientierte Flächenintegral folgende Darstellung über den [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] mit <math>z_{n+1}:=z_1</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_{V(n)}}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \cdot \!\!\!\! \underset{\langle z_k,z_{k+1}\rangle}{\int} \frac{1}{2}\cdot F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Veranschaulichung - Vorzeichen Integrale === Die wechselnden Vorzeichen bei den Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> im [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] liefert die Orientierung der beiden Integrationsweges <math>\langle z_1,z_2\rangle</math> vom Integral über den Weg <math>\langle z_3,z_4\rangle</math>. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] === Bemerkung - Wegintegrale als Konvexkombinationen === In dem obigen Darstellungslemma bezeichnet <math>\gamma := \langle z_i,z_k \rangle</math> einen [[Wegintegral|Integrationweg]], der als [[Konvexkombination]] wie folgt definiert ist. :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot z_i + t\cdot z_k \end{array} </math> Ferner gilt <math display="inline"> \int_{\langle z_k,z_i \rangle} F(z) \, dz = -\int_{\langle z_i,z_k \rangle} F(z) \, dz </math> über die innere Ableitung der Parametertransformation. == Beweis - Übungsaufgabe == Fertigen Sie für (P1) und (P2) zunächst eine Skizze an mit der Sie Ihre Beweisidee begründen. Ersetzen Sie dazu ggf. die Wegintegral entsprechend, indem Sie weiter Paare von Wegintegrale ergänzen, die sich in der Summe annullieren. Diese Vorgehen kennen Sie bereits beim [[Lemma von Goursat]] oder dem [[Approximationssatz für Dreiecke]]. == Siehe auch == * [[Kurs:Stochastik/Nullmenge|Nullmenge in der Stochastik]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] nzd3rbdk0wki9758aekp1y1we90sl8k 106 170292 1078673 1078620 2026-05-03T09:12:42Z Bert Niehaus 20843 /* Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg */ 1078673 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. === Polygone - nicht konvex === In den Voraussetzungen wird verlangt, dass die konvexe Hülle der Eckpunkte ganz in dem Gebiet <math>G</math> als Definitionsbereich der holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> liegen. Die Bedeutung dieser Voraussetzung wird bei der Ersetzung von Wegintegralen deutlich, wenn das Polygon selbst nicht konvex ist. Dies zeigt die folgende Abbildung: == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Spur eines Weges]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] c2pz2ez4xtkp7qse72g3vwrn669nno6 1078674 1078673 2026-05-03T09:22:10Z Bert Niehaus 20843 /* Polygone - nicht konvex */ 1078674 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. === Polygone - nicht konvex === In den Voraussetzungen wird verlangt, dass die konvexe Hülle der Eckpunkte ganz in dem Gebiet <math>G</math> als Definitionsbereich der holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> liegen. Die Bedeutung dieser Voraussetzung wird bei der Ersetzung von Wegintegralen deutlich, wenn das Polygon selbst nicht konvex ist. Dies zeigt die folgende Abbildung, bei der der Weg <math>\widetilde{\gamma_1}</math> ggf. nicht mehr in dem Definitionsbereich <math>G</math> der Funktion <math>f:\to \mathbb{C}</math> liegt, wenn die konvexe Hülle der Eckpunkte nicht ganz in <math>G</math> liegt. ==== Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex ==== [[File:Polygon v04.svg|300px|center|Polygon not convex with line integral with alternating orientation created with OpenSource Geogebra and exported to SVG]] == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Spur eines Weges]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ry44yll2f1ruvn05u8mc0lwa6tg0r7f 1078675 1078674 2026-05-03T09:30:22Z Bert Niehaus 20843 /* Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte */ 1078675 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. === Polygone - nicht konvex === In den Voraussetzungen wird verlangt, dass die konvexe Hülle der Eckpunkte ganz in dem Gebiet <math>G</math> als Definitionsbereich der holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> liegen. Die Bedeutung dieser Voraussetzung wird bei der Ersetzung von Wegintegralen deutlich, wenn das Polygon selbst nicht konvex ist. Dies zeigt die folgende Abbildung, bei der der Weg <math>\widetilde{\gamma_1}</math> ggf. nicht mehr in dem Definitionsbereich <math>G</math> der Funktion <math>f:\to \mathbb{C}</math> liegt, wenn die konvexe Hülle der Eckpunkte nicht ganz in <math>G</math> liegt. ==== Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex ==== [[File:Polygon v04.svg|300px|center|Polygon not convex with line integral with alternating orientation created with OpenSource Geogebra and exported to SVG]] == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Reduktion im Dreieck auf einen Eckpunkt == Bei geschlossenen Wege (wie im [[Lemma von Goursat]]) lässt sich das Randwegintegral durch sukzessive Anwendung auf ein Integral <math>\langle z_1,z_1\rangle </math> reduzieren. Bei der Differenz der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist damit Integral 0. Dies stellt den Zusammenhang zwischen dem Eckenreduktionssatz und dem [[Cauchy-Integralsatz]] her, wenn man diesen auf geschlossene Polygone und geschlossene Integrationswege über den Rand des Polygons anwendet. Die wesentliche Aussage ist aber beim Eckenreduktionssatz, dass nur wechselnde Integralrichtungen (so wie beim [[Lemma für Rechteckintegrale]]) bzw. wechsende Vorzeichen bei den [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] einen Beitrag zum orientierten Flächenintegral liefern. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Spur eines Weges]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0diz8ml4r0a2ahovinlgulitk091q8u 1078676 1078675 2026-05-03T09:31:27Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex */ 1078676 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. === Polygone - nicht konvex === In den Voraussetzungen wird verlangt, dass die konvexe Hülle der Eckpunkte ganz in dem Gebiet <math>G</math> als Definitionsbereich der holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> liegen. Die Bedeutung dieser Voraussetzung wird bei der Ersetzung von Wegintegralen deutlich, wenn das Polygon selbst nicht konvex ist. Dies zeigt die folgende Abbildung, bei der der Weg <math>\widetilde{\gamma_1}</math> ggf. nicht mehr in dem Definitionsbereich <math>G</math> der Funktion <math>f:\to \mathbb{C}</math> liegt, wenn die konvexe Hülle der Eckpunkte nicht ganz in <math>G</math> liegt. ==== Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex ==== [[File:Polygon v04.svg|300px|center|Polygon not convex with line integral with alternating orientation created with OpenSource Geogebra and exported to SVG]] == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Reduktion im Dreieck auf einen Eckpunkt == Bei geschlossenen Wege (wie im [[Lemma von Goursat]]) lässt sich das Randwegintegral durch sukzessive Anwendung auf ein Integral <math>\langle z_1,z_1\rangle </math> reduzieren. Bei der Differenz der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist damit Integral 0. Dies stellt den Zusammenhang zwischen dem Eckenreduktionssatz und dem [[Cauchy-Integralsatz]] her, wenn man diesen auf geschlossene Polygone und geschlossene Integrationswege über den Rand des Polygons anwendet. Die wesentliche Aussage ist aber beim Eckenreduktionssatz, dass nur wechselnde Integralrichtungen (so wie beim [[Lemma für Rechteckintegrale]]) bzw. wechsende Vorzeichen bei den [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] einen Beitrag zum orientierten Flächenintegral liefern. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Spur eines Weges]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] cao044jexdwrt4fb5dbmcqlfhr3fvmf 1078677 1078676 2026-05-03T09:32:09Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078677 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. === Polygone - nicht konvex === In den Voraussetzungen wird verlangt, dass die konvexe Hülle der Eckpunkte ganz in dem Gebiet <math>G</math> als Definitionsbereich der holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> liegen. Die Bedeutung dieser Voraussetzung wird bei der Ersetzung von Wegintegralen deutlich, wenn das Polygon selbst nicht konvex ist. Dies zeigt die folgende Abbildung, bei der der Weg <math>\widetilde{\gamma_1}</math> ggf. nicht mehr in dem Definitionsbereich <math>G</math> der Funktion <math>f:\to \mathbb{C}</math> liegt, wenn die konvexe Hülle der Eckpunkte nicht ganz in <math>G</math> liegt. ==== Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex ==== [[File:Polygon v04.svg|300px|center|Polygon not convex with line integral with alternating orientation created with OpenSource Geogebra and exported to SVG]] == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Reduktion im Dreieck auf einen Eckpunkt == Bei geschlossenen Wege (wie im [[Lemma von Goursat]]) lässt sich das Randwegintegral durch sukzessive Anwendung auf ein Integral <math>\langle z_1,z_1\rangle </math> reduzieren. Bei der Differenz der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist damit Integral 0. Dies stellt den Zusammenhang zwischen dem Eckenreduktionssatz und dem [[Cauchy-Integralsatz]] her, wenn man diesen auf geschlossene Polygone und geschlossene Integrationswege über den Rand des Polygons anwendet. Die wesentliche Aussage ist aber beim Eckenreduktionssatz, dass nur wechselnde Integralrichtungen (so wie beim [[Lemma für Rechteckintegrale]]) bzw. wechsende Vorzeichen bei den [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] einen Beitrag zum orientierten Flächenintegral liefern. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Welches Prinzip verfolgen Sie im Allgemeinen, um den Rechenaufwand für Integralberechnung möglichst gering zu halten. Erstellen sich weitere Skizzen von Randintegralen und markieren Sie diese entsprechend farblich, wenn eine Umkehrung der Orientierung erfolgt. ==== Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex ==== [[File:Polygon v03.svg|300px|center|Polygon not convex with line integral with alternating orientation created with OpenSource Geogebra and exported to SVG]] == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Spur eines Weges]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4hshc509lpbvpxnbfujy7jakf10ohu6 1078678 1078677 2026-05-03T09:34:13Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck */ 1078678 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Eckenreduktionssatz für Polygone betrachtet beliebige Randweg für Vielecke, wobei die Orientierung des Teilwege auf den Kanten beliebig gewählt werden. Mit Eckenreduktionssatz betrachtet man zwei benachbarte Weg <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch gemeinsamen Endpunkt haben. Dann kann man bei der Berechnung des Flächenintegrales für des <math>n</math>-Ecks <math>\langle z_1, \ldots , z_k,z_{k+1},\ldots , z_n\rangle</math> durch das Flächenintegral eines <math>n-1</math>-Ecks ersetzen, wobei die Kanten <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> durch eine einzige Kante ersetzt <math>\widetilde{\gamma_k}</math> ersetzt werden kann. === Veranschaulichung === Die folgende Abbildung zeigt 2 benachbarte Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math>, die weder einen gemeinsamen Anfangspunkt noch Endpunkt besitzen. [[File:Polygon v02.svg|300px|center|Vertice reduction lemma for orientied surface integrals]] === Ersetzung von 2 Wegen durch einen Weg === In der obigen Abbildung kann man dann die beiden Wege <math>\langle z_{3},z_{2}\rangle</math> und <math>\langle z_{4},z_{3}\rangle</math> auf dem Rand des Polygons kann man nun durch einen Weg über <math>\widetilde{\gamma_k}:= \langle z_{4},z_{2}\rangle</math> ersetzen. Dadurch entsteht aus dem 7-Eck ein 6-Eck mit gleichem Flächenintegral. Im Beweis wird an dieser Stelle die Wegunabhängigkeit des Wegintegrals auf konvexen Gebieten verwenden und implizit der [[Cauchy-Integralsatz]] über die Erzeugung eine geschlossenen Weges angewendet. === Polygone - nicht konvex === In den Voraussetzungen wird verlangt, dass die konvexe Hülle der Eckpunkte ganz in dem Gebiet <math>G</math> als Definitionsbereich der holomorphen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> liegen. Die Bedeutung dieser Voraussetzung wird bei der Ersetzung von Wegintegralen deutlich, wenn das Polygon selbst nicht konvex ist. Dies zeigt die folgende Abbildung, bei der der Weg <math>\widetilde{\gamma_1}</math> ggf. nicht mehr in dem Definitionsbereich <math>G</math> der Funktion <math>f:\to \mathbb{C}</math> liegt, wenn die konvexe Hülle der Eckpunkte nicht ganz in <math>G</math> liegt. ==== Veranschaulichung - Polygon - nicht konvex ==== [[File:Polygon v04.svg|300px|center|Polygon not convex with line integral with alternating orientation created with OpenSource Geogebra and exported to SVG]] == Eckenreduktionssatz für Polygone == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die [[w:de:konvexe Hülle|konvexe Hülle]] <math>Conv(\{z_1,\ldots ,z_n\})\subset G</math> der Eckpunkte <math>z_1,\ldots ,z_n\in G</math> eines <math>n</math>-Ecks <math>V_n:=\mathcal{P}(z_1,\ldots , z_n)\in G</math> in <math>G</math> liegt. <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> Wege, die <math>z_k</math> mit <math>z_{k+1}</math> und <math>z_{n+1}:= z_1</math> verbindet. Dann lässt sich, dass orientierte Flächenintegral über <math>\gamma_{_{V_n}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> durch eine alternierendes Randintegral über <math>\gamma_{_{V_m}} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten aus <math>\{z_1,\ldots , z_n\}</math>, wobei mit <math>z_{k_{m+1}} := z_{k_{1}}</math> die folgende Integraldarstellung erfüllt ist: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{_{V_n}} f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \iint_{_{V_m}} f(z) \, d^2\!z = \tfrac{1}{2} \cdot \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \underset{\langle z_{k_j},z_{k_{j+1}} \rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi \\ & = & \displaystyle \sum_{j=1}^{m} (-1)^{m-j} \cdot F_{_\Box}(z_{k_j}) \end{array} </math> === Bemerkung - Randwege === Die Randwege <math>\gamma_k : [0,1]\to G</math> sind [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]], die einen Eckpunkt <math>z_k</math> mit einem Eckpunkt <math>z_{k+1}</math> verbindet. Dabei legt die Indizierung in keiner Weise fest, mit welcher Orientierung die beiden Eckpunkte verbunden wurden. Die beiden Möglichkeiten sind: :<math> \begin{array}{rclcl} \displaystyle \gamma_k(t) & =& (1-t)\cdot z_{k} & + & t\cdot z_{k+1} \\ -\gamma_k(t)& = & (1-t)\cdot z_{k+1} & + & t\cdot z_{k} \end{array} </math> === Startpunkt und Endpunkt von Wegen === Wenn auf einfach zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> existiert, kann man Wegintegral über die Substitutionsregel als Differenz der Stammfunktion <math>F</math> in Startpunkt und Endpunkt von dem Integrationsweg darstellen. Für die Formulierung des Beweises ist es wesentlich, Startpunkt und Endpunkt eines Weges formal beschreiben zu können. Daher wird im Folgenden der Begriff Standpunkt und Endpunkt eines Integrationsweges definiert. === Definition - Anfangs- Endpunkt eines Weges === Sei <math>\gamma : [a,b] \to G</math> ein Weg in dem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>. Der Anfangspunkt/Startpunkt des [[Weg (Mathematik)|Weges]] ist <math>z_{_A} := \gamma(a)\in G </math> und der Endpunktist <math>z_{_E} := \gamma(b)\in G </math>. Ohne Angabe der Parametrisierung bezeichnet <math>\mathfrak{A}(\gamma):=z_{_A}</math> und <math>\mathfrak{E}(\gamma):=z_{_E}</math>. == Beweis == Man startet bei dem Randweg <math>\gamma_{_{V_n}}</math> über [[orientierte Fläche]] eines <math>n</math>-Eck <math>V_n</math> über ein <math>n</math>-Eck in dem Gebiet <math>G</math>. Dabei ist nicht notwendig alternierend. Der Randweg <math>\Gamma_n := \sum_{k=1}^n \gamma_k</math> besteht als Kette aus <math>n</math> Teilwegen mit <math>z_{n+1}=z_1</math> und <math>\gamma_k = \langle z_{k},z_{k+1}\rangle</math> oder <math>\gamma_k = \langle z_{k+1},z_{k}\rangle</math>. === Beweisschritt 1 - Reduktionmöglichkeit === Nun gibt es für <math>\Gamma_n</math> 2 Möglichkeiten: * <math>\Gamma_n</math> ist bereits ein [[alternierender Randweg]] - dann ist nichts mehr zu zeigen. * <math>\Gamma_n</math> ist kein [[alternierender Randweg]] und dann muss man eine Reduktions der Eckenanzahl um mindest 1 durchführen können. === Beweisschritt 2 - Auswahl von 2 Wegen === Wenn <math>\Gamma_n</math> kein [[alternierender Randweg]] ist, dann kann man mindestens 2 aufeinanderfolgende Wege finden, mit * '''(W1)''' <math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})=\mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math>, * '''(W2)''' <math>\mathfrak{E}(\gamma_{k})=\mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math>, d.h. Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_k</math> ist Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> === Bemerkung - Anfangs- und Endpunkt === In der obigen Abbildung trifft (W1) für die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> zu, denn es gilt :<math>\mathfrak{A}(\gamma_{k})= \mathfrak{A}(\langle z_3,z_2\rangle) = z_3 = \mathfrak{E}(\langle z_4,z_3\rangle) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math> In diesem Fall würden die beiden Wege <math>\gamma_2=\langle z_3,z_2\rangle</math> und <math>\gamma_3=\langle z_4,z_3\rangle</math> durch den Weg <math>\widetilde{\gamma_2}=\langle z_4,z_2\rangle</math> ersetzt werden, was die Eckenanzahl von 7 auf 6 reduziert. === Beweisschritt 3 - Ersetzung der 2 Wege === Man definiert nun einen neuen Weg <math>\widetilde{\gamma_k}</math> für die beiden Fälle (W1) und (W2): * '''(W1)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> * '''(W2)''' <math>\widetilde{\gamma_k} := \langle \mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1}) \rangle</math> d.h. Anfangspunkt des ersten Weges <math>\gamma_{k}</math> ist auch Anfangspunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> und der Endpunkt des zweiten Weges <math>\gamma_{k+1}</math> ist der Endpunkt von <math>\widetilde{\gamma_k}</math> === Beweisschritt 4 - Flächenintegral nach Eckenreduktion === Man muss nun noch zeigen, dass sich der Wert des Flächenintegrals beim Übergang von einem <math>n</math>-Eck zu einem <math>n</math>-Eck nicht ändert. Diese Ergebnis erhält man durch Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]], denn <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} - \widetilde{\gamma_k}</math> bilden einen stückweise stetig differenzierbaren geschlossenen [[Integrationsweg]] in einer konvexen Mengen und daher ist das Integral über die [[Kette (Mathematik)|Kette]] 0. Daher ist das Integral über <math>\gamma_k + \gamma_{k+1} </math> und <math> \widetilde{\gamma_k}</math> bzgl. der holomorphen Funktion <math>F</math> bzw. <math>\tfrac{1}{2}F</math> gleich. === Bemerkung - Wegindizierung === Die Wegindizierung soll dabei ohne Einschränkung immer so gewählt werden, dass zwei benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> mindestens einen gemeinsame Punkt in <math>G</math> gibt, der Anfangs- bzw. Endpunkt jeweils in einem der beiden Wege ist, d.h. : <math>\{\mathfrak{A}(\gamma_{k}), \mathfrak{E}(\gamma_{k})\} \,\,\, \cap \,\,\, \{\mathfrak{A}(\gamma_{k+1}), \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})\} \,\,\, \not= \,\,\, \emptyset </math> === Beweisschritt 5 - ungerade Anzahl von Ecken === Bei einer ungeraden Anzahl von Ecken gibt es auch eine ungerade Anzahl von Wegen. Daher muss es immer mindestens eine Ecke geben <math>z_{k+1}</math> geben, an der ein Anfangspunkt und eine Endpunkt von zwei benachbarten Wegen einen gemeinsamen Punkt als Anfangs- bzw. Endpunkt besitzen, d.h. es gilt <math> \mathfrak{E}(\gamma_{k}) = \mathfrak{A}(\gamma_{k+1})</math> oder umgekehrt <math> \mathfrak{A}(\gamma_{k}) = \mathfrak{E}(\gamma_{k+1})</math>. Daher ist eine Eckenreduktion bei einer ungeraden Anzahl von Ecken immer möglich. === Beweisschritt 6 - iterative Eckenreduktion === Wenn nun die Eckenanzahl reduziert wurde, erhält man einen Randweg <math>\Gamma_{n-1}</math>. Für diesen Randweg macht man erneut eine Prüfung, ob <math>\Gamma_{n-1}</math> bereits ein [[alternierender Randweg]] ist und reduziert ggf. die Eckenanzahl mit den Schritte 1-5 weiter, bis ein alter [[alternierender Randweg]] <math>\Gamma_{m}</math>. === Beweisschritt 7 - wechselnde Vorzeichen === In der obigen Abbildung kann man Iterationsprinzip anschaulich über benachbarte Wege <math>\gamma_k</math> und <math>\gamma_{k+1}</math> veranschaulichen, die die gleiche Orientierung besitzen, d.h. in der gleichen Farbe markiert wurden. Formal stoßen bei benachbarten Weg mit gleicher Orientierung zusammen. Die Eckenreduktions kann daher so lange durchgeführt werden, bis in jedem Eckpunkt des Polygons nur zwei Anfangspunkte oder zwei Endpunkte zusammenstoßen. Nach vollständiger Eckenreduktion hat man daher die wechselnden Vorzeichen aus der Behauptung. <math>q.e.d.</math> == Reduktion im Dreieck auf 2 Eckpunkte == Diese Reduktionsmöglichkeit für eine ungerade Anzahl von Ecken zeigt sich beim [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]], denn dort lässt sich das Integral über eine orientiert Fläche über eine Wegintegral über eine Seite darstellen. In dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] mit eine ungeraden Anzahl von Ecken heben sich Werte der Flächenstammfunktion im Anfangs- und Endpunkt [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrals]] auf. === Veranschaulichung - Eckenreduktion im Dreieck === In der folgenden Abbildung kann man erkennen, dass in dem Punkt <math>z_1</math> die Wegorientierungen nicht alternieren. Dies kann man also durch die Eckenreduktion durch eine direkte Verbindung von <math>z_2</math> nach <math>z_3</math> ersetzen. [[File:Flaechenintegration v03 dreieck.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 03 for Wikiversity]] === Bemerkung - Faktor 1/2 in Stammfunktion === Da bei dem [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegral]] über im Integranden über <math>\tfrac{1}{2}F</math> wird dann über 2x über den Integrationsweg <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> integriert und man erhält als Flächenintegral <math>F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)</math> über das [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]. == Reduktion im Dreieck auf einen Eckpunkt == Bei geschlossenen Wege (wie im [[Lemma von Goursat]]) lässt sich das Randwegintegral durch sukzessive Anwendung auf ein Integral <math>\langle z_1,z_1\rangle </math> reduzieren. Bei der Differenz der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> ist damit Integral 0. Dies stellt den Zusammenhang zwischen dem Eckenreduktionssatz und dem [[Cauchy-Integralsatz]] her, wenn man diesen auf geschlossene Polygone und geschlossene Integrationswege über den Rand des Polygons anwendet. Die wesentliche Aussage ist aber beim Eckenreduktionssatz, dass nur wechselnde Integralrichtungen (so wie beim [[Lemma für Rechteckintegrale]]) bzw. wechsende Vorzeichen bei den [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] einen Beitrag zum orientierten Flächenintegral liefern. == Aufgabe - Flächenberechnung n-Eck == Lesen sind näherungsweise die Eckpunkte des 7-Ecks in der folgenden Abbildung ab und berechnen Sie den orientierten Flächeninhalt möglichst effizient. Wenden Sie vorab den Eckenreduktionssatz an, um das orientierte Flächenintegral möglichst effizient über das alternierende Randwegintegral eines 6-Ecks berechnen zu können. ==== Veranschaulichung - Polygon ==== [[File:Polygon v03.svg|300px|center|Polygon not convex with line integral with alternating orientation created with OpenSource Geogebra and exported to SVG]] == Siehe auch == * [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] * [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Spur eines Weges]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie/ Kurs:Funktionentheorie/]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie/&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qwh9dmplc3v9kjlqzfm7i7y8km6uqdv