Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.46.0-wmf.26 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1078723 1078681 2026-05-05T06:34:20Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078723 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegral über Vierecke/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> gapeh4oa08ftagmfqxkcfj4b13cdr8j 0 103197 1078733 1036805 2026-05-05T07:36:38Z Bocardodarapti 2041 1078733 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= V |SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Zwischenkörper| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{math|term= V |SZ=}} mit der Inklusion als Ordnung ein {{ Definitionslink |Verband| |Kontext=| |SZ=. }} Das Infimum ist durch den Durchschnitt von Zwischenkörpern und das Supremum ist durch das {{ Definitionslink |Kompositum| |Kontext=| |SZ= }} von zwei Zwischenkörpern {{ Zusatz/Klammer |text=also durch den von zwei Zwischenkörpern erzeugten Unterring, der wegen der Endlichkeitsvoraussetzung wieder ein Körper ist| |ISZ=|ESZ= }} gegeben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6wcmfjt3r2co8qv3mru81j5h5f501b 0 162012 1078745 1078024 2026-05-05T08:41:28Z C.Koltzenburg 13981 /* A */ 1078745 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#J|J]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#K|K]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#L|L]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#M|M]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#N|N]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#O|O]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#P|P]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#R|R]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#S|S]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#T|T]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#U|U]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#V|V]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#W|W]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#X|X]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#Y|Y]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#Z|Z]] Artikelmarker: <br /> , e = die <br /> , r = der <br /> , s = das <br /> Nomen, die auf "-ung" enden, sind immer "die" (danke, Deutsch ;-) -- wegen des häufigen Vorkommens wird in dieser Liste der Artikel bei diesen Nomen nicht extra vermerkt ;-) <br /> '''Fett markiert''' sind die Begriffe aus der Liste der App ANKI, für Baden-Württemberg 21 Seiten pdf (Stand 2025). Ergänzt am 14.12.2025, bis '''Faszie''' erledigt = A = Abdomen, s –– Bauch, r Abdomensonographie, e –– Ultraschalluntersuchung des Bauches '''abdominal''' (Adj./Adv.) –– zum Bauch gehörend / den Bauch betreffend '''Abducens nerve''' –– VI. Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e –– Harnausscheidung '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial''' (Adj./Adv.) –– auf den Radius bezogen radialis (Adj./ Adv.) –– zur Speiche gehörend '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeiffen, s (=/= Stridor, r –– Giemen, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– Giemen, s, zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = Xerodermie, e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e zerebral (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend Zervikalgie, e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e Zoster, r –– Gürtelrose, e Zoster oticus, r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) zyanotisch (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e Zyklothymie, e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] Zyste, e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r Zystitis, e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung Zystostatika, e –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung dp0goj4bk8x929c8xq7rrcgw3gz5ogi 0 164601 1078721 1061465 2026-05-05T03:15:49Z Jeb 26942 /* Bibliothek */ urn:nbn:de:0290-opus4-200099 1078721 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Vortrag'''| Open Citizen Science – gestern, heute, morgen | '''Methoden''' | Vortrag und Edits, Präsentation: [https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-200099 urn:nbn:de:0290-opus4-200099] | '''Termin'''| [https://www.vbib.net/vbib25-programm/programmdetail/vbib25-corner-9-1 4. Dezember 2025, 13:00–13:20 Uhr] | '''Autorinnen''' | Jens Bemme, Martin Munke, Juliane Flade }} ; Open Citizen Science – gestern, heute, morgen Als "bürgerwissenschaftlichen Umgang mit offenen Kulturdaten und die zur Nachnutzung und zur weiteren Bearbeitung offene Präsentation der Ergebnisse" bezeichneten wir 'Open Citizen Science' an und mit der SLUB Dresden ab 2019 (vgl. Bemme/Munke, 2021, S. 167 f., https://doi.org/10.1515/9783110673722-013). Zuvor und danach haben wir gemeinsam editiert, neu publiziert, erschlossen und auch geforscht: Das Handlungsfeld Citizen Science entwickelt sich – nicht von allein, aber längst auch mit Bibliotheken, wie u.a. ein vermehrtes Publikationsaufkommen zum Thema und die Adressierung im 'Weißbuch Citizen-Science-Strategie 2030 für Deutschland' (2022) zeigen. Wikis und andere Web-Technologien, Automatisierung und Algorithmen, 'Community Building', Open GLAM- und internationale Kooperationen oder Strategieentwicklung und 'Libraries Third Mission' sind Aspekte dieser Arbeit. Neue Herausforderungen stellen sich durch die fortschreitende Verbreitung und Nutzung von KI-Technologien. Solche Facetten und Begriffe möchten wir im Überblick reflektieren, um Menschen, die nicht-akademisch forschen und entwickeln mit Methoden offener Wissenschaft und wissenschaftlichen Bibliotheken zusammenzubringen. Und um zu fragen, was 'Open Citizen Science' in unseren Zusammenhängen künftig bedeuten kann und wird. 2025 könnte man ein Leitbild vorerst so formulieren: Open Citizen Science mit der SLUB finden und begleiten wir oft in Community-getriebenen Erschließungsprojekten und Initiativen für offene Kultur- und Metadaten historischer sowie zeitgenössischer Dokumente und Fakten: Orte, Personen, Publikationen, Ereignisse, Institutionen und deren Zusammenhänge. Oder, kurz und knapp: Gemeinsam mehr Edits wagen! <gallery> Open Citizen Science at SLUB.pdf|Open Citizen Science at SLUB, 2024 Collaboration 3.png ColouringDresden IndoorMapathon Wie erfasse ich Gebäudemerkmale vom Computer aus.jpg|Colouring Dresden Indoor Mapathon: Dominik Stoltz, Leiter Kartensammlung, erläutert Foto- und Kartensammlungen, 2023. Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|''Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum'', 2022 Dresdner Totengedenkbuch 1914-1918. Digitalisierung und Transkription.pdf|''Dresdner Totengedenkbuch 1914-1918. Digitalisierung und Transkription'', 2021 Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie.pdf|''Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie'', 2024 Graphic Recording der Digitalen Mittagspause mit Jens Bemme zu Open Citizen Science.png|Graphic Recording ''Open Citizen Science'', Digitale Mittagspause mit ''Bürger schaffen Wissen'', 2022 Linked Open Storytelling.pdf|''Linked Open Storytelling. Heimatforschung in Europa profitiert von Open Science'', 2021 Open Educational Resources.png Editing_2.png Wir bilden aus.jpg Citizen Science City.png </gallery> == Bibliothek == * {{Literatur|Titel=Open Citizen Science: Leitbild für kuratorische Praktiken in Wissenschaftlichen Bibliotheken|Autor=[[Benutzer:jeb|Bemme, Jens]]; [[Benutzer:MMunke|Munke, Martin]]|DOI=10.1515/9783110673722-013|Sammelwerk=Bibliotheken als Orte kuratorischer Praxis|Band=|Nummer=|Datum=2021}} * {{Literatur|Titel=Citizen Science an wissenschaftlichen Bibliotheken im Spiegel mehrerer Umfragen der SLUB Dresden|Autor=Munke, Martin|DOI=10.5281/zenodo.10670184|Datum=November 2023}} * Jens Bemme, Juliane Flade, Caroline Förster: ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)...]] & Co. > [[DieDatenlaube/Notizen|Notizen]], 2021– * {{Literatur|Titel=(Open) Citizen Science – zukunftsträchtig auch für Spezialbibliotheken?|Autor=Munke, Martin|Online=https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-186909|Datum=30.10.2023}} * {{Literatur|Titel=Open Citizen Science – Leitbilder für Bibliotheken|Autor=Bemme, Jens|Online=https://osl.hypotheses.org/11829|Sammelwerk=Blog des Open Science Labs der SLUB|Band=|Nummer=|Datum=24.5.2024}} * {{Literatur|Titel=Wie weiter? Mit Open Citizen Science|Autor=Bemme, Jens|Online=https://nearby.hypotheses.org/837|Sammelwerk=How to edit nearby|Band=|Nummer=|Datum=28.1.2025}} * {{Literatur|Titel=Bibliotheken & Archive: Über Open Science und Citizen Science mit Martin Munke|Autor=Fabienne Wehrle, Leon Altfeld|Online=https://www.mitforschen.org/blog/bibliotheken-archive-martin-munke|Datum=16.04.2025}} * {{Literatur|Titel= Mehr Edits wagen. Für #vBIB25 und WikiBiblioCon|Autor=Bemme, Jens|Online=https://osl.hypotheses.org/17861|Datum=03.07.2025}} * ''[[SLUB Dresden/2024| Citizen Science mit der SLUB 2024]]'' * Blogposts: https://saxorum.hypotheses.org/tag/open-citizen-science + https://osl.hypotheses.org/tag/open-citizen-science * Jens Bemme: ''[[BiblioCON 2024/open glam lab|Open a GLAM Lab? Als Wikimedian in Residence zwischen SLUB, Staatsarchiv Leipzig und Geschichtsverein Dresden]]'', BiblioCON 2024 ; Wikisource+ : [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : [[s:Historische Studierendenunterlagen der HMT Leipzig|Historische Studierendenunterlagen der HMT Leipzig]], 2025 OPUS: [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/solrsearch/index/search/searchtype/collection/id/17595 Beitragsfolien der #vBIB25]. Unsere Präsentation: [https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-200099 urn:nbn:de:0290-opus4-200099]. [[Kategorie:VBIB]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Sachsen]] [[Kategorie:Citizen Science]] hsw74pby63supxr7shxenyyzswjwmbv 2 167730 1078744 1075675 2026-05-05T08:22:42Z Kdkeller 971 /* Klasse 10 */ 1078744 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=GFS-Themen |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Kdkeller|Klaus-Dieter Keller]] |LAUFZEIT= |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG= |KEINEAUTOKATEGORIE=Ja |BILD=MSG_Logo_2015.svg }} Auf dieser Seite werden Vorschläge für '''GFS-Themen''' gesammelt. GFS sind in Baden-Württemberg „gleichwertige Feststellungen von Schülerleistungen“, das sind Referate und Hausarbeiten, die wie Klassenarbeiten zählen. ===Ablauf=== ===Tipps=== * Software: Zum Erstellen der Präsentation ist die freie kostenlose Software [[w:LibreOffice|LibreOffice]] zu empfehlen. Das Modul „Impress“ ist die Präsentationssoftware des Pakets. * Export auch als PDF; dieses Format kann im Notfall von jedem Browser angezeigt werden * Backup ** Die Präsentation und das PDF-Dokument auch auf einem 2. USB-Stick mitbringen. ** sich die Präsentation selbst mailen oder in eine Cloud laden, aber die Login-Daten dafür auch dabei haben * kurze Zeit davor mit einer Suchmaschine (z.B. Duckduckgo.com > Menü: Nachrichten) schauen, ob es etwas Neues zum GFS-Thema gibt ===Formeln=== Bei '''LibreOffice''' erstellt man eine Formel mit ''Einfügen'' > ''OLE-Objekt'' > ''Formel''. Dort kann man sich die Formeln zusammenklicken oder man tippt die Formeln als Code ein. Eine Befehlsliste gibt es unter [https://de.libreoffice.org/get-help/documentation/ Handbuch Math > Anhang A - Befehlsreferenz] Bei '''Microsoft''' geht es über ''Einfügen'' > ''Formel''. ==Physik== ===Klasse 8=== * Bestimmung der Schallgeschwindigkeit ** Phyphox-App * Akustische Illusionen ** Shepard-Ton, Tritonus-Paradoxon, [https://www.youtube.com/watch?v=2k8fHR9jKVM McGurk-Effekt], Yanny-Laurel-Phänomen, [https://www.youtube.com/watch?v=8FXQ38-ZQK0 Bart Simpson bouncing], Agathe Bauer * Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit (2 Arten) * Mondphasen und Finsternisse * Warum ist der Himmel blau? Warum ist das Abendrot rot? (evtl. dazu noch Warum sind Wolken weiß? Warum ist der Himmel auf dem Mond schwarz?) * Regenbogen ** an einem kugelförmigen Tropfen den Verlauf des Lichtstrahls und die Farbzerlegung klären, Hauptregenbogen, Nebenregenbogen * Luftspiegelungen und Fata Morgana (nach dem Thema Totalreflexion) * Additive und subtraktive Farbmischung * Optische Geräte ===Klasse 9=== * Geschwindigkeitsmessung (Autotacho, Fahrradtacho, Lichtschrankenmessung, Radarmessung, Lasermessung) * Satellitenbahn * Hebelgesetz und Flaschenzug * Impuls und Impulserhaltung * evtl. zusammen: Raketenantrieb * Spraydose * Bernoulli-Effekt * Gravitationsgesetz (+ Umgang mit wissenschaftlicher Schreibweise) ===Klasse 10=== * Wirbelströme ** Wirbelstrombremse (Eisenbahn, Freefall-Tower), Induktionsherd * Erdathmosphäre (Treibhauseffekt, Klimawandel, evtl. Polarlichter) * Viertaktmotor & Co ist Teil einer Gruppenarbeit * Anomalie des Wassers * Stomverbundnetz und Transformator (Fernleitung, Wechselspannung) * Kernkraftwerk * Fusionskraftwerk ===Klasse 11=== * Galileo Galilei: Fallrinne und Goldene Regel der Mechanik * Herleitung der Formel für den Parabelwurf, schiefer Wurf * Raketengleichung und Raketetechnik * Wie funktioniert ein Flugzeugflügel? * Gravitationsgesetz * Geosynchrone Umlaufbahn (benötigt Gravitationsgesetz) **Material: [https://de.serlo.org/community/168394/geosynchrone-umlaufbahn Geosynchrone Umlaufbahn] von Satelliten auf serlo.org * Flaschenzug und Hebelgesetz * Looping ** Experiment in der Physiksammlung ** Material: [https://texercises.com/exercise/todesspirale-3/?col=kreisbewegung-7 Todesspirale] bei TeXercises.com > Dort auch auf „Solution“ gehen. * Doppelball-Experiment ===Kursstufe=== * Basiseinheiten und Neudefinition * Braunsche Röhre mit Parabelbahn im E-Feld * Millikan-Versuch (evtl. mit Zusatz Elektronenradius) * Elektromotor & Hybridantrieb (Frage danach: Totpunkt) * Reluktanzmotor (z.B. Motor eines Thermomix) evtl. am gleichen Tag wie "Elektromotor" * FEEP-Antrieb (Field-emission electric propulsion) Zusatzaufgabe: deutscher Wikipedia-Artikel * Supraleiter * Transformator * Gedämpfte Schwingung * Freier Fall mit Reibung * Resonanz und Rückkopplung * Dopplereffekt (evtl. mit Machscher Kegel) * Tsunamis (mit Formeln) * Ultraschall, Röntgenstrahlung und MRT * Radioaktivität in der Medizin * Antennentechnik, evtl. selbstgebasteltes Radio * Treibhauseffekt (Transmissionskoeffizient, ...) * GPS & Galileo * Keplersche Gesetze und Gravitationsgesetz (oder statt Gravitationsgesetz: 3 Kegelschnitte) * Raketentechnik und Raketengrundgleichung * Lagrangepunkte (nur im vierstündigen) * De-Broglie-Wellenlänge * Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: 3 verschiedene Arten (am Besten Jupitermond, Zahnrad, Drehspiegelmethode) * Atommodelle und deren Geschichte * Zwillingsparadoxon zeitunabhängig: * Korrelation und Kausalität ==Astronomie== * Ebbe und Flut ** Gezeiten bei der Erde ** Gezeiteneffekte bei Monden, Planeten und Galaxien * Venustransit 1761/1769 (Transit, Berechnung der AE; davor waren die Planetenabstände nur relativ) * Raketentechnik, Raketengrundgleichung und Fluchtgeschwindigkeiten (nach dem Thema Gravitationskraft) * Schwarze Löcher * Milchstraße und andere Galaxien * Globales Navigationssatellitensystem (GNSS) ** Galileo, GPS, weitere Systeme * Längenproblem ** Bestimmung der geografischen Länge: historisch, heute * Teleskope * Vera C. Rubin Observatory ==Weblinks== {{Vorlage:W|Gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen}} [[Kategorie:Gymnasium]] qbwavsyn6nkqa1st9syxyo5ikz9bws9 1078747 1078744 2026-05-05T10:25:57Z Kdkeller 971 /* Klasse 10 */ 1078747 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=GFS-Themen |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Kdkeller|Klaus-Dieter Keller]] |LAUFZEIT= |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG= |KEINEAUTOKATEGORIE=Ja |BILD=MSG_Logo_2015.svg }} Auf dieser Seite werden Vorschläge für '''GFS-Themen''' gesammelt. GFS sind in Baden-Württemberg „gleichwertige Feststellungen von Schülerleistungen“, das sind Referate und Hausarbeiten, die wie Klassenarbeiten zählen. ===Ablauf=== ===Tipps=== * Software: Zum Erstellen der Präsentation ist die freie kostenlose Software [[w:LibreOffice|LibreOffice]] zu empfehlen. Das Modul „Impress“ ist die Präsentationssoftware des Pakets. * Export auch als PDF; dieses Format kann im Notfall von jedem Browser angezeigt werden * Backup ** Die Präsentation und das PDF-Dokument auch auf einem 2. USB-Stick mitbringen. ** sich die Präsentation selbst mailen oder in eine Cloud laden, aber die Login-Daten dafür auch dabei haben * kurze Zeit davor mit einer Suchmaschine (z.B. Duckduckgo.com > Menü: Nachrichten) schauen, ob es etwas Neues zum GFS-Thema gibt ===Formeln=== Bei '''LibreOffice''' erstellt man eine Formel mit ''Einfügen'' > ''OLE-Objekt'' > ''Formel''. Dort kann man sich die Formeln zusammenklicken oder man tippt die Formeln als Code ein. Eine Befehlsliste gibt es unter [https://de.libreoffice.org/get-help/documentation/ Handbuch Math > Anhang A - Befehlsreferenz] Bei '''Microsoft''' geht es über ''Einfügen'' > ''Formel''. ==Physik== ===Klasse 8=== * Bestimmung der Schallgeschwindigkeit ** Phyphox-App * Akustische Illusionen ** Shepard-Ton, Tritonus-Paradoxon, [https://www.youtube.com/watch?v=2k8fHR9jKVM McGurk-Effekt], Yanny-Laurel-Phänomen, [https://www.youtube.com/watch?v=8FXQ38-ZQK0 Bart Simpson bouncing], Agathe Bauer * Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit (2 Arten) * Mondphasen und Finsternisse * Warum ist der Himmel blau? Warum ist das Abendrot rot? (evtl. dazu noch Warum sind Wolken weiß? Warum ist der Himmel auf dem Mond schwarz?) * Regenbogen ** an einem kugelförmigen Tropfen den Verlauf des Lichtstrahls und die Farbzerlegung klären, Hauptregenbogen, Nebenregenbogen * Luftspiegelungen und Fata Morgana (nach dem Thema Totalreflexion) * Additive und subtraktive Farbmischung * Optische Geräte ===Klasse 9=== * Geschwindigkeitsmessung (Autotacho, Fahrradtacho, Lichtschrankenmessung, Radarmessung, Lasermessung) * Satellitenbahn * Hebelgesetz und Flaschenzug * Impuls und Impulserhaltung * evtl. zusammen: Raketenantrieb * Spraydose * Bernoulli-Effekt * Gravitationsgesetz (+ Umgang mit wissenschaftlicher Schreibweise) ===Klasse 10=== * Wirbelströme ** Wirbelstrombremse (Eisenbahn, Freefall-Tower), Induktionsherd * Erdatmosphäre (Treibhauseffekt, Klimawandel, evtl. Polarlichter) * Viertaktmotor & Co ist Teil einer Gruppenarbeit * Anomalie des Wassers * Stomverbundnetz und Transformator (Fernleitung, Wechselspannung) * Kernkraftwerk * Fusionskraftwerk ===Klasse 11=== * Galileo Galilei: Fallrinne und Goldene Regel der Mechanik * Herleitung der Formel für den Parabelwurf, schiefer Wurf * Raketengleichung und Raketetechnik * Wie funktioniert ein Flugzeugflügel? * Gravitationsgesetz * Geosynchrone Umlaufbahn (benötigt Gravitationsgesetz) **Material: [https://de.serlo.org/community/168394/geosynchrone-umlaufbahn Geosynchrone Umlaufbahn] von Satelliten auf serlo.org * Flaschenzug und Hebelgesetz * Looping ** Experiment in der Physiksammlung ** Material: [https://texercises.com/exercise/todesspirale-3/?col=kreisbewegung-7 Todesspirale] bei TeXercises.com > Dort auch auf „Solution“ gehen. * Doppelball-Experiment ===Kursstufe=== * Basiseinheiten und Neudefinition * Braunsche Röhre mit Parabelbahn im E-Feld * Millikan-Versuch (evtl. mit Zusatz Elektronenradius) * Elektromotor & Hybridantrieb (Frage danach: Totpunkt) * Reluktanzmotor (z.B. Motor eines Thermomix) evtl. am gleichen Tag wie "Elektromotor" * FEEP-Antrieb (Field-emission electric propulsion) Zusatzaufgabe: deutscher Wikipedia-Artikel * Supraleiter * Transformator * Gedämpfte Schwingung * Freier Fall mit Reibung * Resonanz und Rückkopplung * Dopplereffekt (evtl. mit Machscher Kegel) * Tsunamis (mit Formeln) * Ultraschall, Röntgenstrahlung und MRT * Radioaktivität in der Medizin * Antennentechnik, evtl. selbstgebasteltes Radio * Treibhauseffekt (Transmissionskoeffizient, ...) * GPS & Galileo * Keplersche Gesetze und Gravitationsgesetz (oder statt Gravitationsgesetz: 3 Kegelschnitte) * Raketentechnik und Raketengrundgleichung * Lagrangepunkte (nur im vierstündigen) * De-Broglie-Wellenlänge * Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit: 3 verschiedene Arten (am Besten Jupitermond, Zahnrad, Drehspiegelmethode) * Atommodelle und deren Geschichte * Zwillingsparadoxon zeitunabhängig: * Korrelation und Kausalität ==Astronomie== * Ebbe und Flut ** Gezeiten bei der Erde ** Gezeiteneffekte bei Monden, Planeten und Galaxien * Venustransit 1761/1769 (Transit, Berechnung der AE; davor waren die Planetenabstände nur relativ) * Raketentechnik, Raketengrundgleichung und Fluchtgeschwindigkeiten (nach dem Thema Gravitationskraft) * Schwarze Löcher * Milchstraße und andere Galaxien * Globales Navigationssatellitensystem (GNSS) ** Galileo, GPS, weitere Systeme * Längenproblem ** Bestimmung der geografischen Länge: historisch, heute * Teleskope * Vera C. Rubin Observatory ==Weblinks== {{Vorlage:W|Gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen}} [[Kategorie:Gymnasium]] 6yuqa98dg7awocy9n065jpebzcve1t7 0 168565 1078746 1069324 2026-05-05T10:09:40Z Bocardodarapti 2041 1078746 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Potenzmenge/Atome/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Teilbarkeitsrelation/Atome/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Geordnete Menge/Atome/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma|| }} Der Beweis zeigt im Wesentlichen auch, dass genau die Atome, die unterhalb von {{math|term= x |SZ=}} liegen, in der beschriebenen Zerlegung vorkommen. Der folgende Einbettungssatz zeigt, dass alle endlichen booleschen Algebren von einer ganz bestimmten Bauart sind. Es gibt auch ähnliche Aussagen ohne die Endlichkeitsvoraussetzung. {{ inputfaktbeweis |Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen booleschen Verbände |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 68a9yauc2uwmtovumubbvz0aelbfyjq 106 168649 1078732 1078628 2026-05-05T07:32:43Z Bocardodarapti 2041 1078732 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Untergruppe/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Untergruppenverband/Teilmengenverband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage setzt eine gewisse Kenntnis in Galoistheorie voraus. {{ inputaufgabe |Galoiserweiterung/Verband/Antimonoton/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Verbände/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Total geordnete 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2026-05-05T07:43:48Z Bocardodarapti 2041 1078742 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppe/Untergruppe/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppe/Untergruppenverband/Teilmengenverband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage setzt eine gewisse Kenntnis in Galoistheorie voraus. {{ inputaufgabe |Galoiserweiterung/Verband/Antimonoton/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Verbände/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Total geordnete Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Zweielementige Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionen/R nach R/Infimum und Supremum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In einem Verband gilt stets {{ Relationskette | x \sqcap x || x || || || |SZ= }} für jedes {{math|term= x |SZ=.}} Diese Eigenschaft nennt man 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Im weiteren Verlauf der Lernheit wird dieses Flächenintegral über eine Stammfunktion in Zusammenhang mit Wegintegralen gebracht und zusätzlich der Unterschied zu einem reellen Doppelintegral über Realteil und Imaginärteil verglichen. === Rechteck === Das Rechteck <math>R:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird dabei in einem ersten Schritt durch vier Punkte <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math> definiert, wobei die Seiten des Rechtecks <math>R</math> parallel zur Realteilachse bzw. Imaginärteilachse gewählt wurden. Eckpunkte haben dabei die folgende Darstellung: * <math>z_1 = a_1 +i\cdot b_1 </math> und <math>z_2 = a_2 +i\cdot b_1 </math> * <math>z_3 = a_1 +i\cdot b_2 </math> und <math>z_4 = a_2 +i\cdot b_2 </math> === Veranschaulichung === [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Veranschaulichung === Mit der folgenden Abbildung ist ersichtlich, dass die Indizierung der Eckpunkt nicht der klassischen Indizierung gegen den Urzeigersinn folgt. Dies hat allein algebraische Gründe, damit die oberen Integralgrenzen eine größeren Index haben als die unteren Integralgrenzen. == Flächenstammfunktion und Potenzreihen == Sei <math>f(z):=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{f(z_0)}{n!} \cdot (z-z_0)^n </math> die lokale Potenzreihendarstellung von <math>f</math> auf einer Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>. Die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}:D_r(z_0) \to \mathbb{C} </math> in dem Entwicklungspunkt <math>z_0</math> ist eine [[Differenzsatz für Stammfunktionen|Stammfunktion 2. Ordnung]], d.h. <math> F_{\Box}''(z) = f(z) </math>. === Bemerkung - Flächenstammfunktion === Die Flächenstammfunktion ist mit <math> F_{\Box}''(z) = f(z)</math> also die ''Stammfunktion der Stammfunktion'' einer [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f:G\to\mathbb{C}</math> auf Kreisscheiben <math>D_r(z_0)</math> mit <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math>, wobei die Koeffizienten von <math>(z-z_0)^0</math> und <math>(z-z_0)^1</math> frei gewählt werden (siehe [[Differenzsatz für Stammfunktionen]]). === Taylorentwicklung der Flächenstammfunktion === Analog zur Bildung einer lokalen Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(z_0)} \in G</math> kann auch in diesem Fall die [[w:de:Taylorreihe|Taylorentwicklung]] wegen [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] der Partialsummen gegen die Potenzreihe summandenweise integriert werden, d.h. die [[Flächenstammfunktion]] hat z.B. die folgende Standarddarstellung: :<math> F_{\Box}(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(z_0)}{(n+2)!} \cdot (z-z_0)^{n+2} </math> === Bemerkung - Wahl des Entwicklungspunktes === Mit der obigen Definition der [[Flächenstammfunktion]] als Stammfunktion zweiter Ordnung gilt sowohl <math>f(z_0)=0</math> als auch <math>F(z_0)=0</math>. Man kann den Entwicklungspunkt der Taylorreihe für die Stammfunktionen 2. Ordnung auch als ein Eckpunkt des Rechtecks (z.B. <math>z_0:=z_1</math>) wählen, dadurch entfällt die Berechnung für einen Term der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{\Box}(z_1) = 0</math>, denn es gilt: :<math>F_{\Box}(z_1) = \underset{\langle z_0,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = \underset{\langle z_1,z_1\rangle}{\int} F(\xi) \, d\xi = 0 </math> Im Allgemeinen kann <math>z_0\in G </math> beliegig gewählt werden, wenn <math> G </math> [[einfach zusammenhängend]] ist. === Bemerkung - reelle Analysis Wegintegral und Stammfunktionen === Reelle Integral über eine Funktion <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math> kann man als komplexes [[Wegintegral#Definition|Wegintegral]] <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = t </math> und <math>\gamma\, '(t) = 1 </math> betrachten, wenn die Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Stammfunktion <math>F</math> auf dem Gebiet <math>G\supset [a,b]</math> besitzt. :<math> \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma\, '(t) \, dt = \int_\gamma f(z) \, dz = F(b) - F(a) </math> Diese Berechnung über Stammfunktionen wird mit dem [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegrale]] für komplexe [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] mit dem [[Lemma - Rechteckintegrale über Stammfunktionen]] verallgemeinert. === Animation - komplexwertig orientierter Flächeninhalt === Komplexwertiges Integral über das rot markierte Rechteck in der [[w:de:Gaußsche Zahlenebene|Gaußschen Zahlenebene]]. Die Fläche des rot markierte Rechtecks muss dabei vollständig in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegen. [[File:Flaechenintegral komplexes rechteck.gif|350px|center|Stammfunktion in den komplexen Zahlen in einer Flächeninterpretation]] <span id="Rechteckintegral"></span> === Bemerkung - Zusammenhang zu Wegintegralen === Die im Folgenden veranschaulichte geometrische Motivation der Definition des komplexen Flächenintegrals hat auch einen Zusammenhang mit Wegintegralen bei holomorphen Funktionen, das in der Funktionentheorie [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] darstellt werden können (siehe [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]). == Definition - Rechteckintegral über orientierte Fläche == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], wobei das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> <span id="Orientierung"></span> === Bemerkung - Gradient bzw. Orientierung in Punkten === Die [[orientierte Fläche|Orientierung]] wird durch den Gradienten von <math>\gamma_{_R}</math> in einem Punkt <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2) \in R</math> beschrieben. Dieses Gradient <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> ist für alle <math>(t_1,t_2) \in [a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> konstant. Die folgende Animation veranschaulicht den Gradient mit einer Animation für ausgewählte Punkte um Rechteck. === Animation - orientierte Fläche für Rechtecke === Mit der obigen Definition eines Rechtecks für eine [[orientierte Fläche]] kann man den Gradienten <math>Grad(\gamma_{_R})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> wieder vektoriell an der Stelle <math>z:=\gamma_{_R}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> im Graph über die grünen Vektoren veranschaulichen. [[File:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|350px|center|Surface integral with visualization of gradient for rectangle - Geogebra GIF animation]] <span id="Rechteckintegrallemma"></span> <span id="LemmaRechteckintegral"></span> == Lemma - Rechteckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. [[File:Flaechenintegration v11.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 11 for Wikiversity]] == Beweis - Lemma für Rechteckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> ist eine konvexe Menge, daher gibt es auf eine konvexen Umgebung <math>U\supset R</math> eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung (siehe Satz über Stammfunktionen) wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Veranschaulichung für Flächenstammfunktionsumme == In der folgenden Schritten wird geometrisch der komplexwertige Flächeninhalt von <math>f</math> einem Rechteck <math> R</math> betrachtet, wobei <math>R</math> durch den Integrationweg <math>\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle </math> berandet ist. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist in dieser Veranschaulichung so gewählt, damit am Index die Berechnung ''"Differenz der Stammfunktion der Integralgrenzen"'' auch in der zweidimensionalen Zahlenebene <math>\mathbb{C}</math> erkennbar wird. Aus den reellen Integralberechnung für <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist diese Differenz für obere und unteres Intervallgrenze aus der reellen Analysis bekannt: :<math> \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) </math> Diese Vorgehen wird nun auf die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> und komplexwertige [[Flächenintegrale über Rechtecke]] übertragen. === Schritt 1 - Ziel der komplexen Flächenberechnung - Stammfunktion === Das Ziel der komplexen Flächenberechnung mit Stammfunktion ist es, das den komplexen Flächeninhalt des blauen Rechecks <math>R</math> zu berechnen. Für die folgende Ausgangssituation ist es wichtig, dass es eine konvexe Umgebung um das blaue Rechteck zusammen mit dem getrichtelten Teilrechtecken gibt, der ganz in dem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math> liegt. Diese Voraussetzung ist zunächst wesentlich, damit man die Stammfunktion <math>F</math> als [[Wegintegral]] über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] ausdrücken kann. [[File:Flaechenintegration v10.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 10 for Wikiversity]] === Schritt 2 - Komplexer Flächeninhalt für das Ausgangsrechteck === Als Ausgangsrechteck wird das grüne Rechteck <math>R_4</math> gewählt, dessen komplexer Flächeninhalt direkt über die Stammfunktion <math>F(z_4)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v04.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image of series 4 for Wikiversity]] === Schritt 3 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Da das eigentliche Ziel die Berechnung des komplexen Flächeninhaltes von dem blauen Rechteck <math>R</math> bzgl. <math>f:G\to\mathbb{C}</math> ist, wird nun vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> der komplexe Flächeninhalt von dem roten Recheck <math>R_3</math> subtrahiert. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_3)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v03.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 3 of series for Wikiversity]] === Schritt 4 - Subtraktion eines komplexen Flächeninhaltes === Nun subtrahiert man vom dem grünen Ausgangsrechteck <math>R_4</math> auch noch einen weiteren komplexe Flächeninhalt, der in der folgenden Abbildung als rotes Recheck <math>R_2</math> makiert wurde. Auch dieser komplexe Flächeninhalt kann wieder direkt über die Stammfunktion <math>F(z_2)</math> ausgedrückt werden kann. [[File:Flaechenintegration v02.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 2 of series for Wikiversity]] === Schritt 5 - Addition eines komplexen Flächeninhaltes === Betrachtet man Schritt 3 und Schritt 4, so ist der komplexe Flächeninhalt für das folgende Rechteck <math>R_1</math> zweifach subtrahiert worden. Für die Berechnung des komplexen Flächenintegrals über das Rechteck <math>R</math> muss daher der über die Stammfunktion <math>F(z_1)</math> direkt berechenbare komplexe Flächeninhalt des kleinen Rechtecks <math>R_1</math> wieder addiert werden. [[File:Flaechenintegration v01.png|350px|center|Integration for an area in the complex number plane - LibreOffice Draw export - Image 1 of series for Wikiversity]] === Schritt 6 - Gesamtintegral des Rechtecks R === Für das Gesamtintegral des Rechtecks <math>R</math> ergibt sich daher die folgende Berechnungsvorschrift über die Stammfunktionen 2. Ordnung (siehe [[Flächenstammfunktion]]): :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> == Notation - Wegintegral - Flächenintegral == Man muss Wegintegrale und Flächenintegral formal unterscheiden, da diese im Allgemeinen nicht den gleichen Wert liefern: * '''(Wegintegral)''' <math> \int_{\langle z_1,z_2,z_4,z_3\rangle} f(z) \, dz </math> über den Rand des Vierecks. Für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math>f</math> ist diese Integral mit der Anwendung der [[Cauchy-Integralsatz]]es 0. * '''(Flächenintegral)''' <math> \iint_{R} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4) -F_\Box(z_3) -F_\Box(z_2) + F_\Box(z_1)</math> bezeichnet das komplexwertige Flächenintegral mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung. Das Flächenintegral ist für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] im Allgemeinen nicht 0. === Beispiel 1 - Flächenintegral für holomorphe Funktionen === Man betrachtet die holomorphe Funktion<math>f(z)=\tfrac{1}{2}z</math> und ein Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{3} z^3</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle -48 + 6i \not=0 \\ \end{array} </math> === Beispiel 2 - Komplexer Flächeninhalt eines Rechecks === Sei <math>A\in \mathcal{B}(G)</math> eine messbare Teilmenge aus eine Gebiet <math>G\subset \mathbb{C} </math> und die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit integrierbarer Realteil- <math>f_1:G\to \mathbb{R} </math> und Imaginärteilfunktion <math>f_2:G\to \mathbb{R} </math> für <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann kann dann das folgende [[komplexes Flächenintegral]] als Maß <math>\mu_f(A)</math> auffassen, wobei <math>f</math> die Dichtefunktion des [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maßes]] ist. :<math> \mu_f(A) := \int_{A} f(z) \, dz </math> ==== Beispiel 2.1 - Dichtefunktion ==== Ist <math>R=[a_1,b_1] + i\cdot [a_2,b_2] \subset \mathbb{C}</math> ein Rechteck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_4,z_3</math>, dann ist der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> das Flächenintegral mit der konstante Funktion <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> als Dichtefunktion mit <math>f(z)=1</math> für alle <math>z\in \mathbb{C}</math>. Der komplexewertige Flächeninhalt des Rechtecks <math>R</math> wird über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> wie folgt berechnet: :<math> \mu_f(R) = \int_{R} 1 \, dx = \tfrac{1}{2}\cdot (z_4^2 -z_3^2 - z_2^2 + z_1^2) </math> ==== Beispiel 2.2 - Komplexwertiger Flächeninhalt ==== Für das konkrete achsenparallele Rechteck <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z) = 1</math> ist <math>F(z)=\tfrac{1}{2}z^2</math> eine mögliche [[Flächenstammfunktion]] in der komplexen Zahlenebene. Nun berechnet man das komplexe Flächenintegral für <math>f</math> über die Eckpunkte des Rechtecks: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_R f(z) \, dz & = & \displaystyle F(\underbrace{2+5i}_{=z_{4}}) - F(\underbrace{2+3i}_{=z_{3}}) - F(\underbrace{-1+5i}_{=z_{2}}) + F(\underbrace{-1+3i}_{=z_{1}}) \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2}\big((-21+20i) - (-5+12i) - (-24-10i) + (-8-6i)\big) \\ & = & 0+6i \\ \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == * '''Aufgabe 1:''' Fächenintegrale für konstante Funktionen * '''Aufgabe 2:''' Siebformel === Aufgabe 1 - komplexer Flächeninhalt von konstanten Funktionen === Beweisen Sie, dass der komplexe Flächenintegral für eine Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>a_1 < b_1</math> und <math>a_2 < b_2</math> * für konstante Funktionen <math>f</math> immer von 0 verschieden ist. * für Polynome <math>f(z)=\sum_{k=0}^n p_k\cdot z^k </math> immer ein Rechtecke <math> R_f</math> existiert, für das gilt: ::<math> \int_{R_f} f(z)\, dz \not= 0 </math> === Aufgabe 2 - Siebformel === Stellen Sie den Zusammenhang mit der [[Siebformel]] aus der [[Kurs:Stochastik|Stochastik]] her, wobei <math>P</math> in diesem Falle kein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] ist, sondern ein komplexes Maß mit der Dichtefunktion <math>f</math>. :<math> P\left(\bigcup_{n=1}^m R_n \right) = \sum_{n=1}^m (-1)^{n+1} \sum_{J\subseteq \{1,\ldots , m\} \wedge |J|=n} P\left( \bigcap_{j \in J} R_j \right)</math>. === Hinweis 1 - Wahl der messbaren Mengen === Setzen Sie dazu <math>m=4</math> und verwenden Sie aus dem obigen Beispiel den mengentheoretischen Zusammenhang: :<math>R_4 = R_1 \cup R_2 \cup R_3 \cup R_4 </math> === Hinweis 2 - Schnittmengen der Rechtecke === Verwenden Sie folgende mengentheoretischen Zusammenhänge für die Rechtecke: :<math> \underset{k\in\{1,2,3,4\}}{\forall} \,\,\, R_4 \cap R_k = R_k \,\,\, \wedge \,\,\, R_1 \cap R_k = R_1 </math> Ferner gilt: <math>R_2\cap R_3 = R_1 </math>. === Hinweis 3 - Integral für Teilmengen === Maßtheoretisch kann bei Teilmengenbeziehung <math>B \supseteq A</math> das Integral der [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] <math>B\setminus A</math> über <math>P(B\setminus A) = P(B) - P(A) </math> berechnen. === Hinweis 4 - Siebformel für die Vereinigung von 2 Mengen === Betrachten Sie zunächst die Vereinigung von zwei Mengen <math>A\cup B</math>, die nicht disjunkt sind und wenden Sie diesen auf <math>R_2 \cup R_3</math> an: :<math> P(R_2\cup R_3) = P(R_2) + P(R_3) - P(R_2\cap R_3) </math> == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[w:de:Differenzmenge|Differenzmenge]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenstammfunktion]] * [[holomorphe Funktion]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen]] * [[lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] * [[Siebformel]] * [[Taylorreihe]] * [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] t9tj04extw6m4bc77ccz64h402no2yd 106 170098 1078720 1078672 2026-05-04T12:42:53Z Bert Niehaus 20843 /* Approximationslemma für Dreiecke */ 1078720 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === In dem Beweis des Satzes wird zunächst das Integral über die [[orientierte Fläche]] über eine Wegintegral <math>\langle z_2,z_3\rangle </math> bzgl. einer [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> auf konvexen Gebieten ausgedrückt. Die Aussage gilt dann für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dabei wird im Beweis das Doppelte des [[orientierte Fläche|orientierten Flächeninhalt]] des Dreiecks durch den doppelten Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und einem Rest von Wegintegralen ausgedrückt, der dann in einem Grenzwertübergang die Approximationsaussage wachsender Feinheit <math>n</math> der Zerlegung darstellt. === Bemerkung - Untersummen beim Riemannintegral === Diese Grundidee ist analog zur Approximation eines Riemannintegrals in der Oberstufe durch Untersummen in der reellen Analysis. === Approximationssatz - beliebige Dreiecke=== Das Approximationslemma wird hier für achsenparallel rechtwinklige Dreieck geführt. Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck durch Subtraktion und Addition von mehrere achsenparalle rechtwickligen Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann der Approximationssatz angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche Zahl <math>n</math> gibt dabei die Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das Flächenintegrale von <math>f</math> über die orientierte Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man wie folgt: :<math> \int_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Aufgabe - Parallelogramme - Approximationssatz == Analysieren Sie die Beweisschritte im Approximationssatz. Verallgemeinern Sie die obige Aussage durch eine Approximation eine beliebigen Dreiecks durch eine Summe von [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegralen]] über [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramme]], dessen Integral sich als orientierte Fläche analog zu Recheckintegralen darstellen lässt. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r8rzcizplb64e03uvsh2b574mdibuxc 1078722 1078720 2026-05-05T06:16:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Approximationslemma für Dreiecke */ 1078722 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In einem maßtheoretischen Ansatz kann ein Dreieck durch die eingeschriebene Rechtecke approximieren. Mit der [[Definition Flächenintegrale|Definition der Flächenintegrale]] erhält man eine weitere Berechnungsmöglichkeit für Dreieckflächen. Das Approximationslemma behandelt den Zusammenhang diese Integralbegriffe. == Approximationssatz für Dreiecke == Ein beliebiges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich durch <math>n</math> eingeschriebene achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren, d.h. es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}} f(z)\, d^2\!z </math> === Bemerkung - Approximationslemma === In dem Beweis des Satzes wird zunächst das Integral über die [[orientierte Fläche]] über eine Wegintegral <math>\langle z_2,z_3\rangle </math> bzgl. einer [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> der [[holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> auf konvexen Gebieten ausgedrückt. Die Aussage gilt dann für rechtwicklige Dreiecke mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene behandelt. Dabei wird im Beweis das Doppelte des [[orientierte Fläche|orientierten Flächeninhalt]] des Dreiecks durch den doppelten Flächeninhalt der eingeschriebenen Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> und einem Rest von Wegintegralen ausgedrückt, der dann in einem Grenzwertübergang die Approximationsaussage wachsender Feinheit <math>n</math> der Zerlegung darstellt. === Bemerkung - Untersummen beim Riemannintegral === Diese Grundidee ist analog zur Approximation eines Riemannintegrals in der Oberstufe durch Untersummen in der reellen Analysis. === Approximationssatz - beliebige Dreiecke=== Das Approximationslemma wird hier für achsenparallel rechtwinklige Dreieck geführt. Wenn man ein beliebiges Dreieck gegeben hat, lässt sich dieses Dreieck durch Subtraktion und Addition von mehrere achsenparalle rechtwickligen Dreiecke zerlegen. Auf die achsenparallelen Dreiecke wird dann der Approximationssatz angewendet. Additiv können dann das Flächenintegral des Dreiecks beliebig genau durch die Rechteckflächen beliebig genau dargestellt werden. === Veranschaulichung - Dreieckszerlegung === Durch Addition oder auch Subtraktion von Dreiecksflächen mit achsenparallelen Katheten lässt sich ein beliebiges Dreieck in Dreiecksflächen zerlegen, für die Approximationslemma die Aussage zeigt. [[File:Flaechenintegration v05 dreieck.png|350px|center|Decomposition of arbitrary triangle]] === Nullmengen - additive Zerlegung === Die Schnittmenge von Dreiecksflächen sind nicht leer, da diese Ränder von Dreiecken enthalten. Die Ränder sind aber Nullmengen bzgl. des Lebesquemaßes auf <math>\mathcal{B}(\mathbb{C})</math> und können daher bei der additiven Zerlegung wie bei einer disjunkten Zerlegung mit der <math>\sigma</math>-Additivität berechnet werden. Diese geht in dem folgenden Ausführungen über die infinitisimale Approximation der Dreiecksfläche durch Rechteckflächen mit ein. == Approximationslemma für Dreiecke == Ein rechtwickliges Dreieck <math>\Delta := \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> mit achsenparallelen [[w:de:Kathete|Katheten]] in der Gaußschen Zahlenebene lassen sich durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}\subset \Delta </math> mit <math>k\in\{1,\ldots , n\}</math> beliebig genau approximieren: :<math> \iint_{\Delta} f(z)\, d^2\!z = F_{_\Box}(z_1) - F_{_\Box}(z_2) = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \iint_{R_{(n,k)}} f(z)\, d^2\! z </math> == Beweisidee - Approximationslemma == Der Flächenintegralsatz für Dreiecke gliedert sich in folgende Teile: * das [[Randwegintegral für Dreiecke|Randwegintegral]] bzgl. <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> in Teilwege zerlegt, * die Fläche des Dreiecks <math>\Delta</math> wird durch eingeschriebene Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> approximiert und * die Summations der approximierenden Rechtecke stellt mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] die [[orientierte Fläche]] des Dreiecks dar. === Zerlegung des Flächenintegrals über Dreiecke === Die folgende Abbildung zeigt die Zerlegung des Randwegintegrals in Teilwege. Das Randwegintegral des Dreiecks über <math>f</math> ist ein Wegintegral über eine Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>. [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] === Komplexer Flächeninhalt für ein Rechtecke === Es werden in das Dreieck treppenförmig achsenparallele Rechtecke <math>R_{(n,k)}:=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> eingeschrieben und die einzelnen Rechtflächen mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] wie folgt über die [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box(z)</math> berechnet werden: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, dz = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> === Veranschaulichung der Zerlegung der Dreiecksfläche === In der folgenden Abbildung wurden die ersten beiden Zerlegungsrechtecke <math>R_{(n,1)}</math> und <math>R_{(n,2)}</math> eingezeichnet. Mit wachsendem <math>n</math> wird die Zerlegung immer feiner und approximiert den komplexen Flächeninhalten im Dreieck <math>\Delta</math>. [[File:Flaechenintegration v18 dreieck.png|350px|center|Decomposition of area of triangle into a union of rectangles - complex analysis]] === Approximation der Dreiecksfläche === Um den komplexen Flächenintegrale von <math> f</math> über eine Dreiecksfläche <math>\Delta</math> berechnen zu können, wird eine Summe von treppenförmig angeordneten Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math> ausgedrückt. Die natürliche Zahl <math>n</math> gibt dabei die Zerlegung der Diagonale in <math>n</math> Teilstrecken an. Insgesamt ist das Flächenintegrale von <math>f</math> über die orientierte Fläche <math>\gamma_{_\Delta}</math> erhält man wie folgt: :<math> \int_{\gamma_{_\Delta}} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Im Beweis werden der Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] definiert. == Beweis - Approximationslemma für Dreiecke == Der Beweis beginnt mit der Definition der Eckpunkte für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]. Um die komplexen Flächenintegrale über Stammfunktionen beziehen sich auf Rechtecke. Damit eine Dreiecksfläche über <math>\Delta</math> berechnet werden können, werden komplexen Flächenintegrale bzgl. <math>\Delta</math> durch eine Summe von Integralen <math display="inline">\sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz</math>: :<math> \int_{\Delta} f(z)\, dz = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{R_{(n,k)}} f(z)\, dz </math> Die Eckpunkte der approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> werden dafür zunächst definiert. === Beweisschritt 1 - Aufteilung der Diagonalen im Rechteck === Die Diagonale zwischen <math>z_2</math> und <math>z_3</math> im Rechteck wird in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>d_k</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(4,n,0)} & = & z_2 \quad \quad z_{(4,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(4,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_2 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Aufteilung der vertikalen Seite des Rechtecks === Die vertikale Seite zwischen <math>z_1</math> und <math>z_2</math> im Rechteck wird ebenfalls in <math>n</math> Punkte über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] zerlegt. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(1,n,1)} & = & z_1 \quad \quad z_{(1,n,n+1)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(1,n,k)} & = & (1-\frac{k-1}{n}) \cdot z_1 + \frac{k-1}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> Die Indexverschiebung in den Konvexkombination wird durchgeführt, damit die Punktzuordnung für die approximierenden Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> als linke untere Ecke <math>z_{(1,n,k)}</math> korrekt indiziert wird. ==== Beweisschritt 2.1 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v11 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 2.2 - Eckpunkt mit Indexverschiebung ==== Für eine weiteren Eckpunkt des approximierenden Rechteckflächen <math>R_{(n,k)}</math> benötigt man noch die obere link Ecke <math>z_{(3,n,k)}</math>. Bis auf Indexverschiebung wird hier lediglich eine weitere Bezeichnung für die Eckpunkte <math>z_{(3,n,k)}</math> vergeben. Für diese Punkte <math>z_{(1,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> gilt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle z_{(3,n,0)} & = & z_1 \quad \quad z_{(3,n,n)} \,\, = \,\, z_3 \\ z_{(3,n,k)} & = & (1-\frac{k}{n}) \cdot z_1 + \frac{k}{n} \cdot z_3 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2.4 - Veranschaulichung der Notation ==== [[File:Flaechenintegration v10 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] === Beweisschritt 3 - Berechnung des 4. Punktes der approximierenden Rechtecke === Für die eingeschrieben Rechtecke zur Approximation der komplexen Flächenintegrals über das Dreiecks werden noch die fehlenden Punkte <math>z_{(2,n,k)}</math> mit <math>k\in \{0,1, \ldots , n\}</math> als rechte untere Ecke des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> berechnet. Die Differenz <math>z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)}</math> liefert als Realteil die Breite des Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> man erhält für <math>k\in \{1, \ldots , n-1\}</math>: :<math> \begin{array}{lcl} \displaystyle z_{(2,n,k)} & = & z_{(1,n,k)} + z_{(4,n,k)} -z_{(3,n,k)} \\ z_{(2,n,n)} & = & z_{(1,n,n)} \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 3.1 - Veranschaulichung der Eckpunkte ==== [[File:Flaechenintegration v09 dreieck.png|350px|center|decompostion of a triangle into rectangles for approximation - created LibreOffice Draw]] ==== Beweisschritt 3.2 - Eckpunkte des Rechtecks ==== Damit bilden <math>z_{(1,n,k)}, z_{(2,n,k)}, z_{(3,n,k)}</math> und <math>z_{(2,n,k)}</math> die vier Eckpunkte des in das Dreieck eingeschriebenen Rechtecks <math>R_{(n,k)}</math> bei einer Zerlegung der Feinheit <math>n\in \mathbb{N}</math>. Die Feinheit der Unterteilung konvergiert dann analog zu den Untersummen im Riemannintegral für die Approximation der Dreiecksfläche gegen 0. === Beweisschritt 4 - Approximation der komplexen Dreiecksfläche === Ziel ist es, das komplexe Flächenintegral über der Dreiecksfläche über den Grenzwertprozess der Unterteilung <math>n\to \infty</math> und den aufsummierten komplexen Flächenintegralen bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> zu berechnen. Die Summation und der Grenzwertprozess werden dabei die folgende Darstellung haben: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = 2 \cdot \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> Man startet nun für den Nachweis der Gleichung mit dem linken Term der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] für das Dreieck <math>\Delta</math>. === Beweisschritt 5 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] mit [[Flächenintegralsatz für Dreiecke#Korollar|Korollar 3]]erhält man für <math>\Delta = \Delta(z_3,z_2,z_1)</math> folgende Integraldarstellung über eine [[lokale Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z = \underbrace{\int_{\langle z_2, z_3 \rangle} F(z) \, d z + \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} F(z) \, d z}_{= \int_{\langle z_2, z_1 \rangle} F(z) \, d z } </math> Der Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> wird nun als Integrationsweg unterteilt und in <math>n</math> Teilwege als Kette zerlegt. ==== Veranschaulichung 5.1 - Zerlegung der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v14 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 5.2 - Wegintegral als Summe von Wegintegralen ==== Man stellt nun das Wegintegral als Summe von Wegintegralen über den Integrationweg <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> als Summe von <math>n</math> Wegintegralen dar: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z - \int_{\langle z_3, z_1 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenintegralsatz für Dreiecke === Durch die Zerlegung des Wegintegrals <math>\langle z_2, z_3 \rangle </math> in Teilwege <math>\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k+1)}\rangle</math> kann man diese Zerlegung mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] als Summe der [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegrale]] von (grünen) Teildreiecken in Abbildung 6.1 interpretieren. Ferner kann man mit dem [[Flächenintegralsatz für Dreiecke|Satz]] jedes Dreiecksflächenintegral auch als Differenz der zwei (rote markierte) [[Wegintegral|Wegintegrale]] über eine [[lokale Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>F</math> von <math>f</math> darstellen. ==== Veranschaulichung 6.1 - Zerlegung in Teildreieck der Feinheit n ==== [[Datei:Flaechenintegration v08 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 6.2 - Integraldarstellung ==== Der [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] liefert die beiden Integraldarstellungen (rot/grün) über die Summe von <math>n</math> grünen Teildreiecken <math>\Delta(z_{(2,n,k)},z_{(4,n,k-1)},z_{(4,n,k)})</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \,\,\,\, \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, \left( \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, - \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(2,n,k)}, z_{(4,n,k-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \right) \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Ergänzung von annullierende Wegintegralen === Durch Ergänzung von sich annulierende Wegintegralen mit umgekehrten Vorzeichen verändert sich das Ausgangsintegral über das Dreieck <math>\Delta</math> nicht. Für <math>k\in \{0,\ldots , n-1 \}</math> werde diese 2 Wegintegrale ergänzt, sodass gilt: :<math> \begin{array}{rcl} 0 &=& \displaystyle \underset{\left\langle z_{(1,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \,\,\,\,\,\, + \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ \end{array} </math> Das zweite grün markierte Wegintegral in der Abbildung 7.1 entsteht durch die Summe der Wegintegrale über <math> \left\langle z_{(4,n,k)}, z_{(1,n,k+1)} \right\rangle</math> und dem kurzen rot markierten Weg <math> \left\langle z_{(2,n,k+1)}, z_{(4,n,k)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,k)},z_{(2,n,k+1)} \right\rangle</math> . ==== Veranschaulichung 7.1 - Annulliederende Wegintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v07 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.2 - ungenutzte Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern wurden sich annullierende Wegintegrale eingefügt, die später als Randwegintegral der blaue Rechtecke verwendet werden. Es wurden in dem obigen Vorgehen aber nicht alle einfügten Teilwege vollständig für Rechtecke verwendet. Dazu gehört im untersten Rechteck der Weg <math>\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle </math>, der in einer Wegintegralsumme mit aufgeführt werden muss. ==== Beweisschritt 7.3 - fehlende Teilstrecken für Rechtecke ==== Um den Wert des Integrals nicht zu verändern und alle Randwege für die Rechtecke zu erhalten, muss man im obersten Rechteck noch zwei sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle = - \left\langle z_{(4,n,n-1)},z_{(1,n,n)} \right\rangle</math> einfügen, von denen der Weg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> für das Rechteck verwendet wird. Zusammen mit der Differenz des Wegintegrale für das oberste grüne Rechteck verbleiben die Wegintegrale über <math>\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3} \right\rangle </math> und <math>-2 \cdot \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle </math> als Wegintegrale übrig, die nicht in Randwegintegralen der Rechtecke verwendet wurden. ==== Beweisschritt 7.4 - Ergänzung von sich annullierenden Wegintegralen ==== Auf der linken Seite werden nun noch zwei weitere sich annulierende Wegintegrale mit <math> \left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle = - \left\langle z_{3},z_{1} \right\rangle</math> ergänzt, die ebenfalls den Gesamtwert des Integrals nicht verändern. Durch die Zerlegung des Wegintegral <math> \left\langle z_{3}, z_{1} \right\rangle </math> in Wegintegrale <math> \left\langle z_{(1,n,k)}, z_{(1,n,k-1)} \right\rangle </math> erhält man die noch fehlenden Randwege der Rechtecke. Auch hier verbleiben als Rest das Wegintegral über <math> \left\langle z_{1}, z_{3}\right\rangle </math> und ein ungenutzter Teilweg <math>\left\langle z_{3} , z_{(1,n,n)} \right\rangle </math>, der nicht in ein Integral über einen Rechteckrand eingeht. Dieser Weg annulliert sich aber mit dem ungenutzten Teilweg <math> \left\langle z_{(1,n,n)}, z_{3}\right\rangle </math> aus Beweisschritt 7.3. ==== Beweisschritt 7.5 - Randwegintegrale Rechteck ==== Insgesamt kann man nun das Wegintegral über <math>\langle z_2,z_3 \rangle</math> durch die doppelte Summe der Rechteckintegralen über <math>R_{(n,k)}</math>, ungenutzten Wegintegralen <math>\langle z_1,z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_1,z_2 \rangle</math> und <math>-2\cdot \langle z_{(1,n,n)},z_{(4,n,n-1)} \rangle</math> darstellen. Diese Integralzerlegung en aus 7.1-7.4 werden zusammen mit dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] in 7.7 zu einer Integraldarstellung zusammengefasst. ==== Veranschaulichung 7.6 - Doppelte Rechteckintegrale ==== [[Datei:Flaechenintegration v06 dreieck.png|350px|center|Zerlegung des Randwegintegrals]] ==== Beweisschritt 7.7 - doppelte Randwegintegrale der Rechtecke ==== In der folgenden zusammfassenden Darstellung der Zerlegung geht das Integral mit dem Vorfaktor <math>-2</math> bei fortgesetzter Verfeinerung der Zerlegung gegen 0. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z & = & \displaystyle \underset{\left\langle z_{1}, z_{2} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz - \,\,\,\,\,\,\, 2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz \\ & & \quad \displaystyle + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 8 - Doppeltes Dreiecksintegral === In Beweisschritt 7 wurde eine addititive Zerlegung in Rechtintegrale vorgenommen und untersucht, welche Wegintegrale ungenutzt blieben. Ferner wurde im Restintegral ein doppeltes Wegintegral identifiziert, das bei fortgesetzter Verfeinerung gegen 0 geht. Diese Eigenschaft ist wesentlich für die Approximationsaussage des Satzes. Nun muss man noch die verbliebenen Wegintegrale geeignet zusammenfassen. ==== Beweisschritt 8.1 - Darstellungssatz für Rechtecke ==== Nach dem [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] wurden zwei mögliche Darstellungen von Rechteckintegralen verwendet, die in Summe das Doppelte orientierte Flächenintegral über die Rechtecke liefert. Für den Approximiationssatz werden nun noch die verbliebenen Teilwege geeignet zu Doppelten des Dreiecksintegral zusammengefasst, welches durch das Wegintegral <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math> über die Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> dargestellt werden kann (siehe [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]). ==== Beweisschritt 8.2 - Berechnung der Flächenintegral der Teilrechtecke ==== Wendet man die Definition des komplexwertigen Flächenintegrals auf die oben definierten Eckpunkte der eingeschriebenen Teilvierecke <math>R_{(n,k)}</math> an, so erhält man folgende Integraldarstellung mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> mit dem [[Lemma für Rechteckintegrale]]: :<math> \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f \, d^2\!z = F_\Box\big(z_{(4,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(3,n,k)}\big)-F_\Box\big(z_{(2,n,k)}\big) +F_\Box\big(z_{(1,n,k)}\big) </math> ==== Beweisschritt 8.3 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== In der Integraldarstellung von 7.7 sind 3 Wegintegral enthalten, die als Anfangs- und Endpunkt des Weges Eckpunkte des Dreiecks besitzen. Diese Wege sind <math>\langle z_2, z_3 \rangle</math>, <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle</math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle</math>. Durch Äquivalenzumformung der Orientierungwechsel für die Wege <math>\langle z_{1}, z_{2} \rangle = -\langle z_{2}, z_{1} \rangle </math> und <math>\langle z_{3}, z_{1} \rangle = - \langle z_{1}, z_{3} \rangle</math> erhält die folgende Summe der Wegintegrale: :<math> \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\!\!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{2}, z_{1} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz + \!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{1}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz }_{ = \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\int} \!\! F(z) \, dz } = 2\cdot \!\!\!\!\!\!\! \underset{\left\langle z_{2}, z_{3} \right\rangle}{\quad\int\quad} \!\! F(z) \, dz </math> ==== Beweisschritt 8.4 - Wegintegrale über Eckpunkte des Dreiecks ==== Wenn man die Darstellung aus 8.3 auf die Gleichung in 7.7 anwendet, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underbrace{ 2 \cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \underset{\langle z_2, z_3 \rangle}{\quad\int\quad} \!\!\!\! F(z) \, d z }_{=2\cdot \iint_{\gamma_{_\Delta}} \!\!\!f(z)\,d^2\!z} & = & \displaystyle -2\cdot \!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \underset{\left\langle z_{(1,n,n)}, z_{(4,n,n-1)} \right\rangle}{\int} \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\! F(z) \, dz }_{\underset{n\to \infty}{\longrightarrow} 0} + 2 \cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1} \,\,\,\, \underset{\gamma_{_{R_{(n,k)}}}}{\iint} f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 8.5 - Rechteckintegral als Wegintegrale ==== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]] finden sich in dem Randintegral über die Rechtecke <math>R_{(n,k)}</math> jeweils 2x die Rechteckintegrale über die [[orientierte Fläche]], denn es gilt mit Umbenennung der Punkte: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{R_{(n,k)}} f(z) \, d^2\! z & = & \displaystyle \underset{\langle z_{3,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{2,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ & = & \displaystyle \underset{\langle z_{2,n,k},z_{4,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz - \underset{\langle z_{1,n,k},z_{3,n,k}\rangle}{\int} F(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 9 - Integraldarstellung === Insgesamt erhält man mit den obigen Beweisschritten sogar eine exakte Integraldarstellung über <math>n-1</math> Rechteckintegrale bzgl. <math>R_{(n,k)}</math> und eine Rest von Wegintegralen, der bei einem Grenzwertübergang von <math>n\to \infty</math> verschwindet und man die Approximationsaussage der Behauptung erhält: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\Delta} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{\langle z_2, z_3 \rangle} \!\!\!\!\!\! F(z) \, d z \\ &=& \displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^{n} \iint_{R_{(n,k)}} \!\!\! f(z) \, d^2\!z \\ \end{array} </math> <math> q.e.d</math> == Aufgabe - Parallelogramme - Approximationssatz == Analysieren Sie die Beweisschritte im Approximationssatz. Verallgemeinern Sie die obige Aussage durch eine Approximation eine beliebigen Dreiecks durch eine Summe von [[orientierte Fläche|orientierten Flächenintegralen]] über [[w:de:Parallelogramm|Parallelogramme]], dessen Integral sich als orientierte Fläche analog zu Recheckintegralen darstellen lässt. == Siehe auch == * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Lemma für Rechteckintegrale]] * [[orientierte Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sv9901m0il0fd7e8v0e275wu3ww3fp7 0 170171 1078728 1078709 2026-05-05T06:57:39Z C.Koltzenburg 13981 /* Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) */ 1078728 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] = Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen = == nur Stichworte (Blatt 1) == [VN NN] <br /> Sina Gowitz <br /> [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 <br /> [Gewicht] <br /> 80 kg <br /> [Größe] <br /> 184 cm <br /> [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] <br /> Nikotin: <br /> Nichtraucherin C2: <br /> | trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> [+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I] Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert <br /> [+ Verb im Konjunktiv I] [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> [FA] <br /> Mutter: Herzinsuffizienz <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) <br /> <-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil <br /> ab hier --> == Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) == '''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).''''' === 1. Satz (oder 1-3 Sätze) === ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. === darauffolgende Abschnitte === [BS] <br /> | Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] <br /> | Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] <br /> | Begleitend besteht: [+ Nominativ] <br /> | Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. <br /> | Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] <br /> [VA] <br /> | In der VA bestehen ... <br /> | In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... <br /> | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. <br /> | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. <br /> [VE/VO] <br /> | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: <br /> | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: <br /> (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) <br /> | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: <br /> Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. <br /> | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren. <br /> | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... <br /> | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. <br /> | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). <br /> [Med] <br /> | Die Anamnese der Medikation ergab: <br /> | Die Medikation ergab: <br /> | Die Medikation besteht aus <br /> Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen. [RA] <br /> | Eine Reise nach Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | In der Reiseanamnese ist ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche bekannt. <br /> | Ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | Er sei vor einer Woche aus Südafrika zurückgekommen. <br /> [VD] <br /> | Meine VD lautet: akute Appendizitis. <br /> | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. <br /> | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. <br /> [DD] <br /> | An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: <br /> Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] <br /> | Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: <br /> | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: <br /> körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] <br /> | Therapeutisch empfehle ich: <br /> | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: <br /> | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: <br /> | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: <br /> laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. 4bpqheforgjgut5g9yxvqw7nd0dwfhd 106 170301 1078725 2026-05-05T06:41:25Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078725 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im [[Flächenintegral über Rechtecke|Vergleich zum Rechteck]] == Siehe auch == * [[Flächenintegral über Rechtecke]] dhhaf7bdrj1614b845pot8r16p695b4 1078726 1078725 2026-05-05T06:42:19Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078726 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im [[Flächenintegral über Rechtecke|Vergleich zum Rechteck]] == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] k1za2mecathj30oguf0pq410yqqpbgu 1078727 1078726 2026-05-05T06:43:09Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078727 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] no55dcwpz7fl0y1odmaiaizl0l4rver 106 170302 1078729 2026-05-05T07:15:46Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078729 wikitext text/x-wiki {{Latex}} 3e3nqvm6nsvokcc33v86ivll7ce6lru 106 170303 1078730 2026-05-05T07:15:57Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078730 wikitext text/x-wiki {{Latex}} 3e3nqvm6nsvokcc33v86ivll7ce6lru 106 170304 1078731 2026-05-05T07:16:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078731 wikitext text/x-wiki {{Latex}} 3e3nqvm6nsvokcc33v86ivll7ce6lru