Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1079186 1079160 2026-05-12T06:15:22Z Bert Niehaus 20843 /* Satz von der Gebietstreue */ 1079186 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> pxhywmfp6yersz5fiao41n5idm0a2jc 1079215 1079186 2026-05-12T09:45:48Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen */ 1079215 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> m8w420hhltyqol3e5wm6ideekyhfojz 1079218 1079215 2026-05-12T09:56:07Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralformel CIF */ 1079218 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> gfndj4xmku2co0nz82ere9egu665bqt 1079219 1079218 2026-05-12T09:57:34Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralsatz CIS */ 1079219 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> hg619k2crrg9kng01h376kbn2jyltct 1079220 1079219 2026-05-12T09:59:55Z Bert Niehaus 20843 /* Stammfunktionen */ 1079220 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> gig9k6yxqcm9zmh4wq4ws5c3qxqhoye 1079221 1079220 2026-05-12T10:01:00Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchy-Integralformel CIF */ 1079221 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> mtatq1gllpd3ng5wpbvqbgnpzxk9zg7 1079222 1079221 2026-05-12T10:02:57Z Bert Niehaus 20843 /* Satz von der Gebietstreue */ 1079222 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 51x1mb4t4tajp2ctnxnpz5y700wuelv 0 99343 1079171 1079015 2026-05-11T12:56:59Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der Funktion */ 1079171 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie#CIS-CIF|Integralsatz von Cauchy]] ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] (CIF-NZ) auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen|(CIS-NZ)]] durch <math>g(z_o)=0</math> === Beweisschritt 1 - Definition der Funktion === Die Funktion <math>h(z):= z-z_o</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] und die Verkettung <math>g:=f\cdot h</math> ist zumindest eine [[holomorphe Funktion]] auf <math>G</math>. Ziel ist die Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g(z)=f(z)\cdot (z-z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Cauchy-Integralformel CIF-NZ für g === Die [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] lautet angewendet auf <math>g</math>: :<math> n(\Gamma, z)\cdot g(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z} \, dw </math> === Beweisschritt 3 - Einsetzen eines Punktes === Die Darstellung aus Beweisschritt 2 gilt für alle <math>z\in G</math> also insbesondere für <math>z_o</math> und man erhält: :<math> n(\Gamma, z_o)\cdot \underbrace{g(z_o)}_{=0} = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z_o} \, dw = 0 </math> Dabei ist das Integral 0, weil <math>g(z_o) = f(z_o)\cdot (z_o-z_o) = 0</math> gilt. === Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g === Durch Einsetzen der Definition von <math>g</math> erhält man für beliebiege <math>z_o\in G</math> die Darstellung: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)\cdot (w-z_o)}{w-z_o} \, dw </math> === Beweisschritt 5 - Unabhängigkeit von der Wahl des Punkte === Der rechte Integralterm ist unabhängig von der konkreten Wahl von <math>z_o\in G</math> und <math>g</math>: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \underbrace{\frac{1}{2\pi i}}_{\not= 0} \cdot \underbrace{\int_\Gamma f(w) \, dw}_{=0} </math> Damit man erhält die Behauptung (CIS-NZ) mit <math>\int_\Gamma f(w) \, dw = 0 \quad \Box</math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen auf das obige <math>\Gamma</math> anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 3hmj35ilc4exkc7mf9zlff6yo7y9aml 1079172 1079171 2026-05-11T13:01:01Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Kompakte Mengen */ 1079172 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie#CIS-CIF|Integralsatz von Cauchy]] ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] (CIF-NZ) auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen|(CIS-NZ)]] durch <math>g(z_o)=0</math> === Beweisschritt 1 - Definition der Funktion === Die Funktion <math>h(z):= z-z_o</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] und die Verkettung <math>g:=f\cdot h</math> ist zumindest eine [[holomorphe Funktion]] auf <math>G</math>. Ziel ist die Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g(z)=f(z)\cdot (z-z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Cauchy-Integralformel CIF-NZ für g === Die [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] lautet angewendet auf <math>g</math>: :<math> n(\Gamma, z)\cdot g(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z} \, dw </math> === Beweisschritt 3 - Einsetzen eines Punktes === Die Darstellung aus Beweisschritt 2 gilt für alle <math>z\in G</math> also insbesondere für <math>z_o</math> und man erhält: :<math> n(\Gamma, z_o)\cdot \underbrace{g(z_o)}_{=0} = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z_o} \, dw = 0 </math> Dabei ist das Integral 0, weil <math>g(z_o) = f(z_o)\cdot (z_o-z_o) = 0</math> gilt. === Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g === Durch Einsetzen der Definition von <math>g</math> erhält man für beliebiege <math>z_o\in G</math> die Darstellung: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)\cdot (w-z_o)}{w-z_o} \, dw </math> === Beweisschritt 5 - Unabhängigkeit von der Wahl des Punkte === Der rechte Integralterm ist unabhängig von der konkreten Wahl von <math>z_o\in G</math> und <math>g</math>: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \underbrace{\frac{1}{2\pi i}}_{\not= 0} \cdot \underbrace{\int_\Gamma f(w) \, dw}_{=0} </math> Damit man erhält die Behauptung (CIS-NZ) mit <math>\int_\Gamma f(w) \, dw = 0 \quad \Box</math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == Die folgenden Vorüberlegungen helfen ferner dabei, Stammfunktionen aus lokalen Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung zu konstruieren und deren Funktionswert über lokale Stammfunktionen berechnen zu können. === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen auf das obige <math>\Gamma</math> anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> luikl4aspodftftktjo8u6v3e3yo4ca 1079212 1079172 2026-05-12T09:28:37Z Kaan Bauer 38603 /* Bezeichnung - CIF - CIS */ 1079212 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie#CIS-CIF|Integralsatz von Cauchy]] ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] (CIF-NZ) auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen|(CIS-NZ)]] durch <math>g(z_o)=0</math> === Beweisschritt 1 - Definition der Funktion === Die Funktion <math>h(z):= z-z_o</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] und die Verkettung <math>g:=f\cdot h</math> ist zumindest eine [[holomorphe Funktion]] auf <math>G</math>. Ziel ist die Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g(z)=f(z)\cdot (z-z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Cauchy-Integralformel CIF-NZ für g === Die [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] lautet angewendet auf <math>g</math>: :<math> n(\Gamma, z)\cdot g(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z} \, dw </math> === Beweisschritt 3 - Einsetzen eines Punktes === Die Darstellung aus Beweisschritt 2 gilt für alle <math>z\in G</math> also insbesondere für <math>z_o</math> und man erhält: :<math> n(\Gamma, z_o)\cdot \underbrace{g(z_o)}_{=0} = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z_o} \, dw = 0 </math> Dabei ist das Integral 0, weil <math>g(z_o) = f(z_o)\cdot (z_o-z_o) = 0</math> gilt. === Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g === Durch Einsetzen der Definition von <math>g</math> erhält man für beliebiege <math>z_o\in G</math> die Darstellung: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)\cdot (w-z_o)}{w-z_o} \, dw </math> === Beweisschritt 5 - Unabhängigkeit von der Wahl des Punkte === Der rechte Integralterm ist unabhängig von der konkreten Wahl von <math>z_o\in G</math> und <math>g</math>: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \underbrace{\frac{1}{2\pi i}}_{\not= 0} \cdot \underbrace{\int_\Gamma f(w) \, dw}_{=0} </math> Damit man erhält die Behauptung (CIS-NZ) mit <math>\int_\Gamma f(w) \, dw = 0 \quad \Box</math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == Die folgenden Vorüberlegungen helfen ferner dabei, Stammfunktionen aus lokalen Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung zu konstruieren und deren Funktionswert über lokale Stammfunktionen berechnen zu können. === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen auf das obige <math>\Gamma</math> anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> bpzszug038iuvy71b6n75ifc7un2wd8 1079213 1079212 2026-05-12T09:29:25Z Kaan Bauer 38603 /* Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ */ 1079213 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie#CIS-CIF|Integralsatz von Cauchy]] ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] (CIF-NZ) auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen|(CIS-NZ)]] durch <math>g(z_o)=0</math> === Beweisschritt 1 - Definition der Funktion === Die Funktion <math>h(z):= z-z_o</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] und die Verkettung <math>g:=f\cdot h</math> ist zumindest eine [[holomorphe Funktion]] auf <math>G</math>. Ziel ist die Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g(z)=f(z)\cdot (z-z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Cauchy-Integralformel CIF-NZ für g === Die [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] lautet angewendet auf <math>g</math>: :<math> n(\Gamma, z)\cdot g(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z} \, dw </math> === Beweisschritt 3 - Einsetzen eines Punktes === Die Darstellung aus Beweisschritt 2 gilt für alle <math>z\in G</math> also insbesondere für <math>z_o</math> und man erhält: :<math> n(\Gamma, z_o)\cdot \underbrace{g(z_o)}_{=0} = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z_o} \, dw = 0 </math> Dabei ist das Integral 0, weil <math>g(z_o) = f(z_o)\cdot (z_o-z_o) = 0</math> gilt. === Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g === Durch Einsetzen der Definition von <math>g</math> erhält man für beliebiege <math>z_o\in G</math> die Darstellung: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)\cdot (w-z_o)}{w-z_o} \, dw </math> === Beweisschritt 5 - Unabhängigkeit von der Wahl des Punkte === Der rechte Integralterm ist unabhängig von der konkreten Wahl von <math>z_o\in G</math> und <math>g</math>: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \underbrace{\frac{1}{2\pi i}}_{\not= 0} \cdot \underbrace{\int_\Gamma f(w) \, dw}_{=0} </math> Damit man erhält die Behauptung (CIS-NZ) mit <math>\int_\Gamma f(w) \, dw = 0 \quad \Box</math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == Die folgenden Vorüberlegungen helfen ferner dabei, Stammfunktionen aus lokalen Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung zu konstruieren und deren Funktionswert über lokale Stammfunktionen berechnen zu können. === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen auf das obige <math>\Gamma</math> anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> k27jgu59btr2egcqofpjnmxahkwvfjw 0 99575 1079216 1079001 2026-05-12T09:46:24Z Bert Niehaus 20843 /* Bezeichnung - CIF - CIS */ 1079216 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. === Korollar 3 - CIS-NZ === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]], dann gilt auch der [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. ==== Beweis ==== Für den Beweis und weitere Anmerkungen siehe [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> f00mlko91yns2ijoig8p6fwrbflrhch 1079217 1079216 2026-05-12T09:46:42Z Bert Niehaus 20843 /* Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ */ 1079217 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. === Korollar 3 - CIS-NZ === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]], dann gilt auch der [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. ==== Beweis ==== Für den Beweis und weitere Anmerkungen siehe [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 04m04erzw0u13fphop8exb9xsckwvhm 106 99643 1079183 1011012 2026-05-11T16:25:37Z Bert Niehaus 20843 /* Aussage */ 1079183 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bilder von wegzusammenhängenden Mengen <math>U</math> sind wegen der Stetigkeit wieder wegzusammenhängend und Urbilder von offenen Menge sind für beliebige stetigen Funktionen <math>f</math> wieder offen. Bilder <math>f(U)</math> von offenen Mengen <math>U</math> sind aber stetigen Funktionen keineswegs immer offen, wenn <math>f</math> nicht konstant ist. === Beispiel - Betragsfunktion === Die Betragsfunktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z):=|z |</math> ist eine stetige Funktion, die nicht konstant ist. Für jede offene Menge <math>U\not=\emptyset </math> mit <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> ist <math>f(U)\subseteq \mathbb{R}_o^+</math> und damit nicht offen. ==Satz von der Gebietstreue== Es sei <math>U \subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]], nicht konstante Funktion. Dann ist <math>f(U)</math> ein Gebiet. ==Beweis== Für den Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass <math>f(U)</math> ein Gebiet ist, d.h. die Menge <math>f(U)</math> * ist zusammenhängend und * offen. Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile. === Bemerkung - Beweisidee === Im Beweis des Satzes von der Gebietstreue erhält man: * <math>f(U)</math> ist zusammenhängend für beliebige stetige Funktionen <math>f: U \to \mathbb{C}</math> und * <math>f(U)</math> ist offen über das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] von holomorphen Funktionen. === Beweis 1: zusammenhängend === Wir zeigen, dass aus <math>f</math> stetig und <math>U</math> zusammenhängend folgt, dass auch <math>f(U)</math> zusammenhängend ist. === Beweis 2: zusammenhängend === Seien <math>w_1, w_2 \in f(U)</math> beliebig gewählt. Dann gibt <math>z_1,z_2 \in U</math> mit <math>f(z_1)=w_1</math> und <math>f(z_2)=w_2</math>. Da <math>U</math> zusammenhängend ist, gibt es ein Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> mit <math>\gamma(a)= z_1</math> und <math>\gamma(b)= z_2</math>. === Beweis 3: zusammenhängend === Weil <math>f</math> stetig ist und <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ein stetig Weg in <math>U</math> ist, so ist auch<math>\gamma_f := f \circ \gamma</math> ein stetiger Weg in <math>f(U)</math>, für den gilt: : <math>\gamma_f(a) = f(\gamma (a)) = f(z_1)=w_1</math> und <math>\gamma_f(b) = f(\gamma (b)) = f(z_2)=w_2</math> === Beweis 4: offen === Es bleibt zu zeigen, dass <math>f(U)</math> offen ist, sei dazu <math>w_0 \in f(U)</math> und <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) = w_0</math>. Wir betrachten nun die Menge der <math>w_0</math>-Stellen : <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> === Beweis 5: offen - Identitätssatz=== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] kann die Menge <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> keine Häufungspunkte in <math>f(U)</math> haben. Hätte eine <math>S(f,w_0)\subseteq f(U)</math> Häufungspunkte in <math>f(U)</math>, dann wäre die holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \mathbb C</math> konstant mit <math>f(z)= w_0</math> für alle <math>z\in U</math>. === Beweis 6: offen - Umgebungen === Wenn die Menge <math>S(f,w_0)</math> der <math>w_0</math>-Stellen von <math>f</math> keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung <math>V \subseteq U</math> von <math>z_0</math> so wählen, in der <math>z_0</math> die einzige <math>w_0</math>-Stelle ist. Sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> gilt. === Beweis 7: offen === Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von <math>f(z)</math> zu <math>w_0</math>, wobei <math>z</math> auf dem Kreisrand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. :<math> \varepsilon := \inf_{z \in \partial D_r(z_0)} |f(z) - w_0| > 0 </math> Dabei ist <math>\varepsilon > 0 </math>, weil <math>f</math> stetig ist und auf der kompakten Menge <math>\partial D_r(z_0)</math> ein Minimum annimmt. Mit <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> kann auf dem Rand keine <math>w_0</math>-Stellen liegen. === Beweis 8: offen - Maximumsprinzip === Wir zeigen, dass <math>D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U)</math> gilt. Sei dazu <math>|w - w_0| < \frac{\varepsilon}{3}</math>. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige <math>w\in D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)</math> als Bild von <math>f</math> getroffen wird. === Beweis 9: offen - Maximumsprinzip === Angenommen, es wäre <math>f(z) \ne w</math> für alle <math>z \in \bar D_r(z_0)</math>. Dann nimmt <math>|g|</math> mit <math>g(z):=f(z) - w</math> auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> ein von Null verschiedenes Minimum an. Da <math>f</math> nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf <math>\partial D_r(z_0)</math> liegen (sonst ist <math>h(z):=\frac{1}{f(z)-w}</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] konstant. Wenn <math>h</math> konstant ist, müsste dann auch <math>f</math> konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung). === Beweis 10: offen === Da <math>w_0 \in f(U)</math> beliebig gewählt wurde und für jedes <math>w_0 \in f(U)</math> eine <math>\frac{\epsilon}{3}</math>-Umgebung <math> D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U) </math> erhalten, die in <math>f(U)</math> ist <math> f(U) = \bigcup_{w_0 \in f(U)} D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0) </math> als [[Normen, Metriken, Topologie|Vereinigung von offenen Mengen]] wieder offen. == Siehe auch == * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] - wird dem Beweis vom Satz der Gebietstreue verwendet == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Openness theorem theorem of territorial loyalty]]</noinclude> 2gya4wvtx2680gc1owzq0lmz99j0ql6 1079193 1079183 2026-05-12T07:19:03Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Betragsfunktion */ 1079193 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bilder von wegzusammenhängenden Mengen <math>U</math> sind wegen der Stetigkeit wieder wegzusammenhängend und Urbilder von offenen Menge sind für beliebige stetigen Funktionen <math>f</math> wieder offen. Bilder <math>f(U)</math> von offenen Mengen <math>U</math> sind aber stetigen Funktionen keineswegs immer offen, wenn <math>f</math> nicht konstant ist. === Beispiel - Betragsfunktion === Die Betragsfunktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z):=|z |</math> ist eine stetige Funktion, die nicht konstant ist. Für jede offene Menge <math>U\not=\emptyset </math> mit <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> ist <math>f(U)\subseteq \mathbb{R}_o^+</math> und damit nicht offen. In den [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] wird gezeigt, dass keine nicht-konstanten holomorphen Funktionen geben kann, dessen Bildmenge <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math> gilt. ==Satz von der Gebietstreue== Es sei <math>U \subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]], nicht konstante Funktion. Dann ist <math>f(U)</math> ein Gebiet. ==Beweis== Für den Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass <math>f(U)</math> ein Gebiet ist, d.h. die Menge <math>f(U)</math> * ist zusammenhängend und * offen. Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile. === Bemerkung - Beweisidee === Im Beweis des Satzes von der Gebietstreue erhält man: * <math>f(U)</math> ist zusammenhängend für beliebige stetige Funktionen <math>f: U \to \mathbb{C}</math> und * <math>f(U)</math> ist offen über das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] von holomorphen Funktionen. === Beweis 1: zusammenhängend === Wir zeigen, dass aus <math>f</math> stetig und <math>U</math> zusammenhängend folgt, dass auch <math>f(U)</math> zusammenhängend ist. === Beweis 2: zusammenhängend === Seien <math>w_1, w_2 \in f(U)</math> beliebig gewählt. Dann gibt <math>z_1,z_2 \in U</math> mit <math>f(z_1)=w_1</math> und <math>f(z_2)=w_2</math>. Da <math>U</math> zusammenhängend ist, gibt es ein Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> mit <math>\gamma(a)= z_1</math> und <math>\gamma(b)= z_2</math>. === Beweis 3: zusammenhängend === Weil <math>f</math> stetig ist und <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ein stetig Weg in <math>U</math> ist, so ist auch<math>\gamma_f := f \circ \gamma</math> ein stetiger Weg in <math>f(U)</math>, für den gilt: : <math>\gamma_f(a) = f(\gamma (a)) = f(z_1)=w_1</math> und <math>\gamma_f(b) = f(\gamma (b)) = f(z_2)=w_2</math> === Beweis 4: offen === Es bleibt zu zeigen, dass <math>f(U)</math> offen ist, sei dazu <math>w_0 \in f(U)</math> und <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) = w_0</math>. Wir betrachten nun die Menge der <math>w_0</math>-Stellen : <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> === Beweis 5: offen - Identitätssatz=== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] kann die Menge <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> keine Häufungspunkte in <math>f(U)</math> haben. Hätte eine <math>S(f,w_0)\subseteq f(U)</math> Häufungspunkte in <math>f(U)</math>, dann wäre die holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \mathbb C</math> konstant mit <math>f(z)= w_0</math> für alle <math>z\in U</math>. === Beweis 6: offen - Umgebungen === Wenn die Menge <math>S(f,w_0)</math> der <math>w_0</math>-Stellen von <math>f</math> keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung <math>V \subseteq U</math> von <math>z_0</math> so wählen, in der <math>z_0</math> die einzige <math>w_0</math>-Stelle ist. Sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> gilt. === Beweis 7: offen === Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von <math>f(z)</math> zu <math>w_0</math>, wobei <math>z</math> auf dem Kreisrand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. :<math> \varepsilon := \inf_{z \in \partial D_r(z_0)} |f(z) - w_0| > 0 </math> Dabei ist <math>\varepsilon > 0 </math>, weil <math>f</math> stetig ist und auf der kompakten Menge <math>\partial D_r(z_0)</math> ein Minimum annimmt. Mit <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> kann auf dem Rand keine <math>w_0</math>-Stellen liegen. === Beweis 8: offen - Maximumsprinzip === Wir zeigen, dass <math>D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U)</math> gilt. Sei dazu <math>|w - w_0| < \frac{\varepsilon}{3}</math>. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige <math>w\in D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)</math> als Bild von <math>f</math> getroffen wird. === Beweis 9: offen - Maximumsprinzip === Angenommen, es wäre <math>f(z) \ne w</math> für alle <math>z \in \bar D_r(z_0)</math>. Dann nimmt <math>|g|</math> mit <math>g(z):=f(z) - w</math> auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> ein von Null verschiedenes Minimum an. Da <math>f</math> nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf <math>\partial D_r(z_0)</math> liegen (sonst ist <math>h(z):=\frac{1}{f(z)-w}</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] konstant. Wenn <math>h</math> konstant ist, müsste dann auch <math>f</math> konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung). === Beweis 10: offen === Da <math>w_0 \in f(U)</math> beliebig gewählt wurde und für jedes <math>w_0 \in f(U)</math> eine <math>\frac{\epsilon}{3}</math>-Umgebung <math> D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U) </math> erhalten, die in <math>f(U)</math> ist <math> f(U) = \bigcup_{w_0 \in f(U)} D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0) </math> als [[Normen, Metriken, Topologie|Vereinigung von offenen Mengen]] wieder offen. == Siehe auch == * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] - wird dem Beweis vom Satz der Gebietstreue verwendet == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Openness theorem theorem of territorial loyalty]]</noinclude> 1fk194pu0nqlrdlzwmcd24q11jcrlu4 1079194 1079193 2026-05-12T07:19:16Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1079194 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bilder von wegzusammenhängenden Mengen <math>U</math> sind wegen der Stetigkeit wieder wegzusammenhängend und Urbilder von offenen Menge sind für beliebige stetigen Funktionen <math>f</math> wieder offen. Bilder <math>f(U)</math> von offenen Mengen <math>U</math> sind aber stetigen Funktionen keineswegs immer offen, wenn <math>f</math> nicht konstant ist. === Beispiel - Betragsfunktion === Die Betragsfunktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z):=|z |</math> ist eine stetige Funktion, die nicht konstant ist. Für jede offene Menge <math>U\not=\emptyset </math> mit <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> ist <math>f(U)\subseteq \mathbb{R}_o^+</math> und damit nicht offen. In den [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] wird gezeigt, dass keine nicht-konstanten holomorphen Funktionen geben kann, dessen Bildmenge <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math> gilt. ==Satz von der Gebietstreue== Es sei <math>U \subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]], nicht konstante Funktion. Dann ist <math>f(U)</math> ein Gebiet. ==Beweis== Für den Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass <math>f(U)</math> ein Gebiet ist, d.h. die Menge <math>f(U)</math> * ist zusammenhängend und * offen. Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile. === Bemerkung - Beweisidee === Im Beweis des Satzes von der Gebietstreue erhält man: * <math>f(U)</math> ist zusammenhängend für beliebige stetige Funktionen <math>f: U \to \mathbb{C}</math> und * <math>f(U)</math> ist offen über das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] von holomorphen Funktionen. === Beweis 1: zusammenhängend === Wir zeigen, dass aus <math>f</math> stetig und <math>U</math> zusammenhängend folgt, dass auch <math>f(U)</math> zusammenhängend ist. === Beweis 2: zusammenhängend === Seien <math>w_1, w_2 \in f(U)</math> beliebig gewählt. Dann gibt <math>z_1,z_2 \in U</math> mit <math>f(z_1)=w_1</math> und <math>f(z_2)=w_2</math>. Da <math>U</math> zusammenhängend ist, gibt es ein Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> mit <math>\gamma(a)= z_1</math> und <math>\gamma(b)= z_2</math>. === Beweis 3: zusammenhängend === Weil <math>f</math> stetig ist und <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ein stetig Weg in <math>U</math> ist, so ist auch<math>\gamma_f := f \circ \gamma</math> ein stetiger Weg in <math>f(U)</math>, für den gilt: : <math>\gamma_f(a) = f(\gamma (a)) = f(z_1)=w_1</math> und <math>\gamma_f(b) = f(\gamma (b)) = f(z_2)=w_2</math> === Beweis 4: offen === Es bleibt zu zeigen, dass <math>f(U)</math> offen ist, sei dazu <math>w_0 \in f(U)</math> und <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) = w_0</math>. Wir betrachten nun die Menge der <math>w_0</math>-Stellen : <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> === Beweis 5: offen - Identitätssatz=== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] kann die Menge <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> keine Häufungspunkte in <math>f(U)</math> haben. Hätte eine <math>S(f,w_0)\subseteq f(U)</math> Häufungspunkte in <math>f(U)</math>, dann wäre die holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \mathbb C</math> konstant mit <math>f(z)= w_0</math> für alle <math>z\in U</math>. === Beweis 6: offen - Umgebungen === Wenn die Menge <math>S(f,w_0)</math> der <math>w_0</math>-Stellen von <math>f</math> keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung <math>V \subseteq U</math> von <math>z_0</math> so wählen, in der <math>z_0</math> die einzige <math>w_0</math>-Stelle ist. Sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> gilt. === Beweis 7: offen === Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von <math>f(z)</math> zu <math>w_0</math>, wobei <math>z</math> auf dem Kreisrand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. :<math> \varepsilon := \inf_{z \in \partial D_r(z_0)} |f(z) - w_0| > 0 </math> Dabei ist <math>\varepsilon > 0 </math>, weil <math>f</math> stetig ist und auf der kompakten Menge <math>\partial D_r(z_0)</math> ein Minimum annimmt. Mit <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> kann auf dem Rand keine <math>w_0</math>-Stellen liegen. === Beweis 8: offen - Maximumsprinzip === Wir zeigen, dass <math>D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U)</math> gilt. Sei dazu <math>|w - w_0| < \frac{\varepsilon}{3}</math>. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige <math>w\in D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)</math> als Bild von <math>f</math> getroffen wird. === Beweis 9: offen - Maximumsprinzip === Angenommen, es wäre <math>f(z) \ne w</math> für alle <math>z \in \bar D_r(z_0)</math>. Dann nimmt <math>|g|</math> mit <math>g(z):=f(z) - w</math> auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> ein von Null verschiedenes Minimum an. Da <math>f</math> nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf <math>\partial D_r(z_0)</math> liegen (sonst ist <math>h(z):=\frac{1}{f(z)-w}</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] konstant. Wenn <math>h</math> konstant ist, müsste dann auch <math>f</math> konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung). === Beweis 10: offen === Da <math>w_0 \in f(U)</math> beliebig gewählt wurde und für jedes <math>w_0 \in f(U)</math> eine <math>\frac{\epsilon}{3}</math>-Umgebung <math> D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U) </math> erhalten, die in <math>f(U)</math> ist <math> f(U) = \bigcup_{w_0 \in f(U)} D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0) </math> als [[Normen, Metriken, Topologie|Vereinigung von offenen Mengen]] wieder offen. == Siehe auch == * [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] - wird dem Beweis vom Satz der Gebietstreue verwendet == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Openness theorem theorem of territorial loyalty]]</noinclude> jmijeunbwc4g64fqcomq1omqu00m09a 1079223 1079194 2026-05-12T10:03:35Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1079223 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bilder von wegzusammenhängenden Mengen <math>U</math> sind wegen der Stetigkeit wieder wegzusammenhängend und Urbilder von offenen Menge sind für beliebige stetigen Funktionen <math>f</math> wieder offen. Bilder <math>f(U)</math> von offenen Mengen <math>U</math> sind aber stetigen Funktionen keineswegs immer offen, wenn <math>f</math> nicht konstant ist. === Beispiel - Betragsfunktion === Die Betragsfunktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z):=|z |</math> ist eine stetige Funktion, die nicht konstant ist. Für jede offene Menge <math>U\not=\emptyset </math> mit <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> ist <math>f(U)\subseteq \mathbb{R}_o^+</math> und damit nicht offen. In den [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] wird gezeigt, dass keine nicht-konstanten holomorphen Funktionen geben kann, dessen Bildmenge <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math> gilt. ==Satz von der Gebietstreue== Es sei <math>U \subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]], nicht konstante Funktion. Dann ist <math>f(U)</math> ein Gebiet. ==Beweis== Für den Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass <math>f(U)</math> ein Gebiet ist, d.h. die Menge <math>f(U)</math> * ist zusammenhängend und * offen. Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile. === Bemerkung - Beweisidee === Im Beweis des Satzes von der Gebietstreue erhält man: * <math>f(U)</math> ist zusammenhängend für beliebige stetige Funktionen <math>f: U \to \mathbb{C}</math> und * <math>f(U)</math> ist offen über das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] von holomorphen Funktionen. === Beweis 1: zusammenhängend === Wir zeigen, dass aus <math>f</math> stetig und <math>U</math> zusammenhängend folgt, dass auch <math>f(U)</math> zusammenhängend ist. === Beweis 2: zusammenhängend === Seien <math>w_1, w_2 \in f(U)</math> beliebig gewählt. Dann gibt <math>z_1,z_2 \in U</math> mit <math>f(z_1)=w_1</math> und <math>f(z_2)=w_2</math>. Da <math>U</math> zusammenhängend ist, gibt es ein Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> mit <math>\gamma(a)= z_1</math> und <math>\gamma(b)= z_2</math>. === Beweis 3: zusammenhängend === Weil <math>f</math> stetig ist und <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ein stetig Weg in <math>U</math> ist, so ist auch<math>\gamma_f := f \circ \gamma</math> ein stetiger Weg in <math>f(U)</math>, für den gilt: : <math>\gamma_f(a) = f(\gamma (a)) = f(z_1)=w_1</math> und <math>\gamma_f(b) = f(\gamma (b)) = f(z_2)=w_2</math> === Beweis 4: offen === Es bleibt zu zeigen, dass <math>f(U)</math> offen ist, sei dazu <math>w_0 \in f(U)</math> und <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) = w_0</math>. Wir betrachten nun die Menge der <math>w_0</math>-Stellen : <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> === Beweis 5: offen - Identitätssatz=== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] kann die Menge <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> keine Häufungspunkte in <math>f(U)</math> haben. Hätte eine <math>S(f,w_0)\subseteq f(U)</math> Häufungspunkte in <math>f(U)</math>, dann wäre die holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \mathbb C</math> konstant mit <math>f(z)= w_0</math> für alle <math>z\in U</math>. === Beweis 6: offen - Umgebungen === Wenn die Menge <math>S(f,w_0)</math> der <math>w_0</math>-Stellen von <math>f</math> keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung <math>V \subseteq U</math> von <math>z_0</math> so wählen, in der <math>z_0</math> die einzige <math>w_0</math>-Stelle ist. Sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> gilt. === Beweis 7: offen === Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von <math>f(z)</math> zu <math>w_0</math>, wobei <math>z</math> auf dem Kreisrand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. :<math> \varepsilon := \inf_{z \in \partial D_r(z_0)} |f(z) - w_0| > 0 </math> Dabei ist <math>\varepsilon > 0 </math>, weil <math>f</math> stetig ist und auf der kompakten Menge <math>\partial D_r(z_0)</math> ein Minimum annimmt. Mit <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> kann auf dem Rand keine <math>w_0</math>-Stellen liegen. === Beweis 8: offen - Maximumsprinzip === Wir zeigen, dass <math>D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U)</math> gilt. Sei dazu <math>|w - w_0| < \frac{\varepsilon}{3}</math>. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige <math>w\in D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)</math> als Bild von <math>f</math> getroffen wird. === Beweis 9: offen - Maximumsprinzip === Angenommen, es wäre <math>f(z) \ne w</math> für alle <math>z \in \bar D_r(z_0)</math>. Dann nimmt <math>|g|</math> mit <math>g(z):=f(z) - w</math> auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> ein von Null verschiedenes Minimum an. Da <math>f</math> nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf <math>\partial D_r(z_0)</math> liegen (sonst ist <math>h(z):=\frac{1}{f(z)-w}</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] konstant. Wenn <math>h</math> konstant ist, müsste dann auch <math>f</math> konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung). === Beweis 10: offen === Da <math>w_0 \in f(U)</math> beliebig gewählt wurde und für jedes <math>w_0 \in f(U)</math> eine <math>\frac{\epsilon}{3}</math>-Umgebung <math> D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U) </math> erhalten, die in <math>f(U)</math> ist <math> f(U) = \bigcup_{w_0 \in f(U)} D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0) </math> als [[Normen, Metriken, Topologie|Vereinigung von offenen Mengen]] wieder offen. == Siehe auch == * [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] - wird dem Beweis vom Satz der Gebietstreue verwendet == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lko0xdep8klhgf500hsyveivcs7f5c4 106 103350 1079214 1078990 2026-05-12T09:31:40Z Kaan Bauer 38603 /* Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz */ 1079214 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac {f(\xi)} {\xi-z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]]. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Umlaufzahl]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> l97rijuo4equ2e346hzmjky2zousir2 106 119974 1079202 1078961 2026-05-12T08:05:28Z Bert Niehaus 20843 1079202 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung der [[Potenzreihe]] und mit <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält man die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_{n+1}}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum ist <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur aus dem einen gesuchten Summanden <math> -\frac{c_o}{3} \cdot (z-z_o)^{-1}</math> besteht. === Verschwindender Hauptteil === Wenn alle Koeffizienten im Hauptteil 0 sind (d.h. der Hauptteil verschwindet), lässt sich die Funktion holomorph in <math>z_o</math> fortsetzen (siehe auch [[Riemannscher Hebbarkeitssatz]]. === Aufgaben === * Entwickeln Sie die Funktion <math>g(z):=\frac{1}{a+z}</math> mit <math> z_o \not= - a </math> in eine [[Laurent-Reihe]]! Warum sind alle Koeffizienten im Hauptteil 0? * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> ev2igon3gmivaqym953m20fi6u78rmn 1079204 1079202 2026-05-12T08:07:06Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1079204 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] entwickelt, um das [[Residuensatz|Residuum]] ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung der [[Potenzreihe]] und mit <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält man die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_{n+1}}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum ist <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur aus dem einen gesuchten Summanden <math> -\frac{c_o}{3} \cdot (z-z_o)^{-1}</math> besteht. === Verschwindender Hauptteil === Wenn alle Koeffizienten im Hauptteil 0 sind (d.h. der Hauptteil verschwindet), lässt sich die Funktion holomorph in <math>z_o</math> fortsetzen (siehe auch [[Riemannscher Hebbarkeitssatz]]. === Aufgaben === * Entwickeln Sie die Funktion <math>g(z):=\frac{1}{a+z}</math> mit <math> z_o \not= - a </math> in eine [[Laurent-Reihe]]! Warum sind alle Koeffizienten im Hauptteil 0? * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> ttc3886d81m3xeka8xbdmkw4we85k93 1079208 1079204 2026-05-12T08:09:37Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1079208 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] entwickelt, um das [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]] ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung der [[Potenzreihe]] und mit <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält man die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_{n+1}}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum ist <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur aus dem einen gesuchten Summanden <math> -\frac{c_o}{3} \cdot (z-z_o)^{-1}</math> besteht. === Verschwindender Hauptteil === Wenn alle Koeffizienten im Hauptteil 0 sind (d.h. der Hauptteil verschwindet), lässt sich die Funktion holomorph in <math>z_o</math> fortsetzen (siehe auch [[Riemannscher Hebbarkeitssatz]]. === Aufgaben === * Entwickeln Sie die Funktion <math>g(z):=\frac{1}{a+z}</math> mit <math> z_o \not= - a </math> in eine [[Laurent-Reihe]]! Warum sind alle Koeffizienten im Hauptteil 0? * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> rx1bu6dhlyey69qkkynt1gmuahvdeq2 0 128943 1079198 1078703 2026-05-12T07:54:07Z CFonwiki 36065 /* Mai */ 1079198 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] ==12. Mai== * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) und wie geht es mit Band 6 weiter? * Cossefritz bearbeitet weiter: https://de.wikisource.org/wiki/Kesselsdorf_und_Maxen_%E2%80%93_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] rgjgva2re6gk2oziynee2tyejywg05j 1079200 1079198 2026-05-12T07:58:50Z CFonwiki 36065 /* 12. Mai */ 1079200 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] ==12. Mai== * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wergeht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] b0smmbkuzic50eh48wq8g8fnj7kgv9o 1079201 1079200 2026-05-12T08:02:23Z CFonwiki 36065 /* 12. Mai */ 1079201 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] ==12. Mai== * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wergeht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] trhe9q8f1qm5qa81ayudcs97li3la55 1079203 1079201 2026-05-12T08:06:28Z CFonwiki 36065 /* 12. Mai */ 1079203 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] ==12. Mai== [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite151.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 151]] * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] f5jslwn6mar9m1onm0vrfyjurz02nmo 1079205 1079203 2026-05-12T08:08:25Z CFonwiki 36065 1079205 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join ==12. Mai== [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite151.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 151]] * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 7q5rl5ywgu1s7xrmx0b7oe568t9cxik 1079206 1079205 2026-05-12T08:09:13Z CFonwiki 36065 /* 12. Mai */ 1079206 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join ==12. Mai== * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 6t75q9k4vtfilfpx9t1ihzzzf8njd7l 1079207 1079206 2026-05-12T08:09:31Z CFonwiki 36065 /* 12. Mai */ 1079207 wikitext text/x-wiki [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|mini|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken]] '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join ==12. Mai== * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] h1fy6dzsu29q06g5jqsux05ur72z5ah 0 156034 1079173 1063364 2026-05-11T13:18:17Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1079173 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der (kleine) '''riemannsche Abbildungssatz''' ist eine Aussage aus der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], die nach [[w:de:Bernhard Riemann|Bernhard Riemann]] benannt wurde. Dabei identifiziert man [[w:de:biholomorph|biholomorph]] ein beliebiges [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit der Einheitskreisscheibe <math>D_1(0)</math>. === Geschichte === Bernhard Riemann skizzierte 1851 einen Beweis in seiner Dissertation. Im Jahr 1922 wurde die Aussage dann endgültig durch [[w:de:Lipót Fejér|Lipót Fejér]] und [[w:de:Frigyes Riesz|Frigyes Riesz]] bewiesen. Ein heute weit verbreiteter Beweis, der den [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]] verwendet, stammt von [[w:de:Alexander Markowitsch Ostrowski|Alexander Markowitsch Ostrowski]] aus dem Jahre 1929. Vom riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Verallgemeinerung, die als ''[[Riemannscher_Abbildungssatz#grosser|großer riemannscher Abbildungssatz]]'' bezeichnet wird. == Riemannscher Abbildungssatz == Jedes [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subsetneq \Complex</math> lässt sich [[w:de:Biholomorphe Abbildung|biholomorph]] auf die [[w:de:offene Einheitskreisscheibe|offene Einheitskreisscheibe]] <math>\mathbb{D}</math> abbilden.<ref>W. Fischer, I. Lieb: ''Funktionentheorie'', Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap IX, Satz 7.1</ref> === Bemerkung - offene Kreisschreibe === Die offene Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math> ist definiert als :<math>\mathbb{D} := D_1(0) := \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}.</math> === Notation - echte Teilmenge === Die Notation <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> bedeutet „echte [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]]“ und besagt, dass das Gebiet <math>G</math> ungleich <math>\mathbb{C}</math> sein muss. === Charakterisierung offener Mengen === Eine offene Menge <math>U \subset \mathbb{C}</math> kann man dadurch charakterisieren, dass jeden ihrer Punkte <math>z\in U</math> eine Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) := \{z\in \mathbb{C} \,\, \colon \,\, |z-z_o| < \varepsilon(z_o) \}</math> umgibt, die ganz in dieser Menge in <math>U</math> liegt. Der Radius <math>\varepsilon(z_o)>0 </math> der offenen Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) \subset U</math> hängt von <math>z_o</math>. Das bedeutet mit anderen Worten, dass <math>U</math> nur aus inneren Punkten besteht und keine [[Normen, Metriken, Topologie#Rand|Randpunkte]] enthält. Da in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] beliebige Vereinigung von offenen Mengen wieder offen sind, gilt nicht nur <math>\bigcup_{z_o\in U} D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) \subseteq U</math>, sondern auch <math>U=\bigcup_{z_o\in U} D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) </math>. === Bemerkung - biholomorph === Eine Abbildung ist biholomorph, wenn sie [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] ist und wenn ihre [[w:de:Umkehrabbildung|Umkehrabbildung]] existiert und diese ebenfalls holomorph ist. Insbesondere sind solche Abbildungen [[w:de:Homöomorphismus|Homöomorphismen]], also in beide Richtungen stetig. === Einfach zusammenhängende Gebiete === Hieraus und unter Verwendung des riemannschen Abbildungssatzes kann man schließen, dass alle einfach zusammenhängenden Gebiete, die echte Teilmengen von <math>\mathbb C</math> sind, topologisch äquivalent sind. Tatsächlich ist auch <math>\mathbb C</math> zu diesen topologisch äquivalent. === Existenz von biholomorphen Abbildungen === Für jeden Punkt <math>z_0\in G</math> des einfach zusammenhängenden Gebietes <math>G</math> gilt: : Es gibt ''genau eine'' biholomorphe Funktion <math>h</math> von <math>G</math> auf <math>\mathbb{D}</math> mit <math>h(z_0)=0</math> und <math>h'(z_0) > 0</math>. == Großer riemannscher Abbildungssatz == Der ''große riemannsche Abbildungssatz'', auch als ''Uniformisierungssatz'' (bewiesen von [[w:de:Paul Koebe|Paul Koebe]], [[w:de:Henri Poincaré|Henri Poincaré]]) bezeichnet, ist eine Verallgemeinerung des oben genannten Satzes. Er besagt:<ref>[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Heidelberger Taschenbücher Band 184, Springer-Verlag, ISBN 3-540-08034-1, Satz 27.9</ref> :Jede einfach zusammenhängende [[w:de:riemannsche Fläche|riemannsche Fläche]] ist biholomorph äquivalent zu genau einer der folgenden Flächen: :* der Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math>, bzw. zur dazu äquivalenten hyperbolischen Halbebene <math>\mathbb{H}</math>, :* der komplexen Zahlenebene <math>\mathbb C</math> oder :* der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|riemannschen Zahlenkugel]] <math>\mathbb P^1(\mathbb C).</math> === Bemerkung - Satz von Liouville === Es ist vergleichsweise einfach, zu erkennen, dass die drei genannten Riemannschen Flächen paarweise nicht biholomorph äquivalent sind: Eine biholomorphe Abbildung von <math>\mathbb{C}</math> nach <math>\mathbb{D}</math> ist nach dem [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] nicht möglich (da holomorph auf <math>\mathbb{C}</math> und beschränkt, also konstant) und die Zahlenkugel ist kompakt und ist somit schon aus rein topologischen Gründen nicht homöomorph und damit auch nicht biholomorph äquivalent zu <math>\mathbb{D}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisabhängigkeiten === Man muss allerdings dazu sagen, dass der erstgenannte riemannsche Abbildungssatz (oder zumindest dessen Beweisideen) zum Beweis des großen riemannschen Abbildungssatzes verwendet wird. Man erhält auf diese Weise also keine neue Herleitung des riemannschen Abbildungssatzes. == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[w:de:Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Riemannscher Abbildungssatz] https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * Datum: 2.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Riemannscher Abbildungssatz]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Riemann mapping theorem]] </noinclude> al601sdi2lnklk0v0d1x4wsdaz8adob 1079174 1079173 2026-05-11T13:20:00Z Bert Niehaus 20843 /* Riemannscher Abbildungssatz */ 1079174 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der (kleine) '''riemannsche Abbildungssatz''' ist eine Aussage aus der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], die nach [[w:de:Bernhard Riemann|Bernhard Riemann]] benannt wurde. Dabei identifiziert man [[w:de:biholomorph|biholomorph]] ein beliebiges [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet mit der Einheitskreisscheibe <math>D_1(0)</math>. === Geschichte === Bernhard Riemann skizzierte 1851 einen Beweis in seiner Dissertation. Im Jahr 1922 wurde die Aussage dann endgültig durch [[w:de:Lipót Fejér|Lipót Fejér]] und [[w:de:Frigyes Riesz|Frigyes Riesz]] bewiesen. Ein heute weit verbreiteter Beweis, der den [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]] verwendet, stammt von [[w:de:Alexander Markowitsch Ostrowski|Alexander Markowitsch Ostrowski]] aus dem Jahre 1929. Vom riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Verallgemeinerung, die als ''[[Riemannscher_Abbildungssatz#grosser|großer riemannscher Abbildungssatz]]'' bezeichnet wird. == Riemannscher Abbildungssatz == Jedes [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> lässt sich [[w:de:Biholomorphe Abbildung|biholomorph]] auf die [[w:de:offene Einheitskreisscheibe|offene Einheitskreisscheibe]] <math>\mathbb{D}:=D_1(0)</math> abbilden.<ref>W. Fischer, I. Lieb: ''Funktionentheorie'', Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap IX, Satz 7.1</ref> === Bemerkung - offene Kreisschreibe === Die offene Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math> ist definiert als :<math>\mathbb{D} := D_1(0) := \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}.</math> === Notation - echte Teilmenge === Die Notation <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> bedeutet „echte [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]]“ und besagt, dass das Gebiet <math>G</math> ungleich <math>\mathbb{C}</math> sein muss. === Charakterisierung offener Mengen === Eine offene Menge <math>U \subset \mathbb{C}</math> kann man dadurch charakterisieren, dass jeden ihrer Punkte <math>z\in U</math> eine Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) := \{z\in \mathbb{C} \,\, \colon \,\, |z-z_o| < \varepsilon(z_o) \}</math> umgibt, die ganz in dieser Menge in <math>U</math> liegt. Der Radius <math>\varepsilon(z_o)>0 </math> der offenen Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) \subset U</math> hängt von <math>z_o</math>. Das bedeutet mit anderen Worten, dass <math>U</math> nur aus inneren Punkten besteht und keine [[Normen, Metriken, Topologie#Rand|Randpunkte]] enthält. Da in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] beliebige Vereinigung von offenen Mengen wieder offen sind, gilt nicht nur <math>\bigcup_{z_o\in U} D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) \subseteq U</math>, sondern auch <math>U=\bigcup_{z_o\in U} D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) </math>. === Bemerkung - biholomorph === Eine Abbildung ist biholomorph, wenn sie [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] ist und wenn ihre [[w:de:Umkehrabbildung|Umkehrabbildung]] existiert und diese ebenfalls holomorph ist. Insbesondere sind solche Abbildungen [[w:de:Homöomorphismus|Homöomorphismen]], also in beide Richtungen stetig. === Einfach zusammenhängende Gebiete === Hieraus und unter Verwendung des riemannschen Abbildungssatzes kann man schließen, dass alle einfach zusammenhängenden Gebiete, die echte Teilmengen von <math>\mathbb C</math> sind, topologisch äquivalent sind. Tatsächlich ist auch <math>\mathbb C</math> zu diesen topologisch äquivalent. === Existenz von biholomorphen Abbildungen === Für jeden Punkt <math>z_0\in G</math> des einfach zusammenhängenden Gebietes <math>G</math> gilt: : Es gibt ''genau eine'' biholomorphe Funktion <math>h</math> von <math>G</math> auf <math>\mathbb{D}</math> mit <math>h(z_0)=0</math> und <math>h'(z_0) > 0</math>. == Großer riemannscher Abbildungssatz == Der ''große riemannsche Abbildungssatz'', auch als ''Uniformisierungssatz'' (bewiesen von [[w:de:Paul Koebe|Paul Koebe]], [[w:de:Henri Poincaré|Henri Poincaré]]) bezeichnet, ist eine Verallgemeinerung des oben genannten Satzes. Er besagt:<ref>[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Heidelberger Taschenbücher Band 184, Springer-Verlag, ISBN 3-540-08034-1, Satz 27.9</ref> :Jede einfach zusammenhängende [[w:de:riemannsche Fläche|riemannsche Fläche]] ist biholomorph äquivalent zu genau einer der folgenden Flächen: :* der Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math>, bzw. zur dazu äquivalenten hyperbolischen Halbebene <math>\mathbb{H}</math>, :* der komplexen Zahlenebene <math>\mathbb C</math> oder :* der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|riemannschen Zahlenkugel]] <math>\mathbb P^1(\mathbb C).</math> === Bemerkung - Satz von Liouville === Es ist vergleichsweise einfach, zu erkennen, dass die drei genannten Riemannschen Flächen paarweise nicht biholomorph äquivalent sind: Eine biholomorphe Abbildung von <math>\mathbb{C}</math> nach <math>\mathbb{D}</math> ist nach dem [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] nicht möglich (da holomorph auf <math>\mathbb{C}</math> und beschränkt, also konstant) und die Zahlenkugel ist kompakt und ist somit schon aus rein topologischen Gründen nicht homöomorph und damit auch nicht biholomorph äquivalent zu <math>\mathbb{D}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisabhängigkeiten === Man muss allerdings dazu sagen, dass der erstgenannte riemannsche Abbildungssatz (oder zumindest dessen Beweisideen) zum Beweis des großen riemannschen Abbildungssatzes verwendet wird. Man erhält auf diese Weise also keine neue Herleitung des riemannschen Abbildungssatzes. == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[w:de:Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Riemannscher Abbildungssatz] https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * Datum: 2.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Riemannscher Abbildungssatz]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Riemann mapping theorem]] </noinclude> rwitr0j9xejp0dsoxbs796w2sjk3c8j 1079175 1079174 2026-05-11T13:21:34Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1079175 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der (kleine) '''riemannsche Abbildungssatz''' ist eine Aussage aus der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], die nach [[w:de:Bernhard Riemann|Bernhard Riemann]] benannt wurde. Dabei identifiziert man [[w:de:biholomorph|biholomorph]] ein beliebiges [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> mit der Einheitskreisscheibe <math>D_1(0)</math>. In einer Verallgemeinerung ohne die Einschränkung <math>G \not= \mathbb{C}</math> === Geschichte === Bernhard Riemann skizzierte 1851 einen Beweis in seiner Dissertation. Im Jahr 1922 wurde die Aussage dann endgültig durch [[w:de:Lipót Fejér|Lipót Fejér]] und [[w:de:Frigyes Riesz|Frigyes Riesz]] bewiesen. Ein heute weit verbreiteter Beweis, der den [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]] verwendet, stammt von [[w:de:Alexander Markowitsch Ostrowski|Alexander Markowitsch Ostrowski]] aus dem Jahre 1929. Vom riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Verallgemeinerung, die als ''[[Riemannscher_Abbildungssatz#grosser|großer riemannscher Abbildungssatz]]'' bezeichnet wird. == Riemannscher Abbildungssatz == Jedes [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> lässt sich [[w:de:Biholomorphe Abbildung|biholomorph]] auf die [[w:de:offene Einheitskreisscheibe|offene Einheitskreisscheibe]] <math>\mathbb{D}:=D_1(0)</math> abbilden.<ref>W. Fischer, I. Lieb: ''Funktionentheorie'', Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap IX, Satz 7.1</ref> === Bemerkung - offene Kreisschreibe === Die offene Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math> ist definiert als :<math>\mathbb{D} := D_1(0) := \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}.</math> === Notation - echte Teilmenge === Die Notation <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> bedeutet „echte [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]]“ und besagt, dass das Gebiet <math>G</math> ungleich <math>\mathbb{C}</math> sein muss. === Charakterisierung offener Mengen === Eine offene Menge <math>U \subset \mathbb{C}</math> kann man dadurch charakterisieren, dass jeden ihrer Punkte <math>z\in U</math> eine Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) := \{z\in \mathbb{C} \,\, \colon \,\, |z-z_o| < \varepsilon(z_o) \}</math> umgibt, die ganz in dieser Menge in <math>U</math> liegt. Der Radius <math>\varepsilon(z_o)>0 </math> der offenen Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) \subset U</math> hängt von <math>z_o</math>. 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Man erhält auf diese Weise also keine neue Herleitung des riemannschen Abbildungssatzes. == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[w:de:Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Riemannscher Abbildungssatz] https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * Datum: 2.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Riemannscher Abbildungssatz]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Riemann mapping theorem]] </noinclude> jrvtlbsoelktyds0ezttefbkv3y5qj3 1079176 1079175 2026-05-11T13:22:54Z Bert Niehaus 20843 /* Großer riemannscher Abbildungssatz */ 1079176 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der (kleine) '''riemannsche Abbildungssatz''' ist eine Aussage aus der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], die nach [[w:de:Bernhard Riemann|Bernhard Riemann]] benannt wurde. Dabei identifiziert man [[w:de:biholomorph|biholomorph]] ein beliebiges [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> mit der Einheitskreisscheibe <math>D_1(0)</math>. In einer Verallgemeinerung ohne die Einschränkung <math>G \not= \mathbb{C}</math> === Geschichte === Bernhard Riemann skizzierte 1851 einen Beweis in seiner Dissertation. Im Jahr 1922 wurde die Aussage dann endgültig durch [[w:de:Lipót Fejér|Lipót Fejér]] und [[w:de:Frigyes Riesz|Frigyes Riesz]] bewiesen. Ein heute weit verbreiteter Beweis, der den [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]] verwendet, stammt von [[w:de:Alexander Markowitsch Ostrowski|Alexander Markowitsch Ostrowski]] aus dem Jahre 1929. Vom riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Verallgemeinerung, die als ''[[Riemannscher_Abbildungssatz#grosser|großer riemannscher Abbildungssatz]]'' bezeichnet wird. == Riemannscher Abbildungssatz == Jedes [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> lässt sich [[w:de:Biholomorphe Abbildung|biholomorph]] auf die [[w:de:offene Einheitskreisscheibe|offene Einheitskreisscheibe]] <math>\mathbb{D}:=D_1(0)</math> abbilden.<ref>W. Fischer, I. 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Tatsächlich ist auch <math>\mathbb C</math> zu diesen topologisch äquivalent. === Existenz von biholomorphen Abbildungen === Für jeden Punkt <math>z_0\in G</math> des einfach zusammenhängenden Gebietes <math>G</math> gilt: : Es gibt ''genau eine'' biholomorphe Funktion <math>h</math> von <math>G</math> auf <math>\mathbb{D}</math> mit <math>h(z_0)=0</math> und <math>h'(z_0) > 0</math>. <span id="grosser"></span> == Großer riemannscher Abbildungssatz == Der ''große riemannsche Abbildungssatz'', auch als ''Uniformisierungssatz'' (bewiesen von [[w:de:Paul Koebe|Paul Koebe]], [[w:de:Henri Poincaré|Henri Poincaré]]) bezeichnet, ist eine Verallgemeinerung des oben genannten Satzes. Er besagt:<ref>[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Heidelberger Taschenbücher Band 184, Springer-Verlag, ISBN 3-540-08034-1, Satz 27.9</ref> :Jede einfach zusammenhängende [[w:de:riemannsche Fläche|riemannsche Fläche]] ist biholomorph äquivalent zu genau einer der folgenden Flächen: :* der Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math>, bzw. zur dazu äquivalenten hyperbolischen Halbebene <math>\mathbb{H}</math>, :* der komplexen Zahlenebene <math>\mathbb C</math> oder :* der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|riemannschen Zahlenkugel]] <math>\mathbb P^1(\mathbb C).</math> === Bemerkung - Satz von Liouville === Es ist vergleichsweise einfach, zu erkennen, dass die drei genannten Riemannschen Flächen paarweise nicht biholomorph äquivalent sind: Eine biholomorphe Abbildung von <math>\mathbb{C}</math> nach <math>\mathbb{D}</math> ist nach dem [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] nicht möglich (da holomorph auf <math>\mathbb{C}</math> und beschränkt, also konstant) und die Zahlenkugel ist kompakt und ist somit schon aus rein topologischen Gründen nicht homöomorph und damit auch nicht biholomorph äquivalent zu <math>\mathbb{D}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisabhängigkeiten === Man muss allerdings dazu sagen, dass der erstgenannte riemannsche Abbildungssatz (oder zumindest dessen Beweisideen) zum Beweis des großen riemannschen Abbildungssatzes verwendet wird. Man erhält auf diese Weise also keine neue Herleitung des riemannschen Abbildungssatzes. == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[w:de:Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Riemannscher Abbildungssatz] https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * Datum: 2.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Riemannscher Abbildungssatz]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Riemann mapping theorem]] </noinclude> 5tufn4opvs14dwzxowde2cmyrizxak4 1079177 1079176 2026-05-11T13:26:53Z Bert Niehaus 20843 /* Großer riemannscher Abbildungssatz */ 1079177 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der (kleine) '''riemannsche Abbildungssatz''' ist eine Aussage aus der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], die nach [[w:de:Bernhard Riemann|Bernhard Riemann]] benannt wurde. Dabei identifiziert man [[w:de:biholomorph|biholomorph]] ein beliebiges [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängendes]] Gebiet <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> mit der Einheitskreisscheibe <math>D_1(0)</math>. In einer Verallgemeinerung ohne die Einschränkung <math>G \not= \mathbb{C}</math> === Geschichte === Bernhard Riemann skizzierte 1851 einen Beweis in seiner Dissertation. Im Jahr 1922 wurde die Aussage dann endgültig durch [[w:de:Lipót Fejér|Lipót Fejér]] und [[w:de:Frigyes Riesz|Frigyes Riesz]] bewiesen. Ein heute weit verbreiteter Beweis, der den [[w:de:Satz von Montel|Satz von Montel]] verwendet, stammt von [[w:de:Alexander Markowitsch Ostrowski|Alexander Markowitsch Ostrowski]] aus dem Jahre 1929. Vom riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Verallgemeinerung, die als ''[[Riemannscher_Abbildungssatz#grosser|großer riemannscher Abbildungssatz]]'' bezeichnet wird. == Riemannscher Abbildungssatz == Jedes [[w:de:Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]] [[w:de:Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> lässt sich [[w:de:Biholomorphe Abbildung|biholomorph]] auf die [[w:de:offene Einheitskreisscheibe|offene Einheitskreisscheibe]] <math>\mathbb{D}:=D_1(0)</math> abbilden.<ref>W. Fischer, I. Lieb: ''Funktionentheorie'', Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap IX, Satz 7.1</ref> === Bemerkung - offene Kreisschreibe === Die offene Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math> ist definiert als :<math>\mathbb{D} := D_1(0) := \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}.</math> === Notation - echte Teilmenge === Die Notation <math>G \subsetneq \mathbb{C}</math> bedeutet „echte [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]]“ und besagt, dass das Gebiet <math>G</math> ungleich <math>\mathbb{C}</math> sein muss. === Charakterisierung offener Mengen === Eine offene Menge <math>U \subset \mathbb{C}</math> kann man dadurch charakterisieren, dass jeden ihrer Punkte <math>z\in U</math> eine Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) := \{z\in \mathbb{C} \,\, \colon \,\, |z-z_o| < \varepsilon(z_o) \}</math> umgibt, die ganz in dieser Menge in <math>U</math> liegt. Der Radius <math>\varepsilon(z_o)>0 </math> der offenen Kreisscheibe <math>D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) \subset U</math> hängt von <math>z_o</math>. Das bedeutet mit anderen Worten, dass <math>U</math> nur aus inneren Punkten besteht und keine [[Normen, Metriken, Topologie#Rand|Randpunkte]] enthält. Da in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] beliebige Vereinigung von offenen Mengen wieder offen sind, gilt nicht nur <math>\bigcup_{z_o\in U} D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) \subseteq U</math>, sondern auch <math>U=\bigcup_{z_o\in U} D_{\varepsilon(z_o)}(z_o) </math>. === Bemerkung - biholomorph === Eine Abbildung ist biholomorph, wenn sie [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] ist und wenn ihre [[w:de:Umkehrabbildung|Umkehrabbildung]] existiert und diese ebenfalls holomorph ist. Insbesondere sind solche Abbildungen [[w:de:Homöomorphismus|Homöomorphismen]], also in beide Richtungen stetig. === Einfach zusammenhängende Gebiete === Hieraus und unter Verwendung des riemannschen Abbildungssatzes kann man schließen, dass alle einfach zusammenhängenden Gebiete, die echte Teilmengen von <math>\mathbb C</math> sind, topologisch äquivalent sind. Tatsächlich ist auch <math>\mathbb C</math> zu diesen topologisch äquivalent. === Existenz von biholomorphen Abbildungen === Für jeden Punkt <math>z_0\in G</math> des einfach zusammenhängenden Gebietes <math>G</math> gilt: : Es gibt ''genau eine'' biholomorphe Funktion <math>h</math> von <math>G</math> auf <math>\mathbb{D}</math> mit <math>h(z_0)=0</math> und <math>h'(z_0) > 0</math>. <span id="grosser"></span> == Verallgemeinerung == Der ''große riemannsche Abbildungssatz'', auch als ''Uniformisierungssatz'' (bewiesen von [[w:de:Paul Koebe|Paul Koebe]], [[w:de:Henri Poincaré|Henri Poincaré]]) bezeichnet, ist eine Verallgemeinerung des oben genannten Satzes (siehe z.B. Otto Forster Satz 27.9 <ref>[[w:de:Otto Forster|Otto Forster]]: ''Riemannsche Flächen'', Heidelberger Taschenbücher Band 184, Springer-Verlag, ISBN 3-540-08034-1, Satz 27.9</ref>) === Großer riemannscher Abbildungssatz === Jede einfach zusammenhängende [[w:de:riemannsche Fläche|riemannsche Fläche]] ist biholomorph äquivalent zu genau einer der folgenden Flächen: * der Einheitskreisscheibe <math>\mathbb{D}</math>, bzw. zur dazu äquivalenten hyperbolischen Halbebene <math>\mathbb{H}</math>, * der komplexen Zahlenebene <math>\mathbb C</math> oder * der [[w:de:Riemannsche Zahlenkugel|riemannschen Zahlenkugel]] <math>\mathbb P^1(\mathbb C).</math> === Bemerkung - Satz von Liouville === Es ist vergleichsweise einfach, zu erkennen, dass die drei genannten Riemannschen Flächen paarweise nicht biholomorph äquivalent sind: Eine biholomorphe Abbildung von <math>\mathbb{C}</math> nach <math>\mathbb{D}</math> ist nach dem [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] nicht möglich (da holomorph auf <math>\mathbb{C}</math> und beschränkt, also konstant) und die Zahlenkugel ist kompakt und ist somit schon aus rein topologischen Gründen nicht homöomorph und damit auch nicht biholomorph äquivalent zu <math>\mathbb{D}</math> oder <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisabhängigkeiten === Man muss allerdings dazu sagen, dass der erstgenannte riemannsche Abbildungssatz (oder zumindest dessen Beweisideen) zum Beweis des großen riemannschen Abbildungssatzes verwendet wird. Man erhält auf diese Weise also keine neue Herleitung des riemannschen Abbildungssatzes. == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[w:de:Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz Riemannscher Abbildungssatz] https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannscher%20Abbildungssatz * Datum: 2.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Riemannscher Abbildungssatz]] [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude> [[en:Riemann mapping theorem]] </noinclude> o194vjg16b31gjhkn13q4wtdn8mrh60 106 162299 1079210 1078868 2026-05-12T09:03:16Z Kaan Bauer 38603 /* Beweischritt 2 - Konvergenz der Reihe für einen positiven Radius */ 1079210 wikitext text/x-wiki == Kreisförmige Konvergenzbereiche == Die Konvergenzbereiche von [[Laurent-Reihe|Haupt- und Nebenteil der Laurent-Reihe]] sind im Wesentlichen Kreischeiben, wobei der Konvergenzbereiche für den Nebenteil die Punkte im Inneren einer Kreisscheibe und für den Hauptteil die Punkte außerhalb des Komplementes eine Kreisschreibe enthält und für diese Punkte Nebenteil bzw. Hauptteil absolut konvergent ist. === Kreisrand von Konvergenzbereichen === Für die Punkte auf dem Kreisrand kann es der Fall sein, dass der Hauptteil bzw. Nebenteil konvergiert oder divergiert. === Abelsches Lemma und Konvergenzbereiche=== Das Abelsche Lemma ist der zentral Satz in der Funktionentheorie, der die Konvergenz von Potenzreihen untersucht. Durch die Operation <math>h(z)=\frac{1}{z}</math> kann man die Aussage für Potenzreihen von dem Nebenteil auf den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] übertragen. Dabei wird die punktierte kreiförmige Umgebung <math>U_1:=D_r(z_o)\setminus \{z_0\}</math> auf das Komplement der Kreisscheibe <math>U_2:=\mathbb{C} \setminus \overline{D_{\frac{1}{r}}(z_o)} </math> bijektiv abgebildet. === Kreisringe als Konvergenzbereiche === Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert für ein <math>z\in \mathbb{C}</math>, wenn sowohl der Hauptteil als auch der Nebenteil für das <math>z</math> konvergiert. Mit dem Abelschen Lemma enthält der Konvergenzbereich einer [[Laurent-Reihe]] im Wesentliche aus dem Schnitt einer Kreisschreibe mit einem Komplement einer Kreisscheibe. Der Konvergenzbereich besteht ohne Berücksichtung der Ränder daher aus einem offenen Kreisring, wobei Punkte auf dem Rand des Kreisringes auch zum Konvergenzbereich der [[Laurent-Reihe]] gehören können. == Abelsches Lemma== Sei <math>z_0 \not= 0</math> und <math> f(z):= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math> eine Potenzreihe, für die die Menge <math>\{ |a_n \cdot z_0^n| \, : \, n\in \mathbb{N}_0 \}</math> beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_R(0)} := \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z|\leq R \} </math> mit <math>R < |z_0| </math>. == Beweis== Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Konvergenz der Reihe für <math> R > 0 </math> - Majorante geometrische Reihe. * Gleichmäßige Konvergenz auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_R(0)}</math>, * Abschätzung der Restsumme der Reihe * gleichmäßige Konvergenz und Partialsummen * Schlussfolgerung für den Konvergenzbereich === Beweischritt 1 - Abschätzung Majorante - geometrische Reihe === Durch <math>z_0 \not= 0 </math> und der Beschränktheit der Summenterme <math> |a_n \cdot z_0^n| \leq M</math> für alle <math> n\in \mathbb{N} </math> ergibt sich für jedes <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z|\leq R < |z_0| </math> ein geometrische Reihe als Majorante. :<math> \left| \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \left| a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{\left| a_n \cdot z_0^n \right|}_{\leq M} \cdot \frac{\left| z^n \right| }{\left| z_0^n \right| } \leq M \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\underbrace{\left( \frac{R}{| z_0 |} \right)}_{=q < 1}}^n </math> === Beweischritt 2 - Konvergenz der Reihe für einen positiven Radius === Für jedes <math> R > 0 </math> mit <math> R < |z_0| </math> konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math> absolut. Dies bedeutet insbesondere, dass die Partialsummen <math> f_N(R) = \sum_{n=0}^{N} a_n z^n </math> eine konvergente Folge bilden. === Beweischritt 3 - Gleichmäßige Konvergenz für kleinere Radien === Um die gleichmäßige Konvergenz auf <math>\overline{D_R(0)}</math> zu zeigen, betrachtet man die Partialsummen <math> f_N(z) = \sum_{n=0}^{N} a_n \cdot z^n </math> für <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> und bezeichnen die Potenzreihe mit <math>f(z):= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math>. Zu zeigen ist nun die [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] der Funktionenfolge <math>(f_N)_{N\in \mathbb{N}}</math> gegen <math> f</math>, d.h. :<math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N_o \in \mathbb{N} \ \forall x \in \overline{D_R(0)} \ \forall N \ge N_o : \quad \left|f_N(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> === Beweischritt 4 - Abschätzung der Restsumme der Potenzreihe === Für <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> und <math> N < M </math> gilt: :<math> \left|f(z) - f_N(z) \right| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot |z|^n \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> Da die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> konvergiert, wird der Restterm <math> \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> beliebig klein, wenn <math> N </math> groß genug gewählt wird. === Beweischritt 5 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge === Für gleichmäßige Konvergenz mussen man zeigen, dass für jedes <math> \epsilon > 0 </math> ein <math> N_\varepsilon </math> existiert, sodass für alle <math> N > N_\varepsilon </math> und alle <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> gilt: :<math> |f(z) - f_N(z)| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| < \epsilon </math> === Beweischritt 6 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge === Sei nun <math> N_\varepsilon </math> mit der Konvergenz von <math> \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> so gewählt, dass die folgende Ungleichung gilt: <math> \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n < \epsilon </math> gilt. Dann erhält man für <math> N\geq N_\epsilon </math>: :<math> |f(z) - f_N(z)| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| a_n \right| \cdot \left| z^n \right| \leq \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{\infty} \left| a_n \right| \cdot \underbrace{ \left| z^n \right| }_{ \leq R^n } < \epsilon </math> === Beweischritt 7 - Schlussfolgerung === Da die Bedingung des Cauchy-Kriteriums erfüllt ist, konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> gleichmäßig auf <math>z \in \overline{D_R(0)}</math>. == Korrollar - Divergenz == Sei <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> eine Potenzreihe und <math> r > 0 </math>. Wenn die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n r^n </math> divergiert, dann ist die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> für alle <math>z \in \mathbb{C}</math> mit <math>|z| > r</math> nicht absolut konvergent. === Aufgabe 1 - Beweis Korrollar === Führen Sie den Beweis für das Korrollar durch Widerspruch über die Anwendung des Abelschen Lemmas. === Aufgabe 2 - Hauptteil Laurent-Reihe === Sei <math> f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius <math> R </math>, die für ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z| = R</math> absolut konvergiert. Zeigen Sie, dass die darstellende Reihe der folgenden Funktion <math>g:= f\circ h</math> mit <math>h(z)=\frac{1}{z}</math> auf <math>U:=\mathbb{C} \setminus D_{\frac{1}{R}}(0) </math> absolut konvergiert. <!-- '''Bemerkung:''' Erläutern Sie, warum in dem oben genannten Fall alle Punkte auf dem Rand des Konvergenzbereiches konvergieren. --> == Siehe auch == * [[kreisförmige Menge]] * [[Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für Potenzreihenentwicklungen]] * [[Potenzreihenalgebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] acs0gca83gjv4wow8p2yrs687k58wjo 1079211 1079210 2026-05-12T09:24:41Z Kaan Bauer 38603 /* Beweischritt 2 - Konvergenz der Reihe für einen positiven Radius */ 1079211 wikitext text/x-wiki == Kreisförmige Konvergenzbereiche == Die Konvergenzbereiche von [[Laurent-Reihe|Haupt- und Nebenteil der Laurent-Reihe]] sind im Wesentlichen Kreischeiben, wobei der Konvergenzbereiche für den Nebenteil die Punkte im Inneren einer Kreisscheibe und für den Hauptteil die Punkte außerhalb des Komplementes eine Kreisschreibe enthält und für diese Punkte Nebenteil bzw. Hauptteil absolut konvergent ist. === Kreisrand von Konvergenzbereichen === Für die Punkte auf dem Kreisrand kann es der Fall sein, dass der Hauptteil bzw. Nebenteil konvergiert oder divergiert. === Abelsches Lemma und Konvergenzbereiche=== Das Abelsche Lemma ist der zentral Satz in der Funktionentheorie, der die Konvergenz von Potenzreihen untersucht. Durch die Operation <math>h(z)=\frac{1}{z}</math> kann man die Aussage für Potenzreihen von dem Nebenteil auf den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] übertragen. Dabei wird die punktierte kreiförmige Umgebung <math>U_1:=D_r(z_o)\setminus \{z_0\}</math> auf das Komplement der Kreisscheibe <math>U_2:=\mathbb{C} \setminus \overline{D_{\frac{1}{r}}(z_o)} </math> bijektiv abgebildet. === Kreisringe als Konvergenzbereiche === Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert für ein <math>z\in \mathbb{C}</math>, wenn sowohl der Hauptteil als auch der Nebenteil für das <math>z</math> konvergiert. Mit dem Abelschen Lemma enthält der Konvergenzbereich einer [[Laurent-Reihe]] im Wesentliche aus dem Schnitt einer Kreisschreibe mit einem Komplement einer Kreisscheibe. Der Konvergenzbereich besteht ohne Berücksichtung der Ränder daher aus einem offenen Kreisring, wobei Punkte auf dem Rand des Kreisringes auch zum Konvergenzbereich der [[Laurent-Reihe]] gehören können. == Abelsches Lemma== Sei <math>z_0 \not= 0</math> und <math> f(z):= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math> eine Potenzreihe, für die die Menge <math>\{ |a_n \cdot z_0^n| \, : \, n\in \mathbb{N}_0 \}</math> beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_R(0)} := \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z|\leq R \} </math> mit <math>R < |z_0| </math>. == Beweis== Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Konvergenz der Reihe für <math> R > 0 </math> - Majorante geometrische Reihe. * Gleichmäßige Konvergenz auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_R(0)}</math>, * Abschätzung der Restsumme der Reihe * gleichmäßige Konvergenz und Partialsummen * Schlussfolgerung für den Konvergenzbereich === Beweischritt 1 - Abschätzung Majorante - geometrische Reihe === Durch <math>z_0 \not= 0 </math> und der Beschränktheit der Summenterme <math> |a_n \cdot z_0^n| \leq M</math> für alle <math> n\in \mathbb{N} </math> ergibt sich für jedes <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z|\leq R < |z_0| </math> ein geometrische Reihe als Majorante. :<math> \left| \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \left| a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{\left| a_n \cdot z_0^n \right|}_{\leq M} \cdot \frac{\left| z^n \right| }{\left| z_0^n \right| } \leq M \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\underbrace{\left( \frac{R}{| z_0 |} \right)}_{=q < 1}}^n </math> === Beweischritt 2 - Konvergenz der Reihe für einen positiven Radius === Für jedes <math> R > 0 </math> mit <math> R < |z_0| </math> konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math> absolut. Dies bedeutet insbesondere, dass die Partialsummen <math> f_N(R) = \sum_{n=0}^{N} a_n R^n </math> eine konvergente Folge bilden. === Beweischritt 3 - Gleichmäßige Konvergenz für kleinere Radien === Um die gleichmäßige Konvergenz auf <math>\overline{D_R(0)}</math> zu zeigen, betrachtet man die Partialsummen <math> f_N(z) = \sum_{n=0}^{N} a_n \cdot z^n </math> für <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> und bezeichnen die Potenzreihe mit <math>f(z):= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math>. Zu zeigen ist nun die [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] der Funktionenfolge <math>(f_N)_{N\in \mathbb{N}}</math> gegen <math> f</math>, d.h. :<math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N_o \in \mathbb{N} \ \forall x \in \overline{D_R(0)} \ \forall N \ge N_o : \quad \left|f_N(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> === Beweischritt 4 - Abschätzung der Restsumme der Potenzreihe === Für <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> und <math> N < M </math> gilt: :<math> \left|f(z) - f_N(z) \right| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot |z|^n \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> Da die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> konvergiert, wird der Restterm <math> \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> beliebig klein, wenn <math> N </math> groß genug gewählt wird. === Beweischritt 5 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge === Für gleichmäßige Konvergenz mussen man zeigen, dass für jedes <math> \epsilon > 0 </math> ein <math> N_\varepsilon </math> existiert, sodass für alle <math> N > N_\varepsilon </math> und alle <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> gilt: :<math> |f(z) - f_N(z)| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| < \epsilon </math> === Beweischritt 6 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge === Sei nun <math> N_\varepsilon </math> mit der Konvergenz von <math> \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> so gewählt, dass die folgende Ungleichung gilt: <math> \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n < \epsilon </math> gilt. Dann erhält man für <math> N\geq N_\epsilon </math>: :<math> |f(z) - f_N(z)| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| a_n \right| \cdot \left| z^n \right| \leq \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{\infty} \left| a_n \right| \cdot \underbrace{ \left| z^n \right| }_{ \leq R^n } < \epsilon </math> === Beweischritt 7 - Schlussfolgerung === Da die Bedingung des Cauchy-Kriteriums erfüllt ist, konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> gleichmäßig auf <math>z \in \overline{D_R(0)}</math>. == Korrollar - Divergenz == Sei <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> eine Potenzreihe und <math> r > 0 </math>. Wenn die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n r^n </math> divergiert, dann ist die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> für alle <math>z \in \mathbb{C}</math> mit <math>|z| > r</math> nicht absolut konvergent. === Aufgabe 1 - Beweis Korrollar === Führen Sie den Beweis für das Korrollar durch Widerspruch über die Anwendung des Abelschen Lemmas. === Aufgabe 2 - Hauptteil Laurent-Reihe === Sei <math> f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius <math> R </math>, die für ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z| = R</math> absolut konvergiert. Zeigen Sie, dass die darstellende Reihe der folgenden Funktion <math>g:= f\circ h</math> mit <math>h(z)=\frac{1}{z}</math> auf <math>U:=\mathbb{C} \setminus D_{\frac{1}{R}}(0) </math> absolut konvergiert. <!-- '''Bemerkung:''' Erläutern Sie, warum in dem oben genannten Fall alle Punkte auf dem Rand des Konvergenzbereiches konvergieren. --> == Siehe auch == * [[kreisförmige Menge]] * [[Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für Potenzreihenentwicklungen]] * [[Potenzreihenalgebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qmqhemrsvgjkgzq3ibpzi51w55h26i3 0 170299 1079181 1079128 2026-05-11T14:42:10Z Bocardodarapti 2041 1079181 wikitext text/x-wiki {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Über {{ Relationskette | v || x^2 - y - 3 || || || |SZ= }} hat man mit {{math|term= v |SZ=}} statt {{math|term= y |SZ=}} die Gleichungen {{ Relationskette/align | x^4-4x^2- {{makl| x^2-v-3 |}}^3 -6 {{makl| x^2-v-3 |}}^2 -9 {{makl| x^2-v-3 |}} || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} || vw -{{makl| x^2-1 |}}^2 x + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v+1 |}} || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 -{{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2-v -3 |}} || 0 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man hat also eine Relation {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Eine zweite Relation von dieser Bauart {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}} w I + {{makl|-wx(y+1) - {{makl| x^2-1 |}} y {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II + x(y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} III || 0 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix32| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-1 |}} w | -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv | - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} | v^2 | x v {{makl| x^2-v-2 |}} }} |SZ=. }} Die äußere Determinante ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 x v {{makl| x^2-v-2 |}} -v^2 {{makl| x^2-1 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - vw |}} || || || |SZ=. }} Die obere Determinante ist {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |}} -w {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |}} -w {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| - {{makl| x^2-1 |}} wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 v {{makl| x^2-v-3|}} + vw^2 +wx {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2-v-2 |}} -w {{makl| x^2-1 |}} xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}}^2 v {{makl| x^2-v-3|}} + vw^2 -w {{makl| x^2-1 |}} xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| w^2 - w {{makl| x^2-1 |}} x + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2-v-3|}} |}} |SZ=. }} Die untere Determinante ist {{ Relationskette/align/netzlinks | v^2 {{makl| - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |}} - xv {{makl| x^2-v-2 |}} {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} || v {{makl| - wxv {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v^2 {{makl| x^2-v-3|}} + xvw {{makl| x^2-v-2 |}} + x^2 {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2-v-2 |}}^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2-v-2 |}} v |}} || v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} v^2 {{makl| x^2-v-3|}} + x^2 {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2-v-2 |}}^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2-v-2 |}} v |}} || v {{makl| x^2-1 |}} {{makl| v^2 {{makl| x^2-v-3|}} + x^2 {{makl| x^2-v-2 |}}^2 - x^2 {{makl| x^2-v-2 |}} v |}} || |SZ=. }} Über die Koszulrelation {{mathl|term= (III,0,-I) |SZ=}} und die schon etablierten Relationen sieht man, dass auch {{math|term= w^2 |SZ=}} in der ersten Komponente vorkommt. Es ist {{ Relationskette/align | w^2 I || {{makl| III - {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2 -v-3 |}} |}} I || III \cdot I - {{makl| x^2-1 |}} xw I + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2 -v-3 |}} I || I \cdot III - {{makl| x^2-1 |}} xw I + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2 -v-3 |}} I || |SZ=, }} die Terme in der Mitte und rechts kann man durch {{math|term= II,III |SZ=}} ausdrücken. Explizit ist dies {{ Relationskette/align | w^2I || I \cdot III - x {{makl| {{makl| xw {{makl| x^2-v-2 |}} |}} II + {{makl| {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3 |}} |}} III |}} + {{makl| x^2 -v-3 |}} {{makl| {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II + {{makl| v^2 |}} III |}} || {{makl| |}} II + {{makl| |}} III || || |SZ=. }} Weiter haben wir direkt {{math|term= II |SZ=}} drin, also {{mathl|term= vw- {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} |SZ=.}} jijmxr8tbnmr8mvxtopp6wuiz8teaki 0 170310 1079187 1078875 2026-05-12T06:29:22Z C.Koltzenburg 13981 /* Verständnisprobleme */ 1079187 wikitext text/x-wiki == Verständnisprobleme == Wie bitte? <br /> Nochmal, bitte? <br /> Sagen Sie '''es''' bitte nochmal? <br /> Würden Sie bitte etwas lauter und langsamer sprechen, sodass ich alles gut verstehen kann? Könnten Sie '''es''' bitte wiederholen? <br /> Könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? <br /> Könnten Sie bitte etwas deutlicher sprechen? Wie meinen Sie '''das''' genau? <br /> Was meinen Sie damit genauer? <br /> Beschreiben Sie '''das''' bitte mal genauer? <br /> Wie bitte? Könnten Sie '''es''' vielleicht nochmal anders sagen? <br /> Dürfte ich '''es''' mal wiederholen, um sicher zu sein, dass ich '''es''' richtig verstanden habe: ... == Um Hochdeutsch bitten == Herr x/ Frau y, könnten Sie bitte Hochdeutsch (mit mir) sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich würde gern alles richtig verstehen, was Sie berichten, habe aber noch nicht genügend schwäbische Freunde, um richtig gut Schwäbisch zu können. Könnten Sie mir bitte helfen und eher Hochdeutsch sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich finde, dass Dialekte wichtig sind, denn ich spreche selbst Dialekt, muss Sie aber richtig verstehen können und Schwäbisch fällt mir noch etwas schwer. Könnten Sie bitte Hochdeutsch mit mir sprechen? == langsamer, bitte == Frau x ..., es ist alles wichtig, was Sie sagen, aber ich möchte mir Notizen machen, könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? Denn sonst muss ich Sie zu oft unterbrechen, was ich nicht gern tue. == weniger, bitte == Herr x ..., ich kann verstehen, dass Sie | gestresst sind <br /> | viel zu berichten haben <br /> , aber ich verstehe Sie besser, wenn Sie etwas langsamer sprechen. Und dann kann ich mir auch alles Wichtige notieren. Frau x ..., könnten wir bitte Schritt für Schritt vorgehen? [Pat. ungehalten sein lassen, 1 Minute reden lassen] <br /> Herr x ..., Sie kommen doch, weil Sie Beschwerden haben. Ich würde gern zu Ihren Beschwerden kommen. == es nicht wiederholen, bitte == Pat. sagt etwas zwei Mal <br /> Sie: "Ja, das habe ich mir schon notiert." <br /> [Sie haben versehentlich eine Frage zwei Mal gestellt] <br /> Pat.: Aber das habe ich Ihnen doch schon gesagt! <br /> Sie: "Ach ja, richtig, das hatte ich mir schon notiert, danke." == Empathie zeigen == ?? Allein zu Haus Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie Hilfe (im Alltag) brauchen? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie nicht alles erledigen allein können? (-) Pat.: Bitte helfen Sie mir. Ärztin: Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Sie sind bei uns in guten Händen. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht. (nicht in Onko!!!) | Keine Sorge... | Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Machen Sie sich nicht so viele Sorgen, das wird schon wieder. Das kann leider vorkommen. Ich hoffe, dass es (ihr) bald wieder besser geht. Verstehe! | Das kann ich verstehen. | Das kann ich mir vorstellen. Das kann ich gut verstehen, Frau / Herr ... | So etwas ist stressig. |So ein Kribbeln kann sehr unangenehm sein. Pat. reagiere auf wiederholte Fragen verärgert „Ich frage nochmal Herr/Frau X, um sicherzugehen. Ich möchte alles richtig notieren." | Ich möchte mir wirklich alles genau notieren, um sicherzustellen, dass ich nichts Wichtiges übersehe" | Herr/ Frau "X" , manchmal kann es helfen, die Dinge noch einmal durchzugehen, um ganz sicher zu sein. (+) Oh, gut zu hören! Das wäre gut für Ihre Gesundheit. | Das ist gut für Ihre Gesundheit (Pat. sagt dass er nicht Raucht) | Ja, das ist eine wichtige Vorsorge (Pat. berichtet, dass regelmäßig zum Frauenarzt geht) Das kann sein. "meine Freundin hatte das auch" [C2 PS] Ja, das kann vorkommen. Aber so etwas kann bei jedem anders sein. | Wenn (/Falls) es bei Ihrer Freundin schlecht war und lange nicht besser wurde, heißt das nicht, dass es bei Ihnen auch so kommen muss. Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich. Das ist eine Routinefrage. (Pat.: Da war schonmal so ein Anzeichen. --> Nachfragen (?)) Ich frage es bei Ihrem Hausarzt nach. == schlechte Nachrichten überbringen == Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: [langsam] Naja, das könnte sein. Wir brauchen noch einige Untersuchungen, um etwas Genaueres sagen zu können. Pat.: "Habe ich Krebs?" <br /> Sie: "[langsam] Naja, es ist (noch) zu früh, um etwas zu sagen. Wir brauchen zuerst einige Untersuchungen, danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: "[langsam] Ich kann Ihre Sorgen gut verstehen und deshalb werde ich jetzt ein paar Untersuchungen durchführen, um die Ursachen Ihrer Beschwerden zu finden." Pat: "Habe ich Krebs?" Sie: "Dazu kann ich leider noch nichts Genaues sagen, denn wir brauchen noch einige Untersuchungen. Danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: "Ihre Beschwerden können verschiedene Ursachen haben. Das finden wir noch heraus." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: Herr / Frau X, bitte denken Sie gleich an das Schlimmste. Versuchen Sie bitte, sich ein bisschen zu beruhigen, sodass ich meine Fragen zu Ende führen kann. Pat.: "Ist es etwas Schlimmes?" <br /> Sie: Herr / Frau X, ich bitte Sie um ein bisschen Geduld. Im Moment kann ich leider noch nichts ausschließen. Wir werden jetzt dieses Gespräch zu Ende führen, danach werde ich einige Untersuchungen für Sie organisieren. == Team aus Sozialarbeitern und Psychologen == Wir haben hier in der Klinik ein Team aus Sozialarbeitern und Psychologen, die Sie (und Ihre Familie )mit Rat und Hilfe unterstützen können. | Soll man mit Ihnen Kontakt aufnehmen? | Möchten Sie, dass ich eine Kontaktaufnahme veranlasse? Pat: "Natürlich, ich kann jede Hilfe gebrauchen. Sonst helfe immer ich - und jetzt bin ich selbst dran." ---- - Es tut mir sehr leid, Ihnen diese schlechte Nachricht überbringen zu müssen. - Es gibt | einige Behandlungsalternativen | verschiedene Möglichkeiten , mit denen wir Ihre Krankheit zu bekämpfen versuchen (können). | - Der Weg wird schwierig, aber man muss | kampfbereit [klingt auf Deutsch etwas zu militärisch] sein. | kämpfen wollen. So ist das Leben (ja) (schließlich) immer.| - Der Weg wird schwierig, aber im Leben muss man bereit sein, für das Leben zu kämpfen. Das kennen Sie ja auch aus Ihrem Beruf sehr gut. - Wir tun alles, was möglich ist, um Ihnen zu helfen. Pat: "Welche Behandlungsmöglichkeiten habe ich?" - Die Behandlung hängt von verschiedenen Faktoren ab, zum Beispiel vom Stadium des Krebses und von Ihrem allgemeinen Gesundheitszustand. - Es gibt verschiedene Behandlungsmöglichkeiten, die wir besprechen können, wie Chemotherapie, Operation oder palliative Maßnahmen. Wir werden zusammen entscheiden, welche Therapieoption für Sie am besten geeignet ist. l - Wir können gemeinsam entscheiden, welche Optionen für Sie sinnvoll sind, um Ihre Lebensqualität zu erhalten und Symptome zu lindern. Pat: "Gibt es Hoffnung auf Heilung?" - Im Laufe der Behandlung können wir es genauer sagen. Aber ich denke, es gibt immer (eine) Hoffnung. (mit Blick auf die Nachsorge) Empathie gewinnt immer. [Bei einer Erstdiagnose sollte man die Informationen schrittweise und langsam aufbauen. Psychologische Faktoren sind hier sehr wichtig.] Es ist wichtig, sorgsam abzuwägen, was gesagt werden kann. [die Waage, etwas abwägen] Hier muss aufseiten der Ärztin/ des Arztes, passend zur eigenen Persönlichkeit, viel Erfahrung gesammelt werden und anfangs ist Professionalität besonders wichtig. Sich dann von der Oberärztin/ dem Oberarzt Rat zu holen, ist wichtig. (auf Patientenseite ist es persönlichkeitsabhängig: die einen möchten es höflich, die anderen wollen es gleich klar haben; die einen wollen Aufmunterung, die anderen ärgert es vielleicht) Überleitungen Kommen wir zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Kommen wir nochmal zu Ihrem Alkoholkonsum: ... Bleiben wir mal bei Ihnen. (zur Abwendung von persönlichen Fragen des Patienten an Sie als Ärztin/Arzt) "Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie vor dem letzten Anfall Fußball gespielt hatten, machen Sie das öfter?" Nachfragen: Sie haben vorhin gesagt, Sie hatten vor 3 Jahren einen Radunfall .... Sie haben vorhin etwas von einem Radunfall gesagt, ... bei einem zu viel redenden Patienten Einen Moment bitte, entschuldigen Sie: Nachher bei der kU haben wir etwas mehr Zeit dafür. Jetzt sollte ich erstmal weitermachen, Frau / Herr ... Frau/ Herr x, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir uns ausführlicher unterhalten, aber jetzt würde ich gern | mit dem (Anamnese)Gespräch fortfahren. | zuerst unser (Anamnese)Gespräch zu Ende führen. "Nein Sagen..." Da kann ich Ihnen leider nicht weiterhelfen. Ich kann Ihnen leider nur in (/bei) gesundheitlichen Fragen helfen. Zum Schluss kommen Was habe Ich, muss ich hier bleiben? Es wäre am besten (im Krankenhaus bleiben usw.), denn es scheint ernst zu sein. Ich bespreche Ihre Beschwerden mit dem Oberarzt und komme danach wieder zu Ihnen. Ich weiß es leider nicht genau, aber es könnte x sein. Es könnte mit ...... (z.B. dem Herz) zusammenhängen, aber es muss nicht gleich .......(z.B. ein Herzinfarkt) sein. Aber wir sollten sehr aufmerksam sein. Leider kann ich es Ihnen (jetzt) noch nicht sagen,... | aber... | denn ich werde mit meinem OA reden, und dann zu Ihnen zurückkommen. | Danach sprechen wir nochmal darüber. Warten Sie bitte hier auf mich. Sobald ... | wir mehr wissen, kann ich es Ihnen erklären. | die Befunde vorliegen, wissen wir mehr. Bis dahin bleiben Sie bitte bei uns. |, besprechen wir, welche weiteren Schritte erforderlich sind. Ich kann Ihnen leider nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Leider kann ich Ihnen nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Ohne Sie untersucht zu haben, kann ich Ihnen leider nichts Genaueres sagen. Das wäre alles | meinerseits. (Doz) | von meiner Seite. (FD) Hätten Sie vielleicht (noch) Fragen an mich? Wenn Sie keine Fragen mehr haben, sind wir fertig. Untersuchungen Legen Sie sich bitte hier auf die Liege. Zuerst/ Zunächst untersuche ich Sie körperlich, danach nehmen wir Ihnen Blut ab, ... (jdn untersuchen + Akk.) Eventuell schreiben wir noch ein EKG. Danach werden wir einen Ulltraschal machen, ich würde gerne mal ihre Bauchorgane, die Nieren und das Herz anschauen, weil ihre Symptome auch für andere Erkrankungen sprechen könnten. Ich möchte nur sicher gehen. Sollten wir die Ursache nicht finden, würde ich Sie gern zum X überweisen. Bitte nehmen Sie Platz, so dass wir | weitermachen können. | mit der Untersuchung beginnen können. [B1] Zuerst müssen wir Sie untersuchen und dann wissen wir, welche Krankheit Sie haben und wir können die richtige Behandlung bestimmen. Wir nehmen Ihnen auch Blut ab und dann wissen wir mehr. [C1 Med] | Zuerst untersuche ich Sie und nehme Ihnen Blut ab, um es im Labor untersuchen zu lassen. | Sobald wir die Ergebnisse haben, | Sobald die Befunde vorliegen, | können wir Ihnen sagen, | wissen wir, | was Sie haben und wie es weitergeht. | welche Diagnose es ist und welche Behandlung Sie bekommen. | besprechen wir die mögliche Behandlung. | bespreche ich mit Ihnen die mögliche Behandlung. Privat mit Pat sprechen Ich würde gern mit meinem Patienten/ meiner Patientin allein sprechen. Dürfte ich Sie einmal vor die Tür bitten? (= ugs. Gehen Sie bitte mal raus?) =/= Könnten wir es bei Ihrer Frau/ Ihrem Mann/ Ihrer Begleitperson nachfragen? Könnten wir Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal reinbitten? Holen Sie Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal rein? | Dann | Das | Dazu würde ich in Ihrem Altenheim nachfragen. | Mit wem soll ich da sprechen? [PS] | Wer ist der Ansprechpartner? === Kann ich nach Hause? === - Nein, Sie müssen noch ein paar Stunden bei uns bleiben, damit wir eine Blutabnahme zur Labordiagnostik und einige Untersuchungen durchführen können. <br /> - Es tut mir leid, aber Sie können noch nicht nach Hause. Wir müssen Sie für einige Stunden hier behalten, um sicherzustellen, dass keine weiteren Probleme auftreten. Während dieser Zeit werden wir eine Blutabnahme zur weiteren Untersuchung und einige Tests durchführen, um die Ursache Ihrer Beschwerden abzuklären und sicherzustellen, dass es Ihnen gut geht. <br /> eaut53t1187g1pzr4uj7jqsz49v35kx 1079188 1079187 2026-05-12T06:29:51Z C.Koltzenburg 13981 /* Verständnisprobleme */ 1079188 wikitext text/x-wiki == Verständnisprobleme == Wie bitte? <br /> Nochmal, bitte? <br /> Sagen Sie '''es''' bitte nochmal? <br /> Würden Sie bitte etwas lauter und langsamer sprechen, sodass ich alles gut verstehen kann? Könnten Sie '''es''' bitte wiederholen? <br /> Könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? <br /> Könnten Sie bitte etwas deutlicher sprechen? Wie meinen Sie '''das''' genau? <br /> Was meinen Sie '''_da_mit''' genauer? <br /> Beschreiben Sie '''das''' bitte mal genauer? <br /> Wie bitte? Könnten Sie '''es''' vielleicht nochmal anders sagen? <br /> Dürfte ich '''es''' mal wiederholen, um sicher zu sein, dass ich '''es''' richtig verstanden habe: ... == Um Hochdeutsch bitten == Herr x/ Frau y, könnten Sie bitte Hochdeutsch (mit mir) sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich würde gern alles richtig verstehen, was Sie berichten, habe aber noch nicht genügend schwäbische Freunde, um richtig gut Schwäbisch zu können. Könnten Sie mir bitte helfen und eher Hochdeutsch sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich finde, dass Dialekte wichtig sind, denn ich spreche selbst Dialekt, muss Sie aber richtig verstehen können und Schwäbisch fällt mir noch etwas schwer. Könnten Sie bitte Hochdeutsch mit mir sprechen? == langsamer, bitte == Frau x ..., es ist alles wichtig, was Sie sagen, aber ich möchte mir Notizen machen, könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? Denn sonst muss ich Sie zu oft unterbrechen, was ich nicht gern tue. == weniger, bitte == Herr x ..., ich kann verstehen, dass Sie | gestresst sind <br /> | viel zu berichten haben <br /> , aber ich verstehe Sie besser, wenn Sie etwas langsamer sprechen. Und dann kann ich mir auch alles Wichtige notieren. Frau x ..., könnten wir bitte Schritt für Schritt vorgehen? [Pat. ungehalten sein lassen, 1 Minute reden lassen] <br /> Herr x ..., Sie kommen doch, weil Sie Beschwerden haben. Ich würde gern zu Ihren Beschwerden kommen. == es nicht wiederholen, bitte == Pat. sagt etwas zwei Mal <br /> Sie: "Ja, das habe ich mir schon notiert." <br /> [Sie haben versehentlich eine Frage zwei Mal gestellt] <br /> Pat.: Aber das habe ich Ihnen doch schon gesagt! <br /> Sie: "Ach ja, richtig, das hatte ich mir schon notiert, danke." == Empathie zeigen == ?? Allein zu Haus Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie Hilfe (im Alltag) brauchen? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie nicht alles erledigen allein können? (-) Pat.: Bitte helfen Sie mir. Ärztin: Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Sie sind bei uns in guten Händen. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht. (nicht in Onko!!!) | Keine Sorge... | Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Machen Sie sich nicht so viele Sorgen, das wird schon wieder. Das kann leider vorkommen. Ich hoffe, dass es (ihr) bald wieder besser geht. Verstehe! | Das kann ich verstehen. | Das kann ich mir vorstellen. Das kann ich gut verstehen, Frau / Herr ... | So etwas ist stressig. |So ein Kribbeln kann sehr unangenehm sein. Pat. reagiere auf wiederholte Fragen verärgert „Ich frage nochmal Herr/Frau X, um sicherzugehen. 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Ich frage es bei Ihrem Hausarzt nach. == schlechte Nachrichten überbringen == Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: [langsam] Naja, das könnte sein. Wir brauchen noch einige Untersuchungen, um etwas Genaueres sagen zu können. Pat.: "Habe ich Krebs?" <br /> Sie: "[langsam] Naja, es ist (noch) zu früh, um etwas zu sagen. Wir brauchen zuerst einige Untersuchungen, danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: "[langsam] Ich kann Ihre Sorgen gut verstehen und deshalb werde ich jetzt ein paar Untersuchungen durchführen, um die Ursachen Ihrer Beschwerden zu finden." Pat: "Habe ich Krebs?" Sie: "Dazu kann ich leider noch nichts Genaues sagen, denn wir brauchen noch einige Untersuchungen. Danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: "Ihre Beschwerden können verschiedene Ursachen haben. Das finden wir noch heraus." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: Herr / Frau X, bitte denken Sie gleich an das Schlimmste. Versuchen Sie bitte, sich ein bisschen zu beruhigen, sodass ich meine Fragen zu Ende führen kann. Pat.: "Ist es etwas Schlimmes?" <br /> Sie: Herr / Frau X, ich bitte Sie um ein bisschen Geduld. Im Moment kann ich leider noch nichts ausschließen. Wir werden jetzt dieses Gespräch zu Ende führen, danach werde ich einige Untersuchungen für Sie organisieren. == Team aus Sozialarbeitern und Psychologen == Wir haben hier in der Klinik ein Team aus Sozialarbeitern und Psychologen, die Sie (und Ihre Familie )mit Rat und Hilfe unterstützen können. | Soll man mit Ihnen Kontakt aufnehmen? | Möchten Sie, dass ich eine Kontaktaufnahme veranlasse? Pat: "Natürlich, ich kann jede Hilfe gebrauchen. 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Wir werden zusammen entscheiden, welche Therapieoption für Sie am besten geeignet ist. l - Wir können gemeinsam entscheiden, welche Optionen für Sie sinnvoll sind, um Ihre Lebensqualität zu erhalten und Symptome zu lindern. Pat: "Gibt es Hoffnung auf Heilung?" - Im Laufe der Behandlung können wir es genauer sagen. Aber ich denke, es gibt immer (eine) Hoffnung. (mit Blick auf die Nachsorge) Empathie gewinnt immer. [Bei einer Erstdiagnose sollte man die Informationen schrittweise und langsam aufbauen. Psychologische Faktoren sind hier sehr wichtig.] Es ist wichtig, sorgsam abzuwägen, was gesagt werden kann. [die Waage, etwas abwägen] Hier muss aufseiten der Ärztin/ des Arztes, passend zur eigenen Persönlichkeit, viel Erfahrung gesammelt werden und anfangs ist Professionalität besonders wichtig. Sich dann von der Oberärztin/ dem Oberarzt Rat zu holen, ist wichtig. (auf Patientenseite ist es persönlichkeitsabhängig: die einen möchten es höflich, die anderen wollen es gleich klar haben; die einen wollen Aufmunterung, die anderen ärgert es vielleicht) Überleitungen Kommen wir zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Kommen wir nochmal zu Ihrem Alkoholkonsum: ... Bleiben wir mal bei Ihnen. (zur Abwendung von persönlichen Fragen des Patienten an Sie als Ärztin/Arzt) "Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie vor dem letzten Anfall Fußball gespielt hatten, machen Sie das öfter?" Nachfragen: Sie haben vorhin gesagt, Sie hatten vor 3 Jahren einen Radunfall .... Sie haben vorhin etwas von einem Radunfall gesagt, ... bei einem zu viel redenden Patienten Einen Moment bitte, entschuldigen Sie: Nachher bei der kU haben wir etwas mehr Zeit dafür. Jetzt sollte ich erstmal weitermachen, Frau / Herr ... Frau/ Herr x, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir uns ausführlicher unterhalten, aber jetzt würde ich gern | mit dem (Anamnese)Gespräch fortfahren. | zuerst unser (Anamnese)Gespräch zu Ende führen. "Nein Sagen..." Da kann ich Ihnen leider nicht weiterhelfen. Ich kann Ihnen leider nur in (/bei) gesundheitlichen Fragen helfen. Zum Schluss kommen Was habe Ich, muss ich hier bleiben? Es wäre am besten (im Krankenhaus bleiben usw.), denn es scheint ernst zu sein. Ich bespreche Ihre Beschwerden mit dem Oberarzt und komme danach wieder zu Ihnen. Ich weiß es leider nicht genau, aber es könnte x sein. Es könnte mit ...... (z.B. dem Herz) zusammenhängen, aber es muss nicht gleich .......(z.B. ein Herzinfarkt) sein. Aber wir sollten sehr aufmerksam sein. Leider kann ich es Ihnen (jetzt) noch nicht sagen,... | aber... | denn ich werde mit meinem OA reden, und dann zu Ihnen zurückkommen. | Danach sprechen wir nochmal darüber. Warten Sie bitte hier auf mich. Sobald ... | wir mehr wissen, kann ich es Ihnen erklären. | die Befunde vorliegen, wissen wir mehr. Bis dahin bleiben Sie bitte bei uns. |, besprechen wir, welche weiteren Schritte erforderlich sind. Ich kann Ihnen leider nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Leider kann ich Ihnen nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Ohne Sie untersucht zu haben, kann ich Ihnen leider nichts Genaueres sagen. Das wäre alles | meinerseits. (Doz) | von meiner Seite. (FD) Hätten Sie vielleicht (noch) Fragen an mich? Wenn Sie keine Fragen mehr haben, sind wir fertig. Untersuchungen Legen Sie sich bitte hier auf die Liege. Zuerst/ Zunächst untersuche ich Sie körperlich, danach nehmen wir Ihnen Blut ab, ... (jdn untersuchen + Akk.) Eventuell schreiben wir noch ein EKG. Danach werden wir einen Ulltraschal machen, ich würde gerne mal ihre Bauchorgane, die Nieren und das Herz anschauen, weil ihre Symptome auch für andere Erkrankungen sprechen könnten. Ich möchte nur sicher gehen. Sollten wir die Ursache nicht finden, würde ich Sie gern zum X überweisen. Bitte nehmen Sie Platz, so dass wir | weitermachen können. | mit der Untersuchung beginnen können. [B1] Zuerst müssen wir Sie untersuchen und dann wissen wir, welche Krankheit Sie haben und wir können die richtige Behandlung bestimmen. Wir nehmen Ihnen auch Blut ab und dann wissen wir mehr. [C1 Med] | Zuerst untersuche ich Sie und nehme Ihnen Blut ab, um es im Labor untersuchen zu lassen. | Sobald wir die Ergebnisse haben, | Sobald die Befunde vorliegen, | können wir Ihnen sagen, | wissen wir, | was Sie haben und wie es weitergeht. | welche Diagnose es ist und welche Behandlung Sie bekommen. | besprechen wir die mögliche Behandlung. | bespreche ich mit Ihnen die mögliche Behandlung. Privat mit Pat sprechen Ich würde gern mit meinem Patienten/ meiner Patientin allein sprechen. Dürfte ich Sie einmal vor die Tür bitten? (= ugs. Gehen Sie bitte mal raus?) =/= Könnten wir es bei Ihrer Frau/ Ihrem Mann/ Ihrer Begleitperson nachfragen? Könnten wir Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal reinbitten? Holen Sie Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal rein? | Dann | Das | Dazu würde ich in Ihrem Altenheim nachfragen. | Mit wem soll ich da sprechen? [PS] | Wer ist der Ansprechpartner? === Kann ich nach Hause? === - Nein, Sie müssen noch ein paar Stunden bei uns bleiben, damit wir eine Blutabnahme zur Labordiagnostik und einige Untersuchungen durchführen können. <br /> - Es tut mir leid, aber Sie können noch nicht nach Hause. Wir müssen Sie für einige Stunden hier behalten, um sicherzustellen, dass keine weiteren Probleme auftreten. Während dieser Zeit werden wir eine Blutabnahme zur weiteren Untersuchung und einige Tests durchführen, um die Ursache Ihrer Beschwerden abzuklären und sicherzustellen, dass es Ihnen gut geht. <br /> cclyauta66wsad6eq3lj4qq0nqx9iiq 1079189 1079188 2026-05-12T06:30:09Z C.Koltzenburg 13981 1079189 wikitext text/x-wiki == Verständnisprobleme == Wie bitte? <br /> Nochmal, bitte? <br /> Sagen Sie '''es''' bitte nochmal? <br /> Würden Sie bitte etwas lauter und langsamer sprechen, sodass ich alles gut verstehen kann? Könnten Sie '''es''' bitte wiederholen? <br /> Könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? <br /> Könnten Sie bitte etwas deutlicher sprechen? Wie meinen Sie '''das''' genau? <br /> Was meinen Sie '''da'''mit genauer? <br /> Beschreiben Sie '''das''' bitte mal genauer? <br /> Wie bitte? Könnten Sie '''es''' vielleicht nochmal anders sagen? <br /> Dürfte ich '''es''' mal wiederholen, um sicher zu sein, dass ich '''es''' richtig verstanden habe: ... == Um Hochdeutsch bitten == Herr x/ Frau y, könnten Sie bitte Hochdeutsch (mit mir) sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich würde gern alles richtig verstehen, was Sie berichten, habe aber noch nicht genügend schwäbische Freunde, um richtig gut Schwäbisch zu können. Könnten Sie mir bitte helfen und eher Hochdeutsch sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich finde, dass Dialekte wichtig sind, denn ich spreche selbst Dialekt, muss Sie aber richtig verstehen können und Schwäbisch fällt mir noch etwas schwer. Könnten Sie bitte Hochdeutsch mit mir sprechen? == langsamer, bitte == Frau x ..., es ist alles wichtig, was Sie sagen, aber ich möchte mir Notizen machen, könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? Denn sonst muss ich Sie zu oft unterbrechen, was ich nicht gern tue. == weniger, bitte == Herr x ..., ich kann verstehen, dass Sie | gestresst sind <br /> | viel zu berichten haben <br /> , aber ich verstehe Sie besser, wenn Sie etwas langsamer sprechen. Und dann kann ich mir auch alles Wichtige notieren. Frau x ..., könnten wir bitte Schritt für Schritt vorgehen? [Pat. ungehalten sein lassen, 1 Minute reden lassen] <br /> Herr x ..., Sie kommen doch, weil Sie Beschwerden haben. Ich würde gern zu Ihren Beschwerden kommen. == es nicht wiederholen, bitte == Pat. sagt etwas zwei Mal <br /> Sie: "Ja, das habe ich mir schon notiert." <br /> [Sie haben versehentlich eine Frage zwei Mal gestellt] <br /> Pat.: Aber das habe ich Ihnen doch schon gesagt! <br /> Sie: "Ach ja, richtig, das hatte ich mir schon notiert, danke." == Empathie zeigen == ?? Allein zu Haus Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie Hilfe (im Alltag) brauchen? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie nicht alles erledigen allein können? (-) Pat.: Bitte helfen Sie mir. Ärztin: Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Sie sind bei uns in guten Händen. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht. (nicht in Onko!!!) | Keine Sorge... | Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Machen Sie sich nicht so viele Sorgen, das wird schon wieder. Das kann leider vorkommen. Ich hoffe, dass es (ihr) bald wieder besser geht. Verstehe! | Das kann ich verstehen. | Das kann ich mir vorstellen. Das kann ich gut verstehen, Frau / Herr ... | So etwas ist stressig. |So ein Kribbeln kann sehr unangenehm sein. Pat. reagiere auf wiederholte Fragen verärgert „Ich frage nochmal Herr/Frau X, um sicherzugehen. Ich möchte alles richtig notieren." | Ich möchte mir wirklich alles genau notieren, um sicherzustellen, dass ich nichts Wichtiges übersehe" | Herr/ Frau "X" , manchmal kann es helfen, die Dinge noch einmal durchzugehen, um ganz sicher zu sein. (+) Oh, gut zu hören! Das wäre gut für Ihre Gesundheit. | Das ist gut für Ihre Gesundheit (Pat. sagt dass er nicht Raucht) | Ja, das ist eine wichtige Vorsorge (Pat. berichtet, dass regelmäßig zum Frauenarzt geht) Das kann sein. "meine Freundin hatte das auch" [C2 PS] Ja, das kann vorkommen. Aber so etwas kann bei jedem anders sein. | Wenn (/Falls) es bei Ihrer Freundin schlecht war und lange nicht besser wurde, heißt das nicht, dass es bei Ihnen auch so kommen muss. Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich. Das ist eine Routinefrage. (Pat.: Da war schonmal so ein Anzeichen. --> Nachfragen (?)) Ich frage es bei Ihrem Hausarzt nach. == schlechte Nachrichten überbringen == Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: [langsam] Naja, das könnte sein. Wir brauchen noch einige Untersuchungen, um etwas Genaueres sagen zu können. Pat.: "Habe ich Krebs?" <br /> Sie: "[langsam] Naja, es ist (noch) zu früh, um etwas zu sagen. Wir brauchen zuerst einige Untersuchungen, danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: "[langsam] Ich kann Ihre Sorgen gut verstehen und deshalb werde ich jetzt ein paar Untersuchungen durchführen, um die Ursachen Ihrer Beschwerden zu finden." Pat: "Habe ich Krebs?" Sie: "Dazu kann ich leider noch nichts Genaues sagen, denn wir brauchen noch einige Untersuchungen. Danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: "Ihre Beschwerden können verschiedene Ursachen haben. Das finden wir noch heraus." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: Herr / Frau X, bitte denken Sie gleich an das Schlimmste. Versuchen Sie bitte, sich ein bisschen zu beruhigen, sodass ich meine Fragen zu Ende führen kann. Pat.: "Ist es etwas Schlimmes?" <br /> Sie: Herr / Frau X, ich bitte Sie um ein bisschen Geduld. Im Moment kann ich leider noch nichts ausschließen. Wir werden jetzt dieses Gespräch zu Ende führen, danach werde ich einige Untersuchungen für Sie organisieren. == Team aus Sozialarbeitern und Psychologen == Wir haben hier in der Klinik ein Team aus Sozialarbeitern und Psychologen, die Sie (und Ihre Familie )mit Rat und Hilfe unterstützen können. | Soll man mit Ihnen Kontakt aufnehmen? | Möchten Sie, dass ich eine Kontaktaufnahme veranlasse? Pat: "Natürlich, ich kann jede Hilfe gebrauchen. Sonst helfe immer ich - und jetzt bin ich selbst dran." ---- - Es tut mir sehr leid, Ihnen diese schlechte Nachricht überbringen zu müssen. - Es gibt | einige Behandlungsalternativen | verschiedene Möglichkeiten , mit denen wir Ihre Krankheit zu bekämpfen versuchen (können). | - Der Weg wird schwierig, aber man muss | kampfbereit [klingt auf Deutsch etwas zu militärisch] sein. | kämpfen wollen. So ist das Leben (ja) (schließlich) immer.| - Der Weg wird schwierig, aber im Leben muss man bereit sein, für das Leben zu kämpfen. Das kennen Sie ja auch aus Ihrem Beruf sehr gut. - Wir tun alles, was möglich ist, um Ihnen zu helfen. Pat: "Welche Behandlungsmöglichkeiten habe ich?" - Die Behandlung hängt von verschiedenen Faktoren ab, zum Beispiel vom Stadium des Krebses und von Ihrem allgemeinen Gesundheitszustand. - Es gibt verschiedene Behandlungsmöglichkeiten, die wir besprechen können, wie Chemotherapie, Operation oder palliative Maßnahmen. Wir werden zusammen entscheiden, welche Therapieoption für Sie am besten geeignet ist. l - Wir können gemeinsam entscheiden, welche Optionen für Sie sinnvoll sind, um Ihre Lebensqualität zu erhalten und Symptome zu lindern. Pat: "Gibt es Hoffnung auf Heilung?" - Im Laufe der Behandlung können wir es genauer sagen. Aber ich denke, es gibt immer (eine) Hoffnung. (mit Blick auf die Nachsorge) Empathie gewinnt immer. [Bei einer Erstdiagnose sollte man die Informationen schrittweise und langsam aufbauen. Psychologische Faktoren sind hier sehr wichtig.] Es ist wichtig, sorgsam abzuwägen, was gesagt werden kann. [die Waage, etwas abwägen] Hier muss aufseiten der Ärztin/ des Arztes, passend zur eigenen Persönlichkeit, viel Erfahrung gesammelt werden und anfangs ist Professionalität besonders wichtig. Sich dann von der Oberärztin/ dem Oberarzt Rat zu holen, ist wichtig. (auf Patientenseite ist es persönlichkeitsabhängig: die einen möchten es höflich, die anderen wollen es gleich klar haben; die einen wollen Aufmunterung, die anderen ärgert es vielleicht) Überleitungen Kommen wir zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Kommen wir nochmal zu Ihrem Alkoholkonsum: ... Bleiben wir mal bei Ihnen. (zur Abwendung von persönlichen Fragen des Patienten an Sie als Ärztin/Arzt) "Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie vor dem letzten Anfall Fußball gespielt hatten, machen Sie das öfter?" Nachfragen: Sie haben vorhin gesagt, Sie hatten vor 3 Jahren einen Radunfall .... Sie haben vorhin etwas von einem Radunfall gesagt, ... bei einem zu viel redenden Patienten Einen Moment bitte, entschuldigen Sie: Nachher bei der kU haben wir etwas mehr Zeit dafür. Jetzt sollte ich erstmal weitermachen, Frau / Herr ... Frau/ Herr x, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir uns ausführlicher unterhalten, aber jetzt würde ich gern | mit dem (Anamnese)Gespräch fortfahren. | zuerst unser (Anamnese)Gespräch zu Ende führen. "Nein Sagen..." Da kann ich Ihnen leider nicht weiterhelfen. Ich kann Ihnen leider nur in (/bei) gesundheitlichen Fragen helfen. Zum Schluss kommen Was habe Ich, muss ich hier bleiben? Es wäre am besten (im Krankenhaus bleiben usw.), denn es scheint ernst zu sein. Ich bespreche Ihre Beschwerden mit dem Oberarzt und komme danach wieder zu Ihnen. Ich weiß es leider nicht genau, aber es könnte x sein. Es könnte mit ...... (z.B. dem Herz) zusammenhängen, aber es muss nicht gleich .......(z.B. ein Herzinfarkt) sein. Aber wir sollten sehr aufmerksam sein. Leider kann ich es Ihnen (jetzt) noch nicht sagen,... | aber... | denn ich werde mit meinem OA reden, und dann zu Ihnen zurückkommen. | Danach sprechen wir nochmal darüber. Warten Sie bitte hier auf mich. Sobald ... | wir mehr wissen, kann ich es Ihnen erklären. | die Befunde vorliegen, wissen wir mehr. Bis dahin bleiben Sie bitte bei uns. |, besprechen wir, welche weiteren Schritte erforderlich sind. Ich kann Ihnen leider nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Leider kann ich Ihnen nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Ohne Sie untersucht zu haben, kann ich Ihnen leider nichts Genaueres sagen. Das wäre alles | meinerseits. (Doz) | von meiner Seite. (FD) Hätten Sie vielleicht (noch) Fragen an mich? Wenn Sie keine Fragen mehr haben, sind wir fertig. Untersuchungen Legen Sie sich bitte hier auf die Liege. Zuerst/ Zunächst untersuche ich Sie körperlich, danach nehmen wir Ihnen Blut ab, ... (jdn untersuchen + Akk.) Eventuell schreiben wir noch ein EKG. Danach werden wir einen Ulltraschal machen, ich würde gerne mal ihre Bauchorgane, die Nieren und das Herz anschauen, weil ihre Symptome auch für andere Erkrankungen sprechen könnten. Ich möchte nur sicher gehen. Sollten wir die Ursache nicht finden, würde ich Sie gern zum X überweisen. Bitte nehmen Sie Platz, so dass wir | weitermachen können. | mit der Untersuchung beginnen können. [B1] Zuerst müssen wir Sie untersuchen und dann wissen wir, welche Krankheit Sie haben und wir können die richtige Behandlung bestimmen. Wir nehmen Ihnen auch Blut ab und dann wissen wir mehr. [C1 Med] | Zuerst untersuche ich Sie und nehme Ihnen Blut ab, um es im Labor untersuchen zu lassen. | Sobald wir die Ergebnisse haben, | Sobald die Befunde vorliegen, | können wir Ihnen sagen, | wissen wir, | was Sie haben und wie es weitergeht. | welche Diagnose es ist und welche Behandlung Sie bekommen. | besprechen wir die mögliche Behandlung. | bespreche ich mit Ihnen die mögliche Behandlung. Privat mit Pat sprechen Ich würde gern mit meinem Patienten/ meiner Patientin allein sprechen. Dürfte ich Sie einmal vor die Tür bitten? (= ugs. Gehen Sie bitte mal raus?) =/= Könnten wir es bei Ihrer Frau/ Ihrem Mann/ Ihrer Begleitperson nachfragen? Könnten wir Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal reinbitten? Holen Sie Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal rein? | Dann | Das | Dazu würde ich in Ihrem Altenheim nachfragen. | Mit wem soll ich da sprechen? [PS] | Wer ist der Ansprechpartner? === Kann ich nach Hause? === - Nein, Sie müssen noch ein paar Stunden bei uns bleiben, damit wir eine Blutabnahme zur Labordiagnostik und einige Untersuchungen durchführen können. <br /> - Es tut mir leid, aber Sie können noch nicht nach Hause. Wir müssen Sie für einige Stunden hier behalten, um sicherzustellen, dass keine weiteren Probleme auftreten. Während dieser Zeit werden wir eine Blutabnahme zur weiteren Untersuchung und einige Tests durchführen, um die Ursache Ihrer Beschwerden abzuklären und sicherzustellen, dass es Ihnen gut geht. <br /> 18pay7x70b0kkxyuv3w39selav47f8k 1079209 1079189 2026-05-12T08:23:04Z C.Koltzenburg 13981 /* Um Hochdeutsch bitten */ 1079209 wikitext text/x-wiki == Verständnisprobleme == Wie bitte? <br /> Nochmal, bitte? <br /> Sagen Sie '''es''' bitte nochmal? <br /> Würden Sie bitte etwas lauter und langsamer sprechen, sodass ich alles gut verstehen kann? Könnten Sie '''es''' bitte wiederholen? <br /> Könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? <br /> Könnten Sie bitte etwas deutlicher sprechen? Wie meinen Sie '''das''' genau? <br /> Was meinen Sie '''da'''mit genauer? <br /> Beschreiben Sie '''das''' bitte mal genauer? <br /> Wie bitte? Könnten Sie '''es''' vielleicht nochmal anders sagen? <br /> Dürfte ich '''es''' mal wiederholen, um sicher zu sein, dass ich '''es''' richtig verstanden habe: ... == Um Hochdeutsch bitten == Frau [Nachname], <br /> Herr [Nachname], <br /> könnten Sie bitte Hochdeutsch (mit mir) sprechen? Frau [Nachname], <br /> Herr [Nachname], <br /> ich würde gern alles richtig verstehen, was Sie berichten, habe aber noch nicht genügend <br /> | schwäbische Freunde, um richtig gut Schwäbisch zu können. <br /> | bayrische Freunde, um richtig gut Bayrisch zu können. <br /> Könnten Sie mir bitte helfen und Hochdeutsch sprechen? Frau [Nachname], <br /> Herr [Nachname], <br /> , ich finde, dass Dialekte wichtig sind, denn ich spreche selbst Dialekt. Aber jetzt muss ich Sie richtig verstehen können und | Schwäbisch <br /> | Bayrisch <br /> fällt mir noch etwas schwer. Könnten Sie bitte Hochdeutsch mit mir sprechen? == langsamer, bitte == Frau x ..., es ist alles wichtig, was Sie sagen, aber ich möchte mir Notizen machen, könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? Denn sonst muss ich Sie zu oft unterbrechen, was ich nicht gern tue. == weniger, bitte == Herr x ..., ich kann verstehen, dass Sie | gestresst sind <br /> | viel zu berichten haben <br /> , aber ich verstehe Sie besser, wenn Sie etwas langsamer sprechen. Und dann kann ich mir auch alles Wichtige notieren. Frau x ..., könnten wir bitte Schritt für Schritt vorgehen? [Pat. ungehalten sein lassen, 1 Minute reden lassen] <br /> Herr x ..., Sie kommen doch, weil Sie Beschwerden haben. Ich würde gern zu Ihren Beschwerden kommen. == es nicht wiederholen, bitte == Pat. sagt etwas zwei Mal <br /> Sie: "Ja, das habe ich mir schon notiert." <br /> [Sie haben versehentlich eine Frage zwei Mal gestellt] <br /> Pat.: Aber das habe ich Ihnen doch schon gesagt! <br /> Sie: "Ach ja, richtig, das hatte ich mir schon notiert, danke." == Empathie zeigen == ?? Allein zu Haus Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie Hilfe (im Alltag) brauchen? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie nicht alles erledigen allein können? (-) Pat.: Bitte helfen Sie mir. Ärztin: Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Sie sind bei uns in guten Händen. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht. (nicht in Onko!!!) | Keine Sorge... | Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Machen Sie sich nicht so viele Sorgen, das wird schon wieder. Das kann leider vorkommen. Ich hoffe, dass es (ihr) bald wieder besser geht. Verstehe! | Das kann ich verstehen. | Das kann ich mir vorstellen. Das kann ich gut verstehen, Frau / Herr ... | So etwas ist stressig. |So ein Kribbeln kann sehr unangenehm sein. Pat. reagiere auf wiederholte Fragen verärgert „Ich frage nochmal Herr/Frau X, um sicherzugehen. Ich möchte alles richtig notieren." | Ich möchte mir wirklich alles genau notieren, um sicherzustellen, dass ich nichts Wichtiges übersehe" | Herr/ Frau "X" , manchmal kann es helfen, die Dinge noch einmal durchzugehen, um ganz sicher zu sein. (+) Oh, gut zu hören! Das wäre gut für Ihre Gesundheit. | Das ist gut für Ihre Gesundheit (Pat. sagt dass er nicht Raucht) | Ja, das ist eine wichtige Vorsorge (Pat. berichtet, dass regelmäßig zum Frauenarzt geht) Das kann sein. "meine Freundin hatte das auch" [C2 PS] Ja, das kann vorkommen. Aber so etwas kann bei jedem anders sein. | Wenn (/Falls) es bei Ihrer Freundin schlecht war und lange nicht besser wurde, heißt das nicht, dass es bei Ihnen auch so kommen muss. Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich. Das ist eine Routinefrage. (Pat.: Da war schonmal so ein Anzeichen. --> Nachfragen (?)) Ich frage es bei Ihrem Hausarzt nach. == schlechte Nachrichten überbringen == Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: [langsam] Naja, das könnte sein. Wir brauchen noch einige Untersuchungen, um etwas Genaueres sagen zu können. Pat.: "Habe ich Krebs?" <br /> Sie: "[langsam] Naja, es ist (noch) zu früh, um etwas zu sagen. Wir brauchen zuerst einige Untersuchungen, danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: "[langsam] Ich kann Ihre Sorgen gut verstehen und deshalb werde ich jetzt ein paar Untersuchungen durchführen, um die Ursachen Ihrer Beschwerden zu finden." Pat: "Habe ich Krebs?" Sie: "Dazu kann ich leider noch nichts Genaues sagen, denn wir brauchen noch einige Untersuchungen. Danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: "Ihre Beschwerden können verschiedene Ursachen haben. Das finden wir noch heraus." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: Herr / Frau X, bitte denken Sie gleich an das Schlimmste. Versuchen Sie bitte, sich ein bisschen zu beruhigen, sodass ich meine Fragen zu Ende führen kann. Pat.: "Ist es etwas Schlimmes?" <br /> Sie: Herr / Frau X, ich bitte Sie um ein bisschen Geduld. Im Moment kann ich leider noch nichts ausschließen. Wir werden jetzt dieses Gespräch zu Ende führen, danach werde ich einige Untersuchungen für Sie organisieren. == Team aus Sozialarbeitern und Psychologen == Wir haben hier in der Klinik ein Team aus Sozialarbeitern und Psychologen, die Sie (und Ihre Familie )mit Rat und Hilfe unterstützen können. | Soll man mit Ihnen Kontakt aufnehmen? | Möchten Sie, dass ich eine Kontaktaufnahme veranlasse? Pat: "Natürlich, ich kann jede Hilfe gebrauchen. Sonst helfe immer ich - und jetzt bin ich selbst dran." ---- - Es tut mir sehr leid, Ihnen diese schlechte Nachricht überbringen zu müssen. - Es gibt | einige Behandlungsalternativen | verschiedene Möglichkeiten , mit denen wir Ihre Krankheit zu bekämpfen versuchen (können). | - Der Weg wird schwierig, aber man muss | kampfbereit [klingt auf Deutsch etwas zu militärisch] sein. | kämpfen wollen. So ist das Leben (ja) (schließlich) immer.| - Der Weg wird schwierig, aber im Leben muss man bereit sein, für das Leben zu kämpfen. Das kennen Sie ja auch aus Ihrem Beruf sehr gut. - Wir tun alles, was möglich ist, um Ihnen zu helfen. Pat: "Welche Behandlungsmöglichkeiten habe ich?" - Die Behandlung hängt von verschiedenen Faktoren ab, zum Beispiel vom Stadium des Krebses und von Ihrem allgemeinen Gesundheitszustand. - Es gibt verschiedene Behandlungsmöglichkeiten, die wir besprechen können, wie Chemotherapie, Operation oder palliative Maßnahmen. Wir werden zusammen entscheiden, welche Therapieoption für Sie am besten geeignet ist. l - Wir können gemeinsam entscheiden, welche Optionen für Sie sinnvoll sind, um Ihre Lebensqualität zu erhalten und Symptome zu lindern. Pat: "Gibt es Hoffnung auf Heilung?" - Im Laufe der Behandlung können wir es genauer sagen. Aber ich denke, es gibt immer (eine) Hoffnung. (mit Blick auf die Nachsorge) Empathie gewinnt immer. [Bei einer Erstdiagnose sollte man die Informationen schrittweise und langsam aufbauen. Psychologische Faktoren sind hier sehr wichtig.] Es ist wichtig, sorgsam abzuwägen, was gesagt werden kann. [die Waage, etwas abwägen] Hier muss aufseiten der Ärztin/ des Arztes, passend zur eigenen Persönlichkeit, viel Erfahrung gesammelt werden und anfangs ist Professionalität besonders wichtig. Sich dann von der Oberärztin/ dem Oberarzt Rat zu holen, ist wichtig. (auf Patientenseite ist es persönlichkeitsabhängig: die einen möchten es höflich, die anderen wollen es gleich klar haben; die einen wollen Aufmunterung, die anderen ärgert es vielleicht) Überleitungen Kommen wir zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Kommen wir nochmal zu Ihrem Alkoholkonsum: ... Bleiben wir mal bei Ihnen. (zur Abwendung von persönlichen Fragen des Patienten an Sie als Ärztin/Arzt) "Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie vor dem letzten Anfall Fußball gespielt hatten, machen Sie das öfter?" Nachfragen: Sie haben vorhin gesagt, Sie hatten vor 3 Jahren einen Radunfall .... Sie haben vorhin etwas von einem Radunfall gesagt, ... bei einem zu viel redenden Patienten Einen Moment bitte, entschuldigen Sie: Nachher bei der kU haben wir etwas mehr Zeit dafür. Jetzt sollte ich erstmal weitermachen, Frau / Herr ... Frau/ Herr x, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir uns ausführlicher unterhalten, aber jetzt würde ich gern | mit dem (Anamnese)Gespräch fortfahren. | zuerst unser (Anamnese)Gespräch zu Ende führen. "Nein Sagen..." Da kann ich Ihnen leider nicht weiterhelfen. Ich kann Ihnen leider nur in (/bei) gesundheitlichen Fragen helfen. Zum Schluss kommen Was habe Ich, muss ich hier bleiben? Es wäre am besten (im Krankenhaus bleiben usw.), denn es scheint ernst zu sein. Ich bespreche Ihre Beschwerden mit dem Oberarzt und komme danach wieder zu Ihnen. Ich weiß es leider nicht genau, aber es könnte x sein. Es könnte mit ...... (z.B. dem Herz) zusammenhängen, aber es muss nicht gleich .......(z.B. ein Herzinfarkt) sein. Aber wir sollten sehr aufmerksam sein. Leider kann ich es Ihnen (jetzt) noch nicht sagen,... | aber... | denn ich werde mit meinem OA reden, und dann zu Ihnen zurückkommen. | Danach sprechen wir nochmal darüber. Warten Sie bitte hier auf mich. Sobald ... | wir mehr wissen, kann ich es Ihnen erklären. | die Befunde vorliegen, wissen wir mehr. Bis dahin bleiben Sie bitte bei uns. |, besprechen wir, welche weiteren Schritte erforderlich sind. Ich kann Ihnen leider nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Leider kann ich Ihnen nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Ohne Sie untersucht zu haben, kann ich Ihnen leider nichts Genaueres sagen. Das wäre alles | meinerseits. (Doz) | von meiner Seite. (FD) Hätten Sie vielleicht (noch) Fragen an mich? Wenn Sie keine Fragen mehr haben, sind wir fertig. Untersuchungen Legen Sie sich bitte hier auf die Liege. Zuerst/ Zunächst untersuche ich Sie körperlich, danach nehmen wir Ihnen Blut ab, ... (jdn untersuchen + Akk.) Eventuell schreiben wir noch ein EKG. Danach werden wir einen Ulltraschal machen, ich würde gerne mal ihre Bauchorgane, die Nieren und das Herz anschauen, weil ihre Symptome auch für andere Erkrankungen sprechen könnten. Ich möchte nur sicher gehen. Sollten wir die Ursache nicht finden, würde ich Sie gern zum X überweisen. Bitte nehmen Sie Platz, so dass wir | weitermachen können. | mit der Untersuchung beginnen können. [B1] Zuerst müssen wir Sie untersuchen und dann wissen wir, welche Krankheit Sie haben und wir können die richtige Behandlung bestimmen. Wir nehmen Ihnen auch Blut ab und dann wissen wir mehr. [C1 Med] | Zuerst untersuche ich Sie und nehme Ihnen Blut ab, um es im Labor untersuchen zu lassen. | Sobald wir die Ergebnisse haben, | Sobald die Befunde vorliegen, | können wir Ihnen sagen, | wissen wir, | was Sie haben und wie es weitergeht. | welche Diagnose es ist und welche Behandlung Sie bekommen. | besprechen wir die mögliche Behandlung. | bespreche ich mit Ihnen die mögliche Behandlung. Privat mit Pat sprechen Ich würde gern mit meinem Patienten/ meiner Patientin allein sprechen. Dürfte ich Sie einmal vor die Tür bitten? (= ugs. Gehen Sie bitte mal raus?) =/= Könnten wir es bei Ihrer Frau/ Ihrem Mann/ Ihrer Begleitperson nachfragen? Könnten wir Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal reinbitten? Holen Sie Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal rein? | Dann | Das | Dazu würde ich in Ihrem Altenheim nachfragen. | Mit wem soll ich da sprechen? [PS] | Wer ist der Ansprechpartner? === Kann ich nach Hause? === - Nein, Sie müssen noch ein paar Stunden bei uns bleiben, damit wir eine Blutabnahme zur Labordiagnostik und einige Untersuchungen durchführen können. <br /> - Es tut mir leid, aber Sie können noch nicht nach Hause. Wir müssen Sie für einige Stunden hier behalten, um sicherzustellen, dass keine weiteren Probleme auftreten. Während dieser Zeit werden wir eine Blutabnahme zur weiteren Untersuchung und einige Tests durchführen, um die Ursache Ihrer Beschwerden abzuklären und sicherzustellen, dass es Ihnen gut geht. <br /> 2l7s1jtk751vxn191l0g3vu4w9rtavo 106 170317 1079179 1079161 2026-05-11T13:58:36Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1079179 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Untertitel die '''Schriftgrösse''' auf 45 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung ''Zürich...'' in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Wandle die Aufzählung in eine Nummerierung um. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze London und Paris. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: Genf # Stufe Absätze sinnvollerweise um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe Absätze um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als sinnvolle Unterpunkte angezeigt werden. <!--# Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein.--> '''Europa''' Zürich Deutschland Berlin '''Asien''' Peking China Indien Mumbai London Paris Italien Rom Schweiz Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] lgzv1kpqfv0qp8rfyuo9znb6lfcyxwf 1079180 1079179 2026-05-11T13:58:48Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1079180 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Untertitel die '''Schriftgrösse''' auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung ''Zürich...'' in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Wandle die Aufzählung in eine Nummerierung um. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze London und Paris. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: Genf # Stufe Absätze sinnvollerweise um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe Absätze um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als sinnvolle Unterpunkte angezeigt werden. <!--# Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein.--> '''Europa''' Zürich Deutschland Berlin '''Asien''' Peking China Indien Mumbai London Paris Italien Rom Schweiz Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] cf5k6y22t174j464pods14wxl91myq2 0 170323 1079178 1079141 2026-05-11T13:47:55Z Bocardodarapti 2041 1079178 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | e_1 || {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2 || {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | f_1 || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f_2 || {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= g_1 = f_2 = {{op:Zeilenvektor| II | -I | 0 }} \text{ und } g_2 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| III |I}} | 0 | -1 }} |SZ=. }} Übergangsmatrix e und f. 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Man kann {{ Relationskette/display | II || v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} || v w - {{makl| x^2-1 |}}^2 x + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 |}} || || |SZ= }} schreiben, also II durch {{ Relationskette/display | B || v w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} || || || |SZ= }} ersetzen. Durch Multiplikation mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} sieht man, dass auch {{ Math/display|term= w^2 {{makl| x^2-1 |}} ,\, vw {{makl| x^2-1 |}} |SZ= }} drin ist. Multiplikation der obigen Gleichung {{math|term= A |SZ=}} mit {{math|term= v |SZ=}} zeigt, dass auch {{math|term= vw^2 |SZ=}} drin ist. Wegen {{ Relationskette/display | (v+1) A +w B || (v+1) w^2 +vw^2 || w^2 +2vw^2 || || |SZ= }} ist auch {{math|term= w^2 |SZ=}} drin. Daher ist auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}}xw |SZ=}} drin. 59ep30xeremsaas67oolhg70juwz4mb 1079182 1079178 2026-05-11T15:54:59Z Bocardodarapti 2041 1079182 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | e_1 || {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2 || {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | f_1 || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f_2 || {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= g_1 = f_2 = {{op:Zeilenvektor| II | -I | 0 }} \text{ und } g_2 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| III |I}} | 0 | -1 }} |SZ=. }} Übergangsmatrix e und f. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | 0 |-II | {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 |v^2| }} }} {{op:Spaltenvektor|f_1|f_2}} || {{op:Spaltenvektor|e_1|e_2}} || || || |SZ=. }} Übergangsmatrix e und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | I {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| III |I }} |- II }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| e_1 | e_2 }} || || || || |SZ=, }} die Determinante ist wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} Übergangsmatrix f und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | I v^2 }} | - 1 | 1 | 0 }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| f_1 | f_2 }} || || || || |SZ=, }} die Determinante ist wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} Dieser Syzygienmodul wird insgesamt von den Vielfachen dieser sechs Erzeuger erzeugt, da dies lokal gilt. Für die erste Komponente gilt daher {{ Math/display|term= {{makl| X^2-1 |}}^2, II=v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} , III=w^2 -{{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2-v -3 |}} |SZ=. }} Dabei kann man III direkt durch {{ Relationskette/display | A || w^2 -{{makl| x^2-1 |}} xw || || || |SZ= }} ersetzen. Man kann {{ Relationskette/display | II || v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} || v w - {{makl| x^2-1 |}}^2 x + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 |}} || || |SZ= }} schreiben, also II durch {{ Relationskette/display | B || v w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} || || || |SZ= }} ersetzen. Durch Multiplikation mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} sieht man, dass auch {{ Math/display|term= w^2 {{makl| x^2-1 |}} ,\, vw {{makl| x^2-1 |}} |SZ= }} drin ist. Multiplikation der obigen Gleichung {{math|term= A |SZ=}} mit {{math|term= v |SZ=}} zeigt, dass auch {{math|term= vw^2 |SZ=}} drin ist. Wegen {{ Relationskette/display | (v+1) A +w B || (v+1) w^2 +vw^2 || w^2 +2vw^2 || || |SZ= }} ist auch {{math|term= w^2 |SZ=}} drin. Daher ist auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}}xw |SZ=}} drin. Wir schreiben {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 || x^4 -2x^2+1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | x^4 || 2x^2-1 || || || |SZ=. }} Dann ist modulo dieser Gleichung {{ Relationskette/display | x {{makl| x^2 -1|}}xw || {{makl| x^2 -1|}}x^2 w || {{makl| x^4 -x^2|}} w || {{makl| x^2 -1|}} w || |SZ=, }} d.h. auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}} w |SZ=}} ist drin. 6av4mxw5zzkmougc4vgeqw9qx7bg107 1079184 1079182 2026-05-12T05:47:55Z Bocardodarapti 2041 1079184 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | e_1 || {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2 || {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | f_1 || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f_2 || {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= g_1 = f_2 = {{op:Zeilenvektor| II | -I | 0 }} \text{ und } g_2 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| III |I}} | 0 | -1 }} |SZ=. }} Übergangsmatrix e und f. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | 0 |-II | {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 |v^2| }} }} {{op:Spaltenvektor|f_1|f_2}} || {{op:Spaltenvektor|e_1|e_2}} || || || |SZ=. }} Übergangsmatrix e und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | I {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| III |I }} |- II }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| e_1 | e_2 }} || || || || |SZ=, }} die Determinante ist wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} Übergangsmatrix f und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | I v^2 }} | - 1 | 1 | 0 }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| f_1 | f_2 }} || || || || |SZ=, }} die Determinante ist wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} auavzqq8pf8jvobaarilq05pxuleuws 0 170325 1079185 2026-05-12T06:00:40Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079185 wikitext text/x-wiki Der Syzygienmodul zu I,II,III wird insgesamt von den Vielfachen dieser sechs Erzeuger erzeugt, da dies lokal gilt. Für die erste Komponente gilt daher {{ Math/display|term= {{makl| x^2-1 |}}^2, II=v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} , III=w^2 -{{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2-v -3 |}} |SZ=. }} Dabei kann man III direkt durch {{ Relationskette/display | A || w^2 -{{makl| x^2-1 |}} xw || || || |SZ= }} ersetzen. Man kann {{ Relationskette/display | II || v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} || v w - {{makl| x^2-1 |}}^2 x + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 |}} || || |SZ= }} schreiben, also II durch {{ Relationskette/display | B || v w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} || || || |SZ= }} ersetzen. Durch Multiplikation mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} sieht man, dass auch {{ Math/display|term= w^2 {{makl| x^2-1 |}} ,\, vw {{makl| x^2-1 |}} |SZ= }} drin ist. Multiplikation der obigen Gleichung {{math|term= A |SZ=}} mit {{math|term= v |SZ=}} zeigt, dass auch {{math|term= vw^2 |SZ=}} drin ist. Wegen {{ Relationskette/display | (v+1) A +w B || (v+1) w^2 +vw^2 || w^2 +2vw^2 || || |SZ= }} ist auch {{math|term= w^2 |SZ=}} drin. Daher ist auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}}xw |SZ=}} drin. Wir schreiben {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 || x^4 -2x^2+1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | x^4 || 2x^2-1 || || || |SZ=. }} Dann ist modulo dieser Gleichung {{ Relationskette/display | x {{makl| x^2 -1|}}xw || {{makl| x^2 -1|}}x^2 w || {{makl| x^4 -x^2|}} w || {{makl| x^2 -1|}} w || |SZ=, }} d.h. auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}} w |SZ=}} ist drin. Dieses Ideal kann man also durch die Erzeuger {{ Math/display|term= {{makl| x^2 -1|}}^2, {{makl| x^2 -1|}} w, w^2, v w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} |SZ= }} ersetzen. Die letzte Gleichung kann man als {{ Relationskette/display | w || - {{op:Bruch|{{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} |v}} || || || |SZ= }} bzw. als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}} || - {{op:Bruch|v|x (v+1)}} w || || || |SZ= }} schreiben. Wenn {{math|term= v |SZ=}} eine Einheit ist, so erzeugt lokal {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}}^2 |SZ=}} zunächst {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}} w |SZ=}} und dann auch {{math|term= w^2 |SZ=.}} Wenn {{math|term= v+1 |SZ=}} und {{math|term= x |SZ=}} eine Einheit ist, so erzeugt lokal {{math|term= w^2 |SZ=}} die beiden anderen. Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist direkt {{math|term= x^2-1 |SZ=}} ein Erzeuger. kiydduh4wzxeo0hjb8g0gm0c9zsk96s 106 170326 1079190 2026-05-12T06:39:24Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079190 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der komplexen Analysis kann man stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> definieren, dessen Bild reellwertig Funktionen, wie z.B. die Funktion: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = f(z_1+iz_2) = z\cdot \overline{z} = z_1^2 + z_2^2 \end{array} </math> Man kann sich in der komplexen Analysis nun fragen, ob es für ein Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math>. == Bild reellwertig == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine stetige Funktionen von einem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>, dessen Bild reellwertig <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> ist. Dann ist <math>f</math> nicht holomorph. == Beweis - Anwendung 1== '''Annahme:''' Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann ist <math>f(G)</math> nach dem [[Satz von der Gebietstreue]] ebenfalls ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], d.h. wegzusammenhängend und offen in <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Bild reellwertig=== Wähle einen beliebigen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Da nach Voraussetzung das Bild <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> reellwertig ist, enthält jede Umgebung <math>D_\varepsilon (w_o)</math> für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein Element <math>w_\varepsilon := w_o+i\tfrac{\varepsilon}{2}\in D_\varepsilon (w_o)</math> mit <math>w_o\in \mathbb{R}</math>, für das <math>w_\varepsilon\notin f(G)</math> liegt. === Beweisschritt 2 - Bild nicht offen === Für offene Mengen <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> gibt es für jeden Punkt <math>w\in U</math> eine Kreisschreibe <math>D_\varepsilon (w)</math> mit <math>D_\varepsilon (w)\subseteq U</math>. Für <math>f(G)</math> existieren diese Kreisscheiben sogar für keinen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Daher ist das Bild nicht offen. === Beweisschritt 2 - Bild nicht offen === Durch die Anwendung des Satzes der Gebietstreue müsste aber das Bild <math>f(G)</math> von offenen Mengen <math>G</math> holomorphe Funktionen, die nicht konstant sind, wieder offen sein. Das ist ein Widerspruch zu Annahme, dass <math>f</math> holomorph ist. sn2ptgm2yikxpmhnymjwdxr9q8zvlpi 1079191 1079190 2026-05-12T06:40:02Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2 - Bild nicht offen */ 1079191 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der komplexen Analysis kann man stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> definieren, dessen Bild reellwertig Funktionen, wie z.B. die Funktion: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = f(z_1+iz_2) = z\cdot \overline{z} = z_1^2 + z_2^2 \end{array} </math> Man kann sich in der komplexen Analysis nun fragen, ob es für ein Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math>. == Bild reellwertig == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine stetige Funktionen von einem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>, dessen Bild reellwertig <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> ist. Dann ist <math>f</math> nicht holomorph. == Beweis - Anwendung 1== '''Annahme:''' Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann ist <math>f(G)</math> nach dem [[Satz von der Gebietstreue]] ebenfalls ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], d.h. wegzusammenhängend und offen in <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Bild reellwertig=== Wähle einen beliebigen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Da nach Voraussetzung das Bild <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> reellwertig ist, enthält jede Umgebung <math>D_\varepsilon (w_o)</math> für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein Element <math>w_\varepsilon := w_o+i\tfrac{\varepsilon}{2}\in D_\varepsilon (w_o)</math> mit <math>w_o\in \mathbb{R}</math>, für das <math>w_\varepsilon\notin f(G)</math> liegt. === Beweisschritt 2 - Bild nicht offen === Für offene Mengen <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> gibt es für jeden Punkt <math>w\in U</math> eine Kreisschreibe <math>D_\varepsilon (w)</math> mit <math>D_\varepsilon (w)\subseteq U</math>. Für <math>f(G)</math> existieren diese Kreisscheiben sogar für keinen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Daher ist das Bild nicht offen. === Beweisschritt 3 - Anwendung des Satzes von der Gebietstreue === Durch die Anwendung des Satzes der Gebietstreue müsste aber das Bild <math>f(G)</math> von offenen Mengen <math>G</math> holomorphe Funktionen, die nicht konstant sind, wieder offen sein. Das ist ein Widerspruch zu Annahme, dass <math>f</math> holomorph ist. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] mh0283wf035qxxt92yvwn18vn4h1dng 1079195 1079191 2026-05-12T07:20:39Z Bert Niehaus 20843 /* Bild reellwertig */ 1079195 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der komplexen Analysis kann man stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> definieren, dessen Bild reellwertig Funktionen, wie z.B. die Funktion: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = f(z_1+iz_2) = z\cdot \overline{z} = z_1^2 + z_2^2 \end{array} </math> Man kann sich in der komplexen Analysis nun fragen, ob es für ein Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math>. == Bild reellwertig == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine stetige Funktionen von einem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>, die nicht konstant ist und dessen Bild <math>f(G)</math> reellwertig ist (d.h. <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math>). Dann ist <math>f</math> nicht [[holomorphe Funktion|holomorph]]. == Beweis - Anwendung 1== '''Annahme:''' Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann ist <math>f(G)</math> nach dem [[Satz von der Gebietstreue]] ebenfalls ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], d.h. wegzusammenhängend und offen in <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Bild reellwertig=== Wähle einen beliebigen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Da nach Voraussetzung das Bild <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> reellwertig ist, enthält jede Umgebung <math>D_\varepsilon (w_o)</math> für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein Element <math>w_\varepsilon := w_o+i\tfrac{\varepsilon}{2}\in D_\varepsilon (w_o)</math> mit <math>w_o\in \mathbb{R}</math>, für das <math>w_\varepsilon\notin f(G)</math> liegt. === Beweisschritt 2 - Bild nicht offen === Für offene Mengen <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> gibt es für jeden Punkt <math>w\in U</math> eine Kreisschreibe <math>D_\varepsilon (w)</math> mit <math>D_\varepsilon (w)\subseteq U</math>. Für <math>f(G)</math> existieren diese Kreisscheiben sogar für keinen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Daher ist das Bild nicht offen. === Beweisschritt 3 - Anwendung des Satzes von der Gebietstreue === Durch die Anwendung des Satzes der Gebietstreue müsste aber das Bild <math>f(G)</math> von offenen Mengen <math>G</math> holomorphe Funktionen, die nicht konstant sind, wieder offen sein. Das ist ein Widerspruch zu Annahme, dass <math>f</math> holomorph ist. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] 4kt3f2b8lgttbs8unl1lkm8n478upim 1079196 1079195 2026-05-12T07:21:18Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1079196 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der komplexen Analysis kann man stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> definieren, dessen Bild reellwertig Funktionen, wie z.B. die Funktion: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = f(z_1+iz_2) = z\cdot \overline{z} = z_1^2 + z_2^2 \end{array} </math> Man kann sich in der komplexen Analysis nun fragen, ob es für ein Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math>. == Bild reellwertig == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine stetige Funktionen von einem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>, die nicht konstant ist und dessen Bild <math>f(G)</math> reellwertig ist (d.h. <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math>). Dann ist <math>f</math> nicht [[holomorphe Funktion|holomorph]]. == Beweis - Anwendung 1== '''Annahme:''' Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann ist <math>f(G)</math> nach dem [[Satz von der Gebietstreue]] ebenfalls ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], d.h. wegzusammenhängend und offen in <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Bild reellwertig=== Wähle einen beliebigen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Da nach Voraussetzung das Bild <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> reellwertig ist, enthält jede Umgebung <math>D_\varepsilon (w_o)</math> für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein Element <math>w_\varepsilon := w_o+i\tfrac{\varepsilon}{2}\in D_\varepsilon (w_o)</math> mit <math>w_o\in \mathbb{R}</math>, für das <math>w_\varepsilon\notin f(G)</math> liegt. === Beweisschritt 2 - Bild nicht offen === Für offene Mengen <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> gibt es für jeden Punkt <math>w\in U</math> eine Kreisschreibe <math>D_\varepsilon (w)</math> mit <math>D_\varepsilon (w)\subseteq U</math>. Für <math>f(G)</math> existieren diese Kreisscheiben sogar für keinen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Daher ist das Bild nicht offen. === Beweisschritt 3 - Anwendung des Satzes von der Gebietstreue === Durch die Anwendung des Satzes der Gebietstreue müsste aber das Bild <math>f(G)</math> von offenen Mengen <math>G</math> holomorphe Funktionen, die nicht konstant sind, wieder offen sein. Das ist ein Widerspruch zu Annahme, dass <math>f</math> holomorph ist. == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Satz von der Gebietstreue]] 0mg85zcssl2fi4w0pt10w12o8fvyzel 1079197 1079196 2026-05-12T07:49:27Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1079197 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der komplexen Analysis kann man stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> definieren, dessen Bild reellwertig Funktionen, wie z.B. die Funktion: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = f(z_1+iz_2) = z\cdot \overline{z} = z_1^2 + z_2^2 \end{array} </math> Man kann sich in der komplexen Analysis nun fragen, ob es für ein Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math>. == Bild reellwertig == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine stetige Funktionen von einem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>, die nicht konstant ist und dessen Bild <math>f(G)</math> reellwertig ist (d.h. <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math>). Dann ist <math>f</math> nicht [[holomorphe Funktion|holomorph]]. == Beweis - Anwendung 1== '''Annahme:''' Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann ist <math>f(G)</math> nach dem [[Satz von der Gebietstreue]] ebenfalls ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], d.h. wegzusammenhängend und offen in <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Bild reellwertig=== Wähle einen beliebigen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Da nach Voraussetzung das Bild <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> reellwertig ist, enthält jede Umgebung <math>D_\varepsilon (w_o)</math> für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein Element <math>w_\varepsilon := w_o+i\tfrac{\varepsilon}{2}\in D_\varepsilon (w_o)</math> mit <math>w_o\in \mathbb{R}</math>, für das <math>w_\varepsilon\notin f(G)</math> liegt. === Beweisschritt 2 - Bild nicht offen === Für offene Mengen <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> gibt es für jeden Punkt <math>w\in U</math> eine Kreisschreibe <math>D_\varepsilon (w)</math> mit <math>D_\varepsilon (w)\subseteq U</math>. Für <math>f(G)</math> existieren diese Kreisscheiben sogar für keinen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Daher ist das Bild nicht offen. === Beweisschritt 3 - Anwendung des Satzes von der Gebietstreue === Durch die Anwendung des Satzes der Gebietstreue müsste aber das Bild <math>f(G)</math> von offenen Mengen <math>G</math> holomorphe Funktionen, die nicht konstant sind, wieder offen sein. Das ist ein Widerspruch zu Annahme, dass <math>f</math> holomorph ist. == Aufgabe - Beweis des Maximumsprinzips == Beweisen Sie das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] mit Hilfe des Satzes von der Gebietstreue. === Vorgehen - Widerspruchsbeweis === Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die nicht kostant ist. === Annahme === Für die nicht-konstante holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt <math>|f|</math> eine lokales Maximum in <math>z_o\in G</math> mit <math>|f(z)|\leq |f(z_o)|</math> für alle <math> z\in G</math>. Mit <math>w_o:= f(z_o) \in f(G)</math> gilt insbesondere <math>w_o\not=0</math>, denn sonst wäre <math>f\equiv 0</math> (Verletzung der Voraussetzung). === Widerspruch === Der Widerspruch entsteht mit <math>w_o= f(z_o) \in f(G)</math>, da <math>w_\varepsilon := \left(1+\tfrac{\varepsilon}{2\cdot |w_o|}\right) \cdot w_o\in D_\varepsilon(w_o)</math> == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Satz von der Gebietstreue]] m0de32ef2c299jji0ysi6395pqcunny 1079199 1079197 2026-05-12T07:58:01Z Bert Niehaus 20843 /* Widerspruch */ 1079199 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In der komplexen Analysis kann man stetige Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> definieren, dessen Bild reellwertig Funktionen, wie z.B. die Funktion: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & f(z) = f(z_1+iz_2) = z\cdot \overline{z} = z_1^2 + z_2^2 \end{array} </math> Man kann sich in der komplexen Analysis nun fragen, ob es für ein Gebiet <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math>. == Bild reellwertig == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine stetige Funktionen von einem Gebiet <math>G\subseteq \mathbb{C}</math>, die nicht konstant ist und dessen Bild <math>f(G)</math> reellwertig ist (d.h. <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math>). Dann ist <math>f</math> nicht [[holomorphe Funktion|holomorph]]. == Beweis - Anwendung 1== '''Annahme:''' Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Dann ist <math>f(G)</math> nach dem [[Satz von der Gebietstreue]] ebenfalls ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], d.h. wegzusammenhängend und offen in <math>\mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 1 - Bild reellwertig=== Wähle einen beliebigen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Da nach Voraussetzung das Bild <math>f(G)\subseteq \mathbb{R}</math> reellwertig ist, enthält jede Umgebung <math>D_\varepsilon (w_o)</math> für alle <math>\varepsilon > 0 </math> ein Element <math>w_\varepsilon := w_o+i\tfrac{\varepsilon}{2}\in D_\varepsilon (w_o)</math> mit <math>w_o\in \mathbb{R}</math>, für das <math>w_\varepsilon\notin f(G)</math> liegt. === Beweisschritt 2 - Bild nicht offen === Für offene Mengen <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> gibt es für jeden Punkt <math>w\in U</math> eine Kreisschreibe <math>D_\varepsilon (w)</math> mit <math>D_\varepsilon (w)\subseteq U</math>. Für <math>f(G)</math> existieren diese Kreisscheiben sogar für keinen Punkt <math>w_o\in f(G)</math>. Daher ist das Bild nicht offen. === Beweisschritt 3 - Anwendung des Satzes von der Gebietstreue === Durch die Anwendung des Satzes der Gebietstreue müsste aber das Bild <math>f(G)</math> von offenen Mengen <math>G</math> holomorphe Funktionen, die nicht konstant sind, wieder offen sein. Das ist ein Widerspruch zu Annahme, dass <math>f</math> holomorph ist. == Aufgabe - Beweis des Maximumsprinzips == Beweisen Sie das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] mit Hilfe des Satzes von der Gebietstreue. === Vorgehen - Widerspruchsbeweis === Sei <math>G\subset \mathbb{C}</math> eine Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die nicht kostant ist. === Annahme === Für die nicht-konstante holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> besitzt <math>|f|</math> eine lokales Maximum in <math>z_o\in G</math> mit <math>|f(z)|\leq |f(z_o)|</math> für alle <math> z\in G</math>. Mit <math>w_o:= f(z_o) \in f(G)</math> gilt insbesondere <math>w_o\not=0</math>, denn sonst wäre <math>f\equiv 0</math> (Verletzung der Voraussetzung). === Widerspruch === Der Widerspruch entsteht mit <math>w_o= f(z_o) \in f(G)</math>, da <math>w_\varepsilon := \left(1+\tfrac{\varepsilon}{2\cdot |w_o|}\right) \cdot w_o\in D_\varepsilon(w_o)</math> und <math>w_\varepsilon \notin f(G)</math>. === Beweisschritte ausführen === Führen Sie die Beweisschritte kleinschrittig aus und erläutern Sie diese in den Übungen! == Siehe auch == * [[holomorphe Funktion]] * [[Satz von der Gebietstreue]] ptb7royoz3qaicqxwy3rfxejifmuq83 0 170327 1079192 2026-05-12T06:40:26Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue]] erstellt 1079192 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue]] apxr5e6b7o15z8h2h2frv7y5eq9tatm