Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.2 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 84474 1079308 1077364 2026-05-15T09:17:13Z Bert Niehaus 20843 /* Bearbeitete Themen zur Mathematischen Modellbildung */ 1079308 wikitext text/x-wiki == Inhalte des Kurses == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In der Modellbildung wird Mathematik<ref>Garcia, Francisco Javier, et al. "Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics." ZDM 38.3 (2006): 226-246.</ref> aus unterschiedlichen Teilgebieten dazu verwendet, um Modelle als mathematische Umsetzung von Teilaspekten eine beobachteten Systems (deskriptive Modelle) oder eines zu entwickelnden Systems (präskriptive Modelle) zu realisieren und zyklisch weiter zu verbessern. Hierbei werden [[w:de:Analysis|Analysis]], [[w:de:Lineare_Algebra|Lineare Algebra]] als Grundkenntnis im unversitären Kontext vorausgesetzt. Ferner dient die Angewandte Mathematik als Werkzeug für die Modellentwicklung. Ziel der Auseinandersetzung mit Modellbildung ist es, geeignete fachmathematische Werkzeuge aus Statistik, Numerik, Geometrie, Differentialgleichungen, ... zu für die Modellentwicklung zu identifizieren und für die Entwicklung der Modelle einzusetzen. Gleichzeitig sind Grundlagen in der Nutzung von (OpenSource-)Werkzeugen notwendig, um die Modelle in einer konkreten Datenverarbeitung zu analysieren. === '''[[/Themen/|Bearbeitete Themen zur Mathematischen Modellbildung]]'''=== :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2026 Sommersemester|2026 Sommersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2025-26 Wintersemester|2025/26 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester|2024/25 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester|2023/24 Wintersemester]]''' :: '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2022-23 Winteresemester|2022/23 Wintersemester]]''' === Ablauf der Lehrveranstaltung WS 2025/26=== Ziel ist es, innerhalb der Lehrveranstaltung ein schriftliches Portfolio zu einer ausgewähltem Thema anzufertigen und im Rahmen einer Wikiversity Seite zu dokumentieren. Innerhalb der ersten 4 Semesterwochen werden zuerst Einführungsvorlesungen zu den ausgewählten Themen aus der Methoden der mathematischen Modellbildung gehalten. In dieser Zeit sollen Studierende kleinere Gruppen bilden, zusammen ein passendes Modellierungsthema finden und die erste Schritte wie Datenrecherche durchführen oder passende mathematischen Methoden vorschlagen. In der fünften Semesterwoche finden Kurzpräsentationen aller Modellierungsthemen durch die Gruppenteilnehmer statt, diese sollten die Einführung in das Thema und die Notwendigkeit der Untersuchungen im Bezug auf Nachhaltigkeitsziele darstellen, sowie auch die erste Vorschläge für mathematische Herangehensweise, zumindest auf dem Schulniveau, beinhalten. Die Kleingruppen bekommen bei der Erstvorstellung der Modellierungsthemen einen Feedback vom Dozenten und von den Studienkollegen. Ab der sechster Semesterwoche bearbeiten die Studierende in Kleingruppen die Modellierungsthemen (mindesten 2 Modellierungszyklen) und pflegen ihren Fortschritt in Wikiversity-Porfolien durchgehend ein. Geprüft werden können die Studierenden, die aktiv an der Entwickung des Portfolios beigetragen haben, siehe auch [[/Aufgaben/]]: die gemeinsame Bearbeitung und die schriftliche Ausarbeitung des Modellierungsportfolios zählt als '''Studienleistung zur Zulassung zur mündlicher Prüfung'''. Ablauf: * '''(1) Einführunsgvorträge''' - (20.10-10.11.2025): ausgewählte Themen, siehe Material im Olat-Kurs [https://olat.vcrp.de/url/RepositoryEntry/2169471063 Olat-Kurs] * '''(2) [[/Aufgaben/| Kurzvorstellung aller Modellierungsthemen]]''' auch bzgl. des zweiten Faches (17.11.2025) - siehe auf [[/Themen/|bisher bearbeitete Themen]] * '''(3) [[/Aufgaben/|(Wiki)Quellen]]''' - (durchgehend): Sammeln Sie wissenschaftliche Quellen und für Sie nutzbare Wikipedia- und Wikiversity-Quellen. Überprüfen Sie und ergänzen Sie ggf. Quellen in Wikipedia und Wikiversity mit Ihrem Quellenstudium, die Sie in wissenschaftlicher Literatur oder wissenschaftlichen Journals finden. * '''(4) Gruppenarbeit:''' - (ab 24.11. 2025): intensive Arbeit in Kleingruppen, die [[/Themen/2025-26_Wintersemester| aktuellen Themen]] sind festgelegt, die Ausarbeitung wird durch den Dozenten betreuut. * '''(5) Finalisierungsphase:''' - (ab 26.01. 2026): letzte Verbesserungen des Modells, Finalisierung der textuellen und grafische Dokumentation, ggf. Probevorträge. === Ablauf der Lehrveranstaltung WS 2022/23=== Entsprechend des Schaubildes rechts zum Modellierungzyklus wird sich die Veranstaltung aufbauen. Ziel ist es, innerhalb der Lehrveranstaltung das Portfolio anzufertigen. Geprüft werden können die Studierenden, die aktiv an der Entwickung des Portfolios beigetragen haben, siehe auch [[/Aufgaben/]]. Unter Rahmenbedingungen von [[COVID-19]] werden Projekte in dem [[Videokonferenz|BigBlueButton-Videokonferenzsystem]] vorgestellt und in [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppen gemeinsam entwickelt]]. * '''(1) [[/Themen|Vorstellung der Themenbereich]]''' bzgl. des zweiten Faches (24.10.2022) - siehe auf [[/Themen/|bisher bearbeitete Themen]] * '''(2) [[/Aufgaben/|Modellierungsthema Kurzvorstellung]]''' (31.10.2022) - Bitte in LibreOffice-Impress die Themenstellung kurz vorstellen. Das Querformat ist dafür am besten geeignet. Exportieren Sie die Präsentation in LibreOffice-Impress als PDF. Diese können Sie dann bei der Vorstellung im Plenum zeigen. Sie können dazu auch Abbildung aus WikiCommons verwenden. * '''(3) [[/Aufgaben/|Wikipedia/Wikiversity-Quellen]]''' (07.11.2022) - Sammeln Sie wissenschaftliche Quellen und für Sie nutzbare Wikipedia- und Wikiversity-Quellen. Überprüfen Sie und ergänzen Sie ggf. Quellen in Wikipedia und Wikiversity mit Ihrem Quellenstudium, die Sie in wissenschaftlicher Literatur oder wissenschaftlichen Journals finden. * '''(4) Gruppenarbeit:''' - (14.11.2022) ** '''(4.1) [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Güte von Modellen|Güte von Modellen]]''' - (14.11.2022) Gruppe Schadstoffverteilung, Gruppe Sprache - ** '''(4.2) [[Integration mit mehreren Veränderlichen|Integration mit mehreren Veränderlichen]]''' - (21.11.2022) Integration auf einem merhdimensionalen Grundraum - (Gruppenarbeit) === Kapitel 1: Einführung === * '''[[/Portfolioprüfung/|Portfolioprüfung Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische_Modellbildung/Portfoliopr%C3%BCfung&author=Wiki-Autoren&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Folien]) [[File:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] Hinweise zu einer mündlichen Portfolioprüfung * '''[[Objektorientierte Mathematische Modellbildung|Objektorientierte Mathematische Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Digitale 3D Modelle/]]''' Hinweise zum Erstellen von 3D Modellen * '''[[/Modellbildungszyklus/]]:''' Die Portfolios sollten mindestens zwei Durchläufe des Zyklus enthalten. * '''[[/Bilder für das Portfolio/]]:''' Hinweise für die Nutzung von Bilder in einem Portfolio * '''[[/Rückmeldung zum Portfolio/]]:''' Rückmeldungen und Anmerkungen von Dozenten, Tutoren oder Studenten. * '''[[/Aufgaben/|Modellierungsaufgaben]]''' Modellierungsaufgaben strukturieren die Schritte in der Modellbildung und zeigen, wie das das Portofolio weiter ausgebaut werden kann. ** Man darf/soll für den gegenwärtigen Stand der Modellbildung Vorschläge für die Weiterentwuicklung machen, ** die dann im weiteren Verlauf auf ihre Brauchbarkeit/Passung hin bewertet werden und ** ggf. auch wieder verworfen werden, weil der Modellierungsschritt sich als ungeeignet erwiesen hat. Dies ist kein Makel in dem Portfolio, sondern man sollte begründen, warum ein bestimmtes mathematische Werkzeug in der konkrete Anwendung unbrauchbare Ergebnisse liefert. : Die Dokumentation des Entwicklungsprozesses ist für die Modellbildung entscheidend und macht die Modellierungsideen nachvollziehbar und nicht nur das fertige Produkt. D.h. Portfolio sollte auch die Dokumentation enthalten, warum bestimmte mathematische Werkzeuge nicht die gewünschten Ergebnisse geliefert hat. === Kapitel 2: Softwarenutzung === Im PC-Praktikum wurden grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Software erlangt, die für die Berechnung von mathematischen Modellen vorwendig sind. Diese Kenntnisse müssen ggf. auf das spezielle Modellierungsthema angepasst und erweitert werden. * '''[[CSV2Chart]]''' Aus CSV-Dateien mathematische Graphen in Wikiversity erstellen. * '''[[Maxima CAS]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos eines Computeralgebrasystems (CAS), die die einzelnen Projekte in dem Modellbildungszyklus verwendet haben. * '''[https://sagecell.sagemath.org/ SageCell]''' Online-Umgebung zur Ausführung und Demonstration von Befehlen in R, Octave, Maxima, ... (Auswahl des Befehlssatzes auf der https://sagecell.sagemath.org/ SageCell-Seite] unten rechts auf dem Eingabefeld) * '''[[Statistikprogramm R]]''' enthält die verwendeten Werkzeuge und Kommandos, die für Berechnungen und Veranschaulichungen in den Projekten verwendet haben. * '''[[Tabellenkalkulation]]''' werden in Portfolios in der Regel verwendet, um Daten in den Portfolios aufzubereiten. * '''[[Octave]]''' wird in der Regel verwendet, um numerische Berechnung in der Mathematischen Modellbildung durchzuführen. * '''[[Geogebra]]''' ist eine Dynamische Geometriesoftware, die zur vektoriellen Veranschaulichung von räumlichen Modellierungsproblemen oder auch zur parametrisierten Darstellung von Funktionen verwendet wird (Beispiel: [https://www.geogebra.org/m/e9b349k9 Parkplatzlösung in Geogebra von Shrey T (2017)]). * '''[[w:Screencast|Screencast]]''': Ein Screencast ist eine Bildschirmaufnahme mit Audiokommentaren, die zeigt, wie man z.B. Software bedient. Ein Screencast ist eine Hilfestellung für Lernende, die sich noch nicht so gut mit einer bestimmten Software auskennen. :* [https://obsproject.com/ '''Open Broadcast Software (OBS)''' - Linux, Windows, MacOSX ] - [[Konvexkombination|Beispielvideo in Wikiversity]] * [[v:en:3D_Modelling|'''3D-Modellbildung''' (englisch)]] * '''[http://niebert.github.io/imgmap/ Online-ImageMap-Editor]''' - Anklickbare Bereiche in Wikiversity-Bildern erstellen. * '''[https://openlayers.org/en/latest/examples/heatmap-earthquakes.html HeatMaps]:''' Erstellung von [https://niebert.github.io/openlayer_heatmap HeatMaps mit einem Online-Editor] (Download [https://github.com/niebert/openlayer_heatmap/archive/master.zip Heatmap-Editor und Beispieldaten in Ordner <tt>/HeatMap</tt> in ZIP-Datei]) * '''[[Wiki2Reveal]]:''' Portfolio-Präsentationen direkt im Wikiversity erstellen. === Kapitel 3: Fachmathematische Aspekte === Wenn man das Modellierungsproblem in den Mittelpunkt stellt und die Fragestellung den Nachhaltigkeitszielen der UN zuordnet, kommen z.T. fachmathematische Aspekte erforderlich, die nicht in der jeweiligen Schulstufe bzw. in den Vorlesungen behandelt wurden. Dies Kapitel erhält Hinweise zu fachmathematischen Bereichen, die für die mathematische Modellbildung ggf. als Werkzeug verwendet werden können * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]''' dienen dazu, Datenpunkte im <math>\R^2</math> oder allgemein im <math>\R^n</math> zu [[w:Interpolation_(Mathematik)|interpolieren]]. * '''[https://en.wikiversity.org/wiki/3D_Modelling 3D Modellierung für Projektinhalte]''' und [[w:Projektive_Geometrie|projektive Geometrie]] zur Visualisierung * '''[[Gradientenabstiegsverfahren]]''': Wird verwendet, um sich in der mathematischen Modellbildung iterativ einem Minimum einer Kosten- oder Fehlerfunktion anzunähern. * [[w:Lineare_Optimierung|'''Lineare Optimierung''']] wird in Optimierungshaufgaben wie beispielsweise bei der Suche nach Minimum der Produktionskosten verwendet. Hierbei wird in allgemeinem nach einem Minimium/Maximum einer linearer Zielfunktion über einer Menge gesucht. [https://www.geogebra.org/m/kr727992 '''Ein Beispiel in Geogebra'''] *[[Räumliche Diffusion|'''Räumliche Diffusion''']] *[[Modelle_der_Populationsdynamik|'''Modelle der Populationsdynamik''']] - [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte|Wahrscheinlichkeitsdichte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Wahrscheinlichkeitsdichte&author=Kurs:Stochastik&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wahrscheinlichkeitsdichte&coursetitle=Kurs:Stochastik Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Editierungshilfen === * [https://latexeditor.lagrida.com/ Online-Formel-Editor für LaTeX-Formeln]<ref>Lagrida Web-Portal (2021) Online-Latex-Formel-Editor mit Vorschau - URL: https://latexeditor.lagrida.com/ (accessed 2021/11/21))</ref> - die erzeugten Formeln müssen in einen MATH-Tag mit <kbd><math> ...</math></kbd> eingeschlossen werden bei der Seiteneditierung. * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Mathematische Formeln in Wikiversity] === Kaptitel 5: Kurse === * [https://de.wikibooks.org/wiki/Blender_3D Wiki-Buch: Blender und 3D-Modellierung] * [https://niebert.github.io/WikiCommons2AFrame/load_images2zip.html 360-Gradbilder in AFrame einbinden] - 3D-Modellierung. * [[Markers4Map]] - Icon auf OpenStreetMap-Karten erzeugen === Beispiele === * [https://www.geogebra.org/m/VEdAAcPD Approximation mit drei Datenpunkten] * Interaktive Simulationsumgebung [https://c-roads.climateinteractive.org/ C-ROADS Climate Interactive]<ref>Sterman, J., Fiddaman, T., Franck, T. R., Jones, A., McCauley, S., Rice, P., ... & Siegel, L. (2012). Climate interactive: the C-ROADS climate policy model.</ref> * [[Kryptologie/Grundlagen_der_Kryptologie|Verschlüsselung und Modellbildung - Einführung]] == Portfolio == Ein Wikiversity-Portfolio ist eine digitale Sammlung von Materialien, die einen mathematischen Modellierungsprozess veranschaulichen. Diese Materialien werden von Studierende erzeugt. * '''[[/Themen/|Themen zur Mathematischen Modellbildung]]''' * '''[[/Aufgaben/]]''' für das Modellbildungsthema für alle Gruppen * '''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:An_Teallach_panorama.jpg Bildquellen für Ihr Projekt aus WikiMedia Commons]''' *Le Monde '''Atlas der Globalisierung - Welt in Bewegung<ref>Atlas der Globalisierung - Welt in Bewegung (2019) Le Monde Diplomatique, taz. Verlags und Vertriebs GmbH, Berlin.</ref> == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] online in Präsentationfolien. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER (Open Educational Resources) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Gleichzeitig werden die aus dem anpassbaren Wikiinhalten erstellten Folien in einem GitHib-Repository bereitgestellt, um die Download und Nutzung von weiter zu Vereinfachen. Die Artikel sind in der Regel mit so wenig Text versehen, damit die Erzeugung der Folien direkt aus den Inhalten möglich ist. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]''. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Projektarbeit in Wikiversity]] * [[Mathematische Modellbildung]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung]] * [[w:de:Analysis|Analysis]] * [[w:de:Lineare_Algebra|Lineare Algebra]] * [[Videokonferenz]] und [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Videokonferenzen]] * [[COVID-19]] * [[Octave]] * [[Geogebra]] * [[Maxima CAS]] * [[w:de:Wikipedia:Tutorial|Tutorial: Wikiversity editieren]] == Quellen/Literatur == [[Category:Mathematische Modellbildung]] [[Kategorie:Kurs]] ljf4l2cmhn70uv8qfe0sapw66n6xddh 0 99575 1079338 1079217 2026-05-15T10:36:09Z Kaan Bauer 38603 /* Beweis 2 - g stetig */ 1079338 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U_1 \times U_2</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U_1 \times U_2</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. === Korollar 3 - CIS-NZ === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]], dann gilt auch der [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. ==== Beweis ==== Für den Beweis und weitere Anmerkungen siehe [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 4yw6zu4p9k9qz04qgasd7jnonnaen23 1079343 1079338 2026-05-15T11:51:12Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen */ 1079343 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma \frac{f(\xi)}{\xi - z} \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U_1 \times U_2</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U_1 \times U_2</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G \setminus G_0\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. === Korollar 3 - CIS-NZ === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]], dann gilt auch der [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. ==== Beweis ==== Für den Beweis und weitere Anmerkungen siehe [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> fek4s801s36f3g2d8uzwcojdiqq5anz 106 99643 1079339 1079223 2026-05-15T11:44:23Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 9: offen - Maximumsprinzip */ 1079339 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bilder von wegzusammenhängenden Mengen <math>U</math> sind wegen der Stetigkeit wieder wegzusammenhängend und Urbilder von offenen Menge sind für beliebige stetigen Funktionen <math>f</math> wieder offen. Bilder <math>f(U)</math> von offenen Mengen <math>U</math> sind aber stetigen Funktionen keineswegs immer offen, wenn <math>f</math> nicht konstant ist. === Beispiel - Betragsfunktion === Die Betragsfunktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z):=|z |</math> ist eine stetige Funktion, die nicht konstant ist. Für jede offene Menge <math>U\not=\emptyset </math> mit <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> ist <math>f(U)\subseteq \mathbb{R}_o^+</math> und damit nicht offen. In den [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] wird gezeigt, dass keine nicht-konstanten holomorphen Funktionen geben kann, dessen Bildmenge <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math> gilt. ==Satz von der Gebietstreue== Es sei <math>U \subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]], nicht konstante Funktion. Dann ist <math>f(U)</math> ein Gebiet. ==Beweis== Für den Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass <math>f(U)</math> ein Gebiet ist, d.h. die Menge <math>f(U)</math> * ist zusammenhängend und * offen. Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile. === Bemerkung - Beweisidee === Im Beweis des Satzes von der Gebietstreue erhält man: * <math>f(U)</math> ist zusammenhängend für beliebige stetige Funktionen <math>f: U \to \mathbb{C}</math> und * <math>f(U)</math> ist offen über das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] von holomorphen Funktionen. === Beweis 1: zusammenhängend === Wir zeigen, dass aus <math>f</math> stetig und <math>U</math> zusammenhängend folgt, dass auch <math>f(U)</math> zusammenhängend ist. === Beweis 2: zusammenhängend === Seien <math>w_1, w_2 \in f(U)</math> beliebig gewählt. Dann gibt <math>z_1,z_2 \in U</math> mit <math>f(z_1)=w_1</math> und <math>f(z_2)=w_2</math>. Da <math>U</math> zusammenhängend ist, gibt es ein Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> mit <math>\gamma(a)= z_1</math> und <math>\gamma(b)= z_2</math>. === Beweis 3: zusammenhängend === Weil <math>f</math> stetig ist und <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ein stetig Weg in <math>U</math> ist, so ist auch<math>\gamma_f := f \circ \gamma</math> ein stetiger Weg in <math>f(U)</math>, für den gilt: : <math>\gamma_f(a) = f(\gamma (a)) = f(z_1)=w_1</math> und <math>\gamma_f(b) = f(\gamma (b)) = f(z_2)=w_2</math> === Beweis 4: offen === Es bleibt zu zeigen, dass <math>f(U)</math> offen ist, sei dazu <math>w_0 \in f(U)</math> und <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) = w_0</math>. Wir betrachten nun die Menge der <math>w_0</math>-Stellen : <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> === Beweis 5: offen - Identitätssatz=== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] kann die Menge <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> keine Häufungspunkte in <math>f(U)</math> haben. Hätte eine <math>S(f,w_0)\subseteq f(U)</math> Häufungspunkte in <math>f(U)</math>, dann wäre die holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \mathbb C</math> konstant mit <math>f(z)= w_0</math> für alle <math>z\in U</math>. === Beweis 6: offen - Umgebungen === Wenn die Menge <math>S(f,w_0)</math> der <math>w_0</math>-Stellen von <math>f</math> keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung <math>V \subseteq U</math> von <math>z_0</math> so wählen, in der <math>z_0</math> die einzige <math>w_0</math>-Stelle ist. Sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> gilt. === Beweis 7: offen === Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von <math>f(z)</math> zu <math>w_0</math>, wobei <math>z</math> auf dem Kreisrand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. :<math> \varepsilon := \inf_{z \in \partial D_r(z_0)} |f(z) - w_0| > 0 </math> Dabei ist <math>\varepsilon > 0 </math>, weil <math>f</math> stetig ist und auf der kompakten Menge <math>\partial D_r(z_0)</math> ein Minimum annimmt. Mit <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> kann auf dem Rand keine <math>w_0</math>-Stellen liegen. === Beweis 8: offen - Maximumsprinzip === Wir zeigen, dass <math>D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U)</math> gilt. Sei dazu <math>|w - w_0| < \frac{\varepsilon}{3}</math>. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige <math>w\in D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)</math> als Bild von <math>f</math> getroffen wird. === Beweis 9: offen - Maximumsprinzip === Angenommen, es wäre <math>f(z) \ne w</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)}</math>. Dann nimmt <math>|g|</math> mit <math>g(z):=f(z) - w</math> auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> ein von Null verschiedenes Minimum an. Da <math>f</math> nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf <math>\partial D_r(z_0)</math> liegen (sonst ist <math>h(z):=\frac{1}{f(z)-w}</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] konstant. Wenn <math>h</math> konstant ist, müsste dann auch <math>f</math> konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung). === Beweis 10: offen === Da <math>w_0 \in f(U)</math> beliebig gewählt wurde und für jedes <math>w_0 \in f(U)</math> eine <math>\frac{\epsilon}{3}</math>-Umgebung <math> D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U) </math> erhalten, die in <math>f(U)</math> ist <math> f(U) = \bigcup_{w_0 \in f(U)} D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0) </math> als [[Normen, Metriken, Topologie|Vereinigung von offenen Mengen]] wieder offen. == Siehe auch == * [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] - wird dem Beweis vom Satz der Gebietstreue verwendet == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hm6ir4sbl4vfqctmi0ete57r5tnsfvr 1079340 1079339 2026-05-15T11:44:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 6: offen - Umgebungen */ 1079340 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bilder von wegzusammenhängenden Mengen <math>U</math> sind wegen der Stetigkeit wieder wegzusammenhängend und Urbilder von offenen Menge sind für beliebige stetigen Funktionen <math>f</math> wieder offen. Bilder <math>f(U)</math> von offenen Mengen <math>U</math> sind aber stetigen Funktionen keineswegs immer offen, wenn <math>f</math> nicht konstant ist. === Beispiel - Betragsfunktion === Die Betragsfunktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z):=|z |</math> ist eine stetige Funktion, die nicht konstant ist. Für jede offene Menge <math>U\not=\emptyset </math> mit <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> ist <math>f(U)\subseteq \mathbb{R}_o^+</math> und damit nicht offen. In den [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] wird gezeigt, dass keine nicht-konstanten holomorphen Funktionen geben kann, dessen Bildmenge <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math> gilt. ==Satz von der Gebietstreue== Es sei <math>U \subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]], nicht konstante Funktion. Dann ist <math>f(U)</math> ein Gebiet. ==Beweis== Für den Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass <math>f(U)</math> ein Gebiet ist, d.h. die Menge <math>f(U)</math> * ist zusammenhängend und * offen. Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile. === Bemerkung - Beweisidee === Im Beweis des Satzes von der Gebietstreue erhält man: * <math>f(U)</math> ist zusammenhängend für beliebige stetige Funktionen <math>f: U \to \mathbb{C}</math> und * <math>f(U)</math> ist offen über das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] von holomorphen Funktionen. === Beweis 1: zusammenhängend === Wir zeigen, dass aus <math>f</math> stetig und <math>U</math> zusammenhängend folgt, dass auch <math>f(U)</math> zusammenhängend ist. === Beweis 2: zusammenhängend === Seien <math>w_1, w_2 \in f(U)</math> beliebig gewählt. Dann gibt <math>z_1,z_2 \in U</math> mit <math>f(z_1)=w_1</math> und <math>f(z_2)=w_2</math>. Da <math>U</math> zusammenhängend ist, gibt es ein Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> mit <math>\gamma(a)= z_1</math> und <math>\gamma(b)= z_2</math>. === Beweis 3: zusammenhängend === Weil <math>f</math> stetig ist und <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ein stetig Weg in <math>U</math> ist, so ist auch<math>\gamma_f := f \circ \gamma</math> ein stetiger Weg in <math>f(U)</math>, für den gilt: : <math>\gamma_f(a) = f(\gamma (a)) = f(z_1)=w_1</math> und <math>\gamma_f(b) = f(\gamma (b)) = f(z_2)=w_2</math> === Beweis 4: offen === Es bleibt zu zeigen, dass <math>f(U)</math> offen ist, sei dazu <math>w_0 \in f(U)</math> und <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) = w_0</math>. Wir betrachten nun die Menge der <math>w_0</math>-Stellen : <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> === Beweis 5: offen - Identitätssatz=== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] kann die Menge <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> keine Häufungspunkte in <math>f(U)</math> haben. Hätte eine <math>S(f,w_0)\subseteq f(U)</math> Häufungspunkte in <math>f(U)</math>, dann wäre die holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \mathbb C</math> konstant mit <math>f(z)= w_0</math> für alle <math>z\in U</math>. === Beweis 6: offen - Umgebungen === Wenn die Menge <math>S(f,w_0)</math> der <math>w_0</math>-Stellen von <math>f</math> keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung <math>V \subseteq U</math> von <math>z_0</math> so wählen, in der <math>z_0</math> die einzige <math>w_0</math>-Stelle ist. Sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>\overline{D_r(z_0)} \subseteq V</math> gilt. === Beweis 7: offen === Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von <math>f(z)</math> zu <math>w_0</math>, wobei <math>z</math> auf dem Kreisrand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. :<math> \varepsilon := \inf_{z \in \partial D_r(z_0)} |f(z) - w_0| > 0 </math> Dabei ist <math>\varepsilon > 0 </math>, weil <math>f</math> stetig ist und auf der kompakten Menge <math>\partial D_r(z_0)</math> ein Minimum annimmt. Mit <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> kann auf dem Rand keine <math>w_0</math>-Stellen liegen. === Beweis 8: offen - Maximumsprinzip === Wir zeigen, dass <math>D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U)</math> gilt. Sei dazu <math>|w - w_0| < \frac{\varepsilon}{3}</math>. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige <math>w\in D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)</math> als Bild von <math>f</math> getroffen wird. === Beweis 9: offen - Maximumsprinzip === Angenommen, es wäre <math>f(z) \ne w</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)}</math>. Dann nimmt <math>|g|</math> mit <math>g(z):=f(z) - w</math> auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> ein von Null verschiedenes Minimum an. Da <math>f</math> nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf <math>\partial D_r(z_0)</math> liegen (sonst ist <math>h(z):=\frac{1}{f(z)-w}</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] konstant. Wenn <math>h</math> konstant ist, müsste dann auch <math>f</math> konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung). === Beweis 10: offen === Da <math>w_0 \in f(U)</math> beliebig gewählt wurde und für jedes <math>w_0 \in f(U)</math> eine <math>\frac{\epsilon}{3}</math>-Umgebung <math> D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U) </math> erhalten, die in <math>f(U)</math> ist <math> f(U) = \bigcup_{w_0 \in f(U)} D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0) </math> als [[Normen, Metriken, Topologie|Vereinigung von offenen Mengen]] wieder offen. == Siehe auch == * [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] - wird dem Beweis vom Satz der Gebietstreue verwendet == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] si654pal3ygz3bjwlta4mrenz2somf8 1079342 1079340 2026-05-15T11:47:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 4: offen */ 1079342 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bilder von wegzusammenhängenden Mengen <math>U</math> sind wegen der Stetigkeit wieder wegzusammenhängend und Urbilder von offenen Menge sind für beliebige stetigen Funktionen <math>f</math> wieder offen. Bilder <math>f(U)</math> von offenen Mengen <math>U</math> sind aber stetigen Funktionen keineswegs immer offen, wenn <math>f</math> nicht konstant ist. === Beispiel - Betragsfunktion === Die Betragsfunktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z):=|z |</math> ist eine stetige Funktion, die nicht konstant ist. Für jede offene Menge <math>U\not=\emptyset </math> mit <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> ist <math>f(U)\subseteq \mathbb{R}_o^+</math> und damit nicht offen. In den [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] wird gezeigt, dass keine nicht-konstanten holomorphen Funktionen geben kann, dessen Bildmenge <math>f(G)\subset \mathbb{R}</math> gilt. ==Satz von der Gebietstreue== Es sei <math>U \subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]], nicht konstante Funktion. Dann ist <math>f(U)</math> ein Gebiet. ==Beweis== Für den Satz von der Gebietstreue muss man zeigen, dass <math>f(U)</math> ein Gebiet ist, d.h. die Menge <math>f(U)</math> * ist zusammenhängend und * offen. Der Beweis gliedert sich diese beiden Teile. === Bemerkung - Beweisidee === Im Beweis des Satzes von der Gebietstreue erhält man: * <math>f(U)</math> ist zusammenhängend für beliebige stetige Funktionen <math>f: U \to \mathbb{C}</math> und * <math>f(U)</math> ist offen über das [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] von holomorphen Funktionen. === Beweis 1: zusammenhängend === Wir zeigen, dass aus <math>f</math> stetig und <math>U</math> zusammenhängend folgt, dass auch <math>f(U)</math> zusammenhängend ist. === Beweis 2: zusammenhängend === Seien <math>w_1, w_2 \in f(U)</math> beliebig gewählt. Dann gibt <math>z_1,z_2 \in U</math> mit <math>f(z_1)=w_1</math> und <math>f(z_2)=w_2</math>. Da <math>U</math> zusammenhängend ist, gibt es ein Weg <math>\gamma:[a,b]\to U</math> mit <math>\gamma(a)= z_1</math> und <math>\gamma(b)= z_2</math>. === Beweis 3: zusammenhängend === Weil <math>f</math> stetig ist und <math>\gamma:[a,b]\to U</math> ein stetig Weg in <math>U</math> ist, so ist auch<math>\gamma_f := f \circ \gamma</math> ein stetiger Weg in <math>f(U)</math>, für den gilt: : <math>\gamma_f(a) = f(\gamma (a)) = f(z_1)=w_1</math> und <math>\gamma_f(b) = f(\gamma (b)) = f(z_2)=w_2</math> === Beweis 4: offen === Es bleibt zu zeigen, dass <math>f(U)</math> offen ist, sei dazu <math>w_0 \in f(U)</math> und <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) = w_0</math>. Wir betrachten nun die Menge der <math>w_0</math>-Stellen : <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> Für den Beweis benötigt man nun eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>, in der nur eine <math>w_0</math>-Stelle liegt (d.h. <math>\overline{D_r(z_o)}\cap S(f,w_0) = \{z_0\}</math>. === Beweis 5: offen - Identitätssatz=== Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] kann die Menge <math> S(f,w_0) := \{ z \in U \ | \ {} f(z) = w_0 \} </math> keine Häufungspunkte in <math>f(U)</math> haben. Hätte eine <math>S(f,w_0)\subseteq f(U)</math> Häufungspunkte in <math>f(U)</math>, dann wäre die holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \mathbb C</math> konstant mit <math>f(z)= w_0</math> für alle <math>z\in U</math>. === Beweis 6: offen - Umgebungen === Wenn die Menge <math>S(f,w_0)</math> der <math>w_0</math>-Stellen von <math>f</math> keine Häufungspunkte hat, kann man eine Umgebung <math>V \subseteq U</math> von <math>z_0</math> so wählen, in der <math>z_0</math> die einzige <math>w_0</math>-Stelle ist. Sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>\overline{D_r(z_0)} \subseteq V</math> gilt. === Beweis 7: offen === Dann definieren wir die kleinste untere Schranke für den Abstand von <math>f(z)</math> zu <math>w_0</math>, wobei <math>z</math> auf dem Kreisrand von <math>D_r(z_0)</math> liegt. :<math> \varepsilon := \inf_{z \in \partial D_r(z_0)} |f(z) - w_0| > 0 </math> Dabei ist <math>\varepsilon > 0 </math>, weil <math>f</math> stetig ist und auf der kompakten Menge <math>\partial D_r(z_0)</math> ein Minimum annimmt. Mit <math>\bar D_r(z_0) \subseteq V</math> kann auf dem Rand keine <math>w_0</math>-Stellen liegen. === Beweis 8: offen - Maximumsprinzip === Wir zeigen, dass <math>D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U)</math> gilt. Sei dazu <math>|w - w_0| < \frac{\varepsilon}{3}</math>. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass dies beliebige <math>w\in D_{\frac{\varepsilon}{3}}(w_0)</math> als Bild von <math>f</math> getroffen wird. === Beweis 9: offen - Maximumsprinzip === Angenommen, es wäre <math>f(z) \ne w</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)}</math>. Dann nimmt <math>|g|</math> mit <math>g(z):=f(z) - w</math> auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> ein von Null verschiedenes Minimum an. Da <math>f</math> nicht konstant ist, muss dieses Minimum auf <math>\partial D_r(z_0)</math> liegen (sonst ist <math>h(z):=\frac{1}{f(z)-w}</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] konstant. Wenn <math>h</math> konstant ist, müsste dann auch <math>f</math> konstant sein (Widerspruch zur Voraussetzung). === Beweis 10: offen === Da <math>w_0 \in f(U)</math> beliebig gewählt wurde und für jedes <math>w_0 \in f(U)</math> eine <math>\frac{\epsilon}{3}</math>-Umgebung <math> D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0)\subseteq f(U) </math> erhalten, die in <math>f(U)</math> ist <math> f(U) = \bigcup_{w_0 \in f(U)} D_{\frac{\epsilon}{3}}(w_0) </math> als [[Normen, Metriken, Topologie|Vereinigung von offenen Mengen]] wieder offen. == Siehe auch == * [[/Anwendungen/|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] - wird dem Beweis vom Satz der Gebietstreue verwendet == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ialh0mqv6rj0e97u66t0m1oimcaxag0 0 119039 1079297 628570 2026-05-15T09:05:22Z Bocardodarapti 2041 1079297 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man aus den Buchstaben des Wortes {{Anführung|Eisenbeis}} Wörter bilden? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Dr. Eisenbeis |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3zah2pmf4v8acu15foxl2vb2g5g513 0 121048 1079341 1044059 2026-05-15T11:45:15Z Bocardodarapti 2041 1079341 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Refname= |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= Dann erfüllt die Zuordnung {{ Zusatz/Klammer |text=für von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Ideale| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{ideala}} \longmapsto {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} |SZ= }} folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{Aufzählung4| {{ Relationskette/display | {{op:Divisor zu Ideal| {{idealp|}} |}} || 1 \cdot {{idealp}} || || || |SZ= }} für ein Primideal {{ Relationskette | {{idealp}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette/display | {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} \cdot {{idealb}} |}} || {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} + {{op:Divisor zu Ideal| {{idealb|}} |}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette | {{ideala}} | \subseteq | {{idealb}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} | \geq | {{op:Divisor zu Ideal| {{idealb|}} |}} || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette/display | {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} + {{idealb|}} |}} || \operatorname{min} \{ {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} , {{op:Divisor zu Ideal| {{idealb|}} |}} \} || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2=Idealtheorie in Dedekindbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2dq10fg0sn4g5jtoau8398erjcjjnv 106 147466 1079344 1065333 2026-05-15T11:56:24Z Bert Niehaus 20843 /* Topologische Räume */ 1079344 wikitext text/x-wiki == Einführung == Als Voraussetzung zu dieser Lerneinheit sollten Sie sich zunächst mit [[Netze (Mathematik)|Netzen und Konvergenz]] befassen, die eine Verallgemeinerung des Folgenbegriffs in <math>\mathbb{R}</math> bzw. allgemeiner topologischen Räumen mit [[Umgebungsbasis (Topologie)|abzählbarer Umgebungsbasis]] dargestellt. == Definition - Stetigkeit in topologischen Räumen == Seien <math>(X ,\mathcal{T}_{_X})</math> und <math>(Y ,\mathcal{T}_{_Y})</math> zwei [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]], <math>f: X\to Y</math> eine Abbildung und <math>x_0 \in X</math>. Die Funktion <math>f</math> heißt stetig, wenn Urbilder offenen Mengen wieder offen sind. Formal: :<math> \underset{U_{_Y} \in \mathcal{T}_{_Y}}{\forall} \,\,\,\, f^{-1}(U_{_Y}) \in \mathcal{T}_{_X} </math> === Definition - Stetigkeit in einem Punkt in topologischen Räumen === Die Funktion <math>f</math> heißt stetig in <math>x_o \in X</math>, wenn Urbilder offener Umgebungen <math>U_{_Y}</math> von <math>f(x_o)\in Y</math> wieder offene Umgebung von <math>x_o\in X</math> sind. Formal :<math> \underset{U_{_Y} \in \mathfrak{U}_{_Y}(f(x_o))}{\forall} \,\,\,\, \underset{U_{_X} \in \mathfrak{U}_{_X}(x_o)}{\exist} \,\,\,\, f(U_{_X}) \subseteq U_{_Y} </math> === Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterien === Aus der Analysis ist das [[w:de:Epsilon-Delta-Kriterium|Epsilon-Delta-Kriterium]] aus der Analysis bekannt. Es lautet für die Stetigkeit einer Funktion <math> f: \mathbb{D}\to \mathbb{R}</math> in <math>x_o\in \mathbb{D}</math> mit einem offenen Definitionsbereich <math>\mathbb{D}\subseteq \mathbb{R}</math>: :<math> \underset{\varepsilon > 0}{\forall} \,\,\,\, \underset{\delta > 0}{\exist} \,\,\,\, \underset{x\in \mathbb{D}}{\forall} \,\,\,\, |x-x_o| < \delta \Longrightarrow |f(x)-f(x_o)| < \varepsilon </math> Die obigen Umgebungen aus der Definition sind in diesem Fall <math>U_{_X}:=U_{\delta}:=\{ x\in \mathbb{D} \, : \, |x-x_o| < \delta \}</math> und <math>U_{_Y}:=U_{\varepsilon}:=\{ y \in \mathbb{R} \, : \, |y - f(x_o)| < \varepsilon \} </math>. Die Implikation aus dem [[Epsilon-Delta-Kriterium|Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume]] kann man dann auch mengentheoretisch durch <math> f(U_{_X}) \subseteq U_{_Y} </math> beschreiben bzw. umgekehrt kann man die Teilmengebeziehung <math> f(U_{\delta}) \subseteq U_{\varepsilon} </math> auch als Implikation <math> x \in U_{\delta} \Longrightarrow f(x) \in U_{\varepsilon} </math> notieren. == Stetigkeit - Konvergenz über Netze == Seien <math>(X ,\mathcal{T}_X)</math> und <math>(Y ,\mathcal{T}_Y)</math> zwei [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]], <math>f: X\to Y</math> eine Abbildung und <math>x_0 \in X</math>. Die Funktion <math>f</math> heißt stetig in <math>x_o \in X</math>, wenn für alle [[Netze - Topologie|Netze]] <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math>, die in <math>X</math> gegen <math>x_o</math> konvergieren auch das Bildnetz <math>(f(x_i))_{i \in I}\in Y_I</math> gegen <math>f(x_o)\in Y</math> konvergiert: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \stackrel{\mathcal{T}_Y}{\lim_{x_i \stackrel{\mathcal{T}_X}{\longrightarrow} x_o}} f(x_i) = f(x_0) \, & :\Longleftrightarrow & \forall_{ (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}_X}{\longrightarrow} x_0} \, :\, (f(x_i))_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}_Y}{\longrightarrow} f(x_0) \\ (f(x_i))_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}_Y}{\longrightarrow} f(x_0) & \Longleftrightarrow & \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_0))} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \ \succcurlyeq i_U}: \, f(x_i) \in U \\ \end{array} </math> Dabei bezeichnet "<math>\succcurlyeq</math>" in "<math>i \succcurlyeq i_U</math>" die partielle Ordnung auf der Indexmenge <math>I</math>. <span id="Epsilon-Delta-Kriterium"></span> == Satz - Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume == Seien <math>(X ,\mathcal{T}_X)</math> und <math>(Y ,\mathcal{T}_Y)</math> zwei [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]], <math>f: X\to Y</math> eine Abbildung und <math>x_0 \in X</math>. Die Funktion <math>f</math> ist genau dann stetig in <math>x_o \in X</math>, wenn gilt :<math> \forall_{ U_\varepsilon \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_o)) } \exists_{ U_\delta \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_X}(x_o) } \forall_{ x \in X } \, : \, x \in U_\delta \Longrightarrow f(x) \in U_\varepsilon </math> === Bemerkung - Strukturgleichheit Epsilon-Delta-Kriterium === Diese Strukturgleichheit wird nun noch einmal vergleichend für topologische Räume betrachtet. In der obigen Formulierung des Satzes hat die Verwendung von <math> \delta</math> und <math>\varepsilon </math> keine metrische Bedeutung, sondern diese soll lediglich die Strukturgleichheit zur Analysis und [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]] herstellen. ==== Analysis ==== In der Analysis ist das :<math>\forall_{\varepsilon >0} \exists_{\delta > 0} \forall_{x \in \mathbb{D}}\, : \, |x-x_o| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_o)| < \varepsilon </math> ==== Normierte Räume ==== In normierten Räumen ersetzt man den Betrag durch eine Norm <math>\|\cdot \|_{\mathbb{D}}</math> auf dem Definitionsbereich und eine Norm <math>\|\cdot \|_{\mathbb{W}}</math> auf dem Wertebereich der Funktion :<math>\forall_{\varepsilon >0} \exists_{\delta > 0} \forall_{x \in \mathbb{D}}\, : \, \|x-x_o\|_{\mathbb{D}} < \delta \Longrightarrow \|f(x) - f(x_o)\|_{\mathbb{W}} < \varepsilon </math> ==== Metrischen Räume ==== In metrischen Räumen kann man den Abstand zwischen zwei Elementen im Raum messen. Der Ausdruck <math>\|x-x_o\|_{\mathbb{D}}</math> entspricht dem Abstand zwischen <math>x</math> und <math>x_o</math> und drückt diesen durch eine Metrik über <math>d_{\mathbb{D}}(x,x_o)</math> auf dem Definitionsbereich. Mit einer weiteren Metrik <math>d_{\mathbb{W}}</math> auf dem Wertebereich der Funktion kann man die Stetigkeit wie folgt formulieren: :<math>\forall_{\varepsilon >0} \exists_{\delta > 0} \forall_{x \in \mathbb{D}}\, : \, d_{\mathbb{D}}(x,x_o) < \delta \Longrightarrow d_{\mathbb{W}}(f(x) , f(x_o)) < \varepsilon </math> ==== Topologische Räume ==== Verallgemeinert man den Ansatz auf topologische Räume drückt man die <math> d_{\mathbb{D}}(x,x_o) < \delta </math> dann durch <math>x \in U_\delta </math> ausgedrückt, wobei <math>x</math> in einer Umgebung <math>U_\delta</math> von <math>x_o</math> liegt. Dadurch erhält man die Aussage analog zu metrischen Räume auch auf topologischen Räumen für Umgebungen. :<math> \forall_{ U_\varepsilon \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_o)) } \exists_{ U_\delta \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_X}(x_o) } \forall_{ x \in X } \, : \, x \in U_\delta \Longrightarrow f(x) \in U_\varepsilon </math> ==== Transfer auf die Analysis ==== In der Analysis ist <math>U_\delta := \{x\in \mathbb{D} \,:\, |x-x_0| < \delta \}</math> und <math>U_\varepsilon := \{x\in \mathbb{D} \,:\, |f(x)-f(x_0)| < v \}</math> und man erhält: :<math>\forall_{\varepsilon >0} \exists_{\delta > 0} \, : \, x \in U_\delta \Longrightarrow f(x) \in U_\varepsilon </math> bzw. :<math>\forall_{\varepsilon >0} \exists_{\delta > 0} \, : f( U_\delta ) \subseteq U_\varepsilon </math> == Beweis - Epsilon-Delta-Kriterium für TR == Der Beweis gliedert sich in zwei Implikationen * (R1) <math>f:X\to Y</math> ist stetig in <math>x_o</math> nach Definition, dann gilt das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium für topologische Räume * (R2) das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium für topologische Räume gilt und man zeigt, dass <math>f:X\to Y</math> stetig in <math>x_o</math> nach Definition ist. === Beweisrichtung (R1) === Sei <math>f:X\to Y</math> stetig in <math>x_o</math> nach Definition. Dann gilt das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium für topologische Räume. Unsere Indexmenge <math>I:= \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_X}(x_o)</math> mit der partiellen Ordnung: :<math>U_1 \succcurlyeq U_2 :\Longleftrightarrow U_1 \subseteq U_2</math>. Ohne Einschränkung seien die Netze <math>(x_U)_{U \in I}</math> so gewählt, dass <math>x_U \in U</math>. Damit konvergieren diese Netze <math>(x_U)_{U \in I}</math> mit einem beliebigen <math>x_U \in U</math> alle gegen <math>x_o \in X</math>. ==== Beweisschritt (R1.1) ==== Sei nun <math> U_\varepsilon \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_o))</math> beliebig gewählt. Da die oben definierten Netze <math>(x_U)_{U \in I}</math> mit <math>x_U \in U</math> alle gegen <math>x_o \in X</math> konvergieren, konvergiert mit der Definition der Stetigkeit auch das Bildnetz <math> (f(x_U))_{U \in I}</math> in <math>Y</math> gegen <math>f(x_o)\in Y</math>. ==== Beweisschritt (R1.2) ==== Wegen der Konvergenz des Bildnetzes <math> (f(x_U))_{U \in I}</math> in <math>Y</math> gegen <math>f(x_o)\in Y</math> gibt es eine Indexschranke <math>U_\delta \in I</math>, ab der für alle :<math>U \succcurlyeq U_\delta \Longleftrightarrow U \subseteq U_\delta</math> gilt: :<math> f(x_{U}) \in U_\varepsilon </math> ==== Beweisschritt (R1.3) ==== Da die Elemente <math>x_U</math> der Netze <math>(x_U)_{U \in I}</math> beliebig aus <math>U</math> gewählt werden konnten (d.h. <math>x_U \in U</math> gilt) und für einen größeren Index <math>U \succcurlyeq U_\delta \Longleftrightarrow U \subseteq U_\delta</math> auch <math>x_{U} \in U \subseteq U_\delta</math> gilt, erhält man: <math> \forall_{ U_\varepsilon \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_o)) } \exists_{ U_\delta \in {\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_X}(x_o) } \forall_{ x \in X } \, : \, x \in U_\delta \Longrightarrow f(x) \in U_\varepsilon </math> Damit gilt das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium. === Beweisrichtung (R2) === Sei <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein [[Netze - Topologie|Netz]], das in <math>X</math> gegen <math>x_o</math> konvergiert. Es ist nun zu zeigen, dass bei gültigem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium für topologische Räume auch das Bildnetz <math>(f(x_i))_{i \in I}\in Y_I</math> gegen <math>f(x_o)\in Y</math> konvergiert. ==== Beweisschritt (R2.1) ==== Um die folgende Aussage :<math> \begin{array}{rcl} (f(x_i))_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}_Y}{\longrightarrow} f(x_0) & \Longleftrightarrow & \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_0))} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \ \succcurlyeq i_U}: \, f(x_i) \in U \\ \end{array} </math> zu zeigen, sei nun <math>U_\varepsilon \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_0))</math> beliebig gewählt. ==== Beweisschritt (R2.2) ==== Mit dem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium für topologische Räume gibt nun ein <math>U_\delta \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_X}(x_0) </math>, sodass für alle <math> x\in U_\delta </math> auch gilt, dass <math>f(x) \in U_\varepsilon</math>. ==== Beweisschritt (R2.3) ==== Mit der Konvergenz von <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> gegen <math>x_o</math>, gibt es eine Indexschranke <math>i_{U_\delta}</math>, sodass für alle <math> i \succcurlyeq i_{U_\delta} </math> <math>x_i \in U_\delta</math> erfüllt ist. Damit gilt dann auch mit ab der Indexschranke <math> i_{U_\delta} </math> mit <math> i \succcurlyeq i_{U_\delta} </math>, dass <math>f(x_i) \in U_\varepsilon </math> erfüllt ist. ==== Beweisschritt (R2.4) ==== Insgesamt konvergiert mit dem <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Kriterium für topologische Räume auch das Bildnetz <math>(f(x_i))_{i\in I}</math> gegen <math>f(x_o)</math>, da <math>U_\varepsilon \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_0))</math> beliebig gewählt wurde. <math>q.e.d.</math> === Bemerkung - Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume === Aus der Analysis ist das <math>\varepsilon-\delta</math>-Kriterium für die Stetigkeit in eine Punkt <math>x_0</math> bekannt. Die obige Aussage ist ein Analogon dazu für topologische Räume. <math>\varepsilon</math> und <math>\delta</math> als positive Zahlen machen in topologischen Räumen natürlich keinen Sinn. Die Bezeichnung dient lediglich dazu die analoge Struktur der Aussagen für eine in <math>x_o</math> stetige Abbildung <math>f:\mathbb{D} \to \mathbb{R}</math> aufzuzeigen. :<math>\forall_{\varepsilon >0} \exists_{\delta > 0} \forall_{x \in \mathbb{D}}\, : \, |x-x_o| < \delta \Longrightarrow |f(x) - f(x_o)| < \varepsilon </math> == Stetigkeitsatz - Urbilder offener Mengen == Seien <math>(X ,\mathcal{T}_X)</math> und <math>(Y ,\mathcal{T}_Y)</math> zwei [[Normen, Metriken, Topologie|topologische Räume]], <math>f: X\to Y</math> eine Abbildung. <math>f</math> ist genau dann stetig in jedem Punkt <math>x_0 \in X</math>, wenn die Urbilder von offenen Mengen in <math>(Y ,\mathcal{T}_Y)</math> wieder eine offene Menge in <math>(X ,\mathcal{T}_X)</math>. :<math> f \mbox{ stetig } \Longleftrightarrow \forall_{U\in \mathcal{T}_Y} \, : \, f^{-1}(U) \in \mathcal{T}_X </math> === Bemerkung - Stetigkeit der Abbildung und Stetigkeit in einem Punkt === Normalerweise müsste man für die Stetigkeit der Abbildung <math>f:X\to Y </math> die Stetigkeit von <math>f</math> in jedem Punkt <math>x_o \in X</math> nachweisen und Stetigkeit in einem Punkt dann durch den Nachweis der definitierende Eigenschaft überprüfen. Der obige Stetigkeitssatz reduziert den Aufwand auf die Überprüfung, dass die Stetigkeit von <math>f</math> äquivalent zur Eigenschaft ist, dass Urbilder offener Mengen in <math>Y</math> wieder offen in <math>X</math> sind. == Beweis - Urbilder offener Mengen == Der Beweis gliedert sich in zwei Implikationen: * (S1) Aus <math>f</math> stetig im jedem Punkt <math>x_o \in X</math> folgt, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind. * (S2) Wenn Urbilder offener Mengen immer offen in <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> ist, ist <math>f</math> stetig im jedem Punkt <math>x_o \in X</math>. === Beweisrichtung (S1) === Wir führen den Beweis für (S1) durch Widerspruch und nehmen an, dass ein Urbild <math>f^{-1}(\widehat{U})</math> einer offener Mengen <math>\widehat{U} \in \mathcal{T}_Y</math> exisitiert, dass nicht offen ist, aber <math>f</math> in jedem Punkt <math>x_o \in X</math> stetig ist. ==== Beweisschritt (S1.1) ==== Wenn <math>U_o := f^{-1}(\widehat{U})</math> nicht offen in <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> ist, besitzt <math>U_o \subset X</math> in <math> X</math> Randpunkt. Sei <math>x_o \in U_o</math> ein Randpunkt von <math>U_o</math> (d.h. <math>x_o \in \partial(U_o) \cap U_o</math>. Wegen <math>x \in U_o = f^{-1}(\widehat{U})</math>, liegt <math>f(x_o) \in \widehat{U} </math> in einer offenen Menge. ==== Beweisschritt (S1.2) ==== Für Randpunkte einer Menge gilt, dass jede Umgebung <math>U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_X}(x_o)</math> Elemente aus dem Komplement von <math>U_o</math>, denn wenn es eine Umgebung von <math>x \in U_o = f^{-1}(\widehat{U})</math> existiert, die ganz in <math> U_o</math> liegt, wäre <math>x_o \in U_o</math> ein innerer Punkt und kein Randpunkt von <math>U_o</math>. Nun konstruiert man ein Netz, das gegen <math>x_o</math> konvergiert, dessen Bildnetz aber nicht gegen <math>f(x_o)</math> konvergieren kann. ==== Beweisschritt (S1.3) ==== Als Indexmenge des Netzes verwendet man <math>I:= \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_X}(x_o)</math> mit der partiellen Ordnung: :<math>U_1 \succcurlyeq U_2 :\Longleftrightarrow U_1 \subseteq U_2</math>. Für jede Umgebung <math>U_1 \in I</math> wählen wir <math>x_{U_1} \in (U_o^c \cap U_1)</math>. Dabei geht ein, dass jede Umgebung um einen Randpunkt einer Menge, Element aus dem Komplement <math>U_o^c := X\setminus U_o </math> der Menge enthält für jedes <math>U_1 \in I </math> existiert ein <math>x_{U_1} \in X </math>. ==== Beweisschritt (S1.4) ==== Wegen <math>x_{U_1} \in U_1 </math> konvergiert das Netz <math>(x_{_{U_1}})_{U_1\in I} </math> gegen <math>x_o</math>. Wegen <math>x_{_{U_1}} \in U_o^c </math> gilt, <math>f(x_{_{U_1}}) \notin \widehat{U} \subset Y </math>. Damit konvergiert das Bildnetz <math>\left( f(x_{_{U_1}}) \right)_{U_1\in I} </math> nicht gegen <math>f(x_o)\in Y </math>, weil <math>f(x_o) \in \widehat{U} \in \mathcal{T}_Y</math> ist und damit ist auch <math>\widehat{U} \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_o))</math> eine Umgebung von <math>f(x_o)</math>. ==== Beweisschritt (S1.5) ==== Bei einer Konvergenz von <math>\left( f(x_{_{U_1}}) \right)_{U_1\in I} </math> gegen <math>f(x_o)</math> muss aber auch für <math>\widehat{U}</math> eine Indexschranke <math>U_2\in I</math> des Netzes geben, aber der für <math>U_1\succcurlyeq U_2</math> alle Elemente <math>f(x_{_{U_1}})</math> des Netzes auch in <math>\widehat{U}</math> liegen. Damit ist <math>f</math> nicht stetig in <math>x_o</math>, was ein Widerspruch zur Annahme war. === Beweisrichtung (S2) === Seien nun Urbilder offener Mengen unter <math>f:X\to Y</math> wieder offen. Es gilt also: * <math> U_\delta := f^{-1}(U_\varepsilon) \in \mathcal{T}_X</math> für alle <math> U_\varepsilon \in \mathcal{T}_Y</math> Ferner sei <math>x_o\in X</math> beliebig gewählt und das Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> sei so gewählt, das es gegen <math>x_o\in X</math> konvergiert. Zu zeigen ist nun, dass das Bildnetz <math>(f(x_i))_{i\in I}</math> in <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> gegen <math>f(x_o)\in Y</math> konvergiert. === Beweisschritt (S2.1) === Wähle nun eine beliebige offene Menge <math>U\varepsilon \in \stackrel{\circ}{\mathfrak{U}}_{\mathcal{T}_Y}(f(x_0)) </math>. Man muss nun eine Indexschranke <math>i_\epsilon</math> finden, ab der für alle <math>i \succcurlyeq i_\varepsilon </math> gilt, dass <math> f(x_i)\in U_\varepsilon </math>. === Beweisschritt (S2.2) === Da Urbilder offener Menge offen sind, gilt: :<math> x_o \in U_{\delta} := f^{-1}( U_{\varepsilon} ) \in {\stackrel{\circ}{\mathfrak{U}}}_{\mathcal{T}_X}(x_o) , </math> === Beweisschritt (S2.3) === Da das Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> nach Vorraussetzung so gewählt war, das es gegen <math>x_o\in X</math> konvergiert, gibt es eine Indexschranke <math>i_\delta \in I</math>, ab der für <math>i\succcurlyeq i_\delta</math>, dass <math>x_i \in U_\delta</math>. Wähle dann das gesuchte <math>i_\varepsilon := i_\delta</math>, denn dann erhält man: :<math> f(x_i) \in f(U_\delta) = f(f^{-1}(U_\varepsilon)) = U_\varepsilon </math> q.e.d. === Bemerkung === Da eine Topologie über Menge definiert wird, sind mengentheoretische Formulierung für die Stetigkeit in Regel für die Beweisführung besser geeignet als Netze. Einen ähnlichen Ansatz geht man mit Filtern, die ebenfalls als Mengensystem formuliert sind und die Konvergenz von Filter über die Teilmengenbeziehung zur Menge der Umgebungen von <math>x_o</math> formuliert wird - d.h. dass ein Filter konvergiert, wenn dieser feiner als der Umgebungsfilter ist. === Beweisalternative für Beweisrichtung S2 === In der Beweisalternative verwendet man die Negation der Aussage (S2) und führt diese zum Widerspruch. Die Negation von (S2) lautet: <math>\neg (S2)</math> <math>f</math> stetig ist nicht in jedem Punkt <math>x_o \in X</math> und die Urbilder offener Mengen wieder offen. ==== Beweisschritt (S2.1) - Alternative ==== Wenn <math> f</math> in <math>x_o \in X</math> nicht stetig ist, gibt es ein Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math>, das gegen <math>x_o\in X</math> konvergiert und eine Umgebung <math>U_\varepsilon</math> von <math>f(x_o)\in Y</math>, wobei für jeden Index <math>i \in I </math> ein weiterer Index <math>k(i)\succcurlyeq i</math>) exisitiert, für den <math>f(x_{k(i)})</math> nicht in <math>U_\varepsilon</math> liegt (d.h. <math> f(x_{k(i)}) \notin U_{\varepsilon}</math>). ==== Beweisschritt (S2.2) - Alternative ==== Da Urbilder von offenen Menge <math>U \in </math> wieder offen in <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> sind, gilt u.a. :<math> U_\delta := f^{-1}(U_\varepsilon) \in \mathcal{T}_X</math> Weil <math>f(x_o) \in U_\varepsilon</math> gilt, erhält man auch <math>x_o\in U_\delta</math>. Damit ist <math>U_{\delta} </math> auch eine Umgebung von <math> x_o\in X </math>. ==== Beweisschritt (S2.3) - Alternative ==== Da das Netz <math>(x_i)_{i\in I}</math> gegen <math>x_o\in X</math> konvergiert, gibt es zu <math> U_\delta </math> eine Indexschranke <math> i_\delta \in I</math>, ab der mit <math>i \succ i_\delta</math> dann <math>x_i \in U_\delta</math> gilt. Damit gilt aber auch, dass :<math> f(x_i) \in f(U_{\delta}) = U_{\varepsilon} , </math> was ein Widerspruch zu Annahme war, dass für eine jeden Index <math>i\in I</math> ein größerer Index <math>k(i) \in I</math> existiert, für den <math>f(x_{k(i)})\notin U_\varepsilon</math> liegt. == Aufgabe == Sei <math>\mathcal{T}_{\mathbb{R}}</math> die durch den Betrag <math>|\cdot |</math> auf <math>X:=\mathbb{R}</math> definierten euklidischen Topologie. Ferner sei <math>\mathcal{T}_0:=\{\empty, \mathbb{R}\}</math> die chaotische Topologie auf <math> X:=Y:=\mathbb{R}</math> und <math>\mathcal{T}_1</math> die diskrete Topologie, bei der jede Teilmenge von <math>X</math> offen ist. Wir betrachten nun die Identität <math>f:X\to Y</math> mit <math>f(x)=x</math> für alle <math>x\in \mathbb{R}</math>. Obwolh <math> X=Y=\mathbb{R}</math> gilt, versehen wir den Definitionsbereich mit unterschiedlichen Topologien. Überprüfen Sie, ob die Abbildung stetig ist oder nicht. * Ist die Abbildung mit <math>(X,\mathcal{T}_1) </math> und <math>(Y,\mathcal{T}_\mathbb{R}) </math> stetig? * Ist die Abbildung mit <math>(X,\mathcal{T}_\mathbb{R}) </math> und <math>(Y,\mathcal{T}_1) </math> stetig? * Ist die Abbildung mit <math>(X,\mathcal{T}_0) </math> und <math>(Y,\mathcal{T}_1) </math> stetig? * Ist die Abbildung mit <math>(X,\mathcal{T}_1) </math> und <math>(Y,\mathcal{T}_0) </math> stetig? == Siehe auch == * [[Hausdorff-Raum]] * [[Netze (Mathematik)|Netzen und Konvergenz]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[topologischer Vektorraum]] * [[Umgebungsbasis (Topologie)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jblll9ew48ym33oq0384vxwe385duej 106 160377 1079311 1079124 2026-05-15T09:19:30Z Bocardodarapti 2041 1079311 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/5 und 8/1/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe|p||| |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} hzpbu00qa7o1pjmmwppsbhg4o2cibl3 1079317 1079311 2026-05-15T09:23:21Z Bocardodarapti 2041 1079317 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/5 und 8/1/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |Metallstäbe/Länge/Darstellung/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe|p||| |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Teileranzahl/Ungerade/Quadratzahl/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |KgV/116901 und 138689/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= 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}} {{ inputaufgabekommentar |Gruppenhomomorphismen/Q nach Z/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismen/K nach Z/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Betrag/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppenhomomorphismen/Q Einheiten nach Z/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Z und Z mod d/Teilmenge kein Homomorphismus/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren. {{:Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition}} Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus {{math|term= 0 |SZ=}} besteht. {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Bild ist Untergruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Addiere/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teildrehungen/Addiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene/Gerade/Parallel/Addiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassengruppen (Z)/Faktorisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppen/Homomorphiesatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z/Modulo 4/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionales Gitter/(0,2) und (3,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionales Gitter/(0,2) und (3,1)/Ordnungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z/Ideale und Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q/Z Untergruppe, kein Ideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Operationstafeln/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Berechnung/12! mod 143/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenring(Z)/Kleiner Fermat/Induktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenkörper/Z mod 97/Inverses Element zu 44/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenkörper/Z mod 139/Inverses Element zu 57/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Streckungsmatrizen/Körper/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gleichung/3x ist 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/1/Aufgabe||optlink1=/link2 |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 13/6X^4+2X^3+4X^2+2X+5/5X^2+3X+2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Matrix 3 4 1 2/Bijektiv für Q, nicht für Z/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Addiere/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (2,2)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/13/Operationstafeln/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/3/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} svoahy4yskim4o7yxfddjk6ljyof10i 1079337 1079335 2026-05-15T09:53:51Z Bocardodarapti 2041 1079337 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|12| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z nach Z/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppe/Potenzieren ist Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Z nach K/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppenhomomorphismen/Q nach Z/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismen/K nach Z/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Betrag/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Gruppenhomomorphismen/Q Einheiten nach Z/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Z und Z mod d/Teilmenge kein Homomorphismus/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren. {{:Gruppenhomomorphismus/Kern/Definition}} Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus {{math|term= 0 |SZ=}} besteht. {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Bild ist Untergruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Addiere/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teildrehungen/Addiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene/Gerade/Parallel/Addiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassengruppen (Z)/Faktorisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Gruppen/Homomorphiesatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z/Modulo 4/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionales Gitter/(0,2) und (3,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Z/Ideale und Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q/Z Untergruppe, kein Ideal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Genau zwei Ideale/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Operationstafeln/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahlen/Abstand 10/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Berechnung/12! mod 143/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenring(Z)/Kleiner Fermat/Induktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenkörper/Z mod 97/Inverses Element zu 44/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenkörper/Z mod 139/Inverses Element zu 57/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Streckungsmatrizen/Körper/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Gleichung/3x ist 5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/1/Aufgabe||optlink1=/link2 |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 13/6X^4+2X^3+4X^2+2X+5/5X^2+3X+2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Gruppenhomomorphismus/Matrix 3 4 1 2/Bijektiv für Q, nicht für Z/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Q mod Z/Addiere/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (2,2)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/13/Operationstafeln/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Eine Variable/Z mod 7/Polynomdivision X^4+5X^2+3 durch 2X^2+X+6/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/3/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} qkr5jhu4j6w3enrrrfz8nxytqgdm194 106 170071 1079298 1077060 2026-05-15T09:08:15Z Bocardodarapti 2041 1079298 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe|p||| |Rekursives Dreieck/Geometrisches Mittel/256/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Fingernägel/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schnick Schnack Schnuck/Gerichteter Graph/Aufgabe|p||| |Dating/Personen und Eigenschaften/Allrelation/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Konstruktion/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pbwr1oqfdu3ywuf42951f017ra2cswh 106 170072 1079301 1076666 2026-05-15T09:10:14Z Bocardodarapti 2041 1079301 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe|p||| |Cocktailmixer/Anzahl/Aufgabe|p||| |Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Zug/Schiffe/Begegnungen/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Relation/Teilmengenbeziehung/2 Elemente/Aufgabe|p||| |Verband/Ordnungstheoretisch/Assoziativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ov9krkyc5vbj06f97bh5024r6n5uq5b 106 170073 1079303 1076661 2026-05-15T09:11:05Z Bocardodarapti 2041 1079303 wikitext text/x-wiki {{ Klausur14 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/1. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Absetzmulde/Austausch/Anzahl/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Potenzmenge/Keine surjektive Abbildung darauf/Aufgabe|p||| |Professor/Socken und Schuhe/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildungsmonoid/0,1/Verknüpfungstabelle und Untermonoide/Aufgabe|p||| |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Eissorten/Auswahl/Lucy/Aufgabe|p||| |Fakultät/Teilt gleichlanges Produkt/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe|p||| |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5lp8w5n6g4b9mjbgmbciju74n3f9pqf 106 170118 1079299 1077176 2026-05-15T09:09:37Z Bocardodarapti 2041 1079299 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. 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Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} sxeokgqozr659kuh90oap8xz8zm0gwe 1079305 1079302 2026-05-15T09:12:01Z Bocardodarapti 2041 1079305 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9bu3amd222fxv2tdt70gp0mvp05tlm2 1079307 1079305 2026-05-15T09:16:35Z Bocardodarapti 2041 1079307 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 3ogjk306fua32slbya1mkguqnqgcrdw 1079320 1079307 2026-05-15T09:25:57Z Bocardodarapti 2041 1079320 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 42au65iso4uwkrjo4q7emyf1iedhk7i 1079330 1079320 2026-05-15T09:33:37Z Bocardodarapti 2041 1079330 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 93/Inverses Element zu 55/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9r4rag4dwcdxove6pbjptmngdxaxhsl 106 170179 1079291 1079038 2026-05-15T06:45:45Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung des Doppelintegrals */ 1079291 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 2+i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt qudratisch vom Radius und vom Mittelpunkt ab. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7em3bne2884z3cz7lmdpw9ohbr2j6c5 1079292 1079291 2026-05-15T07:03:52Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung des Doppelintegrals */ 1079292 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 2+i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt qudratisch vom Radius und vom Mittelpunkt ab. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r08ps33olwtz6t7afiwhzezh0roow2j 1079293 1079292 2026-05-15T07:04:27Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung des Doppelintegrals */ 1079293 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 2+i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 6 \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt qudratisch vom Radius und vom Mittelpunkt ab. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ksyfcztgagc0ndbjtl4pzrshmpxntof 1079334 1079293 2026-05-15T09:37:25Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung des Doppelintegrals */ 1079334 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den Extremalpunkten der Fläche festgelegt ist. Die Extremal eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 2+i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = (2+i)\cdot 6 \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt qudratisch vom Radius und vom Mittelpunkt ab. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das Flächenintegral mit der zugehörigen orientierten Fläche. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b4eu042yaemwu9nrxz56xpy2g9khh49 0 170282 1079294 1079243 2026-05-15T08:10:28Z Bocardodarapti 2041 1079294 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichung für t/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} [[/Gleichungen]] [[/Matrixbeziehungen]] [[/Syzygienmodul]] [[Affiner Raum/Knotenkurve/Syzygienmodul/Erste Komponente]] [[/Syzygienmodul/Direkter Summand]] {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichungen/Ableitungen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Zwei Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Fläche/xz + y(z+1)/Eigenschaften/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 2r3fxu993aevth3851nr2zn8bl1ln92 0 170325 1079296 1079252 2026-05-15T08:49:04Z Bocardodarapti 2041 1079296 wikitext text/x-wiki Der Syzygienmodul zu I,II,III wird insgesamt von den Vielfachen dieser sechs Erzeuger erzeugt, da dies lokal gilt. Für die erste Komponente gilt daher {{ Math/display|term= {{makl| x^2-1 |}}^2, II=v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} , III=w^2 -{{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2-v -3 |}} |SZ=. }} Dabei kann man III direkt durch {{ Relationskette/display | A || w^2 -{{makl| x^2-1 |}} xw || || || |SZ= }} ersetzen. Man kann {{ Relationskette/display | II || v w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v -2 |}} || v w - {{makl| x^2-1 |}}^2 x + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 |}} || || |SZ= }} schreiben, also II durch {{ Relationskette/display | B || v w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} || || || |SZ= }} ersetzen. Durch Multiplikation mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} sieht man, dass auch {{ Math/display|term= w^2 {{makl| x^2-1 |}} ,\, vw {{makl| x^2-1 |}} |SZ= }} drin ist. Multiplikation der obigen Gleichung {{math|term= A |SZ=}} mit {{math|term= v |SZ=}} zeigt, dass auch {{math|term= vw^2 |SZ=}} drin ist. Wegen {{ Relationskette/display | (v+1) A +w B || (v+1) w^2 +vw^2 || w^2 +2vw^2 || || |SZ= }} ist auch {{math|term= w^2 |SZ=}} drin. Daher ist auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}}xw |SZ=}} drin. Wir schreiben {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 || x^4 -2x^2+1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | x^4 || 2x^2-1 || || || |SZ=. }} Dann ist modulo dieser Gleichung {{ Relationskette/display | x {{makl| x^2 -1|}}xw || {{makl| x^2 -1|}}x^2 w || {{makl| x^4 -x^2|}} w || {{makl| x^2 -1|}} w || |SZ=, }} d.h. auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}} w |SZ=}} ist drin. Dieses Ideal kann man also durch die Erzeuger {{ Math/display|term= {{makl| x^2 -1|}}^2, {{makl| x^2 -1|}} w, w^2, v w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} |SZ= }} ersetzen. Die letzte Gleichung kann man als {{ Relationskette/display | w || - {{op:Bruch|{{makl| x^2-1 |}} x {{makl| v +1 }} |v}} || || || |SZ= }} bzw. als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}} || - {{op:Bruch|v|x (v+1)}} w || || || |SZ= }} schreiben. Wenn {{math|term= v |SZ=}} eine Einheit ist, so erzeugt lokal {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}}^2 |SZ=}} auch {{mathl|term= {{makl| x^2 -1|}} w |SZ=.}} Es ist ja {{ Zusatz/Klammer |text=Multiplikation mit {{mathl|term= x^2-1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -1|}} w || - {{op:Bruch|{{makl| x^2-1 |}}^2 x {{makl| v +1 }} |v}} || || || |SZ=. }} Ebenso ist {{ Zusatz/Klammer |text=Multiplikation mit {{mathl|term= w |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | w^2 || - {{op:Bruch|{{makl| x^2-1 |}} w x {{makl| v +1 }} |v}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| v +1 }}^2 |v^2}} || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= v+1 |SZ=}} und {{math|term= x |SZ=}} eine Einheit ist, so erzeugt lokal {{math|term= w^2 |SZ=}} ebensfalls den gemischten Term. Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist direkt {{math|term= x^2-1 |SZ=}} ein Erzeuger. Wir betrachten die Sache auf {{math|term= D(x+1) |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | \tilde{w} || w/(x+1) || || || |SZ=. }} Es ist dann {{ Relationskette/display | v \tilde{w} || (x-1)x (v+1) || || || |SZ= }} und die anderen Erzeuger kann man durch {{math|term= \tilde{w}^2 |SZ=}} und {{mathl|term= (x-1)^2 |SZ=}} ersetzen. Der Vorfaktor ist {{ Relationskette/display | {{makl| x-1 |}} x || x^2-x || {{makl| x-1 |}}^2 +x-1 || || |SZ= }} und daher kann man die erste Gleichung durch {{ Math/display|term= v \tilde{w}- (x-1) (v+1) |SZ= }} ersetzen. 4g92sy6r6lphcywhxi0iqmu9spjq72j 0 170336 1079295 2026-05-15T08:34:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079295 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Relationskette/display | xz +y(z+1) || 0 || || || |SZ= }} gegebene affine Fläche über einem Körper {{math|term= K |SZ=.}} Sie ist glatt. Modulo {{math|term= z |SZ=}} ergibt sich {{mathl|term= K[x] |SZ=,}} d.h. {{math|term= z |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Kontext=| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |SZ= }} an {{math|term= z |SZ=}} erlaubt es, nach {{math|term= x |SZ=}} aufzulösen. Daher ist der Ring {{math/display|term= K[x,y,z,]/ {{makl| xz +y(z+1) |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|x|z+1}} ||- {{op:Bruch|y|z}} || |SZ=, }} und zwar ist {{ Relationskette/display | t || {{makl| z+1 |}} t -z t || x+y || || |SZ=. }} Daher ist das Ideal {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} ein Hauptideal, es wird von {{mathl|term= x+y |SZ=}} erzeugt. Konkret ist {{ Relationskette/display | {{makl| z+1 |}} {{makl| x+y |}} || {{makl| z+1 |}} x + {{makl| z+1 |}} y || {{makl| z+1 |}} x -zx || x || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | z {{makl| x+y |}} || z x + z y || - {{makl| z+1 |}} y + zy || -y || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hyperflächen in drei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bb8l01sdpy5fra22aqkl5p7u6av5eu5 3 170337 1079309 2026-05-15T09:17:34Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1079309 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Lisa Haaf}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:17, 15. Mai 2026 (CEST) azsvu3t3gxz4rni1mj80i9ka8yjxdiy 0 170338 1079310 2026-05-15T09:18:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079310 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,0,+) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette |H | \subseteq | G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= \sim_H|SZ=}} die durch {{math|term= H |SZ=}} auf {{math|term= G |SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dies eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} ist, und dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= 0 |SZ=}} gerade {{math|term= H |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} epzsszo8zftp34mhvw4l651n0ui57od 0 170339 1079312 2026-05-15T09:20:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079312 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} f7u3459xej84trp8z2dhxfqtuid6sl9 106 170340 1079313 2026-05-15T09:20:28Z Patrick Rutz 41567 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079313 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== in diesem Projekt [[Gradientenabstiegverfahren]] km6lwo0k1gtci7laec7tbki3mpj0o55 1079315 1079313 2026-05-15T09:20:49Z Patrick Rutz 41567 /* Einleitung */ 1079315 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== in diesem Projekt [[Gradientenabstiegsverfahren]] 97a257bcja7fcd6q6gxlounskpe6vxy 1079318 1079315 2026-05-15T09:24:25Z Patrick Rutz 41567 1079318 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== in diesem Projekt [[Gradientenabstiegsverfahren]] == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ... == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] juergbsuak965i13gz7udkcozrt1qbl 1079321 1079318 2026-05-15T09:29:14Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung */ 1079321 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== in diesem Projekt [[Gradientenabstiegsverfahren]] == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ... == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 28fdmxeaai3dy5o09jnp8vwlh84nbas 1079329 1079321 2026-05-15T09:32:40Z Patrick Rutz 41567 /* Einleitung */ 1079329 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== in diesem Projekt wird sich mit dem Thema einer Modellbildung zum Thema Schadstoffbelastung einer Statt befasst. Hierfür wird das Modell über 3 Stufen erstellt: Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Uni Niveau. [[Gradientenabstiegsverfahren]] == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ... == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ghhwbt79l2btbzt07zoucmdcb7b9uw2 1079332 1079329 2026-05-15T09:34:35Z Patrick Rutz 41567 /* Einleitung */ 1079332 wikitext text/x-wiki ==Einleitung== in diesem Projekt wird sich mit dem Thema einer Modellbildung zum Thema Schadstoffbelastung einer Statt befasst. Hierfür wird das Modell über 3 Stufen erstellt: Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Uni Niveau. [[Datei:Https://commons.wikimedia.org/wiki/File:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|Zugvögel am See]] [[Gradientenabstiegsverfahren]] == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' in der Wikiversity hat das Ziel, ... == Modellierungszyklen == * [[/Sekundarstufe 1/]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0qtj48ot1irrw3n83lzoj0dkpq0ooi8 3 170341 1079314 2026-05-15T09:20:44Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1079314 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Felix Bohl}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 11:20, 15. Mai 2026 (CEST) 9gwtkk9sxsulkvc3gevb08lknvi3v1v 106 170342 1079319 2026-05-15T09:24:42Z Nils Huck 41520 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079319 wikitext text/x-wiki === Windkraftanlagen=== == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen“'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen%E2%80%9C&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen%E2%80%9C&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. 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Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt: * (1) * (2) * (3) == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, ... == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' ist Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] a1wtrzert2uetcbkt5uwj13tctgpnin 1079331 1079328 2026-05-15T09:34:19Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1079331 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Diese Seite zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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