Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.6 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1093938 1093873 2026-06-12T14:05:28Z Bocardodarapti 2041 /* 2FA */ 1093938 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) :::::::Gut! [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:05, 12. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) bmgrp2w1p9t5hic4yblqeti2c4itbqk 0 11921 1094011 1088786 2026-06-13T11:13:29Z Bocardodarapti 2041 1094011 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette |D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratfreie Zahl| |Refname= |SZ= }} und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es für eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} die folgenden drei Möglichkeiten: {{Aufzählung3 |{{math|term= p |SZ=}} ist prim in {{math|term= A_D |SZ=.}} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= A_D |SZ=}} derart, dass {{ Relationskette | (p) || {{idealp|}}^2 || || || |SZ= }} ist. |Es gibt ein Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= A_D |SZ=}} derart, dass {{ Relationskette | (p) || {{idealp|}} \overline{ {{idealp|}} } || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{idealp|}} |\neq| \overline{ {{idealp|}} } || || || || |SZ= }} ist. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zerlegungsverhalten |Faktname= |Abfrage=Primzahlen aus {{math|term= \Z|SZ=}} in quadratischen Zahlbereichen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o1pfpxrrjjj2tz2wvxt9u0p56az747p 10 46136 1093991 268833 2026-06-13T10:08:26Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Vorlage:Faktlink-]] nach [[Vorlage:Faktlink/-]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 268833 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Ausgeschaltete Variante.}}</noinclude><includeonly> </includeonly> d2gu9lqxn7n92wv1a1lponxc4os2zx0 0 47626 1093992 904171 2026-06-13T10:08:45Z Bocardodarapti 2041 1093992 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{:Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt/Beweis |opt=Text |z=x |opt1=/- |zusatz1= {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt |Nr= |SZ= }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0tlopao7lk7hiv327mrbiwxs6ohskar 0 47631 1093993 1048521 2026-06-13T10:09:01Z Bocardodarapti 2041 1093993 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{:Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis |opt=Text |z=x |opt1=/- |zusatz1= {{ Faktlink |Präwort=|Kreisgleichung|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} |opt2=- |zusatz2= {{ Faktlink |Präwort=|Additionstheoremen|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdmi0dlqbp7o1dsde5nlz4rz2ekos65 1093995 1093993 2026-06-13T10:09:48Z Bocardodarapti 2041 1093995 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{:Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis |opt=Text |z=x |opt1=/- |zusatz1= {{ Faktlink |Präwort=|Kreisgleichung|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} |opt2=/- |zusatz2= {{ Faktlink |Präwort=|Additionstheoremen|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84gpa7c8d1pldqn4q0mn1htjezbuh6t 2 61579 1093941 1004557 2026-06-13T01:14:03Z Ralf Roletschek 2938 /* Privates */ 1093941 wikitext text/x-wiki __INDIZIEREN__ __NOTOC__ <div style="float:right; width: 240px;"> {{User de}} {{User es-2}} {{User ru-2}} {{User cs-1}} {{User ca-1}} {{User en-0}} {{Absatz}} <div style="border:3px solid red; padding:12px; background-color:#fee89b; ">[[File:No Facebook.svg|200px]] Falls mich jemand in sozialen Netzwerken sucht bzw. vermutet, so wird diese Suche nicht erfolgreich sein. Es existieren vereinzelt Accounts, dies allerdings nur, um einem Mißbrauch meines Namens auszuschließen. In bin in keinem sogenannten "sozialen Netzwerk" und werde in solchen auch in Zukunft nicht zu finden sein. Eine Kontaktaufnahme über derartige Netzwerke ist zwecklos, sämtliche derartigen Mails werden von mir ungelesen gelöscht.</div> </div> * https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Hochladen ==Privates== ; Ausbildung * gelernter Tischler / Zimmermann / Sägewerker (Beruf mit Abitur, von allem etwas, nichts richtig) * Fotografenausbildung bei [[:w:Günter Rinnhofer|Günter Rinnhofer]] * Studium Bauingenieurwesen (Tiefbau); Dipl.- Ing (FH) * Ausbildungsbefähigung für Zweiradmonteure * Lehrbeauftragter an verschiedenen Hochschulen ;Ingenieurschule für Bauwesen Berlin * Vorlesungen im Zusatzstudium: * Chemischer Holzschutz * Bestimmung von Holzarten * Plastebestimmung ;Hochschule Anhalt * Internetrecht; europäische Bildrechte; Urheberrecht * Internet- Marketing für mittelständische Unternehmen * Barrierefreiheit von Internetseiten * CAD - Grundlagen Vektorgrafik ;Hochschule Hof * Photoshop * Beautyretusche * Internetrecht; internationale Bildrechte ;HNE Eberswalde * Homepagegestaltung mit HTML und CSS * Suchmaschinenoptimierung * Bildrechte ;Uni Graz *diverses (Bildrechte) ==Kurse== ; Wikimania: * 2012 Washington: [[Wikipedianer unter Profis]] * 2013 Hongkong: [[Gute Fotos mit billigen Kameras]] (Liste von QI auf Commons, die mit Kompaktkameras gemacht wurden) * 2014 London: [[:en:User:Ralf Roletschek/How to take good photos with a cheap camera]] * 2015 Mexico: [[Grundlagen Fotografie]] * 2018 Reykjavik: [[Adobe Lightroom]] * 2018 Wien: [[Adobe Lightroom]] ; Vermischtes * [[WikiLibrary Barcamp Dresden 2016]] * [[Fotos in Israel und Palästina]] * [[Arbeit mit Model]] * [[Focus stacking]] * [[Mediawiki Extension User Merge]] *[[Beautyretusche]] * [[Schminken für Porträtfotos]] * [[mysteriöse Fotowerkstatt]] *[[Kurs:Photoshop Einzellösungen]] ** [[Kurs:Bildbearbeitung mit Photoshop]] *[[Kurs:Farbe ersetzen]] *[[Kurs:Rekonstruktion Gebäude]] * [[Kurs:Skillshare Urheberrecht]] * [[Internetsicherheit]] * [[Grünen Hintergrund freistellen]] * [[Nachnutzung von fremden Bildern]] * [[Luftbilder]] * [[Reports of the Cambridge Anthropological Expedition to Torres Straits]] * [[Grenzen der Panoramafreiheit]] - Einzelbeispiel Schautafel an der Berliner Mauer * [[Benutzer:Ralf Roletschek/WLE 2016]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/Admincon2023]] * [[Kurs:Fotos für Panoramabilder herstellen]] ; Hochschule Hof *[[Hof 2011]] *[[Ich und mein Hof]] ; Hochschule Anhalt *[[Checkliste Homepagepflege]] *[[Kurs:Barrierefreiheit von Internetseiten]] *[[Kurs:Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] *[[Kurs:Grundlagen CAD]] * [[Suchmaschinenoptimierung (SEO)]] * [[Web 2.0 und Barrierefreiheit]] ; Berufliche Schule Angermünde *[[Manga aus Porträt]] *[[Fahrschule B2]] * [[Verkehr in Mexico]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet/unsere Projekte]] *[[Kurs:XING-Urheberrecht im Internet]] *[[Bildrechte im Internet]] *[[Kurs:Stammtisch Graz/Drohnenflug]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/aaa]] ==IHK Ostbrandenburg== * [[Bildrechte im Internet]] * [[Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] ==Uni Graz== * [[Bildrechte im Internet]] ==Orga- Kram== *<s> [[Wikiversity:MediaWiki verwalten|MediaWiki verwalten]]</s> veraltet, wird extern gepflegt, kann weg *[[MediaWiki:Licenses]] *[[MediaWiki:Uploadtext]] *[[Spezial:MediaWiki-Systemnachrichten]] *[[:Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder]] * [[Wikiversity:Liste der Vorlagen]] *[[:Kategorie:BLU]] *[[Spezial:Linkliste/Vorlage:Bildzitat|Bildzitate]] muß gepflegt werden *[[Benutzer:Ralf_Roletschek/Spickzettel]] *[[Verhüllter Reichstag]] *[[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]] ==WV-Bilder auf Commons== *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/en|englisch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/de|deutsch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/layout|Layout]] *[[Commons:Template:Autotranslate|Übersetzungen]] == Weblinks == * [http://www.inf.hs-anhalt.de/ Fakultät Informatik an der Hochschule Anhalt] * [http://www.inf.hs-anhalt.de/~roletschek/ R. Roletschek an der HS Anhalt] 9tnxa5er153t047170v9me2b89jdxu0 1093942 1093941 2026-06-13T01:19:48Z Ralf Roletschek 2938 /* Privates */ 1093942 wikitext text/x-wiki __INDIZIEREN__ __NOTOC__ <div style="float:right; width: 240px;"> {{User de}} {{User es-2}} {{User ru-2}} {{User cs-1}} {{User ca-1}} {{User en-0}} {{Absatz}} <div style="border:3px solid red; padding:12px; background-color:#fee89b; ">[[File:No Facebook.svg|200px]] Falls mich jemand in sozialen Netzwerken sucht bzw. vermutet, so wird diese Suche nicht erfolgreich sein. Es existieren vereinzelt Accounts, dies allerdings nur, um einem Mißbrauch meines Namens auszuschließen. In bin in keinem sogenannten "sozialen Netzwerk" und werde in solchen auch in Zukunft nicht zu finden sein. Eine Kontaktaufnahme über derartige Netzwerke ist zwecklos, sämtliche derartigen Mails werden von mir ungelesen gelöscht.</div> </div> * https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Hochladen ==Privates== ; Ausbildung * gelernter Tischler / Zimmermann / Sägewerker (Beruf mit Abitur, von allem etwas, nichts richtig) * Fotografenausbildung bei [[:w:Günter Rinnhofer|Günter Rinnhofer]] * Studium Bauingenieurwesen (Tiefbau); Dipl.- Ing (FH) * Ausbildungsbefähigung für Zweiradmonteure * Lehrbeauftragter an verschiedenen Hochschulen ;Ingenieurschule für Bauwesen Berlin * Vorlesungen im Zusatzstudium: * Chemischer Holzschutz * Bestimmung von Holzarten * Plastebestimmung ;Hochschule Anhalt * Internetrecht; europäische Bildrechte; Urheberrecht * Internet- Marketing für mittelständische Unternehmen * Barrierefreiheit von Internetseiten * CAD - Grundlagen Vektorgrafik ;Hochschule Hof * Photoshop * Beautyretusche * Internetrecht; internationale Bildrechte ;HNE Eberswalde * Homepagegestaltung mit HTML und CSS * Suchmaschinenoptimierung * Bildrechte ;ETH Zürich * Bildrechte * Statik für Architekten ;Uni Graz *diverses (Bildrechte) ==Kurse== ; Wikimania: * 2012 Washington: [[Wikipedianer unter Profis]] * 2013 Hongkong: [[Gute Fotos mit billigen Kameras]] (Liste von QI auf Commons, die mit Kompaktkameras gemacht wurden) * 2014 London: [[:en:User:Ralf Roletschek/How to take good photos with a cheap camera]] * 2015 Mexico: [[Grundlagen Fotografie]] * 2018 Reykjavik: [[Adobe Lightroom]] * 2018 Wien: [[Adobe Lightroom]] ; Vermischtes * [[WikiLibrary Barcamp Dresden 2016]] * [[Fotos in Israel und Palästina]] * [[Arbeit mit Model]] * [[Focus stacking]] * [[Mediawiki Extension User Merge]] *[[Beautyretusche]] * [[Schminken für Porträtfotos]] * [[mysteriöse Fotowerkstatt]] *[[Kurs:Photoshop Einzellösungen]] ** [[Kurs:Bildbearbeitung mit Photoshop]] *[[Kurs:Farbe ersetzen]] *[[Kurs:Rekonstruktion Gebäude]] * [[Kurs:Skillshare Urheberrecht]] * [[Internetsicherheit]] * [[Grünen Hintergrund freistellen]] * [[Nachnutzung von fremden Bildern]] * [[Luftbilder]] * [[Reports of the Cambridge Anthropological Expedition to Torres Straits]] * [[Grenzen der Panoramafreiheit]] - Einzelbeispiel Schautafel an der Berliner Mauer * [[Benutzer:Ralf Roletschek/WLE 2016]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/Admincon2023]] * [[Kurs:Fotos für Panoramabilder herstellen]] ; Hochschule Hof *[[Hof 2011]] *[[Ich und mein Hof]] ; Hochschule Anhalt *[[Checkliste Homepagepflege]] *[[Kurs:Barrierefreiheit von Internetseiten]] *[[Kurs:Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] *[[Kurs:Grundlagen CAD]] * [[Suchmaschinenoptimierung (SEO)]] * [[Web 2.0 und Barrierefreiheit]] ; Berufliche Schule Angermünde *[[Manga aus Porträt]] *[[Fahrschule B2]] * [[Verkehr in Mexico]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet/unsere Projekte]] *[[Kurs:XING-Urheberrecht im Internet]] *[[Bildrechte im Internet]] *[[Kurs:Stammtisch Graz/Drohnenflug]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/aaa]] ==IHK Ostbrandenburg== * [[Bildrechte im Internet]] * [[Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] ==Uni Graz== * [[Bildrechte im Internet]] ==Orga- Kram== *<s> [[Wikiversity:MediaWiki verwalten|MediaWiki verwalten]]</s> veraltet, wird extern gepflegt, kann weg *[[MediaWiki:Licenses]] *[[MediaWiki:Uploadtext]] *[[Spezial:MediaWiki-Systemnachrichten]] *[[:Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder]] * [[Wikiversity:Liste der Vorlagen]] *[[:Kategorie:BLU]] *[[Spezial:Linkliste/Vorlage:Bildzitat|Bildzitate]] muß gepflegt werden *[[Benutzer:Ralf_Roletschek/Spickzettel]] *[[Verhüllter Reichstag]] *[[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]] ==WV-Bilder auf Commons== *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/en|englisch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/de|deutsch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/layout|Layout]] *[[Commons:Template:Autotranslate|Übersetzungen]] == Weblinks == * [http://www.inf.hs-anhalt.de/ Fakultät Informatik an der Hochschule Anhalt] * [http://www.inf.hs-anhalt.de/~roletschek/ R. Roletschek an der HS Anhalt] 5pdfb3yqmv2n1d3cyfryzxq3h6ovhvw 1093943 1093942 2026-06-13T01:31:17Z Ralf Roletschek 2938 1093943 wikitext text/x-wiki __INDIZIEREN__ __NOTOC__ <div style="float:right; width: 240px;"> {{User de}} {{User es-3}} {{User cs-2}} {{User ru-1}} {{User uk-1}} {{User ca-1}} {{User en-0}} {{Absatz}} <div style="border:3px solid red; padding:12px; background-color:#fee89b; ">[[File:No Facebook.svg|200px]] Falls mich jemand in sozialen Netzwerken sucht bzw. vermutet, so wird diese Suche nicht erfolgreich sein. Es existieren vereinzelt Accounts, dies allerdings nur, um einem Mißbrauch meines Namens auszuschließen. In bin in keinem sogenannten "sozialen Netzwerk" und werde in solchen auch in Zukunft nicht zu finden sein. Eine Kontaktaufnahme über derartige Netzwerke ist zwecklos, sämtliche derartigen Mails werden von mir ungelesen gelöscht.</div> </div> * https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Hochladen ==Privates== ; Ausbildung * gelernter Tischler / Zimmermann / Sägewerker (Beruf mit Abitur, von allem etwas, nichts richtig) * Fotografenausbildung bei [[:w:Günter Rinnhofer|Günter Rinnhofer]] * Studium Bauingenieurwesen (Tiefbau); Dipl.- Ing (FH) * Handwersrolle Berlin als Ausbilder für Maurer * Ausbildungsbefähigung für Zweiradmonteure * Lehrbeauftragter an verschiedenen Hochschulen ;Ingenieurschule für Bauwesen Berlin * Vorlesungen im Zusatzstudium: * Chemischer Holzschutz * Bestimmung von Holzarten * Plastebestimmung ;Hochschule Anhalt * Internetrecht; europäische Bildrechte; Urheberrecht * Internet- Marketing für mittelständische Unternehmen * Barrierefreiheit von Internetseiten * CAD - Grundlagen Vektorgrafik ;Hochschule Hof * Photoshop * Beautyretusche * Internetrecht; internationale Bildrechte ;HNE Eberswalde * Homepagegestaltung mit HTML und CSS * Suchmaschinenoptimierung * Bildrechte ;ETH Zürich * Bildrechte * Statik für Architekten ;Uni Graz *diverses (Bildrechte) ==Kurse== ; Wikimania: * 2012 Washington: [[Wikipedianer unter Profis]] * 2013 Hongkong: [[Gute Fotos mit billigen Kameras]] (Liste von QI auf Commons, die mit Kompaktkameras gemacht wurden) * 2014 London: [[:en:User:Ralf Roletschek/How to take good photos with a cheap camera]] * 2015 Mexico: [[Grundlagen Fotografie]] * 2018 Reykjavik: [[Adobe Lightroom]] * 2018 Wien: [[Adobe Lightroom]] ; Vermischtes * [[WikiLibrary Barcamp Dresden 2016]] * [[Fotos in Israel und Palästina]] * [[Arbeit mit Model]] * [[Focus stacking]] * [[Mediawiki Extension User Merge]] *[[Beautyretusche]] * [[Schminken für Porträtfotos]] * [[mysteriöse Fotowerkstatt]] *[[Kurs:Photoshop Einzellösungen]] ** [[Kurs:Bildbearbeitung mit Photoshop]] *[[Kurs:Farbe ersetzen]] *[[Kurs:Rekonstruktion Gebäude]] * [[Kurs:Skillshare Urheberrecht]] * [[Internetsicherheit]] * [[Grünen Hintergrund freistellen]] * [[Nachnutzung von fremden Bildern]] * [[Luftbilder]] * [[Reports of the Cambridge Anthropological Expedition to Torres Straits]] * [[Grenzen der Panoramafreiheit]] - Einzelbeispiel Schautafel an der Berliner Mauer * [[Benutzer:Ralf Roletschek/WLE 2016]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/Admincon2023]] * [[Kurs:Fotos für Panoramabilder herstellen]] ; Hochschule Hof *[[Hof 2011]] *[[Ich und mein Hof]] ; Hochschule Anhalt *[[Checkliste Homepagepflege]] *[[Kurs:Barrierefreiheit von Internetseiten]] *[[Kurs:Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] *[[Kurs:Grundlagen CAD]] * [[Suchmaschinenoptimierung (SEO)]] * [[Web 2.0 und Barrierefreiheit]] ; Berufliche Schule Angermünde *[[Manga aus Porträt]] *[[Fahrschule B2]] * [[Verkehr in Mexico]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet/unsere Projekte]] *[[Kurs:XING-Urheberrecht im Internet]] *[[Bildrechte im Internet]] *[[Kurs:Stammtisch Graz/Drohnenflug]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/aaa]] ==IHK Ostbrandenburg== * [[Bildrechte im Internet]] * [[Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] ==Uni Graz== * [[Bildrechte im Internet]] ==Orga- Kram== *<s> [[Wikiversity:MediaWiki verwalten|MediaWiki verwalten]]</s> veraltet, wird extern gepflegt, kann weg *[[MediaWiki:Licenses]] *[[MediaWiki:Uploadtext]] *[[Spezial:MediaWiki-Systemnachrichten]] *[[:Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder]] * [[Wikiversity:Liste der Vorlagen]] *[[:Kategorie:BLU]] *[[Spezial:Linkliste/Vorlage:Bildzitat|Bildzitate]] muß gepflegt werden *[[Benutzer:Ralf_Roletschek/Spickzettel]] *[[Verhüllter Reichstag]] *[[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]] ==WV-Bilder auf Commons== *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/en|englisch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/de|deutsch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/layout|Layout]] *[[Commons:Template:Autotranslate|Übersetzungen]] == Weblinks == * [http://www.inf.hs-anhalt.de/ Fakultät Informatik an der Hochschule Anhalt] * [http://www.inf.hs-anhalt.de/~roletschek/ R. Roletschek an der HS Anhalt] jy6twt9plyngf8bbisewkt31ng9nq3j 1093944 1093943 2026-06-13T01:34:21Z Ralf Roletschek 2938 1093944 wikitext text/x-wiki __INDIZIEREN__ __NOTOC__ <div style="float:right; width: 240px;"> {{User de}} {{User es-3}} {{User cs-2}} {{User ru-1}} {{User uk-1}} {{User ca-1}} {{User pl-1}} außerdem fi-1, nah-1, may-1 {{User en-0}} {{Absatz}} <div style="border:3px solid red; padding:12px; background-color:#fee89b; ">[[File:No Facebook.svg|200px]] Falls mich jemand in sozialen Netzwerken sucht bzw. vermutet, so wird diese Suche nicht erfolgreich sein. Es existieren vereinzelt Accounts, dies allerdings nur, um einem Mißbrauch meines Namens auszuschließen. In bin in keinem sogenannten "sozialen Netzwerk" und werde in solchen auch in Zukunft nicht zu finden sein. Eine Kontaktaufnahme über derartige Netzwerke ist zwecklos, sämtliche derartigen Mails werden von mir ungelesen gelöscht.</div> </div> * https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Hochladen ==Privates== ; Ausbildung * gelernter Tischler / Zimmermann / Sägewerker (Beruf mit Abitur, von allem etwas, nichts richtig) * Fotografenausbildung bei [[:w:Günter Rinnhofer|Günter Rinnhofer]] * Studium Bauingenieurwesen (Tiefbau); Dipl.- Ing (FH) * Handwersrolle Berlin als Ausbilder für Maurer * Ausbildungsbefähigung für Zweiradmonteure * Lehrbeauftragter an verschiedenen Hochschulen ;Ingenieurschule für Bauwesen Berlin * Vorlesungen im Zusatzstudium: * Chemischer Holzschutz * Bestimmung von Holzarten * Plastebestimmung ;Hochschule Anhalt * Internetrecht; europäische Bildrechte; Urheberrecht * Internet- Marketing für mittelständische Unternehmen * Barrierefreiheit von Internetseiten * CAD - Grundlagen Vektorgrafik ;Hochschule Hof * Photoshop * Beautyretusche * Internetrecht; internationale Bildrechte ;HNE Eberswalde * Homepagegestaltung mit HTML und CSS * Suchmaschinenoptimierung * Bildrechte ;ETH Zürich * Bildrechte * Statik für Architekten ;Uni Graz *diverses (Bildrechte) ==Kurse== ; Wikimania: * 2012 Washington: [[Wikipedianer unter Profis]] * 2013 Hongkong: [[Gute Fotos mit billigen Kameras]] (Liste von QI auf Commons, die mit Kompaktkameras gemacht wurden) * 2014 London: [[:en:User:Ralf Roletschek/How to take good photos with a cheap camera]] * 2015 Mexico: [[Grundlagen Fotografie]] * 2018 Reykjavik: [[Adobe Lightroom]] * 2018 Wien: [[Adobe Lightroom]] ; Vermischtes * [[WikiLibrary Barcamp Dresden 2016]] * [[Fotos in Israel und Palästina]] * [[Arbeit mit Model]] * [[Focus stacking]] * [[Mediawiki Extension User Merge]] *[[Beautyretusche]] * [[Schminken für Porträtfotos]] * [[mysteriöse Fotowerkstatt]] *[[Kurs:Photoshop Einzellösungen]] ** [[Kurs:Bildbearbeitung mit Photoshop]] *[[Kurs:Farbe ersetzen]] *[[Kurs:Rekonstruktion Gebäude]] * [[Kurs:Skillshare Urheberrecht]] * [[Internetsicherheit]] * [[Grünen Hintergrund freistellen]] * [[Nachnutzung von fremden Bildern]] * [[Luftbilder]] * [[Reports of the Cambridge Anthropological Expedition to Torres Straits]] * [[Grenzen der Panoramafreiheit]] - Einzelbeispiel Schautafel an der Berliner Mauer * [[Benutzer:Ralf Roletschek/WLE 2016]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/Admincon2023]] * [[Kurs:Fotos für Panoramabilder herstellen]] ; Hochschule Hof *[[Hof 2011]] *[[Ich und mein Hof]] ; Hochschule Anhalt *[[Checkliste Homepagepflege]] *[[Kurs:Barrierefreiheit von Internetseiten]] *[[Kurs:Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] *[[Kurs:Grundlagen CAD]] * [[Suchmaschinenoptimierung (SEO)]] * [[Web 2.0 und Barrierefreiheit]] ; Berufliche Schule Angermünde *[[Manga aus Porträt]] *[[Fahrschule B2]] * [[Verkehr in Mexico]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet/unsere Projekte]] *[[Kurs:XING-Urheberrecht im Internet]] *[[Bildrechte im Internet]] *[[Kurs:Stammtisch Graz/Drohnenflug]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/aaa]] ==IHK Ostbrandenburg== * [[Bildrechte im Internet]] * [[Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] ==Uni Graz== * [[Bildrechte im Internet]] ==Orga- Kram== *<s> [[Wikiversity:MediaWiki verwalten|MediaWiki verwalten]]</s> veraltet, wird extern gepflegt, kann weg *[[MediaWiki:Licenses]] *[[MediaWiki:Uploadtext]] *[[Spezial:MediaWiki-Systemnachrichten]] *[[:Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder]] * [[Wikiversity:Liste der Vorlagen]] *[[:Kategorie:BLU]] *[[Spezial:Linkliste/Vorlage:Bildzitat|Bildzitate]] muß gepflegt werden *[[Benutzer:Ralf_Roletschek/Spickzettel]] *[[Verhüllter Reichstag]] *[[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]] ==WV-Bilder auf Commons== *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/en|englisch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/de|deutsch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/layout|Layout]] *[[Commons:Template:Autotranslate|Übersetzungen]] == Weblinks == * [http://www.inf.hs-anhalt.de/ Fakultät Informatik an der Hochschule Anhalt] * [http://www.inf.hs-anhalt.de/~roletschek/ R. Roletschek an der HS Anhalt] 8ek9tom0j9z3sfoc2qz8jv90uwfi25t 1093945 1093944 2026-06-13T01:36:04Z Ralf Roletschek 2938 /* Weblinks */ 1093945 wikitext text/x-wiki __INDIZIEREN__ __NOTOC__ <div style="float:right; width: 240px;"> {{User de}} {{User es-3}} {{User cs-2}} {{User ru-1}} {{User uk-1}} {{User ca-1}} {{User pl-1}} außerdem fi-1, nah-1, may-1 {{User en-0}} {{Absatz}} <div style="border:3px solid red; padding:12px; background-color:#fee89b; ">[[File:No Facebook.svg|200px]] Falls mich jemand in sozialen Netzwerken sucht bzw. vermutet, so wird diese Suche nicht erfolgreich sein. Es existieren vereinzelt Accounts, dies allerdings nur, um einem Mißbrauch meines Namens auszuschließen. In bin in keinem sogenannten "sozialen Netzwerk" und werde in solchen auch in Zukunft nicht zu finden sein. Eine Kontaktaufnahme über derartige Netzwerke ist zwecklos, sämtliche derartigen Mails werden von mir ungelesen gelöscht.</div> </div> * https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Hochladen ==Privates== ; Ausbildung * gelernter Tischler / Zimmermann / Sägewerker (Beruf mit Abitur, von allem etwas, nichts richtig) * Fotografenausbildung bei [[:w:Günter Rinnhofer|Günter Rinnhofer]] * Studium Bauingenieurwesen (Tiefbau); Dipl.- Ing (FH) * Handwersrolle Berlin als Ausbilder für Maurer * Ausbildungsbefähigung für Zweiradmonteure * Lehrbeauftragter an verschiedenen Hochschulen ;Ingenieurschule für Bauwesen Berlin * Vorlesungen im Zusatzstudium: * Chemischer Holzschutz * Bestimmung von Holzarten * Plastebestimmung ;Hochschule Anhalt * Internetrecht; europäische Bildrechte; Urheberrecht * Internet- Marketing für mittelständische Unternehmen * Barrierefreiheit von Internetseiten * CAD - Grundlagen Vektorgrafik ;Hochschule Hof * Photoshop * Beautyretusche * Internetrecht; internationale Bildrechte ;HNE Eberswalde * Homepagegestaltung mit HTML und CSS * Suchmaschinenoptimierung * Bildrechte ;ETH Zürich * Bildrechte * Statik für Architekten ;Uni Graz *diverses (Bildrechte) ==Kurse== ; Wikimania: * 2012 Washington: [[Wikipedianer unter Profis]] * 2013 Hongkong: [[Gute Fotos mit billigen Kameras]] (Liste von QI auf Commons, die mit Kompaktkameras gemacht wurden) * 2014 London: [[:en:User:Ralf Roletschek/How to take good photos with a cheap camera]] * 2015 Mexico: [[Grundlagen Fotografie]] * 2018 Reykjavik: [[Adobe Lightroom]] * 2018 Wien: [[Adobe Lightroom]] ; Vermischtes * [[WikiLibrary Barcamp Dresden 2016]] * [[Fotos in Israel und Palästina]] * [[Arbeit mit Model]] * [[Focus stacking]] * [[Mediawiki Extension User Merge]] *[[Beautyretusche]] * [[Schminken für Porträtfotos]] * [[mysteriöse Fotowerkstatt]] *[[Kurs:Photoshop Einzellösungen]] ** [[Kurs:Bildbearbeitung mit Photoshop]] *[[Kurs:Farbe ersetzen]] *[[Kurs:Rekonstruktion Gebäude]] * [[Kurs:Skillshare Urheberrecht]] * [[Internetsicherheit]] * [[Grünen Hintergrund freistellen]] * [[Nachnutzung von fremden Bildern]] * [[Luftbilder]] * [[Reports of the Cambridge Anthropological Expedition to Torres Straits]] * [[Grenzen der Panoramafreiheit]] - Einzelbeispiel Schautafel an der Berliner Mauer * [[Benutzer:Ralf Roletschek/WLE 2016]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/Admincon2023]] * [[Kurs:Fotos für Panoramabilder herstellen]] ; Hochschule Hof *[[Hof 2011]] *[[Ich und mein Hof]] ; Hochschule Anhalt *[[Checkliste Homepagepflege]] *[[Kurs:Barrierefreiheit von Internetseiten]] *[[Kurs:Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] *[[Kurs:Grundlagen CAD]] * [[Suchmaschinenoptimierung (SEO)]] * [[Web 2.0 und Barrierefreiheit]] ; Berufliche Schule Angermünde *[[Manga aus Porträt]] *[[Fahrschule B2]] * [[Verkehr in Mexico]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet]] *[[Kurs:Urheberrecht im Internet/unsere Projekte]] *[[Kurs:XING-Urheberrecht im Internet]] *[[Bildrechte im Internet]] *[[Kurs:Stammtisch Graz/Drohnenflug]] * [[Benutzer:Ralf Roletschek/aaa]] ==IHK Ostbrandenburg== * [[Bildrechte im Internet]] * [[Internetmarketing für mittelständische Unternehmen]] ==Uni Graz== * [[Bildrechte im Internet]] ==Orga- Kram== *<s> [[Wikiversity:MediaWiki verwalten|MediaWiki verwalten]]</s> veraltet, wird extern gepflegt, kann weg *[[MediaWiki:Licenses]] *[[MediaWiki:Uploadtext]] *[[Spezial:MediaWiki-Systemnachrichten]] *[[:Kategorie:Vorlage:Lizenz für Bilder]] * [[Wikiversity:Liste der Vorlagen]] *[[:Kategorie:BLU]] *[[Spezial:Linkliste/Vorlage:Bildzitat|Bildzitate]] muß gepflegt werden *[[Benutzer:Ralf_Roletschek/Spickzettel]] *[[Verhüllter Reichstag]] *[[:Kategorie:Wikiversity:Löschen]] ==WV-Bilder auf Commons== *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/en|englisch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/de|deutsch]] *[[Commons:Template:Wikiversity learning material/layout|Layout]] *[[Commons:Template:Autotranslate|Übersetzungen]] gf034g0dmjmfzpki9jcbyecgn1u1yej 0 85667 1094018 1082819 2026-06-13T11:18:11Z Bocardodarapti 2041 1094018 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |faktorieller| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | \Z | \subseteq | R || || || |SZ= }} die zugehörige Erweiterung. Zu einer {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} sei {{ Relationskette/display | p || q_1^{r_1 } \cdots q_k^{r_k } || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= p|SZ=}} in {{math|term= R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= q_i |SZ=}} seien also paarweise nicht {{ Definitionslink |assoziiert| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} von {{math|term= R|SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Relationskette | {{idealp|}} \cap \Z || (p) || || || |SZ= }} genau die Primideale der Form {{ Relationskette | {{idealp|}} || (q_i) || || || |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1srrod0sgs7wi0ypz81v8x17ltupymi 106 114894 1093929 648144 2026-06-12T13:30:45Z Bocardodarapti 2041 1093929 wikitext text/x-wiki <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Information]]</noinclude> {{Textmitschalter/{{{opt|}}} |An=x |Text=Siehe [[Kurs:{{Diskrete Mathematik/Standardkurs}}]] für einen neueren Kurs. {{ inputbild |Waeller23|jpg|100px {{!}} right {{!}} |Text= Vorli |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} }} f3b5z52dha5wz60mrqa29n9c0eksbks 0 117564 1093924 1093517 2026-06-12T13:22:52Z Bocardodarapti 2041 1093924 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} Den konstanten Weg und einen Weg der Form {{mathl|term= u,v,u |SZ=}} betrachten wir als triviale Zyklen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} Mit der Formulierung ohne Wiederholungen meint man ohne Wiederholungen in der Knotenmenge mit Ausnahme der Endpunkte. Dies impliziert insbesondere keine Wiederholungen in der Kantenmenge. Umgekehrt kann es aber Wege ohne Kantenwiederholungen geben, bei denen sich Knotenpunkte wiederholen, dies sind keine Kreise. Ein {{Stichwort|zyklischer Graph|SZ=}} ist ein Graph mit zumindest einem Kreis. Anderfalls nennt man ihn {{Stichwort|zyklenfrei|msw=Zyklenfreier Graph|SZ=.}} {{ inputbild |Circle Line (old)|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Circle_Line_(old) |Text=Die Circle line von London ist für sich genommen ein Rundgang. |Autor= |Benutzer=DavidCane, James D. Forrester |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} Die beiden folgenden Definition ergeben nur für zyklische Graphen Sinn. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} Statt mit der kürzesten Länge eines Kreises kann man genauso gut mit der Länge eines nichttrivialen Zyklus arbeiten. Die Taille ist zumindest {{math|term= 3 |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} Hier kann man nicht mit beliebigen Zyklen arbeiten, da man diese ja mehrfach durchlaufen kann. Der Umfang ist durch die Knotenanzahl des Graphen beschränkt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 33892b63wwkerw22gymkm9xrcrnjnrw 2 118466 1093986 1079966 2026-06-13T09:51:35Z Bocardodarapti 2041 1093986 wikitext text/x-wiki Kugel und Urnen unterscheidbar, ununterscheidbar. unterscheidbar durchnummeriert ; Vorgang hintereinander Abbildungsanzahl {{ inputfakt |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Injektive Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. {{ inputfakt |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||A=L|B=M|k=m|n=\ell || }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} unterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne belegt werden muss. Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen geordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen und mit Trefferzwang {{ Zusatz/Klammer |text=jedes Element muss mindestens einmal gezogen werden| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Lemma||k= \ell|n=m }} Diese Anzahl entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term=\ell |SZ=}} ununterscheidbare Kugeln {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente aus {{math|term=L |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf {{math|term=m |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen, wobei jede Urne nur einfach belegt werden darf {{ Zusatz/Klammer |text=welche {{math|term=\ell |SZ=}} Urnen werden getroffen| |ISZ=|ESZ=? }} Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge ohne Zurücklegen. Zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |L|M || |SZ= }} kann man sich für die Anzahl interessieren, mit der jedes Element aus {{math|term=M |SZ=}} getroffen wird. Dies ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\theta |M|\N |y| {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} |SZ=. }} Wertverteilung oder Stimmenverteilung. Wenn die Anzahl von {{math|term=L |SZ=}} gleich {{math|term=\ell |SZ=}} ist, so ist dabei {{ Relationskette/display | \sum_{y \in M} {{op:Anzahl|f^{-1}(y)|}} || \ell || || || |SZ=. }} Abbildungen von {{math|term=M |SZ=}} nach {{math|term=\N |SZ=}} mit einer bestimmten Summenanzahl {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Abbildungen nach N/Gesamtvielfachheit/Fakt|Lemma|| || }} Wahlausgang, Treffertupel, Monome, Dies entspricht auch dem {{math|term=\ell |SZ=-}}fachen ungeordneten Ziehen von Elementen aus einer {{math|term=m |SZ=-}}elementigen Menge mit Zurücklegen. {{ inputbild |Methan Lewis|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=NEUROtiker |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} {{ inputbild |Budapest-metro|png|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Somebody |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Copenhagen Metro with City Circle Line map|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Arsenikk |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Planskizze_Blauhöhlensystem|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |Plan Sophienhöhle|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |Baum grammatik fuer satz|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bert Niehaus |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} disjunkte kantenfreie Vereinigung, disjunkte vollkantige Vereinigung, Vereinigung, Durchschnitt exzhn434dln4trppkd42ljctfttjujf 0 120949 1094002 1093884 2026-06-13T11:06:28Z Bocardodarapti 2041 1094002 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Zahlbereichserweiterung/Trägheitsgrad/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt|Satz|| }} Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch {{Stichwort|fundamentale Gleichung|msw=Fundamentale Gleichung|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt genau dann {{ Definitionslink |Verzweigung| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} vor, wenn einer der {{ Definitionslink |Verzweigungsindizes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= e_j |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition|| }} Im voll zerlegten Fall ist {{ Relationskette | e_j || f_j || 1 || || |SZ= }} für {{ Relationskette | j || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper {{ Zusatz/Klammer |text=der Faser| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= R/ {{idealp|}} |SZ=}} überein. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition|| }} In diesem Fall ist {{ Relationskette | n || ef || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Polynomring/R nach C/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 61ksdf6nr1p013jaibdx0yvqqwe08gj 0 120958 1094017 1093890 2026-06-13T11:17:13Z Bocardodarapti 2041 1094017 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || \Z[x] || || |SZ= }} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | (X-1) {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=,}} der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{math|term= 1 |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 4 |SZ=.}} Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen {{ Relationskette | p | \neq | 5 || || || |SZ= }} versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei {{ Relationskette/display | v || x-x^2-x^3+x^4 || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zeigt {{ Relationskette | v^2 || 5 || || || |SZ=, }} d.h. es liegt ein Zwischenring {{ Relationskette/display | \Z | \subset | \Z[ \sqrt{5} ] | \subset | \Z[ {{op:Bruch|1+ \sqrt{5}|2}} ] || \Z[ x^3+x^2 ] ||S | \subset | \Z[x] || || |SZ= }} vor, wobei der Ganzheitsring zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} bestimmt wurde. {{parskip|}} Für {{ Relationskette/display | p || 1,4 \mod 5 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= p |SZ=.}} Über diesen Primzahlen liegen in {{math|term= S |SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} und dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von {{math|term= p |SZ=}} ab. {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 11 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= 1,3,4,5,9 |SZ=}} fünfte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Über {{math|term= (11) |SZ=}} liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} mit {{ Relationskette | p || 1 \mod 5 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 4 \mod 5 || || || |SZ= }} gibt es nur die {{math|term= 1 |SZ=}} als fünfte Einheitswurzel und es gilt {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 + {{op:Bruch| \sqrt{5} + 1|2}} X+1 |}} {{makl| X^2 - {{op:Bruch| \sqrt{5} -1|2}} X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei für {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} eine Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} einzusetzen ist. Bei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette | 9^2 || 5 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 2,3 \mod 5 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aber {{ Relationskette/k | p | \neq | 2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} kein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und somit ist {{ Relationskette/display | S/pS | \cong | {{op:Endlicher Körper| p^2|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} liegen über diesen Primidealen im Kreisteilungskörper jeweils nur ein Primideal mit dem Restekörper {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| p^4|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dugdqgpxhkauui0obeq67s1u3f6azi8 0 121109 1093950 1088163 2026-06-13T07:40:55Z Bocardodarapti 2041 1093950 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | R_n || \Z[X]/ ({{op:Kreisteilungspolynom| n |}} ) || || || |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind für eine ungerade Primzahl {{math|term= q |SZ=}} folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung7 |{{math|term= n |SZ=}} ist ein Teiler von {{mathl|term= q-1 |SZ=.}} |{{ Relationskette | q || 1 \mod n || || || |SZ=. }} |In {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} gibt es {{math|term= n |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzeln. |Das Polynom {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} zerfällt über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} in verschiedene Linearformen. |Das Kreisteilungspolynom {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} zerfällt über {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} in verschiedene Linearformen. |Über {{mathl|term= (q) |SZ=}} liegen {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion| n |}} |SZ=}} Primideale von {{math|term= R_n |SZ=.}} |Das Kreisteilungspolynom {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} hat eine Nullstelle in {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} und {{math|term= q |SZ=}} ist nicht verzweigt. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung der totalen Zerlegung bei Kreisteilungsringen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pzhi7w8nfbrdn36tnmhkufe3h69l36n 0 121150 1093951 1086588 2026-06-13T07:42:26Z Bocardodarapti 2041 1093951 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Äquivalenz von (1) und (2) und die von (3) und (4) ist klar. Die Einheitengruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Definitionslink |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} mit {{mathl|term= q-1 |SZ=}} Elementen, das {{math|term= n |SZ=-}}te Potenzieren wird unter dieser Identifizierung zum {{math|term= n |SZ=-}}ten Multiplizieren, {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod|q-1|}} | {{op:Zmod|q-1|}} | y |ny |SZ=. }} Die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln entsprechen dabei dem Kern dieser Abbildung. Wenn {{math|term= n |SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= q-1 |SZ=}} ist, so sei {{ Relationskette | q-1 || na || || || |SZ=. }} In diesem Fall sind {{mathl|term= 0, a, 2a {{kommadots|}} (n-1)a |SZ=}} die verschiedenen Elemente des Kerns, was die Implikation von (1) nach (3) beweist. Umgekehrt besitzt der Kern wie jede Untergruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod|q-1|}} |SZ=}} einen Erzeuger {{math|term= a |SZ=,}} der ein Teiler von {{mathl|term= q-1 |SZ=}} ist. Wenn der Kern aus {{math|term= n |SZ=}} Elementen besteht, so ist {{ Relationskette | an || q-1 || || || |SZ=, }} was die andere Implikation beweist. {{parskip|}} Von (4) nach (5) ist klar, da das Kreisteilungspolynom ein Teiler von {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} ist. Die Äquivalenz von (5) und (6) ist auch klar, da {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}}[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} |SZ=}} der Faserring über {{mathl|term= (q) |SZ=}} ist und da das Kreisteilungspolynom den Grad {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion| n |}} |SZ=}} besitzt. Die Eigenschaft (5) impliziert unmittelbar den ersten Teil von (7). Wäre {{math|term= q |SZ=}} verzweigt in {{math|term= R_n |SZ=,}} so wäre {{math|term= q |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=,}} sagen wir {{ Relationskette | n || qc || || || |SZ=, }} und dann wäre {{ Relationskette/display | X^n-1 || {{makl| X^c -1 |}}^q || || || |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} Doch dann hätte das Kreisteilungspolynom mehrfache Nullstellen. {{parskip|}} Von (7) nach (3). Zunächst ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=,}} d.h. {{math|term= q |SZ=}} ist eine Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} Es sei {{math|term= f |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikative| |ISZ=|ESZ= }} Ordnung von {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} ||}} |SZ=.}} Dann gibt es in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q^f|}} |SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} verschiedene {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzeln. Nach Voraussetzung gibt es eine Nullstelle {{math|term= \zeta|SZ=}} des Kreisteilungspolynoms {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} über {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=.}} Dessen Potenzen durchlaufen in {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q^f|}} |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln. Da die Potenzen aber zu {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} gehören, ist {{ Relationskette | f || 1 || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbo2djmc1d2g0xbsga44g7mrt5zafhl 0 121375 1093919 1093891 2026-06-12T12:47:41Z Bocardodarapti 2041 1093919 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | a,b | \in |\Z || || || |SZ= }} verschiedene quadratfreie Zahlen, sei {{ Relationskette/display | \Q | \subset | L || \Q[ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und sei {{ Relationskette/display | T || \Z [ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] | \subseteq | S || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \Z |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=,}} wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen {{ mathkor|term1= T |und|term2= S |SZ= }} irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Der beschreibende Ring ist {{ Relationskette/display/druckalign | T {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || \Z[X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || || || |SZ=. }} Wir beschränken uns auf Primzahlen {{math|term= \geq 3 |SZ=,}} die weder {{ mathkor|term1= a |noch|term2= b |SZ= }} teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind. Wenn {{math|term= a |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend für {{math|term= b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} ist, sagen wir {{ Relationskette/display | a || r^2 || (-r)^2 || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| (X-r)(X+r) ,Y^2-b |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} [X]/((X-r)(X+r)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} || || |SZ=, }} wobei die letzte Identifizierung durch {{mathl|term= X \mapsto (r, -r ) |SZ=}} gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und {{mathl|term= (p) |SZ=}} zerfällt in {{math|term= T |SZ=}} und dann auch in {{math|term= S |SZ=}} in zumindest zwei Primideale. {{parskip}} Wenn hingegen sowohl {{ mathkor|term1= a |als auch|term2= b |SZ= }} Nichtquadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind, so ist das Produkt {{math|term= ab |SZ=}} ein Quadrat, sagen wir {{ Relationskette | ab || s^2 || (-s)^2 || || |SZ=. }} Dann gelten, da ja {{math|term= a |SZ=}} eine Einheit ist, in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X,Y] |SZ=}} die Idealgleichheiten {{ Relationskette/align | {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-ab |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, X^2Y^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, (XY+s)(XY-s) |}} |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/(X^2-a, (XY+s)(XY-s)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/(XY+s)(XY-s) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/ {{makl| Y + {{op:Bruch| s | X}} |}} {{makl| Y - {{op:Bruch| s | X}} |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} || || |SZ=, }} es liegt also wieder ein Produktring vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oauw4tiql9v0k7h2qgfbdaxnqrv1zvi 1094015 1093919 2026-06-13T11:16:32Z Bocardodarapti 2041 1094015 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | a,b | \in |\Z || || || |SZ= }} verschiedene quadratfreie Zahlen, sei {{ Relationskette/display | \Q | \subset | L || \Q[ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und sei {{ Relationskette/display | T || \Z [ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] | \subseteq | S || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \Z |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=,}} wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen {{ mathkor|term1= T |und|term2= S |SZ= }} irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Der beschreibende Ring ist {{ Relationskette/display/druckalign | T {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || \Z[X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || || || |SZ=. }} Wir beschränken uns auf Primzahlen {{math|term= \geq 3 |SZ=,}} die weder {{ mathkor|term1= a |noch|term2= b |SZ= }} teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind. Wenn {{math|term= a |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend für {{math|term= b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} ist, sagen wir {{ Relationskette/display | a || r^2 || (-r)^2 || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| (X-r)(X+r) ,Y^2-b |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} [X]/((X-r)(X+r)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} || || |SZ=, }} wobei die letzte Identifizierung durch {{mathl|term= X \mapsto (r, -r ) |SZ=}} gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und {{mathl|term= (p) |SZ=}} zerfällt in {{math|term= T |SZ=}} und dann auch in {{math|term= S |SZ=}} in zumindest zwei Primideale. {{parskip}} Wenn hingegen sowohl {{ mathkor|term1= a |als auch|term2= b |SZ= }} Nichtquadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind, so ist das Produkt {{math|term= ab |SZ=}} ein Quadrat, sagen wir {{ Relationskette | ab || s^2 || (-s)^2 || || |SZ=. }} Dann gelten, da ja {{math|term= a |SZ=}} eine Einheit ist, in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X,Y] |SZ=}} die Idealgleichheiten {{ Relationskette/align | {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-ab |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, X^2Y^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, (XY+s)(XY-s) |}} |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/(X^2-a, (XY+s)(XY-s)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/(XY+s)(XY-s) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/ {{makl| Y + {{op:Bruch| s | X}} |}} {{makl| Y - {{op:Bruch| s | X}} |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} || || |SZ=, }} es liegt also wieder ein Produktring vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 48u9zmok2ctquvvcv0vz9zmbiin9x1o 106 121951 1093930 1077317 2026-06-12T13:34:29Z Bocardodarapti 2041 1093930 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/15/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe|p||| |Absetzmulde/Austausch/Anzahl/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Induktion k/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Potenzmenge/Keine surjektive Abbildung darauf/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/Allgemeine binomische Formel/Aufgabe|p||| |Rekursives Dreieck/Geometrisches Mittel/256/Aufgabe|p||| |Vier Geraden/Ebene/Schnittverhalten/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/(-x^2+x-1)/3. Potenz/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/Betragsrest/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Konstruktion/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Inhaltsverzeichnis/Wurzelbaum/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rgzvtyu3z7fdw0tdrsl9c7fbklzk88b 106 121953 1093922 1093635 2026-06-12T13:15:52Z Bocardodarapti 2041 1093922 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe|p||| |U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe|p||| |Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe|p||| |Brettspiel/Gewinnstellung/Rekursive Definition/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Alternierende geometrische Reihe/C/Betrag z kleiner 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} oleesoagn36vic3dd35ftescj16gcw4 106 122161 1094003 1071778 2026-06-13T11:06:57Z Bocardodarapti 2041 1094003 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesungsgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Zerlegungsverhalten}} Wir besprechen nun systematisch, wie eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zerlegt wird, also wie viele Primideale von {{math|term= R |SZ=}} oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} liegen, wie diese sich zueinander verhalten und wie die Abhängigkeit von {{math|term= p |SZ=}} aussieht. Viele Eigenschaften hängen dabei allein vom {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R/pR |SZ=}} ab, von dem wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} wissen, dass {{math|term= R/pR |SZ=}} als additive Gruppe isomorph zu {{math|term= {{makl| {{op:Zmod|p|}} |}}^n |SZ=}} ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} der Grad der Erweiterung ist. {{:Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbeispiel |Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht unzerlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das folgende Beispiel siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel|| }} }} n59htge4mr6okepxw4ic648y6p1ged1 0 126628 1094014 1081653 2026-06-13T11:14:49Z Bocardodarapti 2041 1094014 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | D | \neq | 0,1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratfreie Zahl| |SZ= }} und {{math|term= A_D |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es für eine {{ Definitionslink |Primzahl| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} die folgenden drei Möglichkeiten: {{Aufzählung3 |{{math|term= p |SZ=}} ist prim in {{math|term= A_D |SZ=.}} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Primideal| |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= A_D |SZ=}} derart, dass {{ Relationskette | (p) || {{idealp|}}^2 || || || |SZ= }} ist. |Es gibt ein Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= A_D |SZ=}} derart, dass {{ Relationskette | (p) || {{idealp|}} \overline{ {{idealp|}} } || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{idealp|}} |\neq| \overline{ {{idealp|}} } || || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 543ydlepfdcooru8sek62is2hchrhut 0 127928 1093946 1088162 2026-06-13T07:38:04Z Bocardodarapti 2041 1093946 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | R_n || \Z[X]/ ({{op:Kreisteilungspolynom| n |}} ) || || || |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind für eine ungerade Primzahl {{math|term= q |SZ=}} folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung5 |{{math|term= q |SZ=}} ist ein Teiler von {{math|term= n |SZ=.}} |Das Primideal {{mathl|term= (q) |SZ=}} {{ Definitionslink |verzweigt| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} in {{math|term= R_n |SZ=.}} |Das Kreisteilungspolynom {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |separabel| |Kontext=Polynom| |SZ=. }} |Das Polynom {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} nicht separabel. |Der Ring {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^n-1 |}} |SZ=}} ist nicht {{ Definitionslink |reduziert| |Kontext=Ring| |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung der Verzweigung für Kreisteilungsringe |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} icx3x6pwakxl7irc7a1k6pg12w7mnhl 0 127929 1093947 1086587 2026-06-13T07:38:33Z Bocardodarapti 2041 1093947 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2). Wenn {{math|term= q |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so ist eine {{math|term= q |SZ=-}}te Einheitswurzel auch eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel. Die {{math|term= q |SZ=-}}ten Einheitswurzeln lassen sich also als eine Potenz einer primitiven {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzel erhalten und deshalb gilt für die {{ Definitionslink |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K_q | \subseteq | K_n || || || |SZ=. }} Damit ist auch {{ Relationskette | R_q | \subseteq | R_n || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |SZ= }} verzweigt {{mathl|term= (q) |SZ=}} in {{math|term= R_q |SZ=}} und damit {{ Aufgabelink |Präwort=nach|| Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterungen/Verzweigung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} auch in {{math|term= R_n |SZ=.}} Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Von (3) nach (4) ist klar wegen {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Separables Polynom/Teiler ebenfalls/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar. Von (4) nach (1). Wenn {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so ist {{math|term= n |SZ=}} eine Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} und somit sind {{ mathkor|term1= X^n-1 |und|term2= {{makl| X^n-1 |}}' {{=}} nX^{n-1} |SZ= }} teilerfremd über {{math|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=,}} was nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} die Separabilität bedeutet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ll6pipd2ttat7njpugn6rkr1k7418vg 0 127970 1094021 1014600 2026-06-13T11:21:02Z Bocardodarapti 2041 1094021 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass bei einem {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |SZ= }} jedes numerisch mögliche Zerlegungsverhalten im Sinne der {{ Faktlink |Präwort=|fundamentalen Gleichung|Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} auch auftritt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmdmbloml7rm1bakdmgn5y7cqkfv63u 0 127981 1094019 1038148 2026-06-13T11:20:11Z Bocardodarapti 2041 1094019 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in dem durch die {{ Definitionslink |biquadratische Körpererweiterung| |SZ= }} {{ Relationskette | \Q | \subseteq | \Q[\sqrt{3}, \sqrt{5} ] || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpb457ja2coh7qvx5x1h7popr01nndz 0 127985 1094020 1037968 2026-06-13T11:20:40Z Bocardodarapti 2041 1094020 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für den {{ Definitionslink |kubischen Zahlbereich| |SZ= }} {{mathl|term=\Z[\sqrt[3]{2}] |SZ=,}} welche der numerisch möglichen Zerlegungsverhalten im Sinne der {{ Faktlink |Präwort=|fundamentalen Gleichung|Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} wirklich auftreten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 2 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q51kl71sog91cnibnt9wboqon9s155o 0 128032 1093956 957191 2026-06-13T07:49:39Z Bocardodarapti 2041 1093956 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das quadratische Reziprozitätsgesetz gehört zu den Hauptresultaten der Zahlentheorie und wurde erstmals von Gauß bewiesen. Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene ungerade Primzahlen. Es geht dann um die Frage, ob {{math|term= p |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|q|}} |SZ=}} ein Quadrat ist, also eine Quadratwurzel besitzt, oder eben nicht. Die Aussage des Satzes ist nun, dass dies in einer direkten Beziehung zu der {{Anführung|reziproken Eigenschaft}} steht, ob {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ein Quadrat ist. Es gibt eine Reihe von ziemlich verschiedenen Beweisen für diesen Satz, auch relativ elementare, siehe beispielsweise {{Netz oder Druck|[[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesung 8]].|die Einführung in die elementare und algebraische Zahlentheorie.|}} Der Nachteile dieser elementaren Beweise ist, dass sie konzeptionell eher undurchsichtig sind. Man kann die Beweise Zeile für Zeile nachprüfen, fragt sich letztlich aber dennoch, warum die Aussage überhaupt stimmt. {{ inputdefinition |Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition|| }} Für einfache Eigenschaften des Legendre-Symbols siehe den [[Restklassenring/Z/Quadratische Reste/Ergänzungssätze/Einführung/Textabschnitt|Anhang]]. Für Vielfache von {{math|term= p |SZ=}} im Zähler setzt man das Legendre-Symbol gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Für die Beziehung zwischen quadratischen Resten und Kreisteilungsringen ist das folgende Konzept entscheidend. {{ inputdefinition |Gaußsche Summe/Quadratisch/1/Legendre-Symbol/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt|Lemma|| }} Diese Aussage bedeutet insbesondere, dass im {{math|term= p |SZ=-}}ten Kreisteilungsring die quadratische Erweiterung zu {{ mathkor|term1= p |oder|term2= -p |SZ= }} liegt, wobei das Vorzeichen im Lemma mitbestimmt wird. {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungskörper/Quadratische Körpererweiterung/Zerlegungsverhalten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8ser6d45qjc84ondhzxmgg3xa45tw0p 0 128034 1093949 1086589 2026-06-13T07:40:04Z Bocardodarapti 2041 1093949 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Voraussetzung ist {{math|term= q |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} und damit eine Einheit in {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} Es gibt deshalb eine wohldefinierte Ordnung {{math|term= f |SZ=,}} also die kleinste positive Zahl mit {{ Relationskette | q^f || 1 \mod n || || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= f |SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n}} |SZ=,}} der Ordnung der Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} der kleinste Erweiterungskörper von {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=,}} der {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Einheitswurzeln enthält. Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist lediglich zu zeigen, dass {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} der Restekörper der Primideale oberhalb von {{mathl|term= (q) |SZ=}} ist. Betrachten wir also {{math/druckdisplay|term= {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} |SZ=.}} Da {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| q^f |}} |SZ=}} eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel enthält, gibt es eine surjektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^n-1 |}} | {{op:Endlicher Körper|q^f|}} || |SZ=. }} Diese faktorisiert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt |Nr= |SZ= }} durch {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| m |}} |}} | {{op:Endlicher Körper| q^f |}} || |SZ=, }} wobei {{math|term= m |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist und dann gibt es auch eine Surjektion {{ Abbildung/display |name= | {{op:Zmod| q |}} [X]/ {{makl| X^m-1 |}} | {{op:Endlicher Körper| q^f |}} || |SZ=. }} Wenn {{math|term= m |SZ=}} ein echter Teiler von {{math|term= n |SZ=}} wäre, so würde sich ein Widerspruch ergeben, da dann das Bild von {{math|term= X |SZ=}} eine Ordnung {{math|term= < n |SZ=}} hätte. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oue6x6a9nyqod712hed73mx2yvgn0c9 0 128035 1093948 1088164 2026-06-13T07:39:11Z Bocardodarapti 2041 1093948 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} || || || |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= q |SZ=}} eine Primzahl, die kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei. Es sei {{math|term= f |SZ=}} die multiplikative {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} von {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} }} |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann liegen oberhalb von {{mathl|term= (q) |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Spek|R_n |}} |SZ=}} genau {{mathl|term= {{op:Bruch| \varphi(n) | f }} |SZ=}} {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Restekörper| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q^f|}} |SZ=}} sind. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die Zerlegung von Primzahlen in Kreisteilungsringen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbgolkrwfk8xkkurc36nbtbip6o200f 0 128038 1093952 1080897 2026-06-13T07:43:00Z Bocardodarapti 2041 1093952 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} || || || |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= q |SZ=}} eine Primzahl, die kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei. |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Das Element {{math|term= q |SZ=}} erzeugt die Einheitengruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ=.}} |Über {{mathl|term= (q) |SZ=}} liegt ein Primideal in {{math|term= R_n |SZ=,}} d.h. {{mathl|term= (q) |SZ=}} ist {{ Definitionslink |unzerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ= }} im Kreisteilungsring. |Das Kreisteilungspolynom {{mathl|term= {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |SZ= }} über {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung der Unzerlegtheit bei Kreisteilungsringen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f4wv9v8qf6r7yoq3ls3kdc4feueeyej 0 128040 1093954 1088161 2026-06-13T07:44:59Z Bocardodarapti 2041 1093954 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene ungerade {{ Definitionslink |Primzahlen| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| -1|p}} p |SZ=}} und es sei {{math|term= R_p |SZ=}} der {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{math|term= f |SZ=}} die multiplikative Ordnung von {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| p |}} |}} |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung5 |Es ist {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| -1|p}} p |SZ=}} ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} |Über {{mathl|term= (q) |SZ=}} liegen in {{mathl|term= {{op:Spek| S |}} |SZ=}} zwei Primideale. |Über {{mathl|term= (q) |SZ=}} liegt in {{mathl|term= {{op:Spek|R_p|}} |SZ=}} eine gerade Anzahl von Primidealen. |Es ist {{math|term= f |SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= {{op:Bruch|p-1|2}} |SZ=}} | {{math|term= q |SZ=}} ist ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jrt8i7m7q6ze1weuii64slm05f1yb0m 0 128041 1093955 1086584 2026-06-13T07:45:53Z Bocardodarapti 2041 1093955 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D/Faser über Primideal/Quadrat im Restekörper/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Von (2) nach (3). Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt {{ Relationskette | S | \subseteq | R_p || || || |SZ=, }} sodass diese Richtung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt, da sich der nichttrivale Automorphismus der quadratischen Erweiterung zu einem Automorphismus des Kreisteilungsringes fortsetzt, der die beiden Fasern vertauscht. Von (3) nach (2). Es sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein Primideal über {{mathl|term= (q) |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq|}} }} |}} || {{op:Grad Körpererweiterung| {{op:Zmod| q |}} | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} }} || f || || |SZ= }} und nach Voraussetzung ist wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|p-1|f}} |SZ=}} gerade. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoistheorie/Zerlegungskörper/Restekörper/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|p-1|f}} |SZ=}} auch die Anzahl der Primideale über {{mathl|term= (q) |SZ=}} im {{ Definitionslink |Zerlegungsring| |Kontext=| |SZ= }} und die Restekörper sind {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=.}} Da der {{ Definitionslink |Index| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} der Zerlegungsgruppe in der zyklischen Galoisgruppe {{ Relationskette/display | {{op:Aut|(R_p)|}} | \cong | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| p |}} ||}} | \cong | {{makl| {{op:Zmod|p-1|}}, +,0 |}} || || |SZ= }} gerade ist, umfasst der Zerlegungskörper den quadratischen Zahlbereich. Deshalb sind auch dessen Restekörper gleich dem Grundkörper und es liegt im Zahlbereich Zerlegung vor. {{parskip|}} Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ=. }} (4) bedeutet, dass {{ Relationskette/display | q^{ {{op:Bruch|p-1|2}} } || 1 \mod p || || || |SZ=, }} deshalb folgt die Äquivalenz von (4) und (5) aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Euler-Kriterium|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gp8moqvpk3izfdtd3bzr90ob41virbu 0 128201 1093953 1085711 2026-06-13T07:44:10Z Bocardodarapti 2041 1093953 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} operiert die {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Galoisgruppe| K_n | \Q }} |\cong| {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} || || |SZ= }} auf dem {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| n |}} |}} || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | a | \in | {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} || || || |SZ= }} durch die Substitution {{mathl|term= X \mapsto X^a |SZ=}} wirkt. Es sei {{math|term= q |SZ=}} eine Primzahl, die kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei, und es sei {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} oberhalb von {{mathl|term= (q) |SZ=.}} Das Element {{math|term= q |SZ=}} gehört zur Einheitengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| n |}} |}} |SZ=,}} seine Ordnung sei {{math|term= f |SZ=,}} vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ=. }} Zu {{math|term= q |SZ=}} gehört der Automorphismus {{math|term= \psi |SZ=}} von {{math|term= R_n |SZ=,}} der {{math|term= X |SZ=}} auf die {{math|term= q |SZ=-}}te Potenz von {{math|term= X |SZ=}} abbildet, wobei dies nur von der Restklasse von {{math|term= q |SZ=}} modulo {{math|term= n |SZ=}} abhängt. Dieser stimmt auf dem {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R_n/ (q) R_n |SZ=}} der Charakteristik {{math|term= q |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} überein, da er auf einem Erzeuger damit übereinstimmt und da der Frobenius auf {{mathl|term= {{op:Zmod| q |}} |SZ=}} die Identität ist. Daher gilt {{ Relationskette | \psi ( {{idealq}} ) || {{idealq|}} || || || |SZ= }} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{math|term= \psi |SZ=}} gehört zur {{ Definitionslink |Zerlegungsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealq}} }} |SZ=.}} Da {{math|term= q |SZ=}} die Ordnung {{math|term= f |SZ=}} besitzt, und die Zerlegungsgruppe nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} {{math|term= f |SZ=}} Elemente besitzt, wird die Zerlegungsgruppe von diesem Element erzeugt. Da {{math|term= \psi |SZ=}} auf dem Faserring den Frobenius induziert, gilt dies auch auf dessen Restekörpern. Somit wird unter der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} beschriebenen natürlichen Korrespondenz zwischen der Zerlegungsgruppe und der Galoisgruppe der Restekörpererweiterungen die Substitution {{math|term= X \mapsto X^q |SZ=}} auf den Frobenius abgebildet. Damit ist insbesondere zu jeder Primzahl {{math|term= q |SZ=}} das Frobenius-Element {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Artinsymbol/Bemerkung |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} im Fall von Kreisteilungsringen explizit gegeben. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hk1unl2l89q4ma1duol62q0nwp8axqz 0 128480 1093957 1073929 2026-06-13T08:08:26Z Bocardodarapti 2041 1093957 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Körperkette {{ Relationskette/display | \Q | \subseteq | \Q[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} | \subseteq | K_9 || || |SZ= }} und die zugehörige Kette von {{ Definitionslink |Zahlbereichen| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | \Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} | \subseteq | R_9 || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= \zeta |SZ=}} eine neunte primitive Einheitswurzel bezeichnet, so sei {{ Relationskette/display | X || \zeta+ \zeta^{-1} || || || |SZ=, }} vergleiche {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstellen/Kombinationen aus neunten Einheitswurzeln/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jede Primzahl {{ Relationskette |p |\neq|3 || || || |SZ= }} in {{math/druckdisplay|term= {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} |SZ=}} eine der Beziehung {{ Relationskette/display | X^p || \begin{cases} X \\ X^2-2 \\ -X^2-X+2 \end{cases} || || || |SZ= }} gilt. Zeige{{n Sie}} ferner, dass es allein von der Restklasse von {{math|term= p |SZ=}} modulo {{math|term= 9 |SZ=}} abhängt, welche der drei Fälle gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der neunte Kreisteilungsring |Objektkategorie2=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5ujs9dbc5zspoigef9c0mvv9lkhbyr 106 128529 1093916 1078606 2026-06-12T12:19:32Z ~2026-34380-90 41642 /* Beweisschritt 2 - Semilinearität */ 1093916 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - Semilinearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> <math> \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] redky8tgbevsx9zosooa913e0is9x77 1093917 1093916 2026-06-12T12:19:52Z ~2026-34380-90 41642 /* Beweisschritt 2 - Semilinearität */ 1093917 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - Semilinearität === Nun kann man die [[semilinear|Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> <math> \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] cf93lnp49lazat1j3yqu4oihx0rdrid 1093918 1093917 2026-06-12T12:20:20Z ~2026-34380-90 41642 /* Beweisschritt 2 - Semilinearität */ 1093918 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] ist ein Thema, das in der Schulgeometrie bereits behandelt wird. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass man diesen Satz auch auf [[topologischer Vektorraum|topologische Vektorräume]] übertragen kann, wenn diese zusätzlich eine Skalarprodukt besitzen, die dann die [[Normen, Metriken, Topologie|Topologie]] erzeugen. === Veranschaulichung === In Hilberträumen werden in der Formel <math>a^2 + b^2 = c^2</math> später Seitenlängen von Quadraten (z.B. <math>a</math>) in der allgemeinen Aussage durch Längen von Vektoren (z.B. <math>\|x\|</math>) ersetzt. Vektoren können im Allgemeinen Fall dann auch Funktionen mit einer Länge <math>\|f\|</math> sein. [[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|250px|zentriert|Satz des Pythagoras]] == Definition: Orthogonalität == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|(Prä-)Hilbertraum]]. Zwei Vektoren <math>v,w \in V</math> heißen [[w:de:Orthogonalität|orthogonal]], wenn für das [[Skalarprodukt]] <math>\langle v, w \rangle=0</math> gilt. Bezeichnung <math>v\bot w</math> == Satz des Pythagoras == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle)</math> ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei [[w:de:Orthogonalität|orthogonale Vektoren]] <math>v,w \in V</math> (<math>v\bot w</math>) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras. :<math>\| v + w \|^2 = \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Beweis == Man nutzt die Eigenschaften des [[Skalarprodukt|Skalarproduktes]] über <math>\mathbb{C}</math>, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen. === Beweisschritt 1 - Definition der Norm === Man ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> === Beweisschritt 2 - Semilinearität === Nun kann man die [[Semilinearität]] in der ersten und die [[Lineare Funktion|Linearität]] in der zweiten Komponenten anwenden. ersetzt die Norm von Vektoren über die Definition der induzierten Norm über das Skalarprodukt. Man erhält damit: :<math>\| v + w \|^2 = \langle v+w , v+w \rangle </math> <math> \| v \|^2 + \| w \|^2</math>, == Bemerkung == Der [[w:de:Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]] kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren <math>v_1 , \ldots , v_n \in V</math> erweitert werden und es gilt dann :<math>\| v_1 + \dotsb + v_n \|^2 = \| v_1 \|^2 + \dotsb + \| v_n \|^2</math>. Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist die [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] == Vektorraum der stetigen Funktionen == Mit <math>V=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})</math> und <math>\mathbb{K}=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C})</math> ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert: :<math> + : V \times V \to V</math> mit <math> (f,g)\mapsto f+g:= h</math> und <math>h(x):= f(x)+g(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes <math>x \in [a,b]</math> definert: :<math> \cdot : \mathbb{K} \times V \to V</math> mit <math> (\lambda,f)\mapsto \lambda \cdot f:= h</math> und <math>h(x):= \lambda \cdot f(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>. === Skalarprodukt === Mit dem [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum#Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\textstyle \langle f,g \rangle_{V} = \int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math> ist <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle )</math> ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist. ===Orthogonalität === Sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math>, <math>a=0</math> und <math>b=2\pi</math>. Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=sin(x)</math> und die Funktion <math>g(x)=4</math> orthogonal sind, also <math>\langle f , \cdot g \rangle = 0</math> gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten <math>f,g</math> und der Hypotenuse <math>f+g</math>! == Siehe auch == * [[w:de:Orthogonalität|Orthogonalität]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbert-Raum]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]] == Seiteninformation == Diese Lernressource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] redky8tgbevsx9zosooa913e0is9x77 0 130778 1093961 939153 2026-06-13T08:26:15Z Seewolf 1727 ([[c:GR|GR]]) [[c:COM:FR|File renamed]]: [[File:18-03-25-Küchenutensil-DSCF1426.jpg]] → [[File:Zuckerzange-DSCF1426.jpg]] exact definition 1093961 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ ===1)=== In welche Werkstoffe werden die Schrauben reingeschraubt? Ist dabei ein vorgebohrtes Loch notwendig? Ist dabei ein vorgeschnittenes Innengewinde (=IG) notwendig? <!--Pic cropped/multilayer subtexted- options: display:inline-block; ↔ float:left; ↔ nothing--> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left:55px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Kleine-pc-schrauben part1.jpg|110px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left:55px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Schraube 6-32 UNC part1.jpg|110px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left:0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -10px; top: -10px; ">[[File:Hex-head-self-drilling-screw-1614969 340.png|240px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left:0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -5px; ">[[File:Bout.jpg|220px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left:55px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Percages et vis screw part.jpg|110px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left:30px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Tire-fond cropped.JPG|160x110px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 150px; left:35px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Skruvar part3.jpg|x110px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 150px; left:35px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Skruvar part4.jpg|x110px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 150px; left:35px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:TORBANDSCHRAUBEN DSCM1953.JPG|x110px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|br=7| Holz| Plastik| Blech| massives Metall| Vorbohren notwendig| Mutter / IG notwendig}}</div> ''Bemerkungen:'' Löcher im Spritzgussplastik werden nicht vorgebohrt, sie entstehen anders, nämlich durch die Form. Die Torbandschrauben im letzten Bild drehen sich nicht, sondern das Gegenstück (welches?) wird draufschraubt. <div style="clear:both;"></div> ===2)=== <!--Pic cropped/multilayer- options: display:inline-block; ↔ float:left; ↔ nothing--> <div style="float:left; position:relative; width:220px; height: 70px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; "> [[File:Din 912.jpg|x70px]]</div> <div style="position:absolute; left: 110px; top: -0px; "> [[File:Din 931 8.8.JPG|x70px]]</div> </div> Der Kopf einer Sechskantschraube ist {{Auswahlbox Print|breiter| schmäler |flacher| höher}} als der Kopf einer Imbusschraube. Wenn um den Schraubenkopf kein Platz ist, nur drüber, nimmt man eine {{Auswahlbox Print| Sechskantschraube| Imbusschraube}} (oder man macht Platz). <div style="clear:both;"></div> <div style="float:left; position:relative; width:220px; height: 130px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -30px; top: -0px; "> [[File:Deformation sous precharge assemblage boulonne.svg|440px]]</div> </div> Schrauben verbinden 2 (oder mehrere) Teile. Wenn die Schraube zwischen den 2 Teilen glatt ist, ohne Gewinde, hält sie {{Auswahlbox Print| mehr |gleich viel| weniger }} aus. Die Mutter im Bild (an der Unterseite) ist eine {{Auswahlbox Print| Standardmutter| Flachmutter| Langmutter| Kontermutter}}. <div style="clear:both;"></div> <div style="float:left; position:relative; width:220px; height: 130px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -200px; top: -160px; "> [[File:Nuts and bolts.jpg|640px]]</div> </div> Eine Maschinenschraube hat normalerweise ein {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde| Linksgewinde}}. Eine Mutter hat normalerweise ein {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde| Linksgewinde}}. Die Mutter im Bild dreht sich auf die Schraube drauf, wenn man sie {{Auswahlbox Print|nach rechts ↻| nach links ↺}} dreht. Ein Rechtsgewinde ist von der anderen Seite ein {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde| Linksgewinde}}. <div style="clear:both;"></div> ===3)=== Bestimme: <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 30px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -165px; top: -0px; ">[[File:Ŝraŭbeco dekstra maldekstra.png|330px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde|Linksgewinde}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left: 55px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -120px; top: -140px; ">[[File:A turn of the screw (24801451012).jpg|640px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde|Linksgewinde}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -190px; top: -210px; ">[[File:Gekuppelte-Bahnwagons-01.jpg |640px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde|Linksgewinde}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -40px; ">[[File:Linear actuator leadscrew thread.jpg|220px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde|Linksgewinde}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Schneckengetriebe02.jpg|220px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde|Linksgewinde}}</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; "> <div style="position:relative; height: 110px; width: 150px; left: 35px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -30px; top: -40px; ">[[File:Schaumrolle.JPG|220px]]</div></div> {{Auswahlbox Print|Rechtsgewinde|Linksgewinde}}</div> <div style="clear:both;"></div> ===4)=== <!--Pic – options: display:inline-block ↔ float:left ↔ nothing--> <div style="float:left; max-width:220px; height: 110px; margin: 0 .5em .5em 0;">[[File:Haltern am See, Sythen, Werkzeughalle der Quarzwerke -- 2015 -- 4441.jpg|220px]] </div> Mit welchem Werkzeug lassen sich diese Schrauben festziehen (wenn die Größe = Schlüsselweite passt)? <div style="clear:both;"></div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 160px; left: 30px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:CleTamborim_cropped.jpg|160x110px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:18-04-13-Schrauben-Schlüssel RRK3429.jpg|220px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Dopsleutel Ratsche mit Nuss.jpg|220px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Kluc rurkovy.jpg|220px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Clé plate.jpg|220px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Kluc ockovy vysunuty.jpg|220px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 220px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; ">[[File:Llave estrella.png|220px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 150px; left: 35px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Monkey wrench.jpg|220px]]</div></div> ☐</div> <div style="display: inline-block; width:220px; margin:0 2px 1em 0; vertical-align: top; text-align:center;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 180px; left: 20px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Zuckerzange-DSCF1426.jpg|x110px]]</div></div> ☐</div> <div style="clear:both;"></div> ===5)=== <!--Pic cropped/multilayer- options: display:inline-block; ↔ float:left; ↔ nothing--> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -40px; top: -130px; "> [[File:Schraube1.jpg|180px]]</div> </div> Die Angabe 5.6 auf der Schraube sagt etwas über {{Auswahlbox Print|br=2| das Material| die Festigkeit| den Durchmesser / die Schlüsselweite}}. Der Punkt ist ein {{Auswahlbox Print|Komma|Trennzeichen}}. 5.6 ist {{Auswahlbox Print|mittel|gut|sehr gut}}. <div style="clear:both;"></div> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -40px; top: -40px; "> [[File:18-04-13-Schrauben-Schlüssel_RRK3415_inox_bolt.jpg|180px]]</div> </div> Die Angabe A2 oder A4 auf der Schraube sagt etwas über {{Auswahlbox Print| das Material| die Festigkeit| den Durchmesser / die Schlüsselweite}}. A2 ist {{Auswahlbox Print|korrosionsbeständiger|weniger korrosionsbeständig|fester|weniger fest|schmäler|breiter}} als A4. <div style="clear:both;"></div> ===6)=== <!--Pic cropped/multilayer- options: display:inline-block; ↔ float:left; ↔ nothing--> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -90px; top: -20px; "> [[File:Leipzig, Deutschland - panoramio (36).jpg|220px]]</div> </div> Beilagscheiben {{Auswahlbox Print| verteilen die Kraft| überdecken ein zu großes Loch}}. Die 2 Bauteile, die man zusammenschrauben will, sollen {{Auswahlbox Print| nicht}} zu elastisch sein, die Schraube soll {{Auswahlbox Print| nicht}} gespannt sein. Deshalb kann man Alubleche schwer mit Stahlschrauben zusammenschrauben. (Man kann sie nieten). <div style="clear:both;"></div> <!--Pic cropped/multilayer- options: display:inline-block; ↔ float:left; ↔ nothing--> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 2px 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Nylon Lock Nut.png|x110px]]</div></div> </div> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 2px 1em 0;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:HutMutternM6a.jpg|200px]]</div></div> </div> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 2px 1em 0;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -230px; top: -20px; ">[[File:Abbrechmuttern.png|360px]]</div></div> </div> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 2px 1em 0;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -00px; ">[[File:Counter nut.jpg|x110px]]</div></div> </div> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:relative; height: 110px; width: 110px; left: 0px; overflow: hidden; "> <div style="position:absolute; left: -110px; top: -100px; ">[[File:Thread-locking fluid applied.jpg|320px]]</div></div> </div> Damit die Schraube nicht aufgeht, verwendet man {{Auswahlbox Print| Stopmuttern| Hutmuttern| Abbrechmuttern| Kontermuttern| Schraubsicherungskleber}}. <div style="clear:both;"></div> ===7)=== <!--Pic cropped/multilayer- options: display:inline-block; ↔ float:left; ↔ nothing--> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -80px; top: -30px; "> [[File:HVSchraubverbindung 2bolts.jpg|x160px]]</div> </div> Warum werden Schrauben markiert? <div style="display: inline-block; height: 3em; width: 10em; border-left: .3em dotted #FFE4E1"></div><div style="height: 3em; width: 10em; "></div> <div style="clear:both;"></div> <div style="float:left; position:relative; width:110px; height: 110px; overflow: hidden; margin:0 1em 1em 0;"> <div style="position:absolute; left: -0px; top: -0px; "> [[File:Screw Head - Torx Tamper Resistant-02.jpg|110px]]</div> </div> Warum haben Schrauben einen Stift im, also, Antrieb? <div style="display: inline-block; height: 3em; width: 10em; border-left: .3em dotted #FFE4E1"></div><div style="height: 3em; width: 10em; "></div> cyxakhfqepkawnrksuyofqqewvwb0fn 0 150501 1093994 1087651 2026-06-13T10:09:29Z Bocardodarapti 2041 1093994 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Viele wichtige Funktionen wie die Exponentialfunktion oder die trigonometrischen Funktionen werden durch eine Potenzreihe dargestellt. Der folgende Satz zeigt, dass diese Funktionen differenzierbar sind und ihre Ableitung durch diejenige Potenzreihe dargestellt wird, die sich durch gliedweises Ableiten ergibt. {{ inputfaktbeweisverweis |Reelle Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt|Satz|| }} Im Satz haben wir {{math|term= g |SZ=}} für die Potenzreihe und {{math|term= f |SZ=}} für die dadurch festgelegte Funktion geschrieben, um die Rollen deutlicher zu machen. Von nun an ist diese Unterscheidung nicht mehr nötig. {{ inputfaktbeweis |Reelle_Potenzreihe/Unendlich_oft_differenzierbar/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Ableitung/Fakt|Satz|| }} {{ inputbemerkung |Reelle Exponentialfunktionen/Wachstum/Bemerkung|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt|Korollar||bv=2 }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Tangens/Kotangens/Ableitung/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 85hc9lg6yv9lcxqehmehbf2q78v2ijz 106 167013 1093939 1086332 2026-06-12T17:46:00Z Paul Sutermeister 37610 1093939 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' || Seiten 10-14 |- | 07.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]] || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]]; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] gdw3rhcbgjxzsz6btnpj1quklyx0g3e 106 167606 1093940 1064308 2026-06-12T19:51:06Z Paul Sutermeister 37610 /* Quiz */ 1093940 wikitext text/x-wiki = Vollverben = Vollverben tragen die gesamte Bedeutung und können allein das Prädikat bilden. :Beispiele: arbeiten, kaufen, schlafen, gehen, lernen. Beispiel: Sie '''arbeitet''' im Büro. = Hilfsverben = Hilfsverben helfen, Zeiten (z. B. Perfekt), Passiv und Konjunktiv zu bilden. Es gibt drei Hilfsverben: '''sein''', '''haben''', '''werden'''. Beispiel: Er '''hat''' gegessen. (Perfekt) = Modalverben = {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= Falsche Modalverben richten Schaden an. | Inhalt= Joseph Kimble: [https://scribes.org/wp-content/uploads/2022/12/Scribes_vol3_12_The_Many_Uses_of_Shall.pdf ''The Many Misuses of Shall.''] In: ''The Scribes Journal of Legal Writing'', 1992. }} Modalverben drücken Möglichkeit, Notwendigkeit, Fähigkeit, Erlaubnis oder Absicht aus. Sie stehen fast immer mit einem Infinitiv. Modalverben: * '''dürfen''' – Erlaubnis * '''können''' – Fähigkeit/Möglichkeit * '''mögen''' – Vorliebe * '''müssen''' – Notwendigkeit * '''sollen''' – Auftrag/Empfehlung * '''wollen''' – Absicht Beispiel: Ich '''kann''' gut schwimmen. = Quiz = <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Vollverb | Hilfsverb | Modalverb +-- Sie '''geht''' jeden Tag zur Arbeit. -+- Er '''hat''' seine Schlüssel verloren. --+ Wir '''müssen''' heute noch lernen. +-- Das Wetter '''wird''' schön. -+- Das Haus '''wird''' gebaut. +-- Du '''bist''' die neue Mitarbeiterin. --+ Ich '''mag''' Schokolade essen. +-- Die Kinder '''spielen''' draussen. -+- Ihr '''seid''' pünktlich angekommen. +-- Ich '''habe''' einen eigenen Laptop. --+ Sie '''wollen''' morgen verreisen. +-- Wir '''kaufen''' Obst und Gemüse. </quiz> <!--== Übung 1: Ordne zu (Vollverb – Hilfsverb – Modalverb) == Kreuze an, um welche Verbart es sich handelt. {| class="wikitable" ! Satz !! Vollverb !! Hilfsverb !! Modalverb |- | Sie '''arbeitet''' im Büro. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Wir '''haben''' lange gewartet. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Er '''kann''' sehr gut schwimmen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Das Kind '''ist''' eingeschlafen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Ich '''laufe''' jeden Morgen zur Schule. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Ihr '''müsst''' sofort gehen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Sie '''hat''' das Buch gelesen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Wir '''spielen''' Fussball. || [ ] || [ ] || [ ] |} == Übung 2: Ordne zu (Vollverb – Hilfsverb – Modalverb) == {| class="wikitable" ! Satz !! Vollverb !! Hilfsverb !! Modalverb |- | Der Mann '''liest''' die Zeitung. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Sie '''will''' Ärztin werden. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Wir '''sind''' pünktlich angekommen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Ihr '''habt''' gut gearbeitet. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Das Baby '''schläft''' ruhig. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Ich '''darf''' heute länger bleiben. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Er '''hat''' den Test bestanden. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Die Kinder '''rennen''' in den Garten. || [ ] || [ ] || [ ] |} == Übung 3: Schwieriger == {| class="wikitable" ! Satz !! Vollverb !! Hilfsverb !! Modalverb |- | Wir '''werden''' morgen verreisen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Sie '''muss''' ihre Hausaufgaben machen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Der Lehrer '''hat''' laut gesprochen. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Ich '''bleibe''' heute zu Hause. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Ihr '''sollt''' leise sein. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Das Fenster '''ist''' geöffnet worden. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Wir '''trinken''' Kaffee. || [ ] || [ ] || [ ] |- | Er '''konnte''' nicht kommen. || [ ] || [ ] || [ ] |} [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 7a441sbmolbvn4e0j4fts9x65dgwpw3 0 168224 1093982 1065687 2026-06-13T09:10:11Z Bocardodarapti 2041 1093982 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}}, inwiefern das Spiel {{Anführung|Dobble}} mit der projektiven Ebene {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene| {{op:Endlicher Körper|7|}} |}} |SZ=}} über dem Körper mit sieben Elementen zu tun hat. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene über einem endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} oztk6wekyrb1c59gthc2v7p21yunyy6 0 168314 1093979 1072800 2026-06-13T09:07:13Z Bocardodarapti 2041 1093979 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} ein Kartenspiel mit insgesamt sieben Symbolen und sieben Karten, wobei auf jeder Karte drei Symbole vorkommen mit der Eigenschaft, dass je zwei Karten genau ein Symbol gemeinsam haben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene über einem endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nb3riq695p930xm325uc1yerrza4tg0 106 168646 1093987 1093820 2026-06-13T09:56:15Z Bocardodarapti 2041 1093987 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen/Im Alltag/Finde/Aufgabe|| |zusatz=(Suchen Sie auch in Ihrem (Zweit-)Studienfach.) |tipp= }} {{ inputaufgabe |Flüsse und Länder/Relation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Farbberatung/Relation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Speeddating/n Männer und Frauen/Zwei Relationen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Relation/Stadt und Autobahn/Quantorenaussagen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= |ref1= }} {{ inputaufgabe |Graph_(Abbildung)/R/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph_(Abbildung)/R/Multiplikation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punkt und Geraden/Inzidenz/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Inzidenzrelation/Relationstabelle für 0 bis 3-elementige Mengen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Inzidenzrelation/n-elementige Menge/Relationsanzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Karten und Symbole/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene/Geraden/Schnittpunkte/Relation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationstabelle/Eigenschaften/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationstabelle/Auswirkungen von Relationseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen/Symmetrie, Reflexivität und Transitivität/Unabhängig/Aufgabe||zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=das heißt, dass zwei der Eigenschaften gelten können, ohne dass die dritte gelten muss| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen/Endliche Menge/Reflexiv, symmetrisch/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Symmetrisch und antisymmetrisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relation/Teilmengenbeziehung/2 Elemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Abbildung/Graph/Relationseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angrenzende Länder/Relation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relation/Studenten-Dreier-WG/Kann leiden/Eigenschaften/Aufgabe|| |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/4 Knoten/Überschneidungsfrei/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schnick Schnack Schnuck/Gerichteter Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskrete Mathematik/Spielgruppen (Fußball)/4/Isomorphie/Invarianten/Klassifiziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= |zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Mit {{Stichwort|Isomorphie|SZ=}} meint man in der Mathematik, dass die mathematische Struktur übereinstimmt. In diesem Beispiel sollten also die Pfeildiagramme der beiden Spielgruppen übereinstimmen, und das heißt, dass man sie zur Übereinstimmung bringen kann, indem man passende Mannschaften aufeinander bezieht. |SZ= }} }} {{ inputaufgabe |Zwei Mengen/Relation/Disjunkte Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen/Inklusionsrelation zwischen Teilmengen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relationen/Disjunktrelation zwischen Teilmengen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relation/Pakete mit Absender und Empfänger/Modellierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Relationen/Umkehrrelation/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Speeddating/Neutralgeschlechtlich/Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Injektivität ist reflexiv und transitiv, keine Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Elementare Äquivalenz/Wohngemeinschaft/Charakterisierende Ausdrücke/Aufgabe||zusatz1=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere dürfen in den Charakterisierungen keine Namen vorkommen| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Relationstabelle/Eigenschaften/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Speeddating/Beispiel/Darstellungsmöglichkeiten/Aufgabe|p|zusatz1=Fußnote |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisscheibe/Relation/Eigenschaften/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Relation/Teilmengenbeziehung/3 Elemente/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Elementare Äquivalenz/Schnick Schnack Schnuck/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Fußnotenliste}} }} glexuyifjxw9t5oap5usmnd3pl3ydq2 106 168660 1093923 1093838 2026-06-12T13:16:57Z Bocardodarapti 2041 1093923 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Weg/Kantenzug/Problematik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weg/Blatt/Mitte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Berliner U-Bahn/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Läufer/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Zusammenhangskomponenten/Disjunkte Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Wörter/Silbengleichheit/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Abstand/Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe schließt an {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe |Nr= |SZ= }} an. {{ inputaufgabe |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pfadgraph/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Turm/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Schach/Läufer/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Pferd/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Durchmesser/Nicht in Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Läufer/Umfang/4x4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Prag/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Weg/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Gradzahl/Blätteranzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Numerische Formel/Kein Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Graph/7/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Wurzel/Nicht minimale Exzentrizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Afrotheria/Binärer Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Radius/Durchmesser/Abschätzung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Wege/Numerische Invarianten/U-Bahn München/Aufgabe|5| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfiguren/Taille/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Springer/Umfang/4x4/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Kontraktion/Baum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} cqyuxalzssrju0xya8bk0rsu4hase7n 1093932 1093923 2026-06-12T13:37:34Z Bocardodarapti 2041 1093932 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Weg/Kantenzug/Problematik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weg/Blatt/Mitte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Berliner U-Bahn/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schach/Läufer/Zusammenhangskomponenten/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Zusammenhangskomponenten/Disjunkte Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Wörter/Silbengleichheit/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Abstand/Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe schließt an {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe |Nr= |SZ= }} an. {{ inputaufgabe |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pfadgraph/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Weg/Numerische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Turm/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Schach/Läufer/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schach/Pferd/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Durchmesser/Nicht in Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Läufer/Umfang/4x4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Prag/Taille und Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Weg/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Gradzahl/Blätteranzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Numerische Formel/Kein Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Graph/7/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabephantom |Inhaltsverzeichnis/Wurzelbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Verschiedene Wurzeln/Skizziere hierarchisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Wurzel/Nicht minimale Exzentrizität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kladogramm/Afrotheria/Binärer Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Radius/Durchmesser/Abschätzung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Wege/Numerische Invarianten/U-Bahn München/Aufgabe|5| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfiguren/Taille/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schachfigur/Springer/Umfang/4x4/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Kontraktion/Baum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} df87leub7ugpyb4ffqr9jbpwwt3b0km 106 168850 1094004 1093877 2026-06-13T11:09:10Z Bocardodarapti 2041 1094004 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Zerlegungsverhalten}} Wir besprechen nun systematisch, wie eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zerlegt wird, also wie viele Primideale von {{math|term= R |SZ=}} oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} liegen, wie diese sich zueinander verhalten und wie die Abhängigkeit von {{math|term= p |SZ=}} aussieht. Viele Eigenschaften hängen dabei allein vom {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/pR |SZ=}} ab, von dem wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} wissen, dass {{mathl|term= R/pR |SZ=}} als additive Gruppe bzw. als {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Vektorraum isomorph zu {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|p|}} |}}^n |SZ=}} ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} der Grad der Erweiterung ist. {{:Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Zerlegung in quadratischen Zahlbereichen}} {{:Quadratischer Zahlbereich/Primzahl/Zerlegungsverhalten/Reziprozitätsgesetz/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Weitere Beispiele}} {{ inputbeispiel |Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht unzerlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das folgende Beispiel siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel|| }} }} d3yjttrsjy1bln4ezdmwtlo3s5zxuo4 1094024 1094004 2026-06-13T11:29:29Z Bocardodarapti 2041 1094024 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Zerlegungsverhalten}} Wir besprechen nun systematisch, wie eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zerlegt wird, also wie viele Primideale von {{math|term= R |SZ=}} oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} liegen, wie diese sich zueinander verhalten und wie die Abhängigkeit von {{math|term= p |SZ=}} aussieht. Viele Eigenschaften hängen dabei allein vom {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/pR |SZ=}} ab, von dem wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} wissen, dass {{mathl|term= R/pR |SZ=}} als additive Gruppe bzw. als {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Vektorraum isomorph zu {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|p|}} |}}^n |SZ=}} ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} der Grad der Erweiterung ist. {{:Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Zerlegung in quadratischen Zahlbereichen}} {{:Quadratischer Zahlbereich/Primzahl/Zerlegungsverhalten/Reziprozitätsgesetz/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp;Wir werden das quadratische Reziprozitätsgesetz im Rahmen der Kreisteilungskörper in der 23. Vorlesung beweisen.}} {{Zwischenüberschrift|Weitere Beispiele}} {{ inputbeispiel |Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht unzerlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das folgende Beispiel siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel|| }} }} p5xi5njpr855sg2nsskoyekq4u2ojey 106 168880 1094028 1072135 2026-06-13T11:32:42Z Bocardodarapti 2041 1094028 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Endliche Erweiterung/Restekörper/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Zerlegungsverhalten/Numerische Möglichkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Separable Körpererweiterung/Polynomringerweiterung/Fundamentale Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/563 mod 1231/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Kongruenzbedingung für 7 Quadratrest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubischer Zahlbereich/Dritte Wurzel aus 2/Fundamentale Gleichung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Biquadratische Erweiterung/Wurzel aus 3 und 5/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} rfs7husvz624bll6ur3ttir6z56zf0r 106 168883 1094027 1072141 2026-06-13T11:32:13Z Bocardodarapti 2041 1094027 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eisensteinzahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gaußsche Zahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/8/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/9/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Primzahl/Zerlegungsgruppe/Trägheitsgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Norm/Primzahlpotenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/Verzweigungsbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zur folgenden Aufgabe vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/p/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/5/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/11/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Artinsymbol/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine natürliche Erklärung für das in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/Aufgabe |Nr= |SZ= }} beobachtete Verhalten. {{ inputaufgabe |Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sechster Kreisteilungsring/Wurzel +-6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Gaußsumme/Kreisteilungsring/Gerader Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} r9fhj9kc15q8zucnxjd2erxorzwwha6 0 169637 1093983 1072797 2026-06-13T09:10:36Z Bocardodarapti 2041 1093983 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} ein Kartenspiel mit insgesamt sieben Symbolen und sieben Karten, wobei auf jeder Karte drei Symbole vorkommen mit der Eigenschaft, dass je zwei Karten genau ein Symbol gemeinsam haben. Tipp: Betrachte die projektive Ebene über dem Körper {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|2|}} |SZ=}} mit zwei Elementen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene über einem endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dbapu8zl4i3uykr5smcrj7bymilwuik 106 171337 1093988 1093626 2026-06-13T09:57:53Z Bocardodarapti 2041 1093988 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/2/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Karten und Symbole/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |WM 26/Gesamtspielgraph/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} czt2twncshsap461wgn1rco2qmqvlu9 0 171460 1093925 1093697 2026-06-12T13:25:45Z Bocardodarapti 2041 1093925 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Einen {{ Definitionslink |Prämath= |Wurzelbaum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= B |SZ=}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= kann man in kanonischer Weise zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |gerichteten| |Kontext=Graph| |SZ= }} Baum derart machen, dass von der {{ Definitionslink |Prämath= |Wurzel| |Kontext=Baum| |SZ= }} ausgehend jeder Punkt durch einen gerichteten Weg verbunden ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Wurzelbäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} thjyu0smkkj3ofqkjzt6t1c7ex5f4e3 0 171470 1093926 1093791 2026-06-12T13:28:50Z Bocardodarapti 2041 1093926 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Häufig spielt in einem Graphen ein einzelner Knotenpunkt eine herausragende Rolle. {{ inputdefinition |Baum/Wurzel/Definition|| }} In einem gerichteten Graphen nennt man einen {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{Stichwort|gerichtet|msw=Gerichteter Weg|SZ=,}} wenn aneinanderliegende Kanten die gleiche Richtung haben. {{ inputfaktbeweis |Wurzelbaum/Gerichtet und ungerichtet/Fakt|Lemma|| }} Ebenso kann man die umgekehrte Richtung festlegen, bei der in der Wurzel nur Pfeile enden. Im Allgemeinen ergibt sich im graphischen Bild {{ Zusatz/Klammer |text=Stammbaum, Turnierverlauf| |ISZ=|ESZ= }} die Wurzelrolle und die Richtung dadurch, dass man den Baum hierarchisch anordnet und so skizziert, dass die Wurzel ganz oben {{ Zusatz/Klammer |text=oder ganz unten| |ISZ=|ESZ= }} ist und alle Kanten ein Gefällt haben {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht horizontal sind| |ISZ=|ESZ= }} und die Pfeilrichtung als von oben nach unten zu lesen ist. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Wurzelbaum/Gerichtet und ungerichtet/Fakt |Nr= |SZ= }} werden wir wahlweise einen Wurzelbaum als einen gerichteten Graphen oder als einen ungerichteten Graphen auffassen. Viele Sprechweisen wie Vorfahren {{ Zusatz/Klammer |text=Vorgänger| |ISZ=|ESZ= }} und Nachkommen verstehen sich von selbst. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wurzelbäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} mioj6a0o7asx55ta2wjsq1q668bnb3c 106 171533 1093934 1093912 2026-06-12T13:47:27Z ~2026-29316-36 41570 1093934 wikitext text/x-wiki ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ===Umsetzung=== {{math|f(x) = -0{,}0013x^3 + 0{,}0155x^2 + 0{,}1433x + 6{,}037}} {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} 4fq4lg4gnphxd9hqmtptuytszpgllr0 1093935 1093934 2026-06-12T13:48:25Z ~2026-29316-36 41570 1093935 wikitext text/x-wiki ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ===Umsetzung=== {{math|f(x) = -0{,}0013x^3 + 0{,}0155x^2 + 0{,}1433x + 6{,}037}} {| class="wikitable" |- ! Standorte !! 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Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ===Umsetzung=== {{math|f(x) = -0{,}0013x^3 + 0{,}0155x^2 + 0{,}1433x + 6{,}037}} {| class="wikitable" |- ! Standorte !! 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Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Umsetzung=== {{math|f(x) = -0{,}0013x^3 + 0{,}0155x^2 + 0{,}1433x + 6{,}037}} {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} tozqgkjnwm2ub6cchhpj3rx4xhrf235 0 171534 1093920 2026-06-12T13:11:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093920 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6juq5vbzp7d5j60yg74l9fjvdreg7uc 0 171535 1093921 2026-06-12T13:15:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093921 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ=, }} versehen mit der {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf der Knotenmenge {{math|term= V |SZ=,}} die durch die {{ Definitionslink |Verbundenheit| |Kontext=Graph| |SZ= }} zwischen Knotenpunkten gegeben ist. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientengraphen| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie2=Theorie des Zusammenhangs in einem ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7xuh7l0qpyds3qjmg6es66bfaqcw9vy 14 171536 1093927 2026-06-12T13:28:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093927 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=G|Anf2=e|Anf3=r|Gerichteter Weg (MSW)}} a45frbgug7pnrm3y739kslsanozsd99 14 171537 1093928 2026-06-12T13:29:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093928 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=Z|Anf2=y|Anf3=k|Zyklenfreier Graph (MSW)}} hoa9q0ij9bd69s1d9tezterugjb15k4 0 171538 1093931 2026-06-12T13:36:07Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093931 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Formatierung Inhaltsverzeichnis|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Skizziere{{n Sie}} das abgebildete Inhaltsverzeichnis als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Wurzelbaum| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzelbäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rico3h4a0pe5hfp552pxcbset2iaj5x 1093933 1093931 2026-06-12T13:42:27Z Bocardodarapti 2041 1093933 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Formatierung Inhaltsverzeichnis|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Frshmn |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Skizziere{{n Sie}} das abgebildete Inhaltsverzeichnis als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Wurzelbaum| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wurzelbäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d1o1b1v6txdhqvu8ppyevqilwiqwacn 0 171539 1093958 2026-06-13T08:24:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093958 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Numerische Überlegungen Es sei {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ= }} fixiert. 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Jede Karte, auf der sich {{math|term= s |SZ=}} befindet, besitzt mit {{math|term= L |SZ=}} ein eindeutiges gemeinsames Symbol. Dafür gibt es {{math|term= n |SZ=}} Möglichkeiten, nämlich die Symbole auf {{math|term= L |SZ=.}} Dieses Symbol, nennen wir es {{math|term= t |SZ=,}} bestimmt aber schon die Karte. Wegen {{ Relationskette | t |\neq| s || || || |SZ= }} kann es keine zwei Karten geben, die sowohl {{math|term= s |SZ=}} als auch {{math|term= t |SZ=}} beinhalten. Deshalb ist die Anzahl der Karten mit dem Symbol höchstens gleich {{math|term= n |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} b6yll9qwlqlh4o3bxwwqzd6gzw8hzgs 14 171547 1093969 2026-06-13T08:40:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093969 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 0 171548 1093972 2026-06-13T08:42:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093972 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= S |SZ=}} eine Symbolmenge und es sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge von Karten derart, dass die Inzidenzbedingungen erfüllt sind. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl der Karten höchstens gleich der Anzahl der Symbole, also {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M|}} | \leq | {{op:Anzahl|S|}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene über einem endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} h4iimfr5sutl6lab0la5txuilom674n 0 171549 1093973 2026-06-13T08:57:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093973 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | \ell || {{op:Anzahl|S|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | m || {{op:Anzahl|M|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Inzidenzmenge {{ Relationskette/display | I || {{Mengebed| (s,K) | \text{ Das Symbol } s \text{ liegt auf der Karte } K }} | \subseteq | S \times M || || || |SZ=, }} deren Anzahl sei {{math|term= z |SZ=.}} Da auf jeder Karte {{math|term= n |SZ=}} Symbole sind, gibt es {{ Relationskette/display | z || m n || || || |SZ= }} viele Inzidenzen. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Karten und Symbole/Symbol/Kartenbeschränkung/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt jedes Symbol auf höchstens {{math|term= n |SZ=}} Karten, deshalb ist ist {{ Relationskette | \ell \cdot n | \leq | z || || || |SZ=. }} Insgesamt ist also {{ Relationskette/display | \ell \cdot n | \leq | z || k \cdot n || || |SZ=, }} woraus {{ Relationskette | \ell | \leq | k || || || |SZ= }} folgt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} g6cuewyyu8n8bw24kl4kd0ttam5yyxc 1093974 1093973 2026-06-13T08:57:46Z Bocardodarapti 2041 1093974 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | \ell || {{op:Anzahl|S|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | m || {{op:Anzahl|M|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Inzidenzmenge {{ Relationskette/display | I || {{Mengebed| (s,K) | \text{ Das Symbol } s \text{ liegt auf der Karte } K }} | \subseteq | S \times M || || || |SZ=, }} deren Anzahl sei {{math|term= z |SZ=.}} Da auf jeder Karte {{math|term= n |SZ=}} Symbole sind, gibt es {{ Relationskette/display | z || m n || || || |SZ= }} viele Inzidenzen. 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Jede weitere Karte muss mit {{math|term= K |SZ=}} in einem dieser Symbole übereinstimmen. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Karten und Symbole/Symbol/Kartenbeschränkung/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt jedes dieser Symbole auf höchstens {{math|term= n |SZ=}} Karten. Da {{math|term= K |SZ=}} dazugehört, kommen zu jedem Symbol {{math|term= s_i |SZ=}} höchstens {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Karten hinzu. Es gibt also höchstens {{ Relationskette | n(n-1) +1 || n^2-n +1 || || || |SZ= }} Karten. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} p9hfytpqtm1g6tm5jjrojo1tuf8pfrn 1093990 1093975 2026-06-13T10:06:03Z Bocardodarapti 2041 1093990 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= K |SZ=}} eine fixierte Karte mit den {{math|term= n |SZ=}} Symbolen {{mathl|term= s_1 {{kommadots|}} s_n |SZ=}} darauf. 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Aus einer Menge {{math|term= S |SZ=}} von Symbolen soll ein Kartenset {{math|term= M |SZ=}} bestehend aus Karten konstruiert werden, derart, dass die folgenden Inzidenzbedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Auf jeder Karte befinden sich genau {{math|term= n |SZ=}} Symbole. |Zu je zwei Karten gibt es genau ein Symbol, dass sich auf den beiden Karten befindet. |Zu jedem Symbol gibt es mindestens eine Karte, auf der dieses Symbol nicht liegt. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3/a |Zu jedem Symbol {{ Relationskette | s | \in | S || || || |SZ= }} gibt es höchstens {{math|term= n |SZ=}} Karten, auf denen sich das Symbol {{math|term= s |SZ=}} befindet. |Die Anzahl der Karten ist höchstens gleich der Anzahl der Symbole. |Es gibt höchstens {{mathl|term= n^2-n +1 |SZ=}} Karten. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Ebene über einem endlichen Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=3 |p2=3 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} khrhi6zj5znutpu57kivtg7uuhte7d7 0 171555 1093996 2026-06-13T10:10:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093996 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a |{{:Karten und Symbole/Symbol/Kartenbeschränkung/Fakt/Beweis|opt=Text}} |{{:Karten und Symbole/Kartenanzahl und Symbolanzahl/Fakt/Beweis|opt=Text|opt1=/-|opt2=&nbsp;Teil a}} |{{:Karten und Symbole/Maximalanzahl/Fakt/Beweis|opt=Text|opt1=/-|opt2=&nbsp;Teil a}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nc1kj07hl9nflcl0u77ip3z7tykx57q 1093999 1093996 2026-06-13T10:12:11Z Bocardodarapti 2041 1093999 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a |{{:Karten und Symbole/Symbol/Kartenbeschränkung/Fakt/Beweis|opt=Text}} |{{:Karten und Symbole/Kartenanzahl und Symbolanzahl/Fakt/Beweis|opt=Text|opt1=/-|opt2=Teil a}} |{{:Karten und Symbole/Maximalanzahl/Fakt/Beweis|opt=Text|opt1=/-|opt2=Teil a}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} j5mforygf94zzbbxhowb7j7u2kyunjr 0 171556 1094000 2026-06-13T10:41:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094000 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= q |SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{math|term= A_q |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist eine ungerade Primzahl {{ Relationskette | p | \neq | q || || || |SZ= }} in {{math|term= A_q |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |voll zerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ=, }} wenn {{math|term= p |SZ=}} eine gewisse Kongruenzbedingung modulo {{math|term= q |SZ=}} erfüllt. Insbesondere gibt es unendliche viele Primzahlen {{math|term= p |SZ=,}} die in {{math|term= A_q |SZ=}} voll zerlegt sind, und unendlich viele Primzahlen {{math|term= p |SZ=,}} die in {{math|term= A_q |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |unzerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ= }} sind. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ng3acqsobzezfap4tq10fe4isyze92 1094008 1094000 2026-06-13T11:12:23Z Bocardodarapti 2041 1094008 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= q |SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{math|term= A_q |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist eine ungerade Primzahl {{ Relationskette | p | \neq | q || || || |SZ= }} in {{math|term= A_q |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |voll zerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ=, }} wenn {{math|term= p |SZ=}} eine gewisse Kongruenzbedingung modulo {{math|term= q |SZ=}} erfüllt. 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Zerlegung von {{math|term= p |SZ=}} liegt also genau dann vor, wenn {{math|term= q |SZ=}} ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ist. Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Quadratischen Reziprozitätsgesetzes|Faktseitenname= Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dies genau dann der Fall, wenn, abhängig von den Resten von {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} modulo {{math|term= 4 |SZ=,}} {{math|term= p |SZ=}} ein Quadrat oder ein Nichtquadrat modulo {{math|term= q |SZ=}} ist. So oder so ist dies durch eine Kongruenzbedingung modulo {{math|term= q |SZ=}} festgelegt. {{parskip|}} Nach dem {{ Faktlink |Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen| |Faktseitenname= Primzahlverteilung/Satz von Dirichlet/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es in jeder Resklasse {{math|term= \neq 0 |SZ=}} modulo {{math|term= q |SZ=}} unendlich viele Primzahlen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 18x3mzsm6i2aqzi7qomna9hjpeodi0y 0 171558 1094005 2026-06-13T11:11:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094005 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 80nyt8dwb113khb88x2vtddga2jxbsq 1094022 1094005 2026-06-13T11:26:03Z Bocardodarapti 2041 1094022 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung kann man gut überblicken, wenn man das quadratische Reziprozitätsgesetz verwendet. Das quadratische Reziprozitätsgesetz gehört zu den Hauptresultaten der Zahlentheorie und wurde erstmals von Gauß bewiesen. Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene ungerade Primzahlen. Es geht dann um die Frage, ob {{math|term= p |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|q|}} |SZ=}} ein Quadrat ist, also eine Quadratwurzel besitzt, oder eben nicht. Die Aussage des Satzes ist nun, dass dies in einer direkten Beziehung zu der {{Anführung|reziproken Eigenschaft}} steht, ob {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ein Quadrat ist. Es gibt eine Reihe von ziemlich verschiedenen Beweisen für diesen Satz, auch relativ elementare, siehe beispielsweise {{Netz oder Druck|[[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesung 8]].|die Einführung in die elementare und algebraische Zahlentheorie.|}} Der Nachteile dieser elementaren Beweise ist, dass sie konzeptionell eher undurchsichtig sind. Man kann die Beweise Zeile für Zeile nachprüfen, fragt sich letztlich aber dennoch, warum die Aussage überhaupt stimmt.{{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition|| }} Für einfache Eigenschaften des Legendre-Symbols siehe den [[Restklassenring/Z/Quadratische Reste/Ergänzungssätze/Einführung/Textabschnitt|Anhang]]. {{ inputfakt |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} iin1j6qu6me7dpd7p5xy6j2p0u6o4mz 1094023 1094022 2026-06-13T11:26:57Z Bocardodarapti 2041 1094023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das Zerlegungsverhalten von Primzahlen in einer quadratischen Erweiterung kann man gut überblicken, wenn man das quadratische Reziprozitätsgesetz verwendet. 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Das quadratische Reziprozitätsgesetz gehört zu den Hauptresultaten der Zahlentheorie und wurde erstmals von Gauß bewiesen. Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene ungerade Primzahlen. Es geht dann um die Frage, ob {{math|term= p |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|q|}} |SZ=}} ein Quadrat ist, also eine Quadratwurzel besitzt, oder eben nicht. Die Aussage des Satzes ist nun, dass dies in einer direkten Beziehung zu der {{Anführung|reziproken Eigenschaft}} steht, ob {{math|term= q |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ein Quadrat ist. Es gibt eine Reihe von ziemlich verschiedenen Beweisen für diesen Satz, auch relativ elementare, siehe beispielsweise {{Netz oder Druck|[[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesung 8]].|die Einführung in die elementare und algebraische Zahlentheorie.|}} Der Nachteile dieser elementaren Beweise ist, dass sie konzeptionell eher undurchsichtig sind. Man kann die Beweise Zeile für Zeile nachprüfen, fragt sich letztlich aber dennoch, warum die Aussage überhaupt stimmt.{{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition|| }} Für einfache Eigenschaften des Legendre-Symbols siehe den [[Restklassenring/Z/Quadratische Reste/Ergänzungssätze/Einführung/Textabschnitt|Anhang]]. Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Quadratisches Reziprozitätsgesetz|msw=|SZ=.}} {{ inputfakt |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 5nuwwrxlviuht4h7qqelb1vnsc3i7w8 14 171559 1094006 2026-06-13T11:11:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094006 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe 14 171560 1094007 2026-06-13T11:12:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094007 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen|Primideal |Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen|Zahlbereich}} g5sddseuzsipa4yznh2iii4lznwif66 14 171561 1094009 2026-06-13T11:12:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094009 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 14 171562 1094010 2026-06-13T11:12:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094010 wikitext text/x-wiki {{Beweis-Kategorie unter}} 33l06mtti6of7n1boxwu0pr328ga1mf 14 171563 1094012 2026-06-13T11:13:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094012 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a 14 171564 1094013 2026-06-13T11:14:04Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094013 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 14 171565 1094016 2026-06-13T11:16:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094016 wikitext text/x-wiki {{Beispiel-Kategorie unter}} 0a9odcwfk06m5yt8zebpp3mlusjo7tn 14 171566 1094026 2026-06-13T11:31:16Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1094026 wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=Q|Anf2=u|Anf3=a|Quadratisches Reziprozitätsgesetz (MSW)}} 77hfsqeyc1l44sz3jd5zp2doz1f3coz